高三四月份月考试题.doc

增城市2007届华侨中学高三四月份月考试题数 学 (理 科)第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}，，，，，，，7654321=U ，{}16A x x x N *=≤≤∈，，则U C A=（ ） A ．φ B ． {}7 C ．{}654321，，，，， D ．{}7654321，，，，，， 2. 为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是A ．30B ．60C ．70D ．803. 已知命题P ：[)+∞∈∀,0b ，c bx x x f ++=2)(在[)+∞,0上为增函数,命题Q ：{},|0Z x x x ∈∈∃ 使 0log 02>x ，则下列结论成立的是（ ）A ．﹁P ∨﹁QB ．﹁P ∧﹁QC ．P ∨﹁QD ．P ∧﹁Q4. 已知非负实数x 、y 同时满足240x y +-≤,10x y +-≥, 则目标函数z =x 2+(y+2)2的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75. 设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l ⊂α，则l ∥β； ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若m 、n 是异面直线，m ∥α，n ∥α，且l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α. 其中真命题的序号是A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．②④ 6. 如果将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图象按向量a 平移后所得的图象关于y 轴对称，那么向量a 可以是A ．(π6，0)B ．(－π6，0)C ．(π12，0)D ．(－π12，0) 7. 将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内，每格只能 放一个棋子，且3个棋子既不同行也不同列，则不同的放法有 A ．576种 B ．288种 C ．144种 D ．96种周长(cm)OO'MQP N BA结束:1/s s i =+输出s开始:0s =1i =8. 已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数的图象错误．．的是第二部分 非选择题(共110分) 二.填空题(每小题5分,共30分)9. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则z = _________.10. 如下图1，是计算1111 (3599)++++的程序框图，判断框应填的内容是________________,处理框应填的内容是______________.11. 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点都在直径为3的球面上，AA 1=AB =2，点E 是DD 1的中点，则异面直线A 1E 与B 1D 所成角 的大小为是__________12. 已知集合M 是满足下列条件的函数f （x ）的全体： ①当[0,)x ∈+∞时，函数值为非负实数；②对于任意的)()()(),,0[,t s f t f s f t s +≤++∞∈都有 在三个函数123(),()21,()ln(1)x f x x f x f x x ==-=+中，属于集合M 的是第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分13.已知222436,x y kz ++=(其中0)k >且t x y z =++的最大值是7,则k = 14． 将极坐标方程cos()4πρθ=-化为直角坐标方程是______________.15．如右图2，⊙'O 和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ， 交⊙'O 于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3,NQ ＝15，则 PN ＝__________．图1图2OEHECD A BCD三、解答题：本大题共6个小题．共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx ＋ϕ) (x ∈R, A>0, ω>0, |ϕ| < π2)的部分图象如图所示, (1)试确定f(x)的解析式;(2)若f(a 2π) = 12, 求cos(2π3－a)的值17．(本小题满分12分)在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就为“及格”，若投中3次就为 “良好”并停止投篮．已知甲每次投篮投中的概率是23． (1)求甲投了3次而不及格的概率;(2)设甲投篮投中的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．18．(本小题满分14分)已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为CD 的中点，沿AE 将三角形AED 折起，使DB ＝3图，O 、H 分别为AE 、AB 的中点． (1)求证：直线OH//面BDE ； (2)求证：面ADE ⊥面ABCE ； (3)求二面角O —DH 一E 的余弦值．19．(本小题满分14分)已知函数．3()2f x x ax =+与2()g x bx cx =+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线． (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()()ln(1)8mg x F x x x=+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．20．(本小题满分14分)已知过抛物线x 2＝4y 的对称轴上一点P(0，m)(m>0)作直线l ，l 与抛物线交于A 、B 两点． (1)若角∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围；(2)若l 的方程为x-2y+12＝0，且过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点且(A 在第一象限)处有共同的切线，求圆C 的方程．21．(本小题满分14分)已知数列{ n a }、{ n b }满足：111,1,41n n n n nb a a b b a +=+==-.(1)求1,234,,b b b b ;(2)求数列{ n b }的通项公式；(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．2007届华侨中学高三四月月考数学(理)试题参考答案及评分标准一、选择题答案 BCCBA DAD 二、填空题16.解: (1)由图象可知A=2, T 4 = 56 － 13 = 12, ∴T=2, ω= 2πT =π…………………..3分将点P(13, 2)代入y=2sin(ωx ＋ϕ) ,得 sin(π3＋ϕ)=1, 又|ϕ| < π2, 所以ϕ = π6 ………………………………..5分故所求解析式为f(x)=2sin(πx ＋π6) (x ∈R)………………………….6分(2)∵f(a 2π) = 12 , ∴2sin(a 2 ＋π6) = 12 , 即, sin(a2 ＋π6) =14 ……………………..8分∴cos(2π3 －a)=cos[π－2(π6＋a 2 )] = －cos2(π6＋a 2 ) = 2sin 2(π6＋a 2 )－1 = －78…..12分17．解：(1)甲投了3次而不及格，即前3次中只有一次投中或三次都没有投中，其概率为 31231127()()33327P C =+=g …………………………………………………4分 (2)依题意，ξ可以取0，l ，2，3．当ξ＝0时，表示连续5次都没投中，其概率为：511(0)()3243P ξ====； 当ξ＝l 时，表示5次中仅有1次投中，其概率为：1452110(1)()()33243P C ξ====g g ； 当ξ＝2时，表示5次中仅有2次投中，其概率为：22352140(2)()()33243P C ξ====g g ; 当ξ＝3时，表示①连续3次都投中，其慨串为：328()327= ,或②前3次中有2次投中，且第四次投中，其概率为：2232128()33327C =g g ， 或③前4次中有2次投中，且第五次投中，其概率为：222421216()()33381C =gg ，即881664(3)27278181P ξ==++=.………………………………………9分 ∴随机变量ξ的概率分布列为：数学期望：11001232432432438124327Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯== (11)分答：(1)甲恰好投篮3次就通过的概率是727；(2)甲投篮投中的次数的数学期望是7427…………………………………………12分．18．(1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点∴OH//BE，又OH不在面BDE内∴直线OH//面BDE ……………………………………4分(2)O为AE的中点AD＝DE，∴DQ⊥AE∵，BO2＝32+12=10∴222DB DO BO=+∴DO OB⊥又因为AE和BO是相交直线所以，DO⊥面ABCE，又OD在面ADE内∴面ADE⊥面ABCE……………………………….8分(3)由(1)(2)知OA、OH、OD两两垂直，分别以OA、OH、OD为x、y、z轴建立空间坐标系，则0，0)，H(0，0)，0，0)，D(0，0)，向量(DH HE==u u u u r u u u r…………10分设平面DHE的法向量为n=(x，y，z)则n·DHu u u u r＝0 n·HEu u u r＝⎧=⎪⎨=⎪⎩即y=z,x=-z∴平面DHE的法向量为n＝(z，-z，z)，不妨没z>0 ……………12分又OA=u u u r是平面DOH的法向量cos,||||n OAOA nn OA<>===u u u ru u u r gu u u rg由图二面角O—DH—E为锐角，所以，二面角O—DH—E…………14分19．解：(1)∵3()2f x x ax=+过点(2,0),P∴a=-83()28f x x x=-, …………………2分2()68f x x x'=-∴切线的斜率(2)16k f'==………………3分∵2()g x bx cx=+的图像过点(2,0),P∴4b+2c=0,∵()2,(2)(2)416g x bx c f g b c'''=+==+=,解得：b=8,c=-16……………5分∴2()816g x x x=-切线方程为16y ＝（x-2）．即16x-y-32=0……………………………………7分 (2) ∵ ()(2)ln(1)(1)F x m x x x =-+->11()(1)11mx m F x m x x x -+'=+=>--……………………………………9分 当m<0时，1[(1)]()1m x m F x x --'=- ∵m<0 ∴111m -> ………………11分 又x>1 当1(1,1)x m∈-时()0F x '>当1(1,)x m∈-+∞时()0F x '< ………………………………12分∴F(x)的单调减区间是1(1,)m-+∞∴F(x)的单调增区间是(1，11m-)………………………………………………13分即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，11m -)，单调减区间是(11m -，+∞) (4)20．解：(1)设l ：y ＝kx+m ，代入抛物线x 2＝4y 的方程化简得x 2-4ky-4m ＝0，…………………………………………………1分∵m>O ∴△＝16k 2+16m>0恒成立设A(11,x y )．B(x 2，y 2)，则x l +x 2＝4k ，x 1x 2＝-4m ．又角∠AOB 为锐角，所以0OA OB >u u u r u u u rg………………………………………3分 因为22121212121212()()(1)()OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m =+=+++=++++u u u r u u u rg ，则22(1)(4)40k m km k m +-++>g，即240m m ->， 又因为m>0，解得m>4；……………………………………………………………6分（2）解方程组242120x y x y ⎧=⎨-+=⎩，得69x y =⎧⎨=⎩或44x y =-⎧⎨=⎩，由题意得A （6，9）、B （－4，4）， 又函数214y x =的导数为12y x '=，所以过点A 的公共切线斜率k ＝3，由题意知圆C 的圆心C 是线段AB 的垂直平分线1l 和过点A 与公共切线垂直的直线2l 的交点，……………9分 113:2(1)2l y x -=--，即117:22l y x =-+， 21:9(6)3l y x -=--，即21:113l y x =-+，………………………………10分联立1l 和2l 的方程解得圆心坐标323(,)22C -，圆半径||r CA ===……………………………………11分故所求圆方程为223125()22x =23＋＋（y －）2………………………………12分 21.解：（1) 11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋∵1113,44a b == ∴234456,,567b b b ===…………………………………4分 （2）∵11112n nb b +-=-- ∴12111111n n n n b b b b +-==-+---∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ∴14(1)31n n n b =---=--- ∴12133n n b n n +=-=++………………10分 (3)113n n a b n =-=+ ∴12231111114556(3)(4)444(4)n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++ ∴22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++……………………11分 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+-- a ＝1时，()380f n n =--<恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立 a<l 时，对称轴3231(1)02121a a a --=--<--gf(n)在(,1]-∞为单调递减函数．………………………………………………13分 2(1)(1)(36)8(1)(36)84150f a n a n a a a =-+--=-+--=-< ∴154a <∴a<1时4n aS b <恒成立 综上知：a ≤1时，4n aS b <恒成立…………………………………………14分。