备战高考数学(精讲+精练+精析)专题5.2平面向量的数量积及其应用试题理(含解析)
§5.2 平面向量的数量积及其应用 高考数学(理科,课标三)复习专题课件
6.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=
.
答案 -2 解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.
评析 本题考查向量数量积及向量的模,难度不大.
考点二 数量积及其应用
1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( )
4
<α2<
2
,
则x+y=
10 (cos θ+sin θ)=2
5
sin
θ
4
,
α1+ ≤θ+ ≤α2+ ,而 <α1+ < <α2+ < 3 ,
4
4
44
42
44
故当θ+ = ,即θ= 时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,
42
4
所以当a⊥b时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
2
4.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a- 5 b,则cos<a,c>=
.
答案 2
3
解析 本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、 夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养. ∵|a|=|b|=1,a·b=0, ∴a·c=a·(2a- 5 b)=2a2- 5 a·b=2, |c|=|2a- 5 b|= (2a 5b)2 = 4a2 5b2 4 5a b =3. ∴cos<a,c>= a c = 2 .
高三数学 平面向量的数量积及应用习题及答案
总复习： 平面向量的数量积及应用一、选择题1.已知向量1331(,),(,)2222BA BC →→== , 则()ABC ∠=.(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12002.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA OB ⋅，I 2=OB OC ⋅，I 3=OC OD ⋅，则（ ）A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 33. 平面向量a 与b 的夹角为60°，a =（2，0），1=b ，则2+=a b （ ）A ．3B ．23C ．4D ．124. 已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．45. 在△OAB 中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP AB ⋅=（ ）A ．6B ．―6C ．12D ．―126. 对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：*sin θ=⋅⋅m n m n ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）A ．若**=a b a c ，则=b cB ．*()*=-a b a bC ．(*)(*)=a b c a b cD ．()***+=+a b c a c b c7.已知，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 二、填空题8.已知向量a ，b 的夹角为60°，a =2，b =1，则2a b += ．9．如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA 的取值范围是 .10.已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||= ．11. 若平面上三点A 、B 、C 满足||3AB =，||4BC =，||5CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于________三、解答题12. 已知向量()()sin ,cos ,3cos ,cos a x x b x x ==且0b ≠,若a b ⊥，求x 的最小正值.13. 已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ，若0⋅=a b ，求实数k 的值.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sin x ，cos x ），x ∈（0，）． （1）若⊥，求tan x 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值． 15．设向量(4cos ,sin )αα=a ，(sin ,4cos )ββ=b ，(cos ,4sin )ββ=-c .（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【参考答案与解析】1. 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒.故答案为300.2.【答案】C【解析】∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=，∴∠AOB=∠COD ＞90°，由图象知OA ＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞OA OB ⋅＞OC OD ⋅，OB OC ⋅＞0，即I 3＜I 1＜I 2，故选：C ． 3.【答案】B【解析】∵2=a ，∴22222+=+⋅+a b a a b b =4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴223+=a b .4.【答案】C【解析】2(3,n)-a b =，若2-a b 与b 垂直，则2(2)3+n 0-⋅=a b b =-，即2n 3=，2n 12=+a5.【答案】B【解析】B 设AB 的中点为M ，则1()()()2OP AB OM M P AB OM AB OA OB OB OA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-221()62OB OA =-=-. 故选B. 6.【答案】B 【解析】根据定义，由**=a b a c 得12sin sin θθ⋅⋅=⋅⋅a b a c ，显然得不到=b c ；对于B ，()*sin ,sin()sin *πθθ-=-⋅⋅<->=⋅⋅-=⋅⋅=a b a b a b a b a b a b ，B 正确，容易验证C 、D 不正确. 故选B.7.【答案】A【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ）， ∵，∴P （1，4）， ∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t ﹣4）， ∴=﹣（﹣1）﹣4（t ﹣4）=17﹣（+4t ）， 由基本不等式可得+4t ≥2=4， ∴17﹣（+4t ）≤17﹣4=13， 当且仅当=4t 即t=时取等号， ∴的最大值为13，故选：A ．8.【答案】23 【解析】∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |=2，|b |=1，∴()2222=+4+4a b a a b b +⋅=22+4×2×1×cos60°+4×12=12， ∴2=23a b +．故答案为：23．9. 【答案】[1,2]-【解析】由题意，设(cos ,sin ),[0,]P αααπ∈,，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin 2sin()[1,2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-. 10.【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=， ∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1 ∴与1，2夹角相等，且为锐角， ∴应该在1，2夹角的平分线上， 即＜，1＞=＜，2＞=30°， ||×1×cos30°=1，∴||=11.【答案】―25【解析】由0AB BC CA ++=可得2()0AB BC CA ++=，∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅=，即25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-12.【解析】03sin 21cos20a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒++=12sin 21sin 2,0cos 0662x x b x ππ⎛⎫⎛⎫⇒+=-⇒+=-≠⇒≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 72662x x πππ+=⇒=（舍），1152666x x πππ+=⇒= 13. 【解析】由题意0⋅=a b 即有1212(2)()0k -⋅+=e e e e ， ∴221122(12)20k k +-⋅-=e e e e ，又121==e e ，122,3π〈〉=e e ， ∴22(12)cos 03k k π-+-⋅=，∴1222k k --=，∴54k =. 14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sin x =co sx sin x =cos x ，即tan x =1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sin x ，cos x ）=sin x ﹣cos x ， ∴若与的夹角为， 则•=||•||cos =， 即sin x ﹣cos x =，则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）． 则x ﹣=即x =+=． 15. 【解析】（1）∵a 与2-b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ， 即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=. （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ， 22222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+b c 1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，∴2+b c 最大值为32，∴+b c 的最大值为42（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故a ∥b .。
备战2017高考数学(精讲+精练+精析)专题5.2平面向量的数量积及其应用试题理(含解析)
专题5.2 平面向量数量积及其应用【三年高考】1. 【2021高考山东理数】非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.假设n ⊥〔t m +n 〕，那么实数t 值为〔〕 〔A 〕4 〔B 〕–4 〔C 〕94〔D 〕–94【答案】B2. 【2021高考新课标2理数】向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，那么m =〔 〕〔A 〕－8 〔B 〕－6 〔C 〕6 〔D 〕8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，应选D.3. 【2021高考新课标3理数】向量，，那么ABC ∠=〔 〕 (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A【解析】由题意，得133132222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，应选A ．4. 【2021高考浙江理数】向量a 、b , ｜a ｜=1，｜b ｜ =2，假设对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,那么a ·b 最大值是． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为125. 【2021年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，那么2BM 最大值是( ) 〔A 〕434〔B 〕494〔C 〕〔D 〕 【答案】B【解析】甴易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，那么()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2221334x y BM +++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点(),x y 与点()1,33--距离平方14，()()2222max149333144BM ⎛⎫∴=+-+= ⎪⎝⎭，应选B ．6. 【2021 高考陕西，理7】对任意向量,a b ，以下关系式中不恒成立是〔 〕 A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B7.【2021 高考重庆，理6】假设非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且〔a -b 〕⊥〔3a +2b 〕，那么a 与b 夹角为 〔 〕A 、4πB 、2πC 、34πD 、π【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以222223()cos 2033θ⨯--=，，，选A . 8.【2021 高考福建，理9】1,,AB AC AB AC t t⊥== ，假设P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且 ，那么PB PC ⋅ 最大值等于〔 〕 A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图，那么，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅，因为，所以PB PC ⋅ 最大值等于13，当，即12t =时取等号．9.【2021 高考湖南，理8】点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，假设点P 坐标为(2,0)，那么PA PB PC ++最大值为〔 〕 【答案】B.10.【2021全国课标2，理3】设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】因为22||()a b a b +=+=222a b a b ++⋅=10，22||()a b a b -=-=2226a b a b +-⋅=，两式相加得：228a b +=，所以1a b ⋅=，应选A.11. 【2021江苏，12】如图在平行四边形ABCD 中，8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，那么AB AD ⋅值是 .【答案】2212. 【2021安徽，理10】在平面直角坐标系xOy 中，向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.假设C Ω为两段别离曲线，那么( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 【答案】A【解析】设(1,0),(0,1)a b ==，那么(2,2)OQ =，(cos ,sin )OP x x =，区域Ω表示是平面上点到点2,2)Q 距离从r 到R 之间，如以下图中阴影局部圆环，要使C Ω为两段别离曲线，那么13r R <<<，应选A.【三年高考命题回忆】纵观前三年各地高考试题, 对平面向量数量积及其应用考察，重点考察结合平面向量加减、实数与向量积运算，运用平面向量数量积定义、数量积运算法那么、数量积性质，计算平面向量数量积、向量夹角、处理向量垂直问题、计算向量模、计算一个向量在另一个向量上投影，而向量数量积及运算律，向量垂直充要条件是高考热点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往与解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，而对向量数量积及运算律考察多为一个小题；另外作为工具在考察三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．【2021年高考复习建议与高考命题预测】由前三年高考命题形式可以看出，整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考察单一知识点；有时通过知识交汇与链接，全面考察向量数量积及运算律等内容．试题难度为多为容易题或中档题，少数为选择题或填空压轴题.预测2021高考，对平面向量数量积及其应用考察，重点仍为结合平面向量加减、实数与向量积运算，运用平面向量数量积定义、数量积运算法那么、数量积性质，计算平面向量数量积、向量夹角、处理向量垂直问题、计算向量模、计算一个向量在另一个向量上投影，考察形式为选择题或填空题，分值为5分，试题难度为为容易题或中档题，也可为选择题或填空压轴题，注意向量作为工具，常用向量形式给出题条件或利用向量数量积处理其中夹角与垂直问题.在备战2021年高考中，同学们要熟记向量数量定义、运算法那么及平面向量数量积性质，加强运用这些知识计算平面向量数量积、向量夹角、处理向量垂直问题、计算向量模、计算一个向量在另一个向量上投影等题型训练，善于将题中向量形式给出条件，转化为代数条件或几何条件,善于用平面运用平面向量数量积处理长度、夹角、垂直等问题.【2021年高考考点定位】高考对平面向量数量积及其应用考察主要有三种形式：一是直接考察平面向量数量积概念及其几何意义、平面向量数量积运算法那么及一个向量在另一个向量方向上投影，二是考察平面向量夹角问题与向量垂直充要条件应用，三是考察平面向量模及平面向量数量积综合运用，题型为选择题、填空题、解答题第一个大题，大多难度容易题或中档题，少数为选择题或填空题最末一题为难题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中条件或利用向量垂直充要条件、向量夹角公式、或向量模公式分别处理涉及垂直问题、夹角问题与长度问题. 【考点1】平面向量数量积及其几何意义 【备考知识梳理】1.平面向量数量积：(1)非零向量a 与b ，它们夹角为θ，那么把|a ||b |cos θ叫做a 与b 数量积，记作•a b ，记作•a b =|a ||b |cos θ，规定•0a =0.注意平面向量数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为0，与向量其他运算区别开来.(2)a =〔1x ，1y 〕，b =〔2x ，2y 〕，那么•a b =1x 2x +1y 2y .2.向量投影：|b |cos θ叫向量b 在向量a 方向上投影，它是一个实数，而不向量.向量b 在向量a 方向上投影为•a b|a |. •a b 等于a 模与b 在向量a 方向上投影乘积.4.数量积运算法那么：〔1〕•a b =•b a ；〔2〕()•a b+c =••a b+a c ，〔3〕()λ•a b =.()λ•a b =()λ•a b 【规律方法技巧】1.在解决与平面几何有关数量积问题时，充分利用向量线性运算，将所求向量用共同基底表示出来，在利用平面向量数量积数量积运算法那么求解.2.计算向量b 在向量a 方向上投影有两种思路：思路1，用|b |cos θ计算;思路2，利用•a b|a |计算. 3. 注意向量数量积不满足消去率与结合律.4.在计算向量数量积时，假设一个向量在另一个向量上投影已计算，可以利用向量数量积几何意义计算. 【考点针对训练】1. 【江西师大附中2021年4月高三质检卷】向量，那么b 在a 上投影等于______________. 【答案】12【解析】b 在a 方向上投影为:11||cos ,2||1a b b a b a ⋅<>===⎛⎫. 2. 【2021届河北省石家庄高三二模】在ABC Rt ∆中，2,4==AC AB ，点P 为斜边BC 上靠近点B 三等分点，点O 为ABC ∆外心，那么AO AP ⋅值为_____. 【答案】6【考点2】向量垂直问题与向量夹角问题 【备考知识梳理】1.向量夹角(1)定义：非零向量a 、b ，作OA = a ，OB =b ，那么AOB ∠就是a 与b 夹角，范围为[0,]π，当向量a 与b 同向时，a 与b 夹角为0，当向量a 与b 反向时，a 与b 夹角为π，注意通过平移使两个向量有共同起点，向量所在射线所成角才是向量夹角. (2)假设向量a 与b 夹角为θ，那么cos θ=.(3)假设向量a =〔1x ，1y 〕，b =〔2x ，2y 〕，向量a 与b 夹角为θ，那么cos θ=.(1)概念：假设a 与b 夹角为o 90，那么称a 与b 垂直，记作a ⊥b . 〔2〕非零向量a ，b ，那么a ⊥b ⇔•a b =0.(3)非零向量a ，b ，a =〔1x ，1y 〕，b =〔2x ，2y 〕，那么a ⊥b ⇔1x 2x +1y 2y =0. 【规律方法技巧】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角关系.2.在求夹角时要注意：(1)当a ，b 是非坐标形式时，需要先求出•a b 及|a |、|b |或它们关系. (2)假设向量a ，b 坐标，直接利用公式求解.(3)假设两个向量夹角为锐角，那么cos θ＞0，反之，不一定；假设两个向量夹角为钝角，那么cos θ小于0，反之，不一定.3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出形式：可以用定义式，也可以用坐标式.【考点针对训练】1. 【2021年山西高三四校联考】假设非零向量,a b 满足，且()(32)a b a b -⊥+，那么a 与b 夹角为〔 〕 A. π B. 2πC.34π D. 4π【答案】D2. 【2021届邯郸市一中高三.十研】 向量(1,2),(,1),(3,2)a b m c =-=-=-，假设()a b c -⊥，那么m 值是________．【答案】3-【解析】(1,3),()()0a b m a b c a b c -=---⊥⇒-⋅=,即3(1)(2)30m ⨯--+-⨯=，解之得3m =-. 3. 【2021淮北一中高三最后一卷】向量()()1,1,n 2,2m t t =+=+，假设()()m n m n +⊥-，那么t =___________．【答案】－3【解析】由()()m n m n +⊥-，得()()220m n m n m n +⋅-=-=，所以2222(1)1(2)2t t ++=++，解得3t =-．【考点3】平面向量模与向量数量积综合运用 【备考知识梳理】1.向量模：向量a 模就是表示向量a 有向线段长度，记作|a |，它表示向量a 大小，是非负数. 2. ==•22|a |a a a .a =〔1x ，1y 〕，那么|aA 〔1x ，1y 〕，B 〔2x ，2y 〕，那么||AB【规律方法技巧】1.对于长度问题，可以用向量模来处理，假设向量a 是非坐标形式，用==•22|a |a a a 求模长；假设给出向量a 坐标，那么用|a 来求解.2.对向量与其他知识结合综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量相关知识，转化为向量问题去处理.【考点针对训练】1. 【2021届河南郑州一中高三考前冲刺一】在ABC ∆1120,2A AB AC ∠=⋅=-，那么AM 最小值是____. 【答案】21 【解析】设,AB c AC b ==，由1120,2A AB AC ∠=⋅=-，即有，得1bc =，点M 是BC 中点，那么，()()22222112144AM AB AC AB AC c b =++⋅=+- ()()11121211444bc ≥-=⨯-=．当且仅当1b c ==取得最小值，且为14．那么AM 最小值为12,故答案为：21．2. 【2021年河南八市高三联考】平面向量,,a b c 满足1a a a b b c •=•=•=，2a c •=，那么a b c ++取值范围为〔 〕A ．[0,)+∞ B．)+∞ C．)+∞ D ．[4,)+∞ 【答案】D【解析】如图，设由题意,,,OA a OB b OC c ===由1a a a b b c ⋅=⋅=⋅= ，可知()0b a c ⋅-=即()b a c ⊥-，即()OB OA OC ⊥-，即OB CA ⊥，设,AOB AOC θϕ∠=∠=，由2a c ⋅=可知cos 2c ϕ=即2OD =，由1a =知1OA =，那么1AD =，在Rt OCD 与Rt ACD 中，可知 ，又1cos 1cos b b θθ=∴=，那么2222222,a b c a b c ab bc ac ++=+++++，将1a a a b b c ⋅=⋅=⋅=，2a c ⋅=代入， 2221212122a b c b c ++=+++⨯+⨯+⨯229b c =++221tan 9c θ=+++()2221101cos c cϕ=++-2222110cos c c c ϕ=++-22141416,4c c =+-+≥-当且仅当故4a b c ++≥，应选D. 【应试技巧点拨】向量几何表示是高考热点问题，特别是用三角形各种心向量表示经常是命题素材，常见结论如下：①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上中线AD 上任意向量，过重心；等于AD 是ABC∆中BC 边中线.②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC 边BC 高AD 上任意向量，过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆内心(是BAC ∠角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔O 为ABC ∆外心.2. 向量垂直重要应用向量垂直重要应用,是高考热点.命题方向有两点：一是利用条件去判断垂直；二是利用垂直条件去确定参数值.需结实掌握判断充要条件. 向量垂直充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=. 3.如何恰中选择向量数量积公式求向量数量积公式有两个：一是定义式a •b ＝cos a b θ；二是坐标式a b ⋅=1212x x y y +.定义式特点是具有强烈几何含义，需要明确两个向量模及夹角，夹角求解方法灵活多样，一般通过具体图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积一个重要途径.坐标式特点具有明显代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量坐标进展求解.即向量问题“坐标化〞，使得问题操作起来容易、方便. 4．求向量夹角时要注意：(1)向量数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线两向量夹角为锐角，数量积等于0说明两向量夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量夹角关系是钝角． 二年模拟1.【2021年江西南昌一中高三模拟】向量a =(1，3，向量a ，c 夹角是3π，a ·c =2，那么|c |等于 . 【答案】2【解析】由题意，得||2a =，向量a c ⋅夹角是3π，且||||cos 23a c a c π⋅=⋅=，解得||2c =.2.【2021年河南商丘高三二模】设向量21,e e 是两个互相垂直单位向量，且221,2e b e e a =-==+b a 〔 〕A ．22B ．5C ．2D ．4 【答案】B【解析】因为12e e ⊥,所以120e e ⋅=,()()()222221212221222442424545a b a ba ab b e e e e e e e e +=+=+⋅+=-+-⋅+=+⋅=．3. 【2021年江西师大附中高三二模】,,A B C 是单位圆上互不一样三点，且满足，那么AB AC →→⋅最小值为〔 〕A ．14- B ．12- C ．34- D ．1- 【答案】B4. 【2021届河南省郑州一中高三考前冲刺五】,a b 均为单位向量，它们夹角为60°，那么3a b +=〔 〕A ．13B ．10C ．4D ．13 【答案】A【解析】由条件可知222211,|b |1,2a ab a b ====⋅= ，()()222336913a ba b a a b b +=+=+⋅+=，所以313a b +=.故此题答案选A.5. 【2021届河南省新乡卫辉一中高考押题一】向量,a b 夹角为120°，且2,3a b ==，那么向量23a b +在向量2a b +方向上投影为〔 〕A ．B ．C 56D 83【答案】A【解析】，向量23a b +在向量2a b +方向上投影为(23)(2)191313|2|4494(3)13a b a b a b +⋅+===+⨯++⨯-，选A.6.【2021届宁夏石嘴山三中高三三模】向量a ，b 满足()2a b a ⋅+=，且||1a =，||2b =，那么a 与b 夹角为〔 〕A ．6πB ．5π C ．4π D ．3π 【答案】D【解析】由()2a b a ⋅+=可得1=⋅b a ，那么21||||,cos =⋅>=<b a b a b a ，故a 与b 夹角为3π． 7. 【2021届河南省郑州市高三第二次模拟】C B A ,,为ABC ∆三个内角，向量m 满足，且)2cos ,2sin 2(CB C B m -+=，假设A 最大时，动点P 使得PB 、BC 、PC 成等差数列，那么BCPA 最大值是〔 〕A ．332 B ．322 C ．42 D ．423【答案】A. 【解析】222262sin cos 2cos cos 22222B C B C A B C m +--=+=+=， ∴222313cos 2cos [0,1]cos 222424B C A A -=-∈⇒≤≤，又∵， ∴132cos22262333A A A ππππ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，故A 最大值为23π，取到最大值时，又∵||PB ，||BC ，||PC 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+，故P 点轨迹是以B ，C 为焦点椭圆，如以下图所示建立平面直角坐标系，不妨设2AB AC ==，∴22||433a BC a ==⇒=3c =223b a b =-=，∴椭圆标准方程是，∴22224||(1)12213PA x y y y y =+-=-+-+2211213(3)16433y y y =--+=-++，当且仅当3y =-时，等号成立，∴max ||23()||23PA BC ==A ． 8. 【2021届河南省郑州一中高三考前冲刺二】ABC ∆外心O 满足，那么=A cos 〔 〕A ．21B ．23C ．31- D ．33 【答案】A9. 【2021届湖北省八校高三二联】在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，那么AE BF ⋅=〔 〕A.83- B. 1- C. 2 D. 103【答案】C【解析】2233AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+,1122BF BC CF BC CD AD AB =+=+=-,所以222112232233AE BF AB AD AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221221434322332=-⨯+⨯+⨯⨯⨯=，应选C.10. 【2021届四川省成都市石室中学高三5月一模】如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 中点，对于常数λ，在梯形ABCD 四条边上恰有8个不同点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，那么实数λ取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ． 【答案】D11. 【2021 届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】假设向量a 、b 满足)1,2(-=+b a ，)2,1(=a，那么向量a 与b 夹角等于 〔 〕A ．︒45B ．︒60C ．︒120D ．︒135 【答案】D ．【解析】设(,)b x y =，那么由)1,2(-=+b a ，)2,1(=a得：(1,3)b =-，所以(1,2)(1,3)52cos ,251052a b a b a b⋅⋅--<>====⨯⋅a 与b 夹角等于︒135，故应选D ．12.【2021 届陕西省西安市一中高三下学期自主命题一】设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，那么a b ⋅=〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【解析】2210,210b a b a a b ∴++⋅=+=①；226,26b a b b a a ∴+⋅--==②；①-②得，a b ⋅=1．13.【2021 届福建省泉州五中高三模拟考试】向量2a b ==，a 与b 夹角为3π．假设向量m 满足1m a b --=，那么m 最大值是A ．231-B ．231+C ．4D ．621++ 【答案】B【解析】设()0,2=a ，由于a 与b 夹角为3π，那么()3,1=b ，设()y x m ,=，()3,3--=--y x b a m ()()13322=-+-=y x ，故向量m 终点在以()3,3为 圆心，1=r 为半径圆上，m 最大值为圆心到原点距离加上半径，即132139+=++，故答案为B ．14. 【2021 届江苏省南通市高三第二次调研】在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，那么线段AC 长为 ．【答案】315.【2021 届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】如图：边长为4正方形ABCD 中心为E ，以E 为圆心，1为半径作圆．点P 是圆E 上任意一点，点Q 是边CD BC AB ,,上任意一点〔包括端点〕，那么DA PQ ⋅取值范围为 ． 【答案】[]12,12-【解析】以A 为原点，AD AB ,分别为y x ,轴建立平面直角坐标系，()()40,00，，D A ，()40-=→，DA ，圆E ：()()12222=-+-y x ，设()31,31,,≤≤≤≤y x y x P ，当∈Q 线段AB 时，()40,0,≤≤a a Q ，此时()y x a PQ --=→,，此时[]1244，∈=⋅→→y DA PQ ，当∈Q 线段BC 时，()40,4≤≤b b Q ，，此时()y b x PQ --=→,4，()[]12,124-∈--=⋅→→y b DA PQ ，当∈Q 线段CD 时，()40,4,≤≤a a Q ，此时，()y a PQ --=→4,4，()[]4-,1244-∈--=⋅→→y DA PQ ，所以最后取值范围是[]12,12-． 拓展试题以及解析1.(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，假设(2)a b c -⊥，那么||b =〔 〕 A ．35 B ．32 C ．25 D ．10 【答案】A【解析】由题，得2(22,7)a b k -=--，又(2)a b c -⊥，所以(2)0a b c -⋅=，即1(22)720k ⨯--+⨯=，解得6k =，所以22||(3)35b k =+-=，应选A ．【入选理由】此题考察平面向量坐标运算、数量积与模等根底知识，意在考察转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．此题是一个常规题出法，但有一定综合性，应选此题.2.,a b 是平面内两个单位向量，满足0⋅=a b ，假设向量c 满足=1⋅=⋅a c b c ，那么++c a b 为〔 〕A ．22B ．2C ．3D ．1 【答案】A【入选理由】此题考察平面向量数量积与模等根底知识，意在考察转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．此题主要表达在运用向量数量积解题时，一定要注意两向量夹角范围,具有一定代表性，应选此题.3.平面向量b a ,是非零向量，2||=a ，)2(b a a +⊥，那么向量b 在向量a 方向上投影为 . 【答案】-1【解析】∵ 2||=a ，)2(b a a +⊥，∴)2(b a a +•=02||2=•+b a a ，∴=-2，∴向量b 在向量a ||a =-1.【入选理由】此题主要考察平面向量垂直充要条件、平面向量数量积应用等根底知识，意在考察转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．此题是一个常规题,也是高考考试重点，应选此题.4.扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上动点，AB 与OC 交于点P ，那么OP BP ⋅最小值是_______. 【答案】116-【入选理由】此题考察向量数量积、根本不等式等根底知识，意在考察数形结合思想、分析问题与解决问题能力、根本运算能力及推理能力．此题向量与不等式巧妙结合，有新意，应选此题.5. 向量b a ,满足42=a ，2||=b ，4)3()(=-⋅+b a b a ，那么a 与b 夹角为 . 【答案】32π【解析】由4)3()(=-⋅+b a b a 得，4||2322=-⋅+b b a a ，即422432=-⋅+⨯b a ，得2-=⋅b a . 【入选理由】此题考察向量数量积,向量夹角等根底知识，意在考察分析问题与解决问题能力、根本运算能力及推理能力．此题是一个常规题,而夹角是向量应用重点，应选此题.ABC ∆中，角A B C ，，所对边是a b c ，，，GA GB GC ++=0且0GA GB ⋅=，假设，那么实数m 值是〔 〕A.12B.13C.14D.15【答案】A【解析】由题知，G 是三角形重心，所以，()()11233BG BA BC AC AB +=-=.因为()()1209AG BG AB AC AC AB =+-=，即2220AC AB AB AC --=，所以()222221202b c b c a --+-=，整理得：2225a b c +=①因为，所以()tan tan tan tan tan A B C m A B +=，即()sin cos sin cos sin cos sin sin B A A B C m C A B +=，即2sin cos sin sin C m C A B =，即，将①代入得.【入选理由】此题考察向量数量积,三角恒等变形，正余弦定理等根底知识，意在考察学生分析问题解决问题能力与运算求解能力．此题综合性较强,有一定难度，应选此题.7.在ABC ∆中，3,4AB AC ==,N 是AB 中点，边AC 〔含端点〕上存在点M ，使得BM CN ⊥，那么cos A 取值范围为_______.【答案】3[,1)8【入选理由】本小题主要考察向量数量积，函数值域，三角函数有界性等根底知识，意在考察分析问题能力、根本运算能力．此题表达向量作为一个工具作用，应选此题.8.向量,a b 满足|a |=1,|2|a b -=23a 在b 方向投影为12，那么(+2)b a b •= . 【答案】34第 21 页 【解析】设向量a ，b 夹角为θ，那么||cos a θ=12，解得cos θ=12，由|2|a b -=224||4||||cos ||a a b b θ-+=12，即242||||12b b -+=，解得||4b =，所以(2)b a b •-=22||a b b •+=34. 【入选理由】此题主要考察向量数量积,向量模,投影等根底知识，意在考察学生分析问题解决问题能力与运算求解能力．此题是一个常规题出法，但有一定综合性，应选此题.。
高考数学复习、高中数学 平面向量的数量积及其应用附答案解析
第3节 平面向量的数量积及其应用课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件；5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.【知识衍化体验】知识梳理1. 平面向量数量积的有关概念（1）向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记=OA a ，=OB b ，则()1800≤≤=∠θθAOB 叫做向量a 和b 的夹角.（2）数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积（或内积）a ·b= .规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a =0（3）数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影 的乘积.2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a =()11,y x ，b =()22,y x ，θ为向量a 和b 的夹角. （1）数量积：a ·b=|a ||b |2121cos y y x x +=θ. （2）模：|a |=2121y x a a +=⋅.（3）夹角：222221212121cos yx y x y y x x ba ba +⋅++=⋅=θ.（4）两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b=002121=+⇔y y x x . （5）|a ·b |≤|a ||b |（当且仅当a//b 时等号成立）222221212121y x y x y y x x +⋅+≤+⇔.3. 平面向量数量积的运算律 （1）a ·b=b ·a （交换律）. （2）λa ·b=λ（a ·b ）=a ·（λb ）（结合律）. （3）（a+b ）·c=a ·c+b ·c （分配律）.【微点提醒】1. 两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a · b>0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a · b<0且a ，b 不共线.2. 平面向量数量积运算的常用公式 （1）(a+b )·(a -b )=a 2-b 2. （2）(a+b )2=a 2+2a ·b +b 2. （3）(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2.基础自测疑误辨析1. 判断下列结论正误（在括号内打“√”或“× ”）（1）两个向量的夹角的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，. （ ）（2）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. （ ） （3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. （ ） （4）若a ·b=a ·c (a ≠0)，则b =c . （ ）教材衍化2. 设a ，b 是非零向量.“a·b=|a ||b |”是“a//b ”的 （ ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 B. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．考题体验4．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m =（ ） A ．8- B ．6- C ．6 D ．86．（2016年全国III ）已知向量1(,22BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=（ ）A ．30B ．45C ．60D ．120【考点聚焦突破】考点1 平面向量数量积的运算【例1】（1）向量a =（2，﹣1），b =（﹣1，2），则（2a +b ）•a =（ ） A ．1 B ．﹣1C ．﹣6D ．6（2）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 （ ）A ．85- B ．81 C ．41 D ．811规律方法 1.数量积公式a ·b= |a ||b |θcos 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b 2121y y x x +=求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】（1）已知正方形的边长为,为的中点,则 ． （2）已知a =（2sin13°，2sin77°），|a ﹣b |=1，a 与a ﹣b 的夹角为3π，则a •b =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5考点2 平面向量数量积的应用角度1 平面向量的垂直【例2-1】（1）（2016·山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为 （ ）A ．4B ．–4C ．D ．–（2）（2019·宜昌二模）已知ΔABC 中，120A ∠=，且AB=3，AC=4，若+=λ，且⊥，则实数λ的值为 （ ）ABCD 2E CD AE BD ⋅=9494A.1522 B. 310 C. 6 D. 712规律方法 1.当向量,a b 是非坐标形式时，要把,a b 用已知的不共线向量作为基底来表示且题中应该需要有基底向量的模与夹角，然后进行运算.2.数量积的运算a •b =0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若,a b 中有零向量，虽然a •b =0，但不能得到a ⊥b . 角度2 平面向量的模【例2-2】（1）(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ．（2）（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为 （ ）ABCD规律方法 1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用|a |=a a ⋅及(a ±b )2=|a|2±2a ·b +|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；（2）几何法，利用向量数量积的几何意义. 2.求向量模的最值（范围）的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2-3】（1）(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 （ ）A ．4π B ．2πC ．34πD ．π（2）(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =（ ） 112A．BC ．0D．规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[]π,0；若题目给出向量的坐标表示，可直接用公式222221212121cos yx y x y y x x ba ba +⋅++=⋅=θ求解.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角. 【训练2】（1）（1）（2018·重庆模拟）若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ）A.4πB.2πC.34π D.π（2）（2019·北京八中乌兰察布分校高一月考）已知a =（1，2），b =（x ，1），若a 与b 的夹角是锐角，则的取值范围为______．（3）（2019·上海闵行中学高二期中）在ⅠABC 中，3AB =，2AC =，60A =︒，AG mAB AC =+，则||AG 的最小值为________.考点3 平面向量与三角函数【例3】在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =()()()B A B A --sin ,cos ，xn =()B B sin ,cos -，且m ·n =53-. （1）求A sin 的值；（2）若5,24==b a ，求角B 的大小及向量在方向上的投影.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路： （1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是通过向量运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】已知A ，B ，C 分别为ΔABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m =()B A sin ,sin ，n =()A B cos ,cos ，且m ·n =C 2sin . （1）求角C 的大小；（2）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且()18=-⋅，求边c 的长.反思与感悟[思维升华]1. 计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积的几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [易错防范]1. 数量积运算律要准确理解、应用，例如a ·b=a ·c (a ≠0)不能得出b =c ，两边不能约去一个向量，数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·（b ·c ）.2. 两向量夹角的范围是[0，π]，a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价．第3节 平面向量的数量积及其应用知识衍化体验 知识梳理1. （2）|a ||b |θcos （3）|b |θcos 基础自测1.（1） × （2） √ （3）√ （4）×2.A 3．9 4．B ． 5．D ． 6．A ． 考点聚焦突破 【例1】（1）D ；（2）B 。
高中数学五三高考真题解析5.2 平面向量的数量积及其应用
5.2平面向量的数量积及其应用挖命题【考情探究】分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.5.高考中常以选择题、填空题的形式呈现,分值为5分.破考点【考点集训】考点一数量积的定义1.(2018河北五个一名校联考,5)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于()A.-B.-C.D.答案A2.(2018北京朝阳期中,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则·=()A.5B.-5C.1D.-1答案D3.(2018湖北天门等三地3月联考,13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a 方向上的投影为.答案考点二平面向量数量积的应用1.(2017河南豫南九校4月联考,4)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于()A.-B.1C.2D.答案B2.(2018福建三明一中期中,8)已知O是△ABC所在平面上一点,且满足||2+||2=||2+||2,则点O()A.在过点C且与AB垂直的直线上B.在∠A的平分线所在直线上C.在边AB的中线所在直线上D.以上都不对答案A3.(2018河北石家庄3月质检,6)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a 的夹角为()A. B. C. D.答案D炼技法【方法集训】方法1 求向量长度的方法1.(2018河北衡水中学六调,8)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则||的取值范围是()A.[,2]B.[,2)C.(,)D.[,2]答案B2.(2018四川双流中学期中,9)已知平面向量,满足||=||=1,·=-,若||=1,则||的最大值为()A.-1B.-1C.+1D.+1答案D方法2 求向量夹角问题的方法1.(2018云南玉溪模拟,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b夹角的余弦值为()A. B.- C. D.-答案C2.(2017河南天一大联考(一),7)已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为()A. B. C. D.答案C方法3数形结合的方法和方程与函数的思想方法(2018北京西城月考,16)如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F.设BE=x,f(x)=·,则函数f(x)的值域是.答案(0,4]过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一数量积的定义1.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B2.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A考点二平面向量数量积的应用(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1答案BB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一数量积的定义1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3答案C2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为()A.-B.C.D.答案B3.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·=.答案9考点二平面向量数量积的应用1.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t 的值为()A.4B.-4C.D.-答案B2.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=()A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案D3.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于()A.13B.15C.19D.21答案A4.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.答案5.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案4;2C组教师专用题组1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A. B. C. D.π答案A3.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=()A.20B.15C.9D.6答案C4.(2014重庆,4,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=()A.-B.0C.3D.答案C5.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则()A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2答案D6.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值②若a⊥b,则S min与|a|无关③若a∥b,则S min与|b|无关④若|b|>4|a|,则S min>0⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为答案②④【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019届吉林第一次调研,5)已知等边△ABC的边长为2,则|+2+3|=()A.2B.2C.4D.122.(2019届山东邹城期中质检,6)已知O是△ABC的外心,||=4,||=2,则·(+)=()A.8B.9C.10D.12答案C3.(2019届福建师范大学附中期中,8)若四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,则·=()A.-B.C.-D.答案A4.(2019届江西赣州五校协作体期中,8)在Rt△ABC中,点D为斜边BC的中点,||=6,||=6,=,则·=()A.-14B.-9C.9D.14答案C5.(2017湖南五市十校联考,8)△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案C6.(2018河南郑州二模,7)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=,则(a+b)·(2b-c)的最A.-2B.3-C.-1D.0答案B7.(2018安徽江南十校4月联考,8)已知△ABC中,AB=6,AC=3,N是边BC上的点,且=2,O为△ABC的外心,则·的值为()A.8B.10C.18D.9答案D8.(2018广东广州华南师大附中,10)如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则·的最大值为()A. B. C.1D.答案C二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2019届江西九江十校联考,14)已知向量a=(1,2),b=(1,-1),(c-a)∥b,(a+b)⊥c,则c与a夹角的余弦值为.答案10.(2018河南天一大联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=DC=2,点E,F分别为线段AB,BC的三等分点,O为DC的中点,则cos<,>=.曲一线 让每一位学生分享高品质教育11 / 11答案 -11.(2018河南安阳二模,15)已知在△OAB 中,OA=OB=2,AB=2,动点P 位于线段AB 上,则当·取最小值时,向量与的夹角的余弦值为 .答案-12.(2018福建泉州4月联考,16)在矩形ABCD 中,AB=2,AD=1,边DC 上的动点P(包含点D,C)与CB 延长线上的动点Q(包含点B)满足||=||,则·的最小值为 .答案。
第03讲 平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。
高考数学复习、高中数学 平面向量的数量积及其应用附答案解析
课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平 面向量的数量积；2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；3.能 用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；4.会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件；5.会用向量方法解决简单的平面几 何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
3
12
D.
7
规律方法 1.当向量 a, b 是非坐标形式时，要把 a, b 用已知的不共线向量作为基底来表示且
题中应该需要有基底向量的模与夹角，然后进行运算.
2.数量积的运算 a•b=0 a b 中，是对非零向量而言的，若 a, b 中有零向量，虽然 a•b=0，但不能得到 a b .
角度 2 平面向量的模
（）
（ 3） 两 个 向 量 的 数 量 积 是 一 个 实 数 ， 向 量 的 加 、 减 、 数 乘 运 算 的 运 算 结 果 是 向 量 . （）
（
4）
若
a·
b=a·
c(a 0)，
则
b=c.
（）
教材衍化
2. 设 a，b 是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a//b”的
（）
A. 充分而不必要条件
．
（2）已知 a=（2sin13°，2sin77°），|a﹣b|=1，a 与 a﹣b 的夹角为 ，则 a•b=（ ）
3
A．2
B．3
C．4
D．5
考点 2 平面向量数量积的应用
角度 1 平面向量的垂直
【例 2-1】（1）（2016·山东）已知非零向量 m,n 满足 4 | m | 3 | n | ， cos m, n 1 3
高考数学专题复习五-5.2平面向量的数量积及其应用-模拟练习题(附答案)
5.2 平面向量的数量积及其应用基础篇考点 平面向量的数量积及其应用考向一 求平面向量的数量积1.(2022全国乙,3,5分)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=√3,|a-2b |=3,则a ·b =( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 C2.(2019课标Ⅱ,3,5分)已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-3B.-2C.2D.3 答案 C3.(2022陕西汉中第二次质检,4)已知向量a =(−12,√32),b =(√32,−12),则下列关系正确的是( )A.(a +b )∥(a -b )B.(a +b )⊥bC.(a +b )⊥(a -b )D.(a +b )⊥a 答案 C4.(2022河南焦作二模,5)在边长为2的正六边形ABCDEF 中,AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-6B.-2√3C.2√3D.6 答案 A5.(2023届南京溧水期中,5)已知菱形ABCD 中,AB =2,∠ABC =120°,M 为BC 中点,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =19,则λ= ( )A.1B.3C.5D.7 答案 B6.(2022全国甲,13,5分)设向量a ,b 的夹角的余弦值为13,且|a |=1,|b |=3,则(2a+b )·b = . 答案 117.(2020课标Ⅱ,13,5分)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka-b 与a 垂直,则k = . 答案√228.(2021全国乙,14,5分)已知向量a =(1,3),b =(3,4),若(a -λb )⊥b ,则λ= . 答案 359.(2022皖北协作体4月联考,14)已知非零向量a ,b 满足|a +b |=4a ·b ,|a -b |=2a ·b ,则a ·b = . 答案 13考向二 向量的投影问题1.(2023届西安西工大附中适应性测试二,4)已知向量a 在向量b 方向上的投影为-1,向量b 在向量a 方向上的投影为-12,且|b |=1,则|a +2b |= ( )A.12B.4C.2√3D.2 答案 D2.(2022江西赣州3月联考,13)已知向量a =(-1,t ),b =(2,4).若向量a 在向量b 方向上的射影为√5,则t = . 答案 33.(2022南昌一模,14)e 1,e 2是互相垂直的单位向量,a =e 1+e 2,b =3e 1+4e 2,则a 在b 上的投影为 . 答案 754.(2023届昆明五华开学考,14)已知△ABC 的外接圆圆心为O ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 34考向三平面向量的模长的计算1.(2021成都二模,6)在△ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BO⃗⃗⃗⃗⃗ =3,则BC边的长度为() A.√6 B.2√3 C.2√6 D.6答案A2.(2020课标Ⅰ,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.答案√33.(2022安徽安庆示范高中4月联考,13)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,b⊥(a+b),则|a-2b|=.答案2√34.(2023届河南名校联考诊断一,13)已知向量a=(2,2),b=(3,3m-2),c=(-2,2-2m).若a∥(b+c),则|b|=.答案√10考向四平面向量夹角的简单计算1.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=()A.-6B.-5C.5D.6答案C2.(2023届豫东名校联考,3)已知平面向量a,b满足a=(√3,1),|b|=√2,|a+b|=√2,则a与b的夹角为()A.2π3B.π4C.3π4D.5π6答案C3.(2021豫北名校联盟5月联考,6)已知单位向量a,b满足|2a+b|=|a-2b|,若向量c=√3a-b,则向量b与c的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C4.(2020课标Ⅲ,6,5分)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos<a ,a +b >=( ) A.-3135 B.−1935 C.1735 D.1935 答案 D5.(2019课标Ⅲ,13,5分)已知a ,b 为单位向量,且a ·b =0,若c =2a -√5b ,则cos<a ,c >= . 答案 236.(2022贵阳五校联考,13)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a -b =(√3,√2),则a 与b 的夹角为 . 答案 π2(或90°)综合篇考法一 平面向量的数量积运算1.(2022陕西省西安中学五模,7)在直角三角形ABC 中,∠ABC =90°,AB =6,BC =2√3,点M 、N是线段AC 上的动点,且|MN |=2,则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ( )A.12B.8C.6√3D.6 答案 B2.(2022郑州二模,9)在△ABC 中,AB =2,AC =3,∠BAC =60°,M 是线段AC 上任意一点,则MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是 ( )A.-12 B.-1 C.-2 D.-4 答案 B3.(2023届湖南岳阳适应性测试,7)已知面积为6的直角△ABC 中,P ,Q 为斜边BC 上的两个三等分点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.89B.163C.8D.83答案 B4.(2023届贵阳一中适应性测试一,8)△ABC 是边长为6的等边三角形,点D ,E 分别在边AC ,BC 上,且DE ⊥BC ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.274B.278C.−278D.−274答案 D5.(2021江西上饶二模,10)如图,AB 是圆O 的一条直径且AB =2,EF 是圆O 的一条弦,且EF =1,点P 在线段EF 上,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是 ( )A.12 B.−14 C.−12 D.−34 答案 B6.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c =0,|a |=1,|b |=|c |=2,a ·b +b ·c +c ·a = . 答案 -927. (2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD 中,∠B =60°,AB =3,BC =6,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32,则实数λ的值为 ,若M ,N 是线段BC 上的动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .答案 16;132考法二 向量模的最值问题1.(2021河南三门峡一模,7)已知点G 是△ABC 的重心,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),若∠BAC =120°,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,则|AG⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ( )A.√33 B.√22C.12D.23答案 D2.(2018浙江,9,4分)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b +3=0,则|a -b |的最小值是 ( )A.√3−1B.√3+1C.2D.2-√3 答案 A3.(2022哈尔滨九中二模,11)窗的运用是中式园林设计的重要组成部分,在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法,将民族文化与哲理融入其中,营造出广阔的审美意境.从窗的外形看,常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.已知圆O 是某窗的平面图,O为圆心,点A 在圆O 的圆周上,点P 是圆O 内部一点,若|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是( )A.3B.4C.9D.16 答案 A4.(2021青海西宁重点中学3月模拟,9)已知单位向量a ,b 满足|a -b |+2√3a ·b =0,则|ta +b |(t ∈R )的最小值为 ( )A.√23 B.√32C.2√23D.√22答案 B考法三 平面向量夹角的计算方法1.(2023届山西临汾期中,3)已知平面向量a =(−1,12),b =(1,λ),a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.(-∞,2]B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(−∞,−12)∪(−12,2) 答案 D2.(2023届河南安阳联考,3)已知非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案 D3.(2022贵州黔东南一模,9)在四边形ABCD 中,AB =√3AD ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D4.(2022吉林10月月考,12)如图,在斜坐标系xOy 中,x 轴的正方向与y 轴的正方向成60°角,向量e 1是与x 轴正方向同向的单位向量,向量e 2是与y 轴正方向同向的单位向量,若向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1+ye 2,则称有序数对<x ,y >为向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,记作OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =<x ,y >.在此斜坐标系xOy 中,已知向量a =<1,2>,b =<5,-4>,则向量a 与b 夹角的大小为 ( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 C5.(2022四川南充三模,15)在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =2,AC =3,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN 与BM 交于点P ,则cos ∠BPN 的值为 . 答案2√55专题综合检测一、选择题1.(2017课标Ⅱ,4,5分)设非零向量a ,b 满足|a+b |=|a-b |,则 ( )A.a ⊥bB.|a |=|b |C.a ∥bD.|a |>|b | 答案 A2.(2023届贵州黔东南月考,8)已知向量a =(2x ,-4),b =(1,y ),a =-2b ,则向量b 在a 上的投影为( )A.-2√2B.−2√3C.−√5D.−√10 答案 C3.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A4.(2022黑龙江八校期中,7)在△ABC 中,若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 答案 C5.(2021江西三校3月联考,6)在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,AC 与BD 相交于点O ,过点A作AE ⊥BD ,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.1225 B.2425 C.125D.45答案 D6.(2023届河南洛阳六市联考,8)圆是中华民族传统文化的形态象征,象征着“圆满”和“饱满”,是自古“以和为贵”的中国人所崇尚的图腾.如图,AB 是圆O 的一条直径,且|AB |=4,C ,D是圆O 上的任意两点,|CD |=2,点P 在线段CD 上,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A.[√3,2]B.[-1,0]C.[3,4]D.[1,2] 答案 B7.(2022四川攀枝花二模,9)平面四边形ABCD 中,BC =1,CD =2,∠BCD =60°,且△ABD 为正三角形,则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-3B.-32 C.32 D.3 答案 C8.(2021河南3月适应性测试,10)若△ABC 的外心为O ,且∠BAC =60°,AB =2,AC =3,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.5B.8C.10D.13 答案 C9.(2022云南第一次质检,12)在△ABC 中,D 是直线AB 上的点.若2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,记△ACB 的面积为S 1,△ACD 的面积为S 2,则S1S 2=( )A.λ6B.λ2C.13D.23 答案 D10.(2022山西怀仁期中,9)下列说法中正确的是( )A.已知a =(1,2),b =(1,1),且a 与a +λb 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(−53,+∞) B.向量e 1=(2,-3),e 2=(12,−34),可以作为平面内所有向量的一组基底 C.非零向量a 和b ,满足|a |>|b |,且两个向量同向,则a >b D.非零向量a 和b ,满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为30°答案 D11.(2022河南段考三)已知△ABC 的三个内角分别为A ,B ,C ,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ·(AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的 ( )A.重心B.垂心C.内心D.外心 答案 A12.(2017课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 ( )A.3B.2√2C.√5D.2 答案 A 二、填空题13.(2022中学生标准学术能力测试,14)平面向量a ,b 满足:|a |=1,|a +2b |=-3a ·b ,设向量a ,b 的夹角为θ,则sin θ的最大值为 答案3√131314.(2022山西晋中二模,15)在平行四边形ABCD 中,已知AB =6,AD =4,∠BAD =π3,DE⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 3415.(2022新疆克拉玛依三模,16)设a ,b 是两个非零向量,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点A 和终点B ,分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如图,已知扇形AOB 的半径为1,以O 为坐标原点建立平面直角坐标系,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),则弧AB 的中点C 的坐标为 ;向量CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为 .答案 (√32,12);(−√34,−34) 16.(2022吉林梅河口五中月考,16)①若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m ,-3-m ),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m >-34.②点O 在△ABC 所在的平面内,若OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点O 为△ABC 的垂心. ③点O 在△ABC 所在的平面内,若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC ,△ABC 的面积,则S △AOC ∶S △ABC =1∶6.④点O 在△ABC 所在的平面内,若满足AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |且CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点O 是△ABC 的外心.以上命题为假命题的序号是 . 答案 ①④。
2024年高考数学总复习第五章平面向量真题分类21平面向量的数量积和平面向量的应用
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真题分类21 平面向量的数量积和平面向量的应用
高考·数学
6．(2021·北京，13，5 分)a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝___0_____； a·b＝____3____．
答案：0 3 ∵a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)， ∴a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0， ∴a·b＝2×2＋1×(－1)＝3. 故答案为 0；3.
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真题分类21 平面向量的数量积和平面向量的应用
高考·数学
4．(2022·全国甲卷(理)，13，5 分)设向量 a，b 的夹角的余弦值为13 ，且|a|＝1，|b|＝ 3，则(2a＋b)·b＝__1_1_____．
答案：11 因为 cos 〈a，b〉＝13 ，|a|＝1，|b|＝3， 所以 a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝1×3×13 ＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
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真题分类21 平面向量的数量积和平面向量的应用
高考·数学
Ⅱ.求向量的数量积的最值(范围)问题
7．(2020·新高考全国Ⅰ，7，5 分)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，
则A→P ·A→B 的取值范围是( ) A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4)
真题分类21 平面向量的数量积和平面向量的应用
C1.平面向量的数量积及其运算律
高考·数学
命题者说：掌握数量积、投影等概念，能利用定义进行运算求值，解决含参、求最值等问题.
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题
高中数学满分精练 专练25 平面向量的数量积及其应用 解析版
高中数学满分精练 专练25 平面向量的数量积及其应用[基础强化]一、选择题1．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为60°，向量m ＝5e 1－2e 2，则|m |＝( ) A ．19 B ．21 C ．25 D ．72．[2022·全国乙卷(文)，3] 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－2，4)，则||a －b ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．已知AB → ＝(2，3)，AC → ＝(3，t )，|BC → |＝1，则AB → ·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．34．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．[2022·全国乙卷(理)，3]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3 ，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．26．[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a ＋μb )，则( ) A ．λ＋μ＝1 B ．λ＋μ＝－1 C ．λμ＝1 D ．λμ＝－17．已知x >0，y >0，a ＝(x ，1)，b ＝(1，y －1)，若a ⊥b ，则1x ＋4y的最小值为( )A ．4B ．9 D ．8 D ．108．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．已知向量|OA → |＝2，|OB → |＝4，OA → ·OB → ＝4，则以OA → ，OB →为一组邻边的平行四边形的面积为( )A ．43B ．23C ．4D ．2二、填空题 10．已知|a |＝2 ，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，若t b －a 与a 垂直，则实数t ＝________． 11．[2023·新课标Ⅱ卷]已知向量a ，b 满足|a －b |＝3 ，|a ＋b |＝|2a －b |，则|b |＝________．12．[2022·全国甲卷(理)，13]设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且|a |＝1，|b |＝3，则(2a＋b )·b ＝________．[能力提升]13．(多选)[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A (1，0)，则( )14．(多选)[2023·山东省临沂质量检测]在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图).假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2 时，|F 1|＝22 |G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |15．[2023·全国乙卷(理)]已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若||PO ＝2 ，则P A → ·PD →的最大值为( )A ．1＋22B ．1＋222C ．1＋2D ．2＋216．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．专练25 平面向量的数量积及其应用1．A |m |＝（5e 1－2e 2）2 ＝25－20e 1·e 2＋4 ＝29－20×12＝19 .2．D 由题意可得a －b ＝()2，1 －()－2，4 ＝()4，－3 ，所以||a －b ＝ 42＋()－32 ＝5.故选D.3．C 因为BC → ＝AC → －AB → ＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2 ＝1，解得t ＝3，所以BC → ＝(1，0)，所以AB → ·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.4．B a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3. 5．C 将|a －2b |＝3两边平行，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝3 ，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.6．D 因为a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，所以a ＋λb ＝(1＋λ，1－λ)，a ＋μb ＝(1＋μ，1－μ)，因为(a ＋λb )⊥(a ＋μb )，所以(a ＋λb )·(a ＋μb )＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.7．B 依题意，得a ·b ＝x ＋y －1＝0⇒x ＋y ＝1.1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4（x ＋y ）y ＝5＋y x ＋4xy≥9，当且仅当x ＝13 ，y ＝23时取等号．故选B.8．B 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝12 ，∵α∈(0，π)，∴α＝π3.故选B.9．A 因为cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →|·|OB →| ＝42×4 ＝12，所以∠AOB ＝60°，sin ∠AOB ＝32 ，则所求平行四边形的面积为|OA → |·|OB →|·sin ∠AOB ＝43 ，故选A.10．2解析：由已知可得a ·b ＝1×2 ×22＝1.因为t b －a 与a 垂直，所以(t b －a )·a ＝0，得t a ·b －a 2＝0，即t －2＝0，故t ＝2.11.3 解析：由|a －b |＝3 ，得a 2－2a ·b ＋b 2＝3，即2a ·b ＝a 2＋b 2－3 ①.由|a ＋b |＝|2a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4a 2－4a ·b ＋b 2，整理得，3a 2－6a ·b ＝0，结合①，得3a 2－3(a 2＋b 2－3)＝0，整理得，b 2＝3，所以|b |＝3 .12．11解析：因为cos 〈a ，b 〉＝13 ，|a |＝1，|b |＝3，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×13＝1，所以(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×1＋32＝11.13．AC A ：OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(cos α，sin α)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(cos β，－sin β)，所以|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝（cos 2β）＋（－sin β）2 ＝1，故|OP 1|＝|OP 2|，正确；B ：AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(cos α－1，sin α)，AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(cos β－1，－sin β)，所以|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝（cos α－1）2＋sin 2α＝cos 2α－2cos α＋1＋sin 2α ＝2（1－cos α） ＝4sin 2α2 ＝2|sin α2|，同理|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝（cos β－1）2＋sin 2β ＝2|sin β2|，故|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |不一定相等，错误； C ：由题意得：OA → ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝1×cos (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝cos (α＋β)，OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 2＝cos α·cosβ＋sin α·(－sin β)＝cos (α＋β)，正确；D ：由题意得：OA → ·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝1×cos α＋0×sin α＝cos α，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝cos β×cos (α＋β)＋(－sin β)×sin (α＋β)＝cos ()β＋()α＋β ＝cos ()α＋2β ，故一般来说OA → ·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，错误． 故选AC.14．ACD 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0，可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得|G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ，所以|F 1|2＝|G |22（1＋cos θ） .当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2 时，|F 1|＝22 |G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故ACD 正确．当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错．15．A 方法一 连接OA ，由题可知|OA |＝1，OA ⊥P A ，因为|OP |＝2 ，所以由勾股定理可得|P A |＝1，则∠POA ＝π4.设直线OP 绕点P 按逆时针旋转θ后与直线PD 重合，则－π4 <θ<π4 ，∠APD ＝π4＋θ，且|PD |＝2 cos θ. 所以P A → ·PD → ＝|P A → ||PD →|cos (π4 ＋θ)＝2 cos θcos (π4 ＋θ)＝2 cos θ(22 cos θ－22sin θ)＝cos 2θ－sin θcos θ＝12 ＋12 cos 2θ－12 sin 2θ＝12 ＋22 cos (2θ＋π4 )≤12 ＋22，故选A.方法二 以圆心O 为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆O ：x 2＋y 2＝1，点P (2 ，0)，因为|OA |＝1，且OA ⊥P A ，所以∠POA ＝π4 ，不妨设A (22 ，22).设直线PD 的方程为y ＝k (x －2 )，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2）x 2＋y 2＝1，得(k 2＋1)x 2－22 k 2x ＋2k 2－1＝0，由Δ＝8k 4－4(k 2＋1)(2k 2－1)＝4－4k 2>0，解得－1<k <1，则x 1＋x 2＝22k 2k 2＋1 ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－22 )＝－22k k 2＋1 ，所以D (2k 2k 2＋1 ，－2k k 2＋1).于是P A → ＝(－22 ，22 )，PD → ＝(－2k 2＋1 ，－2k k 2＋1 )，所以P A → ·PD →＝1－k k 2＋1.设t ＝1－k ，则0<t <2，P A → ·PD →＝t （1－t ）2＋1 ＝t t 2－2t ＋2 ＝1t ＋2t－2 ≤122－2 ＝12 ＋22 ，当且仅当t ＝2 时等号成立，故选A.16.223解析：a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21 －9e 1·e 2＋2e 22 ＝11－9×13＝8， 又|a |＝（3e 1－2e 2）2 ＝9e 21 ＋4e 22 －12e 1·e 2 ＝3，|b |＝（3e 1－e 2）2 ＝9e 21 －6e 1·e 2＋e 22 ＝9－2＋1 ＝22 ，∴cos β＝a ·b |a ||b | ＝83×22 ＝223.。
金老师教育培训备战高考理科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点20 平面向量的数量积及向量的应用
专题20 平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ； ③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c . 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2）模：2211||x y =⋅=+a a a （3）夹角：cos ||||θ⋅==a ba b 121212122222x y x y +⋅+.（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.【注】当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ； 当a 与b 反向时,⋅=a b ||||-a b .（5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔121212222212||x x y y x y x y +≤++三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b .（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 1221x y x y -0()=≠0b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=||||⋅a ba b =121212122222x y x y +⋅+（其中,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a 1122x y +，或||||AB AB ==223434()()x x y y -+-（其中,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算. （2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W =||||cos (θθ⋅=⋅⋅F s F s 为F 和s 的夹角).考向一 平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1 若向量与向量共线,则A ．B ．C ．92-D ．172-【答案】D 【解析】因为向量与向量共线，所以，解得. 即，，所以=117822--=-. 选D ．典例2 已知向量1,==a b a 与b 的夹角为，则()2+⋅=a b a __________．【答案】【解析】由向量1,==a b a 与b 的夹角为，得()22222cos4512+⋅=+⋅=+⋅︒=+a b a a a b a a b .1．在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，()()2221AB AD =-=，，，，则AC DB ⋅= A ．3- B ．2 C ．3D ．42．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅= A ．4 B ．6 C ．23D ．43考向二 平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.典例3 在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====若12,CP CQ ⋅=则ADC ∠= A ．5π6 B ．34π C ．2π3D ．π2【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中，3,2AB AD ==，11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--，因为12CP CQ ⋅=， 所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅ 222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=， 则1cos 2BAD ∠=，π,3BAD ∠=所以π2ππ33ADC ∠=-=. 故选C ．3．已知向量(2,1),(,1)λ=--=a b ,且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .考向三 平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． (2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． (3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.典例4 已知平面向量,a b 的夹角为2π3，且1,2==a b ，则+=a b A ．3 B 3C ．7D 7【答案】B【解析】2222π1||||||2||||cos14212332⎛⎫+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭a b a b a b ，a b3.所以+=故选B．4．已知，.当最小时，___________.考向四平面向量的应用1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量与平面几何综合问题的解法①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.3．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0或1()3PG PA PB PC ++=(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心．(2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅.反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=HC HA ⋅，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0.反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC ==.反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.典例5 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为 A ．45- B ．35- C ．45 D ．35【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设(2,0),(0,2)A a B a ，则(,0),(0,)F a E a ，∴(2,),(,2)AE a a BF a a =-=-. 设向量,AE BF 的夹角为θ，则2244cos 55||||55AE BF a a AE BF a aθ⋅-====-⋅⋅.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x 轴和y 轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.5．扇形OAB 的半径为1，圆心角为，P 是上的动点，则的最小值是A ．0B ．C ．D ．典例6 已知()2cos ,2sin x x =a ，ππsin ,cos 66x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b ，函数()cos ,f x =a b . （Ⅰ）求函数的零点；（Ⅱ）若锐角ABC △的三个内角、、的对边分别是、、，且，求b ca+的取值范围. 【解析】（Ⅰ）由条件可知:πππ2cos sin 2sin cos 2sin 2666x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b ， ∴()π2sin 2π6cos ,sin 226x f x x ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭====- ⎪⋅⎝⎭a b a b a b .故函数的零点满足πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,由π2π,6x k k-=∈Z，解得ππ212kx=+,k∈Z．（Ⅱ）由正弦定理得sin sinsinb c B Ca A++=①.由（Ⅰ）知()πsin26f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，而，得πsin216A⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴ππ22π,62A k k-=+∈Z，又()0,πA∈，得π3A=.∵πA B C++=，2π3C B=-，代入①化简得：2ππ33sin sin3sinsin cosπ36222sinsin sin sin6B B BB Bb cBa A A A⎛⎫⎛⎫+-++⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭====+⎪⎝⎭，又在锐角ABC△中，有π2B<<，又2ππ32C B<=-<，ππ62B<<，∴ππ2π363B<+<，则有3πsin126B⎛⎫<+≤⎪⎝⎭，即：.【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.6．在△ABC中,内角,,A B C的对边分别为,,a b c,且向量(cos(),sin()),A B A B=---m(cos,sin)B B=n，若35⋅=m n.（1）求sin A的值；（2）若42,5a b==, 求BA在BC方向上的投影.典例7 一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________． 【答案】27【解析】由题意知F 3=−(F 1＋F 2)，∴|F 3|=|F 1＋F 2|， ∴|F 3|2=|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos60°=28， ∴|F 3|=27.7．在水流速度为4km/h 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8km/h 的速度航行，则船自身航行的速度大小为____________km/h .1．已知向量，，且，则A ．B ．C ．D ．2．已知向量(1,2),(3,4)=-=a b ，则2=-⋅a a b A ．0 B ．－1 C ．2或－2D ．123．已知共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为 A ．lg 2 B ．lg 5 C ．1D ．24．设向量，满足且，则向量在向量方向的投影为A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b6．已知向量(2,)t =a ，(1,3)=-b ，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是 A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-7．在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=A ．4B ．3C ．2D ．18．在△ABC 中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=，(1)AE λ=-()AC λ∈R ，若5BE CD ⋅=，则λ= A ．13- B ．2 C ．95D ．39．ABC △中，设,,AB BC CA ===c a b ，若()0⋅+-<c c a b ，则ABC △是 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．无法确定其形状10．已知向量a 、b 为单位向量，且+a b 在a 的方向上的投影为31+，则向量a 与b 的夹角为 A ．6π B ．4π C ．π3D ．π211．已知向量,则“”是“与的夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．－32 B ．－2 C ．－43D ．－113．已知点()3,0A ，()0,3B ，()cos ,sin ααC ，若1AC BC ⋅=-，则πsin 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为 A ．23B ．22C ．23D ．1214．已知是ABC △内部一点，，且，则OBC △的面积为A ．B ．C ．D ．15．平面直角坐标系中，,i j 分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量2=a i ，=+b i j ，则以下说法正确的是 A ．=a b B ．()-⊥a b b C ．1⋅=a bD ．∥a b16．已知12,e e 是互相垂直的单位向量,向量123=-a e e ,12=+b e e ,则⋅=a b __________． 17．平面向量与的夹角为，，，则__________．18．已知()3,4=a ，(),6t =-b ，且a ，b 共线，则向量a 在b 方向上的投影为__________． 19．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且2DF FC =，则AE BF ⋅的值是 ．20．在平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=，点P 在边CD 上，则AP PC ⋅的取值范围是 ．21．设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0παβ<<<，若|2||2|+=-a b a b ，则βα-= .22．已知向量与的夹角为，且，.若，且,则实数的值为__________．23．在平行四边形ABCD 中，12,,,33AB AD CE CB CF CD ====a b .（1）用,a b 表示EF ；（2）若1,4==a b ，60DAB ∠=︒，求AC FE ⋅的值.24．如图，在四边形中，，，，且.（1）用表示；（2）点在线段上，且，求的值.1．（高考全国I 卷理数）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π62．（高考全国II 卷理数）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．33．（新课标全国Ⅱ理科）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2D ．04．（高考北京卷理数）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（新课标全国Ⅰ理科）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．86．（浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A 3 1 B 3C ．2D ．237．（新课标全国Ⅱ理科）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-8．（北京理科）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（高考全国III 卷理数）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,=a c ___________. 10．（高考天津卷理数）在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=___________．11．（新课标全国Ⅰ理科）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 12．（天津理科）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．13．（山东理科）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．14．（浙江）已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 15．（高考江苏卷）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．1．【答案】C变式拓展【解析】在平行四边形ABCD 中，∥AB CD ，(2,2),(2,1)AB AD =-=， 则(4,1)AC AB AD =+=-，(0,3)DB AB AD =-=-， 则40(1)(3)3AC DB ⋅=⨯+-⨯-=． 故选C ． 2．【答案】B【解析】如图所示，菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3cos302322|6BD CD BD CD ⋅=⨯⨯︒=⨯=， 故选B ． 3．【答案】1(,2)(2,)2-+∞【解析】∵a 与b 的夹角为钝角，∴0⋅<a b ，即(2,1)(,1)210λλ--⋅=--<， ∴12λ>-. 又当a 与b 反向时，夹角为180°，即||||⋅=-a b a b ，则22151λλ++2λ=.应该排除反向的情形，即排除2λ=， 于是实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2-+∞.【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,cos 10θ=>;当夹角为180°时,cos 10θ=-<,这是容易忽略的地方.4．【答案】【解析】，得，，当时，有最小值.5．【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设点，则，，，，，由图形可知，当，时，上式取得最小值是．故选B ．6．【解析】（1）∵35⋅=m n ，()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=∴，3cos 5A ∴=， 又A 为△ABC 的内角，24sin 1cos 5A A ∴=-=.（2）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，得425sin 5B =，2sin 2B ∴=， ,b a B A <∴<，B ∴为锐角，22cos 1sin B B =-=， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得233225255c c =+-⨯⨯⨯， 解得7c =或1c =-（舍去）.∴BA 在BC 方向上的投影为72cos c B ⋅=. 7．【答案】54【解析】如图，AB 代表水流速度，AC 代表船自身航行的速度，而AP 代表实际航行的速度，所以有2222||||848045AC BP AB AP ==+=+==，所以船自身航行的速度大小为45km/h .1．【答案】D 【解析】∵，，∴，又，∴，∴.故选D. 2．【答案】A【解析】因为(1,2),(3,4)=-=a b ，所以22145,13245==+=⋅=-⨯+⨯=a a a b ，专题冲关所以2550-⋅=-=a a b . 故选A ． 3．【答案】D【解析】由题意，共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，其合力为F 1+F 2=（1，2lg2）, 产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W =( F 1+F 2)故.4．【答案】A【解析】由题意可知：，，则cos 2θ⋅==-a ba b.故选A . 5．【答案】D【解析】选项A ：⋅a b =21(1)750⨯+-⨯=-≠，所以选项A 错误； 选项B ：2711⨯≠-⨯，∴a 不平行于b ，所以选项B 错误；选项C ：(1,8)-=-a b ，因为()(2,1)(1,8)100⋅-=-⋅-=≠a a b ，所以选项C 错误； 选项D ：(3,6)+=a b ，因为()(2,1)(3,6)0⋅+=-⋅=a a b ，所以选项D 正确， 故选D. 6．【答案】C【解析】若a ，b 的夹角为钝角，则0⋅<a b 且不反向共线， 由230t ⋅=-+<a b ，得23t <. 当向量(2,)t =a ，(1,3)=-b 共线时，23t ⨯=-，得6t =-，此时2=-a b . 所以23t <且6t ≠-. 故选C ． 7．【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+，∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⨯+⨯=. 故选C ． 8．【答案】D【解析】因为90A ∠=︒，所以0AB AC ⋅=，所以()()BE CD AE AB AD AC ⋅=-⋅-22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--⋅-=---=---=-.由已知，345λ-=，则3λ=. 故选D. 9．【答案】C 【解析】因为，所以,则A 为钝角，ABC △是钝角三角形. 故选C ． 10．【答案】A【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，因为向量a 、b 为单位向量，且+a b 在a 31， 所以3()||1⎫+⋅=⎪⎪⎝⎭a b a a ， 即3112+⋅=+a b ，则3cos 121cos θθ=⋅=⨯⨯=a b ，又0πθ≤≤，所以π6θ=， 故选A ． 11．【答案】C【解析】若与的夹角为锐角,则,且与不平行,所以,得x >0,且,所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选C ． 12．【答案】A【解析】以BC 为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(3A ，设(),P x y ，则222233()22232222PA PB PC x y x y ⎛⋅+=+-=+-- ⎝⎭， 所以当30,x y ==()PA PB PC ⋅+取得最小值32-.故选A ． 13．【答案】C【解析】(cos 3,sin )AC ，(cos ,sin 3)BC ，cos (cos3)sin (sin3)AC BC22cos 3cos sin 3sin αααα=-+-13(sin cos )，则2sin cos 3αα+=， π2222sin(sin cos )42233.故选C. 14．【答案】A【解析】由可知点O 是ABC △的重心，13OBC ABC S S =△△， 又，所以，则13OBC ABC S S =△△=， 故选A ．15．【答案】B【解析】由题意不妨设()()1,0,0,1==i j ， 则()22,0==a i ，()1,1=+=b i j ， 据此逐一考查所给的选项：，，则，选项A 错误； ，则，选项B 正确；，则，选项C 错误；不存在实数满足，则∥a b 不成立，选项D 错误.故选B. 16．【答案】2【解析】由题得1212))(3(30012⋅=-⋅+=+--=a b e e e e . 17．【答案】【解析】由，得， 又，且向量的夹角为，，.18．【答案】5-【解析】由a 与b 共线得：()3640t ⨯--=，解得：92t =-.∴向量a 在b 方向上的投影为：()9346cos ,581364⎛⎫⨯-+⨯- ⎪⋅⎝⎭===-+a b a a b b . 19．【答案】34【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系， 则()00A ，，)2,1E，)2B，，22,23F ⎫⎪⎭， ∴()2,1AE =，12,23BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴24233AE BF ⋅=-+=. 20．【答案】250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为点P 在边CD 上，所以设()01DP λDC λAB λ==≤≤， 则 λAP AD DP A A D B =+=+，()1PC λAB -=， 所以()()1PC A AP D λλAB AB ⋅=+⋅- ()()223 141161612445224λλλλλλ⎛⎫=-+-⨯=-++=-- ⎪⎝+⎭，又01λ≤≤，所以2504AP PC ≤⋅≤， 故答案为250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21．【答案】π2【解析】将|2||2|+=-a b a b 的两边平方并化简可得，223()8-=-⋅a b a b ，又∵a ，b 是单位向量，∴0⋅=a b ，即cos cos sin sin 0αβαβ+=，即cos()0βα-=， 又∵0παβ<<<，∴π2βα-=. 22．【答案】127【解析】由题意可得，即，整理得，因为向量与的夹角为，且，，所以，解得127λ=. 23．【解析】（1）212121333333EF CF CE CD CB AB AD =-=-=-+=-+a b . （2）∵1,4==a b ，60DAB ∠=︒， ∴cos602⋅=⋅⋅︒=a b a b .由图可得：AC AB AD =+=+a b ，∴()22212112216433333333AC FE ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-=+-=- ⎪⎝⎭a b a b a a b b . 24．【解析】（1）因为，所以.因为，所以 .（2）因为，所以. 因为，所以点共线. 因为，所以.以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为，，，所以.所以，.因为点在线段上，且，所以，所以.因为，所以55253cos 552103CP CB PCB CP CB+⋅∠===⋅⨯. 1．【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 2．【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题专题为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 3．【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a所以选B.直通高考4．【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0， 又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想. 5．【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立()22234y x y x =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.6．【答案】A 【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.7．【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-， 当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 8．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A. 9．【答案】23【解析】因为25=c a b ，0⋅=a b ， 所以225⋅=⋅a c a a b 2=，222||4||55||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 10．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为3，其方程为3(23)y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便. 11．【答案】3【解析】方法一：222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|123+==a b方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. 12．【答案】311 【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+， 则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．13．3【解析】∵221212112122(3)()333λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e e e e ，22212121122|3|(3)3232-=-=-⋅+=e e e e e e e e ，2222212121122||()21λλλλλ+=+=+⋅+=+e e e e e e e e ∴22321cos601λλλ=+︒+33λ=． 【名师点睛】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos θ⋅=a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.（2）由向量的数量积的性质有||=⋅a a a ，cos ||||θ⋅=a b a b ，0⋅=⇔⊥a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． （3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于λ的方程求解. 14．【答案】4，25【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b ，2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b ， 则54cos 54cos θθ++-=++-a b a b ， 令54cos 54cos y θθ=++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()()max min 2025,164++-==++-==a b a b a b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25．【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得54cos θ++-=++a b a b 54cos θ-，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．15．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-， ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC=即3,AB AC=故3ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.。
高考复习：平面向量的数量积含解析答案(教师版+学生版)
5.3平面向量的数量积与平面向量应用知识梳理：1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.考点一：平面向量的数量积的运算例1（1）.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.（2）．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．（3）.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．考点二：平面向量数量积的性质例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，求2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值(2)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，求实数λ的值．变式训练1：(1)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，求|b |的值. (2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值例3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值； (2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．变式训练2(2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．课堂练习：1．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝k e1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．2．在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．3．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则实数k的取值范围是________．4．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．5．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则AO·BC＝________.6.已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．5.3平面向量的数量积与平面向量应用作业1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．2．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC |BC |＝________.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ―→·EM ―→的取值范围是________．6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．8．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．9．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1)求|a |2＋|b |2的值；(2)若a ⊥b ，求θ； (3)若θ＝π20，求证：a ∥b .10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．11．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．11．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.解析：法一：由题知，CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋ 23BA ―→·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24.法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，A (0,33)，从而M (－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24.答案：242．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解析：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a 25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35.答案：351．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：(a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2a ，b ＝0，可得a ，b ＝12，又因为0≤a ，b ≤π，所以a ，b ＝π3.答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．解析：(a ＋b )2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7. 答案：7平面向量的数量积与平面向量应用举例知识梳理：1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.解析：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 21＋8e 1·e 2＝4＋8×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝0. 答案：02．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.解析：如图，依题意向量BC ，BA 所成角为2π3，|BC |＝|BA |＝23，AC ＝BC －BA ，EF ―→＝13BC ＋BA ，EF ·AC ＝⎝⎛⎭⎫13BC ＋BA ·(BC －BA )＝13|BC |2＋23BC ·BA －|BA |2＝－12. 答案：－12考点一：平面向量的数量积的运算1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b＝(3,1)，则a ·b ＝________.解析：法一：由a ·⎝⎛⎭⎫a －12b ＝5，得a 2－12a ·b ＝5， 即5－12a ·b ＝5，所以a ·b ＝0.法二：由a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，得b ＝(－4,2)，所以a ·b ＝0 答案：02．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．解析：由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.答案：－233.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB ＝(2，0)，AE ＝(2，1)，AD ＝(0,2)．设AF ＝(x,2)，x ＞0，则AB ·AF ＝2x ＝2，解得x ＝1.所以F (1,2)，BF ＝(1－2，2)，于是AE ·BF ＝ 2.答案： 24．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC ―→|的最小值是________． 解析：∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC |＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC |min ＝ 6. 答案： 6考点二：平面向量数量积的性质题型二 求向量的模与夹角例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值为．(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝.(3)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为． 答案 (1)－126 (2)32 (3)712解析 (1)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.(2)∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. (3)由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0， 即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时， ∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.考点三：向量数量积的综合3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)， 又C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC ＋OD ＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22， 所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，当t ＝22时，其最小值为12， 即|OC ＋OD |的最小值为22. (2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫0≤α≤3π2， 则CE ＝OE －OC ＝⎝⎛⎭⎫0，－12－(cos α，sin α) ＝⎝⎛⎭⎫－cos α，－12－sin α. 又D ⎝⎛⎭⎫12，0，E ⎝⎛⎭⎫0，－12，所以DE ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12， 故CE ·DE ＝12⎝⎛⎭⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋14. 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎡⎦⎤14－22，14＋22.[典例] (2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.课堂练习：1．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题得|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos2π3＝－12，所以a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k |e 1|2＋(1－2k )·e 1e 2－2|e 2|2＝k ＋2k －12－2＝0，解得k ＝54.答案：542．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．解析：由题意得AB ·AC ＋AB ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＝|AB |2＝4，所以AB ＝2.答案：23．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则实数k 的取值范围是________． 解析：因为a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )，所以a ＋b ＝(3，k ＋2)，所以|a ＋b |＝32＋(k ＋2)2＝13＋4k ＋k 2≤5，解得－6≤k ≤2 答案：[－6,2]4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ·BC ―→的值为________．解析：BD ·BC ＝BD ·(BA ＋AC )＝BD ·BA ＋BD ·AC＝BD ·BA ＝|BD |·|BA |·cos ∠ABD ＝|BD |2. 在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝7，又S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×2×3×sin 60°＝332，所以12AC ·BD ＝332，所以BD ＝3217， 所以BD ·BC ＝|BD |2＝277. 答案：2775．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2 ＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2. 又|a |＝3|b |，所以a ，b＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13. 答案：－136．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 解析：取BC 边的中点D ，连接AD ，则AO ·BC ＝(AD ＋DO )·BC ＝AD ·BC ＋DO ·BC ＝AD ·BC ＝12(AB ＋AC )·(AC －AB )＝12(AC 2－AB 2)＝12(62－102)＝－32.答案：－32 作业1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，从而5－6e 1·e 2－8＝0，所以e 1·e 2＝－12，故〈e 1·e 2〉＝2π3.答案：2π32．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC |BC |＝________.解析：由条件得|AB ＋AC |＝|AC －AB |，故AC ·AB ＝0，即AC ⊥AB ，故|BC |＝2，∠ABC ＝60°，从而原式＝1×2×cos 60°2＝12.答案：123．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)． 答案：(3,0)4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.解析：如图，CD ＝CB ＋BD .又∵BD ＝2DA ，∴CD ＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB )，即CD ＝23CA ＋13CB ，∵∠C ＝π2，∴CA ·CB ＝0，∴CD ·CA ＝⎝⎛⎭⎫23 CA ＋13 CB ·CA ＝23CA 2＋13CB ·CA ＝6. 答案：65．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ―→·EM ―→的取值范围是________．解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 答案：⎣⎡⎦⎤12，326．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝22|b |， ∴|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2. 答案：3 27．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)， b －c ＝(1，－2－y )．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN ＝(－8,8)，∴|MN |＝8 2. 答案：8 28．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0， 即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λ2AB ＋2AC ＋(λ－1) AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：7129．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1)求|a |2＋|b |2的值； (2)若a ⊥b ，求θ； (3)若θ＝π20，求证：a ∥b .解：(1)因为|a |＝cos 2(λθ)＋cos 2[(10－λ)θ]，|b |＝sin 2[(10－λ)θ]＋sin 2(λθ)，所以|a |2＋|b |2＝2. (2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin [(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0， 所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z .(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－ λ)θ·sin(10－ λ)θ ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20·sin ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b .10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0.∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝⎛⎭⎫34，32，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3.∴p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.5．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ＝－1＋cos2x ＋23sin x cos x＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin(2x ＋π6)－1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π6)－1＝1，∴sin(2C ＋π6)＝1，∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7.将ab ＝23代入可得a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或4.∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3. ∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.10．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)m ∥n ⇒2sin B ·(2cos 2B2－1)＋3cos2B ＝0⇒sin2B ＋3cos2B ＝0⇒2sin(2B ＋π3)＝0(B 为锐角)⇒2B ＝2π3⇒B ＝π3.(2)cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ⇒ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4⇒ac ≤4.S △ABC ＝12a ·c ·sin B ≤12×4×32＝ 3.故S △ABC 的最大值为 3.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.解析：法一：由题知，CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋ 23BA ―→·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24.法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，A (0,33)，从而M (－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24.答案：242．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解析：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a 25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35.答案：351．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：(a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2a ，b ＝0，可得a ，b ＝12，又因为0≤a ，b ≤π，所以a ，b ＝π3.答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．解析：(a ＋b )2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7.答案：7。
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专题5.2 平面向量的数量积及其应用【三年高考】1. 【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（t m+n），则实数t的值为（）（A）4 （B）–4 （C）（D）–【答案】B2. 【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.3. 【2016高考新课标3理数】已知向量，，则（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A．4. 【2016高考浙江理数】已知向量a、b, ｜a｜=1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是．【答案】【解析】，即最大值为5. 【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B．6. 【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】B7.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |=|b |，且（a -b ）（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、B 、C 、D 、【答案】A 【解析】由题意，即，所以，，，选A .8.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且，则 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A 【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．xy BCAP 的坐标为，若点上运动，且在圆，，】已知点8高考湖南，理2015【.9）的最大值为（，则A.6B.7C.8D.9【答案】B.10.【2014全国课标2，理3】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则a b =( )A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】因为=10，，两式相加得：，所以，故选A.11. 【2014江苏，12】如图在平行四边形中，已知，，则的值是 .【答案】2212. 【2014安徽，理10】在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，，区域表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使为两段分离的曲线，则，故选A.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对平面向量数量积及其应用的考查，重点考查结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，而向量的数量积及运算律，向量垂直的充要条件是高考的热点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容．试题难度为多为容易题或中档题，少数为选择题或填空的压轴题.预测2017高考，对平面向量数量积及其应用的考查，重点仍为结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，考查形式为选择题或填空题，分值为5分，试题难度为为容易题或中档题，也可为选择题或填空的压轴题，注意向量作为工具，常用向量形式给出题的条件或利用向量数量积处理其中的夹角与垂直问题.在备战2017年高考中，同学们要熟记向量数量的定义、运算法则及平面向量的数量积性质，加强运用这些知识计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影等题型的训练，善于将题中的向量形式给出的条件，转化为代数条件或几何条件,善于用平面运用平面向量数量积处理长度、夹角、垂直等问题.【2017年高考考点定位】高考对平面向量数量积及其应用的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量数量积的概念及其几何意义、平面向量数量积的运算法则及一个向量在另一个向量方向上的投影，二是考查平面向量夹角问题与向量垂直的充要条件的应用，三是考查平面向量的模及平面向量数量积的综合运用，题型为选择题、填空题、解答题的第一个大题，大多难度容易题或中档题，少数为选择题或填空题的最末一题为难题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量垂直的充要条件、向量夹角公式、或向量模公式分别处理涉及的垂直问题、夹角问题和长度问题.【考点1】平面向量数量积及其几何意义【备考知识梳理】1.平面向量的数量积：(1)已知非零向量与，它们的夹角为，则把||||叫做与的数量积，记作，记作=||||，规定=0.注意平面向量的数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为0，与向量其他运算区别开来.(2)已知=（，），=（，），则=+.2.向量的投影：||叫向量在向量方向上的投影，它是一个实数，而不向量.向量在向量方向上的投影为.3.平面向量的数量积的几何意义等于的模与在向量方向上的投影的乘积.4.数量积的运算法则：（1）=；（2）=，（3）=.=【规律方法技巧】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用||计算;思路2，利用计算.3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【考点针对训练】1.【江西师大附中2016年4月高三质检卷】已知向量，则在上的投影等于______________.【答案】【解析】在方向上的投影为:.2.【2016届河北省石家庄高三二模】在中，，点为斜边上靠近点的三等分点，点为的外心，则的值为_____.【答案】【考点2】向量垂直问题与向量夹角问题【备考知识梳理】1.向量夹角(1)定义：已知非零向量、，作= ，=，则就是与的夹角，范围为，当向量与同向时，与的夹角为0，当向量与反向时，与的夹角为，注意通过平移使两个向量有共同的起点，向量所在的射线所成的角才是向量夹角.(2)若向量与的夹角为，则=.(3)若已知向量=（，），=（，），向量与的夹角为，则=.2.向量垂直(1)概念：若与的夹角为，则称与垂直，记作⊥.（2）已知非零向量，，则⊥=0.(3)已知非零向量，，=（，），=（，），则⊥+=0.【规律方法技巧】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.在求夹角时要注意：(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及||、||或它们的关系.(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.(3)若两个向量夹角为锐角，则＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于0，反之，不一定.3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.【考点针对训练】1.【2016年山西高三四校联考】若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D2.【2016届邯郸市一中高三.十研】已知向量，若，则的值是________．【答案】【解析】,即，解之得.3. 【2016淮北一中高三最后一卷】已知向量，若，则___________．【答案】－3【解析】由，得，所以，解得．【考点3】平面向量模与向量的数量积的综合运用【备考知识梳理】1.向量的模：向量的模就是表示向量的有向线段的长度，记作||，它表示向量的大小，是非负数.2. .3.若向量=（，），则||=.4.若A（，），B（，），则=.【规律方法技巧】1.对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用||=来求解.2.对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理.【考点针对训练】1.【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】在中，点M是边BC的中点.若，则的最小值是____.【答案】【解析】设，由，即有，得，点是的中点，则，．当且仅当取得最小值，且为．则的最小值为,故答案为：．2.【2016年河南八市高三联考】已知平面向量满足，，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，设由题意由，可知即，即，即，设，由可知即，由知，则，在和中，可知，又，则，将，代入，当且仅当故，故选D.【应试技巧点拨】1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：①为的重心，特别地为的重心；是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；等于已知AD 是中BC边的中线.②为的垂心；是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.③的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线).④为的外心.2. 向量垂直的重要应用向量垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直；二是利用垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.向量垂直的充要条件：.3.如何恰当的选择向量的数量积的公式求向量的数量积的公式有两个：一是定义式＝；二是坐标式.定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.4．求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角．二年模拟1.【2016年江西南昌一中高三模拟】已知向量a=(1，)，向量a，c的夹角是，a·c=2，则|c|等于 .【答案】2【解析】由题意，得，向量的夹角是，且，解得.2.【2016年河南商丘高三二模】设向量是两个互相垂直的单位向量，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为,所以,．3. 【2016年江西师大附中高三二模】已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B4. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺五】已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（）A． B． C．4 D．13【答案】A【解析】由条件可知，，所以.故本题答案选A.5. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知向量的夹角为120°，且，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，向量在向量方向上的投影为，选A.6.【2016届宁夏石嘴山三中高三三模】已知向量，满足，且，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，则，故与的夹角为．7. 【2016届河南省郑州市高三第二次模拟】已知为的三个内角，向量满足，且，若最大时，动点使得、、成等差数列，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A.【解析】，∴，又∵，∴，故的最大值为，取到最大值时，又∵，，成等差数列，∴，故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，如下图所示建立平面直角坐标系，不妨设，∴，，，∴椭圆的标准方程是，∴，当且仅当时，等号成立，∴，故选A．8. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺二】已知的外心满足，则（）A． B． C． D．【答案】A9.【2016届湖北省八校高三二联】在平行四边形ABCD中，，点分别在边上，且，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,所以，故选C.10. 【2016届四川省成都市石室中学高三5月一模】如图，在梯形中，，，，，，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D11. 【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】若向量、满足，，则向量与的夹角等于（）A． B． C． D．【答案】D．【解析】设，则由，得：，所以，所以向量与的夹角等于，故应选．12.【2015届陕西省西安市一中高三下学期自主命题一】设向量满足，，则（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】①；②；①-②得，1．13.【2015届福建省泉州五中高三模拟考试】已知向量，与的夹角为．若向量满足，则的最大值是A． B． C．4 D．【答案】B【解析】设，由于与的夹角为，则，设，，故向量的终点在以为圆心，为半径的圆上，的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，故答案为B．14. 【2015届江苏省南通市高三第二次调研】在平行四边形中，，则线段的长为．【答案】15.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】如图：边长为4的正方形的中心为，以为圆心，1为半径作圆．点是圆上任意一点，点是边上的任意一点（包括端点），则的取值范围为．【答案】【解析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，，，圆：，设，当线段时，，此时，此时，当线段时，，此时，，当线段时，，此时，，，所以最后的取值范围是．拓展试题以及解析1.已知，，，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题，得，又，所以，即，解得，所以，故选A．【入选理由】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．本题是一个常规题的出法，但有一定的综合性，故选此题.2.已知是平面内两个单位向量，满足，若向量满足，则为（）A． B． C． D．1【答案】A【入选理由】本题考查平面向量数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．本题主要体现在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围,具有一定的代表性，故选此题.3.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为 . 【答案】-1【解析】∵，，∴=，∴=-2，∴向量在向量方向上的投影为=-1.【入选理由】本题主要考查平面向量垂直的充要条件、平面向量数量积的应用等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．本题是一个常规题,也是高考考试的重点，故选此题.4.扇形AOB中，弦，C为劣弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是【答案】【入选理由】本题考查向量数量积、基本不等式等基础知识，意在考查数形结合思想、分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题向量与不等式巧妙的结合，有新意，故选此题.5. 已知向量满足，，，则与的夹角为 .【答案】【解析】由得，，即，得. ∴，∴.【入选理由】本题考查向量数量积,向量的夹角等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是一个常规题,而夹角是向量应用的重点，故选此题.6.在中，角所对的边是，且，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，是三角形的重心，所以，.因为，即，所以，整理得：①因为，所以，即，即，即，将①代入得.【入选理由】本题考查向量数量积,三角恒等变形，正余弦定理等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题综合性较强,有一定的难度，故选此题.7.在中，,是的中点，边（含端点）上存在点，使得，则的取值范围为【答案】【入选理由】本小题主要考查向量数量积，函数值域，三角函数有界性等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．本题体现向量作为一个工具作用，故选此题.8.已知向量满足||=1,=，在方向的投影为，则= .【答案】34【解析】设向量，的夹角为，则=，解得=，由=得=12，即，解得，所以==34.【入选理由】本题主要考查向量数量积,向量的模,投影等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题是一个常规题的出法，但有一定的综合性，故选此题.。