《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 4-公开课-优质课(人教A版必修五精品)

《3.2 一元二次不等式及其解法》教学案 4
教学目标
1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程；
2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系；
3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.
教学重点
1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
教学难点
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.
教学过程
导入新课
问题因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.
什么叫做一元二次不等式？
含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0(a≠0).例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.
那么如何求解呢？
问题在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？
思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，
y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？
它的对应值表与图象如下：
当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；
当x＜3.5时，y＜0，即2x-7＜0；
当x＞3.5时，y＞0，即2x-7＞0.
问题一般地，设直线y=a x+b与x轴的交点是(x0，0)，则有如下结果：
(1)一元一次方程a x+b=0的解是x0；
(2)①当a＞0时，一元一次不等式a x+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式a x+b＜0的解集是{x|x＜x0}.
②当a＜0时，一元一次不等式a x+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式a x+b＜0的解集是{x|x＞x0}.
问题在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？
生函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.
利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图象上)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？
在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y =0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？
二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：
由对应值表与图象(如上图)可知：
当x=0或x=5时，y=0，即x 2
-5x=0； 当0＜x ＜5时，y ＜0，即x 2
-5x ＜0； 当x ＜0或x ＞5时，y ＞0，即x 2
-5x ＞0.
这就是说，若抛物线y=x 2
-5x 与x 轴的交点是(0，0)与(5，0)， 则一元二次方程x 2
-5x=0的解就是x 1=0，x 2=5.
一元二次不等式x 2-5x ＜0的解集是{x|0＜x ＜5}；一元二次不等式x 2
-5x ＞0的解集是{x|x ＜0或
x ＞5}.
由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x 2
+b x+c ＞0或a x 2
+b x+c ＜0(a ＞0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二
次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？
我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2
-4ac ，它的解按照Δ＞0，
Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情
况(如下图)，因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2
+b x+c ＜0(a ＞0)的解集我们
也分这三种情况进行讨论.
(1)若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图(1)〕，即方程a x 2
+b x+c =0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2(x 1＜x 2)，则不等式a x 2
+b x+c ＞0(a ＞0)的解集是{x|x ＜x 1，或x ＞x 2}；不等式a x 2
+b x+c ＜0(a ＞0)的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}.
(2)若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图(2)〕，即方程a x 2
+b x+c =0(a
＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=
a b 2-，则不等式a x 2
+b x+c ＞0(a ＞0)的解集是{x|x≠a
b 2-}；不
等式a x 2
+b x+c ＜0(a ＞0)的解集是.
(3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2
+b x+c =0(a ＞0)
无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0(a ＞0)的解集是R ；不等式a x 2
+b x+c ＜0(a ＞0)的解集是.
［知识拓展］
【例1】 解不等式2x 2
-5x-3＞0.
解：因为Δ＞0，2x 2-5x-3=0的解是x 1=-2
1，x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜
2
1-，或x ＞3}.
【例2】 解不等式-3x 2
+15x ＞12.
解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是x 1=1，x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜4}.
【例3】 解不等式4x 2
+4x+1＞0.
解：因为Δ=0，方程4x 2
+4x+1=0的解是x 1=x 2=
21-.所以不等式的解集是{x|x≠2
1-}.
【例4】 解不等式-x 2
+2x-3＞0.
解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2
-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是∅.
师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 归纳如下：
(1)将二次项系数化为“+”：y=a x 2+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞0).
(2)计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：
①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，
⎩⎨
⎧≠.
,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若
②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，
⎪⎩
⎪
⎨⎧==∅∈≠.
,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数
则＞若
③Δ＜0时，方程无解，
⎩⎨
⎧∅∈≤∈.
,0;
,0x y R x y 则若则＞若
(3)写出解集. ［方法引导］
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神. 课堂小结
1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不
等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2
+b x+c ＜0(a ≠0).
2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.。