高三数学(文)一轮总复习(新课标)课件第四章三角函数、平面向量与复数 第26讲ppt版本

【解析】设 BC＝a，AC＝b，AB＝c. 由 2A→B·A→C＝ 3|A→B|·|A→C| 得 2bccos A＝ 3bc，
所以 cos A＝ 23. π
又 A∈(0，π)，因此 A＝ 6 .
由 3|A→B|·|A→C|＝3B→C2，得 cb＝ 3a2.
于是 sin C·sin B＝ 3sin2A＝ 43.
由
b·e1＝1，得|b||e1|cos
30°＝1，∴|b|＝
1 ＝2 3
3
3.
2
1.已知 a＝(1，－3)，b＝(4，6)，c＝(2，3)，则 a·(b·c)
等于( A )
A.(26，－78)
B.(－28，－42)
C.－52
D.－78
【解析】a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26， －78).
第 26 讲 平面向量的数量积及应用
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个 平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及 力学问题.
【知识要点】 1.两向量的夹角 已知非零向量 a，b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做 a 与 b 的夹角. a 与 b 的夹角的取值范围是 [0，π ] . 当 a 与 b 同向时，它们的夹角为_0___；当 a 与 b 反向时，它们的夹角为__π__；当夹角为 90°时，我们 说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 2.向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把 |a||b|cos θ 叫 做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos
1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意 义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算
规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律， 数量积不满足结合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b ＝a·c⇒b＝c；a·b＝0⇒a＝0 或 b＝0，但满足交换律和 分配律.
2.公式 a·b＝|a||b|cos θ ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝ a2＝x2＋y2 的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.
最大值.
【解析】(1)因为 A(－1，0)，B(0， 3)，C(3，0)， 所以A→C＝(4，0)，B→C＝(3，－ 3)，
所以
cos〈A→C，B→C〉＝4×12
＝ 12
23，
所以向量A→C，B→C的夹角为 30°.
(2)因为 C 的坐标为(3，0)且|CD|＝1，所以动点 D
的轨迹为以 C 为圆心的单位圆，则 D 满足参数方程
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝23π.
2.(2015 浙江)已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1·e2
＝12.若平面向量
b
满足
23 b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝_3___.
【解析】利用数形结合进行求解.
∵e1·e2＝12，
∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝12，∴〈e1，e2〉＝60°. 又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝ 30°.
＝
3
10 10
.
故
向
量
A→B
在
C→D
方
向
上
的
投
影
为
A→B





cos
θ＝
5
×31010＝322.故选 A.
4.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2， BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若A→B·A→F＝ 2，则A→E·B→F的值是 __2__.
【解析】以 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线 分别为 x，y 轴建立直角坐标系，则 B( 2，0)，E( 2， 1)，D(0，2)，C( 2，2).设 F(x，2)(0≤x≤ 2)，由A→B·A→F ＝ 2⇒ 2x＝ 2⇒x＝1，所以 F(1，2)，A→E·B→F＝( 2， 1)·(1－ 2，2)＝ 2.
＝12.
∴|a×b|＝2×2×12＝2.故选 B.
3.已知点 A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，
4)，则向量A→B在C→D方向上的投影为( A )
32 A. 2
3 15 B. 2
C.－3 2 2
D.－3
15 2
【解析】解法一：由已知易得A→B＝(2，1)，C→D＝
(5，5)，所以向量A→B在C→D方向上的投影为A→Bcos θ
函数 f(A)的取值范围. 【解析】(1)∵m·n＝1，即 3sinx4cosx4＋cos2x4＝1，
即 23sinx2＋12cosx2＋12＝1， ∴sinx2＋π6 ＝12. ∴cos2π3 －x＝cosx－2π3 ＝－cosx＋π3 ＝－1－2sin2x2＋π6 ＝2·122－1＝－12.
2.设向量 a＝(cos α ，sin α )，b＝(cos β ，sin β )，
的速度.
四、向量的数量积的综合应用
例4已知向量

m＝

3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.
(1)若 m·n＝1，求 cos2π3 －x的值；
(2)记 f(x)＝m·n，在△ABC 中，角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求
2.设向量 a 与 b 的夹角为θ ，定义 a 与 b 的“向 量积”：a×b 是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sin θ ，若 a＝(－ 3，－1)，b＝(1， 3)，则|a×b|等于( B )
A. 3 B.2 C.2 3 D.4
【解析】∵|a|＝|b|＝2，a·b＝－2 3，
∴cos θ＝－2×2 23＝－ 23.又 θ∈[0，π]，∴sin θ
θ.
规定：零向量与任何向量的数量积为 0，即 0·a
＝0. 3.向量数量积的几何意义 向量的投影：|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的
投影，当 θ 为锐角时，它是正值；当 θ 为钝角时， __它是负值 ；当 θ 为直角时，它是零.
a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a的长度|a| 与 b 在 a 方向上的投影|b|cos θ 的乘积.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B－cos Bsin C＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin(B＋C)， ∵A＋B＋C＝π， ∴sin(B＋C)＝sin A，且 sin A≠0， ∴cos B＝12，B＝π3 ，∴0＜A＜2π3 . ∴π6 ＜A2＋π6 ＜π2 ，12＜sinA2＋π6 ＜1. 又∵f(x)＝m·n＝sinx2＋π6 ＋12， ∴f(A)＝sinA2＋π6 ＋12. 故函数 f(A)的取值范围是1，32.
xD＝3＋cos yD＝sin θ
θ (θ
为参数且
θ∈[0，2π))，所以设
D
的坐标为(3＋cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 | O→A ＋ O→B ＋ O→D | ＝
（3＋cos θ－1）2＋（sin θ＋ 3）2
＝
8＋2（2cos θ＋ 3sin θ），
因 为 2cos θ ＋ 3 sin θ 的 最 大 值 为
3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平 面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两
直线是否垂直.
4.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 与 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 要
区分清楚.
1.(2015 重庆)已知非零向量 a，b 满足|b|＝4|a|，
且 a⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( C )
22＋（ 3）2＝ 7，所以|O→A＋O→B＋O→D|的最大值为
8＋2 7＝ （1＋ 7）2＝1＋ 7.
【点评】本题考查了向量的夹角与向量的模长两 个概念，与三角函数只是联系在一起.
三、向量的数量积的综合 例 3 在△ABC 中，已知 2A→B·A→C＝ 3|A→B|·|A→C| ＝3B→C2，求角 A，B，C 的大小.
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1，2－2λ)，
由于 a＋λb 与 a 垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.
∴λ的值为52.
(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，向量 a 在 b 方向上
的投影为
|a|cos θ. ∴|a|cos θ＝a|b·b| ＝1×22＋2＋2（×－（2－）22）
所以 sin C·sin5π6 －C＝ 43，
sin
C·12cos
C＋
23sin
C＝
3 4.
因此 sin 2C－ 3cos 2C＝0
即 2sin2C－π3 ＝0. 由 A＝π6 知 0<C<5π6 ，所以－π3 <2C－π3 <4π3 ，
π
π
π
从而 2C－ 3 ＝0 或 2C－ 3 ＝π，即 C＝ 6 或 C
x21＋y21· x22＋y22
a⊥b 的 充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与 |a||b|的 关系
|a·b|≤|a|·|b|(当且 仅当 a∥b 时等号
成立)
|x1x2＋y1y2|≤ x12＋y12· x22＋y22
5.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.