2.1 映射与函数

探究提高
求函数解析式的常用方法有：(1)代入
法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析
式；(2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变 形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有
“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入
f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根 据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.
②f（x）= x 3 2 x 是函数； ③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；
x 2 与g(x)=x是同一个函数. ④f（x）= x
其中正确的有
（ A ）
A.1个
解析
B.2个
C.3个
D.4个
由函数的定义知①正确.
∵满足f（x）= x 3 2 x 的x不存在，∴②不正确. 又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的 点，∴③不正确.
又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.
3.下列各组函数是同一函数的是
（
）
|x| A .y 与y 1 x x 1, x 1 B . y | x 1 | 与y 1 x, x 1 C . y | x | | x 1 | 与y 2 x 1 x x D .y 2 与y x x 1
解
（1）∵f（x）为二次函数， ① ② ③
1 ,c=1, 2
∴设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2. 由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.
b 2 4ac 又 | x1 x2 | 2 2 , b 2 4ac 8a 2 . |a|
x 0, log 2 (1 x), f(x)满足 f ( x) f ( x 1) f ( x 2), x 0, 则f(2 009)的值为 （ C ） A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当x＞0时，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2), ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1). ∴f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x) ∴f(x+6)=f(x). 即当x＞0时，函数f(x)的周期是6. 又∵f(2 009)=f(334×6+5)=f(5), ∴由已知得f(-1)=log2 2=1，f(0)=0,f(1)=f(0)f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.
由已知得c=1. 由①、②、③式解得b=2,a=
1 2 ∴f（x）= x +2x+1. 2
(2)方法一 设 x 1 t (t 1), 则 x t 1. 代入f ( x 1) x 2 x , 得f (t ) t 2 1(t 1), f ( x) x 1( x 1).
2 知能迁移1 （1）已知f( +1)=lg x，求f（x）； x
(2)已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）2f(x-1)=2x+17，求f（x）.
2 2 解 (1) 令 1 t , 则x , x t 1 2 2 f (t ) 1g , f ( x) lg , x (1,). t 1 x 1
1 的比例x的取值范围是0<x< . ［12分］ 3 探究提高 函数的实际应用问题，要准确构建数学模
型，求得函数解析式后，要写出函数的定义域（一般 情况下，都要受到实际问题的约束）.
知能迁移3 （2009·浙江，文15理14）某地区居民
生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计 价.该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 高峰电价 (单位:元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668
第二章 函 数
§2.1 映射与函数 基础知识
要点梳理
1.映射
自主学习
（1）定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对
应关系f，对于集合A中的 任何一个元素 ，在集合 B中都有 唯一 的元素和它对应，那么，这样的对 应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关 系f）叫做 集合A到集合B 的映射，记作f：A→B.
f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为 （ A.1 思维启迪 B.2 C.3 D.4 ）
求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系
数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.
解析
由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,
∴x>0时，显然x=2是方程f(x)=x的解；x≤0时，方程
(1+0.6x), 整理得y=-60x2+20x+200 (0<x<1). ［4分］ ［6分］
（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，
则y-(1.2-1)×1 000>0, 即-60x2+20x+200-200>0, 即3x2-x<0. ［10分］ 1 解得0<x< ,适合0<x<1. 3 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加 ［8分］
1 2+5x,则f(x)= 1 5 x 5.已知f（ ）=x ( x 0) . 2 x x
1 1 解析 x 0, 令 t , 即x (t 0), x t 12 1 1 5t f (t ) ( ) 5 2 (t 0), · t t t 1 5x 故f ( x) 2 ( x 0). x
3
解析
| x | 1, x 0, 排除A； y x 1, x 0,
x 1, x 1, y | x 1 | 排除B； 1 x, x 1, x 0, 当 即x≥1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C. x 1 0,
2
方法二 f ( x 1) x 2 x ( x ) 2 2 x 1 1 ( x 1) 2 1, 且 x 1 1, f ( x) x 2 1( x 1).
1 1 3 (3)把题目中的x换成 , 得2 f ( ) f ( x) , x x x 1 2 f ( x ) f ( x ) 3 x 联立方程 2 f ( 1 ) f ( x ) 3 x x 3 ① 2 ②得3 f ( x) 6 x , x 1 所以f ( x) 2 x ( x 0). x ① ②
（2）设f（x）=ax+b（a≠0），则
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b
=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.
题型二
分段函数
x 2 bx c, x 0, 【例2】设函数f(x)= 若f(-4)= 2, x 0,
x的关系式；
（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本 增加的比例x应在什么范围内？ 思维启迪 解题示范 解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为 1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x) (万元)， 销售量为1 000×(1+0.6x) (辆). 准确理解题意，构建函数模型.
故利润y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1 000×
（2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，
且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么， 我们把元素b叫做元素a的 象 ，元素a叫做元素 b的 原象 2.函数 .
（1）函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关 系f，使对于集合A中的 任意一个数x ，在集合B中 都有 唯一确定的数f(x)和它对应 ，称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.x 的取值范围A叫做函数的 定义域 ， 函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.
解析
高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时
电价为50×0.568元，后150千瓦时为150×0.598元.
低谷时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为 50×0.288元，后50千瓦时为50×0.318元，∴电价
f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方
程f（x）=x解的个数为3. 答案 C 分段函数是一类重要的函数模型.解决分 探究提高
段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题. 如本例，需分x>0时，f（x）=x的解的个数和x≤0时， f（x）=x的解的个数.
知能迁移2 （2009·山东理，10）定义在R上的函数
（2）函数的三要素 定义域 、 值域 和 对应法则 . （3）函数的表示法 表示函数的常用方法： 解析法、列表法 、 图象法 . 3.反函数 （1）定义
函数y=f(x)（x∈A）中，设它的值域为C，根据这
个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ (y).如果对于y在C中的 任何一个值 ，通过x=
题型分类
题型一 求函数的解析式
深度剖析
【例1】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)， 且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为
2 2 ，求f(x)的解析式；
（2）已知 f ( x 1) x 2 x , 求f ( x); 1 （3）已知f(x)满足2f(x)+ f ( ) =3x,求f(x). x 思维启迪 问题（1）由题设f（x）为二次函数， 故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解； 问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此 1 可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用 x 解方程组法求解.