东北大学1999年数学分析考研试题
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
) (1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰ (3) 2"4xy y e -= 的通解为y =(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 ( )(A)12 (B)12- (C)34 (D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵， B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠ (B)当m n >时，必有行列式AB 0= (C)当n m >时，必有行列式AB 0≠ (D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A) {}10.2P X Y +≤=(B) {}1P X+Y 1.2≤= (C) {}1P X-Y 0.2≤= (D) {}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx。
1999年考研数学一试题答案与解析
dx
dx
dx
0
x
0
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注 必须将被积函数中的x设法变换到上限活着能方便的提到积分号外 边，才能对x求导。
∫ 解法二： 计算形如 F (x) = a(x) f (x,t)dt 的函数导数时，首先应借助变量代换等 0
lim
x→0
⎛⎜⎜⎜⎝
1 x2
−
x
1 tan
x ⎞⎠⎟⎟⎟
=
lim
x→0
tan x − x x2 tan x
=
lim
x→0
tan x − x3
x
=
lim
x→0
sec2 x −1 3x2
= lim tan2 x = 1
x→0 3x2
3
解法二：
lim
x→0
⎛⎜⎜⎜⎝
1 x2
−
x
1 tan
x ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0
0
即 F (x)为偶函数。
故(A) 为正确选项。 至于(B) ，(C)，(D)可以分别举反例如下：
f (x) = x2 是偶函数，但其原函数 f (x) = 1 x3 +1 不是齐函数，可排除(B) ；
3
f (x) = cos2 x 是周期函数，但其原函数 f (x) = 1 x + 1 sin 2x 不是周期函数，
λ 1
=
2
，λ 2
=
−2
故 y* − 4 y = 0 的通解为 y1 = C1 −2x + C2 2x ，由于非齐次项为 f (x) = 2x
1999年考研数学试题详解及评分参考
X - Y +1 ~ N (0,1). 2
于是有
P(
X
+Y 2
-1
£
0)
=
1 2
,
P(
X
-Y 2
+1
£
0)
=
1 2
.
即
P( X
+Y
£
1)
=
1 2
，
P(
X
-
Y
£
-1)
=
1 2
，故选
(B).
三、(本题满分 5 分)
设 y = y(x) , z = z(x) 是方程 z = xf (x + y) 和 F (x, y, z) = 0 所确定的函数，其中 f 和
(A)
P( X
+Y
£
0)
=
1 2
(B)
P( X
+Y
£ 1)
=
1 2
(C)
P( X
-Y
£
0)
=
1 2
(D)
P( X
-Y
£ 1)
=
1 2
【答】 应选 (B).
【解】 由于服从正态分布的相互独立的随机变量的线性组合仍服从正态分布，因此
X + Y ~ N (1,
2 2 ), X - Y ~ N (-1,
2 2 ). 即 X + Y -1 ~ N (0,1), 2
=
2 ln
x
+1+
1 x2
,
j¢¢(1)
=
2
>
0
.
j ¢¢¢( x)
=
2(x3 -1) x3
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
由格林公式，前一部分 I1
D
(b a)dxdy
2
a2 (b a) ,
„„1 分 „„3 分
1999 年 • 第 2 页
其中 D 为 L L1 所围成的半区域. 直接计算后一积分可得
I2
2a (bx)dx 2a2b .
0
„„4 分
从而
I
I1
I2
2
a2 (b
a)
2a2b
( 2
2)a2b
解：曲线 y y(x) 上在点 P(x, y) 处的切线方程为Y y y(x)( X x) .
它与 x 轴的交点为 (x y , 0) .由于 y(x) 0, y(0) 1 ，从而 y(x) 0 ， y
于是 S1
1 2
y
x (x
y) y
y2 2 y
.
又 S2
dz dx
f
xf Fx
.
由此解得 dz ( f xf )Fy xf F x
dx
Fy xf F z
( Fy x f Fz 0 ) .
„„5 分
（注：不写出条件 Fy x f Fz 0 不扣分）.
四、(本题满分 5 分)
求 I (ex sin y b(x y)) dx (ex cos y ax) dy ，其中 a, b 为正的常数， L 为从点 L
A(2a, 0) 沿曲线 y= 2ax x2 到点 O(0, 0) 的弧.
解一：添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A(2a, 0) 的有向直线段 L1 ，
I (ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L L1
(ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L1
1999考研数学一真题及答案解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。
1999年数学一真题及答案详解
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P AB C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()n n n a a n ∞+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T=--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证TB AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 【答】31 【详解1】 302020tan lim tan tan lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020cos sin lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313sin lim 3sin cos cos lim 020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x xdu u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 202sin sin x du u dxd x ==⎰ 故本题应填2sin x (3)【答】 x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为：042=-λ，解得2-,22,1==λλ.故04"=-y y 的通解为x xe C eC y 22211+=-，由于非齐次项为2,)(2==a e x f x 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为xAxe y 2=*，代入原方程求得41=A , 故所求解为x x x xee C e C y y y 22221141++=+=-* 故本题应填x xe x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.(4)【答】10,,0,-n n【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλ n n n A E λλλ 0000111)(---=n故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填10,,0,-n n(5) 【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，21)()()(,<===C P B P A P ABC φ,因此有 ),()()()(2A P BC P AC P AB P === 0)()(==φP ABC P , 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 )(x f 的原函数)(x F 可以表示为C dt t f x F x+=⎰)()(，于是.)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰-当)(x f 为奇函数时，),()(u f u f -=-从而有)()()()(0x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 )(x F 为偶函数.故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：2)(x x f =是偶函数，但其原函数131)(3+=x x F 不是奇函数，可排除（B ）； x x f 2cos )(=是周期函数，但其原函数x x x F 2sin 4121)(+=不是周期函数，可排除（C ）；x x f =)(在区间()∞∞-,内是单调增函数，但其原函数221)(x x F =在区间()∞∞-,内非单调增函数，可排除（D ）。
99考研数一真题及解析
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim2h f h f h→--=_______.(2) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =_______.(3) 设平面曲线L 为下半圆周y =则曲线积分22()Lx y ds +=⎰_______.(4) 向量场22(,,)ln(1)zu x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.(5) 设矩阵300140003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100010001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则逆矩阵1(2)A E --=_______.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ) (A) (1,-1,2)(B)(-1,1,2) (C) (1,1,2)(D)(-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A)11223C y C y y ++(B)1122123()C y C y C C y +-+(C)1122123(1)C y C y C C y +---(D)1122123(1)C y C y C C y ++-- (4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,n b f x n xdx n π==⎰…,则1()2S -等于 ( )(A)12-(B)14-(C)14(D)12(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式||0A =,则A 中 ( )(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)设(2)(,)z f x y g x xy =-+,其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续的二阶偏导数,求2z x y∂∂∂. (2) 设曲线积分2()Cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3) 计算三重积分()x z dV Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分.)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分.)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分.)证明方程0ln x x e π=-⎰在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.七、(本题满分6分.)问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+ =⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩ 有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明：(1)1λ为1A -的特征值； (2)Aλ为A 的伴随矩阵A *的特征值.九、(本题满分9分.)设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1)已知随机事件A 的概率()P A =0.5,随机事件B 的概率()P B =0.6及条件概率()P B A |=0.8,则和事件A B 的概率()P A B =_______.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______. (3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是______.十一、(本题满分6分.)设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、规范差(均方差),而Y 服从规范正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷解读一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解读】原式=01(3)(3)1lim (3)122h f h f f h -→--'-=-=--. (2)【答案】1x -【解读】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得 12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (3)【答案】π【解读】方法一：L 的方程又可写成221(0)x y y +=≤,被积分函数在L 上取值,于是原积分=1Lds π=⎰(半径为1的的半圆周长).方法二：写出L 的参数方程,cos sin x ty t=⎧⎨=⎩,(0)t π-≤≤ 则002222()(cos sin 1Lx y ds t t dt πππ--+=+=⋅=⎰⎰⎰.(4)【答案】2【解读】直接用散度公式22[()()(ln(1))]z PP divuxy ye x z x y z∂∂∂=+++∂∂∂ 220(1,1,0)22220()10112110z zy e x e z=++⋅=++⋅=+=++.(5)【答案】10011022001⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭【解读】由于3002001002140020120003002001A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对(2)A E E -作初等行变换,则由1(2)((2))A E E E A E --→-可以直接得出1(2)A E --.本题中,第一行乘以()1-加到第二行上。
1999考研数一真题及解析
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
) (1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰ (3) 2"4x y y e -= 的通解为y =(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 ( )(A)12 (B)12- (C)34 (D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵， B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠ (B)当m n >时，必有行列式AB 0= (C)当n m >时，必有行列式AB 0≠ (D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A) {}10.2P X Y +≤=(B) {}1P X+Y 1.2≤= (C) {}1P X-Y 0.2≤= (D) {}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx。
1999年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
(
)
(
)
2 x + y′ = 3 x 2 y + x3 y′ + cos x ， 2 x +y
(B) 2.
为 f ( x ) ，则方程 f ( x ) = 0 的根的个数为(
)
(A) 1. 三、(本题满分5分) 求
(C) 3.
(D) 4.
lim
x →0
1 + tan x − 1 + sin x . x ln (1 + x ) − x 2
+∞
四、(本题满分6分) 计算
∫
1
五、(本题满分7分) 求初值问题
( x − 1)
x3
2
，求
(1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线. 八、(本题满分 8 分)
0 ， f (1) = 1 ， 设 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [ −1,1] 上 具 有 三 阶 连 续 导 数 ， 且 f ( −1) =
f ′ ( 0 ) = 0 ，证明：在开区间 ( −1,1) 内至少存在一点 ξ ，使 f ′′′ (ξ ) = 3 .
总存在正整数 N ， 当 n ≥ N 时， 恒有 xn − a ≤ 2ε ”是数列 { xn } (4) “对任意给定的 ε ∈ ( 0,1) ，
收敛于 a 的 ( ) (A)充分条件但非必要条件. (C)充分必要条件.
1999年数学一真题及答案详解
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e x y y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P AB C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()n n n a a n∞+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,TB 为B 的转置矩阵,试证TB AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y1y2y3y()i i P X x p ∙==1x182x18 ()i j P Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 【答】31 【详解1】 302020t a n l i m t a n t a n l i m t a n 11l i m x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020c o s s i n lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313sin lim 3sin cos cos lim 020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x x du u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 202sin sin x du u dxd x ==⎰ 故本题应填2sin x (3)【答】 x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为：042=-λ，解得2-,22,1==λλ. 故04"=-y y 的通解为x xe C eC y 22211+=-，由于非齐次项为2,)(2==a e x f x 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为xAxe y 2=*，代入原方程求得41=A , 故所求解为x x x xee C e C y y y 22221141++=+=-* 故本题应填x xe x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.(4)【答】10,,0,-n n【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλn n n A E λλλ00111)(---=n 故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填10,,0,-n n(5) 【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，21)()()(,<===C P B P A P ABC φ,因此有 ),()()()(2A P BC P AC P AB P === 0)()(==φP ABC P , 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 )(x f 的原函数)(x F 可以表示为C dt t f x F x+=⎰)()(，于是.)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰-当)(x f 为奇函数时，),()(u f u f -=-从而有)()()()(0x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 )(x F 为偶函数.故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：2)(x x f =是偶函数，但其原函数131)(3+=x x F 不是奇函数，可排除（B ）； x x f 2cos )(=是周期函数，但其原函数x x x F 2sin 4121)(+=不是周期函数，可排除（C ）；x x f =)(在区间()∞∞-,内是单调增函数，但其原函数221)(x x F =在区间()∞∞-,内非单调增函数，可排除（D ）。
99考研数二真题及解析
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.(2)sin t tdt π=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 曲线0(1)(2)xy t t dt =--⎰在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.(4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++⋅⋅+,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿.(5) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =＿＿＿＿＿＿.(6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿.(7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿.二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)已知arcsin y e =,求y '.(2) 求2ln dx x x ⎰.(3) 求10lim(2sin cos )xx x x →+.(4) 已知2ln(1),arctan ,x t y t ⎧=+⎨=⎩求dy dx 及22d ydx .(5) 已知1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰,求120(2)x f x dx ''⎰.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 若2350a b -<,则方程532340x ax bx c +++= ( )(A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos ()22y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ( )(A) 2π (B) π (C) 22π (D) 2π(4) 设两函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值,则函数()()()F x f x g x =在x a =处( )(A) 必取极大值 (B) 必取极小值(C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定(5) 微分方程1xy y e ''-=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数) ( )(A) xae b + (B) xaxe b + (C) xae bx + (D) xaxe bx + (6) 设()f x 在x a =的某个领域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是( )(A) 1lim [()()]h h f a f a h→+∞+-存在 (B) 0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在(C) 0()()lim 2h f a h f a h h→+--存在(D) 0()()lim h f a f a h h→--存在四、(本题满分6分)求微分方程2(1)xxy x y e '+-=(0)x <<+∞满足(1)0y =的解.五、(本题满分7分)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分)证明方程0ln x x e π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、(本大题满分11分)对函数21x y x +=,填写下表：八、(本题满分10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为13,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】12【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成0型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一： 000cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x xx x xx x x→→→==⋅0011lim lim sin 22cos 22x x x x x →→==洛. 方法二： 00cos 2lim cot 2lim sin 2x x xx x x x→→=0012121lim cos 2lim .2sin 22sin 22x x x x x x x →→=⋅== 【相关知识点】0sin lim x x x →是两个重要极限中的一个,0sin lim 1x xx→=.(2)【答案】π【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,sin t tdt π=⎰[]00(cos )cos (cos )td t t t t dt πππ-=---⎰⎰分部法[]00sin (00)t ππππ=++=+-=.(3)【答案】2y x =【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()f x '. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)y x x '=--. 由y '在其定义域内的连续性,可知0(01)(02)2x y ='=--=.所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =. (4)【答案】!n【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即0()(0)(1)(2)()0(0)limlim x x f x f x x x x n f x x→→-++⋅⋅+-'==lim(1)(2)()12!x x x x n n n →=++⋅⋅+=⋅⋅⋅=.方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知, ()(1)(2)()1(2)()f x x x x n x x x n '=++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++(1)(2)(1)1x x x x n ++⋅⋅+-⋅,所以 (0)(01)(02)(0)00f n '=++⋅⋅++++12!n n =⋅⋅⋅=.(5)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令1()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (6)【答案】a b =【解析】如果函数在0x 处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知(0)(0)0f f a b a -==+⋅=. 而 000sin sin sin (0)lim lim lim x x x bx bx bxf b b b x bx bx++++→→→==⋅=⋅=, 如果()f x 在0x =处连续,必有(0)(0)f f -+=,即a b =. (7)【答案】2()dxx y + 【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得2sec y dy dx dy ⋅=+, 所以 222sec 1tan ()dx dx dxdy y y x y ===++,(0x y +≠).二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)【解析】令u e=,v =则arcsin arcsin y e u ==,由复合函数求导法则,(arcsin )v v y u u e v e ''''===⋅=即y e '=【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数(())()y f x f x ϕ'''=.(2)【解析】利用不定积分的换元积分法,22ln 1ln ln ln dx d x C x x x x ==-+⎰⎰.(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,11lim(2sin cos )lim[1(2sin cos 1)]xxx x x x x x →→+=++-12sin cos 12sin cos 10lim[1(2sin cos 1)]x x x x xx x x +-⋅+-→=++-,令 2sin cos 1x x t +-=,则当0x →时,0t →, 则 112sin cos 1lim[1(2sin cos 1)]lim[1]x x tx t x x t +-→→++-=+,这是个比较熟悉的极限,即10lim(1)tt t e →+=.所以 012sin cos 1limlim(2sin cos )x x x xxx x x e→+-→+=,而 002sin cos 12cos sin limlim 21x x x x x xx →→+--=洛,所以 012sin cos 1lim20lim(2sin cos )x x x xxx x x ee →+-→+==.(4)【解析】这是个函数的参数方程,22111221dy dy dt t dx t dx t dt t +===+,2222321111211()()()2222(2)41d y d d dt d t dx t dx dx t dt t dx dt t t tdt t -+==⋅=⋅=⋅=-+. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则()()dy t dx t ϕφ'='. (5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分,111122220000111(2)(2)(2)(2)222x f x dx x df x x f x f x dx '''''⎡⎤==⋅-⎣⎦⎰⎰⎰分部法 []1011(2)0(2)2f xf x dx ''=⋅--⎰1011(2)(2)22f xdf x '=-⎰ ()1100111(2)(2)(2)222f xf x f x dx ⎡⎤'=--⎢⎥⎣⎦⎰ 1111(2)(2)(2)222f f f x dx '=-+⎰, 令2t x =,则11,22x t dx dt ==,所以121(2)()2f x dx f t dt =⎰⎰.把1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰代入上式,得11200111(2)(2)(2)(2)222x f x dx f f f x dx '''=-+⎰⎰201111(2)(2)()2222f f f t dt '=-+⋅⎰1111101022222=⋅-⋅+⋅⋅=.三、选择题(每小题3分,满分18分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1siny x x =只有间断点0x =. 001lim lim sinx x y x x++→→=,其中1sin x 是有界函数.当0x +→时,x 为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以1lim lim sin 0x x y x x++→→==, 故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x t x+→+∞→+∞→=== , 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B)【解析】判定方程()0f x =实根的个数,其实就是判定函数()y f x =与x 有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用, 令 53()234f x x ax bx c =+++, 则 42()563f x x ax b '=++.令 2t x =,则422()563563()f x x ax b t at b f t ''=++=++=,其判别式22(6)45312(35)0a b a b ∆=-⋅⋅=-<,所以 2()563f t t at b '=++无实根,即()0f t '>.所以 53()234f x x ax bx c =+++在(,)x ∈-∞+∞是严格的单调递增函数. 又 53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →-∞→-∞=+++=-∞53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →+∞→+∞=+++=+∞所以利用连续函数的介值定理可知,在(,)-∞+∞内至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使得0()0f x =,又因为()y f x =是严格的单调函数,故0x 是唯一的.故()0f x =有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C)【解析】如图cos ()22y x x ππ=-≤≤的图像,则当cos y x =绕x 轴旋转一周,在x 处取微增dx ,则微柱体的体积2cos dV xdx π=,所以体积V 有222cos V xdx πππ-=⎰222222cos 21cos 22242x dx xd x dx πππππππππ---+==+⎰⎰⎰[][]22222sin 20()422222x x ππππππππππ--=-+=++=. 因此选(C).(4)【答案】(D) 【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取2()()()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值0, 而4()()()()F x f x g x x a ==-在x a =处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.若取2()()1()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值1, 而22()()()1()F x f x g x x a ⎡⎤==--⎣⎦在x a =处取得极大值1,所以(B)也不正确,从而选(D).(5)【答案】(B)【解析】微分方程1xy y e ''-=+所对应的齐次微分方程的特征方程为210r -=,它的两个根是121,1r r ==-.而形如xy y e ''-=必有特解1x Y x ae =⋅；1y y ''-=必有特解1Y b =.由叠加得原方程必有特解xY x ae b =⋅+,应选(B). (6)【答案】(D)【解析】利用导数的概念判定()f x 在x a =处可导的充分条件. (A)等价于0()()limt f a t f a t→++-存在,所以只能保证函数在x a =右导数存在；(B)、(C)显然是()f x 在x a =处可导的必要条件,而非充分条件,如 1cos ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处不连续,因而不可导,但是 0001111cos(0)cos(0)cos cos()()lim lim lim 0222h h h f a h f a h h h h h h h h→→→+---+--===, 0001111cos()cos(0)cos cos(2)()2222lim lim lim 0h h h f a h f a h h h h h h h h→→→---+-+===均存在； (D)是充分的：00()()()()lim limx h x h f a x f a f a f a h x h ∆=-∆→→+∆---=∆存在0()()()lim h f a f a h f a h→--'⇒=存在,应选(D).四、(本题满分6分)【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式211(1)x y y e x x'+-=,通解为 11(1)(1)21()dxdx x xxy ee e dx C x ---⎰⎰=+⎰211()()x x x x x x e e e dx C e C x x e x=+=+⎰. 代入初始条件(1)0y =,得C e =-,所求解为 ()x xe y e e x=-. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.五、(本题满分7分)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,()sin ()()sin ()()xx xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-,这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xex αβ,0,1,i i αβαβ==±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++.又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即 1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数. 令()ln x f x x e π=-+⎰,其中π⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故0π>⎰,为简化计算,令00k π=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以,x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>. 又因为 00lim ()lim(ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e x f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln x x e π=-⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.方法二：ππ=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥, 所以]00sin cos 0xdx x πππ==-=>⎰.其它同方法一.七、(本大题满分11分)【解析】函数21x y x +=的定义域为()(),00,-∞+∞,将函数化简为211,y x x =+ 则 32243321126216(1),(2)y y x xx x x x x x '''=--=--=+=+.令0y '=,得2x =-,即2212(1)0,(2,0),12(1)0,(,2)(0,),y x x x y x x x⎧'=-->∈-⎪⎪⎨⎪'=--<∈-∞-+∞⎪⎩故2x =-为极小值点. 令0y ''=,得3x =-,即3316(2)0,(3,0)(0,),16(2)0,(,3)y x x x y x x x⎧''=+>∈-+∞⎪⎪⎨⎪''=+<∈-∞-⎪⎩为凹，，为凸， y ''在3x =-处左右变号,所以23,(3)9x y =--=-为函数的拐点.又 20011lim lim(),x x y x x→→=+=∞故0x =是函数的铅直渐近线；211lim lim()0,x x y x x→∞→∞=+=故0y =是函数的水平渐近线. 填写表格如下： (0,)+∞(0,)+∞八、(本题满分10分)【解析】由题知曲线过点(0,0),得0c =,即2y ax bx =+. 如图所示,从x x dx →+的面积dS ydx =,所以11123200011()32S ydx ax bx dx ax bx ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰32a b =+, 由题知 1323a b +=,即223ab -=.当2y ax bx =+绕x 轴旋转一周,则从x x dx →+的体积2dV y dx π=,所以 旋转体积1254232211222000()()523523a x abx b x a ab b V y dx ax bx dx ππππ⎡⎤==+=++=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰, b 用a 代入消去b ,得224(1)(1)5273a a a a V π⎡⎤--=++⎢⎥⎣⎦,这是个含有a 的函数,两边对a 求导得4(1)275dV a da π=+, 令其等于0得唯一驻点54a =-,dVda在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,这时32b =,故所求函数225342y ax bx c x x =++=-+.。
1999年考研数学一真题
1999 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题（1）lim 1-1=.x→0x2x tan x1【答】3【详解1】lim1-1= limtan x -x= limtan x -xx→0x2x t an xx→0 x2 tan x x→0 x3= limx→0= limx→0sec2 x -13x2tan2 x3x2【详解2】lim1-=131= limsin x -x cos x= limsin x -x cos x x→0x2x t an xx→0 x2 sin x x→0 x3= limcos x - cos x +x sin xx→03x2= limsin x=1x→0 3x 3d x 2（2）dx⎰0sin (x -t )dt =.【答】【详解】sin x2 .d ⎰x sin (x -t )2x -t =u d ⎰0(-sin u2)dudx 0 dx x=d ⎰x sin u2dudx 0= sin x2故本题应填sin x2(3) y'' - 4 y =e2 x 的通解为.【答】 y = C e -2 x + C + 1 x e 2 x , 其中C , C 为任意常数.1 2 4 1 2【详解】 特征方程为： λ 2 - 4 = 0, 解得λ = 2, λ = -21 2故 y '' - 4 y = 0 的通解为 y = C e -2 x + C e 2 x , 由于非齐次项为 f ( x ) = e 2 x ， a = 2 为特征方程112的单根，因此原方程的特解可设为 y * = Axe 2 x, 代入原方程可求得 A = 1，4故所求通解为y = y + y * = C e -2 x + C e 2 x + 1xe 2 x故本题应填1 1 24y = C e -2 x +C + 1 x e 2 x ,1 2 4（4）设n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的n 个特征值是 .¸çn -1˛【答】n , 0,…, 0【详解】 因为 λ -1 -1 … -1λ - n-1 … -1 λ E - A = -1λ -1 … -1 =λ - n λ -1 … -1# ### ####-1-1 … 1 -1 … λ -1 -1 λ - n -1 … λ -1 = λ - n0 λ 0# # # #0 0 … λ故矩阵 A 的n 个特征值是n 和 0（ n -1重）¸çn -1˛ 因此本题应填n , 0,…, 0 .（5）设两两相互独立的三事件 A , B 和C 满足条件： ABC = φ, P ( A ) = P ( B ) = P (C ) < 1, 2且 P ( A ⋃ B ⋃ C ) = 1 9, 则 P ( A ) = .16【答】.4【详解】 根据加法公式有P ( A ⋃ B ⋃ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P (C ) - P ( AC ) - P ( AB ) - P ( B C ) + P ( ABC )1由题 A , B 和C 两两相互独立， ABC = φ, P ( A ) = P ( B ) = P (C ) < , 因此有2P ( AB ) = P ( AC ) = P ( B C ) = P 2 ( A ),P ( ABC ) = P (φ ) = 0,从而 P ( A ⋃ B ⋃ C ) = 3P ( A ) - 3P 2 ( A ) = 916 3 1解得 P ( A ) = , P ( A ) =44 1 1又根据题设 P (A ) < , 故 2 P ( A ) = 4二、选择题（1）设 f ( x ) 是连续函数， F ( x ) 是其原函数，则 （A ） 当 f ( x ) 是奇函数时， F ( x ) 必是偶函数. （B ） 当 f ( x ) 是偶函数时， F ( x ) 必是奇函数. （C ） 当 f ( x ) 是周期函数时， F ( x ) 必是周期函数. （D ） 当 f ( x ) 是单调增函数时， F ( x ) 必是单调增函数.【 】【答】 应选（A ）x【详解】 f ( x ) 的原函数 F ( x ) 可以表示为 F ( x ) = ⎰f (t )dt + C , 于是- x xF (-x ) = ⎰0 f (t )dt + Cu = -t ⎰0 f (-u )d (-u ) + C .当 f ( x ) 为奇函数时， f (-u ) = - f (u ) ，从而有即F ( x ) 为偶函数.F (-x ) = ⎰0 = ⎰0 f (u )du + Cf (t )dt + C = F ( x )故（A ）为正确选项.至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：f ( x ) = x 2 是偶函数，但其原函数 F ( x ) = 1x 3 +1 不是奇函数，可排除（B ）；3f ( x ) = cos 2 x 是周期函数，但其原函数 F ( x ) = 1 x + 1sin 2x 不是周期函数，可排除（C ）；2 4f ( x ) = x 在区间(-∞ + ∞) 内是单调增函数，但其原函数 F ( x ) = 1x 2 在区间(-∞ + ∞) 内非2单调增函数，可排除（D ）.xx♠ ♦ ∞11♣1- cos x , x > 0 （2）设 f ( x ) = ♦ x 其中 g ( x ) 是有界函数，则 f ( x ) 在 x = 0 处 ♠♥x 2 g ( x ), x ≤ 0 （A ）极限不存在. （B ）极限存在，但不连续 （C ）连续，但不可导（D ）可导.【 】【答】 应选（D ） 【详解】 因为f '(0 + 0) = limf ( x ) - f (0)= lim1- cos x= 0,x →0+xf ( x ) - f (0) x →0-3x2x 2 g ( x ) f '(0 - 0) = lim = lim lim g ( x ) x = 0,x →0-x x →0-x x →0-可见， f ( x ) 在 x = 0 处左、右导数相等，因此， f ( x ) 在 x = 0 处可导， 故正确选项为(D).♣ (3)设 f ( x ) = ♠ x ,0 ≤ x ≤ 1 2 1， S ( x ) = a 0 2 +∑ a n cos n π x , -∞ < x < +∞, ♠2 - 2x , ♥ 2a =< x < 1 n =15其 中 n2⎰0 f ( x )cos n π xdx , (n = 0,1, 2,…), 则S -2等于1 (A)2(B) - (C) 32 4 (D) - 34【 】【答】 应选（C ）.【详解】 由题设知，应先将 f ( x ) 从[0,1) 作偶延拓，使之成为区间[-1,1] 上的偶函数，然后再作周期（周期 2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有S - 5 = S -2 - 1 = S - 12 2 2 f 1 - 0 + f 1+ 01 2 2= S =2= 3 .4（4）设 A 是m ⨯ n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵，则 （A ）当m > n 时，必有行列式 AB ≠ 02（B ）当m > n 时，必有行列式 AB = 0（C ））当n > m 时，必有行列式 AB ≠ 0（D ）当n > m 时，必有行列式 AB = 0【 】【答】 应选（B ）.【详解】 因为 AB 为m 阶方阵，且 秩r ( AB ) ≤ min ϒ≤r ( A ), r (B )/ƒ ≤ min (m , n ) 当m > n 时，由上式可知， r ( AB ) ≤ n < m , 即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB = 0. 因此，正确选项为（B ）.（5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ，则 （A ） P {X + Y ≤ 0} = 1.2(B) P {X + Y ≤ 1} = 1.2 （C ） P {X - Y ≤ 0} = 1.2【答】 应选（B ）.(D) P {X - Y ≤ 1} = 1. 2【 】【详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此( X + Y ) ~ N (1, 2), ( X - Y ) ~ N (-1, 2)1 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 2知，（B ）为正确选项.三、设 y = y ( x ), z = z ( x ) 是由方程 z = xf ( x + y ) 和 F ( x , y , z ) = 0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 dz .dx【详解】 分别在 z = xf ( x + y ) 和 F ( x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导，得♣ dz =f + x 1+ dy f '♠ dxdx ♦♠F ' x + F ' y dy +' dz = 0♠♥ 整理后得F zdx dx♣-xf ' dy + dz= f + xf ' ♠ dx dx ♦dy dz♠F ' y + F 'z = -F 'x ♠♥ dx dx 解此方程组，得♦ y = 00 dz =( f + xf ') F 'y - xf 'F 'z , (F ' y + xf 'F 'z ≠ 0)四、求 I =⎰Ldx F ' y + xf 'F ' z(e xsin y - b ( x + y ))dx + (e xcos y - ax )dy , 其中 a , b 为正常数， L 为从点A (2a , 0) 沿曲线 y O (0, 0) 的弧.【详解】 添加从点O (0, 0) 沿 y = 0 到点 A (2a , 0) 的有向直线段 L 1, 则I = ⎰L + L ϒ≤e x sin y - b ( x + y )/ƒ dx + (e xcos y - ax )dy - ⎰L 利用格林公式，前一积分ϒ≤e x sin y - b ( x + y )/ƒdx + (e xcos y - ax )dy I = ⎰⎰ ∂Q - ∂P = ⎰⎰ (b - a )dxdy 1 ∂x ∂y dxdyD D= πa 2 (b - a ) 2其中 D 为 L + L 1 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L 1 :♣ x = x, (0 ≤ x ≤ 2a ), ♥ 可直接积分I 2= ⎰2a (-bx )dx = -2a 2b故I = I - I =π + 2a 2b - π a 3. 12 2 2五、 设函数 y ( x )( x ≥ 0) 二阶可导且 y ' ( x ) > 0, y (0) = 1, 过曲线 y = y ( x ) 上任意一点P ( x , y ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为S 1, 区间[0, x ] 上以 y = y ( x ) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 - S 2 恒为 1，求此曲线y= y ( x ) 的方程.【详解】 曲线 y = y ( x ) 上点 P ( x , y ) 处的切线方程为Y - y ( x ) = y ' ( x )( X - x )1 1y ' x1 2y '它与 x 轴的交点为 x - ,0 由于 y ( x ) > 0, y (0) = 1, 因此 y ( x )( x > 0)1y y 2 于是S 1 = 2 y x - x - y ' = 2 y' .又S 2 = ⎰0 y (t )dty 2 x根据题设2S 1 - S 2 = 1 ，有2 y'- ⎰0 y (t )dt = 1,并且 y ' (0) = 1 ，两边对 x 求导并化简得yy '' = ( y ' )2这是可降阶得二阶常微分方程，令yp dp= p 2 ，分离变量得 dyp = y '，则上述方程可化为dp = dy p y dy解得 p = C 1 y ，即dx= C 1 y ,从而有 y = C e x+ C根据 y (0) = 1, y ' (0) = 1, 可得 C = 1, C = 0,12故所求曲线得方程为y = e x .六、试证：当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2.【详解 1】令 f ( x ) = (x 2 -1)ln x - ( x -1)2. 又易知 f (1) = 0 f ' ( x ) = 2x ln x - x + 2 - 1, f ' (1) = 0x f '' ( x ) = 2 ln x +1+ 2 (x 2-1) 1 , f ''(1) = 2 > 0x 2 f '''( x ) =x 3可见，当0 < x < 1时， f ''' ( x ) < 0; 当1 < x < +∞ 时， f ''' ( x ) > 0; 因此，有当1 < x < +∞ 时，f '' ( x ) ≥ f '' (1) = 2 > 0又由 f ' (1) = 0 及 f ' ( x ) 是单调增函数推知，当0 < x < 1 时， f ' ( x ) < 0; 当1 < x < +∞ 时，f ' ( x ) > 0; 因此进一步有 f ( x ) ≥ f (1) = 0 (0 < x < +∞) ，即证之：当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2.【详解 2】先对要证的不等式作适当变形，则当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2. 等价于当0 < x < 1时，ln x ≤x -1; 当1 < x < +∞ 时， ln x ≥ x -1; 于是令 x +1 f ( x ) = ln x - x -1x +1 x +1则f ' ( x ) = 1 - 2=x 2 +1 2 > 0( x > 0)x又因为 f (1) = 0 ，可见有 ( x +1) x ( x +1)当0 < x < 1时， f ( x ) < 0 ，当1 < x < +∞ 时， f ( x ) > 0 ，从而当 x > 0 时，有(x 2-1) f ( x ) = (x 2-1)ln x - ( x -1)2≥ 0,即当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2.七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗自重 400 N , 缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①1N ⨯1m = 1J ; m , N , s , J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【详解 1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功W = W 1 + W 2 + W 3230其中W 1 是克服抓斗自重所作的功；W 2 是克服缆绳重力作的功；W 3 为提出污泥所作的功.由题意知W 1 = 400 ⨯ 30 = 12000.将抓斗由 x 处提升到 x + dx处，克服缆绳重力所作的功为dW 2 = 50 (30 - x )dx ,从而 W 2 = ⎰50 (0 - x )dx = 22500.在时间间隔[t , t + dt ]内提升污泥需作功为dW 3 =3(2000 - 20t ) d t .30 将污泥从井底提升至井口共需时间310= 10 ，所以W 3 = ⎰0 3(2000 - 20t ) d t = 57000.因此，共需作功W = 12000 + 22500 + 57000 = 91500 ( J )【详解 2】作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用 力 f ( x ) 1包括抓 斗的自重 400 N , 缆绳的重力 50 (30 - x )( N ) ，污泥的 重力2000 - 3于是x ⋅ 20 ( N ) ，即f ( x ) = 400 + 50 (30 - x ) + 2000 - 20 x = 3900 - 170 x , 33Ax + By + Cz A 2 + B 2 + C 22 1- 2 + 2x 2 y 22 1- 2 + 2x 2 y 24 - x 2 - y 2 2 1- 2 + 2x 2y 2x 2 + y 2 + 4 4 z 2 zx y z ⎰⎰ dS = 2W =303900 - 170 x dx = 3900x - 85 x 2|30 = 117000 - 24500 = 91500 ( J ) ⎰0 3 3 02 八、设S 为椭球面 x+ y + 2 = 1 的上半部分，点 P ( x , y , z )∈ S ,π 为S 在点 P 处的切平面， 2 2ρ ( x , y , z ) 为点O (0, 0, 0) 到平面π 的距离，求⎰⎰z dS . S ρ ( x , y , z )【详解】 令 F ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2-1, 设( X ,Y , Z ) 为π 上任意一点，则π 的方程为2 2F ' ( X - x ) + F ' (Y - y ) + F '(Z - z ) = 0,xXyY即从而知+ + zZ = 1 2 2ρ ( x , y , z ) =x2+ y 2-1 + z224 4这里 A = x , B = y22, C = z ,x 2y 2由曲面方程知 z = 1- 2 + 2 ,于是∂z =∂x, ∂z =∂y因此dS =d σ =σ故有zdSS ρ ( x , y , z ) S= 1 ⎰⎰(4 - x 2 - y 2 )d σ = 1 ⎰2π d θ ⎰ 2 (4 - r 2 )rdr 4 D = 3 π 24 00 1+ ∂x + ∂y ∂z 2 ∂z 2n n n nn 2⎰nn n1π九、设a n = ⎰ 4 tan n xdx , ∞ 1（1） 求∑ (a n + a n +2 ) 的值；n =1∞a n（2） 试证：对任意的常数λ > 0, 级数∑ λ收敛n =1【详解】 （1）因为1 1 π 1π(a + a) = 4 tan n x (1+ tan 2 x )dx = 4tan n x sec 2 xdxn n n +2 n ⎰0n ⎰0tan x = t 1 ⎰1t n dt = 1n 0又由部分和数列n (n +1) S = ∑1 (a + a) = ∑ 1= 1-1 ,i =1iii +2i =1i (i +1)n +1有lim S = 1, n →∞∞1因此∑ (a n+ a n +2) = 1.n =1（2）先估计a n 的值，因为π1a n = ⎰ 4tan nxdx tan x = t ⎰t dt < 1t n dt =1, 01+ t 0n +1a n 所以nλ< n λ(n +1) <1 , n λ +1∞1由λ +1 > 1知∑ λ+1收 敛n =1∞a n从而∑ λ也收敛.n =1ϒ a 十、设矩阵 A = ' 5 -1 c / b 3 ∞ ，其行列式 A = -1，又 A 的伴随矩阵 A * 有一个特征值λ ，' ∞0 '≤1- c 0 -a ∞ƒ属于λ 的一个特征向量为α = (-1, -1,1)T，求a , b , c 和λ 的值.nn【详解】120 0 0 ♥根据题设有 A*α = λ α ,又AA * = A E = -E , 于是 AA *α = A λα = λ A α ,即-α = λ0 A αϒ a 也即λ ' 5-1 c / ϒ-1/ ϒ-1/ b 3 ∞ '-1∞ =- '-1∞0 ' ∞ ' ∞ ' ∞由此，可得'≤1- c 0 -a ∞ƒ '≤ 1 ∞ƒ '≤ 1 ∞ƒ♣ λ0 (a +1+ c ) = 1 ♠λ (-5 - b + 3) = 1 ♦ 0解此方程组，得♠λ0(-1+ c - a ) = -1 λ0 = 1, b = -3, a = c又由 A = -1和a = c ，有a-1 a5 -3 3 = a - 3 = -1故a = c = 2,1- a 0 -a因此 a = 2, b = -3, c = 2, λ0 = 1.十一、设 A 为m 阶实对称矩阵且正定， B 为m ⨯ n 实矩阵， B T为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩r ( B ) = n .【详解】 必要性. 设 B TAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有x T (B T AB ) x > 0,即( B x )TBA ( B x ) > 0,于是， Bx ≠ 0 .因此， Bx = 0 只有零解，故有 r ( B ) = n充分性. 因 (B TAB)T= B T A T B = B T AB , 故 B T AB 为实对称矩阵.若r ( B ) = n则线性方程组 Bx = 0 只有零解，从而对任意的实n 维列向量 x ≠ 0 ，有 Bx ≠ 0 .又 A为正定矩阵，所以对于 Bx ≠ 0 有(B x )TBA ( B x ) > 0, 于是当 x ≠ 0 ，有 xT(BTAB ) x = ( B x )TA (B x ) > 0 ，故 B T AB 为正定矩阵.f ( x ) = ♠ = n ∑ 十二、设随机变量 X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量( X ,Y ) 联合分布律及关于 X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.【详解】十三、设总体 X 的概率密度为♣ 6x(θ - x )，0 < x < θ ♦♥♠ 0, 其他X 1, X 2 ,…, X n 是取自总体 X 的简单随机样本.^（1） 求θ 的矩估计量θ ；^^（2） 求θ 的方差 D θ .+∞θ6x θ【详解】 (1) E ( X ) =⎰-∞xf ( x )dx = ⎰0θ 3(θ - x ) d x =21 n 记 X i =1X , 令θ = X , 得θi 2^的矩估计量θ = 2 X ； （2）由于2+∞ 2θ6x 2 6x 2E ( X ) = ⎰-∞ x f ( x )dx = ⎰0 θ 3 (θ - x ) d x = 202 2 6θ 2 θ2 θ = D (2 X ) = 4D X ( )D ( x ) =E (x ) - ϒE ( x )/ = - = ⎝ 2 ≤ ƒ 20 20^因此 θ = 2 X 的方差为D ^= 4 D ( X ) = θn 5n2 2。
1999考研数一真题解析
ex sin ydx ex cos ydy b(x y)dx axdy
L
L
前一积分与路径无关，所以
ex sin ydx ex cos ydy ex sin y (0,0) 0
L
(2a,0)
x0
x0 x x
lim x0
1 x2 2 xx
0,
f(0)
lim
x 0
f (x) f (0) x0
lim x0
x2g(x) x
lim xg(x) 0, x0
从而， f (0) 存在，且 f (0) 0 ，故正确选项为(D).
(3)【答案】( C )
【详解】由题设知，应先将 f (x) 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作
...
1
1 ... 1
两边取行列式，
1 1 ... 1
n 1 ... 1
E A 1 1 ... 1 把第2，，n列 n 1 ... 1
... ... ... ... 加到第1列
... ... ... ...
1 1 ... 1
n 1 ... 1
1 1 ... 1 2行 1行
F z , (Fy
xf
F z
0)
四【详解】 方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.
添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A2a,0 的有向直
线段 L1 , 如图，则
I ex sin y b(x y) dx ex cos y ax dy L L1 ex sin y b(x y) dx ex cos y ax dy L1
组 Bx 0 必有非零解，即存在 x0 0 ，使得 Bx0 0 ，两边左乘 A ，得 ABx0 0 ，即 ABx 0 有非零解，从而 AB 0 ，故选(B).
1999考研数学一真题及答案解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。
1999年数学一真题及答案详解
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim()tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx -⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.XY1y 2y 3y ()i i P X x p ∙==1x 182x 18()i jP Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)【答】31 【详解1】 302020tan lim tan tan lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020cos sin lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→313sin lim 3sin cos cos lim020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x xdu u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 22sin sin xdu u dx d x ==⎰故本题应填2sin x(3)【答】 ，其中为任意常数.x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-21,C C 【详解】 特征方程为：，解得.042=-λ2-,22,1==λλ故的通解为，由于非齐次项为为04"=-y y x xe C eC y 22211+=-2,)(2==a e x f x 特征方程的单根，因此原方程的特解可设为，代入原方程求得,xAxey 2=*41=A故所求解为 xx x xe e C e C y y y 22221141++=+=-*故本题应填，其中为任意常数.x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-21,C C (4)【答】10,,0,-n n 【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλnn n A Eλλλ0111)(---=n故矩阵的n 个特征值是n 和0（n-1重）A因此本题应填10,,0,-n n (5)【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，,因此有21)()()(,<===C P B P A P ABC φ ),()()()(2A P BC P AC P AB P === ,0)()(==φP ABC P 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 的原函数可以表示为，于是)(x f )(x F C dt t f x F x+=⎰)()( .)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰- 当为奇函数时，从而有)(x f ),()(u f u f -=-)()()()(00x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 为偶函数.)(x F 故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除（B ）；2)(x x f =131)(3+=x x F 是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除x x f 2cos )(=x x x F 2sin 4121)(+=（C ）；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非x x f =)(()∞∞-,221)(x x F =()∞∞-,单调增函数，可排除（D ）。
1999考研数一真题解析
- ⎪ - ⎪ - ⎪ 1 2 22 全国硕士研究生入学统一考试数一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】 1.3【分析】利用 x → 0 的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】 方法1： lim⎛ 1 1 ⎫ = lim tan x - x 2 tan x x l imtan x - x 3 x →0 ⎝ x x tan x ⎭ x →0 x tan xx →0 x洛lims ec 2 x -1 2= lim t an 2 x 2 t an x x limx 2 1 2 = x →03xx →0 3x x → 0 3x 3 方法2： lim ⎛ 1 1 ⎫ = lim ⎛ 1 cos x 2 ⎫ = lim sin x - x cos x 2 x →0 ⎝ x x tan x ⎭ x →0 ⎝ x x s in x ⎭ x →0 x sin xsin x x lim sin x - x cos x 洛limcos x - cos x + x sin x = lim sin x = 1x →0 x3 x →0 3x 2 x →0 3x 3 (2)【答案】s in x 2【分析】欲求d⎰bϕ( x , t )dt ，唯一的办法是作变换，使含有ϕ(x , t ) 中的 x “转移”到ϕ之外dx a【详解】令u = x - t ，则 dt = -du ，所以有d⎰ xsin(x - t )2 dt = d ⎰0 (- s in u 2 )du = d ⎰ x sin u 2 du = sin x 2dx 0 dx x dx 0(3)【答案】 y = C e-2 x+ ⎛C + 1 x ⎫ e 2 x ,其中C , C 为任意常数. 12 4 ⎪ 1 2 ⎝ ⎭【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程 y "- 4 y = 0的特征方程为：λ2- 4 = 0,解得λ = 2,λ = -2，故 y "- 4 y = 0的通解为 y = C e -2x + C e 2 x ,112由于非齐次项为 f ( x ) = e 2 x , 因此原方程的特解可设为 y * = Axe 2 x , 代入原方程可求得A = 1 ，故所求通解为 y = y + y * = C e -2 x + ⎛C+ 1 x ⎫ e 2 x41 12 4 ⎪ ⎝ ⎭(4)【详解】因为1 2 ⎛λ-1 -1 ... -1 ⎫-1 λ-1 ... -1 ⎪λE - A =⎪(对应元素相减) ... ... ... ... ⎪ -1 -1 ... λ-1⎪ ⎝ ⎭两边取行列式，λE - A =λ-1-1 ... -1λ- n -1 λ-1 ...-1 把第2，⋯，n 列λ- n -1 ... -1 λ-1 ...-1... ... ... ... 加到第1列 ...... ... ... -1-1 ... 1 λ-1-1 ... λ- n-1 2行 -1行-1 ... 1 λ-1-1 ... -1 提取第1列 λ1 λ-1 ...-1 3行-1行 0 (λ- n ) λ... 0 ( 的公因子 - n )...... ... ... ... ... ... ...= λn -1 (λ- n )1-1 ... λ-1 n 行-1行0 0 ... λ令 λE - A = λn -1(λ- n ) = 0 ，得λ = n (1重)，λ = 0((n -1)重)，故矩阵A 的n 个特征值是n 和0( (n -1)重)(5)【答案】1 4【详解】根据加法公式有P ( A B C ) = P ( A ) + P (B ) + P (C ) - P ( AC ) - P ( AB ) - P (BC ) + P ( ABC )因为 P ( A ) = P (B ) = P (C ) ，设 P ( A ) = P (B ) = P (C ) = p由于 A , B , C 两两相互独立，所以有P (AB ) = P ( A )P (B ) = p ⨯ p = p 2 ， P (AC ) = P ( A )P (C ) = p ⨯ p = p 2 ， P (BC ) = P (B )P (C ) = p ⨯ p = p 2 ，又由于 ABC = ∅ ，因此有 P (ABC ) = P (∅) = 0, 所以P ( A B C ) = P ( A ) + P (B ) + P (C ) - P ( AC ) - P ( AB ) - P (BC ) + P ( ABC )= p + p + p - p 2 - p 2 - p 2 + 0 = 3p - 3 p 2又 P (A B C ) = 9 16 ，从而 P (A B C ) = 3 p - 3 p 2= 916 ，则有3p - 3 p 2-9= 016⇒ p 2 - p + 3 16 = 0，解得 p = 3 或p = 14 4- ⎰因 P(A) =P(B) =P(C) =p <1，故 p =1，即P(A) =1 2 4 4二、选择题(1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.xf(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=⎰0f(t)dt+C,于是F(-x)=⎰0 f (t)dt +C u =-t =0f (-u)d (-u )+C.当f (x) 为奇函数时，f (-u) =-f (u) ，从而有x xF(-x)=⎰0f(u)du+C=⎰0 f (t)dt +C =F (x)即F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：f (x) =x2 是偶函数，但其原函数F (x) =1x3 +1不是奇函数，可排除(B)；3f (x) = cos2 x 是周期函数，但其原函数F (x) =1x +1sin 2x 不是周期函数，可排除(C)；2 4f (x) =x 在区间(-∞, +∞) 内是单调增函数，但其原函数F( x) =1x2 在区间(-∞, +∞)内2非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.1x 2因为 f '(0) = lim f (x) -f (0) = lim 1- cos x = lim= 0,+x→0+ 'x - 0f (x) -f (0)x→0+ x→0+x2 g(x)f (0) = limx→0- x -0= limx→0-= lim xg(x) = 0,x x→0-从而，f '(0) 存在，且f '(0) = 0 ，故正确选项为(D).(3)【答案】( C )【详解】由题设知，应先将f (x) 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，S (-5) =S (-2 -1) =S (-1) =S (1)2 2 2 2x x2x x -x x> m ⨯n 0 n ⨯m ( ) 0 0 1 ⎝ ⎭1 2 而 x = 1 是 f (x ) 的间断点，按狄利克雷定理有，2f ( 1 - 0) + f ( 1 + 0) 1 +1 1 2 2 2 3S ( ) = = = . 2 2 2 4(4)【答案】B 【详解】方法1： A 是 m ⨯ n 矩阵， B 是 n ⨯ m 矩阵，则 A B 是 m 阶方阵，因r (AB ) ≤ min [r ( A ), r (B )]≤ min (m , n ).当 m > n 时，有 r ( AB ) ≤ min[r ( A ), r (B )] ≤ n < m . ( (AB )x = 0 的系数矩阵的秩小于未知数的个数)，故有行列式 A B = 0，故应选(B). 方法 2： B 是 n ⨯ m 矩阵, 当 m > n 时, 则 r (B ) = n(系数矩阵的秩小于未知数的个数) ，方程组 B x = 0 必有非零解，即存在 x 0 ≠ 0 ，使得 B x 0 = 0 ，两边左乘 A ，得 A Bx 0 = 0 ，即A Bx = 0 有非零解，从而 AB = 0，故选(B).方法 3：用排除法⎛ 1⎫ (A) m n ，取 A = ⎪ , B = 00 , ⎝ ⎭⎛ 0 0 ⎫ AB = ⎪ ， AB = 0，(A)不成立 ⎝ ⎭ (C) n > m ，取 A = (1 0), B= ⎛ 0⎫ ,A B = 0， A B = 0，(C)不成立 m ⨯n n ⨯m⎪ ⎝ ⎭ ⎛ 1⎫(D) n > m ，取 A m ⨯n = (1 0), B n ⨯m = 0 ⎪ , A B = 1， A B = 1，(D)不成立，故选(B).(5)【答案】B【详解】 根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.因 X 和Y 相互独立，且X ~ N (0,1) ，Y ~ N (1,1) ，所以 T = X + Y ~ N (u ,σ2 ) , T = X - Y ~ N (u ,σ2 )111222其中u 1 = E ( X + Y ) ，σ2= D (X + Y ) ， u = E (X - Y ) ，σ2 = D (X - Y )由期望的性质： E (T 1) = E ( X + Y ) = EX + EY = 0 +1 = 1，E (T 2 ) = E ( X - Y ) = EX - EY = 0 -1 = -1由独立随机变量方差的性质： D (T 1) = D ( X + Y ) = DX + DY = 1+1 = 2D (T 2 ) = D ( X - Y ) = DX + DY = 1+1 = 2222 2 2 2 ⎬⎭ 2 2 2 2 2 2 2 2 2⎨ ⎬ ⎨ 所以T 1 = X + Y ~ N (1, 2) ， T 2 = X - Y ~ N (-1, 2)(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点 出发)A 选项： P {X + Y ≤ 0} = 1 . 2因T 1 = X + Y ~ N (1, 2)由标准化的定义：若 X ~ N (u ,σ2)，则X - u~ N (0,1)σ所以，X + Y -1N (0,1) ，将其标准化有 P {X + Y ≤ 0} = P ⎧ X + Y - 1 ≤ 0 -1⎫ = P ⎧ X + Y -1≤ - 1 ⎫ ⎩ ⎭ ⎩(保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化)又因为标准正态分布图像是关于 y 轴对称，所以P ⎧ X + Y -1 ≤ 0⎫ = 1 ，而 P ⎧ X + Y - 1 ≤ - 1 ⎫ < 1，所以A 错. ⎨ ⎬ 2 ⎨ 2 ⎬ 2⎩ ⎭ ⎩ ⎭ B 选项： P {X + Y ≤ 1} = 1.2将其标准化有： P ⎧ X + Y -1 ≤ 1-1⎫ = P ⎧ X + Y -1 ≤ 0⎫ = 1(根据标准正态分布的对称性)故B 正确.⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 21C 选项： P {X - Y ≤ 0} = .2将其标准化有： P ⎧ X - Y - (-1) ≤ 0 - (-1) ⎫ = P ⎧ X - Y +1 ≤1 ⎫ > 1，故C 错.⎨ ⎬ ⎨2 ⎬ 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭1D 选项： P {X - Y ≤ 1} = .2⎧ X - Y - (-1) 1- (-1) ⎫ ⎧ X - Y +1 2 ⎫ 1 将其标准化有： P ⎨ ≤ ⎬ = P ⎨2 2 ≤2 ⎬ > 2 ，故D 错. ⎩ ⎭ ⎩ ⎭三【详解】分别在 z = xf (x + y ) 和 F (x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导数，得⎧ dz =f (x , y ) + x ⎛1+ dy ⎫ f '(x , y )⎪ dxdx ⎪ ⎨ ⎝ ⎭⎪F ' + F ' dy + F ' dz = 0 ⎩⎪ x y dx z dx-xf ' f + xf 'F y ' -F x ' -xf ' 1 F y ' F z '⎨y = 0⎝ ⎭L⎧-xf '(x , y ) dy + dz = f (x , y ) + xf '(x , y ) 整理后得⎪ dx dx ⎨dy dz⎪F ' + F ' = -F ' ⎪⎩ y dx 解此方程组，得z dx xdz = = ( f + xf ')F y ' - xf F ' z ' , (F ' + xf F' ' ≠ 0) dx F y ' + xf F ' z '四【详解】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.添加从点O (0, 0) 沿 y = 0到点 A (2a ,0)的有向直线段 L 1 , 如图，则I = ⎰L + L -⎰L (e xsin y - b (x + y ) )dx + (e xcos y - ax )dy (e xsin y - b (x + y ))dx + (e xcos y - ax )dy利用格林公式，前一积分I = ⎛ ∂Q - ∂P ⎫ = (b - a )dxdy = π 2- a ) 1 ⎰⎰ ∂x ∂y ⎪dxdy ⎰⎰ a (b2 D ⎝ ⎭ D其中D 为 L 1 +L 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L 1 :⎧x = x, (0 ≤ x ≤ 2a ), ⎩ 2a2⎛π ⎫ 2 π 3可直接积分I 2 = ⎰0 (-bx )dx = -2a b ，故 I = I 1 - I 2 = 2 + 2 ⎪ a b - 2 a .方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算.I = ⎰ (e x sin y - b (x + y ))dx + (e xcos y - ax )dy= ⎰ e x sin ydx + e x cos ydy - ⎰ b (x + y )dx + axdyLL前一积分与路径无关，所以e x sin ydx + e x cos ydy = e x sin y(0,0)= 0L (2a ,0)对后一积分，取 L 的参数方程1 1y z⎰⎩ π2 2 y ' ⎝ ⎭x= 0(-a b sin t - a b sin t cos t - a b sin t + a cos t + a cos ⎩ - ⎰0 = = ( ) ⎧x = a + a c os t ，则 ⎧dx = -a s in tdt ， t 从0 到π，得⎨ y = a sin t ⎨ dy = a cos tdt⎰Lb ( x + y )dx + axdy= ⎰ 2 2 2 2 3 3 2 = -2a 2b - 1 πa 2b + 1 πa 32 221 2 1 3 ⎛π ⎫ 2 π 3 从而I = 0 - (-2a b - πa b + πa 2 2 ) = + 2 ⎪ a b - a⎝ ⎭五【详解】如图，曲线 y = y (x ) 上点 P (x , y ) 处的切线方程为Y - y (x ) = y '(x )( X - x )⎛ y ⎫所以切线与 x 轴的交点为 x - , 0 ⎪⎝ ⎭由于 y '(x ) > 0, y (0) = 1, 因此 y (x ) > 0 (x > 0)1 ⎛ y ⎫ y 2于是 S 1 = 2 y x - x - y ' ⎪ = 2 y ' .又 S 2 =⎰y (t )dt ，根据题设2S 1 - S 2 = 1, y 2x2即 2y (t )dt 1,两边对 x 求导并化简得 yy " y ' 2 y '这是可降阶得二阶常微分方程，令 p = y ', 则 y ' = dp = dp dy = p dp，dx dy dx dy则上述方程可化为 y p dp = p 2 , 分离变量得 dp = dy，解得 dy p = C y , 即 C y ,dy p y1dx 1从而有 y = C e x+ C ，根据y (0) = 1, y '(0) = 1, 可得C = 1, C = 0, 1 2 1 2故所求曲线得方程为 y = e x六【详解】构造函数，利用函数的单调性， 证法1：令又f (x ) = (x 2 -1)ln x - (x -1)2. 易知 f (1) = 0f '(x ) = 2x ln x - x + 2 - 1, f '(1) = 0x f ' (x ) = 2 ln x +1+ 1, f ' (1) = 2 > 0x2 t )dt30⎩ ⎩ f ''(x ) =2(x 2 -1)x 3 可见，当0 < x < 1时， ⎧ f ''(x ) < 0；当1 < x < +∞ 时， ⎧ f ''( x ) > 0⎨ f ' (x ) ⎨ f ' (x )因此， f ' (1) = 2为 f ' (x ) 的最小值，即当0 < x < +∞ 时， f ' (x ) ≥ 以 f '(x )为单调增函数. 又因为 f '(1) = 0 ，所以有f ' (1) = 2 > 0 ，所0 < x < 1时 f '(x ) < 0 ；1 < x < +∞ 时 f '( x ) > 0，所以利用函数单调性可知， （f 1）为 f (x ) 的最小值，即 f ( x ) ≥ f (1) = 0 所以有 x > 0 时， (x 2 -1)ln x ≥ ( x -1)2.证法2：先对要证的不等式作适当变形，当 x = 1时，原不等式显然成立；当0 < x < 1时，原不等式等价于ln x ≤x -1;x +1 x -1当1 < x < +∞ 时，原不等式等价于ln x ≥ x -1 x +1;令 f ( x ) = ln x -x +1' 1 2x 2 +1则 f (x ) = - x ( x +1)2 = x ( x +1)> 0( x > 0) 又因为 f (1) = 0, 利用函数单调性可知当0 < x < 1时， f (x ) < 0,即ln x <x -1;当1 < x < +∞ 时， f ( x ) > 0,即ln x > x - 1; x +1 综上所述，当 x > 0 时， (x 2-1)ln x ≥ ( x -1)2.x +1七【详解】建立坐标轴如图所示，解法1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功W = W 1 + W 2 + W 3 ，其中W 1 是克服抓斗自重所作的功；W 2 是克服缆绳重力作的功；W 3 为提出污泥所作的功. 由题意知W 1 = 400N ⨯ 30m = 12000J .将抓斗由 x 处提升到 x + dx 处，克服缆绳重力所作的功为dW 2 = 缆绳每米重×缆绳长×提升高度= 50(30 - x )dx ,从而W 2 = ⎰0 50(30 - x )dx = 22500J .在时间间隔[t , t + dt ]内提升污泥需做功为2910dW 3 = (原始污泥重- 漏掉污泥重）⨯ 提升高度(3dt )= (2000 - 20t )3dt30m 将污泥从井底提升至井口共需时间 3m / s= 10s ,所以W 3 = ⎰0 3(2000 - 20t )dt = 57000J .因此，共需做功W = W 1 + W 2 + W 3 =（12000 + 22500 + 57000)J = 91500J解法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f (x ) 包括抓斗的自重 400N , 缆绳的重力50(30 - x )N ， 污泥的重力(2000 - x⋅ 20)N ,3即 f (x ) = 400 + 50(30 - x ) + 2000 -20x = 3900 - 170x , 3 3 于是W =30 ⎛ 3900 - 170 x ⎫ dx = 3900x - 85 x 2 30= 117000 - 24500 = 91500J⎰3⎪ 3⎝⎭八【分析】先写出切平面方程，然后求ρ(x , y , z ) ，最后将曲面积分化成二重积分.【详解】点 P (x , y , z ) ∈ S ， S 在点 P 处的法向量为 n = {x , y , 2z }，设( X ,Y , Z ) 为π上任意一点，则π的方程为x ( X - x ) + y (Y - y ) + 2z (Z - z ) = 0，化简得 x X + yY + zZ =12 2 由点到平面的公式， O (0, 0, 0) 到π的距离- 1 ⎛ x 2 y 2 ⎫2 ρ(x , y , z ) = == + + z 2 ⎪⎝ 4 4⎭从而⎰⎰z dS = ⎰⎰ S ρ(x , y , z )S 用投影法计算此第一类曲面积分，将 S 投影到 x Oy 平面，其投影域为 D = {(x , y ) | x 2 + y 2≤ 2}由曲面方程知 z , y ) ∈ D , 于 是∂z =∂x, ∂z =∂y11SS4 ⎰ - = - n0 0 1因此 dS =σ=σ故有⎰⎰ z dS = ⎰⎰z ρ(x , y , z )1222π22=3π =⎰⎰ (4 - x D- y )d σ极坐标 4⎰0d θ⎰0(4 - r )rdr.21 1 π1π九【详解】(1) 因为(a + a ) = 4 tan n x (1+ tan 2 x )dx = 4tan n x sec 2 xdxnnn + 2n ⎰0n ⎰0又由部分和数列= 1 4 tan nxd tan xn 0 tan x = t= n 1 t n dt = 0 1 n (n +1)S = ∑1(a + a ) = ∑ 1= ∑n 1 1 1 () 1 , i =1 iii + 2i =1 i (i +1)i =1 i i +1n +1 有l im S = 1, n →∞因此∑ n =11(a n n + a n + 2 ) = 1. (2) 先估计 a n 的值，因为πa n = ⎰ 4t an nxdx ，令t = tan x ，则 dt = s ec 2xdx ，即 dx =dt1+ t 21 t n 1 n 1所以 a n = ⎰01+ t 2< ⎰0 t dt =n + , 所以a n< n λ 1 < n λ(n +1) ∞1 1 , n λ+1∞a n由于λ+1 > 0，所以∑ n λ+1 收敛，从而∑ n λ也收敛.n =1n =1十【详解】根据题设， A * 有一个特征值λ，属于λ的一个特征向量为α= (-1, -1,1)T , 根据 0特征值和特征向量的概念，有 A*α= λα, 把 A = -1代入 AA * = A E 中，得 AA * = A E = -E , 则 A A *α= -E α= -α. 把 A *α=λα 代入，于是 AA*α= A λα= λA α, 即-α= λ0 Aα∞n 1 ⎰ nn πA⎡ a -1 c ⎤ ⎡-1⎤ ⎡-1⎤ ⎡ -a + 1+ c ⎤ ⎡-1⎤ 也即λ ⎢ 5b 3 ⎥ ⎢-1⎥ = - ⎢-1⎥ ， ⇒ λ ⎢ -5 - b + 3 ⎥ = - ⎢-1⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢1-c 0 -a ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣-(1- c ) - a ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎡ -a + 1+ c ⎤ 常数λ乘以矩阵⎢ -5 - b + 3 ⎥，需用λ乘以矩阵的每一个元素⎢ ⎥ 0⎢⎣-(1- c ) - a ⎥⎦⎡ -a +1+ c ⎤ ⎡ λ0 (-a +1+ c ) ⎤ ⎡-1⎤ λ ⎢ -5 - b + 3 ⎥ = ⎢ λ(-5 - b + 3) ⎥ = - ⎢-1⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣-(1- c ) - a ⎥⎦ ⎢⎣λ[0 -(1- c ) - a ]⎦⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦矩阵相等，则矩阵的对应元素都相同，可得⎧λ0 (-a +1+ c ) = 1 (1) ⎪λ(-5 - b + 3) = 1 (2) ⎨ 0 ⎪λ(-1+ c - a ) = -1 (3)⎩ 0因 A = -1 ≠ 0 ， A 的特征值λ≠ 0 ， A * 的特征值λ*=≠ 0，故λ ≠ 0λ由(1),(3)两式得λ0 (-a +1+ c ) = -λ0 (-1+ c - a )， 两边同除λ0 ，得-a +1 + c = -(-1+ c - a )整理得 a = c ，代入(1)中，得λ0 = 1. 再把λ0 = 1代入(2)中得b = -3 又由 A = -1， b = -3 以及 a = c ，有a-1 a-1 aa - 1 aA = 5 1- a -3 3 0 -a -3 3 -1 0 2 3 0 0按第3行展开(-1)3+1 a -1 a (其中(-1)3+1 的指数3，1分别是1的行数和列数) 2 3 = 3(a -1) - 2a = a - 3 = -1故 a = c = 2, 因此 a = 2, b = -3, c = 2,λ0 =1.十一【详解】“必要性”. 设 B TAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有x T (B T AB )x > 0, 即(Bx )TA (Bx ) > 0, 于是，B x ≠ 0 ，即对任意的实n 维列向量 x ≠ 0 ，都有 Bx ≠ 0 . (若 Bx = 0 ，则 A (Bx ) = A 0 = 0矛盾). 因此，Bx = 0 只有零解，故有 r (B ) = n ( Bx = 0有唯一零解的充要条件是 r (B ) = n ).“充分性”. 因 A 为 m 阶实对称矩阵，则 A T= A ，故(B TAB)T= B T A T B = B T AB , 根据实对称矩阵的定义知 B TAB 也为实对称矩阵. 若 r (B ) = n ，则线性方程组 Bx = 0 只有零解， 从而对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有 B x ≠ 0 . 又 A 为正定矩阵，所以对于 B x ≠ 0 有(Bx )T A (Bx ) = x T (B T AB )x > 0,x T (B T AB )x > 0).故 B TAB 为正定矩阵(对任意的实n 维列向量 x ≠ 0 ，有十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义：p i ⋅ = P {X = x i } = ∑ P {X = x i , Y = y j } = ∑ p ij , i = 1, 2,jjp j = P {Y = y j }= ∑ P {X = x i ,Y = y j }= ∑ p ij , j = 1, 2,ii(通俗点说就是在求关于 X 的边缘分布时，就把对应 x 的所有 y 都加起来，同理求关于Y 的边缘分布时，就把对应 y 的所有 x 都加起来)故 P {Y = y 1} = p ⋅1 =∑ P {X = x i,Y = y 1} = ∑ pi 1 即iiP {Y = y 1} = P {X = x 1 ,Y = y 1}+ P {X = x 2 ,Y = y 1}而由表知 P {Y = y } = 1 ， P {X = x ,Y = y } = 1，所以1 62 18P {X = x ,Y = y } = P {Y = y }- P {X = x ,Y = y } = 1 - 1 = 11 1 12 1又根据 X 和Y 相互独立，则有：6 8 24P {X = x i ,Y = y j } = P {X = x i } P {Y = y j } 即 p i j = p i ⋅ p ⋅ j1 1因 P {X = x 1,Y = y 1} = ， P {Y = y 1} = ，而P {X = x 1,Y = y 1 } = P {X = x 1 }P {Y = y 1 }24 61所以 P {X = x } = P {X = x 1,Y = y 1} = 24 = 1P {Y = y 1}146再由边缘分布的定义有P {X = x 1} = P {X = x 1 ,Y = y 1} + P {X = x 1 ,Y = y 2} + P { X = x 1 ,Y = y 3}所以P {X = x 1,Y = y 3 } = P {X = x 1}- P {X = x 1 ,Y = y 1}- P {X = x 1 ,Y = y 2 }11 = 1 - 1 - 1 = 1 4 24 8 12又由独立性知 P {X = x 1 ,Y = y 3} = P {X = x 1} P {Y = y 3}1所以P {Y = y } = P {X = x 1,Y = y 3 } = 12 =13P {X = x }1 3 4由边缘分布定义有 P {Y = y 3} = P {X = x 1 ,Y = y 3 }+ P {X = x 2 ,Y = y 3 } 所以P {X = x ,Y = y } = P {Y = y }- P {X = x ,Y = y } = 1 - 1 = 12 3 3 1 33 12 4再由∑ p = 1，所以 P {X = x } = 1- P {X = x } = 1- 1 = 3i ⋅ 2 1i而 P {X = x 2} = P {X = x 2 ,Y = y 1}+ P {X = x 2 ,Y = y 2 }+ P {X = x 2 ,Y = y 3 } 故P {X = x 2 ,Y = y 2 } = P {X = x 2 }- P {X = x 2 ,Y = y 1}- P {X = x 2 ,Y = y 3 }= 3 - 1 - 1 = 34 8 4 8又∑ p = 1，所以 P {Y = y } = 1- P {Y = y } - P {Y = y } = 1- 1 - 1 = 1j j所以有：2 1 36 3 2十三【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故 只需要用样本矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)(1) 矩估计：由期望的定义：+∞θ6xθ 6x 2 6x 3 E ( X ) = ⎰-∞ xf (x )dx = ⎰0 x θ3 (θ- x )dx = ⎰0 ( θ2- )dx θ3 6 θ 26θ 36 θ36 θ43θ θθ2 ⎰x dx -θ3 ⎰x dx = θ2- 3 θ3= 2θ- = 4 2 2=4 4= n ∑ ⎰- 1 n样本均值 X i =1X i ，用样本均值估计期望有 E X = X ， 即θ= X , 2解得θ的矩估计量θ = 2 X(2) 由随机变量方差的性质： D (cX ) = c 2D ( X ) ，所以D (θ ) = D (2 X ) = 4D ( X ) 又由独立随机变量方差的性质：若 X 和Y 独立，则D (X + Y ) = DX + DY因 X 1, X 2 ,⋅⋅⋅, X n 是取自总体 X 的简单随机样本，所以 X 1, X 2 ,⋅⋅⋅, X n 独立且 X 1, X 2 ,⋅⋅⋅, X n与 X 服从同一分布，即 DX i = DXi = 1, 2, n 1 n 1 n1 n 1 n而 D ( X ) = D ( n ∑ X i ) = n 2 D (∑ X i ) = n 2 ∑ D ( X i ) = n 2 ∑ D ( X )i =1 i =1 i =1 i =1= 1 n 2D ( X )∑ i =11 = n n 2D ( X ) = 1 D ( X ) n 方差的定义：D ( X ) =E ( X 2 ) -[E ( X )]2，所以求方差只需要求出E (X 2 ) 和 E ( X ) 根据二阶原点矩的定义： E ( X 2) = +∞ x 2f (x )dx-∞+∞θ6x 3θ6x 3 6x 46θ2 故E ( X 2 ) = ⎰ x 2f (x )dx = ⎰ (θ- x )dx = ( 3 ⎰ 2 )dx =-∞ 0 θ θ0 θ θ 20而 E ( X ) = ，所以226θ2⎛θ⎫2 θ2 D ( X ) = E ( X 2) - [E ( X )] = - ⎪ =20 ⎝ 2 ⎭ 204 θ2因此θ= 2 X 的方差为 D (θ) = D (2 X ) = 4D ( X ) = D ( X ) = .n 5n3 n。
1999考研数一真题及解析 - 副本
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
) (1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰ (3) 2"4x y y e -= 的通解为y =(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 (5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 ( )(A)12 (B)12- (C)34 (D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵， B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠ (B)当m n >时，必有行列式AB 0= (C)当n m >时，必有行列式AB 0≠ (D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A) {}10.2P X Y +≤=(B) {}1P X+Y 1.2≤= (C) {}1P X-Y 0.2≤= (D) {}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx。
1999考研数一真题及解析
十二、(本题满分8分)
设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 X,Y 联合分布律及关于X 和关于
Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.
Y X
y1
y2
y3
PX xi pi
x1
1
8
x2
1
8
P Y yj pj
1
(1)【答案】 1 . 3
【分析】利用 x 0 的等价变换和洛必达法则求函数极限.
【详解】
方法1：
lim
x0
1 x2
x
1 tan
x
lim
x0
tan x x x2 tan x
tan
x
tan x x
x lim x0
x3
洛 lim sec2 x 1 lim tan2 x tan x x lim x2 1
六、(本题满分6分)
试证：当 x 0 时， x2 1 ln x x 12 .
七、(本题满分6分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口
见图，已知井深 30m30m,抓斗自重 400N , 缆绳每米重 50N ，抓斗抓 起的污泥重 2000N ，提升速度为 3m / s ,在提升过程中，污泥以 20N / s
(1)
lim
x0
1 x2
x
1 tan
x
d
(2)
x sin(x t)2dt
dx 0
(3) y " 4 y e2x 的通解为 y
(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的 n 个特征值是
(5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件：
1999考研数三真题及解析
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 (本题共5小题，每小题 3分，满分 15分。
把答案填在题中横线上。
)(1) 设 f (x)有一个原函数 sinx ，则 xf (x)dxx 2n 1nn1(2)n 121 0 1(3) 设 A 02 0 ，而 n 2 为整数，则 A n 2A n 11 0 1(4) 在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2N(a,0.22) .若以 X n 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使 P X n a 0.1 0.95 ，n 的最小值应不小于自然数二、选择题 (本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1) 设 f (x)是连续函数， F(x)是 f (x) 的原函数，则 ( )(A) 当 f (x) 是奇函数时， F ( x)必是偶函数。
(B) 当 f (x) 是偶函数时， F(x) 必是奇函数。
(C) 当 f (x) 是周期函数时， F ( x)必是周期函数。
(D) 当 f (x) 是单调增函数时， F ( x)必是单调增函数。
(2) 设 f(x,y)连续，且 f (x,y) xy f (u,v)dudv ，其中 D 是由 y 0,y x 2,x 1所 D围成的区域，则 f(x,y)等于 ( )(5) 设随机变量 X ij i, j1,2,L ,n;n 2 独立同分布，EX ij 2，则行列式X 11X 12 LX 1nX 21 M X n1X 22 L M X n2 LX 2nX nn的数学期望 EY1 (A) xy (B) 2xy (C) xy (D) xy 18(3) 设向量 可由向量组 1, 2,L , m 线性表示，但不能由向量组 (Ⅰ)1, 2,L , m 1线性 表示，记向量组 (Ⅱ) 1, 2,L , m1 ，则 ( )(A) m不能由 (I) 线性表示，也不能由 (Ⅱ) 线性表示。