百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(二)数学(理)(PDF版,含解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合A={x|x<6且x∈N∗},则A的非空真子集的个数为()A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足z⋅(1+i)=1+3i,则|z|=()A. 2B. 4C. √5D. 53.已知sin(3π2+α)=13,则cosα=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√234.李冶,真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法),用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题:甲乙同立于乾隅,乙向东行不知步数而立,甲向南直行,多于乙步,望见乙复就东北斜行,与乙相会,二人共行一千六百步,又云南行不及斜行八十步,问通弦几何.翻译过来是:甲乙两人同在直角顶点C处,乙向东行走到B处,甲向南行走到A处,甲看到乙,便从A走到B处,甲乙二人共行走1600步,AB比AC 长80步,若按如图所示的程序框图执行求AB,则判断框中应填入的条件为()A. x2+z2=y2?B. x2+y2=z2?C. y2+z2=x2?D. x=y?5.已知袋中有3个红球,n个白球,有放回的摸球2次,恰1红1白的概率是1225,则n=()A. 1B. 2C. 6D. 76. 已知双曲线C :x 24−y 25=1,圆F 1:(x +3)2+y 2=16.Q 是双曲线C 右支上的一个动点,以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切,则以下命题正确的是( )A. ⊙Q 过双曲线C 的右焦点B. ⊙Q 过双曲线C 的右顶点C. ⊙Q 过双曲线C 的左焦点D. ⊙Q 过双曲线C 的左顶点7. 在△ABC 中,AB =5,AC =3,BC =4,△ABC 内有一点O ,满足:CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA⃗⃗⃗⃗⃗ ,且λ>0,μ>0,4λ+3μ=2,则CO 的最小值为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√28. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6,且f(x)在(π,4π3)上单调,则ω的最大值为( )A. 52B. 3C. 72D. 839. 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为B ,右焦点为F ,延长BF 交椭圆E 于点C ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1),则椭圆E 的离心率e =( ) A. √λ−1λ+1B. λ−1λ+1C. √λ2−1λ2+1D. λ2−1λ2+110. 已知(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ,其中a 0+a 1+⋯+a n =243,则a1+a 12+a 23+⋯+a n n+1=( )A. 182B.1823C. 913D.182911. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,最长的棱的长度为( )A. 2√3B. 2√2C. 3D. √612. 已知函数f(x)=a+lnx x,g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数),∃x ∈(0,+∞),使得f(x)≥g(x)成立,则实数a 的最小值为( )A. 1B. eC. 2D. ln2二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 已知f(x)=xlg(√x 2+a +x)是偶函数,则f(2x −1)≤f(x)的解集为______.14.已知x,y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,目标函数z=−2x+y的最大值为2,则实数k的取值范围是______.15.已知点O(0,0),A(4,0),M是圆C:(x−2)2+y2=1上一点,则|OM||AM|的最小值为______.16.公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走,在点A处测得楼顶的仰角为45°,行走80米到点B处,测得仰角为30°,再行走80米到点C处,测得仰角为θ.则tanθ=______.三、解答题(本大题共7小题,共84.0分)17.已知数列{a n}满足a1=13,a2=415,且数列{√a n4a n−1}是等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.18.四棱锥P−ABCD中,PA=AD=2,AB=BC=CD=1,BC//AD,∠PAD=90°.∠PBA为锐角,平面PBA⊥平面PBD.(1)证明:PA⊥平面ABCD;(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.19.直线l过点(4,0),且交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,∠AOB=90°.(1)求p;(2)过点(−1,0)的直线交抛物线于M,N两点,抛物线上是否存在定点Q,使直线MQ,NQ斜率之和为定值,若存在,求出Q点坐标,若不存在,说明理由.20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡,城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡,A饭店每天需要的数量是14~18之间的一个随机数,去年A饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x(单位:只)的统计情况如表:这300天内(假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样),养鸡厂每天出栏土鸡7a(14≤a≤18)只,送到城里的这7个饭店,每个饭店a只,每只土鸡的成本是40元,以每只70元的价格出售,超出饭店需求量的部分以每只56−a元的价钱处理.(Ⅰ)若a=16,求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y(单位:元)关于需求量x(单位:只,x∈N∗)的函数解析式;(Ⅱ)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率,若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡,为了获取最大利润,你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只?21. 已知函数f(x)={x 24e 2,x ≥02x,x <0,g(x)=ln(x +a).(1)若f(x),g(x)有公共点M ,且在点M 处有相同的切线,求点M 的坐标; (2)判定函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[0,+∞)上的零点个数.22. 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =2+tcosϕy =1+tsinϕ(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ.(Ⅰ)当φ=π3时,把直线l 的参数方程化为普通方程,把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,且A ,B 中点为M(2,1),求直线l 的斜率.23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x −2|.(Ⅰ)若f(x)≥3恒成立,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)f(x)≤x 的解集为[2,m],求a 和m .答案和解析1.【答案】A【解析】解:∵集合A={x|x<6且x∈N∗}={1,2,3,4,5},故A的子集个数为25=32,非空真子集个数为30.故选:A.求出集合A={x|x<6且x∈N∗}={1,2,3,4,5},由此能求出A的非空真子集个数.本题考查集合的非空真子集的个数的求法,考查子真子集等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【答案】C【解析】解:由z⋅(1+i)=1+3i,得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i,∴|z|=√5.故选:C.把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数模的计算公式求解.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.3.【答案】B【解析】解:sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13,故cosα=−13.故选:B.利用两角和与差公式直接求解.本题考查三角函数值的求法,考查两角和与差公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.4.【答案】A【解析】解:由题知,AC=x,AB=y,BC=z,由勾股定理可知x2+z2=y2.故选:A.模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得判断框中应填入的条件.本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.5.【答案】B【解析】解:袋中有3个红球,n个白球,有放回的摸球2次,恰1红1白的概率是1225,则p=33+n ×n3+n+n3+n×33+n=1225,解得n=2.故选:B.利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果.本题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.【答案】A【解析】解:如图;因为以Q为圆心作圆Q与圆F1相外切,∴QF1=4+r;∵QF1−QF2=2a⇒QF1=2a+QF2=4+QF2;∴r=QF2;故圆Q过双曲线C的右焦点;故选:A.根据两圆外切得到QF1=4+r;再结合双曲线的定义即可求解结论.本题考查双曲线的方程和性质以及两圆的位置关系,考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于基础题.7.【答案】C【解析】解:△ABC 中,AB 2=AC 2+BC 2, ∴AC ⊥BC , ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0, |CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2+9μ2, ∵λ>0,μ>0,4λ+3μ=2, ∴2−4λ>0,解得λ<12, ∴0<λ<12.∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=16λ2+9μ2=16λ2+(2−4λ)2=32(λ−14)2+2,∴∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2≥2, ∴CO 的最小值为√2. 故选:C .根据题意,易知△ABC 为直角三角形,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,根据题意,确定λ的取值范围,给CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方,化为关于λ的二次函数,求得最值再开平方即得答案. 本题主要考查平面向量的模长公式和数量积的应用,需要学生有转化的思想,属于中档题,解题时要认真审题.8.【答案】D【解析】解:函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6, 整理得:x =kω6−π6(k ∈Z), 由于f(x)在(π,4π3)上单调,所以{k 0πω−π6≤π(k0+1)πω−π6≥4π3,解得:67k 0≤ω≤23(k 0+1),由于ω>0,所以{k 0>067k 0≤23(k 0+1),解得0<k 0≤72.所以k 0=1,2,3,当k 0=3时,ω的最大值为83. 故选:D .首先利用正弦型函数的对称轴建立等量,进一步利用函数的单调性的应用求出结果. 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.9.【答案】A【解析】解:设C(x,y),根据BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得:{c =λ(x −c)−b =λy ,则{x =(1+λ)λc y =−b λ, 因为C 在椭圆上,带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1,即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1,则e =√λ−1λ+1.故选:A .设点C(x,y),利用条件BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得{x =(1+λ)λcy =−bλ,代入椭圆方程整理即可求得e 的值. 本题考查椭圆离心率的表示,抓住向量表示是关键,属于中档题.10.【答案】B【解析】解:(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n , 令x =1,则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243,解得n =5.∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ,∴a k =2k ∁5k ,∴a k k+1=2k ∁5k k+1.则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823.故选:B .(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ,令x =1,可得3n =a 0+a 1+⋯+a n =243,解得n =5.利用(1+2x)5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5kk+1.代入即可得出.本题考查了二项式定理、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.【答案】C【解析】解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为四面体ABCD ,四面体所在正方体的棱长为2,则棱长分别为:AB =CD =√5,AC =2√2,BC =1,BD =√6,BD =3. 最长的棱的长度为3. 故选:C .由三视图还原原几何体如图,该几何体为四面体ABCD ,四面体所在正方体的棱长为2,分别求出六条棱的长度得答案.本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.12.【答案】A【解析】解:∵f(x)=a+lnx x,g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数),∃x ∈(0,+∞),使得f(x)≥g(x)成立, 即∃x ∈(0,+∞),使得a+lnx x ≥e x −1成立,即∃x ∈(0,+∞),使得a ≥xe x −x −lnx 成立. 令g(x)=xe x −x −lnx(x >0), 则a ≥g(x)min ,∵g′(x)=(1+x)e x −1−1x (x >0),∴g″(x)=(2+x)e x +1x 2>0,∴g′(x)=(1+x)e x −1−1x 在(0,+∞)上单调递增, 又g′(13)=43e 13−4<0,g′(1)=2e −2>0,∴∃x 0∈(13,1)使得g′(x 0)=0,此时g(x)=xe x −x −lnx 取得极小值,也是最小值. 令g′(x 0)=0,则(1+x 0)e x 0=1+x 0x 0,即e x 0=1x 0.∴g(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0=1−x 0−lne −x 0=1,即g(x)min =1, ∴a ≥1,∴实数a的最小值为1,故选:A.∃x∈(0,+∞),使得f(x)≥g(x)成立,分离参数a,可转化为∃x∈(0,+∞),使得a≥xe x−x−lnx成立.构造函数g(x)=xe x−x−lnx(x>0),利用导数法可求得g(x)min,从而可得答案.本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值,考查等价转化思想与函数与方程思想,考查推理能力与综合运算能力,是难题.13.【答案】[13,1]【解析】解:∵f(x)为偶函数,y=x为奇函数,∴g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数,∴g(0)=0,解得a=1,对0<x1<x2,可知0<g(x1)<g(x2),故0<x1g(x1)<x2g(x2),∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(2x−1)≤f(x)等价于|2x−1|≤|x|,即(2x−1)2≤x2,解得13≤x≤1,即f(2x−1)≤f(x)的解集为[13,1].故答案为:[13,1].根据题意,利用复合函数的奇偶性,得出g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数,g(0)=0,解得a=1,利用函数的单调性解不等式,即可求出f(2x−1)≤f(x)的解集.本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式,考查计算求解能力.14.【答案】(−1,2]【解析】解:x,y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,表示的可行域如图:目标函数化为y=2x+z,z=2时,可知:最优解在直线2x−y+2=0上,而(0,2)在可行域内,且满足2x−y+2=0.故可知:实数k的取值范围是(−1,2].故答案为:(−1,2].画出约束条件的可行域,利用目标函数的最大值,结合直线系结果的定点,转化求解实数k的取值范围.本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.【答案】13【解析】解:如图,由图可知,当M为(1,0)时,|OM|最小为1,|AM|最大为3.则|OM||AM|的最小值为13.故答案为:13.由题意画出图形,通过图形得到|OM|的最小值与|AM|的最大值,则答案可求.本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.16.【答案】3√7777【解析】解:如图;DE⊥面ACE,∠EAB=45°,∠EBD=30°;由题可得:AE=DE=60;AB=BC=80;∴EB=DEtan30∘=60√3;∴cos∠EAB=AE2+AB2−BE22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC =20√77;∴tanθ=6020√77=3√7777;故答案为:3√7777. 画出示意图,知道边长和角度,然后利用cos∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ,即可求出结论.本题考查三角形的实际应用,根据条件画出示意图是解决本题的关键,理解本题是立体图形.17.【答案】解:(1)由a 1=13,a 2=415,可得√a 14a 1−1=1,√a 24a 2−1=2,∵数列{√an4a n−1}是等差数列,且首项为1,公差d =1,∴√an 4a n−1=n ,∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1), ∴S n =n 4+18[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=n 4+18−116n+8.【解析】(1)先由题设条件求√an4a n−1,再求出a n ;(2)由(1)中求得的a n ,再利用裂项相消法求出S n . 本题主要考查等差数列及裂项相消法求和,属于基础题.18.【答案】解:(1)证明:作AM ⊥PB 于M ,则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD . 取AD 中点为Q ,则BC −//̲QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°.又∠PBA 为锐角,∴M 、B 不重合.{DB ⊥AB DB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD .(2)取AQ 中点H ,如图建立空间直角坐标系(其中x 轴与HB 平行), 则B(√32,12,0),C(√32,32,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由(1)的证明知:平面PAB 的法向量为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0).设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z),则{m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{2y −2z =0−√32x +12y =0. 令x =1⇒m =(1,√3,√3),cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√32+3√32√3⋅√7=√77.平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值:√77.【解析】(1)作AM ⊥PB 于M ,推出AM ⊥BD.取AD 中点为Q ,通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD .(2)取AQ 中点H ,建立空间直角坐标系,求出平面PAB 法向量,平面PCD 法向量,利用空间向量的数量积求解即可.本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及逻辑推理能力,计算能力.19.【答案】解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由∠AOB =90°,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 可得x 1x 2+y 1y 2=0,即有y 122p⋅y 222p +y 1y 2=0,即y 1y 2=−4p 2, 设直线l 的方程为x =my +4,联立抛物线的方程y 2=2px ,可得y 2−2pmy −8p =0, 则y 1y 2=−8p =−4p 2,可得p =2;(2)抛物线上假设存在定点Q ,使直线MQ ,NQ 斜率之和为定值.设Q(x 0,y 0),MN 的方程为x =ty −1,代入抛物线的方程y 2=4x ,可得y 2−4ty +4=0,则y M +y N =4t ,y M y N =4,则k MQ +k NQ =y M −y 0x M−x 0+y N −y0x N−x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N=4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y 02)4y 0(t+y 02+44y 0).当且仅当y 02=4+y 024y 0时,上式为定值.解得y 0=±2.故Q(1,2)或(1,−2).【解析】(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程,解方程可得p ;(2)抛物线上假设存在定点Q ,使直线MQ ,NQ 斜率之和为定值.设Q(x 0,y 0),MN 的方程为x =ty −1,联立抛物线的方程,运用韦达定理和斜率公式,计算可得结论. 本题考查直线和抛物线的位置关系,注意直线方程与抛物线的方程联立,运用韦达定理,考查运算能力,属于中档题.20.【答案】解:(Ⅰ)当x <a 时,y =(70−40)x +(56−a −40)(a −x)=(14+a)x +16a −a 2,当x ≥a 时,y =30a ,∴y ={(14+a)x +16a −a 2,x <a30a,x ≥a (x ∈N ∗),由a =16,得y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗); (Ⅱ)若出栏112只,则a =16,y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗).记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润, Y 1可求420,450,480.P(Y 1=420)=0.15,P(Y 1=450)=0.2,P(Y 1=480)=0.65, Y 1的分布列为:E(Y 1)=420×0.15+450×0.2+480×0.65=465; 若出栏119只,则a =17,y ={31x −17,x <17510,x ≥17(x ∈N ∗). 记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润, Y 2可求417,448,479,510.P(Y 2=417)=0.15,P(Y 2=448)=0.2,P(Y 2=479)=0.25,P(Y 2=510)=0.4, Y 2的分布列为:E(Y 2)=417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4=475.9. ∵E(Y 1)<E(Y 2),∴养鸡场出栏119只时,或利润最大.【解析】(Ⅰ)根据每只鸡的成本为40元,饭店给鸡场每只结算70元,如果每个饭店当天的需求量x <a ,剩下的鸡只能以每只56−a 元的价格处理,建立分段函数模型,再将a =16代入求解;(Ⅱ)根据离散型分布列的特点,分类讨论,分别求出出栏112与119只时的期望,比较大小得结论.本题主要考查样本估计总体,考查分段函数的应用与运算求解能力,考查离散型随机变量的分布列与期望,是中档题.21.【答案】解:(1)设M(x 0,y 0),则当x 0≥0时,{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②, 由②得x 0+a =2e 2x 0,代入①得x 024e 2=ln2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0,对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx,求导得φ′(x)=x2e 2+1x >0, ∴φ(x)为增函数,且φ(2e)=0,故x 0=2e ;当x 0<0时,{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a,则2x 0=ln 12,即x 0=−ln22; 综上,M 的坐标为(2e,1)或(−ln22,−ln2);(2)由(1)知,x 0=2e 时,a =−e,ℎ(x)=x 24e 2−ln(x −e),则ℎ′(x)=x2e 2−1x−e ,ℎ″(x)=12e2+1(x−e)2>0,故ℎ′(x)在定义域上单调递增,则易知ℎ′(x)有唯一零点为x =2e ,则ℎ(x)≥ℎ(2e)=0, 故ℎ(x)有唯一零点; 当a <−e 时,ℎ(x)=x 24e2−ln(x +a)>x 24e 2−ln(x −e)≥0,ℎ(x)无零点;当−e <a ≤1时,ℎ′(x)=x 2e 2−1x+a 在[0,+∞)上至多一个零点,ℎ(x)在(0,+∞)上至少两个零点,而ℎ(0)=−lna ≥0,ℎ(2e)=1−ln(2e +a)<0,x →+∞时,ℎ(x)→+∞, 故ℎ(x)在(0,2e),(2e,+∞)上各一个零点;当a >1时,ℎ′(x)=x2e 2−1x+a 满足ℎ′(0)<0,ℎ′(2e)>0,故在(0,2e)上,ℎ′(x)仅一个零点,设为m ,在(0,m)上,ℎ(x)为减函数,在(m,+∞)上,ℎ(x)为增函数,而ℎ(0)=−1a <0,ℎ(m)<ℎ(0)<0,x →+∞时,ℎ(x)→+∞, 故仅在(m,+∞)上有一个零点.综上可得,当a <−e 时,ℎ(x)无零点;当a =−e 或a >1时,ℎ(x)有1个零点;当−e <a ≤1时,ℎ(x)有2个零点.【解析】(1)设M(x 0,y 0),分x 0≥0和x 0<0两种情况讨论,每种情况下利用两个函数在x =x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解;(2)结合(1)中得到的结论,分a=−e、a<−e、−e<a≤1、a>1四种情况讨论.本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数,考查分类讨论思想,属于压轴题目.22.【答案】解:(Ⅰ)直线l的普通方程为:√3x−y+1−2√3=0;椭圆C的直角坐标方程为:x216+y212=1.(Ⅱ)将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得:(3+sin2φ)t2+(12cosφ+ 8sinφ)t−32=0,由题意得:t1+t2=0,故12cosφ+8sinφ=0⇒k=tanφ=−32,所以直线l的斜率为−32.【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,三角函数关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力,属于基础题型.23.【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣,当且仅当(x−a)(x−2)≤0时取等号,故f(x)的最小值为∣a−2∣,∴∣a−2∣≥3⇔a≥5或a≤−1.(Ⅱ)由不等式解集的意义可知:x=2时,f(2)=2,即∣a−2∣=2,解得a=0或4.a=0时,如图所示:不合题意,舍去;a=4时,如图所示:由y=x与y=2x−6,解得:x=6.即m=6,综上,a=4,m=6.【解析】(Ⅰ).根据绝对值三角不等式,由f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣,求得f(x)最小值,再由∣a−2∣≥3求解;(Ⅱ)不等式的解集与相应方程根的关系,当x=2时,f(2)=2,即∣a−2∣=2,解得a=0或4.再分类求解.本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学(理)(一)试题含详解
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 理数(一)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,5,100A B x x mx ==+-=,若{}5A B ⋂=,则A B ⋃=( ) A.{}1,3,5- B.{}1,2,5-- C.{}1,2,5- D.{}1,3,5--2.若m 为实数,且复数()()325z m i i =-+为纯虚数,则m =( ) A.65- B.65 C.152- D.152 3. 已知某地区在职特级教师、高级教师.中级教师分别有100人,900人,2000人,为了调查该地区不同职称的教师的工资情况,研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查,则被抽取的高级教师有( )A.2人B.18人C.40人D.36人4.已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--,点,M N 在圆C 上,则CMN ∆面积的最大值为( )A.100B.25C.50D.2525.执行如图所示的程序框图,若输入x 的值为256,则输出x 的值为( )A.8B.3C.2log 3D.()22log log 36. 《九章算术(卷第五)商功》中有如下问题:“今有冥谷上广二丈,袤七丈,下广八尺,袤四丈,深六丈五尺,问积几何”.译文为:“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈;下底宽8尺,长4丈,深6丈5尺,问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注:1丈10=尺)A.45000立方尺B.52000立方尺C.63000立方尺D.72000立方尺7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若9454,5S a ==,则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为( ) A.20182019 B.10091010C.40362019D.20191010 8.()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为( ) A.296 B.296- C.1864- D.1376-9.如图,网格小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.120+B.120+C.120+D.120+10.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点为M ,以M 为圆心作圆,圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点,若60,23AMB OB AB ∠=︒=u u u r u u u r ,则双曲线C 的离心率为( )A.2B.2C.32D.211.定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ,且'()2()2f x f x -<,若()01f =-,则不等式()22x e f x -<的解集为( ) A.(),0-∞ B.()0,+∞ C.(),1-∞- D.()1,-+∞12.已知数列{}n a n -前n 项和为n S ,且()21201811,1n i i i i a a n S +=⎡⎤+-==⎣⎦∑,则1a =( ) A.32 B.12 C.52D.2 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题-第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.。
2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学(理)(一) 含答案
已知函数 f(x)=x2+mln x 。
(I)若 m=-12,证明:函数 f(x)在区间(2,3)上有且仅有 1 个零点;
(II)若关于 x 的不等式 2f(x)≥m2 在[1,2]上恒成立,求实数 m 的取值范围。
请考生从第 22、23 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右
-1-
(A)8
(B)3
(C)log23
(D)log2(log23)
(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题:“今有冥谷上广二丈,袤七丈,下广八尺,袤
四丈,深六丈五尺,问积几何”。译文为:“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽 2 丈,
长 7 丈;下底宽 8 尺,长 4 丈,深 6 丈 5 尺,问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注:
调研,所得结果如下所示:
(I)是否有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关; (II)小明回答单选题的正确率为 0.8,多选题的正确率为 0.75。
-4-
(i)若小明选择方案一,记小明的得分为 X,求 X 的分布列以及期望;
(ii)如果你是小明,你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品,请通过计算说明理由。
-5-
(I)求不等式 f(x)>8 的解集; (II)若关于 x 的不等式 f(x)+m>|x+3|-x2 的解集为 R,求实数 m 的取值范围。
-6-
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方案一:消费者先回答一道多选题,从第二道开始都回答单选题;
方案二:消费者全部选择单选题进行回答;
其中单选题答对得 2 分,多选题答对得 3 分,无论单选题还是多选题答错得 0 分;每名参赛
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷(全国Ⅰ卷)理科数学试卷(二)及答案
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷(全国Ⅰ卷)理科数学试卷(二)★祝考试顺利★注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。
5.考试范围:高考全部内容。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A={x|x<6且x∈N*},则A的非空真子集的个数为(A)30 (B)31 (C)62 (D)63(2)已知复数z满足:z·(1+i)=1+3i,则|z|=(A)2 (B)4 (C)5 (D)5(3)ABCO,O为原点,A(1,-2),C(2,3),则B点坐标为(A)(3,1) (B)(-1,-5) (C)(1,5) (D)(-3,-1)(4)袋中有4个球,3个红色,1个黑色,从中任意摸取2个,则恰为2个红球的概率为(A)13(B)23(C)14(D)12(5)已知sin(32π+α)=13,则co sα=(A)13(B)-13(C)23(D)-223(6)双曲线C1:22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=1相切,则双曲线C1的渐近线方程为(A)y=±12x (B)y=±13x (C)y=±22x (D)y=±33x(7)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足:S37-S23=a,则S60=(A)4a (B)307a (C)5a (D)407a(8)李冶,真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人。
金元时期的数学家。
与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。
在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法),用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。
2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(三)数学(理)试题(解析版)
即 42 22 (2 x)2 2 2 2 x cos ADC — — ①
AB2 AD2 x2 2AD x cos ADB ;
即 (2 3)2 22 x2 2 2x cos ADB , — — ②
又 cos ADC cos 1800 ADB cos ADB — — ③
心率即可.
【详解】
解:设 F c, 0 ,所以 c
a2
b2
,直线 OB
的方程为
y
b a
x,
直线
BF
的方程为
y
b a
(x
c)
,解得
B
c 2
,
bc 2a
,
BO
c 2
,
bc 2a
,又直线
OA 的方程为
y
b a
x
,
则
A
c,
bc a
,
BA
c 2
,
3bc 2a
,又因为
BO
BA
0
,
所以 c2 4
【详解】
该程序的功能是利用循环结构计算并输出 1 1 1 1 1 的值,模拟程
246
4038 4040
序的运行过程,
可得 i 2 , T 1 1 , 24
i 6,T 1 1 1 1 , 2468
i 10 ,T 1 1 1 1 1 1 , 2 4 6 8 10 12
2.已知 i 是虚数单位, z(2 i) 5(1 i) ,则复数 z 的共轭复数为( )
A.1 3i
B.1 3i
C. 1 3i
D. 1 3i
【答案】B
【解析】化简 z(2 i) 5(1 i) ,求得 z ,根据复数的共轭复数定义,即可求得答案.
百校联考2020届高三高考考前冲刺必刷卷(二)数学(理)试卷及解析
百校联考2020届高三高考考前冲刺必刷卷(二)数学(理)试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230|A x x x =-<,{}|22x B x =<,则A B =( )A. {|1}<x xB. {|13}x x <<C. {|3}x x <D. {|01}x x ≤<【答案】C【解析】 根据一元二次不等式的解法求出集合A ,根据指数函数单调性求出集合B ,取并集即可得出答案.【详解】∵集合{}{}2|30{|03},|22{|1}x A x x x x x B x x x =-<=<<=<=<{|3}A B x x ∴⋃=<.故选:C.2.已知向量(1,0)a =,(1,3)b =,则与2a b -共线的单位向量为( )A. 1,2⎛ ⎝⎭B. 12⎛- ⎝⎭C. 21⎫-⎪⎪⎝⎭或21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭ 【答案】D【解析】根据题意得,()2=1-3a b -,设与2a b -共线的单位向量为(),x y ,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出,x y 即可得出答案.【详解】因为(1,0)a =,(1,3)b =,则()22,0a =,所以()2=1-3a b -,, 设与2a b -共线的单位向量为(),x y ,则2201y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, 解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2ab -共线的单位向量为1,2⎛⎝⎭或12⎛- ⎝⎭. 故选:D.3.已知O 为坐标原点,角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin α=,则sin 2α=( ) A. 45 B. 35 C. 35 D. 45- 【答案】C【解析】根据三角函数的定义,即可求出1m =-,得出(3,1)P -,得出sin α和cos α,再利用二倍角的正弦公式,即可求出结果.【详解】根据题意,sin α==,解得1m =-, 所以(3,1)OP =-,所以sin 1010αα=-=, 所以3sin 22sin cos 5ααα==-. 故选:C.4.已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ,则函数1mx y x n +=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( )A. 1,2m n ==-B. 1,2m n =-=。