1.2.2 空间中的平行关系(1)

1.2.2 空间中的平行关系
问题：
在平面中，平行关系有哪些性质呢？
1.过直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行 2.如果两条直线都与第三条直线平 行，那么这两条直线也互相平行 （传递性）
一. 平行直线
公理4：平行于同一条直线的两条 直线互相平行
公理4的符号表述为：
a//b，b//c a//c.
3．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中
D1 A1 D
C1
B1 C B
1.与直线AB平行的平面是＿＿＿＿＿＿． 2. 和直线AA1平行的平面是＿＿＿＿＿． 3.与直线AD平行的平面是＿＿＿＿＿＿．
A
4.
长方体ABCD －A1 B1C1 D1中，点P BB （异于 B、B1） 1 PA BA1 M , PC BC 1 N , 求证：MN // 平面ABCD
A A1
D1
C1
B1 P M D N C
B
A1 B PA M 面ACP 面A1C1 B MN PC BC 1 N
AC // MN
MN 面ABCD AC 面ABCD
MN // 面ABCD
B
A
E
F D C
所以EF//平面BCD.
3.直线和平面平行的性质定理 （1）文字语言：如果一条直线和一个平 面平行，经过这条直线的平面和这个平 面相交，那么这条直线就和交线平行.
a
（2）图形语言：

a//α （3） 符号语言： a β α∩β=b
b
a//b
已知：l //α，l
β，α∩β=m，
A
B
PM PN AC // MN MA NC
CC 1 AA1
MN 面ABCD AC 面ABCD
MN // 面ABCD
证明2:
连结AC、A1C1 长方体中A1 A//C1C A1C1 // AC AC 面A1C1 A1C1 面A1C1
AC // 面A1C1 B AC 面ACP
l


m'
P
m
由平行公理可知，m与m’重合. 所以m α.
例4．如图，正方体 ABCD ABC D中，E为 DD的中 点，试判断 BD与平面 AEC的位置关系，并说明理由． 证明：连结BD交AC于点O, 连结OE, 在 DB D中，E，O分别是 DD, BD 的中点．

l m
求证：l //m. 证明：因为l //α，所以
l与α没有公共点，
又因为m在α内，所以l与m也没有公共点. 因为l和m都在平面β内，且没有公共点， 所以l //m. 这条定理，由“线面平行”去判断“线线平 行”
例3. 求证：如果过一个平面内一点的直线 平行于与该平面平行的一条直线，则这条 直线在这个平面内。 已知：l //α，点P∈α，P∈m，m // l， 求证：m α. 证明：设l与P确定的平面为β， 且α∩β=m’， 则l //m’，又知l //m， m∩m’=P，
E H D F G C
顺次连结不共面的四 点所构成的图形，叫 做空间四边形
B
二. 直线与平面平行
1.定义：
文字语言：直线a与平面α没有公共点， 叫做直线与平面平行. 图形语言：
符号语言：a // α
2.直线与平面平行的判定定理： 如果不在一个平面内的一条直线和平面 内的一条直线平行，那么这条直线和这个 平面平行. 线线平行 线面平行
运用定理的关键是 找平行线 找平行线又经常会用到相似比、三角形中 位线定理.
例2. 已知空间四边形ABCD中，E，F分别 是AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD. 证明：连接BD，在△ABD中， 因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF // BD， 又因为BD 平面BCD，
EF 平面BCD，
EO // BD
D
A
E
D
B
C
C
EO 平面ACE BD // 平面AEC BD 平面ACE
A
O
B
本节课你学到了什么？
1.以下命题（其中a，b表示直线，表示 平面） ①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b 其中正确命题的个数是（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （ D ） 3个
D1 C1
问题的关键是证明MN//AC, 在⊿PAC中，证明 PM:MA=PN:NC.
A1
B1 P M D N C
A
B
证法1 A 利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
1
D1
C1
B1 P M D N C
PM PB PBM∽ AA1 M MA AA1 PN PB PBN ∽CC 1 N NC CC 1
平移思想 如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 已知：如图所示，∠BAC和 ∠B1A1C1的边AB//A1B1， AC//A1C1，且射线AB与A1B1 同向，射线AC与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1.
等角定理：
例1.已知：如图，空间四边形ABCD中， E，F，G，H分别是边AB，BC，CD， DA的中点，求证：四边形EFGH是平行 四边形。 A
练习：
2.判断下列命题是否正确，若正确，请简述 理由，若不正确，请给出反例. (1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行 于经过b的任何平面；( ) （2）如果直线a、b和平面α 满足a∥α, b∥α,那么a∥b ;( )
(3)如果直线a、b和平面α 满足a∥b, a∥α, b α, 那么 b∥α;( ) (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只 有一条.( )
已知 l α，m α，l // m，
求证：l //α.
从正面思考这个问题， P 有一定的难度，不妨从 反面想一想。 如果一条直线l和平面α相交，则l和α一 定有公共点，可设l∩α=P。


再设l与m确定的平面为β，则依Байду номын сангаас平面 基本性质3，点P一定在平面α与平面β的 交线m上。 于是l和m相交，这和l // m矛盾。 所以可以断定l与α不可能有公共点。 即l // α.