中考三垂直模型 ppt课件
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河南中考数学考点复习-微专题 一线三垂直模型复习课件.ppt
第2题图
①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝90°，
∵∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△CAE与△BCD中，
CEA BDC CAE BCD
，
AC CB
∴△CAE≌△BCD(AAS)，
∴EC＝BD；
②解：由①知：BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，
∴ ＝S1梯形a2A＋EDaBb＝＋121
(a＋b)(a＋b) b2.
又 ∴∵212Sa梯2形＋AaEDbB＋＝212S△bA2E＝C＋abS＋△B12CDc＋2. S△ABC＝12
ab＋1 ab＋ 1
2
2
c2＝ab＋1
2
c2.
整理，得a2＋b2＝c2.
W
点击链接至综合训练
老师进入小程序后建立班级邀请学生进班即可教师版小程序专用请勿让学生扫码2020河南数学微专题一线三垂直模型模型一异侧一线三垂直型模型演变必考常在几何图形折叠与动点问题和二次函数压轴题中涉及考查针对演练第1题图1
微专题 一线三垂直模型
(必考，常在几何图形折叠与动点问题和二次函数压轴题中涉及考查)
模型一 异侧一线三垂直型
模型演变
针对演练
1. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP ＜CP)，分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CF⊥AP于点F. 求证：(1)△ABE≌△CAF；
证明：(1)∵BE⊥AP，CF⊥AP， ∴∠AEB＝∠CFA＝90°. ∴∠FAC＋∠ACF＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠FAC＝90°，
第1题图
∴∠BAE＝∠ACF.
在△ABE和△CAF中，
AEB CFA BAE ACF
①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝90°，
∵∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△CAE与△BCD中，
CEA BDC CAE BCD
，
AC CB
∴△CAE≌△BCD(AAS)，
∴EC＝BD；
②解：由①知：BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，
∴ ＝S1梯形a2A＋EDaBb＝＋121
(a＋b)(a＋b) b2.
又 ∴∵212Sa梯2形＋AaEDbB＋＝212S△bA2E＝C＋abS＋△B12CDc＋2. S△ABC＝12
ab＋1 ab＋ 1
2
2
c2＝ab＋1
2
c2.
整理，得a2＋b2＝c2.
W
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微专题 一线三垂直模型
(必考，常在几何图形折叠与动点问题和二次函数压轴题中涉及考查)
模型一 异侧一线三垂直型
模型演变
针对演练
1. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP ＜CP)，分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CF⊥AP于点F. 求证：(1)△ABE≌△CAF；
证明：(1)∵BE⊥AP，CF⊥AP， ∴∠AEB＝∠CFA＝90°. ∴∠FAC＋∠ACF＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠FAC＝90°，
第1题图
∴∠BAE＝∠ACF.
在△ABE和△CAF中，
AEB CFA BAE ACF
三垂线定理及其典型例题ppt课件
思考：
a 如果把定理中的条a⊥AO与结 论a⊥PO互换，命题是否成立？
三垂线定理的逆定理： 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言
2°定理的关键找“平面”这个参照学。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
复习提问：
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
一、射影的概念 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
三垂线定理 PPT课件 1 人教课标版
' ' 则AG BC，连结AG 则AG BC
AG
3 a， 2
A F D
C E G
3 6 ' a AG a 4 4 6 即A'点到BC的距离是 a 4 A' F FG
B
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 • 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直 线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的 垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂 线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是 所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分 多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练 习，同学们可以自己尝试一下。
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已 知 ： 正 方 体 中 截 去 以 P 为 定 点 的 一 角 得 截 面 A B C 求 证 ： 所 截 得 的 A B C 是 锐 角 三 角 形
P C A B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证 明 ： 过 P 作 P D A B 于 D ， A B P 是 R t， P D 的 垂 足 DA 在内 B， 连 结， C D由 三 垂 线 定 理 可 知 ， C D A B ， C D 为 A B C 中边 A B上 的 高 线 且 满 足 垂 足 在内 A B， 同 理 可 证 A B C 中边 B C 、边 A C上 的 高 线 的 垂 足 也 在、内 B CA C A B C 的 垂 心 在 A B C 内 ， 故 A B C 为 锐 角 三 角 形
o ' 将沿 A B C 线 段 D E 折 成 9 0 的 二 面 角 ， 此 时 A 点 变 到 A 点 的 位 置
C E A F D B G
AG
3 a， 2
A F D
C E G
3 6 ' a AG a 4 4 6 即A'点到BC的距离是 a 4 A' F FG
B
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 • 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直 线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的 垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂 线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是 所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分 多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练 习，同学们可以自己尝试一下。
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已 知 ： 正 方 体 中 截 去 以 P 为 定 点 的 一 角 得 截 面 A B C 求 证 ： 所 截 得 的 A B C 是 锐 角 三 角 形
P C A B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证 明 ： 过 P 作 P D A B 于 D ， A B P 是 R t， P D 的 垂 足 DA 在内 B， 连 结， C D由 三 垂 线 定 理 可 知 ， C D A B ， C D 为 A B C 中边 A B上 的 高 线 且 满 足 垂 足 在内 A B， 同 理 可 证 A B C 中边 B C 、边 A C上 的 高 线 的 垂 足 也 在、内 B CA C A B C 的 垂 心 在 A B C 内 ， 故 A B C 为 锐 角 三 角 形
o ' 将沿 A B C 线 段 D E 折 成 9 0 的 二 面 角 ， 此 时 A 点 变 到 A 点 的 位 置
C E A F D B G
三垂线定理课件完整
D1 A1 A D B1
C1
C E B
做一做
例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC 垂直于AD，求证：AC ⊥BD。 A
证明：
过A作AO⊥平面BCD于O，连 结BO 、DO、CO
∵ AB⊥CD， ∴ OB是AB在平面BCD上的射影
D B O
∴CD⊥BO
同理可得： BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，
பைடு நூலகம்
∴ BD⊥OC， ∵ OC是AC在平面BCD上的射影， ∴ BD⊥AC（三垂线定理）
A1 D1 B1 C1
D B
C
同理得 BD1⊥AB1
∴BD1⊥平面AB1C
1°知识内容： 2°思想方法: 转化的关键: 3°应用步骤:
三垂线定理 “转化”的思想， 找平面的垂线 “一垂二射三证”
4°学会从复杂的环境中找出关键的几条线段，
以及一题多图和一题多证。
1、（2009）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1
C
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连 结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，A1B
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD 又：DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∵AC⊂平面AC内， A ∴BD1⊥AC 请同学思考：如何证明BD1⊥AB1
三垂线定理复习课（一）
P
A
C
B
高三数学组
钮锦辉
三垂线定理
平面的一条斜线垂直平面内的一条直线
简记
斜线在平面内的射影 垂直于该直线。
P
P
α
A
O
a
α
A
O
三垂线定理PPT课件
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF
F
B E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
三垂线定理 PPT课件 6 人教课标版
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
三垂线定理的逆理：
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
题 直线垂直的判定定理， 回 这两条直线可以是：
顾 ①相交直线
②异面直线
e dc
αA
Ob a
注意：如果将定理中 例如：当 b⊥ 时，
“在平面内”的条件
b⊥OA
解 去掉，结论仍然成立 吗？
但 b不垂直于OP
题
P
b
回 顾
直线a 在一定要在 平面内，如果 a 不
在平面内，定理就 不一定成立。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
三垂线定理11 PPT课件
结论1：斜线上任意一P 点在平面的射影一定在 该斜线的l射影上。
结论2：当直线α与平A 面垂O直时，直线在平面内 的射影是一个点。
二、猜想与发现
根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内 的任意一条直线都和平面的垂线垂直。现在我们想一想， 平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直 呢？
P m
水平平面的限制.定理的实质是研究平面内的一条直线与这
个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系,
与平面的位置无关.
(2)因为ａ是平面α内的任意一条直线,所以ａ与斜线ＰＯ的
位置关系有两种情况:一是不过斜足Ｏ的异面垂直；一是过
斜足Ｏ的相交垂直.反映三垂线定理的图形有四种情况(如图).
p
p
p
p
a
a
七、作业
P24、1，2 P25、4
P C
OD B
垂直。
2.已知： 正方体ABCD A1B1C1D1中.求证 :
(1) A1C BC1; (2) A1C 平面C1DB D1
C1
A1
B1
（2）证明：A1C BC1
同理证A1C BD A1C 平面C1DB A
D
C B
BC1 DB B
六、小结
（1）本节课的教学可概括为四个字： 猜、证、剖、用
a
a
AO
AO
AO
AO
五、定理的应用
1.已知： 如图，O 是ABC的垂心，PO 平面ABC，
连结PA， 求证：BC PA
归纳：应用三垂线定理的思维过程是
“一定”——定平面及平面内的一条直线 “二找”——找这个平面的垂线、斜线及 A 斜线在这个平面上的射影； “三证”——证明平面内的一条直线与射影
结论2：当直线α与平A 面垂O直时，直线在平面内 的射影是一个点。
二、猜想与发现
根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内 的任意一条直线都和平面的垂线垂直。现在我们想一想， 平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直 呢？
P m
水平平面的限制.定理的实质是研究平面内的一条直线与这
个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系,
与平面的位置无关.
(2)因为ａ是平面α内的任意一条直线,所以ａ与斜线ＰＯ的
位置关系有两种情况:一是不过斜足Ｏ的异面垂直；一是过
斜足Ｏ的相交垂直.反映三垂线定理的图形有四种情况(如图).
p
p
p
p
a
a
七、作业
P24、1，2 P25、4
P C
OD B
垂直。
2.已知： 正方体ABCD A1B1C1D1中.求证 :
(1) A1C BC1; (2) A1C 平面C1DB D1
C1
A1
B1
（2）证明：A1C BC1
同理证A1C BD A1C 平面C1DB A
D
C B
BC1 DB B
六、小结
（1）本节课的教学可概括为四个字： 猜、证、剖、用
a
a
AO
AO
AO
AO
五、定理的应用
1.已知： 如图，O 是ABC的垂心，PO 平面ABC，
连结PA， 求证：BC PA
归纳：应用三垂线定理的思维过程是
“一定”——定平面及平面内的一条直线 “二找”——找这个平面的垂线、斜线及 A 斜线在这个平面上的射影； “三证”——证明平面内的一条直线与射影
三垂线定理9(PPT)5-3
（１）直线与平面垂直的定义？
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂 直，则称这条直线和这个平面互相垂直。
（２）直线与平面垂直的判断方法
1.直线与平面垂直的定义 2.直线和平面垂直的判定定理1：如果一条直线 和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线 垂直于这个平面。
3.直线和平面垂直的判定定理2：如果两条平行 直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于 这一示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳聆 教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经”的 否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在句末， 表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指数量或 大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来的：～ 的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不逞】动 不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、知识 比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己的见 解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、 还”
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂 直，则称这条直线和这个平面互相垂直。
（２）直线与平面垂直的判断方法
1.直线与平面垂直的定义 2.直线和平面垂直的判定定理1：如果一条直线 和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线 垂直于这个平面。
3.直线和平面垂直的判定定理2：如果两条平行 直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于 这一示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳聆 教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经”的 否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在句末， 表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指数量或 大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来的：～ 的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不逞】动 不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、知识 比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己的见 解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、 还”
三垂线定理 课件
作 业
P
34
第11,12,13题
思考题：
在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC A
B O C
D
问题：三垂线定理中包含那些垂直关系？
(1)垂线PA和面α 垂直 (2) 直线a和射影AO垂直 (3)直线a和斜线PO垂直 P A O
α
a
A
O
a
求证：a ⊥AO
α
三垂线定理： 线与射影垂直
P
a
定 理
O
逆 定 理
A
逆定理:
线与斜线垂直
巩固练习二：
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直圆所在 的平面，点C是圆周上异于A、B的一点。 试说明： P ①图中有几个直角三角形？ ②如果点C在圆周上运动呢？
A
直角三角形，即Rt△PAC， Rt△PAB ，C Rt△ABC ,Rt△PAC
·
O
B
例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。 已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF P 求证：∠BAO=∠CAO B 证 明： E O A PO OE AB F PE AB C PF AC OF AC
（2）AC⊥射影BD
B
所以 （3）AC⊥斜线BD1
若把正方体AC1中多余的线条去掉， 则可得如下结论： 如果（1）直线D1D ⊥平面ABCD （2）直线AC ⊥射影BD 那么（3）直线AC ⊥斜线BD1 D1
C1
A1
D
A
B1
C
即由直线AC与射影BD垂直,得 到AC与斜线BD1垂直
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（1）求BP （2）求EC
A
D
E
B
P
C
典型例题：2
如图，已知点A（1,2）是函数
y 2(x＞0) x
的图象
的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y-6(x＞0)
交于点B. 求点B的坐标；
x
y
C
A（1,2）
B2 3, 3
o
x
D B
典型例题：3
1、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交
于C点. （1）求此抛物线的表达式；
E
B
典型例题：1
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C
，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、
AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
M
C
E
A
B
D 图2
N
典型例题：2
2、如图四边形ABCD，EFGH ，NHMC都是正方 形 ，A、B、N、E、F五点在同一直线上，若四 边形ABCE,EFGH的边长分别为3，4，求四边形 NHMC的边长。
∵点 B 坐标为(6，4)，反比例函数 y 6 的图象与 AB 边交于点 D，与 BC 边交于点 E， x
∴D(6，1)，E( 3 ，4).∴BE=B’E= 9 ，BD=B’D=3，
2
2
设 B’(a，b)，则 DG=1－b，B’G=6－a，B’F=a－ 3 ，EF=4－b.易证△B’EF∽△DB’G. 2
（2）设 PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣
+ =﹣ （t﹣ ）2+
∴当 t= 时，l 有最大值
即 P 为 AO 中点时，OE 的最大值为 ；
拓展与思考点：一线三等角
A
D
F
1
B
3
E
2
C
如图：如果∠1=∠2=∠3 则△BDE∽△CEF
（1）请直接写出点 D 的坐标；
（2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，
求出这个最大值；
（解3：（）1是）（否﹣存3，在4这）；样的点 P，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时△PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
∴
B' F DG
EF B'G
B' E B' D
2 3
1 b
a
3
,即
6
2 a
4b
2 3
2 3
，解得
a b
42 13 2
13
.
∴k
=
b a
1 21
.
典型例题：5
如图，二次函数 y 1 x2 bx 3 的图象与 x 轴交于点 A（﹣3，0）和点 B，以 AB 为边在 x 轴上
2
2
方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E．
巧用“三垂直”模型
引例：
1）在前一题三个直角的条件下，除AP=CP这个
条件，你能添加什么条件使 ABPPD吗C ?
2）如果没有边相等的条件，这两个三角形的 关系？
AB~PPDC
“三垂直”与全等三角形
典型例题：1
1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
x
E，连结 DE，将△BDE 沿 DE 翻折至△B’DE 处，点 B’恰好落在正比例函数 y=kx 图象上， 则 k 的值是（ ）
A． 2 5
B． 1 21
C． 1 5
D． 1 24
过点 E 作 EF//y 轴，过点 B’作 B’F⊥EF 交 EF 于点 F，过点 B’作 B’G⊥BG 交 BD 的延 长线于点 G，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
M
D
C
E N
A
图1
B
典型例题：
1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：
DE=AD﹣BE；
M
C
D
A
图2
典型例题：3
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴 的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，已知A（0，4）、 C（5，0）．作∠AOC的角平分线交AB于点D，连接 DC，过D作DE⊥DC交OA于点E． （1）求点D的坐标； （2）求证：△ADE≌△BCD；
典型例题：3
如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴 为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E， 点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
解得：m=
或
，
∴P 的坐标为（
，
）或（
，
）；
如图 4，过 P 作 MN⊥x 轴于 N，过 F 作 FM⊥MN 于 M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 则﹣m2+4m﹣3=m﹣2，
解得：x=
或
；
P 的坐标为（
，）或（，）；“三垂直”与相似三角形
典型例题：1
如图，将矩形纸片ABCD的一个顶点D沿着线段AE翻 折后落于BC边上的点P，其中AB=6，AD=10.
（1）求抛物线的解析式； y=x2﹣4x+3；
（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为
以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标
；若不存在，请说明理由．
（2）如图 3，过 P 作 MN⊥y 轴，交 y 轴于 M，交 l 于 N， ∵△OPF 是等腰直角三角形，且 OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3=2﹣m，
y
1 4
x2
2x
3
（2）抛物线上有一点P，满足∠PBC=90°，求点P的
坐标. y
P 10,8
P
3C O A2
6B
Qx
典型例题：4
（2017·广东乐山）如图 3，平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别落在 x、y 轴上，点 B 坐标为(6，4)，反比例函数 y 6 的图象与 AB 边交于点 D，与 BC 边交于点
A
D
E
B
P
C
典型例题：2
如图，已知点A（1,2）是函数
y 2(x＞0) x
的图象
的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y-6(x＞0)
交于点B. 求点B的坐标；
x
y
C
A（1,2）
B2 3, 3
o
x
D B
典型例题：3
1、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交
于C点. （1）求此抛物线的表达式；
E
B
典型例题：1
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C
，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、
AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
M
C
E
A
B
D 图2
N
典型例题：2
2、如图四边形ABCD，EFGH ，NHMC都是正方 形 ，A、B、N、E、F五点在同一直线上，若四 边形ABCE,EFGH的边长分别为3，4，求四边形 NHMC的边长。
∵点 B 坐标为(6，4)，反比例函数 y 6 的图象与 AB 边交于点 D，与 BC 边交于点 E， x
∴D(6，1)，E( 3 ，4).∴BE=B’E= 9 ，BD=B’D=3，
2
2
设 B’(a，b)，则 DG=1－b，B’G=6－a，B’F=a－ 3 ，EF=4－b.易证△B’EF∽△DB’G. 2
（2）设 PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣
+ =﹣ （t﹣ ）2+
∴当 t= 时，l 有最大值
即 P 为 AO 中点时，OE 的最大值为 ；
拓展与思考点：一线三等角
A
D
F
1
B
3
E
2
C
如图：如果∠1=∠2=∠3 则△BDE∽△CEF
（1）请直接写出点 D 的坐标；
（2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，
求出这个最大值；
（解3：（）1是）（否﹣存3，在4这）；样的点 P，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时△PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
∴
B' F DG
EF B'G
B' E B' D
2 3
1 b
a
3
,即
6
2 a
4b
2 3
2 3
，解得
a b
42 13 2
13
.
∴k
=
b a
1 21
.
典型例题：5
如图，二次函数 y 1 x2 bx 3 的图象与 x 轴交于点 A（﹣3，0）和点 B，以 AB 为边在 x 轴上
2
2
方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E．
巧用“三垂直”模型
引例：
1）在前一题三个直角的条件下，除AP=CP这个
条件，你能添加什么条件使 ABPPD吗C ?
2）如果没有边相等的条件，这两个三角形的 关系？
AB~PPDC
“三垂直”与全等三角形
典型例题：1
1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
x
E，连结 DE，将△BDE 沿 DE 翻折至△B’DE 处，点 B’恰好落在正比例函数 y=kx 图象上， 则 k 的值是（ ）
A． 2 5
B． 1 21
C． 1 5
D． 1 24
过点 E 作 EF//y 轴，过点 B’作 B’F⊥EF 交 EF 于点 F，过点 B’作 B’G⊥BG 交 BD 的延 长线于点 G，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
M
D
C
E N
A
图1
B
典型例题：
1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：
DE=AD﹣BE；
M
C
D
A
图2
典型例题：3
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴 的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，已知A（0，4）、 C（5，0）．作∠AOC的角平分线交AB于点D，连接 DC，过D作DE⊥DC交OA于点E． （1）求点D的坐标； （2）求证：△ADE≌△BCD；
典型例题：3
如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴 为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E， 点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
解得：m=
或
，
∴P 的坐标为（
，
）或（
，
）；
如图 4，过 P 作 MN⊥x 轴于 N，过 F 作 FM⊥MN 于 M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 则﹣m2+4m﹣3=m﹣2，
解得：x=
或
；
P 的坐标为（
，）或（，）；“三垂直”与相似三角形
典型例题：1
如图，将矩形纸片ABCD的一个顶点D沿着线段AE翻 折后落于BC边上的点P，其中AB=6，AD=10.
（1）求抛物线的解析式； y=x2﹣4x+3；
（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为
以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标
；若不存在，请说明理由．
（2）如图 3，过 P 作 MN⊥y 轴，交 y 轴于 M，交 l 于 N， ∵△OPF 是等腰直角三角形，且 OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3=2﹣m，
y
1 4
x2
2x
3
（2）抛物线上有一点P，满足∠PBC=90°，求点P的
坐标. y
P 10,8
P
3C O A2
6B
Qx
典型例题：4
（2017·广东乐山）如图 3，平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别落在 x、y 轴上，点 B 坐标为(6，4)，反比例函数 y 6 的图象与 AB 边交于点 D，与 BC 边交于点