2016届广东省高考数学二轮复习课时检测：20推理与证明(含答案)
2016届高三(新课标版)数学(理)二轮专题复习(讲解 练习)：专题二十 推理与证明
1．(2015·广东，8，中)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5【答案】 B (排除法)当n ＝4时，4个点可以看作正四面体的4个顶点，显然符合题意．排除A ，C ，D.故选B.2．(2015·山东，11，易)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．【解析】 当n ＝1时，C 01＝40＝41－1；当n ＝2时，C 03＋C 13＝41＝42－1；当n ＝3时，C 05＋C 15＋C 25＝42＝43－1； ……∴C 02n －1＋C 12n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1. 【答案】 4n －11．(2014·北京，8，中)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合适”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人【答案】B由已知，各同学之间语文成绩、数学成绩各不相同，当有三名同学时，设三名同学分别为A，B，C，优秀、合格、不合格分别为1，2，3，由于三名同学两科成绩各不相同，设B的语文成绩介于A和C的语文成绩之间，不妨设A<B<C，则数学成绩C<B<A，所以A的成绩为(3，1)，B的成绩为(2，2)，C的成绩为(1，3)．显然，超过四名同学时不符合条件．2．(2012·江西，6，中)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．199【答案】C从给出的式子特点观察推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，得a10＋b10＝123.3．(2014·课标Ⅰ，14，易)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．【解析】 由丙可知，乙至少去过一个城市．由甲可知，甲去过A ，C 且比乙多，且乙没有去过C 城市，故乙只去过A 城市．【答案】 A4．(2013·陕西，14，中) 观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为_______________________________________________________．【解析】 观察给出的式子可得出如下规律：12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，所以有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2. 【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2思路点拨：本题分析式子的特点归纳出式子，利用等差数列的求和公式进行化简．5．(2012·湖南，16，难)设N ＝2n (n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N依次放入编号为1，2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N 2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N 2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i 段，每段N 2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置；(2)当N ＝2n (n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．【解析】 (1)当N ＝16时，P 0＝x 1x 2x 3x 4x 5x 6…x 16，P 1＝x 1x 3x 5x 7…x 15x 2x 4x 6…x 16，P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15x 2x 6x 10x 14x 4x 8x 12x 16，所以x 7位于P 2中的第6个位置．(2)根据题意可知P 4将这2n 个数分成24段，每段有2n －4个数，每段数下标分别构成公差为16的等差数列．第1段的首项下标为1，其通项公式为16n －15，当16n －15＝173时，n ＝474∉N *；第2段的首项下标为9，其通项公式为16n －7，当16n －7＝173时，n ＝454∉N *；第3段的首项下标为5，其通项公式为16n －11，当16n －11＝173时，n ＝232∉N *；第4段的首项为13，其通项公式为16n －3，当16n －3＝173时，n ＝11∈N *.故x 173位于P 4中的第3×2n －4＋11个位置．【答案】 (1)6 (2)3×2n －4＋11思路点拨：本题结合排列、数列知识，应用归纳推理求解．6．(2012·福建，17，13分，中)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)方法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14·sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.方法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.7．(2014·北京，20，13分，难)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m ＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.考向1 类比推理的应用类比推理的特点类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(1)(2015·陕西西安模拟，13)若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2.类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列________为等比数列，通项为________．(2)(2015·山东烟台模拟，14)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________． 【思路导引】 解题(1)的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联；解题(2)的关键是熟练掌握类比推理及正四面体的外接球与内切球半径的大小关系．【解析】 (1)因为在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项，且写成了S n n＝a 1＋(n －1)·d 2，所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 方的形式，等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，类比可得：数列{n T n }为等比数列，通项为n T n ＝b 1·(q )n －1.(2)从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，故正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127. 【答案】 (1)n T n n T n ＝b 1·(q )n －1 (2)127类比推理应用的类型及相应方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．(2015·广东中山质检，10)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________．【解析】构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，得a1＋a2＋…＋a n ≤n.【答案】a1＋a2＋…＋a n≤n考向2归纳推理的应用归纳推理的特点(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠．其结论的正确性往往通过演绎推理来证明．(3)它是一种发现一般性规律的重要方法．其思维过程大致如下：实验、观察→概括、推广→猜测、一般性结论(1)(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是______________．(2)(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n＋1）2＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝12n2＋12n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝32n2－12n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【解析】(1)∵5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F，V，E满足等式F＋V－E＝2.(2)已知各式可化为如下形式：N(n，3)＝12n2＋12n＝3－22n2＋4－32n，N(n，4)＝n2＝4－22n2＋4－42n，N(n，5)＝32n2－12n＝5－22n2＋4－52n，N(n，6)＝2n2－n＝6－22n2＋4－62n，由归纳推理可得N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，故N(10，24)＝24－22×102＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.【答案】(1)F＋V－E＝2(2)1 000【点拨】解题(1)的关键是观察出F，V，E的变化规律；解题(2)的关键是通过观察、联想、对比，再进行归纳．常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．(1)(2011·山东，15)设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________． (2)(2015·陕西咸阳质检，14)观察下列特殊的不等式： 52－225－2≥2×72， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125， 910－51095－55≥2×75， ……由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r ≥________．【解析】 (1)由f (x )＝xx ＋2(x >0)得， f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4＝x（22－1）x ＋22，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16＝x（24－1）x ＋24，所以归纳可得，当n ∈N *且n ≥2时， f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n －1）x ＋2n.(2)52－225－2≥2×72＝21×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋222－1，45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋325－2，98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝83×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋228－3，910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5，由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r ≥s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r.【答案】 (1)x（2n －1）x ＋2n(2)s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r考向3 演绎推理的应用演绎推理的理解(1)演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．(2)演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理．(2014·辽宁，21，12分)已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x π.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.【证明】 (1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )(π＋2x )－2x －23cos x <0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．又f (0)＝π－83>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2－163<0，∴存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)考虑函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x －4ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， 令t ＝π－x ，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）.由(1)得，当x ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，u ′(t )<0，在(0，x 0)上u (t )是增函数．又u (0)＝0，从而当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2，使u (t 1)＝0，所以存在唯一的t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使u (t 1)＝0，因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，1＋sin x >0，∴g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点， ∴存在唯一的x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0.∵x 1＝π－t 1，t 1>x 0，∴x 0＋x 1<π.【点拨】 证明本题的关键是证明所给函数在给定的区间上单调且端点值异号，由零点存在定理这个大前提就可得出．演绎推理的应用方法(1)在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．(2)用三段论证明的基本模式是： ①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．在证明的过程中，往往大前提不写出来．(2014·湖北黄冈调研，20，12分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c .若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：(1)a >0且－2<ba<－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根． 证明：(1)∵f (0)>0，f (1)>0， ∴c >0，3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0， ∴－2<ba <－1.(2)方法一：∵抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a，3ac －b 23a ， ∵－2<b a <－1，∴13<－b 3a <23. 又∵f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ＝3ac －b23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c 243a <0，∴方程f (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．方法二：∵f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝－14a <0.故抛物线与x 轴的两个交点落在区间(0，1)内， 即方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．方法三：∵Δ＝4b 2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c 2>0，∴方程f (x )＝0有两个实根．设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2b 3a >0，x 1x 2＝c3a >0，故两根为正． 又∵(x 1－1)＋(x 2－1)＝－2b3a －2<0， (x 1－1)(x 2－1)＝3a ＋2b ＋c3a>0，故两根均小于1，命题得证．1．(2015·河南洛阳模拟，5)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【答案】 C ∵大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.2．(2015·广东珠海模拟，6)在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 013＋a2 014＋a2 015＝()A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009【答案】B由直角坐标系可知A(1，1)，B(－1，2)，C(2，3)，D(－2，4)，E(3，5)，F(－3，6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a2 014＝1 007，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1个奇数和第2个奇数互为相反数，且从－1开始逐渐递减的，则2 014÷4＝503余2，则a2 013＝504，a2 015＝－504，a2 013＋a2 014＋a2 015＝504＋1 007－504＝1 007.3．(2015·陕西西安模拟，7)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r＝()A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【答案】 C 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ， ∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.4．(2014·山西四校期中检测，14)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式： x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4， ……类比得，x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________．【解析】 由已知三个式知n ＝1时，a ＝1；n ＝2时，a ＝22＝4；n ＝3时，a ＝33＝27，由此归纳可得a ＝n n .【答案】 n n5．(2015·福建泉州质检，15)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解式中最小的数是73，则m 的值为________．【解析】 根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19， 从23起，m 3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m 3的首数为m 2－m ＋1.∵m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73， ∴m 2－m ＋1＝73， ∴m ＝9. 【答案】 96．(2015·江西南昌一模，13)记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ， S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ， S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2， S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ， S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2， ……可以推测，A ＝________．【解析】 记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，可得：最高次项为2次，按n 的降幂排列，奇次项系数12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，可得：最高次项为3次，按n 的降幂排列，奇次项系数和13＋16＝12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，可得：最高次项为4次，按n 的降幂排列，奇次项系数12，偶次项系数和14＋14＝12，12＝12，相等；S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，可得：最高次项为5次，按n 的降幂排列，奇次项系数和15＋13－130＝12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，可得：最高次项为6次，按n 的降幂排列，奇次项系数和与偶次项系数和相等，均为12，则有16＋512＋A ＝12，得A ＝－112.【答案】 －1127．(2014·山东泰安模拟，15)已知cos π3＝12， cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7·cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________．【解析】 (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cosπ2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10. 【答案】 (1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)108．(2015·湖北宜昌一模，14)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一发现作为条件，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 的对称中心为________；(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 015＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝________.【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋3，f ″(x )＝6x －6，令6x －6＝0，得x ＝1， ∵f (1)＝1，∴f (x )的对称中心为(1，1)． (2)令h (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，k (x )＝1x －12，则h ′(x )＝x 2－x ＋3，h ″(x )＝2x －1，由2x －1＝0，得x ＝12， ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1，∴h (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴h (x )＋h (1－x )＝2. 又∵k (x )＋k (1－x )＝1x －12＋112－x ＝0，x ＝12 015，22 015，…，2 0142 015， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡k ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015＝2×1 007＋0×1 007＝2 014. 【答案】 (1)(1，1) (2)2 014(2015·重庆，22，12分，难)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n ＋λa n ＋1＋μa 2n ＝0(n ∈N ＋)．(1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{a n }的通项公式； (2)若λ＝1k 0(k 0∈N ＋，k 0≥2)，μ＝－1，证明：2＋13k 0＋1＜ak 0＋1＜2＋12k 0＋1. 解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有a n ＋1a n ＝2a 2n (n ∈N ＋)．若存在某个n 0∈N ＋，使得an 0＝0，则由上述递推公式易得an 0－1＝0，重复上述过程可得a 1＝0，这与a 1＝3矛盾，所以对任意n ∈N ＋，a n ≠0.从而a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，即{a n }是一个公比q ＝2的等比数列． 故a n ＝a 1q n －1＝3·2n －1.(2)证明：由λ＝1k 0，μ＝－1，数列{a n }的递推关系式变为a n ＋1a n ＋1k 0a n ＋1－a 2n ＝0，变形为a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1k 0＝a 2n (n ∈N ＋)．由上式及a 1＝3＞0，归纳可得 3＝a 1＞a 2＞...＞a n ＞a n ＋1＞ 0因为a n ＋1＝a 2na n ＋1k 0＝a 2n －1k 20＋1k2a n ＋1k＝a n －1k 0＋1k 0·1k 0a n ＋1，所以对n ＝1，2，…，k 0求和得ak 0＋1＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(ak 0＋1－ak 0)＝a 1－k 0·1k 0＋1k 0·⎝ ⎛1k 0a 1＋1＋1k 0a 2＋1⎭⎪⎫＋…＋1k 0ak 0＋1＞2＋1k 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 0＋1＋13k 0＋1＋…＋13k 0＋1k 0个 ＝2＋13k 0＋1. 另一方面，由上已证的不等式知a 1＞a 2＞…＞ak 0＞ak 0＋1＞2，得 ak 0＋1＝a 1－k 0·1k 0＋1k 0·⎝ ⎛1k 0a 1＋1＋⎭⎪⎫1k 0a 2＋1＋…＋1k 0ak 0＋1＜2＋1k0⎝⎛⎭⎪⎫12k0＋1＋12k0＋1＋…＋12k0＋1k0个＝2＋12k0＋1.综上，2＋13k0＋1＜ak0＋1＜2＋12k0＋1.1．(2014·山东，4，易)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.2．(2012·辽宁，12，难)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()A．e x≤1＋x＋x2 B.11＋x≤1－12x＋14x2C．cos x≥1－12x2D．ln(1＋x)≥x－18x2【答案】C对于A，分别画出y＝e x，y＝1＋x＋x2在[0，＋∞)上的大致图象(如图)，知e x≤1＋x＋x2不恒成立，A错误．对于B ，令f (x )＝ 1＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＋14x 2，f ′(x )＝121＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＋14x 2＋1＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12x ＝x （5x －2）81＋x. ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝1＋25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12×25＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝75×2125＝3 0873 125<1，B 错误．对于C ，结合图象知正确．对于D，当x＝4时，ln 5<ln e2＝2＝4－18×42，D错误．故选C.3．(2014·天津，19，14分，中)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i ＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)·q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0.所以s<t.思路点拨：(1)把n和q的值代入，用列举法表示出集合A；(2)s与t作差，根据a n<b n利用放缩法证明．4．(2012·陕西，18，12分，中)(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：方法一(向量法)：如图(1)，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μ n，图(1)则a·c＝a·(λb＋μ n)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a⊂π，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.方法二(反证法)：如图(2)，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.图(2)因为PO⊥π，a⊂π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO.又c⊂平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．5．(2013·江苏，19，16分，难)设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S n是其前n项的和．记b n＝nS nn2＋c，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k，n∈N*)；(2)若{b n}是等差数列，证明：c＝0.证明：由题意得，S n＝na＋n（n－1）2d.(1)由c＝0，得b n＝S nn＝a＋n－12d.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)． 令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎨⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0. ①②③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.考向1分析法的应用分析法的定义及框图表示(1)定义：从要求证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫作分析法．分析法是一种“执果索因”的证明方法．(2)框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2013·江苏，21，10分)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.【证明】要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.【点拨】在证明时，无法直接找到思路，可用分析法证明或用分析法找出证明途径，再用综合法证明．利用分析法证明时应注意的问题(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．(2015·四川绵阳质检，18，12分)下列各式：1＋0.12＋0.1>12，0.2＋30.5＋3>0.20.5，2＋73＋7>23，72＋π101＋π>72101. 请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明．解：已知a >b >0，m >0，求证：b ＋m a ＋m >b a. 证明如下：∵a >b >0，m >0，欲证b ＋m a ＋m >b a，只需证a (b ＋m )>b (a ＋m )，只需证am >bm ，只需证a >b ，由已知得a >b 成立，所以b ＋m a ＋m >b a 成立． 考向2 综合法与分析法的综合应用1．综合法(1)定义：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论，这种证明方法叫作综合法．综合法是一种“由因导果”的证明方法．(2)框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示条件，Q 表示要证的结论)．2．综合法与分析法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的证明方法．分析法侧重于结论提供的信息，综合法则侧重于条件提供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息，才能找到合理的解题思路．没有分析，就没有综合，分析是综合的基础，它们相辅相成是对立统一的．(2014·江苏，20，16分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．【思路导引】 (1)利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，根据“新定义”证明． (2)求出数列的通项a n ，根据数列为“H 数列”列出关于公差d 和项数n 的等式分析求解．(3)将等差数列的通项a n 分解构造证明．【解析】 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n . 于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数， n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)． 于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2， 使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立． 综合法与分析法应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显．同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题．(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证．(2013·北京，20，13分)给定数列a1，a2，…，a n，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为A i，后n－i 项a i＋1，a i＋2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i－B i.(1)设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，d n－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，d n－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，a n－1是等差数列．解：(1)当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1－B1＝2，同理可求得d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，…，a n是递增数列．因此，对i＝1，2，…，n－1，A i＝a i，B i＝a i＋1.于是对i＝1，2，…，n－1，d i＝A i－B i＝a i－a i＋1＝a1(1－q)q i－1.因此d i≠0且d i＋1d i＝q(i＝1，2，…，n－2)，即d1，d2，…，d n－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2，…，d n－1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i≤B i＋1，d>0，所以A i＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d>B i＋d i＝A i.＋1＝max{A i，a i＋1}，又因为A i＋1＝A i＋1>A i≥a i.所以a i＋1从而a1，a2，…，a n－1是递增数列．因此A i＝a i(i＝1，2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<a n－1.因此a n＝B1.所以B1＝B2＝…＝B n－1＝a n.所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1，2，…，n－2都有a i－a i＝d i＋1－d i＝d，＋1即a1，a2，…，a n－1是等差数列．思路点拨：(1)d1，d2，d3的值可根据所给定义进行求解；(2)需根据题意求出d n的通项后利用定义证明；(3)利用等差数列的定义证明．考向3反证法1．反证法的适用范围(1)否定性命题．(2)结论涉及“至多”“至少”“无限”“唯一”等词语的命题．(3)命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明．(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．2．反证法中可能导出的矛盾(1)与假设矛盾．(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与已知条件自相矛盾．3．使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：(2013·陕西，17，12分)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．【思路导引】 (1)利用等比数列的概念及错位相减法推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．【解析】 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n）1－q ，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1. ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立．(2015·浙江温州质检，19，14分)已知等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d >0.(1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列，求整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列．解：(1)∵a 1＝1，d ＝2，∴a 4＝7，a m ＝2m －1. ∵1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1722＝1（2m －1）2，∴(2m －1)2＝492. ∵a 1>0，d >0，∴m ＝25.(2)证明：假设存在m ∈N *，使1a 2m ，1a 2m ＋1，1a 2m ＋2成等差数列，即2a 2m ＋1＝1a 2m＋1a 2m ＋2，∴2a 2m ＋1＝1（a m ＋1－d ）2＋1（a m ＋1＋d ）2＝2a 2m ＋1＋2d2（a 2m ＋1－d 2）2，化简，得d 2＝3a 2m ＋1， 又a 1>0，d ＞0，∴a m ＋1＝a 1＋md >d ，∴3a 2m ＋1>3d 2>d 2，与d 2＝3a 2m ＋1矛盾，因此假设不成立，故原命题得证．1．(2015·山东济南模拟，4)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数【答案】B“至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.2．(2015·广东佛山质检，6)对于正实数α，Mα为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：∀x1，x2∈R且x2>x1，有－α(x2－x1)<f(x2)－f(x1)<α(x2－x1)，下列结论中正确的是()A．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)·g(x)∈Mα1·α2B．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，且g(x)≠0，则f（x）g（x）∈Mα1α2C．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)＋g(x)∈Mα1＋α2D．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，且α1>α2，则f(x)－g(x)∈Mα1－α2【答案】C－α(x2－x1)<f(x2)－f(x1)<α(x2－x1)，即有－α<f（x2）－f（x1）x2－x1<α，令k＝f（x2）－f（x1）x2－x1，则－α<k<α，不妨设f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，即－α1<k f <α1，－α2<k g <α2，因此有－α1－α2<k f ＋k g <α1＋α2， 因此有f (x )＋g (x )∈Mα1＋α2.3．(2014·湖北武汉联考，13)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 【解析】 ①⎭⎬⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β， 又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直于α时， 则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎬⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α， 又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时， l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误． 【答案】 ①③4．(2014·山东潍坊高三期中，13)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．【解析】 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，。
2016广东高考理数大二轮-专项训练【专题4】(3)推理与证明(含答案)
推理与证明考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q”为假→“若p，则q”为真5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A．48,49 B．62,63C．75,76 D．84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.答案(1)B(2)D解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．第三次A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________________．答案 (1)B (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．热点二 类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x 2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论________． 思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．答案 (1)127(2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y解析 (1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.(2)ch x ch y －sh x shy ＝e x ＋e －x 2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e －y2＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －y ) ＝14(2e x －y ＋2e －(x －y ))＝e x －y＋e －(x －y )2＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ， 或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ， 或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝D ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)D (2)b 2a2解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，则d n ＝nc 1·c 2·…·c n c 112n q-，故选D.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2a 2， 即k OM ·k AB ＝b 2a2.热点三 直接证明和间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a 2n }；(2)否定性结论的证明可用反证法．(1)解 已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n＝23， 而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n}是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a 2n ＝34×⎝⎛⎭⎫23n －1，则a 2n＝1－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， 由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现， 因此a n ＝(－1)n ＋11－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝－34×⎝⎛⎭⎫23n ＋34×⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1. (2)证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝⎛⎭⎫23n －1＝14×⎝⎛⎭⎫23m －1＋14×⎝⎛⎭⎫23p －1，则2×⎝⎛⎭⎫23n －m＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m .(*) 当n －m ≥2时，2×⎝⎛⎭⎫23n －m ≤2×⎝⎛⎭⎫232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n －m ＝1， 此时等式为43＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m ， 即13＝⎝⎛⎭⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等． 所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ≠q ≠r )成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．。
广东省2016届高三数学二轮复习精选试题汇编：合情推理与演绎推理 Word版含答案
合情推理与演绎推理一、填空题1. 下面给出三个类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）； ①",,0,"a b R a b a b ∈-==若则类比推出",,a b C ∈若0";a b a b -==，则 ②",,,,,,"a b c d R a bi c di a c b d ∈+=+==若复数则类比推出",,,a b c d Q ∈,若,,";a c a c b d +=+==则③",,0,"a b R a b a b ∈->>若则类比推出",,0,";a b C a b a b ∈->>若则其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号）2. 已知21111()12f n n n n n=++++++，则()f n 中共有 项． 3. 设()()()()f x x a x b x c =---(,,a b c 是两两不等的常数),则///()()()a b cf a f b f c ++的值是 ______________.二、选择题4. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理5. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以2a ＞0”，你认为这个推理（ ）A ．大前题错误B ．小前题错误C ．推理形式错误D ．是正确的6. 已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为（ ）Ａ．212r Ｂ．212l Ｃ．12rl Ｄ．不可类比7. 下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ） Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形8. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120 9. 若,,x y R ∈则"1"xy ≤是22"1"x y +≤的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 设115114113112log 1log 1log 1log 1+++=P ，则（ ） A ．10<<P B ．21<<P C ．32<<P D ．43<<P11. 关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有实根的充要条件是（ ）A ．4a ≥-B ．40a -≤<C ．0a <D ．30a -≤<12. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母A F 共16个计例如，用十六进制表示,则（ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．0B13. 设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-三、解答题 14. 已知)()1(12t n N n n a ∈+=记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋯--=试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出)(n f 的值。
2016届高考数学(理)一轮复习单元检测第20单元算法初步、推理与证明、复数(解析版)
第二十单元算法初步、推理与证明、复数(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设m∈R,若复数m2-1+(m2+m-2)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m的值为A.1B.-1C.±1D.-2解析:因为复数m2-1+(m2+m-2)i是纯虚数,所以解得m=-1.答案:B2.执行下面的程序框图,如果输入的t=5,则输出的s的值为A.-5B.5C.10D.15解析:由程序框图可知,s=所以当t=5时,s=4t-t2=-5.答案:A3.小明在玩用火柴棒摆“金鱼”的游戏,如下图所示:按照上面的规律,第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A.54B.56C.62D.64解析:观察图①,共有8根火柴,以后依次增加6根火柴,即构成首项为8,公差为6的等差数列,所以第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为8+6×9=62.答案:C4.已知a<b,某同学给出了下列的一段推理过程,显然他的结论是不正确的,导致结论错误的推理步骤为A.①B.②C.③D.④解析:在步骤③中,在不等式2(a-b)<a-b两边同时乘以一个小于0的数a-b,应该变号才对,即2(a-b)·(a-b)>(a-b)·(a-b),则有2(a-b)2>(a-b)2.答案:C5.设复数z满足(1+i)z=2i(其中i是虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面中对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由(1+i)z=2i可得z==1+i,所以=1-i对应的点为(1,-1),位于第四象限.答案:DA.30B.45C.55D.45或55解析:该程序的功能是输入自变量x的值,求分段函数y=的值.因为输出的y的值为27,所以或解得x=45.答案:B7.在平面直角坐标系中,根据圆的定义,我们推导出了以C(a,b)为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.类似地,由于球是空间内到定点的距离为定长的点的集合,由此可得,在空间直角坐标系中,以M(1,-2,1)为球心,2为半径的球的方程可以表示为A.(x-1)3+(y+2)3+(z-1)3=8B.(x-1)3+(y+2)3+(z-1)3=4C.(x-1)2+(y+2)2+(z-1)2=8D.(x-1)2+(y+2)2+(z-1)2=4解析:设P(x,y,z)是球上任意一点,根据球的定义,则MP=2,代入空间两点间的距离公式并化简可得(x-1)2+(y+2)2+(z-1)2=4.答案:D8.若如图所示的程序框图运行后,输出的S的值为31,则判断框内填入的条件可以为A.x<6?B.x>6?C.x<7?D.x>7?解析:执行该框图,可得S和x由表可知,当判断框内填入的条件为“x>6?”时,输出的S的值是31.答案:B9.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+-=2(++…+)时,第二步假设n=k(k≥2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证A.当n=k+1时,1-+-+…+-=2(++…+)成立B.当n=k+1时,1-+-+…+-=2(++…+)成立C.当n=k+2时,1-+-+…+-=2(++…+)成立D.当n=k+2时,1-+-+…+-=2(++…+)成立解析:根据数学归纳法的步骤可知,n=k(k≥2,且k为偶数)的下一个偶数为k+2,故应该证明“当n=k+2时,1-+-+…+-=2(++…+)成立”.答案:D10.已知函数f(x)满足f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=2,则+++等于A.8B.16C.20D.24解析:令p=q=n,由f(p+q)=f(p)f(q),得[f(n)]2=f(2n),所以+++=+++=+++=8f(1)=16.答案:B11.若复数z=sin(θ-)+(tan θ)i(其中θ∈R,i是虚数单位)在复平面内对应的点在第四象限,则角θ在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:依题意:sin(θ-)=sin θcos-cos θsin=(sin θ-cos θ)>0,所以sin θ>cos θ,又tan θ<0,所以θ在第二象限.答案:B12.如图,这是一个算法的程序框图,则输出S的值是A.1006B.1007C.3018D.3019解析:a1=1×cos +1=1,a2=2×cos +1=-1,a3=3×cos +1=1,a4=4×cos +1=5,a5=5×cos +1=1,a6=6×cos +1=-5,a7=7×cos +1=1,a8=8×cos +1=9,……a2012=2012×cos +1=2013,a2013=2013×cos +1=1,a2014=2014×cos +1=-2013.根据上述规律可知,a2k-1=1(k∈N*),a4k-2=3-4k(k∈N*),a4k=4k+1(k∈N*).根据程序框图可知,输出的S=a1+a2+…+a2014=1007-(1+5+9+…+2013)+(5+9+…+2013)=1006.答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.若一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”.若复数z=(1+a i)(2-i)(i是虚数单位)为“等部复数”,则实数a的值为.解析:因为z=(1+a i)(2-i)=2+a+(2a-1)i为“等部复数”,所以2+a=2a-1,解得a=3.答案:3解析:当I=8时,b=34,退出循环.答案:3415.如下表所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n 个数且两端的数均为(n≥2),且每个数与它下一行左、右相邻两数有一定的关系.按照表中的规律,第7行第3个数(从左往右数)为.解析:第6行从左到右各数依次为,,,,,,第7行从左到右各数依次为,,,,,,.故第7行第3个数(从左往右数)为.答案:16.数学家欧拉在1765年发现如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知三角形ABC的顶点A(-2,0),B(0,4),且三角形ABC的欧拉线的方程为x+y-2=0,则顶点C的坐标为.解析:设点C的坐标为(a,b),则三角形ABC的重心为G(,),由欧拉线x+y-2=0过重心得+-2=0,即a+b-4=0.①又边AB的垂直平分线方程为y-2=-(x+1),即y=-x+,联立x+y-2=0,解得三角形的外心坐标为H(1,1),所以AH=CH,即=,②联立①②,解得(舍去)或故点C的坐标为(4,0).答案:(4,0)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知复数z=()2016+(1-i)2(其中i为虚数单位),若复数z的共轭复数为,且·z1=4+3i.(1)求复数z1;(2)若z1是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值,并求出方程x2-px+q=0的另一个复数根.解析:(1)因为z=()2016+(1-i)2=i2016-2i=1-2i,所以=1+2i,所以z1==2-i.5分(2)由题意知(2-i )2-p (2-i )+q=0,化简得(3-2p+q )+(p-4)i =0,所以3-2p+q=0且p-4=0,解得p=4,q=5, 所以方程为x 2-4x+5=0,即(x-2)2=-1=i 2,解得另一个复数根为x=2+i .10分18.(本小题满分12分)老师在复习三角恒等变形知识时,在黑板上给出如下的几个等式:cos =,cos cos=,cos coscos=,……(1)若照此规律下去,cos cos cos cos的值是多少?(2)根据以上等式猜想出一般的结论,并证明第四个等式.解析:(1)按照已知规律可知,coscoscoscos=coscoscoscos=.3分(2)由已知的等式可猜想第n 个等式左边共有n 项余弦值的积,角的分母都是2n+1,最后一项是cos,右边是,即一般的结论为cos cos·…·cos=(n ∈N *). 6分证明如下:cos cos cos cos ==×=×=×=×cos =. 12分19.(本小题满分12分)在等差数列{a n }中,S n 是其前n 项的和.(1)证明:,,成等差数列;(2)结合(1)的结论及其证明过程,在正项等比数列{b n }中写出类似的结论,并给出证明.解析:(1)因为在等差数列{a n }中,有S n =,所以=,=,=,所以+=+=.又因为a n+a3n=2a2n,所以+===2×,所以,,成等差数列.6分(2)类似地,设各项为正数的等比数列{b n}中,T n是其前n项的积,则,,成等比数列.证明如下:设数列{b n}的公比为q,则T n=b1b2·…·b n=b1(b1q)(b1q2)·…·(b1q n-1)=q1+2+…+n-1=,又b n>0,所以=b1,同理=b1,=b1,所以·=b1·b1==(b1)2=()2,所以,,成等比数列.12分20.(本小题满分12分)复数z1=3+4i,z2=1-i,z3=c+(c-2)i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点分别为A,B,C.(1)若∠BAC是锐角,求实数c的取值范围;(2)若复数z满足|z-(z1+z2)|=1,求|z|的取值范围.解析:(1)在复平面内三的点坐标分别为A(3,4),B(1,-1),C(c,c-2),由∠BAC是锐角,得·>0,且B、A、C不共线,由(-2,-5)·(c-3,c-6)>0,且-2(c-6)≠-5(c-3),解得c<且c≠1,∴c的取值范围是c<且c≠1.6分(2)设复数z在复平面中对应的点为P(x,y).因为z1+z2=3+4i+1-i=4+3i,|z-(z1+z2)|=1,所以(x-4)2+(y-3)2=1,即P(x,y)为圆(x-4)2+(y-3)2=1上的点,又|z|2=x2+y2,所以由它们所表示的几何意义可知-1≤|z|≤+1,即4≤|z|≤6.12分21.(本小题满分12分)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点,且点B的坐标为(2,0).若函数f(x)在[-2,0]和[5,7]上均为单调函数,且f(x)在[-2,0]和[5,7]上的单调性相同,在[0,3]和[5,7]上的单调性相反.(1)求实数c的值,并用a,b表示d;(2)证明:曲线y=f(x)上不存在点M,使曲线在点M处的切线与直线x+3by+a=0垂直.解析:(1)因为函数f (x )在[-2,0]和[5,7]上的单调性相同,在[0,3]和[5,7]上的单调性相反,所以f (x )在[-2,0]和[0,3]上的单调性相反,所以f'(0)=0.又因为f'(x )=3ax 2+2bx+c ,所以f'(0)=c=0.又点B 的坐标为(2,0),即f (2)=8a+4b+d=0,即d=-8a-4b. 6分(2)假设存在点M (x 0,y 0)在曲线y=f (x )上,且在点M 处的切线与直线x+3by+a=0垂直,即切线斜率为3b.由f'(x 0)=3a+2bx 0,所以3a+2bx 0=3b.由题可知,关于x 0的方程3a +2bx 0-3b=0有实数解,所以Δ=4b 2+36ab ≥0. ①令f'(x )=3ax 2+2bx=0,解得x 1=0,x 2=-.由(1)知,x 2=-也是极值点.又因为y=f (x )在[0,3]和[5,7]上的单调性相反,所以3≤-≤5,即-≤≤-,所以≤+9≤且4ab<0,所以4ab (+9)=4b 2+36ab<0,即Δ<0. ②显然①和②互相矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. 12分22.(本小题满分12分)若数列{2n -1}的前n 项组成集合A n ={1,3,7,…,2n -1}(n ∈N *),从集合A n 中任取k (k=1,2,3,…,n )个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为T k (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记S n =T 1+T 2+…+T n .例如:当n=1时,A 1={1},T 1=1,S 1=1;当n=2时,A 2={1,3},T 1=1+3,T 2=1×3,S 2=1+3+1×3=7. (1)求出S 3,S 4;(2)由S 1,S 2,S 3,S 4的值归纳出S n 的表达式,并用数学归纳法加以证明.解析:(1)当n=3时,A 3={1,3,7},T 1=1+3+7=11,T 2=1×3+1×7+3×7=31, T 3=1×3×7=21,所以S 3=11+31+21=63; 当n=4时,A 4={1,3,7,15},T 1=1+3+7+15=26,T 2=1×3+1×7+1×15+3×7+3×15+7×15=196,T 3=1×3×7+1×3×15+1×7×15+3×7×15=486,T 4=1×3×7×15=315,所以S 4=26+196+486+315=1023. 4分 (2)由S 1=1=21-1,S 2=7=23-1=21+2-1,S 3=63=26-1=21+2+3-1,S 4=1023=210-1=21+2+3+4-1, 由此猜想S n =21+2+3+…+n-1=-1(n ∈N *). 6分用数学归纳法证明如下: ①易知当n=1时成立.②假设当n=k时,S k=-1=T'1+T'2+T'3+…+T'k(其中T'i(i=1,2,…,k)为n=k时可能的k个数的乘积的和),则当n=k+1时,S k+1=T1+T2+…+T k+1=[T'1+(2k+1-1)]+[T'2+(2k+1-1)T'1]+[T'3+(2k+1-1)T'2]+…+(2k+1-1)T'k=(T'1+T'2+T'3+…+T'k)+(2k+1-1)+(2k+1-1)(T'1+T'2+T'3+…+T'k)=S k+(2k+1-1)+(2k+1-1)S k=2k+1(-1)+(2k+1-1)=2k+1·-1=-1,即当n=k+1时,S k+1=-1也成立.综合①②可知,对n∈N*,S n=-1成立,所以S n=-1(n∈N*).12分。
高考数学二轮复习推理与证明专题训练习题(含答案解析)
高考数学二轮复习专题训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．则假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除 【答案】B2．设n 为正整数,111()1...23f n n =++++,经计算得35(2),(4)2,(8),22f f f =>> 7(16)3,(32),2f f >>观察上述结果,可推测出一般结论( ) A ． 21(2)2n f n +≥ B ． 2(2)2n n f +≥ C ． 22()2n f n +≥ D ．以上都不对 【答案】B3．用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0”其反设正确的是( )A ．b a ,至少有一个不为0B ． b a ,至少有一个为0C ． b a ,全不为0D ． b a ,中只有一个为0 【答案】A4．给出下面四个类比结论：①实数,,b a 若0=ab 则0=a或0=b ；类比向量,,若0=⋅，则=或= ②实数,,b a 有;2)(222b ab a b a ++=+类比向量,,有2222)(b b a a b a +⋅+=+③向量2a =；类比复数z ，有22z z =④实数b a ,有022=+b a ，则0==b a ；类比复数z ，2z 有02221=+z z ，则021==z z其中类比结论正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 5．若定义在正整数有序对集合上的二元函数(,)f x y 满足：①(,)f x x x =，②(,)(,)f x y f y x = ③()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(12,16)f 的值是( )A ．12B ． 16C ．24D ．48【答案】D6．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么 c b a ,,中至少有一个是偶数”时，应假设( )A ．c b a ,,中至多一个是偶数B ． c b a ,,中至少一个是奇数C ． c b a ,,中全是奇数D ． c b a ,,中恰有一个偶数【答案】C 7．由7598139,,,10811102521>>>…若a>b>0,m>0,则b m a m ++与b a之间大小关系为( ) A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定 【答案】B8．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 【答案】A9．在求证“数列2， 3， 5,不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法B ．综合法C ．反证法D ．直接法【答案】C 10．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形【答案】C11．给出下列四个推导过程：①∵a ，b∈Ｒ＋， ∴（b ／a ）+（a ／b ）≥2=2; ②∵x ，y∈Ｒ＋，lgx+lgy ≥2;a ∈R ，a ≠0， ∴（4／a ）+a ≥2=4; x ，y R ，xy ＜0，（x ／y ）+（y ／x ）=-［（-（x ／y ））+（-（y ／x ））］≤-2=-2. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【答案】D12．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 【答案】Ｂ第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．观察下列式子：213122+<，221151+234+<， 222111712348+++<⋅⋅⋅，由此可归纳出的一般结论是 ．【答案】14．三段论推理的规则为____________①如果p q ⇒,p 真，则q 真;②如果b a c b ⇒⇒,则c a ⇒;③如果a//b,b //c, 则a//c ④如果c a c b b a ⇒⇒⇒则,,【答案】②15．若a 、b 是正常数，a ≠b ，x 、y ∈(0，＋∞)，则a2x ＋b2y ≥，当且仅当a x ＝b y时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝4x ＋91－2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值为____________． 【答案】3516．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 块.【答案】100三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．【答案】（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，．N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =．EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ，MN ∴∥平面PAD ．(2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线，CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ，AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．18．若,x y 都是正实数，且2,x y +> 求证：12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【答案】假设12x y +<和12y x +<都不成立，则有21≥+y x 和21≥+xy 同时成立， 因为0x >且0y >，所以y x 21≥+且x y 21≥+ 两式相加，得y x y x 222+≥++.所以2≤+y x ，这与已知条件2x y +>矛盾. 因此12x y +<和12y x+<中至少有一个成立. 19．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:给出如下变换公式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=)2,261,(132)2,261,(21'整除能被整除不能被x x N x x x x N x x X 将明文转换成密文,如8→82+13=17,即h 变成q ；如5→5+12=3，即e 变成c. ①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是什么？【答案】①g →7→7+12=4→d; o →15→15+12=8→h; d →o; 则明文good 的密文为dhho②逆变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈-=)2614,(262)131,(12''''''x N x x x N x x x 则有s →19→2×19-26=12→l ； h →8→2×8-1=15→o ；x →24→2×24-26=22→v ； c →3→2×3-1=5→e故密文shxc 的明文为love 20．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．【答案】（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数．设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．21)a b c ++．【答案】因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提），所以)b a b ++（两次省略了大前提，小前提），同理，)b c +)c a +，三式相加得)a b c ++．(省略了大前提，小前提）22．设 f(x)＝x 2＋a. 记f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f(f n －1(x))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R|对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]． 【答案】⑴ 如果a ＜－2，则||f 1(0)＝|a|＞2，a ∈/M ． ⑵ 如果－2≤a ≤14，由题意，f 1(0)＝a ，f n (0)＝(f n －1(0))2＋a ，n ＝2，3，……．则 ① 当0≤a ≤14时，||f n (0)≤12，(∀n ≥1). 事实上，当n ＝1时，||f 1(0)＝|a|≤12，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数）， 则对n ＝k ，||f k(0)≤||f k －1(0)2＋a ≤(12)2＋14＝12． ② 当－2≤a ＜0时，||f n (0)≤|a|，(∀n ≥1)．事实上，当n ＝1时，||f 1(0)≤|a|，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数)，则对n ＝k ，有 －|a|＝a ≤()f k －1(0)2＋a ≤a 2＋a注意到当－2≤a ＜0时，总有a 2≤－2a ，即a 2＋a ≤－a ＝|a|．从而有||f k (0)≤|a|．由归纳法，推出[－2，14]⊆M ． ⑶ 当a ＞14时，记a n ＝f n (0)， 则对于任意n ≥1，a n ＞a ＞14且a n ＋1＝f n ＋1(0)＝f(f n (0))＝f(a n )＝a n 2＋a ． 对于任意n ≥1，a n ＋1－a n ＝a n 2－a n ＋a ＝(a n －12)2＋a －14≥a －14．则a n ＋1－a n ≥a －14． 所以，a n ＋1－a ＝a n ＋1－a 1≥n(a －14)．当n ＞2－a a －14时，a n ＋1＞n(a －14)＋a ＞2－a ＋a ＝2， 即f n ＋1(0)＞2．因此a ∈/M ．综合⑴，⑵，⑶，我们有M ＝[－2，14]。
学广州市高二数学选修《推理与证明》测试题(市教研资料)
高二数学选修1-2《推理与证明》测试题广州市第41中学秦玮一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤. 2、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色是( )．A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大4、观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为()．A．01 B．43 C．07 D．495、否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()．A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数6、设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()．A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0 C．a2－b2＜0 D．b＋a＞07、观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()．A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)8、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过上图①中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1024 C．1225 D．13789、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )．A ．11010B ．01100C ．10111D ．0001110、如图，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为hi (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14 (ih i )＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则∑i ＝14 (iH i )＝( )A.4V KB.3V KC.2V KD.VK二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11、用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是____________________________________．12、下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件的个数是________．13、观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1； ②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测m －n ＋p ＝________.14、在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．三、解答题：本大题共6题，共80分。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
2016届广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．12．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．25．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．106．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f （x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．1612．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为（结果用数值表示）．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生（人）15 x 5女生（人）15 3 y根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？优秀男生女生总计非优秀总计（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）k019．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，即z=﹣i．则|z|=1．故选：D．2．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x∈（A∩B），可得x∈A，则反之不一定成立，即可判断出关系．【解答】解：x∈（A∩B）⇒x∈A，则反之不一定成立．∴“x∈A”是“x∈（A∩B）”的必要不充分条件．故选：B．3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用二倍角的余弦得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，得cos（π﹣2α）=cos2（）==．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．5．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．10【考点】程序框图．【分析】根据已知及程序框图，判断执行语句x=lga+lgc，从而计算求值得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出x的值，由题意，a=2，b=4，c=5，不满足条件a＞b且a＞c，不满足条件b＞c，执行x=lg2+lg5=lg10=1．故选：A．6．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f （x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=cos（x﹣）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ，可得f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，结合所给的选项，故选：A．7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上，设出双曲线的标准方程，求得渐近线方程，运用双曲线的基本量的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有b=a，c==2a，离心率为e==2；当双曲线的焦点在y轴上时，设方程为﹣=1（a'，b'＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有a'=b'，c'==a'，离心率为e==．综上可得离心率为2或．故选：C．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率．【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数n==120，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数m==72，∴3位女生中有且只有两位女生相邻的概率p==．故选：B．9．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】分段函数的应用．【分析】可判断f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）=﹣ln（﹣（﹣x））﹣x=﹣lnx﹣x=f（x），故f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数；当x＞0时，f（x）=﹣lnx﹣x为减函数，而ln=﹣ln2﹣2=f（2），故f（）＜ln=f（2），故＞2，故0＜m＜；由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，﹣＜m＜0；综上所述，m∈（﹣，0）∪（0，），故选C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6==，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，故选：B．12．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由xf′（x）﹣f（x）=xlnx，得到=，求出的原函数，得到f（x）=+cx，由f（）=，解出c的值，从而得到f（x）=+x，通过求导判断函数f（x）的单调性，进而判断函数的极值即可．【解答】解：∵xf′（x）﹣f（x）=xlnx，∴=，∴=，而=，∴=+c，∴f（x）=+cx，由f（）=，解得c=，∴f（x）=+x，∴f′（x）=（1+lnx）2≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值，故选：D．二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为6π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据棱柱的体积计算底面半径，则侧面展开图矩形的边长为圆柱的底面周长和高．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的体积V=πr2•π=π2，∴r=1．∴圆柱的底面周长为2πr=2π．∴侧面展开图的周长为2π×2+π×2=6π．故答案为：6π．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为180（结果用数值表示）．【考点】二项式定理的应用．【分析】通过分析只需考虑（2+﹣）10展开式中的第二项，进而只需考查的展开式中通项T k+1=210﹣k•中含x4的项，比较可得k=8，进而计算可得结论．【解答】解：（2+﹣）10==，依题意，只需考虑r=0时，即只需中x4项的系数，∵的展开式中通项T k+1=210﹣k •，令=x 4，可得k=8，∴所求系数为210﹣8=180，故答案为：180．16．如图，在凸四边形ABCD 中，AB=1，BC=，AC ⊥CD ，AC=CD ，当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为+1 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC ，sin β，利用余弦定理，即可求出对角线BD 的最大值．【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC 2=4﹣2cos α， 由正弦定理可得sin β=，∴BD 2=3+4﹣2cos α﹣2×××cos （90°+β）=7﹣2cos α+2sin α=7+2sin （α﹣45°）， ∴α=135°时，BD 取得最大值+1． 故答案为： +1．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过等差中项的性质可知2a n =S n +1，并与2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2）作差，进而整理可知数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（1）∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴2a n =S n +1，2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得：2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，即a n =2a n ﹣1， 又∵2a 1=S 1+1，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列， ∴a n =2n ﹣1；（2）由（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1， 2T n =1•21+2•22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ， 两式相减得：﹣T n =1+21+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n=﹣1﹣（n﹣1）•2n，∴T n=1+（n﹣1）•2n．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生（人）15 x 5女生（人）15 3 y根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？优秀男生女生总计非优秀总计（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）k0【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出2×2列联表，求出K2＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．由此能求出所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生的概率．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），由此能求出X的数学期望．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则，解得m=25．∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2．∴2×2列联表为：男生女生总计优秀15 15 30非优秀10 5 15总计25 20 45∴K2=45（15×5﹣10×15）230×15×25×20＜2.706，∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为=，∴从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）==．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），∴X的数学期望E（X）=3×=2．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF．设AC=a，计算CE，EF，CF，CD，DF，利用勾股定理的逆定理得出CD⊥DF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF 所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．∴AE=，EF==，DF==．设AC=a，则CE=，CD=．∵CE⊥EF，∴CF2=CE2+EF2=a2++=a2+．∵CD2+DF2=a2﹣1+=a2+．∴CD2+DF2=CF2，∴CD⊥DF．又AB⊂平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，AB∩DF=D，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴cos＜＞==．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①，抛物线C的准线方程为，x=﹣1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+与抛物线的方程联立，得y2﹣2mpy﹣p2=0，∴y1•y2=﹣p2=﹣4，解得p=±2，∵p＞0，∴p=2，（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣）由（1）可得y1y2=4，∴P的坐标可化为（﹣1，），∴k AP==，∴直线AP的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=﹣=∴直线AP与x轴交于定点（，0）．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=e m，①由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．对x﹣在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2，当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣，h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c≤+①当x≥x0时，g（x）=，h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，即有2c≤，由y=，可得y′=，可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣．可得2c≤﹣②，由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接OC，AC，证明△AOC为等边三角形，利用CF⊥AB，得出CF为△AOC中AO边上的中线，即可证明结论；（2）证明B，E，D，F四点共圆，利用割线定理，求AD•AE的值．【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°．∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形．∵CF⊥AB，∴CF为△AOC中AO边上的中线，即AF=FO．（2）解：连接BE，∵CF=，△AOC为等边三角形，∴AF=1，AB=4．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFD．∴B，E，D，F四点共圆∴AD•AE=AB•AF=4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，把代入即可得出直角坐标方程．（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C（3，0）到直线l的距离d，即可得出切线长的最小值=．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得：（x ﹣3）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣6x+5=0，∴极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（2）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1，展开为：（ρsinθ﹣ρcosθ）=1，可得y﹣x=1．圆心C（3，0）到直线l的距离d==2．∴切线长的最小值===2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．WORD完整版----可编辑----教育资料分享2016年8月24日----完整版学习资料分享----。
16年数2真题答案解析
16年数2真题答案解析数学是一门既实用又抽象的学科，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
为了提高学生的数学素质，高考每年都会出一套数学试题。
本文将对2016年高考数学二卷的试题进行答案解析，帮助读者更好地理解和掌握数学知识。
一、选择题部分1. 设集合A = {1, 2, 3, 4}，则A的非空子集个数是（）。
A) 4 B) 8 C) 16 D) 24考察的是集合的知识。
非空子集个数是2^n - 1（n为集合中元素个数），故答案为B。
2. 已知x+√(3-x) = √(3x+1)，则x的值是（）。
A) 2 B) 1 C) -2 D) -1先把根号移到等号的一边：x = 2 - √(3-x)。
将较复杂的根式移至右边：√(3-x) = 2 - x。
两边平方： 3 - x = 4 - 4x + x^2。
整理后得：x^2 - 3x + 1 = 0。
将其解因式分解可以得到：(x-1)(x-2) = 0。
故答案为A或B。
3. 已知平面曲线C的参数方程为：x = t^2 + t + 1y = 2t + 1若直线L与曲线C相切，并且直线L的斜率为-2，则L的方程为（）。
A) y = -2x + 5 B) y = -3x + 2 C) y = 2x + 3 D) y = 3x - 2将曲线C的参数方程代入直线L的方程，得到：2t + 1 = -2(t^2 + t + 1) + b整理得：2t + 1 = -2t^2 - 2t - 2 + b化简得：2t^2 + 4t + (b - 3) = 0由于直线L与曲线C相切，所以二次方程的判别式为0：4^2 - 4 * 2 * (b - 3) = 0解得：b = 4将b的值代入直线L的方程，得到：y = -2x + 5二、非选择题部分计算题部分的题目不逐一列举，下面我们来看一道较为有代表性的解析。
四、解析题部分已知函数f(x)在区间[-1,2]上满足f'(x) = x^2 - 3x。
2016届广东省高考数学二轮专题复习推理与证明02
1． 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________． 答案 2 013【详细分析】观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有 a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝4， a 4－a 3＝6， a 5－a 4＝8， ……a n －a n －1＝2(n －1)．将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)， 所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.2． 在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________． 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)【详细分析】类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．答案 a n ＝n (n ＋1)2【详细分析】从图中观察五角星构成规律， n ＝1时，有1个； n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个； n ＝4时，有10个；…所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2． 已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM 等于________．答案 3【详细分析】设四面体内部一点O 到四面体各面都相等的距离为d ，则题意知d ＝OM ，设各个面的面积为S ，则由等体积法得：4·13S ·OM ＝13S ·AM,4OM ＝AM ＝AO ＋OM ，从而AOOM ＝31＝3. 3． 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________． 答案 (5,7)【详细分析】依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数时，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数时，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．4． 已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________． 答案 正四面体的内切球的半径是其高的14【详细分析】原问题的解法为等面积法， 即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法， V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.5． 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 014，则i ，j 的值的和为________．答案 79【详细分析】观察偶数行的变化规律，2 014是数列：2,4,6,8，…的第1 007项，前31个偶数行的偶数的个数为(2＋62)×312＝32×31＝992，所以2 014是偶数行的第32行第15个数，即三角形数表中的第64行第15个数，所以i ＝64，j ＝15，所以i ＋j ＝79. 6． 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________． 答案 a n ＝n 3【详细分析】由题意知a 1＝1＝13，a 2＝3＋5＝8＝23，a 3＝7＋9＋11＝27＝33，a 4＝13＋15＋17＋19＝64＝43，….因此可归纳出a n ＝n 3.7． 观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________． 答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)【详细分析】由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)．8． 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．答案1360【详细分析】由上面的规律可知第n 行的第一个数为1n ，第二个数为1n (n －1)，所以第9行的第二个数为18×9，第10行的第一个数为110，第二个数为19×10＝190，设第3个数为x ，即x ＋190＝19×8⇒x ＝1360.9． 对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8【详细分析】由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8 时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8. 二、解答题10．已知a >0且a ≠1，f (x )＝1a x＋a. (1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )． 解 (1)f (0)＋f (1)＝11＋a ＋1a ＋a ＝1a ＝aa， f (－1)＋f (2)＝1a －1＋a ＋1a 2＋a ＝1a ＝aa .(2)由(1)归纳得到对一切实数x ，有f (x )＋f (1－x )＝a a. 证明如下f (x )＋f (1－x )＝1a x ＋a ＋1a 1－x ＋a＝1a x ＋a ＋a xa (a ＋a x ) ＝a ＋a x a (a ＋a x )＝1a ＝a a. (3)设S ＝f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )， 又S ＝f (n )＋f (n －1)＋…＋f (2)＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－(n －1))， 两式相加，得(由(2)的结论) 2S ＝2n ·a a ，∴S ＝n a a.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并加以证明；(3)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). (1)解 分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3，∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. (2)解 猜想：a n ＝n ， 由2S n ＝a 2n ＋n ，① 可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)，②①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1. (ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2；(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k . 那么当n ＝k ＋1时，⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时也成立， ∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也适合． 故对于n ∈N *，均有a n ＝n .(3)证明 要证a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). 即证nx ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)，只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)， 即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋n (x ＋y )＋1≤2(n ＋2)， 将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2， 即要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2，即4xy ≤1. ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立．。
广东省2016届高三数学二轮复习课时检测：10立体几何 含答案
立体几何一、选择题1、三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则侧视图的面积为( )A。
8 B. 4C。
43 D.3答案：C2、某几何体的三视图如图2所示（单位:cm），则其体积和表面积分别是（)A。
6π3cm和12(1)π+2cm B。
6π3cm和12π2cmC。
12π3cm和12(1)π+2cm D。
12π3cm和12π2cm答案：A3、一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是( ）A、12B、1 C、23D、2答案：A4、已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将ACD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的为（ C ）A. 直线AB⊥直线CD，且直线AC⊥直线BDB. 直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC。
平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE D。
平面ABD⊥平面BCD,且平面ACD⊥平面BDE 答案：C5、如图4，一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是答案：A二、填空题1、某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为.答案:82、若α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是互不相同的空间直线,则下列命题中为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号)① 若α//a ,α//b ，则b a //② 若α//c ，α⊥b ,则b c ⊥③ 若α⊥c ，β//c ，则βα⊥④ 若α⊂b ，α⊂c 且b a ⊥，c a ⊥，则α⊥a答案：②③(对1个3分，错1个2-分)三、解答题1、如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且3DE =,4BF =，将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位。
(北师大版)广州市高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯3．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．94．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ） A ．33x y =B ．33x y >C ．33x y =或33x y >D ．33x y =或33x y < 5．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确6．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确7．下列类比推理正确的是( )A ．把()a b c +与x y a +类比，则有x y x y a a a +=+B ．把()a a b +与()a a b ⋅+类比，则有()2a ab a a b ⋅+=+⋅C ．把()nabc 与)n x y z （++类比，则有)n n n n x y z x y z ++=++（ D ．把()ab c 与()a b c ⋅⋅类比，则有()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ 8．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．49．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．3210．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n+，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++11．“有些指数函数是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是12．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D二、填空题13．已知1111()1232f n n n n n=+++++++，则()(1)f k f k +=+_________. 14．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=44441515=55552424=…． 按照以上规律，若11111111n n=“穿墙术”，则n =_______． 15．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分． 16．现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险 17．观察下面数表： 1， 3，5， 7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，………..设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.18．观察下列各式：(1) 2()2x x '=，(2) 43()4x x '=，(3) (cos )sin x x '=-，……，根据以上事实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则(0)g =____. 19．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.20．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n a ≥，且()241n n S a =+，n N +∈.（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.22．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且33a =，1a 、2a 、4a 成等比数列，数列{}n b 满足()1222*n n b b nb a n +++=∈N（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2)3121112*n n n nb b b a a n b b b ++++>-∈N . 23．已知数列{}n a 中，11a =，136nn na a a +=-. （1）写出234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈.25．（1）求证：当2a >时，222a a a ++-<； （2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.26．数列{}n a 满足()*21n n S a n n N +=+∈.（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．B解析：B 【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立， 而“33x y <”的否定为：“33x y ≥”，故选C ． 考点：反证法与放缩法．5．C解析：C 【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.6．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假即可. 详解：逐一考查所给命题的真假：A . 由指数的运算法则可得x y x y a a a +=，原命题错误；B . 由向量的运算法则可知：()2a ab a a b ⋅+=+⋅，原命题正确； C . 由多项式的运算法则可知)n n n n x y z x y z ++≠++（，原命题错误； D . 由平面向量数量积的性质可知()()a b c c a b ⋅⋅≠⋅⋅，原命题错误； 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查类比推理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【详解】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的；对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为(,)24π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．9．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8， 变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.10．B解析：B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
广东实验中学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(含答案解析)
一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20483．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12 B ．11C ．10D ．94．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++5．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于16．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+”的证明过程： “要证明()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+，即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（ ） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法8．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书9．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +- (0<x <13)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25D ．210．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变12．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A ．丁B ．乙C ．丙D ．甲二、填空题13．已知1111()1232f n n n n n=+++++++，则()(1)f k f k +=+_________. 14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过,,A B C 三个城市时，甲说:我没去过C 城市；乙说:我去过的城市比甲多，但没去过B 城市；丙说:我们三人去过同一城市，由此可判断甲去过的城市为__________．15．对于自然数方幂和()12k k k k S n n =+++（n *∈N ，k *∈N ），1(1)()2n n S n +=，2222()12S n n =+++，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1， 33﹣23＝3×22＋3×2＋1， ……(n ＋1)3﹣n 3＝3n 2＋3n ＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n ＋1)3﹣13＝23()S n ＋13()S n ＋n ，解得2()S n ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，类比以上过程可以求得54324()A B C D E F S n n n n n n =+++++，A ，B ，C ，D ，E ，F ∈R 且与n 无关，则A ＋F 的值为_______．16．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是 ________． 17．观察下列关系式:11x x +=+;()2112x x +≥+;()3113x x +≥+;由此规律,得到的第n 个关系式为__________18．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即1222(1)a aa x dx a +<<+⎰.运用类比推理，若对∀n ∈N *，111111122121A n n n n n n +++<<++++++-恒成立，则实数A ＝________.19．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．20．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____．三、解答题21．已知函数2()1f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2425()n n S n n f a +=+． （1）求1234,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 22．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．23．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）.（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.24．（1）求证：当2a >时，222a a a ++-<； （2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.25．观察下列等式：11=；2349++=； 3456725++++=；4567891049++++++=；……（1）照此规律，归纳猜想第()*n n N ∈个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 26．设a ＞0，f (x )＝axa x+，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当n k =时，左边的代数式为11112k k k k++⋯++++， 当1n k =+时，左边的代数式为11111232122k k k k k k ++⋯++++++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.2．A【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n1212n-==-2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n()12n n+ =，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．3．B解析：B【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案.【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．C【解析】分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：()()()()1111111121321k S k k k k +=+++++++++++()111123421k k k k =++++++++()11111123422121k k k k k k =+++++++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()1111111123422121k k k k k k k =++++++-++++++ ()112121k S k k =+-++. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D 【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则112a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则21ab=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b cb c a<<<，则3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<6．A解析：A【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立.详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.7．A解析：A【解析】分析：由题意结合分析法的定义可知题中的证明方法应用了分析法.详解：题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法，即原等式成立应用了分析法.本题选择A选项.点睛：本题主要考查分析法的特征及其应用，意在考查学生的转化能力和知识应用能力. 8．D解析：D【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D.9．C解析：C【解析】由题意可得f(x)＝3413x x+-＝2232313x x+-≥()232313xx++-＝25，当且仅当33x＝213x-，即x＝15时取等号，故最小值为25.故选：C10．D解析：D【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．11．B解析：B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了m t T++ 2m+2t+T22分钟，共节省了T t- T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．故选B.【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．12．D解析：D【分析】利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案.【详解】假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话， 这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾， 故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为甲 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.二、填空题13．【分析】根据题意共有项且各项的分母从变到故得到的代数式再用表示【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用考查了数列的递推式解题时要认真审题仔细解答注意公式的灵活运用 解析：11121221k k k +-+++ 【分析】根据题意()f k 共有k 项且各项的分母从1k +变到2k ，故得到()1f k +的代数式，再用()f k 表示【详解】()11111232f n n n n n =+++++++， ()11111232f k k k k k∴=+++++++ ()()()()()1111111121321f k k k k k +=+++++++++++111112342122k k k k k =++++++++++()11121221f k k k k =++-+++ 故答案为11121221k k k +-+++ 【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．14．A 【解析】分析：一般利用假设分析法找到甲去过的城市详解：假设甲去过的城市为A 则乙去过的城市为AC 丙去过A 城市假设甲去过的城市为B 时则乙说的不正确所以甲去过城市不能为B 故答案为A 点睛：（1）本题主要考解析：A 【解析】分析：一般利用假设分析法，找到甲去过的城市.详解：假设甲去过的城市为A,则乙去过的城市为A,C ，丙去过A 城市.假设甲去过的城市为B 时，则乙说的不正确,所以甲去过城市不能为B.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和推理能力.(2)类似本题的题目，一般都是利用假设分析推理法找到答案.15．【解析】分析：先根据推导过程确定AF 取法即得A ＋F 的值详解：因为所以所以所以点睛：本题考查运用类比方法求解问题考查归纳观察能力解析：15. 【解析】分析：先根据推导过程确定A,F 取法，即得A ＋F 的值. 详解：因为4432(1)4641n n n n n +-=+++,55432(1)5101051n n n n n n +-=++++，所以4321(1)14()6()4()n S n S n S n n +-=+++,54321(1)15()10()10()5()n S n S n S n S n n +-=++++所以43231231()4S n n a n a n a n =+++, 543241()5S n n Bn Cn Dn En =++++,所以11,055A F A F ==+=，. 点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力.16．31【解析】分析：由图形的特点只需看第10个图形中火柴的根数是在的基础上增加几个即可详解：第1个图形中有根火柴棒；第2个图形中有根火柴棒；第3个图形中有根火柴棒；第10个图形中有根火柴棒点睛：本题主解析：31 【解析】分析：由图形的特点，只需看第10个图形中火柴的根数是在4的基础上增加几个3即可． 详解：第1个图形中有4根火柴棒； 第2个图形中有437+= 根火柴棒； 第3个图形中有43210+⨯= 根火柴棒；第10个图形中有43931+⨯= 根火柴棒．点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，齐总解答中根据图形的变化规律，得到火柴棒的根数是在4的基础上增加几个3的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．17．【解析】左边为等比数列右边为等差数列所以第个关系式为 解析：()11nx nx +≥+【解析】左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为()11nx nx +≥+.18．【解析】令依据类比推理可得A1＝dx ＝ln(n ＋1)－lnnA2＝dx ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)…An ＝dx ＝ln(2n)－ln(2n －1)所以A ＝A1＋A2＋…＋An ＝ln(n ＋1)－lnn 解析：ln 2【解析】 令12111111,,,121221n A A A n n n n n n <<<<<<+++-， 依据类比推理可得A 1＝11n nx +⎰d x ＝ln(n ＋1)－ln n ，A 2＝211n n x ++⎰d x ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)，…，A n ＝2211nn x -⎰d x ＝ln(2n )－ln(2n －1)，所以A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ＝ln(n ＋1)－ln n ＋ln(n ＋2)－ln(n ＋1)＋…＋ln(2n )－ln(2n －1)＝ln(2n )－ln n ＝ln 2.19．176【解析】原已知式子可化为：正方形数:五边形数六边形数……由此推测由归纳推理可得故解析：176 【解析】原已知式子可化为：211,322N n n n ==+（） 正方形数:()22,402N n n n ==+ 五边形数()231,5?22N n n n ==-六边形数()242,6?22N n n n ==-……由此推测由归纳推理可得()224,22k kN n k n n --=+ 故()2648,88817622N =⨯+⨯= 20．【解析】试题分析：前行共有=个数所以第个数是故答案为考点：1合情推理与演绎推理；2等差数列求和解析：262n n -+ 【解析】试题分析：前n 1-行共有123...++++1n -=(1)2n n -(3)n ≥个数，所以第3个数是 ()216322n n n n --++=．故答案为262n n -+． 考点：1、合情推理与演绎推理；2等差数列求和．三、解答题21．（1）1234,,2345,a a a a ====（2）猜想1n a n =+．见解析 【分析】（1）先求得1a 的值，然后根据已知条件求得122(2)n n a a n n -=++，由此求得234,,a a a 的值.（2）由（1）猜想数列{}n a 的通项公式为1n a n =+，然后利用数学归纳法进行证明. 【详解】 （1）由2425()n n S n n f a +=+，即22252n n S a n n +=++，① 所以12a =，由①得21122(1)5(1)2(2)n n S a n n n --+=-+-+，② -①②，得122(2)n n a a n n -=++．当2n =时，212212,3a a a =++=； 当3n =时，323232,4a a a =++=； 当4n =时，434242,5a a a =++=． （2）由（1）猜想1n a n =+． 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由（1）可知猜想成立； ②假设n k =时猜想成立，即1k a k =+，此时222132252,(52)222k k k k k S a k k S k k a k +=++=++-=+，当1n k =+时，221113(1)3(1)2222k k k k k k S S a k a k ++++=+=++=++，整理得1(1)1k a k +=++， 所以当1n k =+时猜想成立．综上所述，对任意*,1n n N a n ∈=+成立． 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.22．（1）证明见解析（2）23452481635917a a a a ====，，，，猜想：a n 11221n n --=+，证明见解析 【分析】（1利用反证法假设1n n a a +=，代入121+=+nn na a a 进而得出此数列是0或1的常数列，与10a >，11a ≠矛盾，所以假设错误；（2）由112a =在通过递推公式直接写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，猜想出11221--=+n n n a ，再用数学归纳法进行证明． 【详解】（1）证明：假设1n n a a +=，又a n +121nna a =+，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而1210-=====n n a a a a 或1211-=====n n a a a a ，这与题设10a >或11a ≠相矛盾，所以1n n a a +=不成立．故1+≠n n a a 成立． （2）由题意得12345124816235917a a a a a =====，，，，， 由此猜想：11221--=+n n n a ．①当n ＝1时，a 10021212==+，猜想成立，②假设n ＝k 时，11221--+=k k k a 成立，当n ＝k +1时，()()1111111112222221212121121-+--+-+--⨯+====+++++k k k k k k k k k k k a a a ， 所以当n ＝k +1时，猜想也成立，由①②可知，对一切正整数，都有a n 11221n n --=+成立．【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用以及数学归纳法证明命题的运用．23．（1）123437151,,,248a a a a ====，1212n n n a --=；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）分别令1,2,3,4n =，可求解1234,,,a a a a 的值，即可猜想通项公式n a ；（2）利用数学归纳法证明. 试题（1）123437151,,,248a a a a ====，由此猜想1212n n n a --=；（2）证明：当1n =时，11a =，结论成立；假设n k =（1k ≥，且k N +∈），结论成立，即1212k k k a --=当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以11112122212222k k k k k k a a +-+--++-===，这表明当1n k =+时，结论成立， 综上所述，1212n n n a --=()n N +∈.考点：数列的递推关系式及数学归纳法的证明.24．（1）证明过程详见试题解析； （2）证明过程详见试题解析. 【分析】（1）利用综合法证明即可；（2）利用反证法证明，假设2是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，推出m n a a d m n -==-253m p a a d m p m p m p ---===---为有理数，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项． 【详解】解：（1）∵2＝2a0且a +2≠a ﹣2，∴()()22224a a a a a +++-=，∴（2）假设2是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，则m n a a d m n -==-为无理数，又253m p a a d m p m p m p ---===---为有理数，矛盾．所以，假设不成立，即2不可能是同一个等差数列中的三项． 【点睛】反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立． 25．（1）()221n -；（2）证明见解析. 【解析】分析：（1）第n 个等式为()()()()()212...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈.(2)利用个数学归纳法证明猜想.详解：（1）第n 个等式为()()()()()212...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈；（2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，左边1=，右边211==, 所以当1n =时，原等式成立.②假设当()*n k k N =∈时原等式成立，即()()()()()212....3221*k k k k k k N ++++++-=-∈,则当1n k =+时，()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++()()()22131331k k k k k ⎡⎤=--+-+++⎣⎦()()22244121211k k k k ⎡⎤=++=+=+-⎣⎦,所以当1n k =+时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何*n N ∈都成立.点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++=()2211k ⎡⎤+-⎣⎦.26．（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）根据递推关系依次求出a 2，a 3，a 4的值，并根据分母变化规律猜想数列a n }的通项公式；（2）先证明起始项成立，再根据递推关系证明n=k+1成立，最后总结 试题(1)因为a 1＝1，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝，a 3＝f (a 2)＝，a 4＝f (a 3)＝，猜想a n ＝(n ∈N *)．(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确； ②假设n ＝k (k ∈N *)时， a k ＝成立，则a k ＋1＝f (a k )＝＝＝＝.这说明，n ＝k ＋1时成立．由①②知，对于任何n∈N*，都有a n＝.。
广东省2016届高三数学二轮复习课时检测：9几何证明01 含答案
几何证明011 ．在正三棱锥P ABC -中，,D E 分别是,AB AC 的中点，有下列三个论断：①PB AC ⊥;②AC //平面PDE ;③AB ⊥平面PDE ，其中正确论断的个数为 （ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个答案：C2 ．设,m n 是两条不同的直线，γβα、、是三个不同的平面.给出下列四个命题:①若m ⊥α,//n α，则m n ⊥； ②若γβγα⊥⊥,,则βα//; ③若//,//m n αα，则//m n ； ④若//,//,m αββγα⊥,则m γ⊥.其中正确命题的序号是( ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④答案:D3 ．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C l D 1中，AA 1=2AB ，E 是AA 1的中点,则异面直线D 1C 与BE 所成角的余弦值为( ）A．15BCD．35答案：B4、如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知3=AD,33=AC，圆O的半径为5,则圆心O到AC的距离为．答案：25、如图4，AC为⊙O的直径，OB AC⊥，弦BN交AC于点M．若OC=1OM=，则MN的长为答案：1.6、如图2,在△ABC中,DE//BC，DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= 答案：83A图2FAEBC DFAED BC7、如图，过点C 作ABC 的外接圆O 的切线交BA的延长线 于点D。
若CD = 2AB AC ==,则BC = 。
答案：8、如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为答案：279、如右图，AB 是圆O 的直径,BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ,若3OB =，5OC =，则CD =ODCBA。
(北师大版)广州市高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(答案解析)
一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩D ．甲、丁可以知道自己的成绩2．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9103．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立5．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ） A ．33x y = B ．33x y > C ．33x y =或33x y > D ．33x y =或33x y < 6．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50B ．42C ．-50D ．-427．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b bD ．3m n p r b b b b =8．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得152x +=，类似上述过程，则33++=（ ）A ．1312+ B ．3 C ．6D ．229．高二年级有甲、乙、丙三个班参加社会实践活动,高二年级老师要分到各个班级带队,其中男女老师各一半,每次任选两个老师,将其中一个老师分到甲班,如果这个老师是男老师,就将另一个老师分到乙班,否则就分到丙班,重复上述过程,直到所有老师都分到班级,则 A ．乙班女老师不多于丙班女老师 B ．乙班男老师不多于丙班男老师 C ．乙班男老师与丙班女老师一样多D ．乙班女老师与丙班男老师一样多10．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现12．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c ++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=二、填空题13．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.14．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====…．按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =_______． 15．已知函数()11112f x x x x =++++，由()111111f x x x x -=++-+是奇函数，可得函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，类比这一结论，可得函数()237126x x x g x x x x +++=++++++的图象关于点___________对称. 16．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 .17．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．18．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________． 19．在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为__________．20．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则1212r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R =__________． 三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性． 22．用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++． 23．已知函数2()1f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2425()n n S n n f a +=+． （1）求1234,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．24．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且33a =，1a 、2a 、4a 成等比数列，数列{}n b 满足()1222*n n b b nb a n +++=∈N（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求证：()3121112*n n n nb b b a a n b b b ++++++>-∈N . 25．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式. 26．设等差数列的公差，且，记（1）用分别表示，并猜想；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了. 【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D. 【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.2．B解析：B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．3．B解析：B 【分析】分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果.【详解】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意； 若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意； 若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意； 若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意， 综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B. 【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.4．A解析：A 【解析】分析：利用互为逆否的两个命题同真同假的原来，当()P n 对n k =不成立时，则对1n k =-也不成立，即可得到答案．详解：由题意可知，原命题成立的逆否命题成立， 命题()P n 对8n =不成立时，则()P n 对7n =也不成立， 否则当7n =时命题成立，由已知必推得8n =也成立， 与当8n =时命题不成立矛盾，故选A ．点睛：本题主要考查了数学归纳法以及归纳法的性质，互为逆否的两个命题同真同假的性质应用，其中正确四种命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5．C解析：C 【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立， 而“33x y <”的否定为：“33x y ≥”，故选C ． 考点：反证法与放缩法．6．C解析：C 【解析】分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【详解】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3m n p r b b b b =”成立，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.8．A解析：A 【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即23m m +=，解得m m ==舍去，故选A. 9．C解析：C 【解析】任选两个老师共有4种情况：①男+男，则乙班中男老师数加1个；②女+女，则丙班中女老师数加1个；③男+女（男老师放入甲班中），则乙班中女老师数加1个；④女+男（女老师放入甲班中），则丙班中男老师数加1个，设一共有老师2a 个，则a 个男老师，a 个女老师，甲班中老师的总个数为a ，其中男老师x 个，女老师y 个，x y a +=，则乙班中有x 个老师，其中k 个男老师，j 个女老师，k j x +=；丙班中有y 个老师，其中l 个男老师，i 个女老师，i l y +=；女老师总数a y i j =++，又x y a +=，故x i j =+，由于x k j =+，所以可得i k =，即乙班中的男老师等于丙班中的女老师，故选C ．10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置． 【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,，由于22441936,452025==，2244201945<<， 所以故2019是第45行的倒数第4个数， 所以数字2019的位置为（45,42）． 故选C ． 【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． （2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．12．A解析：A 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .二、填空题13．【分析】先依次将前几个函数求出来观察其结构即可猜想出【详解】由题可知……可以猜想所以故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用考查数学猜想能力属于基础题解析：()202020202211xx -+. 【分析】先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出. 【详解】 由题可知，11122()()1211x xf x f x x x ，22212222221()()213121111x x x xx f x f f x fxx x x x ，22233222322221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ， 33344333432221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ，44455444542221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x……可以猜想2()211n n n xf x x ，所以2020202020202()211xf x x .故答案为：()202020202211xx -+. 【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.14．120【解析】分析：观察所告诉的式子找到其中的规律问题得以解决详解：…则按照以上规律可得n=故答案为120点睛：本题考查了归纳推理的问题关键是发现规律属于基础题解析：120【解析】分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决．详解：=，==，，…．则按照以上规律=n=2111120-= 故答案为120.点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是发现规律，属于基础题．15．【解析】由题得所以是奇函数所以函数的图象关于点对称故填解析：7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 由题得234567()6111111123456x x x x x x g x x x x x x x ++++++-=-+-+-+-+-+-++++++ 111111123456x x x x x x =+++++++++++ 7111111()67777772123456222222g x x x x x x x --=+++++-+-+-+-+-+-+ 7111111()6()5311352222222g x f x x x x x x x --=+++++=---+++ 111111()()531135222222f x f x x x x x x x ∴-=+++++=--------+-+-+所以()f x 是奇函数，所以函数()237126x x x g x x x x +++=++++++的图象关于点7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.故填7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭.16．【解析】把二进制数化为十进制数是应填答案 解析：89【解析】把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是6543012021212001289⨯+⨯+⨯+⨯+++⨯=，应填答案89。
(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知ABC 的边长分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c ，类比这一结论可知：若三棱锥A BCD -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，三棱锥A BCD -的体积为V ，则R =（ ）A ．1234+++VS S S SB ．12342+++VS S S SC ．12343+++VS S S SD ．12344+++VS S S S2．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=B ．()()()21231n n n n n ++++++-=C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-3．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则57S ＝（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．20594．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，则20205的末四位数字为（ ） A ．3125B ．5625C ．0625D ．81255．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.若令10x =，2π2x =，3πx =，请依据上述算法，估算2πsin 5的近似值是（ ） A ．2425B ．1725C ．1625D ．356．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20187．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =⊕，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．98．将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i 行（从上向下）第j 个（从左向右）的数表示为ij a (),i j N*∈，例如3210a=.若2020ij a =，则i j -（ ）A ．21B ．22C ．23D ．259．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则 项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.3 1.2411.8乙12.6 1.311.4丙12.9 1.2611.7丁13.1 1.2211.6A．甲B．乙C．丙D．丁10．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆22149x y+=绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A．4πB．8πC．16πD．32π11．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（）A．乙做对了B．甲说对了C．乙说对了D．甲做对了12．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20195的末四位数字为（ ） A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125二、填空题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====，则按照以上规律，若(1n +=“穿墙术”，n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则9T 的值为______． 14．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .15．若ij a 表示n n ⨯阶矩阵12910254381124567122316151413221718192021nn a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭中第i 行第j 列的元素（,1,2,3,,i j n =⋅⋅⋅）．若200ij a =，则(,)i j =_______________． 16．把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写成如下数表： 111351111791113111115172729⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(),A t s ，则()11,4A =________. 17．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .18．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲团队获得一等奖”； 小王说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小李说：“丁团队获得一等奖”；小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是___． 19．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________20．某种型号的机器人组装由,,,A B C D 四道工序，完成它们需要的时间依次为5,3,3x ，小时，已知完成这四道工序先后顺序及相互关系是：①,A B 可以同时开工；②只有在B 完成后C 才能开工；③只有在,A C 都完成后D 才能开工.若完成该型号的机器人组装总时间为9小时，则完成工序B 需要的时间的最大值为__________．三、解答题21．观察下列各等式：tan10tan 20tan 20tan60tan60tan101︒︒+︒︒+︒︒=tan 20tan30tan30tan 40tan 40tan 201︒︒+︒︒+︒︒=tan33tan 44tan 44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒= （1）尝试再写出一个相同规律的式子；（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式； （3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．22．已知正三角形ABC 的边长是a ，若O 是ABC △内任意一点，那么O 到三角形三边的距离之和是定值32a .这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设O 到三边的距离分别是OD 、OE 、OF ，则111222S a OD a OE a OF =⋅+⋅+⋅=11()22a OD OE OF a h ⋅++=⋅,h 为正三角形ABC 的高32a ，即32OD OE OF a ++=.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.23．已知,,(0,)a b c ∈+∞. 求证：4a b +，9b c +，16c a+中至少有一个不小于6. 24．下面（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想,,E F G 之间的数量关系（不要求证明）.25．观察下列等式：11-=-；132-+=；1353-+-=-；13574-+-+=； ………（1）照此规律，归纳猜想出第n 个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.26．若a b c 、、是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由三角形类比三棱锥，则三角形的面积类比三棱锥的体积，由内切圆类比内切球，可得出结论. 【详解】ABC 的边长分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，由等面积法可得()12S r a b c =++，2S r a b c ∴=++.类比这个结论：三棱锥A BCD -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，三棱锥A BCD -的体积为V ，由等体积法可得()123413V R S S S S =+++，12343V R S S S S ∴=+++.故选：C. 【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．2．C解析：C 【解析】 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2 右边均为2n-1的平方 故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3．C解析：C 【分析】由归纳推理及等比数列前n 项和可得：即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，则01901571010222()1034S C C =++⋯+++=，得解．【详解】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，⋯． 分组为（1），(1,1)，(1，2，1)，(1，3，3，1)，(1，4，6，4，1)⋯ 则第n 组n 个数且第n 组n 个数之和为12n -，设57a 在第n 组中， 则(1)(1)5722n n n n -+， 解得：11n =，即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，即为110C ，则01901571010222()1034S C C =++⋯+++=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了归纳推理及等比数列前n 项和，属于中档题．4．C解析：C 【分析】根据5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解. 【详解】因为5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，观察可知415k +的末四位数字3125，425k +的末四位数字5625， 435k +的末四位数字8125， 445k +的末四位数字0625，又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论． 【详解】解：函数()sin y f x x ==在0x =，π2x =，πx =处的函数值分别为 1(0)0y f ==，2π()12y f ==，3(π)0y f ==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--， 故2222444()()2f x x x x x x πππππ=--=-+，即2244sin x x x ππ≈-+，∴222424224sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题．6．A解析：A 【分析】通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12n a n n +=由14254556,,22b b a a ⨯⨯==== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==== …可得()215512k k k b --=所以()19510510112252b ⨯⨯⨯-==故选：A 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，7．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。
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推理与证明
考点一合情推理与演绎推理
1.观察下列等式
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
……
照此规律,第n个等式可为.
答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
2.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.
(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;
(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).
答案(1)3,1,6 (2)79
3.设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).
(1)当a=时,求f;
(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;
(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.
【详细分析】(1)当a=时, f=,
f=f=2=.
(2)f(f(x))=
当0≤x≤a2时,由x=x解得x=0,
因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;
当a2<x≤a时,由(a-x)=x解得x=∈(a2,a),
因f=·
=≠,
故x=为f(x)的二阶周期点;
当a<x<a2-a+1时,由(x-a)=x解得x=∈(a,a2-a+1),
因f=·=,故x=不是f(x)的二阶周期点;
当a2-a+1≤x≤1时,
由(1-x)=x解得x=∈(a2-a+1,1),
因f
=·
=≠,
故x=为f(x)的二阶周期点.
因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.
(3)由(2)得
A,
B,
则S(a)=·,
S'(a)=·,
因为a∈,a2+a<1,
所以S'(a)=·
=·>0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g'(a)=3a2-4a-2
=3,
因a∈(0,1),g'(a)<0,则g(a)在区间上的最小值为g=>0,
故对于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,
S'(a)=·>0
则S(a)在区间上单调递增,
故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.
考点二直接证明与间接证明
4.设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( )
A.[1,e]
B.[1,1+e]
C.[e,1+e]
D.[0,1]
答案 A
5.已知函数f(x)=e x,x∈R.
(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;
(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点;
(3)设a<b,比较f与的大小,并说明理由.
【详细分析】(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为k,
∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1,
于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1.
(2)解法一:曲线y=e x与y=x2+x+1公共点的个数等于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.
∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0.
又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,则h'(x)=e x-1,
当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减.
当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,
即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.
∴φ'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),
∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,
故曲线y=f(x)与y=x2+x+1有唯一的公共点.
解法二:∵e x>0,x2+x+1>0,
∴曲线y=e x与y=x2+x+1公共点的个数等于曲线y=与y=1公共点的个数,
设φ(x)=,则φ(0)=1,即x=0时,两曲线有公共点.
又φ'(x)==≤0(仅当x=0时等号成立),
∴φ(x)在R上单调递减,∴φ(x)与y=1有唯一的公共点,
故曲线y=f(x)与y= x2+x+1有唯一的公共点.
(3)-f
=-==[--(b-a)].
设函数u(x)=e x--2x(x≥0),则u'(x)=e x+-2≥2-2=0,
∴u'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),
∴u(x)单调递增.
当x>0时,u(x)>u(0)=0.
令x=,则得--(b-a)>0,
∴>f.
6.如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C 处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.
(1)证明:中截面DEFG是梯形;
(2)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.
【详细分析】(1)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,
所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3,
因此四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形.
由AA2∥平面MEFN,AA2⊂平面AA2B2B,且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME,可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.
又M、N分别为AB、AC的中点,
则D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点,即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.
因此DE=(A1A2+B1B2)=(d1+d2),FG=(A1A2+C1C2)=(d1+d3),
而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形.
(2)V估<V.证明如下:
由A1A2⊥平面ABC,MN⊂平面ABC,可得A1A2⊥MN.
而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.
由MN是△ABC的中位线,可得MN=
BC=a,即为梯形DEFG的高,
因此S中=S梯形DEFG
=·=(2d1+d2+d3),
即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).
又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).
于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].
由d1<d2<d3,得d2-d1>0,d3-d1>0,故V估<V.
7.已知函数f(x)=e x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.
【详细分析】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞).
f '(x)='e x+e x=e x
=e x.
当x<0时, f '(x)>0;
当x>0时, f '(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
(2)当x<1时,由于>0,e x>0,
故f(x)>0;
同理,当x>1时, f(x)<0.
当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,0),x2∈(0,1).
下面证明:∀x∈(0,1), f(x)<f(-x),即证e x<e-x.
此不等式等价于(1-x)e x-<0.
令g(x)=(1-x)e x-,
则g'(x)=-xe-x(e2x-1).
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,从而g(x)<g(0)=0.
即(1-x)e x-<0.
所以∀x∈(0,1), f(x)<f(-x).
而x2∈(0,1),所以f(x2)<f(-x2),从而f(x1)<f(-x2).
由于x1,-x2∈(-∞,0), f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以x1<-x2,即x1+x2<0.。