向量与三角形内心外心重心垂心
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形的“四心”之青柳念文创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心坎.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 暗示.性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O为ABC ∆的外心.二、三角形的心坎定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的心坎，即内切圆圆心.ABC ∆的心坎一般用字母I 暗示，它具有如下性质：性 质：1.心坎到三角形三边等距，且顶点与心坎的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP +=λ，则动点P的轨迹过ABC ∆的心坎.三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 暗示.性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，知足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 暗示.性 质：G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的间隔等于它与对边中点的间隔的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CB A GC B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； （2）)(31PC PB PA PG ++=.。
向量与三角形的四心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321yy y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图 OC OB OA ++2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔ 同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴b ACc AB+平分BAC ∠,(λ=∴AO b c +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bc ++=（b ACc AB+) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA aB CDB CD（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心中点. 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的2=+ ∴λ2+=+=AD AP λ2=∴ AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +⋅+B CDC+=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．34 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC→| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
高中数学专题复习《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇》
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令cb a bc++=λ ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
向量与三角形内心外心重心垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++u u r u u u r u u u r1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+u u u r u u u r2.若M 是OP 上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线: （2）高线:（3）角平分线: （4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点: ()AB AC λ+u u u r u u u r 或()||sin ||sin ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u r u u ur u u u r(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u r u u u r u u u r, (3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,三、四心与向量的结合 1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=u u u r u u u r u u u r r 定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则） 应用:（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔ C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ ⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r （4）O 为ABC ∆的外心⇔ ⇔ 0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔ 1()3PO PA PB PC =++u u u ru u u ru u u ru u u r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）O 为ABC ∆的内心.⇔()()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB•-=•-=•-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）O 为ABC ∆的外心 ⇔OC OB OA ==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题4：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =(||BA OB BA ⋅u u u r u u u r u u u r+||CB CB u u u r u u u r ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r = 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则O点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r=22||||OC AB +u u u r u u u r ，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r= ()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++u u u r u u u r u u u ru u u r (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH u u u r =()m OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题 题15：已知非零向量ABu u u r 与AC uuu r 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r = 0且12||||AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形题17：已知△ABC ，若对任意t R ∈，||BA tBC -u u u r u u u r ≥||AC u u u r，则△ABC( )A. 必为锐角三角形B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形D. 答案不确定题18：已知a , b, c 分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r= 0, 则△ABC 为( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则：(1) △AOB 与△AOC 的面积之比为___________________； (2) △ABC 与△AOC 的面积之比为___________________； (3) △ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________. 四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ uuu r过△ABC 的重心，记CA u u u r = a ,CB u u u r = b , CP u u u r = m a , CQ uuu r = n b , 则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++u u u ru u u r u u u r u u u r sin )0}AC B ACλ>u u u r u u u r ，，则ABC ∆的（ ） 一定属于集合M .（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心GABCMP Q。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC 中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC 中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC 中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC 中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、 O 是 ABC 的重心OA OB OC 0若 O 是 ABC 的重心，则BOC AOC AOB 1 ABC 故 OA OB OC 0 ,1 (PA 3PG PB PC) G 为 ABC 的重心 .3、 P 是△ ABC所在平面内任一点. G是△ ABC的重心 1 (PA) .2 PG PB PC3证明：PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC) ∵ G是△ ABC的重心∴ GA GB GC 0 AG BG CG 0，即 3PG PA PB PC由此可得 PG 1 (PA PB PC ) . （反之亦然（证略））33、已知 O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA ( AB AC) ，(0，) ，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的重心 .例 1 若 O 为ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是ABC 的（）A．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心第 1 页共 10 页二、垂心1、 O 是 ABC 的垂心OA OB OB OC OA OC若 O 是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心，则故 tan AOA tan BOB tanCOC 02、H是面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC的垂心 .由 HA HB HB HC HB ( HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理 HC AB ， HA BC . 故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略））3、 P 是△ ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的垂心．由 PA PB PB PC ，得 PB (PA PC ) 0 ，即 PB CA 0 ，所以 PB⊥ CA ．同理可证 PC ⊥ AB ， PA ⊥ BC ．∴ P 是△ ABC 的垂心．如图 1.A CCB PEMHPA FB图 1 O 图⑷4、已知 O 是平面上一定点，A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC，(0，) ，则动点 P 的轨迹一定通过OP OAAC cos CAB cos B△ ABC 的垂心．例 2 P 是△ ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心第 2 页共 10 页三、内心1、 O 是ABC 的内心的充要条件是OA AB ACOBBA BC CA CBOCAB AC BA BC CA CB Ae1e2B引进单位向量，使条件变得更简洁。
高三数学-专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)
高三数学-三角形四心与向量关系 -内心、外心、重心、垂心（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC u u u r u u u r =AC u u ur 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y r r ，1212a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则a b r r ，02121 y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r 的数量积（或内积） 规定0a r r☆向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影☆数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r☆乘法公式成立：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a ba ab b r r r r r r 222a a b b r r r r☆向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA uu u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （001800 ）叫做向量a r与b r 的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充： 线段的定比分点设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212P P P P P P P P 12121200所成的比（，在线段内，，在外），且x x x y y y P P P x x x y y y12121212121122 ，为中点时， 如：，，，，，， ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是， ABC G x x x y y y 12312333三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)( ， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ，E D 、分别为边AC BC 、的中点.2 2 2 // 点P 的轨迹一定通过ABC 的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分BAC ,点P 的轨迹一定通过ABC 的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.BC=0点P 的轨迹一定通过ABC 的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1） 0OC OB OA O 是ABC 的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O0OC OB OA)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x33321321y y y y x x x x O 是ABC 的重心. 证法2：如图OC OB OA 02 OD OA OD AO 2D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 O 是ABC 的重心（2） OA OC OC OB OB OA O 为ABC 的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)( AC OB 同理BC OA ，AB OC O 为ABC 的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心BCDB CDO c b a 为ABC 的内心.证明：bc 、分别为方向上的单位向量，bc平分BAC , (AO bc)，令c b a bcc b a bc （bACc AB) 化简得0)( AC c AB b OA c b a0 OC c OB b OA a（4O 为ABC 的外心。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质精编版
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔0=++OC OB OA若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故=++,)(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心.2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=.证明：+=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心∴0=++GC GB GA ⇒0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心1、O 是ABC ∆的垂心⇔∙=∙=∙若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则 故tan tan tan =++C B A2、H 是面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是ABC ∆的垂心. （反之亦然（证略））3、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0P B P A P C ⋅-=，即0P B C A ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥． ∴P 是ABC △的垂心．如图1.4、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心图1A1、O是ABC∆的内心的充要条件是=⎫⎛∙=⎫⎛∙=⎫⎛∙OCOBOA引进单位向量，使条件变得更简洁。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。
高三数学-专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)
高三数学-三角形四心与向量关系-内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)「、三角形四心知识点(1) 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2 : 1 ；(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量I a0|= 1.☆平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量一uuu UULT uuur☆向量加法AB BC = AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：uuu uur uuur uuu uuu uuuAB BC CD L PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”.☆实数与向量的积：①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) a a ；(U)当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a 0，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b = a☆平面向量的基本定理：如果0(2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数i , 2使：a 心 2e 2，其中不共线的向量©（2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底☆平面向量的坐标运算:uuu⑵若 A X i , y i , B X 2, y 2，则 AB x ? X i , y 2 y i⑶若a ：=(x,y), 则 a =( x, y)⑷若a 冷％ r ,b r r x 2, y 2，贝U a//b x 』2 X2% 0⑸若a冷％ r ,br rx 2, y 2，贝U a b ,X iX 2y i y 2☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和 性质☆两个向量的数量积：rr r已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为，则a • b = I a 丨・丨b 丨cos叫做a 与b 的数量积（或内积）规定o$ 0rr☆数量积的几何意义：a • b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积ra若r br by2y1卷X1yy y1X1r bra☆向量的投影:I cos€R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影☆向量的模与平方的关系: r r r 2 r 2 a a a | a |☆乘法公式成立： a br 2 r r r a 2a bb☆向量的夹角：已知两个非零向量 a 与b , uun r uuu r作O A = a , O B = b ,贝AOB=(0°1800 )叫做向量a 与b 的夹角y2卷r r 2 r 2 r r r 2 a b a 2a b br r c r r c r当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，B =0°,当且仅当a 与b 反方向时9 =180 0,同时0与其 它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 补充： 线段的定比分点x i x 2X i，p 为P i P 2中点时， y i y 21y设 P X i ，y i ，P 2 X 2，y 2，分点 Px ， y ,设R 、P 2是直线I 上两点，P 点在I 上且不同于R 、 P 2，若存在一实数，使 P i PPP 2，则叫做P 分有向线段RP 2所成的比（0，P 在线段P 1P 2内,0，P 在RP 2外），且 如: ABC ，A X i ，y i ，B X 2，y ?C X 3，y 3则ABC 重心G 的坐标是X i X 2 X 3y i y 2 y 33cos = cosrarb 9. rax 1 x 2 2 y i y 2 2—b 2 y2三角形四心与向量关系典型例题: 例1 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点分析：如图所示ABC , D、E分别为边BC、AC的中点.AB AC 2AD OP OA 2 ADOP OA AP AP 2 AD AP〃AD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C .AB AC平分BAC ,AB AC 满足OP OA (AB AC),0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的（A .外心B .内心C .重心D .垂心OP 例2 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，OA(AB AC、AC），0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的（B动点满足A .外心B .内心C .重心D .垂心分析：ABMAC分别为AB、AC方向上的单位向量,ACOP点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选例3: O是平面上一定点，OA (AB ACB.AB cosB),AC cosCA、B、0,是平面上不共线的三个点, 动点,则点P的轨迹一定通过ABC的（满足A .外心B .内心C .重心D .垂心分析：如图所示AD垂直BC , BE 垂直AC ,D、E是垂足.AB ACAB cosB)BCAC cosCB D=AB BC AC BCAB cosB AC cosC三、四心与向量的结合证法 1:设 O(x, y), A(x 「yj B (X 2, y 2),C(X 3, y 3)证法2 :如图AO 2ODO 是ABC 的重心(2)OA OB OB OC OC OA O 为 ABC 的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心, BE 垂直 AC ，AD 垂直BC E 是垂足.OA OB OB OC OB(OA OC) OB CA 0 OB AC 同理OA BC ，OC AB O 为 ABC 的垂心 (3)设a,b ,c 是三角形的三条边长，0是 ABC 的内心 AC BC cosC| AC | cosC点P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，即选D .(1 ) OA OB OCO 是ABC 的重心.OA OB OC 0(X i x) (y i y)(X 2 x) (X 3 x) 0 y) (y 3y) 0(y 2X i X 2 X 33 % y 2 y 33O 是ABC 的重心.OA OB OC OA2ODA 、0、D 三点共线, 且O 分AD 为2 :AB BC cosBBC + BC =0aOA bOB cOC 0 O 为 ABC 的内心.证明： AB 、、AC 分别为ABAC 方向上的单位向量,c b aOA bOB cOC 0(4) OA OB OC O 为 ABC 的外心。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质三角形是几何学中的基础概念之一，具有丰富的性质和特点。
其中，重心、外心、垂心和内心是三角形重要的特殊点，它们在三角形的研究和计算中起着重要的作用。
本文将介绍三角形重心、外心、垂心和内心的向量表示及其性质。
一、三角形重心的向量表示及性质重心是三角形三条中线的交点，记为G。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。
则三角形重心G的向量表示为：G = (a + b + c)/3重心G的性质如下：1. 重心到三角形各顶点的向量和为0向量，即AG + BG + CG = 0。
2. 重心将中线分成2:1的比例，即AG : GM = 2:1，BG : GN = 2:1，CG : GP = 2:1，其中M、N、P分别为中线BC、AC、AB的中点。
3. 重心是三角形内切圆和外接圆的同一个圆心。
二、三角形外心的向量表示及性质外心是三角形三条垂直平分线的交点，记为O。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。
则三角形外心O的向量表示为：O = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的垂直平分线的向量。
外心O的性质如下：1. 外心到三角形各顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
2. 外心是三角形外接圆的圆心，且外接圆的半径为OA、OB、OC中的一个。
三、三角形垂心的向量表示及性质垂心是三角形三条高线的交点，记为H。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。
则三角形垂心H的向量表示为：H = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的高线的向量。
垂心H的性质如下：1. 垂心到三角形各顶点的距离相等，即HA = HB = HC。
2. 垂心是三角形内接圆的圆心，且内接圆的半径为HA、HB、HC中的一个。
四、三角形内心的向量表示及性质内心是三角形三条角平分线的交点，记为I。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心;当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心;一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心;ABC ∆的重心一般用字母O 表示;性 质：1.外心到三顶点等距,即OC OB OA ==;2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心;二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心;ABC ∆的内心一般用字母I 表示,它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角;2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ,则向量||||(AC AB AP =λ,则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心;三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母H 表示;性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边,即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,;2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的垂心;结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点,满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心; 四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母G 表示;性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边;2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍;即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：10=++GC GB GA ； 2)(31PC PB PA PG ++=;。
高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系
高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC +=AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b ⊥，02121=⋅+⋅y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=☆向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==☆乘法公式成立： ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+☆向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （01800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a ba b•<>=•=222221212121y x y x +⋅+当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→P P P P P P P P 12121200→><所成的比（，在线段内，，在外），且λλx x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12121212121122λλλλ，为中点时，()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 12312333++++⎛⎝ ⎫⎭⎪三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+ ∴AD OA OP λ2+= AP OA OP += AD AP λ2=∴AP ∴//AD ∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：ACAB分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴AC AB +平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.AC AB +BC ⋅=BC AC BC AB ⋅+=+-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，ABOC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心B CDB CD（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇在三角形中，有四个特殊的点，即内心、外心、重心和垂心，它们可以与向量知识有所交汇。
1. 内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，表示为I。
内心到三角形的各个顶点的距离相等，即IA=IB=IC。
如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设内心为I的向量为OI，那么可以得到关系式：OI = (IA/2) * (OA/|OA| + OB/|OB| + OC/|OC|)。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算内心的位置。
2. 外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，表示为O。
外心到三角形的各个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。
如果我们用向量AB、BC、CA表示三条边的向量，并设外心为O的向量为OO，那么可以得到关系式：OO = (OA/2) + (OB/2) + (OC/2)。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算外心的位置。
3. 重心：三角形的重心是三条中线的交点，表示为G。
重心到三角形的各个顶点的距离按比例为2:1，即GA = GB = GC = 2/3 * OA。
如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设重心为G的向量为OG，那么可以得到关系式：OG = (OA + OB + OC)/3。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算重心的位置。
4. 垂心：三角形的垂心是三个高的交点，表示为H。
垂心到三角形的各个顶点的距离满足HHa/HOa = HHb/HOb = HHc/HOc = -1。
如果我们用向量HA、HB、HC表示三个高的向量，并设垂心为H的向量为OH，那么可以得到关系式：OH = HA + HB + HC。
根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算垂心的位置。
向量知识可以帮助我们计算三角形的内心、外心、重心和垂心的位置，从而揭示它们之间的关系。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成，O是内心的充要条件也可以是。
若O是的内心，则故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；xx 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(xx)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））例6 若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。
三角形重心外心垂心的向量关系表达式
三角形重心、外心、垂心向量关系表达式1. 介绍三角形是初中和高中数学课程中重要的几何图形之一。
三角形的重心、外心、垂心是三角形内部重要的点，它们的向量关系表达式对于解决三角形相关问题具有重要意义。
2. 重心、外心、垂心的定义（1）重心：三角形的三条中线交于一点G，称为三角形的重心。
（2）外心：三角形每个外角的平分线交于一点O，称为三角形的外心。
（3）垂心：三角形的三条垂直平分线交于一点H，称为三角形的垂心。
3. 重心、外心、垂心的定位3.1 重心的定位设A、B、C为三角形的三个顶点，重心G到顶点A、B、C的向量分别为\(\overrightarrow{GA}\)、\(\overrightarrow{GB}\)、\(\overrightarrow{GC}\)。
重心G到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC }=0\)3.2 外心的定位假设在三角形ABC的外面，以AB、BC、CA的中线分别为直径画圆，交点为外心O。
外心O到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O C}\)3.3 垂心的定位在三角形ABC中，设H为垂心。
垂心H到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{HA}=2\overrightarrow{DA}\)\(\overrightarrow{HB}=2\overrightarrow{DB}\)\(\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{DC}\)4. 重心、外心、垂心向量关系表达式的应用4.1 证明三角形重心、外心、垂心共线通过向量的加法与减法可以得出，重心、外心、垂心在一条直线上。
假设向量\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC }=0\)，向量\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O C}\)，以及向量\(\overrightarrow{HA}=2\overrightarrow{DA}\)，在证明过程中展现了向量加法与减法的运用。
重心垂心内心外心的向量结论
重心垂心内心外心的向量结论
在平面几何中，重心、垂心、内心和外心是四个十分重要的概念，它们是我们研究三角形的必备元素。
今天我们就来谈谈重心、垂心、
内心和外心的一些向量结论。
首先，我们来说一下重心。
重心是指三角形三条中线的交点，也
是三角形内所有点到三角形三个顶点距离之和最小的点。
通过向量的
知识，我们可以得知，重心到三角形三个顶点的向量和为零向量。
换
句话说，三角形顶点的向量和就是重心的向量。
这条结论对于求解重
心问题非常有用。
接下来，我们来谈一下垂心。
垂心是指三角形三个顶点到对边垂
线的交点。
我们可以得知，垂心到三角形三个顶点的向量互相垂直。
这条结论也非常有用，可以用来方便地计算垂心的坐标。
再来说一下内心。
内心是指三角形三条角平分线的交点，是三角
形内切圆的圆心。
我们可以得知，内心到三角形三个顶点的向量之和
等于零。
这条结论同样也非常有用，可以用来方便地计算内心的坐标。
最后，我们来说一下外心。
外心是指三角形三个垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心。
我们可以得知，外心到三角形三个顶点
的向量互相垂直且长度相等。
这条结论同样非常有用，可以用来方便
地计算外心的坐标。
综上所述，重心、垂心、内心和外心都有其特定的向量结论。
这些结论不仅在求解相关问题时非常有用，而且对于我们加深对向量的理解也有很大帮助。
因此，我们需要加强对这些结论的学习和掌握，进一步提高数学思维水平。
必修四向量与三角形内心外心重心垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、 重心、垂心知识的交汇aOA bOB eOC 0 O 为 ABC 的内心.AB AC—* ——AB -AC 分别为ABAC 方向上的单位向量, e b一、 四心的概念介绍 （1） （2） （3） （4） 重心一一中线的交点：重心将中线长度分成 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直； 内心一一角平分线的交点（内切圆的圆心） 外心一一中垂线的交点（外接圆的圆心） :角平分线上的任意点到角两边的距离相等; :外心到三角形各顶点的距离相等。
二、 四心与向量的结合 (1)OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心. 证法 1：设 O(x, y), Ad ，yj B(X 2, y 2)，C(X 3, y 3) OA OB OC 0 (X i X) (y i y) (X 2 (y 2 X) y) (X 3 X) (y 3 y)X 1 X 2 X 3 y 1 y 2 y 33O 是ABC 的重心.2:如图 证法 OA OB OC OA 2OD 0 2OD AO A 、0、D 三点共线, 为2： 1 O 是ABC 的重心 O 分AD（2）OA OB 证明：如图所示 O B O CO 是三角形ABC 的垂心,OC OAABC 的垂心.O 为 BE 垂直AC , AD 垂直OA OB OB OC OB(OA OC)OB CA 0OB AC同理OA BC , OC ABABC 的垂心BC, D 、E 是垂足.（3）设a , b , c 是三角形的三条边长, O 是 ABC 的内心AB AC 平分 bBAC ,AO (AB e AC 人 AC ），令be证明:bc( AO ---------a b c 化简得(a b C )O A AB c bAB ACcAC 0 aOA bOB cOC (4) OA OB OC O 为ABC 的外心。
典型例题: 例1 : O 是平面上一定点, A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足0P 0A (AB AC), 0, ，则点P 的轨迹一定通过 ABC 的（ A 分析：如图所示 中占 I 八、、・ 外心 B . ABC ,内心 C .重心D 、E 分别为边BC 、 D AC 的AB AC 2AD__ OP OA 2 AD 齐 O A■- APAP 2 AD AP A DP ABCC 例2：（ 03全国理4）垂心 O 是平面上 定点, A 、B 、C 是平面上不共线的三个点, 动点P满足OP OA ( AB AB AC)，0,，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 A 外心 .内心 D .垂心 分析:AB AC 分别为AB 、AC 方向上的单位向量, AB AB AB AC AC AC 平分 BAC ,点P 的轨迹一定通过 ABC 的内心, 即选B . O 是平面上一定点, A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP OA (—AB AB cosBAC ),AC cosC0,，则点P 的轨迹一定通过ABC 的）A .外心.内心 C.重心D .垂心分析：如图所示AD垂直BC, BE垂直AC, D、E是垂足.」BAB cosBAC)BC AC cosCAB BC AC BCAB cosB AC cosCA B BC cosB AC BC cosCA B » cosB AC cosCBC + BC =0点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D . 练习:1已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足f PA PB PC 0，若实数满足：AB AC AP,则的值为（ABC的外接圆的圆心为半径为1, OA OB OC 0,则OA OB ()A. 123 .点O在ABC内部且满足OA 2OB 2OC ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（ABC的外接圆的圆心为O, A.外心 B .内心O是平面上一定点，A、B、若OH OA OB OC , 则H是ABC的（）.重心.垂心C是平面上不共线的三个点，若——F 2 ——F 2 ——-2OA BC OB——2 CAA.--- 2 ——2OC AB，则O是B .内心ABC 的（）则实数外心 C .重心 D .垂心ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H, OH m(OA OB OC),—> —> —>7. （06陕西）已知非零向量走与盘满足（-ABB +竺）• B G=0且上B |A E B||AC| |AB| △ ABC为（）A三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形ABC 为（）A等腰三角形C.直角三角形练习答案：C DC、.等腰直角三角形.既非等腰又非直角三角形&已知ABC三个顶点A、——2 ——.——H ——H —HB、C，若AB AB AC AB CB BC CA，则B .直角三角形D .等边三角形1、D C。
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ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
1．（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.
证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O
⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.
证法2：如图 OC OB OA ++
2=+= ∴2=
∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1
∴O 是ABC ∆的重心 (2)若O 是ABC ∆的重心，则故=++; (3)O ⇔++=)(3
1为ABC ∆的重心. 2. ⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.
证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA
⊥⇔, 同理⊥，⊥ ⇔O 为ABC ∆的垂心
3.设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心 (1)O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心. 证明：b c 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴b
c +平分BAC ∠, (λ=∴b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc ++=（b
AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ,
∴0=++OC c OB b OA a
(2) O 是内心ABC ∆的充要条件是
B C D
|CB ||CA ||BC ||BA |AC |AB |=-⋅=-⋅=-⋅
==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：
例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的
中点. AD AC AB 2=+ ∴λ2+=
+=
λ2=∴
∴//∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .
例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，
则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
分析：分别为、方向上的单位向量，
∴
+平分BAC ∠, ∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .
例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满
足+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆（）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足
. +⋅
+
B C D
C
+
-
=0
∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .
练习：
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．2
3 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( )
A ．21
B ．0
C ．1
D ．2
1- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）
A ．0
B ．23
C ．45
D ．3
4 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+ 2
22AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=， 则实数m =
7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|
=12 , 则△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2
，则ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。