广东梅县华侨中学2019届高三第三次抽考试题数学(理科)
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)Word版含答案
仅有四个不同的点 C ，使得 △ ABC 的面积为 5，则实数 a 的取值范围是 ____ ．
三、解答题：本大题共
6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（ 12 分） [2019 ·江南十校 ] 已知数列 an 与 bn 满足： a1 a2 a3
an 2bn n N * ，且 an
3 ，则 cos2
（
）
2
3
1 A．
2
1 B．
3
1 C．
3
6． [2019 ·临川一中 ]函数 f x
1 2x 1 2x
sin x 的图象大致为（
1 D．
2 ）
A．
B．
C．
D．
7． [2019 ·南昌一模 ]如图所示算法框图，当输入的 x 为 1 时，输出的结果为（
）
A．3
B． 4
C．5
D． 6
8．[2019 ·宜宾二诊 ] 已知 △ ABC 中， A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且 b 3 ， c 3 3 ， B 30 ，
D． 16 8 2 4 5
10． [2019 ·汕尾质检 ] 已知 A ， B ， C ， D 是球 O 的球面上四个不同的点，若
AB AC DB DC BC 2 ，且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（
）
A ． 20π 3
B． 15π 2
C． 6π
x2 y2 11． [2019 ·临川一中 ]如图所示， A1 ， A2 是椭圆 C :
2
4
15．[2019 ·赣州期末 ]若曲线 y x ln x 在 x 1 处的切线 l 与直线 l : ax y 1 0 垂直，则切线 l 、直线 l 与 y 轴围成的三角形的面积为 _______． 16． [2019 南·通期末 ] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 0, a ， B 3, a 4 ，若圆 x 2 y2 9 上有且
2019届广东省六校高三第三次联考理科数学(解析版)
7.已知x , y 满足约束条件 ，若z=ax+y 的最大值为 4,贝U a=（ ）广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2 月份）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）x1.设集合 A={x|y=lg （1-x ） }, B={ yy=2 }，则 A AB=（）A. B. C.D.2.若复数z=2i+一，其中i 是虚数单位，则复数 z 的模为（）A. -B. _C. -D. 23.等差数列{ a n }中，若 a 4+a 6+a 8+a io +a i2=12O ，贝a 9--的值是（）A. 14B. 15C. 16D.174.已知函数y=sin （曲+-）向右平移-个单位后，所得的图象与原函数图象关于x 轴对称，则3的最小正值为（） 5.在 一的展开式中，x 2的系数是224，则一的系数是（）A. 14B. 286.函数f (x ) =e x ?ln|x|的大致图象为()9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法， 其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为-和- （a ，b ，c ，d €N *），则 —— 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道n =3.14159…，若令一V nv-，则第一次用“调日法”后得 一是n 的更为精确的过剩近似值，即 一V nv —，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得 n 的近似分数为（）A. —B. -C. -D.—210. 设F 为抛物线y =2px 的焦点，斜率为k （ k >0）的直线过F 交抛物线于A 、B 两点，若|FA|=3|FB|，则直线AB 的斜率为（）A. -B. 1C. -D.-11. 已知 f （x ） =log a （a - +1） +bx （a >0，a 工1 是偶函数，则（）A. -且—B. -且—C. _且 __D. _且 __12. 已知函数 f （x ） =|xe x+11，关于 x 的方程f 2 （x ） +2sin a f （x ） +cos a =0有四个不等实根，sin «cos成立，则实数 入的最大值为（）A. 3B. 2C.8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为 2的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.A. 1B. 2C.-D. 3C. 56D.112F 分别是PC , PB 的中点，记平面 AEF 与平面ABC 的交线为直线l .（I ）求证：直线l 环面PAC ;（n ）直线l 上是否存在点 Q ,使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ| 的值；若不存在，请说明理由.14.已知向量=（1, 一）， __________________________________________ = （3, m ）,且在 上的投影为3，则向量 与 夹角为15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有 各种花纹，构成种类繁多的图案•如图所示的窗棂图案，是将半径为 R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形•现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落 在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是 __________________________ •16. _______________________________________________________________________________________ 数列b n =a n COS —的前n 项和为S n,已知S 2017=571O ,2018=4030,若数列｛a n ｝为等差数列，则S 2019=__________________________________________________________________________________________18.如图，C 是以AB 为直径的圆 O 上异于 A , B 的点，平面 PAC 丄平面ABC , PA=PC=AC=2 , BC=4, E ,部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.、填空题（本大题共4小题，共20.0 分） 13.已知 sin 0 +cos 」二则 tan19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用 情况，通过抽样，得到 100位教师近2年每人手机月平均使用流量L （单位：M ）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回 答以下问题.三、解答题（本大题共 7小题，共82.0分）17. △ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为2a ,b ,c , 且 asinAsinB+bcosA=—a .（I ）求一;(n )若 c 2=a 2+-，求角 C .套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M ）A 20 300B 30 500 C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮 用户充值200M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值 200M 流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用. 学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余（1） 从该校教师中随机抽取 3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过 300 M 的概率;（2） 现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：20. 如图，设点A, B的坐标分别为(-一，0),( 一，0),直线AP, BP相交于点P，且它们的斜率之积为--.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C i的参数方程为(0为参数)，以原点Q为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p =4sin 0(I )求曲线C i的普通方程和C2的直角坐标方程；(n )已知曲线C3的极坐标方程为0 =a 0< av n, p€R,点A是曲线C3与C i的交点，点C3与C2的交点，且A, B均异于原点O,且|AB|=4 —，求实数a的值.(1)求P的轨迹方程;(2)设点P的轨迹为C,点M、N是轨迹为C上不同于A, B的两点，且满足AP IOM , BP/QN，求23. 已知函数f (x) =2|x+a|+|x-1 (a工0 .(1)当a=1时，解不等式f (x)< 4;(2)求函数g (x) =f (x) +f (-x)的最小值.证：A MON的面积为定值._ 2x21. 已知函数f (x) =(1 + x) e-, g (x) =ax+—+1+2xcosx，当x€[0, 1]时,(I )若函数g (x)在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值;(n )求证：1-x<f (x)冬(川)若f (x)词(x)恒成立，求实数a的取值范围.x轴的正半B是曲线答案和解析1. 【答案】C【解析】解：'.1-x >0, -'x v 1, .'A= -x, 1),••2x>0, /B= 0, +x),••A n B= 0, 1).故选:C.求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果. 本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题.2. 【答案】B【解析】解: ••复数z=2i+ =2i+ =2i+1-i=1+i , 1+/11+汕I - J • •|z|=d + L =:,故选：B.利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z,再根据复数的模的定义求得复数z的模.本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幕运算性质，求复数的模，属于基础题.3.【答案】C【解析】解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120,得a8=24, j [ i i ?所以a9- 二.3a9-a11) =. a9+a7+a11-a11) =. a9+a7) = . =164 J J J J f 故选:C.先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a g，再用性质求解.本题主要考查等差数列的性质. 解：函数y=sin © x+ )向右平移个单位后得到$ 4.1y=sin[ 4- )+ ]=sin ©x ©+ )的图象，1J 1f 1J1J••所得的图象与原函数图象关于x轴对称，JI J| JI /I•'sin ©x ©+ )=-sin © x+ )=sin © x+ + n ,1 J -I J 4 J 1 JJI J I II•'- ©+ = + n +2k, n €Z，解得©二6k-3,1| 1 J 4 J.•当k=-1时，©取最小正数3,故选:D.由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得©的方程，解方程给k取值可得.本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题.5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中，•^ ,■令2n-2r=2, r= n-1,则22C2n n-1=224, .92n n-1=56. /n=4.再令8-2r=-2, /r=5.,则京为第6项.C? 144 £■则弟的系数是14.故选:A.首先分析题目已知在的展开式中，X2的系数是224,求"的系数，首先求出在陡4宵侮的展开式中的通项，然后根据x2的系数是224,求出次数n的值，再根据通项求出右为第几项，代入通项求出系数即可得到答案.此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求4.【答案】D一系列的问题.有一定的技巧性，属于中档题目.同学们需要很好的掌握.5.【答案】D解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外解：函数f X）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C,D, 当X—+x,f X）f +X,排除B, 故选:A.判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可. 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键.7. 【答案】B 【解析】则 A 2,0)，1,1),若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2, 此时，目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z，当直线经过A 2,0）时，截距最大，此时z最大为4,满足条件, 若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+仁4,解得a=3, 此时，目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z,平移直线y=-3x+z，当直线经过A 2,0）时，截距最大，此时z最大为6,不满足条件, 故a=2,故选：B.由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为」.本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题.解：第一次用调日法”后得謬是n的更为精确的过剩近似值，即V*』47 47 1 （I 第二次用调日法”后得是n的更为精确的过剩近似值，即I N第三次用调日法”后得’’是n的更为精确的过剩近似值，即=V nV'',Ml I 1 [J 三I}第四次用调日法”后得’是n的更为精确的过剩近似值，即V nV ',i丄』f故选:A.利用调日法”进行计算，即可得出结论.本题考查调日法”考査学生的计算能力，比较基础.10.【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值. 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此解：假设A在第一象限,类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键. 过A ,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ,E, 过A作EB的垂线，垂足为C,则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|=|AF|, |BE|=|BF|,6.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）9.【答案】A 【解析】又・.|AF|=3|BF|,J AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点,设|BF|=m,则|BC|=2m, |AF|=3m, |AB|=4m ,即|AC|= 曲仁忒平=h . = j m=2 , m,则tan Z ABC= =l"「l 2“即直线AB的斜率k=,故选：D.11.【答案】C【解析】解：\f X)=log a a-x+1)+bx a>0, a^1 是偶函数，••f (x)=f X),§lOg a a X+1)-bx=log a a-X+1)+bx,•■Iog a a x+1)-bx=log a a x+1)+ b-1)x,l•■-b=b-1,「b=,.■f x)=log a a-x+1) + . x,函数为增函数,••a+ >2= ,f a+.)> ().故选:C.利用函数的偶函数，求出b,确定函数单调递增，即可得出结论.本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 解:f x)=|x e x+1|= ，当x》O寸，f'x)=e x+1+xe x+1恒成立，所以f x)在0,+〜上为增函数；当x v0 时，f'x)=-e x+1-xe x+1=-e x+1 x+1),由f'x)=0,得x=-1，当x € 0,-1)时，「x)=-e x+1 x+1 )»,f x)为增函数,当x € -1,0)时，f'x )=-e"+1 x+1 )<0,f x)为减函数,所以函数f x)=|xe"+1|的极大值为f -1)=| -1)e°|=1,极小值为：f 0)=0,令f x)=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sin a m1?m2=cos a此时若sin >0,则当m1v0,且m2v0,此时方程f2 x)+2sin a ?x)+cos a =至多有两个实根，若sin v 0,则当m1>0,且m2>0,要使方程f2 x)+2sin a ?x)+COS a =有四个实数根,则方程m2+2sin a m+cos a应有两个不等根，且一个根在(0, 1 )内，一个根在1,+x)内，再令g m)=m2+2sin a m+cos a因为g 0)=cos a> 0,①△=4sin2 a-4cos > 0,贝U 1-cos2 a-cos a> 0,②则只需g 1)<0，即1+2sin a +cos v0,所以0v cos v-1-2sin a ③由①②解得:0<cos< —-，④1 3 v 5 - 1由③④得到:sin v , , v cos v ,所以sin -cos av -=-,根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可. 本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键.12.【答案】A 【解析】共11页12.【答案】A【解析】为增函数，在（1,0）上为减函数，求得函数f x）在-g,o）上，当（=-1时有一个最大值，所以,if 要使方程f2 x）+tf x）+仁o t€R）有四个实数根，f X）的值一个要在（0，）内，一个在（，+〜内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解a的取值范围. 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2 x）+2sin a硃）+COS a =0 有四个实数根时f X）的取值情况，此题属于中高档题.13.【答案】-4【解析】解: '.sin 0 +cos 0=，故答案为：•b根据在密■方向上的投影是| | X cos B列出方程求出m的值，再计算、的夹角B的值. 本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目.15.【答案】2-【解析】解：连接A、B、0,得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为I 2 2 2S 阴影=12X（ XnR X R X si n60）=2n3 ；）R，又圆的面积为S圆=nR,/. Sin 0+cO s=0+2sin 0 cos 0，「sin 0 cos- 0 =故答案为:-4.把已知等式两边平方可得sin 0 cos的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果. 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.14.【答案】- 【解析】解:'在方向上的投影为3，且| |= ■丨=2，? =3+、, : m;一一帚-b、爲“•I X cos 0 =X = . =3;| n I x | [r | 2解得m= ■，•| |=2••cos 0==，故答案为：二.j I由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值. 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.16.【答案】666【解析】解：设数列｛a n｝为公差d的等差数列，订2^4育5n-a1cos +a2cos +a3cos n ^cos +a5cos +a6cos2 nI I=.a1-a2) + . a5-a4)-a3+a6=-a3+a6 . '^.则tan(XHiO 1SmO COfiOfilTlB利用几何概型的概率公式计算所求的概率为可得5710=-龟+电+…+a2013)+ a6+a12+…+a2010+a2016)+二a2017,本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了4030=-鈍+*9 +…+a2013)+ a6+a12+…+a2010+a2016)+启a2017-^ a2018，两式相减可得§018=3360，由5710=1008d+ 3360-d)，解得d=4，则3n=a2018+ *-2018)^=4n-4712,可得S2o19=4O3O-a2o19=4O3O- 4^019-4712)=666.故答案为：666.求得数列｛b n｝的前6项之和，再由S2017=571O, S2018=4O3O,表示数列｛a n｝的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和.本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考査推理能力与计算能力，属于中档题.17.【答案】(本题满分为12分)解：(I)由正弦定理得，- ，…(3分)即- ，故- ，所以--.…(6分)(II )设b=5t (t> 0)，贝U a=3t，于是- -即c=7t.…(9分)由余弦定理得 ------- -------------- -.所以一.…(12分)【解析】()由正弦定理化简已知等式，整理即可得解.(I)设b=5t (>0)，由I )(可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，禾U用特殊角的三角函数值即可求解.••直线I上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余, AQ|=1.(I)利用三角形中位戋定理推导出BC/面EFA，从而得到BC//，再由已知条件推导出BC1面计算能力和转化思想，属于中档题.18.【答案】(I )证明：・.E，F分别是PB，PC 的中点，「BC/EF，又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，••BC 面EFA，又BC?面ABC，面EFA 门面ABC=I，••BC /，又BC _bAC，面PAC 门面ABC=AC，面PAC 1面ABC，/BC _L面PAC，• 1面PAC.(2)解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A (2，0, 0)，B ( 0, 4, 0)，P (1, 0，_), E( -，, —)，F ( -， ,—)，设Q ( 2, y, 0)，面AEF的法向量为则_ _ ,取z=—得—|cos v , > |= -= ----------------- ,|cos v , > |= -= ------------------ ,依题意，得|cos v , > |=|cos v , > |, •■y=±1.【解析】PAC，由此证明11面PAC .2) 以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线I上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余, |AQ|=1.本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.19. 【答案】解：(1 )记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P ( D) = ( 0.0008+0.0022) X100=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X〜B (3，0.3)，••从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：P (X=0) +P (X=1) = =0.784. (2)依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L €( 300，500］的概率为：(0.0025+0.0035) X100=0.6，L €( 500，700］的概率为：(0.0008+0.0002 ) X100=0.1，当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，则X 的所有可能取值为20，35，50,且P (X=20) =0.3，P (X=35) =0.6，P (X=50) =0.1，••X的分布列为：• () 仁(元).当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为丫元，则丫的可能取值为30，45,且P (Y=30) =0.3+0.6=0.9，P (Y=45) =0.1，••丫的分布列为：D)=0.3, 从亥校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X , 则X〜B 0,0.3)，由此能求出从亥校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率.2) 依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L €300,500］的概率为0.6, L €500,700］的概率为0.1,分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B套餐最经济.本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考査统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题.20. 【答案】(1 )解：由已知设点P的坐标为(x, y),由题意知一=—= -(x ■),化简得P的轨迹方程为一一 (x —)•••( 5分)(2)证明：由题意M , N是椭圆C上非顶点的两点，且AP /OM , BP/QN ,则直线AP, BP斜率必存在且不为0，又由已知k Ap k BP=--.因为AP /QM , BP/ON，所以k oM k oN=--・・・(6分)设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程一一，得(3+2m2) y2+4mty+2『-6=0 ••©,•••( 7分) 设M , N 的坐标分别为M (X1, yj, N(X2, y2),贝U y什y2= ------- ,yy2= --------- ••( 8 分)2 2所以k oM k oN= ---------- =h，得2t =2m +3•••( 10 分)又S^VION h|t||y1-y2| ------------- j ,即A MON的面积为定值—…(12分)【解析】E Y=30 X0.9+45 .1=31.5当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，则Z的所有可能取值为38,且P (Z=38) =1，E ( Z) =38X1=38，•E (Y)v E (X)v E ( Z),••学校订购B套餐最经济.【解析】If 2 L1) 由题意知• x,U；)，可求3的轨迹方程；厂丄1广■-—fi q2) 设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程,，利用k OM k O N=「二，得J * jf・一liw2t2=2m2+3，即可证明结论.本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题.1)记从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M为事件D，依题意，P2 21. 【答案】解：(I) g'(x) =a+-x+2 (cosx-xsinx),函数g (x)在x=0处的切线与x轴平行，则g'( 0) =a+2=0 , 得a=-2. (II)证明：①当x€[0, 1)时，(1+x) e"2x>-x? (1+x) e-x>( 1-x) e x,令h (x) = (1+x) e-x_ (1-x) e x,则h'(x) =x (e x-e-x).当x€[0, 1)时，h '( x) >0••h (x)在[0, 1)上是增函数，:h (x) >1 (0) =0,即f (x) >lx.x x x②当x€[0, 1)时，f (x) <—? e > 1+,令u (x) =e -1-x，贝u'( x) =e -1. 当x€[0,1)时，u'(x) >0•'u (x)在[0 , 1)单调递增，「u (x) >J (0) =0,• (x) <—,综上可知：1-x夸(x) ^―；2 v 3(川)解：设G (x) =f (x) -g (x) = (1+x) e - (ax+-x+1+2xcosx)3>!-x-ax-1--x -2xcosx=-x (a+1 + —+2cosx)令H (x) =—+2cosx，则H '( x) =x-2sinx, 令K (x) =x-2sinx,贝V K'( x) =1-2cosx.当x€[0, 1)时，K'( x)v 0,可得H '( x)是[0 , 1)上的减函数，••H '(x)哥'(0) =0，故H (x)在[0 , 1)单调递减，••H (x) 哥(0) =2. /a+1 + H (x)它+3 .••当a =3 时，f (x) (x)在[0, 1) 上恒成立.下面证明当a>-3时，f (x)司(x)在[0, 1)上不恒成立.3f (x) -g (x) <—-(1 + ax+_x+2xcosx) =-x (—+a+一+2cosx)22. 【答案】解：(I)由曲线C1的参数方程为(0为参数)，消去参数得曲线C1的普通方程为(x-2) 2+y2=4 .••曲线C2的极坐标方程为p =4sin ,2•'•p =4 p sin, 0•C2的直角坐标方程为x2+y2=4y,整理，得x2+ (y-2) 2=4.2 2(n )曲线C1 : (x-2) +y =4化为极坐标方程为p =4cos, 0设A ( P1, a1), B ( p, a2),••曲线C3的极坐标方程为0 =a 0v av n p€R,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点，且A, B均异于原点O,且|AB|=4 —,•■|AB|=| 1pp|=|4sin -4a os a |=4 |sin ( 一)|=4 -,/sin ( -) =±1,'•0 V aV n •. 一v v—,•- _,解得—.【解析】令v (x) =—+a+—+2cosx=—+a+H (x)，贝y v'( x) =------------------ +H ' (x)当x€[0, 1)时，v' ( x) <0,故v (x)在[0 , 1)上是减函数，:v (x) € (a+1+2cos1, a+3].当a> -3 时，a+3 > 0. ••存在x o€ (0, 1)，使得v (x o)> 0,此时，f (x o)v g (x o). 即f (x) (x)在[0 , 1)不恒成立. 综上实数a的取值范围是(-a, -3]. 【解析】(I)由线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为p=4 p sin, 0由此能求出C2的直角坐标方程.(U)线C1化为极坐标方程为p =4cos,0设A p, a),B p, a)，从而得到-TT|AB|=| p p|=|4sin -4cos a |=4? |sin ( 〔)|=4\宀,进而sin ( 〔)= ±，由此能求出结果. 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐I)求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可;(U ① 当x €[0,1)时,1(+x)e'2x>-x? 1+x)e-x >Q-x)e x，令h * )= (l+x)e-x- (l-x )e x，利用导数得到h x)的单调性即可证明；②当x €0,1)时，f x )< 1? e x> 1+x令u * )=e x-1-x，利用导数得出h %)的单调性即可证明.I + JT(川)利用(U)结论得到 f x)>-x，于是G x)=f x)-g x)>x a+1+ +2cosx).再令d x)=+2cosx,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力.标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.23. 【答案】解：(1 )当a=1时，f (x)v 4, 即为2|x+1|+|x-1|V 4，当x》l时，2 (x+1 ) +x-1 V 4，解得x€?；当x^1 时，-2 (x+1) +1-x v 4，解得V x<-1 ；当-1 V x v 1 时，2x+2+1-x v 4，解得-1 V x v 1 ；则原不等式的解集为(一，1);(2)函数g (x) =f (x) +f (-x)=2|x+a|+|x--|+2|x-a|+|x+-|> 2x+a-x+a|+|x-_-x-_|=4|a|+|—|—=4 ，当且仅当(x+a) (x-a) <0,且(x--)(x+_) <0,且4|a|=|-|时，取得则g (x)的最小值为4 一. 【解析】1）通寸讨论x的范围，求出不等式的解集即可；2）根据&对值不等式的性质求出g x）的最小值即可. 本题考查了解绝对值不等式问题，考査绝对值不等式的性质, 是一道中档题. 等号，考査分类讨论思想，转化思想,。
广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理科数学试题
广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理科数学试题一、单选题(★) 1 . 设，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 若复数满足，则的共轭复数（）A．B．C．D．(★★) 3 . 设角的终边过点，则（）A．B．C．5D．(★) 4 . 中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A．6B．5C．4D．2(★) 5 . 若中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★) 6 . 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A．B．C．D．(★★) 7 . 函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．(★★) 8 . 已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（）A．是偶函数且它的图象关于点对称B．是奇函数且它的图象关于点对称C．是偶函数且它的图象关于点对称D．是奇函数且它的图象关于点对称(★★) 9 . 已知是抛物线上的一动点，则点到直线和抛物线的准线的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．(★★★★) 10 . 如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分.已知数列满足，，则等于（）A．B．C．D．(★★★★★) 11 . 已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 设是半径为2 的球面上的四点，且满足，则三个三角形的面积之和的最大值是（）A．4B．8C．12D．16二、填空题(★) 13 . 已知向量，则在方向上的投影为______．(★) 14 . 在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为______．(★★) 15 . 若，则______．(★★★★) 16 . 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．三、解答题(★) 17 . 已知数列满足.（1）求和的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．(★★) 18 . 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面.（1）求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.(★★) 19 . 随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客，提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2019双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见下表）年份20142015201620172018年份编号t 1 2 3 4 5参与人数（百万人）0.50.611.41.7（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型模拟拟合参与人数 （百万人）与年份编号 之间的相关关系.请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程： ，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数； （2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：报价区间(千元)频数200600600300200100①求这2000为参与人员报价 的平均值 和样本方差 （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）； ②假设所有参与该商品促销活动人员的报价 可视为服从正态分布 ，且 与可分别由①中所求的样本平均值 和样本方差估值.若预计2019年双十一该商品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价.参考公式即数据（i ）回归方程： ，其中 ，（ii ）（iii ）若随机变量 服从正态分布，则，，(★★★★★) 20 . 已知过定点的动圆是 与圆相内切.（1）求动圆圆心 的轨迹方程；（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.(★★★★) 21 . 已知函数，其中为自然对数的底数，.（1）当时，求的极值；（2）若存在实数，使得，且，求证：(★)22 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）若曲线上的两点满足，过作交于点，求证：点在以为圆心的定圆上.(★) 23 . 已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为非空集合，求的取值范围.。
2019届高三数学第三次模拟考试题(一)理(含答案)
12019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末]已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ） A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分4．[2019·恩施质检]在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13B ．59C ．79 D ．895．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2BCD6．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π27．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C，若BC =，且1AF =，则此抛物线的方程为（ ）A．2y =B ．22y x =C．2y =D ．23y x =11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ） A ．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π212．[2019·中山期末]如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是（ ）①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 交点R 满足1113C R =； ④当314CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S． A ．①③④ B ．②④⑤ C ．①②④ D ．①②③⑤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a，+=a b ，则=b _____．14．[2019·吴忠中学]()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为__________．15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元16．[2019·湖师附中]已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n a +=∈+N ，()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭()*n ∈N ，1b λ=-，且数列{}nb 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin c A C +=．（1）求角A 的大小；（2）若a =1b =，求ABC △的面积．18．（12分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形ABED中，AB DE∥，AB BE⊥，点C在AB上，且AB CD⊥，2AC BC CD===，现将ACD△沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC 所成的角为45︒．（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求二面角D PE B--的余弦值．19．（12分）[2019·合肥质检]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20．（12分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C的方程为()222210x ya ba b+=>>，1F，2F为椭圆C的左右焦点，离心率为2，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点1F，2F，求该平行四边形ABCD面积的最大值．3421．（12分）[2019·菏泽期末]已知函数()ln 1af x x x=+-，a ∈R ．（1）当0a >时，若函数()f x 在区间[]1,3上的最小值为13，求a 的值；（2）讨论函数()()3xg x f x '-＝零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·哈三中]已知曲线1:C x +=2:x C y ϕϕ⎧⎪⎨⎪⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程；（2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·江南十校]设函数()()lg 2121f x x x a =-++-． （1）当4a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围．2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题意，集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ． 2．【答案】A【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-， ∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ． 3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分． ∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分）．故选B ． 4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈， 区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ． 5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a -=，它的一条渐近线方程为1y x a=，直线2y x =-的斜率为2-，∵直线1y x a =与2y x =-垂直，∴()121a ⨯-=-，即2a =，∴c e a ==B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ．7．【答案】A【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=，∴()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立，∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=，故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ． 9．【答案】C【解析】由题意，n 的值为多项式的系数，由100，99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ．10．【答案】A【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义，BF BE =，1AF AD ==，∵BC =，∴BC =，∴45DCA ∠=︒，∴2AC ==+211CF ==，∴PF ==，即p PF =，∴抛物线的方程为2y =，故选A ． 11．【答案】D【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2，最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==，或()()122g x g x ==-（舍去）． 故有()()122g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-，则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ． 12．【答案】D 【解析】当102CQ <<时，如图，是四边形，故①正确；当12CQ =时，如图，S 为等腰梯形，②正确；当34CQ =时，如图，由三角形CQP 与三角形1A AH 相似可得123A H =，113D H =，由三角形ABP 与三角形1RD H 相似可得，123D R =，113C R =，③正确；当314CQ <<时，如图是五边形，④不正确；当1CQ =时，如图S=⑤正确，正确的命题为①②③⑤，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ， 变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1， 又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】40【解析】()52x y -展开式的通项公式为()()()555155C 221C rrrrr r r rr T x y x y ---+=⋅=--．令52r -=，得3r =；令53r -=，得2r =；∴()()52x y x y +-的展开式中33x y 系数为()()3223325521C 2140C ⨯-⨯+⨯-=⨯．故答案为40．15．【答案】3800【解析】设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+，甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域，由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2，当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800． 16．【答案】2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由题意，数列{}n a 满足12n n n a a a +=+ ，取倒数可得1121n na a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公比为2的等比数列， ∴112n n a +=，∴()()112122n n n b n n a λλ+⎛⎫=-+=-⋅ ⎪⎝⎭， ∵数列{}n b 是单调递增数列，∴当2n ≥时，1n n b b +>， 即()()122122n n n n λλ--⋅>--⋅，21n λ>-，221λ>-，32λ<； 当1n =时，21b b >，()122λλ-⋅>-，23λ<， 综上，23λ<．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）S ．【解析】（1）∵()1cos sin c A C +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +=cos 1A A -=， ∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．（2）∵a =，1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯=． 18．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）证明：∵AB CD ⊥，AB BE ⊥，∴CD EB ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴EB PC ⊥，且PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ． （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE 与平面PBC 所成的角为45︒得45EPB ∠=︒，∴PBE △为等腰直角三角形，∴PB EB =， ∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，∴2PB =，故PBC △为等边三角形， 取BC 的中点O ，连结PO ， ∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，则()0,1,0B ，()2,1,0E ，()2,1,0D -，(P ， 从而()0,2,0DE =，()2,0,0BE =，(2,1,PE =，设平面PDE 的一个法向量为(),,x y z =m ，平面PEB 的一个法向量为(),,a b c =n ，则由00DE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得2020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得()2=-m ，由00BE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1c =得()=n ，设二面角D PE B --的大小为θ，则cos θ⋅===⋅m n m n 即二面角D PE B --的余弦值为． 19．【答案】（1）见解析；（2）选择延保方案二较合算． 【解析】（1）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6， ()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（2）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：117117697000900011000130001500010720100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）． ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算．20．【答案】（1）2212x y +=；（2）【解析】（1）依题意得22b =，c e a ==，解得a =，1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =，联立2212x y +=，解得2y =，此时平行四边形ABCD 的面积S=当AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x=-，联立2212x y +=，得()2222124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =， 则平行四边形ABCD 的面积)22112k Sk +==+，令212t k =+，1t >，则S =()10,1t ∈， 开口向下，关于1t单调递减，则(S =，综上所述，平行四边形ABCD 的面积的最大值为 21．【答案】（1）13e a =；（2）见解析． 【解析】（1）()()2210a x af x x x x x-=-=>'， 当01a <≤时，()0f x '>在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为增函数， ∴()()min 11f x f a =-=，令113a -=得413a =>（舍去），当13a <<时，由()0f x '=得，()1,3x a =∈， 若()1,x a ∈，有()0f x '<，()f x 在[]1,a 上为减函数， 若(),3x a ∈有()0f x '>，()f x 在[],3a 上为增函数，()()minln f x f a a '==，令1ln 3a =，得13e a =．当3a ≥时，()0f x '<在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为减函数， ∴()()min3ln313a f x f ==+-'，令1ln3133a +-=得43ln32a =-<（舍去）． 综上知，13e a =． （2）∵函数()()()21033x a xg x f x x x x -=--'=>， 令()0g x =，得()3103a x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，此时()x ϕ在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在()1,+∞上单调递减，∴1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1x =也是()x ϕ的最大值点，()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=．又()00ϕ=，结合()x ϕ的图象可知： ①当23a >时，函数()g x 无零点； ②当23a =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203a <<时，函数()g x 有两个零点； ④当0a ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23a >时，函数()g x 无零点；当23a =或0a ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点； 当203a <<时，函数()g x 有两个零点． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+；（2）1．【解析】（1）∵2C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数），∴其普通方程为22162x y +=，又1:C x +=∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+． （2）∵)M，()0,1N，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭，∴OP 的极坐标方程为π6θ=， 把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫⎪⎝⎭，把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，∴211PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1． 23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3a <．【解析】（1）当4a =时，()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-；当112x -<<时，12224x x -++>，无解； 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>，综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++，()()()min2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=，∴3a <．。
2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷(理科).doc
2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120 分钟.2．请将第第I 卷选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡上，第II 卷在各题后直接作答。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．设集合U=R ，集合P={x|x 2≥x}，Q={x|x>0}，则下列关系中正确的是 （ ）A ．P ∩Q ⊂QB ．P ∪Q ⊂QC ．P ∪Q ≠RD ．Q ∩Q=φ2．已知f (x )的反函数0)(),2(log )(21=+=-x f x x f 则方程的根为（ ）A ．1B ．0C ．－23D ．23．设a 、b 表示直线，α、β表示平面，P 是空间一点，下面命题正确的是 （ ） A ．a ⊄α，则a//α B ．a//α，b ⊂α，则a//b C ．α//β，a ⊄α，b ⊂α，则a//b D ．P ∈a ，P ∈β，a//α，α//β则a ⊂β 4．设圆x 2+y 2－2x+6y+1=0上有关于直线2x+y+c=0对称的两点，则c 的值为 （ ） A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．1 5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则a 9－31a 11的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 6．设复数z+i （z 为复数）在映射f 下的象为zi ，则－2+2i 的象是 （ ）A ．1－2iB ．－1－2iC ．2－2iD ．－2－2i 7．已知)tan(,cos )sin(),2(53sin βααβαπβπβ+=+<<=则等于 （ ）A ．－2B ．2C ．1D ．258 8．点P 是椭圆6410022y x +=1上一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2有面积为（ ）A ．64B ．3364C ．64（2+3）D ．64（2－3）9．已知△ABC 中，S ABC 与则,5||,3||,415,0,,===<⋅==∆的夹角是（ ）A ．30°B ．－150°C ．150°D ．120° 10．已知αααπα22sincos33)(),2,0(+=∈M 则的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．不存在11．某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部分，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有 （ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．24种 12．若f(x)=2ax 2+bx+c(a>0，x ∈R)，f(－1)=0，则“b<－2a ”是“f(2)<0”的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13．某校对全校男女学生共1200名进行健康调查，选用分层抽样取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为 人. 14．(1－x+x 2)(1+x)6展开式中x 3项的系数是 . 15．表面积为S 的正八面体的各项点均在体积为π32的球面上，则S 的值为 . 16．已知实数x 、y 满足约速条件：y x z N y x y x x x y +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+-≤≤+且,,012,4,3的最大值为12，则k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知M （1+cos2x ，1）N （1，3sin2x +a ）（x ∈R ，a ∈R ，a 是常数），且y=OM ⋅（O 为坐标原点）. （Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式y=f (x )（Ⅱ）若x ∈[0，2π]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由 )6sin(2π+=x y 的图像经过怎样的变换而得到.18．（本小题满分12分）在长方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AD=DC=3. （Ⅰ）求直线A 1C 与D 1C 1所成角的大小；（Ⅱ）在线段A 1C 1上有一点Q 使平面QDC 与平面A 1DC所成的角为30°，求C 1Q 的长.19．（本小题满分12分）某人参加一项专业技能考试，最多有5次参加考试机会，每次考试及格的概率均为32，每次考试的成绩互不影响，当有两次考试及格，考试就能通过.（以后有考试机会也不能参加）（Ⅰ）求某人通过专业技能考试的概率；（Ⅱ）如果考试通过或已参加5次考试则不再参加考试.设某人参加考试次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(e x +1)－ax(a>0).（Ⅰ）若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a 的值；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 21．（本小题满分12分）设P 是双曲线16422=-y x 右支上任一点. （Ⅰ）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||⋅的值； （Ⅱ）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为9，且PB AP λ= （λ>0），求λ的值.22．（本小题满分14分）已知函数f (x )满足ax ·f (x )=b +f (x ),(ab ≠0)，f (1)=2，并且使f (x )=2x 成立的实数x 有且只有一个.（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）若数列{a n }前n 项和为S n ，a n 满足n a f S n a n n =-≥=)(2,2,231时当，求数列{a n } 的通项公式；（Ⅲ）当n ∈N *，且n ≥3时，在（II ）的条件下，令求证：.1341122110+->+++++--n d C d C d C d C C n n n n n n n n n参考答案一、选择题1—5AADDC 6—10BADCB 11—12AB二、填空题：13.63014.1115.23 16. )14,12[三、解答题：17．解：（1）a x x y +++=⋅=2sin 32cos 1∴f (x )=cos2x +3sin2x +1+a .………………………………………………（5分） （2）a x x f +++=1)62sin(2)(π]2,0[6,262ππππ∈==+∴x x 即时，f (x )取最大值3+a ，由3+a =4，得a =1∴f (x )=2sin(2x +6π)+2……………………………………………………（10分） ∴将y=2sin(x +6π)图像上每一点的横坐标缩短到原来的21,纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得y=2sin(2x +6π)+2的图像…………………………（12分）18．解法一：（I ）建立空间直角坐标系，如图所示，则D （0，0，0）D 1（0，0，1），A 1（3，0，1）， C （0，3，0），C 1（0，3，1）..721373,cos ).0,3,0(),1,3,3(111111111111=⋅=>=<∴=--=∴C D A C D C A ∴直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arccos721.……………………6′（II ）设Q （x 0，y 0，z 0）∵点Q 在直线A 1C 1上，).1),1(3,3(.1),1(3,3)0,3,3()1,3,(000000111λλλλλλ-∴=-==⇒-=--⇔=∴Q z y x z y x A C C设平面QDC 与平面A 1DC 的法向量分别为n 1=（x 1，y 1，z 1），n 2=（x 2，y 2，z 2）.……3′由⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)1),1(3,3(),,(,0)0,3,0(),,(,0,011111111λλz y x z y x DQ n n 01).3,0,1(,1.03,00)1,0,3(),,(,0)0,3,0(),,(0,08).3,0,1(,1.03,02222222222212211111'-==⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅'-==⎩⎨⎧=+=⇒ n x z x y z y x z y x DA n n n x z x y 则令由则令λλ∵二面角Q —DC —A 1为30°，21.36||31||||11.3123|31231|23|,cos |11111221'==='⇒⇒=++⇒=><∴ A C A C Q C n n λλλλ故 解法二：（I ）∵A 1B 1 //D 1C 1，∴∠B 1A 1C 为异面直线A 1与D 1C 1所成的角……2′ 连B 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，A 1B 1=3，B 1C=2，)772sin 721(cos .33232tan 111111111=∠=∠===∠∴C A B C A B B A C B C A B 或∴异面直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arctan332.……………………6′ （II ）在平面A 1C 1内过点Q 作EF//A 1B 1， ∴EF//CD ，连FC 、ED.∵B 1C ⊥DC ，FC ⊥DC ，∴∠B 1CF 为二面角A 1—DC —Q 的平面角.…………………………9′ ∴∠B 1CF=30°.又B 1C 1=3，CC 1=1， ∴tan 311111==∠CC C B CC B , ∴∠B 1CC 1=60°，∴CF 为∠B 1CC 1的角平分线，∴∠FCC 1=30°，3631.3330tan 11111111111==⇒===∴A C Q C B C F C A C Q C CC FC 又19．解：（1）记“考试通过”为事件A ，其对立事件为A ，则5415)31()31(32)(+⨯⨯=C A P∴243232])35()31(32[1)(5415=+⨯⋅-=C A P …………………………（6分） （2）考试次数ξ的可能取值为2，3，4，524327)31()32()31(32)31(32)5(27432)31(32)4(278323132)3(94)32()2(5415314213122=+⨯+⨯⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=====C C P C P C P P ξξξξ……………………………………（11分） 24371124327527442783942=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………（12分） 21．解：（1）由已知得a e e x f xx-+='1)(………………………………（2分） ∵函数y=f (x )的导函数是奇函数，.21),()(='-=-'∴a x f x f 解得……………………………………（4分）（2）由（1）a e a e e x f x xx -+-=-+='1111)( 当a ≥1时，f ′(x )<0恒成立.∴当a ≥1时，函数y= f (x )在R 上单调递减…………………………（7分） 当0<a <1时，解f ′(x )>0得（1－a ）（e x +1）>1，………………12′即aax a e x->-+->1ln,111 当),1(ln )(,10+∞-=<<aax f y a 在时内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（11分） ∴当a ≥1时，函数y=f (x )在R 上单调递减 当0<a <1时，y=f (x )在（aa-1ln ，+∞）内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（12分） 21．（I ）设.1641164),,(2020202000=-⇒=-y x y x y x P 则∵两渐近线方程为2x ±y=0，……………………………………（2分） 由点到直线的距离公式得)5(.5165|4|||||5|2|||,5|2|||20200000分 =-=⋅∴+=-=y x y x PF y x PE（II ）如图，设渐近线y=2x 的倾斜角为θ则542sin sin ,532cos 2tan ==∠-=⇒=θθθAOB ，……（7分）设A （x 1，2x 1），B （x 2，－2x 2）， ∵0,>=λλ∴P 为有向线段AB 的内分点， ∴x 1>0，x 2>0. ∴,5||,5||21x OB x OA ==)9(.29,922sin ||||212121分 =∴===∴∆x x x x OB OA S ABO θ 又)12,1(,2121λλλλλ+-++=x x x x p 得，代入双曲线方程化简得：.212,)1(29)1(2221或解得即=+=+=λλλλλx x故21=λ或2.……………………………………………………（12分） 22．解：（1）由f(1)=2得2a=b+2 ①由f(x)=2x ，得ax ·2x=b+2x ，即2ax 2－2x －b=0只有一个x 满足f(x)=2x ，又a ·b ≠0， 则a ≠0 ∴△=4+8ab=0 ②由①②解得 a=1,21-=b ………………………………（2分） )4()2(22)(2012,1)()12(分则 ≠-=∴≠⇒≠--=-∴x xx f x xx f x（2）当n ≥2时，2222+=+∴=--n a S n a S n n nn∵当23212323,1111=⇒+=+=+=a a S n 时…………（6分） ∴当n ≥2（n ∈N*）时，S n +a n =n+2，则S n －1+a n －1=n+1两式相减得：2a n －a n －1=1（n ≥2）∴2(a n －1)=a n －1－1，即a n －1=21(a n －1－1) （n ≥2） ∴数列{a n －1}是以21为首项，以21为公式的等比数列.n n n n a a 211)21(2111+=∴=-∴-……………………（9分）（3）1)21(log )1211(log 121121+==-+=++n d n n n)14(1341341)1(2112)12(2)(2222,3112])[(11111)11(112)1()1()1()1()1(11]12)2)(1()[1()1()2)(1(111221101101101111101112111112211011分时当分 +->++++∴+-=++>+-∴+>+++=⋅=≥+-=-++++=++++++=+++∴+=⋅-++--+⋅+=⋅--++---=+=∴--++++++++++++--++n d C d C d C d C C n n n n n C C C n n c c c c n n C n C n C d C d C d C C n C K k k k n n n n n k k k k k n n n n k C d C n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nk n k n k k n。
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)(附答案)
ˆ
ˆ
ˆ 并根据你的判断结果求回归方程．（b 结果保留一位小数）
（3）若一年按 365 天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 L 最大？（年销售额L 365 入住率 收费标
准 x）
xy
ˆ n nx y ， aˆ y ˆbx ， x 200， x 2 325000 ，
参考数据：b
i1
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分．
22．（10 分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019· 新疆一模]在直角坐标系
xOy
中，圆 C
的参数方程为
x
2
2cos
为参数，以坐标
原点为极点，x 轴
y 2sin
的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 ， 0 ．
数列， a 2 ， b b 4 ．
1
3
2
（1）求数列a 与b 的通项公式；
n
n
（2）若数列c 满足 c
a n
n N* ，T 为数列c 的前 n项和，证明T 1．
nn
bb
n
nn
n n1
18．（12 分）[2019·沧州模拟]近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单 车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租 赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了 100 天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日）， t 为入住天数（单位：天） ，以频率作为各自的“入 住率”，收费标准 x 与“入住率” y 的散点图如图：
2019届广东省六校高三第三次联考理科数学-含答案解析
广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=lg（1-x）}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A. (0,+∞)B. [−1,0)C. (0,1)D. (−∞,1)2.若复数z=2i+21+i，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A. √22B. √2C. √3D. 23.等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-13a11的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知函数y=sin（ωx+π3）向右平移π3个单位后，所得的图象与原函数图象关于x轴对称，则ω的最小正值为（）A. 1B. 2C. 52D. 35.在(2x+12x )2n的展开式中，x2的系数是224，则1x2的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 1126.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A. B.C. D.7. 已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z =ax +y 的最大值为4，则a =（ ）A. 3B. 2C. −2D. −38. 如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和dc （a ，b ，c ，d ∈N *），则b+da+c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令3110＜π＜4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）A. 227B. 6320C. 7825D.1093510. 设F 为抛物线y 2=2px 的焦点，斜率为k （k ＞0）的直线过F 交抛物线于A 、B 两点，若|FA |=3|FB |，则直线AB的斜率为（ ）A. 12B. 1C. √2D. √311. 已知f （x ）=log a （a -x +1）+bx （a ＞0，a ≠1）是偶函数，则（ ）A. b =12且f(a)>f(1a ) B.b =−12且f(a)<f(1a ) C.b =12且f(a +1a )>f(1b )D. b =−12且f(a +1a )<f(1b )12. 已知函数f （x ）=|xe x +1|，关于x 的方程f 2（x ）+2sinα•f （x ）+cosα=0有四个不等实根，sinα-cosα≥λ恒成立，则实数λ的最大值为（ ）A. −75B. −12C. −√2D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知sinθ+cosθ=√22，则tan θ+1tanθ=______．14. 已知向量a ⃗ =（1，√3），b ⃗ =（3，m ），且b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为3，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角为______．15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______．16. 数列b n =a n cos nπ3的前n 项和为S n ，已知S 2017=5710，S 2018=4030，若数列{a n }为等差数列，则S 2019=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B +b cos 2A =53a ．（I ）求ba ；（Ⅱ）若c 2=a 2+85b 2，求角C ．18. 如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，PA =PC =AC =2，BC =4，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ． （Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ |的值；若不存在，请说明理由．19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题．（1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率；（2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20300B30500C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-√3，0），（√3，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-2．3（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON 的面积为定值．21.已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x3+1+2x cosx，当x∈[0，1]时，2（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤1；1+x（Ⅲ）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2sinϕx=2+2cosϕ（φ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=4√2，求实数α的值．23. 已知函数f （x ）=2|x +a |+|x -1a |（a ≠0）．（1）当a =1时，解不等式f （x ）＜4； （2）求函数g （x ）=f （x ）+f （-x ）的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵1-x＞0，∴x＜1，∴A=（-∞，1），∵2x＞0，∴B=（0，+∞），∴A∩B=（0，1）．故选：C．求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果．本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1-i=1+i，∴|z|==，故选：B．利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模．本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a9-=（3a9-a11）=（a9+a7+a11-a11）=（a9+a7）==16故选：C．先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解．本题主要考查等差数列的性质．4.【答案】D【解析】解：函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后得到y=sin[ω（x-）+]=sin（ωx-ω+）的图象，∵所得的图象与原函数图象关于x轴对称，∴sin（ωx-ω+）=-sin（ωx+）=sin（ωx++π），∴-ω+=+π+2kπ，k∈Z，解得ω=-6k-3，∴当k=-1时，ω取最小正数3，故选：D．由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得ω的方程，解方程给k取值可得．本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题．5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中，，令2n-2r=2，r=n-1，则22C2n n-1=224，∴C2n n-1=56．∴n=4．再令8-2r=-2，∴r=5．，则为第6项．∴．则的系数是14．故选：A．首先分析题目已知在的展开式中，x2的系数是224，求的系数，首先求出在的展开式中的通项，然后根据x2的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出系数即可得到答案．此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．同学们需要很好的掌握．6.【答案】A【解析】解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外接球半径为．所以表面积为8π．故选：C．由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为．本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题．9.【答案】A【解析】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故选：A．利用“调日法”进行计算，即可得出结论．本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．10.【答案】D【解析】解：假设A在第一象限，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=3|BF|，∴|AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|=m，则|BC|=2m，|AF|=3m，|AB|=4m，即|AC|===m=2m，则tan∠ABC===，即直线AB的斜率k=故选：D．根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即log a（a x+1）-bx=log a（a-x+1）+bx，∴log a（a x+1）-bx=log a（a x+1）+（b-1）x，∴-b=b-1，∴b=，∴f（x）=log a（a-x+1）+x，函数为增函数，∵a+＞2=，∴f（a+）＞f（）．故选：C．利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|xe x+1|=，当x≥0时，f′（x）=e x+1+xe x+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=-e x+1-xe x+1=-e x+1（x+1），由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x+1|的极大值为f（-1）=|（-1）e0|=1，极小值为：f（0）=0，令f（x）=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sinα，m1•m2=cosα，此时若sinα＞0，则当m1＜0，且m2＜0，此时方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0至多有两个实根，若sinα＜0，则当m1＞0，且m2＞0，要使方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根，则方程m2+2sinαm+cosα=0应有两个不等根，且一个根在（0，1）内，一个根在（1，+∞）内，再令g（m）=m2+2sinαm+cosα，因为g（0）=cosα＞0，①△=4sin2α-4cosα＞0，则1-cos2α-cosα＞0，②则只需g（1）＜0，即1+2sinα+cosα＜0，所以0＜cosα＜-1-2sinα，③由①②解得：0＜cosα＜，④由③④得到：sinα＜，＜cosα＜，所以sinα-cosα＜-=-，∴λ≤-．故选：A．函数f（x）=|xe x+1|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解α的取值范围．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．13.【答案】-4【解析】解：∵sinθ+cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=-．则tan=．故答案为：-4．把已知等式两边平方可得sinθcosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．14.【答案】π6【解析】解：∵在方向上的投影为3，且||==2，•=3+m；∴||×cosθ=||×==3；解得m=，∴||=2；∴cosθ==，由θ∈[0，π]，∴、的夹角θ为．故答案为：．根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m的值，再计算、的夹角θ的值．本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．15.【答案】2-3√3π【解析】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影=12×（×πR2-×R2×sin60°）=（2π-3）R2，又圆的面积为S圆=πR2，利用几何概型的概率公式计算所求的概率为P===2-．故答案为：．由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．16.【答案】666【解析】解：设数列{a n}为公差d的等差数列，a1cos+a2cos+a3cosπ+a4cos+a5cos+a6cos2π=（a1-a2）+（a5-a4）-a3+a6=-a3+a6．…．由S2017=5710，S2018=4030，可得5710=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017，4030=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017-a2018，两式相减可得a2018=3360，由5710=1008d+（3360-d），解得d=4，则a n=a2018+（n-2018）×4=4n-4712，可得S2019=4030-a2019=4030-（4×2019-4712）=666．故答案为：666．求得数列{b n}的前6项之和，再由S2017=5710，S2018=4030，表示数列{a n}的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和．本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=53sinA，…（3分）即sinB(sin2A+cos2A)=53sinA，故sinB=53sinA，所以ba=53．…（6分）（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是c2=a2+85b2=9t2+85⋅25t2=49t2．即c=7t．…（9分）由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =9t2+25t2−49t22⋅3t⋅5t=−12．所以C=2π3．…（12分）【解析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴BC ∥EF ，又EF ⊂平面EFA ，BC 不包含于平面EFA ， ∴BC ∥面EFA ，又BC ⊂面ABC ，面EFA ∩面ABC =l ， ∴BC ∥l ，又BC ⊥AC ，面PAC ∩面ABC =AC ， 面PAC ⊥面ABC ，∴BC ⊥面PAC ， ∴l ⊥面PAC ．（2）解：以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，A （2，0，0），B （0，4，0），P （1，0，√3）， E （12，0，√32），F （12，2，√32），AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，0，√32)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)， 设Q （2，y ，0），面AEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−32x +√32z =0EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2y =0，取z =√3，得m ⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，y ，−√3)， |cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|2y2√4+y 2|=|y|√4+y 2， |cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|=|1−32√4+y 2|=1√4+y 2，依题意，得|cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|， ∴y =±1． ∴直线l 上存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余，|AQ |=1． 【解析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC ∥面EFA ，从而得到BC ∥l ，再由已知条件推导出BC ⊥面PAC ，由此证明l ⊥面PAC ．（2）以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.【答案】解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=（0.0008+0.0022）×100=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：P（X=0）+P（X=1）=C30(0.3)0(0.7)3+C31(0.3)(0.7)2=0.784．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6，L∈（500，700]的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1，当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，则X的所有可能取值为20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1，∴X的分布列为：X 20 35 50P 0.3 0.6 0.1∴E（X）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32（元）．当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y元，则Y的可能取值为30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1，∴Y的分布列为：Y 30 45P 0.9 0.1E（Y）=30×0.9+45×0.1=31.5，当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，则Z的所有可能取值为38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38，∵E（Y）＜E（X）＜E（Z），∴学校订购B套餐最经济．【解析】（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L ∈（300，500]的概率为0.6，L ∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B 套餐最经济．本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题． 20.【答案】（1）解：由已知设点P 的坐标为（x ，y ），由题意知yx+√3⋅yx−√3=−23（x ≠±√3），化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1（x ≠±√3）…（5分）（2）证明：由题意M ，N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ， 则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP k BP =-23． 因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM k ON =-23…（6分） 设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得（3+2m 2）y 2+4mty +2t 2-6=0…①，…（7分）设M ，N 的坐标分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=-4mt3+2m 2，y 1y 2=2t 2−63+2m 2…（8分）所以k OM k ON =2t 2−63t 2−6m2=-23，得2t 2=2m 2+3…（10分） 又S △MON =12|t ||y 1-y 2|=2√6|t|√t 24t2=√62， 即△MON 的面积为定值√62…（12分）【解析】（1）由题意知（x），可求P 的轨迹方程；（2）设直线MN 的方程为x=my+t ，代入椭圆方程，利用k OM k ON ==-，得2t 2=2m 2+3，即可证明结论．本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题． 21.【答案】解：（I ）g ′（x ）=a +32x 2+2（cos x -x sinx ），函数g （x ）在x =0处的切线与x 轴平行，则g ′（0）=a +2=0， 得a =-2．（II ）证明：①当x ∈[0，1）时，（1+x ）e -2x ≥1-x ⇔（1+x ）e -x ≥（1-x ）e x ， 令h （x ）=（1+x ）e -x -（1-x ）e x ，则h ′（x ）=x （e x -e -x ）． 当x ∈[0，1）时，h ′（x ）≥0，∴h （x ）在[0，1）上是增函数， ∴h （x ）≥h （0）=0，即f （x ）≥1-x ．②当x ∈[0，1）时，f （x ）≤11+x ⇔e x ≥1+x ，令u （x ）=e x -1-x ，则u ′（x ）=e x -1． 当x ∈[0，1）时，u ′（x ）≥0，∴u （x ）在[0，1）单调递增，∴u （x ）≥u （0）=0， ∴f （x ）≤11+x ，综上可知：1-x ≤f （x ）≤11+x ；（Ⅲ）解：设G （x ）=f （x ）-g （x ）=（1+x ）e -2x -（ax +12x 3+1+2x cosx ） ≥1-x -ax -1-12x 3-2x cosx=-x （a +1+x 22+2cos x ）．令H （x ）=x 22+2cos x ，则H ′（x ）=x -2sin x ，令K （x ）=x -2sin x ，则K ′（x ）=1-2cos x ． 当x ∈[0，1）时，K ′（x ）＜0， 可得H ′（x ）是[0，1）上的减函数，∴H ′（x ）≤H ′（0）=0，故H （x ）在[0，1）单调递减， ∴H （x ）≤H （0）=2．∴a +1+H （x ）≤a +3． ∴当a ≤-3时，f （x ）≥g （x ）在[0，1）上恒成立．下面证明当a ＞-3时，f （x ）≥g （x ）在[0，1）上不恒成立． f （x ）-g （x ）≤11+x -（1+ax +12x 3+2x cosx ）=-x （11+x +a +x 22+2cos x ）．令v （x ）=11+x +a +x 22+2cos x =11+x +a +H （x ），则v ′（x ）=−1(1+x)2+H ′（x ）．当x ∈[0，1）时，v ′（x ）≤0，故v （x ）在[0，1）上是减函数， ∴v （x ）∈（a +1+2cos1，a +3]． 当a ＞-3时，a +3＞0．∴存在x 0∈（0，1），使得v （x 0）＞0，此时，f （x 0）＜g （x 0）． 即f （x ）≥g （x ）在[0，1）不恒成立． 综上实数a 的取值范围是（-∞，-3]． 【解析】（I ）求出函数的导数，得到关于a 的方程，求出a 的值即可；（Ⅱ）①当x ∈[0，1）时，（1+x ）e -2x ≥1-x ⇔（1+x ）e -x ≥（1-x ）e x ，令h （x ）=（1+x ）e -x -（1-x ）e x ，利用导数得到h （x ）的单调性即可证明； ②当x ∈[0，1）时，f （x ）≤⇔e x ≥1+x ，令u （x ）=e x -1-x ，利用导数得出h （x ）的单调性即可证明．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得到f （x ）≥1-x ，于是G （x ）=f （x ）-g （x ）≥-x （a+1++2cosx ）．再令H （x ）=+2cosx ，通过多次求导得出其单调性即可求出a 的取值范围．本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力． 22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程为{y =2sinϕx=2+2cosϕ（φ为参数），消去参数得曲线C 1的普通方程为（x -2）2+y 2=4． ∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ， ∴ρ2=4ρsinθ，∴C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ，整理，得x 2+（y -2）2=4． （Ⅱ）曲线C 1：（x -2）2+y 2=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ， 设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），∵曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点， 点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=4√2， ∴|AB |=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4√2|sin （α−π4）|=4√2， ∴sin （α−π4）=±1， ∵0＜α＜π，∴−π4＜α＜3π4，∴α−π4=π2，解得α=3π4．【解析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C 2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C 1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin （）|=4，进而sin （）=±1，由此能求出结果． 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a =1时，f （x ）＜4，即为2|x +1|+|x -1|＜4，当x≥1时，2（x+1）+x-1＜4，解得x∈∅；当x≤-1时，-2（x+1）+1-x＜4，解得-53＜x≤-1；当-1＜x＜1时，2x+2+1-x＜4，解得-1＜x＜1；则原不等式的解集为（-53，1）；（2）函数g（x）=f（x）+f（-x）=2|x+a|+|x-1a|+2|x-a|+|x+1a|≥2|x+a-x+a|+|x-1a-x-1a|=4|a|+|2a|≥2√4|a|⋅2|a|=4√2，当且仅当（x+a）（x-a）≤0，且（x-1a）（x+1a）≤0，且4|a|=|2a|时，取得等号，则g（x）的最小值为4√2．【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
广东省梅州市2019届高三总复习质检理科数学试题(解析版)
广东省梅州市高三总复习质检试题（2019、3）理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，8，10，12，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】正确理解集合A，根据集合的交集运算，即可求解。
【详解】由题意，集合，8，10，12，，，集合中元素的个数为2．故选：A．【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知复数满足，则（）A. B. 5 C. D. 10【答案】C【解析】分析：将化为，然后进行化简即可得到z=a+bi的形式，再有模长公式计算即可。
详解：故选C点睛：本题主要考查复数的运算和复数的模长。
3.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．4.等差数列的前n项和为，且满足，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】试题分析：由等差数通项公式和前项和公式,又,可得，解得.故本题答案选A.考点：等差数列的通项公式和前和公式.5.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．6.如图在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取为基底，则，∴．故选C．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．7.若变量满足约束条件则的最小值等于（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）．故选：A．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点，点落在深色区域内的概率为若在一个显示数字0的显示池中随机取一点，则点落在深色区域的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设全等矩形“显示池”的面积为S，每一个深色区域的面积为x，运用几何概率的公式，计算可得所求值．【详解】设全等矩形“显示池”的面积为S，每一个深色区域的面积为x，则，可得，即有点B落在深色区域内的概率为，故选：D．本题考查【点睛】本题主要考查了几何概率的应用题，注意运用面积这个测度，考查运算能力和题目的理解能力，属于基础题.9.已知双曲线一个焦点为，且到双曲线的渐近线的距离为1，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得要求双曲线的焦点在x轴上，且，设双曲线的方程为双曲线C：，求出其渐近线方程为，又由点F到渐近线的距离为1，则有，解可得b的值，计算可得a的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案．【详解】根据题意，要求双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且，设双曲线C：其渐近线方程为，即，若点F到渐近线的距离为1，则有有，解可得，则，则要求双曲线的方程为：；故选：B．【点睛】本题考查了双曲线的标准方程的求解，以及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理准确运算是解答的关键，同时属于双曲线的焦点的位置，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
广东梅州2019高三3月总练习质检试题-数学理
广东梅州2019高三3月总练习质检试题-数学理数学理试题〔2018.3〕【一】选择题〔40分〕1、设i 是虚数单位，复数1i i+对应的点在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、设集合A ＝{x|x 2－2x －3＜0，x ∈R}，集合B ＝{－2,2}，那么A ∩B 为A 、〔－1,2〕B 、〔－2,－1〕C 、〔－2,3〕D 、〔－2,2〕3、以下函数中，在〔0，＋∞〕上单调递增的偶函数是A 、y ＝cosxB 、y ＝x 3C 、y 212log x=D 、y=x x e e -+4、如图是一个几何体的三视图，假设它的体积是，那么a＝AB、CD5、某程序框图如右图所示，假设输出的S ＝57，那么判断框内填A 、k ＞4？B 、k ＞5？C 、k ＞6？D 、k ＞7？6、函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A 、4x π=-B 、2x π=-C 、8x π=D 、4x π=7、如下图2X2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字能够是1、2、3、4中的任何一个，同意重复，那么填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为A 、12B 、14C 、34D 、388、假设不等式2222()x xy a x y +≤+关于一切正数x ，y 恒成立，那么实数a 的最小值为A 、2B、32D【二】填空题〔30分〕〔一〕必做题〔9－13题〕9、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条近线的夹角为3π，那么双曲线的离心率为＿＿＿ 10、在2018年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是： 3.240y x =-+，且m ＋n ＝20，那么其中的n ＝＿＿＿＿ 11、92)x-展开式中的常数项为＿＿＿＿ 12、设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩恒谦那么z ＝x ＋y －3的最小值为＿＿＿＿13、设函数f 〔x 〕的定义域为D ，假设存在非零实数l 使得关于任意x ∈M 〔M ⊆D 〕，有x ＋l ∈D ，且f 〔x ＋l 〕≥f 〔x 〕，那么称f 〔x 〕为M 上的l 高调函数，假如定义域为R 的函数f 〔x 〕是奇函数，当x ≥0时，f 〔x 〕＝22||x a a --，且f 〔x 〕为R 上的8高调函数，那么实数a 的取值范围是＿＿＿＿〔二〕选做题〔14、15题中选做一题〕14、〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线sin()6πρθ+＝3的距离的最小值是＿＿＿＿15、〔几何证明选讲选做题〕如图⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，且∠CPA ＝30°，那么BP ＝＿＿＿＿cm【三】解答题〔80分〕16、〔本小题总分值12分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c21cos cos 2C C C -=。
2019年梅州市高三理科数学参考答案(一检)
梅州市高三总复习质检试题（2019、3）理科数学参考答案与评分意见一、选择题(每小题5分,共60分)二、填空题(每小题5分,共20分) 13.117 14. x y 42= 15.83π16.24 三、解答题(共70分) 17.(本小题满分12分)解:(1)∵90=∠DAC ,∴sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠,.322cos =∠∴BAD ...................2分 在ABD ∆中,由余弦定理得,2222cos =+-⋅⋅∠BD AB AD AB AD BAD , ...................4分 即,332232329182=⨯⨯⨯-+=BD 得.3=BD ...................6分(2) 由cos BAD ∠=得1sin 3BAD ∠=, ...................8分在ABD ∆中,由正弦定理,得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠.∴.3633123sin sin =⨯=∠=∠BD BAD AB ADB ...................10分 ∵2ADB DAC C C π∠=∠+=+,∴cos C =分18.(本小题满分12分)(1)证明:22,AD AB E ==是AD 的中点,,BAE CDE ∴是等腰直角三角形,....................1分90,BEC ∴∠=即BE EC ⊥. ....................2分又∵平面D EC '⊥平面BEC , 平面D EC'平面BEC EC =,BE ⊂平面BEC ,.......4分BE ∴⊥平面D EC ', .................5分CD '⊂平面D EC ',.BE CD '∴⊥ ..................6分(2)解:法一:如图,分别以,EB EC 所在直线为x 轴,y 轴,过点E 且垂直于平面BEC 的直线为z 轴, 建立空间直角坐标系. ....................7分 则由已知及(1)可得,).22,22,0(),0,2,0(),0,0,2(D C B '......8分(BC =(0,22D C '=-.....................9分 设平面D BC '的一个法向量为1(,,)n x y z =,110,0n BC n D C ⎧⋅=⎪∴⎨'⋅=⎪⎩即0022y z ⎧+=-=⎪⎩, 令1,x =得1,y z ==则1(1,1,1)n =, ....................10分 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =.....................11分设二面角D BC E '--为,(0,),2πθθ∈则1212123cos cos ,3n n n n n n θ⋅=<>==.....................12分 ∴二面角D BC E '--.解法二:(参考解法一给分)设M 是线段EC 的中点,过点M 作,MF BC ⊥垂足为F , 连接,,D M D F ''如图,∴'=',C D E D D M EC '⊥, ∵平面D EC '⊥平面BEC ,平面D EC '平面BEC EC =,D M '⊂平面D EC ',∴D M '⊥平面BEC ,∴MF 是D F '在平面BEC 上的射影.由三垂线定理,得D F BC'⊥,则D FM'∠是二面角D BC E'--的平面角.在Rt D MF'中,111,222D M EC MF AB'====则D F'== cosMFD FMD F'∴∠=='.∴二面角D BC E'--的余弦值为3.19.(本小题满分12分)A餐厅“满意度指数”X的分布列为：B餐厅“满意度指数”Y 的分布列为：因为()00.210.420.4 1.2=⨯+⨯+⨯=E X ;()00.110.5520.35 1.25=⨯+⨯+⨯=E Y .所以()()<E X E Y ，会选择B 餐厅用餐. ......................12分（本题答案不唯一，只要考生言之合理即可）20.(本小题满分12分)解:(1)由已知,得1,2c b a ==,.................1分 又,222a c b =+224,3a b ∴==. ..................3分∴椭圆C 的标准方程为221.43x y +=..................4分 (2)由(1),得1(1,0),F -),0,1(2F 如图. 2121,,//F F l l 关于原点中心对称,所以21,l l 关于原点中心对称, ..................5分又椭圆是关于原点中心对称图形，所以M 和P 、N 和Q 关于原点中心对称,∴四边形MNPQ 是平行四边形. (或证||||PQ MN =) ..................6分易知直线MN 不能平行于x 轴,故设直线MN 的方程为1x my =-,1122(,),(,)M x y N x y ,联立方程221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩..................7分 得22(34)690m y my +--=.. ..................8分若MNPQ 是菱形,则OM ON ⊥, ..................9分 即0OM ON ⋅=,即12120x x y y +=. ..................10分又212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =--=-++21212(1)()10m y y m y y ∴+-++=,即22125034m m --=+...................11分 21250,m ∴+=而上述关于m 的方程显然没有实数解,故四边形MNPQ 不可能是菱形. ..................12分 21.(本小题满分12分)解:(1)由于()22ln 2f x x mx x =-+的定义域为()0,+∞,则()()221'x mx f x x-+=. ...............1分对于方程210x mx -+=,其判别式24m ∆=-.当240m -≤,即02m <≤时, ()'0f x ≥恒成立,故()f x 在()0,+∞内单调递增.................2分当240m ->,即2m >时,方程210x mx -+=恰有两个不相等实数根2m x =,令()'0f x >,得0x <<或x >,此时()f x 单调递增; .................3分令()'0f x <,x <<此时()f x 单调递减..................4分 综上所述,当02m <≤时, ()f x 在()0,+∞内单调递增；当2m >时, ()f x 在⎝⎭内单调递减,在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增. .................5分 （2）由（1）知, ()()221'x mx f x x-+=,所以()'f x 的图象与x 轴的两个交点的横坐标1x , 2x 即为方程210x mx -+=的两根.因为m ≥,所以240m ∆=->, 12x x m +=, 121x x =..................6分 又因为1x , 2x 为()2ln h x x cx bx =--的零点,所以2111ln 0x cx bx --=, ,0ln 2222=--bx cx x两式相减得()()()11212122ln 0xc x x x x b x x x --+--=,得()121212lnx x b c x x x x =-+-..................7分而()1'2h x cx b x=--, 所以()()120'x x h x -= ()120012x x cx b x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭()()()121212121212ln 2x x x x c x x c x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥--+-+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1211222ln x x x x x x -=-=+ 12112212ln 1x x x x x x -⋅-+. .................8分 令12(01)x t t x =<<,由()2212x x m +=，得22212122x x x x m ++=,因为121x x =,两边同时除以12x x ,得212t m t++=,.................9分因为m ≥,故152t t +≥,解得102t <≤或2t ≥,所以102t <≤..................10分 设()12ln 1t G t t t -=⋅-+,所以()()()221'01t G t t t --=<+,则()y G t =在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数,..............11分 所以()min 12ln223G t G ⎛⎫==-+⎪⎝⎭,即()()120'y x x h x =-的最小值为2ln23-+. .................12分 所以()()1202'ln23x x h x -≥-+.选做题(本小题满分10分)22.解:(1)由4cos ρθ=,得24cos ρρθ=,即224,x y x += .................2分 故圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆22:(2)4C x y -+=,并整理得20t +=, .................3分解得120,t t ==..................4分所以直线l 被圆C截得的弦长为12t t -=.................5分(2)直线l 的普通方程为40x y --=,圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).................6分设圆C 上的动点(22cos ,2sin ),P θθ+ 则点P 到直线l的距离2cos()4d πθ==+..................8分 当cos()14πθ+=-时,d取得最大值2+. .................9分1(222ABPS∴≤⋅=+即ABP的面积的最大值为2+. .................10分 (其他解法参考给分)23.解:(1)由题可知,341,23()22235,1241,1x x f x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩, .................2分当32x ≤-时,由4115,x --<解得4,x >-即342x -<≤-； .................3分 当312x -<<时,515<恒成立,即312x -<<； .................4分当1x ≥时,由4115x +<,解得72x <,即712x ≤<...................5分综上,解集为7(4,)2-.(2)由2()f x a x x ≥-+恒成立,得22223a x x x x ≤-+++-恒成立. .................6分2223(22)(23)5,x x x x -++≥--+=.................7分当且仅当(22)(23)0x x -+≤,即312x -≤≤时等号成立, .................8分 且22111(),244x x x-=--≥-当且仅当12x =时等号成立,而13[,1]22∈-,.................9分 21222354x x x x ∴-+++-≥-=19.4a ∴≤。
广东梅县华侨中学高三第三次月考试题数学(理科).doc
梅县华侨中学201X 届高三第三次月考试题数学(理科)命题:张永新 审题:张永新 2009.11.一、选择题：(每小题5分, 共40分)1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则（ ） A ．M ∩N = { 4，6 }B ．M ∪N = UC ．(C u N )∪M = UD ．(C u M )∩N = N2. 曲线13-=x y 在1=x 处的切线方程为（ ）A. 22-=x yB. 33-=x yC.1=yD.1=x3. 已知2log 3a =，0.78b -=，16sin5c π=，则,,a b c 的大小关系是 （ ） .A a b c >> .B a c b >> .C b a c >> .D c b a>>4. 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-5. 曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．29B ．19 C ．13D ．236. 设命题23:|23|1,:12x p x q x --<≤-，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数0x 是方程()0f x =的解，且100x x <<，则()1f x 的值为 （ ）A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于08.若函数2()23f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、13a <B 、13a ≤C 、 13a >D 、13a ≥二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一) 必做题 (9～13题)9.若log 2(a +2)=2，则3a = ． 10. 若axdx =1⎰，则实数a 的值是_________.11．函数11--+=x x y 的最大值是 _.12. 函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .13. 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . (二) 选做题 (14～15题，任选一题) 14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 15. (几何证明选讲选做题)如图,已知圆O 的半径为2，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线圆心O 到AC 3AB =，则切线AD 的长为__ _.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
广东梅州中学2019高三下学期第三次重点考试-数学(理)
广东梅州中学2019高三下学期第三次重点考试-数学（理）【一】选择题：此题共8小题，每题5分，总分值40分，每题只有一个答案是正确的.1、02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，那么z 的取值范围是〔 〕 A 、(15)，B 、(13)，C、D、2、记等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，假设112a =，420S =，那么6S =〔 〕A 、16B 、24C 、36D 、483、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1，在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19、现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔 〕A 、24B 、18C 、16D 、12 表14、假设变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥那么32z x y =+的最大值是〔 〕A 、90B 、80C 、70D 、405、将正三棱柱截去三个角〔如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点〕得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图〔或称左视图〕为〔 〕中为真命题的是〔〕A 、()p q ⌝∨B 、p q ∧C 、()()p q ⌝∧⌝D 、()()p q ⌝∨⌝7、设a ∈R ，假设函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，那么〔〕A 、3a >-B 、3a <-C 、13a >- D 、13a <-8、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的 延长线与CD 交于点F 、假设AC =a ，BD =b ，那么AF =〔〕A 、1142+a b B 、2133+a b C 、1124+a b D 、1233+a b【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分、一年级 二年级 三年级女生 373 x y 男生 377 370 zE FDIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．图3〔一〕必做题〔9~12题〕9、阅读图3的程序框图，假设输入4m =，6n =， 那么输出a =，i =.10、26(1)kx +〔k 是正整数〕的展开式中，8x 的系数 小于120，那么k =、11、通过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是、12、函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，那么()f x 的最小正周期是、13.设，上的偶函数，对任意的是定义在R x R x f ∈)(都有 ，时，，且当12)(]2,0[)4()(-=∈+=x x f x x f x f 那么方程的实数根的个数为0)2(log )(2=+-x x f .〔二〕选做题〔14—15题，考生只能从中选一题〕 14、〔坐标系与参数方程选做题〕曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤ 那么曲线1C 与2C 交点的极坐标为、15、〔几何证明选讲选做题〕PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =、AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，那么圆O 的半径R =、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写必要的出文字说明，证明过程或演算步骤、 16、〔本小题总分值13分〕函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最 大值是1，其图像通过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值、17、〔本小题总分值13分〕随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件、生产1件【一】【二】三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元、设1件产品的利润〔单位：万元〕为ξ、〔1〕求ξ的分布列；〔2〕求1件产品的平均利润〔即ξ的数学期望〕；〔3〕经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%、假如如今要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，那么三等品率最多是多少？图418、〔本小题总分值14分〕设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-、如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，抛物线在点G 的切线通过椭圆的右焦点1F 、〔1〕求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； 〔2〕设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？假设存在，请指出共有几个如此的点？并说明理由〔不必具体求出这些点的坐标〕、 19、〔本小题总分值14分〕设k ∈R ，函数11()x xf x ⎧⎪-=⎨⎪⎩，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性、20、〔本小题总分值14分〕如图5所示，四棱锥P -为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD垂直底面ABCD ，PD =，E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DF EB FC=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G 、 〔1〕求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；〔2〕证明：EFG △是直角三角形； 〔3〕当12PE EB =时，求EFG △的面积、21、〔本小题总分值12分〕设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-〔34n =，，…〕、 〔1〕证明：p αβ+=，q αβ=；〔2〕求数列{}nx 的通项公式；〔3〕假设1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S 、 梅州中学2018年届理科数学热身题答案【一】CDCCADBBF C P GE A B图5D图417.【解析】ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ===20(1)0.1200P ξ===，4(2)0.02200P ξ=-== 故ξ的分布列为：ξ 6 2 1 -2P 0.630.250.10.02〔2〕60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=〔3〕设技术革新后的三等品率为x ，那么如今1件产品的平均利润为 ()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤因此三等品率最多为3% 18.【解析】〔1〕由28()x y b =-得218y x b =+，当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x=，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ， 2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；19.【解析】1,1,1()(),1,kx x xF x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪-≥⎪⎩关于1()(1)1F x kx x x=-<-， 当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数； 当0k >时，函数()F x在(,1-∞上是减函数，在(1-上是增函数；关于()(1)F x k x =≥， 当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。
广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理科数学试题(教师版)
广东省2019年5月梅州市高三总复习质检试卷理科数学一、选择题。
1.设，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合A,再求.【详解】由得：，所以，因此，故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.2.若复数满足，则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，先用复数的运算求得z，再求得的共轭复数.【详解】由题可得，即的共轭复数故选D【点睛】本题考查了复数的运算以及共轭复数，属于基础题.3.设角的终边过点，则（）A. B. C. 5 D.【答案】A【解析】∵角的终边过点，∴，则，故选A.4.中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 6B. 5C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】有茎叶图，找出获得“诗词能手”的称号的学生人数，求得概率，再利用分层抽样求得答案.【详解】由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人，所以获得“诗词能手”的称号的概率为：所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为：故选C【点睛】本题考查了茎叶图以及分层抽样，属于基础题.5.若中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先离心率公式求得的值，再利用渐近线公式求得结果.【详解】由题，双曲线的离心率为，即又因为双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：故选D【点睛】本题考查了双曲线的性质，熟记离心率和渐近线公式是解题的关键所在，属于较为基础题.6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中的近似计算，容易题.【此处有视频，请去附件查看】7.函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B．考点：函数的奇偶性及函数的图象．8.已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（）A. 是偶函数且它的图象关于点对称B. 是奇函数且它的图象关于点对称C. 是偶函数且它的图象关于点对称D. 是奇函数且它的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】由题，先化简，然后根据在处取得最小值，求得a、b的关系，求得的解析式，可得答案. 【详解】由题，因为在处取得最小值，即所以即=分析答案，为偶函数且图像关于点对称故选C【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，解题的关键是利用辅助角和性质求得a、b的关系，属于中档题型.9.已知是抛物线上的一动点，则点到直线和抛物线的准线的距离之和的最小值是（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得抛物线的焦点，根据抛物线的定义，将提问转化成点F到直线的距离，根据距离公式求得结果. 【详解】由题，抛物线的焦点F(1,0),根据抛物线的定义点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，所以点到直线和抛物线的准线的距离之和，也就是到直线和PF的长度，点F(1,0)到直线的距离所以P到直线和PF的长度最小值为故选A【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，掌握熟练运用抛物线的定义是解题的关键，属于中档题.10.如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分.已知数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，分别求出，然后求得再求得分析可得结果.【详解】因为，同理可得：所以所以当n为奇数时，当n为偶数时所以=故选D【点睛】本题考查了数列的综合，解得的值和分析观察是解题的关键，属于较难题.11.已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示,恒过定点,过与函数图像上点连线与函数图像有三个交点,设过点直线与函数图像相切于点,由 ,切线方程为,过点代入可得 ,又得,所以 ,那么 .由图像观察知当直线绕定点逆时针转动时,与函数会出现四个交点,出现四个交点的斜率范围,即.此时函数，若方程恰有四个不相等的实数根.故本题答案选A.点睛：本题主要考查函数性质,利用数形结合的方法求参数取值.书籍函数有零点(方程有根),求参数取值常用以下方法(1)直接法:直接根据题目所给的条件,找出参数所需要满足的不等式,通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离成参数与未知量的等式,将含未知量的等式转化成函数,利用求函数的值域问题来解决;(3)数形结合法:先对解析变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后结合图像求解.12.设是半径为2 的球面上的四点，且满足，则三个三角形的面积之和的最大值是（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】由题分析可得四面体ABCD的外接球也就是以AB、AC、AD作为长宽高的长方体的外接球，得到，再表示出面积利用基本不等式可得结果.【详解】设AB=a，AC=b，AD=c，由题AB、AC、AD是两两垂直；所以四面体ABCD的外接球也就是以AB、AC、AD作为长宽高的长方体的外接球，所以=故答案为8【点睛】本题考查了几何体的外接球和基本不等式的应用，属于小综合题型，解题的关键字找到几何体的外接球与几何体的关系，属于较难题型.二、填空题.13.已知向量，则在方向上的投影为______．【答案】【解析】在方向上的投影为14.在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为______．【答案】0.19【解析】【分析】先分别求得水中有草履虫a为事件A和有草履虫b为事件B的概率，再求得水中发现草履虫为事件A+B的概率，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)求得结果.【详解】记取出的水中有草履虫a为事件A，取出的水中有草履虫b为事件B，则P(A)=0.1,P(B)=0.1则取出取水水中发现草履虫为事件A+B，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.19故答案为0.19【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率，属于较为基础题.15.若，则______．【答案】【解析】【分析】由题，求得，再令可得0=，即可得到答案.【详解】在中，令可得再令可得0=所以=故答案为-1【点睛】本题考查了二项式定理，熟悉公式是解题的关键，属于中档题.16.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．【答案】18【解析】【分析】画出图像，由题易知可得，再利用基本不等式可得答案.【详解】如图：因为可得即，所以所以当且仅当时取等号.故答案为18【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形和基本不等式的应用，熟练公式是解题的关键，属于中档题.三、解答题.17.已知数列满足.（1）求和的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）将n=1和n=2带入求得，由题写出（），与原式相减可得，检验n=1满足可得答案；（2）求得数列的通项公式，由题易知当时,取得最大值,可得答案.【详解】解:(1)由题意得，所以得由,所以（），相减得，得也满足上式.所以的通项公式为.(2)数列的通项公式为是以为首项,公差为的等差数列,若对任意的正整数恒成立，等价于当时,取得最大值,所以解得所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了数列的综合，懂得求通项公式是解题的关键，属于中档题.18.如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面.（1）求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)由题意，易证得和，得证；（2）如图的空间直角坐标系，分别求得平面平面的法向量，然后利用二面角公式求得结果. 【详解】(1)证明:平面平面,又是正方形,平面;(2)由(1)平面平面过作则有以为原点,分别以为坐标轴,建立如图的空间直角坐标系. 设可得则设平面的一个法向量为则有令设平面的一个法向量为令所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查了立体几何的综合，包括线面垂直和利用空间向量求二面角，熟悉线面垂直的判定定理以及法向量的求法是解题的关键，属于较为基础题19.随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客，提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2019双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见下表）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型模拟拟合参与人数（百万人）与年份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数；（2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：①求这2000为参与人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；②假设所有参与该商品促销活动人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均值和样本方差估值.若预计2019年双十一该商品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价.参考公式即数据（i）回归方程：，其中，（ii ），（iii）若随机变量服从正态分布，则，【解析】【分析】（1）分别求得和，求得回归方程，再取求得预测值；（2）分别利用表中数据求得的平均值和样本方差，再利用正态分布求得，求得，从而预测出最低价. 【详解】解:(1)由题意,得,回归直线方程为又当时,.所以预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万.(2)①由表中的数据,得样本方差②由①可知,且, 则,又所以该商品的最低成交价为4.8千元. 【点睛】本题考查了线性回归方程，以及正态分布的综合应用，属于中档题型，合理理解题意是解题的关键.20.已知过定点的动圆是与圆相内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题易知，可得为定值，利用椭圆的定义求得结果；(2)设所在直线方程为椭圆联立，表示出AB的长度和到直线的距离，求得的面积，再由题k与b的关系，可得答案.【详解】解:(1)圆的圆心为,半径为,设圆的半径为,由题意知点在圆内.可得所以点的轨迹是以,为焦点,长轴长为的椭圆,得所以动圆圆心的轨迹方程为(2)显然不与轴垂直,设所在直线方程为可得可得……①设,则是方程①的两不相等的实根,得得又点到直线的距离所以的面积由题意知,得又代入上式得得(也可直接用垂直平分线过点得到关系)当时,当时,有最大值当时,当时,有最大值所以面积的最大值为【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，熟悉椭圆性质和定义以及数量直线与圆锥曲线的解题步骤是解题的关键，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理； （3）转化，由题已知转化为数学公式； （4）计算，细心计算.21.已知函数，其中为自然对数的底数，.（1）当时，求的极值；（2）若存在实数，使得，且，求证：【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】 【分析】（1）求导，讨论其单调性，求其极值即可; （2）求导，对a 进行讨论，求其单调性，得到的范围，再利用函数的单调性和最值可证得所求的范围即可.【详解】解:(1)当时, 得.当时, 当时,所以当时,单调递减, 当时,单调递增,可得当时, 有极小值(2)由(1)当时, 此时单调递增,若,可得,与矛盾;当时, 由(1) 知当时,单调递减, 当时,单调递增,同理不存在或，使得;不妨设,则有因为时,单调递减, 当时,单调递增,且,所以当时,由且,可得,故,又在单调递减,且所以,所以.同理即解得综上所述,命题得证.【点睛】本题考查了导函数的应用，熟悉导函数的应用，单调性极值最值是解题的关键，属于较难题.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）若曲线上的两点满足，过作交于点，求证：点在以为圆心的定圆上. 【答案】(1) 普通方程为.极坐标方程为. (2)见证明【解析】【分析】（1）将参数带入参数方程，求得a、b的值，可得其普通方程和极坐标方程；（2）设，,带入极坐标方程，再用等面积法，可得OM的定值，得证.【详解】解:（1）将及对应的参数，代入，（，为参数），得,得.∴曲线的普通方程为.由代入上式得曲线的极坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为，由题意可设，,代入曲线的极坐标方程,得，,∴.由得所以点在以为圆心,半径为的圆上.【点睛】本题考查了极坐标与参数方程，熟悉公式是解题的关键，属于基础题.23.已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为非空集合，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用分类整合思想分类建立不等式组求解；（2）借助题设运用绝对值不等式的性质及分类整合思想求解.试题解析：（1）当，不等式，即为，不等式等价于或或可得或或．所以不等式的解集为．（2）由，得，即，设如图，，，，故由题意可知或，即的取值范围为．考点：绝对值不等式的性质及分类整合数学思想等有关知识的综合运用.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东梅县华侨中学2019届高三第三次抽考试题数学(理科)命题:张永新 审题:张永新 2009.11.一、选择题：(每小题5分, 共40分)1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则（ ） A ．M ∩N = { 4，6 }B ．M ∪N = UC ．(C u N )∪M = UD ．(C u M )∩N = N2. 曲线13-=x y 在1=x 处的切线方程为（ ）A. 22-=x yB. 33-=x yC.1=yD.1=x3. 已知2log 3a =，0.78b -=，16sin5c π=，则,,a b c 的大小关系是 （ ） .A a b c >> .B a c b >> .C b a c >> .D c b a >>4. 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-5. 曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．29B ．19 C ．13D ．236. 设命题23:|23|1,:12x p x q x --<≤-，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数0x 是方程()0f x =的解，且100x x <<，则()1f x 的值为 （ ）A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于08.若函数2()23f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、13a <B 、13a ≤C 、 13a >D 、13a ≥二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一) 必做题 (9～13题)9.若log 2(a +2)=2，则3a = ． 10. 若axdx =1⎰，则实数a 的值是_________.11．函数11--+=x x y 的最大值是 _.12. 函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .13. 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . (二) 选做题 (14～15题，任选一题) 14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 15. (几何证明选讲选做题)如图,已知圆O 的半径为2，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC圆心O 到AC 3AB =，则切线AD 的长为__ _.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
16. （本小题满分12分）（1）已知51sin =α，求ααtan ,cos 的值． (2) 已知角α的终边过点P （－1,2）,求sin α,cos α的值.17.（本小题满分12分）已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足()()()(),31f xy f x f y f =+= (1)求()()9,27f f 的值 (2)解不等式()()82f x f x +-<18. （本小题满分14分）已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。
19. （本小题满分14分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．20. （本小题满分14分）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。
（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。
21. （本小题满分14分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．梅县华侨中学2010届高三第三次月考试题数学(理科)参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.B 2.B 3.A 4. D 6.A 7.A 8.C二、填空题： 9．【答案】9．【解析】∵42=+a ，∴2=a ，∴93=a．10．【答案】2． 【解析】∵1202122==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰a a x xdx a，又∵0>a ，∴2=a ．11．2 12.2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
13. 231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为（-2，15） 14. cos 3ρθ= 15. 15. 16．（本小题满分12分） （1）562cos ±=α；126tan ±=α(α在一象限时取正号，在二象限时取负号) (2) sin α=552,cos α=－55 17.解：（1）()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+= （2）()()()()889f x f x f x x f +-=-<⎡⎤⎣⎦而函数f(x)是定义在()0,+∞上为增函数08089(8)9x x x x x >⎧⎪∴->⇒<<⎨⎪-<⎩即原不等式的解集为(8,9)18. 解：（1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数.（2）设212≥>x x ，()()22212121x a x x a x x f x f --+=- ()[]a x x x x x x x x -+-=21212121， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ， 即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a 。
另解（导数法）：()22'x ax x f -=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022≥-xa x ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立， 故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数。
19. 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力． （Ⅰ）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =∵2'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =-又直线670x y --=的斜率为16因此，'(1)36f a b =+=- ∴2a =，12b =-，0c =． （Ⅱ）3()212f x x x =-．2'()612()(2)f x x =-=，列表如下：所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞∵(1)10f -=，f =-(3)18f =∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-20. Ⅰ）因为()'2101af x x x =+-+ 所以()'361004a f =+-=因此16a =（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()216l n 110,1,fx x x x x =++-∈-+∞()()2'2431x x fx x-+=+当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >当()1,3x ∈时，()'0f x <所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞()f x 的单调减区间是()1,3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0fx =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln221f =- 因此()()21616101616ln291f f =-⨯>-=()()213211213fef --<-+=-< 所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<因此，b 的取值范围为()32ln221,16ln29--。
21. （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =，又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫--⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数． 函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．。