三明市2015届高三5月质检理科数学试题含答案

2015年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合(){}|10A x x x x =-<∈R ，，{}|22B x x x =-<<∈R ，，那么AB 等于A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2．已知样本M 的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本M 的数据分别加上4后得到样本N 的数据，那么两样本M ，N 的数字特征对应相同的是A ．平均数B ．众数C ．标准差D ．中位数3．已知函数22()log (1)log (1)f x x x =+--，则()f x 是 A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 4．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为A ．1041-B ．102(21)- C ．101(41)3- D ．101(21)3-5．设平面α与平面β相交于直线m ，直线1l 在平面α内，直线2l 在平面β内， 且2l ⊥m ，则“1l ⊥2l ”是“α⊥β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知三棱锥的底面是边长为a 的正三角形，其正视图与俯视图如图所示， 若侧视图的面积为34，三棱锥的体积为14，则a 的值为 A ．34 B ．32 C ．34D ．17．已知R a ∈，那么函数()cos f x a ax =的图象不可能是8．已知函数21 1<0,()(1)1,0,x x f x f x x ⎧-+-≤=⎨-+>⎩，将函数()()1g x f x x =--的零点按从小Oyx-112ππO yx-112ππO yx -112ππO y x -112ππ到大的顺序排列，构成数列{}n a ，则该数列的通项公式为 A ．1n a n =- B ．n a n=C ．(1)n a n n =-D ．a n ＝2n－2 9．已知区域11,(,)|11x x y y ⎧⎫-≤≤⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬-≤≤⎪⎩⎪⎭⎩，区域||1{(,)|0e ,[1,1]}2x A x y y x -=≤≤∈-，在Ω内随机投掷一点M ，则点M 落在区域A 内的概率是A ．11(1)2e - B ．11(1)4e - C ．1e D ．11e-10．若曲线()y f x =在点11(,)A x y 处切线的斜率为A k ，曲线()y g x =在点22(,)B x y 处切线的斜率为Bk （12x x ≠），将||||A B k k AB -的值称为这两曲线在A ，B 间的“异线曲度”，记作(,)A B ϕ．现给出以下四个命题：①已知曲线3()f x x =，2()1g x x =-，且(1,1),(2,3)A B ，则(,)2A B ϕ>； ②存在两个函数()y f x =，()y g x =，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；③已知抛物线2()1f x x =+，2()g x x =，若120x x >>，则(,)5A B ϕ<； ④对于曲线()e x f x =，()exg x -=，当121x x -=时，若存在实数t ，使得(,)1t A B ϕ⋅>恒成立，则t 的取值范围是[1,)+∞．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．二项式10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a ＝_____．12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了500名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是380，则身高在170cm 以下的频率为＿＿＿＿＿． 13．若命题“2[1,2],20x x ax a ∃∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．14．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．15．如图，三条平行直线12,,l l l 把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l 到12,l l 的距离相等．点O 在直线l 上，点A B ,在直线1l 上，P 为平 面区域内的点，且满足1212(,)OP OA OB λλλλ=+∈R ． 若P 所在的区域为④,则12λλ+的取值范围是是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知集合}{1,1,2,3A =-，从A 中随机抽取两个不同的元素a b ,，作为复数i z a b =+(i 为虚数单位)的实部和虚部．（Ⅰ）求复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率； （Ⅱ）设2||z ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ.开始S ＝0T ＝0输入x x ≥170?S =S +1T =T +1T ≥500？输出S 结束否是否是17．如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将ACD 沿矩形的对角线AC 翻折， 得到如图2所示的几何体D ABC -，使得BD 3 (Ⅰ) 求证：AD BC ⊥；(Ⅱ) 若在CD 上存在点P ，使得12P ABC D ABC V V --=， 求二面角P AB C --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知点3(,)2P c c 在以(,0)F c 为右焦点的椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>上，斜率为1的直线m 过点F 与椭圆Γ交于A B ,两点，且与直线:4l x c =交于点M ．(Ⅰ) 求椭圆Γ的离心率e ；(Ⅱ) 试判断直线PA ，PM ，PB 的斜率是否成等差数列？若成等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．19．（本小题满分13分）如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD =，C 是AB 的中点，π3BCD ∠=，设 BAD θ∠=，且ππ(,)93θ∈．(Ⅰ) 若π4θ=，求AB 的长； (Ⅱ) 求BD 的长()f θ，并求()f θ的最小值；(Ⅲ) 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与θ有关，且需求量()g θ的函数关系式为()4sin 66g θθθ=+（单位：万件），试探究是否存在某种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．AB CDPDCBA图1 图2θDC A20．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++()a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x x y ≥⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）将函数()y f x =的导函数．．．的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数()y g x = 的图象，试证明：当12a =时，[()]()22n n ng x g x -≥- ()n +∈N ．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）矩阵与变换已知矩阵 10 a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0,0a b >>）． ①当2,3a b ==时，求矩阵M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量； ②当a b =时，曲线22:1C x y -=在矩阵M 的对应变换作用下得到 曲线C '：2210x xy --=，求a 的值．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为3,5415x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若(,)P x y 是直线l 与曲线C 的内部的公共点，求x y -的取值范围．（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知不等式|2|1x -≤的解集与不等式220x ax b -+≤的解集相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x =的最大值及取得最大值时x 的值．2015年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题：1—5 BCACB 6—10 DDABC 二、填空题：11．12-； 12．0.24； 13．1(,)3-+∞； 14； 15．(,1)-∞-； 三．解答题：16．解：（Ⅰ）从集合A 中随机抽取两个不同的元素a b ,，组成复平面内的对应点有2412A =种，其中位于第一象限的点有236A =种，所以所求的概率为12. ……………………6分 （Ⅱ）222=z a b ξ=+, =2,5,10,13ξ． ……………………7分1(2)6P ξ==,1(5)3P ξ==，1(10)3P ξ==，1(13)6P ξ==．ξ 2 5 10 13P 16 13 13 16……………………11分∴11111525101363362E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分17．解：（Ⅰ）当3BD =时，1AD =，2AB =，∴AD BD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面BCD ，而BC ⊂平面BCD ， ∴AD BC ⊥． ……………………5分 （Ⅱ）如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所 在直线为y 轴，建立空间直角坐标系， 由（Ⅰ）知AD BC ⊥，又AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面ABD ，∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABD ⊥平面ABC ，过D 作DH AB ⊥，则DH z ∥轴， ……………………7分 在Rt ABD 中，1AD =，2AB =，可得13,22AH BH ==． 故33(0,,)2D ，∵12P ABC D ABC V V --=，∴P 为DC 中点，∴133(,,)24P ．设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ∴(,,)(0,2,0)0,133(,,)(,,)0,24x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,130,2y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩……………9分 取2z =-，则(3,0,2)=-n ，又平面ABC 的法向量为(0,0,1)=m ， ………11分 则cos ,m n ＝||||⋅⋅m n m n ＝27．故二面角P AB C --的余弦值为27． ……………………13分 18．解：（Ⅰ）因为点3(,)2P c c 在椭圆2222:1x y a b Γ+=上，所以2222914c c a b +=.整理得，422441740a a c c -+=，即4241740e e -+=，解得12e =或2e = (舍)，所以离心率12e =. ……………………5分 （Ⅱ）直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下： 由(Ⅰ）知，2,a c b ==，∴椭圆222:3412E x y c +=直线m 的方程为y x c =-．代入椭圆方程并整理，得227880x cx c --=. ……………………6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有2121288,77c c x x x x +=⋅=-. ……………………8分 可知M 的坐标为(4,3)c c ．所以1213123322y c y c k k x c x c --+=+--212122121272()521()x x c x x c x x c x x c -++==-++ 232(3)2214c c k c c-==-， ……………………12分∴1322k k k +=.故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列． ……………………13分 19．解法一：（Ⅰ）在ACD ∆中，已知=6AD ，2π3ACD ∠=，π3ADC θ∠=-，由正弦定理得：π2πsin()sin 33AC ADθ==-，故πsin()3AC θ=-. ……………………2分 当π4θ=时, ππsin()34AC =-＝ππππcos cos sin )3434⋅-⋅4==故AB的长为 ……………………4分（Ⅱ）在ABD ∆中，已知=6AD ，π3sin()3AB θ-，BAD θ∠=，由余弦定理得：2222cos BD AD AB AD AB θ=+-⋅⋅ ……………………5分 2ππ363sin()]243sin()cos 33θθθ=+--⨯-2ππ3696[2sin()3sin()cos ]33θθθ=+--2π13696[1cos(2)sin )cos ]32θθθθ=+---1133696[cos22cos22]424θθθθ=++-113696(cos22)44θθ=+--π6048sin(2)6θ=-+……………………7分因为ππ(,)93θ∈，所以π7π5π2(,)6186θ+∈，即sin(2)16πθ+≤BD ∴≥则BD 的最小值为πsin(2)6θ+=1，即π=6θ. ……………………9分 (用其它方法求出BD 的表达式及最小值酌情给分) （Ⅲ）设x =6θ,2π(,2π)3x ∈,令()4sin h x x x =+, 2π(,2π)3x ∈, 问题转化为在2π(,2π)3是否存在x 的值，使是()0h x =, ……………………10分 ①当(4,2π)x ∈时, |sin x |≤1，必有()4sin 0h x x x =+>；②当2π(,4]3x ∈时, '()4cos 1h x x =+，因为2π4π433x <≤<，所以11cos 2x -≤<-， 从而'()4cos 10h x x =+<,在2π4π(,)33x ∈恒成立，()h x 在区间2π4π(,)33递减，于是4π4π4π()(4)()4sin 40333h x h h ≥>=+>->综上，在 2π(,2π)3,()0h x >恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零. ……………………13分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）设x =6θ,2π(,2π)3x ∈，令()4sin h x x x =+, 2π(,2π)3x ∈, 问题转化为在2π(,2π)3是否存在x 的值，使得使是()0h x =, ………………10分 '()4cos 1h x x =+,令'()0h x =，得1cos 4x =-,∵2π(,2π)3x ∈,故存在12π(,π)3x ∈,23π(π)2x ∈，,使得121cos cos 4x x ==-,易知()h x 在12π(,)3x 单调递，在(12)x x ，递减，在2(,2)x π递增， 故在2π(,2π)3,22π()max{(),()}3h x h h x ≥,∵2π2π()033h =>,注意到23π(π)2x ∈，,且211cos 42x =->- ,∴4π3π32x <<,2sin x =．这样22224π()4sin 4()043h x x x x =+=⨯-+>>．……………12分 综上：在 2(,2)3ππ,()0h x >恒成立，故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零． ……………………13分20．解法一：（Ⅰ）当2a =时，2()2ln(1)f x x x =++(1)x >-，21(21)()4011x f x x x x +'=+=≥++，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞.……………………3分（Ⅱ）因函数()f x 图象上的点都在0,0x x y ≥⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域内，则当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，、 设2()ln(1)g x ax x x =++-(0x ≥)，只需max ()0g x ≤即可．由1()211g x ax x '=+-+[2(21)]1x ax a x +-=+， …………………4分 (ⅰ) 当0a =时， ()1xg x x -'=+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立． ……………………5分(ⅱ) 当0a >时，由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，因[0,)x ∈+∞，所以112x a=-，① 若1102a -<，即12a >时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()g x 在[0,)+∞上无最大值， 当x →+∞时，()g x →+∞，此时不满足条件；② 若1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a-上单调递减，在区间1(1,)2a-+∞上单调递增，同样()g x 在[0,)+∞上无最大值， 当x →+∞时，()g x →+∞，不满足条件． ……………………7分(ⅲ) 当0a <时，由[2(21)]()1x ax a g x x +-'=+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减， 故()(0)0g x g ≤=成立．……………………8分 综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞．……………………9分（Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x=-++， 当12a =时，1g()(0)x x x x =+> …………………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x +-+()()112212111111n n n n n nn n n n n n nx C x C x C x C x x x x x x ----=+⋅+⋅++⋅+-+()122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++.令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++，则T 122412n n n nn n n n C x C x C x -----=+++122412n nn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>，∴2T 122244144n n n n n n n nn n C x x C x x C x x -------=++++++()()()≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅1212n n n n C C C -=+++()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--() 222n =-().∴22n T ≥-，即[()]()22n n n g x g x -≥-. ……………………14分 解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x=-++， 当12a =时，1g()(0)x x x x =+>， …………………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x+-+()() 设11()()()n n n h x x x x x=+-+，当1n =时，结论成立； 当2n ≥时，112111()()(1)()n n n n h x n x nx x x x --+'=+---21221[(1)(1)(1)]n n n n x x x x -+=+---∵当1x ≠时，22222111n n x x xx --+++=- ∴222221(1)(1)n n x x x x --=-+++，当1x =时，上式显然成立.∴2212221(1)()[(1)(1)]n n n n x h x x x x x--+-'=+-+++ 2124226221111(1)[(1)(1)(1)]n n n n n n n n x C x C x C x x ------+-=-+-++- 当(0,1)x ∈时，()0h x '≤；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '≥ ∴()(1)22nh x h ≥=-∴[()]()22n n ng x g x -≥-，()n N *∈. ……………………14分解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x=-++， 当12a =时，1g()(0)x x x x=+> …………………10分∴[()]()nng x g x -=11n n n x x x x+-+()() 以下用数学归纳法证明不等式[()]()22nnng x g x -≥-. ①当1n =时，左边110x x x x=+-+=()()，右边1220=-=，不等式成立； ② 假设当n k =k +∈N ()时，不等式成立，即11k k k x x x x+-+()()22k ≥-， 则11111k k k x x x x++++-+()()11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++=++-++++-+()[()()]()()()111k k k x x x x xx =++-++()[()()]111k k x x --+()()22k ≥⋅-+122k +=-. 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n +∈N ，[()]()22n n n g x g x -≥-都成立. ………………14分21．（1）解：（Ⅰ） 2 10 3M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令 2 -1() 0 -3f λλλ-=＝(-2)(-3)λλ＝0， 得2λ=或3λ=，当2λ=时，由112 120 3ξξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当3λ=时，由222 130 3ξξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以对应特征值为2的一个特征向量是110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对应特征值为3的一个特征向量是211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ……………………4分（Ⅱ）设曲线C 上的点(,)P x y 在矩阵M 的作用下变成(,)P x y '''，则10 a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,,x ax y y ay '=+⎧⎨'=⎩将变换公式代入曲线C '：2210x xy --=可得， 2()2()10ax y ax y y +-+-=，即22210a x y --=，即为曲线:C 221x y -=，∴21a =，又0a >，∴1a =． ……………………7分（2）解法一：（Ⅰ）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，∴222x y y +=，即22(1)1x y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y +-=． ……………………4分 （Ⅱ）法一：∵341(1)1555x y t t t -=-+=--，而11t -<<， ∴111555t -<-<，∴6141555t -<--<-， 即x y -的范围是64(,)55--． ……………………7分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）联立2241,3(1)1,y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩解得113,59,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或223,51.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴x y -的范围是64(,)55--． ……………………7分 （3）解：（Ⅰ）不等式|2|1x -≤的解集为{}|13x x ≤≤，所以方程220x ax b -+=的两根为1,3x x ==.∴13,213,2a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩ 解得8,6a b ==. ……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()f x =， 定义域为5|34x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.所以22222(46]++≥.则()f x ≤，当且仅当4213x =时取等号. 故当4213x =时，()f x的最大值为 …………………7分。