浙江省宁波市余姚中学高二数学上学期期中试卷(含解析)
浙江省余姚中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题
2018学年度余姚中学高二数学期中考试试卷第一学期命题老师：龚凤 审题老师：朱丽君一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆22132x y +=与轴交于、两点，为椭圆上一动点（不与、重合），则PA PB k k ⋅=（ ▲ ） A.32 B.32- C.23 D.23- 2. 下列命题一定正确的是（ ▲ ）A. 三点确定一个平面B. 依次首尾相接的四条线段必共面C. 直线与直线外一点确定一个平面D. 两条直线确定一个平面 3. 边长为（ ▲ ）A.4B. 1C.D. 8 4. 已知,a b 都是实数，那么“0a b >>”是“22a b >”的（ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ▲ ） A.()1,2 B.()2,3 C.(),1-∞ D.()3,+∞6. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ▲ ） A. //,,//m m n m n βααβ⊂=⇒ B. ,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥C. ,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D. //,//m n m n αα⊂⇒ 7. 一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ．其中正确的个数为（ ▲ ）个A.1B.2C.3D.48. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD N B ==，G 为线段MC 的中点．则下列结论中不正确的是（ ▲ ）A.MC AN ⊥B.//GB 平面AMNC.平面CMN ⊥平面AMND.平面//DCM 平面ABN9. 已知,,A B C 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ▲ ）A.2 B. C. D. 510. 在正方体1111ABCD A BC D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点,M N 分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ▲ ） A. 若15θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 B. 若30θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 C. 若45θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 D. 若60θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知原命题为“若01x <<，则21x <”,写出它的逆否命题形式：___▲___；它是___▲___.(填写”真命题”或”假命题”) ． 12. 某几何体的三视图如右图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于___▲___；表面积等于___▲___.13. 已知椭圆C ：2212x y +=，则其长轴长为___▲___；若为椭圆C 的右焦点，为上顶点，为椭圆C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值___▲___.14. 已知椭圆C :22149x y +=与动直线3:2l y x m =+相交于,A B 两点,则实数的取值范围为___▲___；设弦AB 的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为___▲___.15. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，，二面角S AC B --的余弦值是___▲___. 16. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点.关于原点的对称点为，为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为___▲___. 17. 已知0a >，b R ∈，若对任意的0x >，关于的不等式2(1)(4)0ax x bx -+-≥恒成立，则2b a+的最小值是___▲___.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知条件：实数满足使对数22log (275)t t -+-有意义；条件：实数满足不等式2(3)20t a t a -+++<.（1）若命题p ⌝为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ,90ABC BCD ∠=∠=︒,12PA PD DC CB AB ====,是线段PB 的中点. （1）求证： //EC 平面APD ；（2）求PB 与平面ABCD 所成的角的正切值； （3）求二面角P AB D --的余弦值.20. 设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，以12,F F. （1）求椭圆方程；（2）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于,A C 两点，2l 与椭圆交于,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21. 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥2AB BC CA AP ====，G 是ABC ∆重心，是线段PC 上一点，且CE CP λ=.（1）当//EG 平面PAB 时，求λ的值； （2）当直线CP 与平面ABE所成角的正弦值为7时，求λ的值.22. 如图，已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的离心)P是椭圆上一点。
2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知椭圆x23+y22=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A. 32B. −32C. 23D. −232.下列命题一定正确的是（）A. 三点确定一个平面B. 依次首尾相接的四条线段必共面C. 直线与直线外一点确定一个平面D. 两条直线确定一个平面3.边长为22的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A. 24B. 1C. 22D. 84.设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知方程(m−1)x2+(3−m)y2=(m−1)(3−m)表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )A. (1,2)B. (2,3)C. (−∞,1)D. (3,+∞)6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A. m//β，m⊂α，α∩β=n⇒m//nB. α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC. α⊥β，m⊥α，n//β⇒m⊥nD. m//α，n⊂α⇒m//n7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ①③8.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A. MC⊥ANB. GB//平面AMNC. 面CMN⊥面AMND. 面DCM//面ABN9.已知A，B，C是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A. 22B. 53C. 74D. 11510.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q为对角面A1BCD1内一动点，点M、N分别在直线AD和AC上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（）A. 若θ=15∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分B. 若θ=30∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分C. 若θ=45∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分D. 若θ=60∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式______，它是______（填写”真命题”或”假命题”）．12.某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于______；表面积等于______．13.已知椭圆C的方程为x22+y2=1，则其长轴长为______；若F为C的右焦点，B为C 的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为______．14.已知椭圆C：x24+y29=1与动直线l：y=32x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为______；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为______．15.在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是33，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是______．16.已知椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[π12，π4]，则椭圆离心率的范围是______．17.已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax-1）（x2+bx-4）≥0恒成立，则b+2a的最小值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知：条件p ：实数t 满足使对数log 2（-2t 2+7t -5）有意义；条件q ：实数t 满足不等式t 2-（a +3）t +a +2＜0（1）若命题￢p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90°，PA =PD =DC =CB =12AB ，E 是PB 的中点，（Ⅰ）求证：EC ∥平面APD ；（Ⅱ）求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）求二面角P -AB -D 的余弦值．20. 设椭圆方程x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），F 1，F 2是椭圆的左右焦点，以F 1，F 2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为 3的正三角形． （I ）求椭圆方程；（II ）过F 1，F 2分别作直线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，设l 1与椭圆交于A ，C 两点，l 2与椭圆交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．21.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为427时，求λ的值．22.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，P（2，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（2，1）作圆C：（x-2）2+y2=r2（0≤r≤12）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意，本题是选择题，选项是常数，所以，选取P为上顶点（0，），则A（-，0），B（，0），所以k PA•k PB==-．故选：D．选取P为上顶点，然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，选择题的解法的应用，可以直接求解，间接求解快速得到结果．2.【答案】C【解析】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．故选：C．根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了确定平面的条件与应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：边长为的正方形，面积为=8，水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为2：1，所以这个正方形直观图的面积为：=2．故选：C．根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积比是常数，求解即可．本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积比问题，牢记结论能够提高解题速度．4.【答案】C【解析】解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=-2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：方程（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m），即，方程（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）表示焦点在y轴上的椭圆，可得m-1＞3-m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．将椭圆方程化为标准方程，由题意可得m-1＞3-m＞0，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，将椭圆方程化为标准方程是解题的关键，考查解不等式的能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；故选：A利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．7.【答案】D【解析】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，故选：D．将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．8.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD-A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD-A'NC'M中，二面角A-MN-C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD-A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C．由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：设椭圆的左焦点F1（-c，0），连接AF1，BF1，CF1，设|CF|=m，由对称性可知：|AF1|=|BF|=4m，由椭圆的定义可知：|AF|=2a-4m，|CF1|=2a-m由AF1∥BF，则AF1⊥AC，则△AF1C中，由|AF1|2+|AC|2=|CF|2，则16m2+（2a-3m）2=（2a-m）2，整理得：m=，在Rt△AF1F中，16m2+（2a-4m）2=（2c）2，将m=，代入解得椭圆的离心率e==，故选：B．利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率．本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：直线DQ与MN所成角的最小值即为直线DQ与平面ABCD的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D 为顶点，母线与轴DD1夹角为90°-θ的圆锥侧面，对角面A1BCD1与底面ABCD夹角为45°故当θ＞45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分当θ=45°，则点Q的轨迹为抛物线的一部分当0°＜θ＜45°，则点Q的轨迹为双曲线的一部分故选：D．直线DQ与MN所成角的最小值即为直线DQ与平面ABCD的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D为顶点，母线与轴DD1夹角为90°-θ的圆锥侧面，结合圆锥曲线的几何定义，可得答案．本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．11.【答案】若x2≥1，则x≤0或x≥1 假命题【解析】解：原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式“若x2≥1，则x≤0或x≥1”，是假命题，故答案为：若x2≥1，则x≤0或x≥1，假命题，直接写出它的逆否命题即可，再判断其真假．本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题38+3+712.【答案】43【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥E-ABCD，其中底面ABCD为边长为2的正方形，顶点E在底面的射影M为CD的中点，将底面放置到水平位置后，如图所示：由侧视图可知棱锥的高EM=，底面ABCD的面积为4，∴棱锥的体积为V=×4×=．侧面ECD的面积为：，侧面EBC和EAD的面积为2，侧面EAB的面积为：，∴棱锥的表面积S=故答案为：，作出直观图，根据三视图得出棱锥的结构特征，代入数据进行计算本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，难度中档．13.【答案】2232【解析】解：椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2a=2；若F为C的右焦点（1，0），B为C的上顶点（0，1），P为C上位于第一象限内的动点（cosα，sinα），则BF=，BF的方程为x+y=1，P到BF的距离为：=≤，其中tan，OBF的面积为：=，三角形BFP面积的最大值为：=，则四边形OBPF的面积的最大值为．故答案为：2；．利用椭圆方程真假求解椭圆的长轴长；求出BF的方程，设出P的坐标，利用顶点坐标的距离以及BF的距离，求出四边形OBPF的面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．14.【答案】（-3，3）y=3x，x∈[-3，3]【解析】解：由，得：18x2+12mx+4m2-36=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△=144m2-4×18（4m2-36）＞0，可得：-3＜m＜3．设弦AB的中点为M（x，y），可得：，可得：x=y．故答案为：（-3，3）；y=3x，x∈[-3，3]．直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．15.【答案】6π【解析】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2-AD2=22-12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×=2，满足SB2=SD2-BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．审题后，二面角S-AC-B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．16.【答案】[22，63]【解析】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围．本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．17.【答案】4【解析】解：根据题意，对于（ax-1）（x2+bx-4）≥0，设f（x）=ax-1，g（x）=x2+bx-4，对于f（x）=ax-1，a＞0，在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，又由不等式（ax-1）（x2+bx-4）≥0⇒或，对于g（x）=x2+bx-4，必有g（）=+-4=0，即b=4a-，则b+=（4a-）+=4a+，又由a＞0，则b+=4a+≥2=4，当且仅当a=时等号成立，即b+的最小值为4；故答案为：4．根据题意，f（x）=ax-1，g（x）=x2+bx-4，由一次函数的性质分析可得在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，进而分析g（）=+-4=0，变形可得b=4a-，据此可得b+=（4a-）+=4a+，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查不等式恒成立问题，注意分析a、b的关系，属于综合题．18.【答案】解：（1）条件p：实数t满足使对数log2（-2t2+7t-5）有意义，则-2t2+7t-5．＞0，解得1＜t＜52，+∞)．若命题￢p为真，∴p为假，∴t∈（-∞，1]∪[52（2）条件q：实数t满足不等式t2-（a+3）t+a+2＜0，化为（t-1）[x-（a+2）]＜0．（*）∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴必然a+2＞1，（*）化为：1＜x＜a+2．且5＜a+2．2．联立解得：a＞12∴实数a的取值范围是a＞1．2【解析】（1）条件p：实数t满足使对数log2（-2t2+7t-5）有意义，kd-2t2+7t-5＞0，解得t 范围，根据命题￢p为真，可得p为假，即可得出t的范围．（2）条件q：实数t满足不等式t2-（a+3）t+a+2＜0，化为（t-1）[x-（a+2）]＜0．根据命题p是命题q的充分不必要条件，可得必然a+2＞1，进而得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且EF=12AB，又∵DC∥AB，DC=12AB，∴EF−//DC，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴EC∥平面ADE．解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，DC=CB=12AB 设AB=2a，则BD=a，在△ABD中，∠DBA=45°，∴AD=a，PH= PD2−DH2= a2−12a2=22a．又∵BD2+AD2=4a2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，∴HB= DH2+DB2=12a2+2a2=102a，∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=PHHB =22a102=55，∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为55．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，HA=22a，又∠HAB=450∴HG=12a，在Rt△PHG中，tan∠PGH=PHHG =22a12a=2，∴二面角P-AB-D的余弦值大小为33．【解析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由此能求出二面角P-AB-D 的余弦值大小．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解（I ）由题设可得：a =2c bc = 3，∵a 2-b 2=c 2， ∴a 2=4，b 2=3，故椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，S =6当直线斜率存在时，设直线l i ：y =k （x +m ），代入椭圆方程得：（3+4k 2）x 2+8k 2mx +4k 2m 2-12=0， 则x 1+x 2=−−8k 2m 3+4k 2，x 1⋅x 2=4k 2m 2−123+4k 2；所以弦长= 1+k 2|x 1−x 2|= 1+k 2 (−8k 2m 3+4k 2)2−44k 2m 2−123+4k2=4 3 2 4k −k m +3(3+4k 2)2，设直线AC 的斜率为k ，不妨设k ＞0， 则|AC |=12(k 2+1)4k +3，|BD |=12(k 2+1)4+3k ，∴S ABCD =12⋅12(k 2+1)4k +3⋅12(k 2+1)4+3k =72(k 2+1)212+25k +12k =72(k 2+1)2k +12(k +1)=72k 222+12=721(k +1k )2+12∈[28849，6)综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[28849，6]． 【解析】（Ⅰ）根据题意，分析可得，计算可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD 面积，综合即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在．21.【答案】解：（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD ，∵AB =BC =AC ，G 是△ABC 重心， ∴G 是CD 的三等分点，且CG =23CD ，∵EG ∥平面PAB ，EG ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面PAB =PD ， ∴EG ∥PD ，∴CECP =CGCD =23，即λ=23．（2）以A 为坐标原点，以AC ，AP 为y 轴，z 轴作空间直角坐标系 A -xyz ，如图所示：则A （0，0，0），B （ 3，1，0），C （0，2，0）， P （0，0，2），E （0，2-2λ，2λ）， ∴CP =（0，-2，2），AB =（ 3，1，0），AE =（0，2-2λ，2λ），设平面ABE 的法向量为n =（x ，y ，z ），则n ⋅AB =0，n ⋅AE =0， ∴ 3x +y =0(2−2λ)y +2λz =0，令x =1可得，y =- 3，z = 3(1−λ)λ． ∴n=（1，- 3， 3(1−λ)λ），∴cos ＜n ，CP ＞=n ⋅CP |n ||CP |=2 3+2 3(1−λ)λ 4+3(1−λ)22⋅2 2= 32 7λ2−6λ+3， ∴当直线CP 与平面ABE 所成角的正弦值为 427时，32 7λ2−6λ+3= 427， ∴2 7λ2−6λ+3= 7，即28λ2-24λ+5=0．解得λ=12或λ=514． 【解析】（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD ，根据线面平行的性质可得EG ∥PD ，从而得出λ的值；（2）建立空间坐标系，求出平面ABE 的法向量，根据夹角公式得出λ的值． 本题考查了线面平行的性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，P （ 2，1）是椭圆E 上一点．∴ e =ca = 222a +1b =1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b = 2， ∴椭圆E 的方程为x 24+y 22=1．（2）由题意：切线PA ，PB 斜率相反，且不为0，令PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ．PA 的方程：y -1=k （x - 2），即y =kx +（1- 2k ），联立 y =kx +(1− 2k )x 24+y 22=1，∴（1+2k 2）x 2+4k （1- 2k ）x +2（1- 2k ）2-4=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有 2+x 1=-4k (1− 2k )1+2k 2，解得x 1=2 2k 2−4k− 21+2k 2，代入y =kx +（1- 2k ），得y 1=−2k2−22k +11+2k 2，同理x 2=2 2k 2+4k− 21+2k ，y 2=−2k2+22k +11+2k ，∴AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4 2k 8k= 22，故AB 的斜率为定值 22．【解析】（1）由椭圆离心率为，P （，1）是椭圆E 上一点．列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E 的方程．（2）令PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ．PA 的方程：y=kx+（1-），联立，得（1+2k 2）x 2+4k （1-）x+2（1-）2-4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理得x 1=，y 1=，同理，y 2=，由此能求出AB 的斜率为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查椭圆方程、切线、韦达定理、直线斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
浙江省余姚中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知椭圆=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A．B．﹣C．D．﹣2．下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面3．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A．B．1C．D．84．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB 与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．MC⊥AN B．GB∥平面AMNC．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN9．已知A，B，C是椭圆+=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q为对角面A1BCD1内一动点，点M、N分别在直线AD和AC上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（）A．若θ=15°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分B．若θ=30°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分C．若θ=45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分D．若θ=60°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式，它是（填写”真命题”或”假命题”）．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．13．（6分）已知椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为；若F为C的右焦点，B为C的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为．14．（6分）已知椭圆C：=1与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为．15．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．17．已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0恒成立，则b+的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知：条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义；条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0（1）若命题￢p为真，求实数t的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．20．（14分）设椭圆方程=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的左右焦点，以F1，F2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形．（I）求椭圆方程；（II）过F1，F2分别作直线l1，l2，且l1⊥l2，设l1与椭圆交于A，C两点，l2与椭圆交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2=r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知椭圆=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】选取P为上顶点，然后求解即可．【解答】解：由题意，本题是选择题，选项是常数，所以，选取P为上顶点（0，），则A（﹣，0），B（，0），所以k PA•k PB==﹣．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，选择题的解法的应用，可以直接求解，间接求解快速得到结果．2．下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面【分析】根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．故选：C．【点评】本题考查了确定平面的条件与应用问题，是基础题．3．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A．B．1C．D．8【分析】根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积比是常数，求解即可．【解答】解：边长为的正方形，面积为=8，水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为2：1，所以这个正方形直观图的面积为：=2．故选：C．【点评】本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积比问题，牢记结论能够提高解题速度．4．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．5．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）【分析】将椭圆方程化为标准方程，由题意可得m﹣1＞3﹣m＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m），即，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，将椭圆方程化为标准方程是解题的关键，考查解不等式的能力，属于基础题．6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；故选：A．【点评】本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB 与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③【分析】将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，故选：D．【点评】考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．MC⊥AN B．GB∥平面AMNC．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN【分析】由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C．【点评】本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．9．已知A，B，C是椭圆+=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率．【解答】解：设椭圆的左焦点F1（﹣c，0），连接AF1，BF1，CF1，设|CF|=m，由对称性可知：|AF1|=|BF|=4m，由椭圆的定义可知：|AF|=2a﹣4m，|CF1|=2a﹣m由AF1∥BF，则AF1⊥AC，则△AF1C中，由|AF1|2+|AC|2=|CF|2，则16m2+（2a﹣3m）2=（2a﹣m）2，整理得：m=，在Rt△AF1F中，16m2+（2a﹣4m）2=（2c）2，将m=，代入解得椭圆的离心率e==，故选：B ．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题．10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 为对角面A 1BCD 1内一动点，点M 、N 分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若θ=15°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分B ．若θ=30°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分C ．若θ=45°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分D ．若θ=60°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分【分析】直线DQ 与MN 所成角的最小值即为直线DQ 与平面ABCD 的夹角，则空间中所有满足直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ的点，构成一个以D 为顶点，母线与轴DD 1夹角为90°﹣θ的圆锥侧面，结合圆锥曲线的几何定义，可得答案． 【解答】解：直线DQ 与MN 所成角的最小值即为直线DQ 与平面ABCD 的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D为顶点，母线与轴DD1夹角为90°﹣θ的圆锥侧面，对角面A1BCD1与底面ABCD夹角为45°故当θ＞45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分当θ=45°，则点Q的轨迹为抛物线的一部分当0°＜θ＜45°，则点Q的轨迹为双曲线的一部分故选：D．【点评】本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式若x2≥1，则x≤0或x≥1，它是假命题（填写”真命题”或”假命题”）．【分析】直接写出它的逆否命题即可，再判断其真假．【解答】解：原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式“若x2≥1，则x ≤0或x≥1”，是假命题，故答案为：若x2≥1，则x≤0或x≥1，假命题，【点评】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题12．（6分）某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．【分析】作出直观图，根据三视图得出棱锥的结构特征，代入数据进行计算【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥E﹣ABCD，其中底面ABCD为边长为2的正方形，顶点E在底面的射影M为CD的中点，将底面放置到水平位置后，如图所示：由侧视图可知棱锥的高EM=，底面ABCD的面积为4，∴棱锥的体积为V=×4×=．侧面ECD的面积为：，侧面EBC和EAD的面积为2，侧面EAB的面积为：，∴棱锥的表面积S=故答案为：，【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，难度中档．13．（6分）已知椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2；若F为C的右焦点，B为C的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为．【分析】利用椭圆方程真假求解椭圆的长轴长；求出BF的方程，设出P的坐标，利用顶点坐标的距离以及BF的距离，求出四边形OBPF的面积的最大值．【解答】解：椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2a=2；若F为C的右焦点（1，0），B为C的上顶点（0，1），P为C上位于第一象限内的动点（cosα，sinα），则BF=，BF的方程为x+y=1，P到BF的距离为：=≤，其中tan，OBF的面积为：=，三角形BFP面积的最大值为：=，则四边形OBPF的面积的最大值为．故答案为：2；．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．14．（6分）已知椭圆C：=1与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为（﹣3，3）；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为y=3x，x∈[﹣3，3] ．【分析】直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．【解答】解：由，得：18x2+12mx+4m2﹣36=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△=144m2﹣4×18（4m2﹣36）＞0，可得：﹣3＜m＜3．设弦AB的中点为M（x，y），可得：，可得：x=y．故答案为：（﹣3，3）；y=3x，x∈[﹣3，3]．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．15．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．【点评】本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|A F′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．17．已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0恒成立，则b+的最小值是4．【分析】根据题意，f（x）=ax﹣1，g（x）=x2+bx﹣4，由一次函数的性质分析可得在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，进而分析g（）=+﹣4=0，变形可得b=4a﹣，据此可得b+=（4a﹣）+=4a+，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，对于（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0，设f（x）=ax﹣1，g（x）=x2+bx﹣4，对于f（x）=ax﹣1，a＞0，在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，又由不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0⇒或，对于g（x）=x2+bx﹣4，必有g（）=+﹣4=0，即b=4a﹣，则b+=（4a﹣）+=4a+，又由a＞0，则b+=4a+≥2=4，当且仅当a=时等号成立，即b+的最小值为4；故答案为：4．【点评】本题考查不等式恒成立问题，注意分析a、b的关系，属于综合题．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知：条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义；条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0（1）若命题￢p为真，求实数t的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义，kd﹣2t2+7t﹣5＞0，解得t范围，根据命题￢p为真，可得p为假，即可得出t的范围．（2）条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0，化为（t﹣1）[x﹣（a+2）]＜0．根据命题p是命题q的充分不必要条件，可得必然a+2＞1，进而得出．【解答】解：（1）条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义，则﹣2t2+7t﹣5＞0，解得1＜t＜．若命题￢p为真，∴p为假，∴t∈（﹣∞，1]∪．（2）条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0，化为（t﹣1）[x﹣（a+2）]＜0．（*）∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴必然a+2＞1，（*）化为：1＜x＜a+2．且＜a+2．联立解得：a．∴实数a的取值范围是a．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且，又∵，∴，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴EC∥平面ADE．解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，设AB=2a，则，在△ABD中，∠DBA=45°，∴，．又∵BD2+AD2=4a2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，∴，∴在Rt△PHB中，，∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由，又，在Rt△PHG中，，∴二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（14分）设椭圆方程=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的左右焦点，以F1，F2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形．（I）求椭圆方程；（II）过F1，F2分别作直线l1，l2，且l1⊥l2，设l1与椭圆交于A，C两点，l2与椭圆交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得，计算可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD面积，综合即可得答案．【解答】解（I）由题设可得：，∵a2﹣b2=c2，∴a2=4，b2=3，故椭圆方程为；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，S=6当直线斜率存在时，设直线l i：y=k（x+m），代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2mx+4k2m2﹣12=0，则；所以弦长==，设直线AC的斜率为k，不妨设k＞0，则，，∴=综上，四边形ABCD面积的取值范围是．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．【分析】（1）取AB的中点D，连结PD，CD，根据线面平行的性质可得EG∥PD，从而得出λ的值；（2）建立空间坐标系，求出平面ABE的法向量，根据夹角公式得出λ的值．【解答】解：（1）取AB的中点D，连结PD，CD，∵AB=BC=AC，G是△ABC重心，∴G是CD的三等分点，且CG=CD，∵EG∥平面PAB，EG⊂平面PCD，平面PCD∩平面PAB=PD，∴EG∥PD，∴，即λ=．（2）以A为坐标原点，以AC，AP为y轴，z轴作空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，2﹣2λ，2λ），∴=（0，﹣2，2），=（，1，0），=（0，2﹣2λ，2λ），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令x=1可得，y=﹣，z=．∴=（1，﹣，），∴cos＜，＞===，∴当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，=，∴2=，即28λ2﹣24λ+5=0．解得λ=或λ=．【点评】本题考查了线面平行的性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2=r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．【分析】（1）由椭圆离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E的方程．（2）令PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．PA的方程：y=kx+（1﹣），联立，得（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1=，y1=，同理，y2=，由此能求出AB的斜率为定值．【解答】解：（1）∵椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为=1．（2）由题意：切线PA，PB斜率相反，且不为0，令PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．PA的方程：y﹣1=k（x﹣），即y=kx+（1﹣），联立，∴（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有=﹣，解得x1=，代入y=kx+（1﹣），得y1=，同理，y2=，∴AB的斜率k AB===，故AB的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查椭圆方程、切线、韦达定理、直线斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°2．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+23b →−12c →3．已知向量a →、b →是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c →在直线l 上，则c →•a →=0，且c →•b →=0是l ⊥α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．155．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm6．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.88．过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形P ACB的面积的最小值为（）A．√6B．2√2C．3D．2√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知圆O 1：(x −1)2+y 2=4和圆O 2：x 2+(y −1)2=2的交点为A ，B ，则（ ） A ．两圆的圆心距|O 1O 2|＝2 B ．直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0C ．圆O 2上存在两点P 和Q 使得|PQ |＞|AB |D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2+√210．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a 表示黄色骰子朝上的点数，b 表示白色骰子朝上的点数，用（a ，b ）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，事件A ＝“关于x 的方程2x 2﹣2（a +b ）x +5（a +b ）＝0无实根”，事件B ＝“a ＝4”，事件C ＝“b ＜4”，事件D ＝“ab ＞20”则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与D 对立 C ．B 与C 相互独立D ．B 与D 相互独立11．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）A ．该平台女性主播占比的估计值为0.4B ．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C ．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D ．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.612．如图，棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 满足AM →=λAC 1→，CN →=μCD →，其中λ、μ∈（0，1），点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=13时，DM ∥平面CB 1D 1B ．当μ=12时，若B 1P ∥平面A 1NC 1，则|B 1P |的最大值为3√5C ．当λ=μ=12时，若PM ⊥D 1N ，则点P 的轨迹长度为12+6√5D ．过A 、M 、N 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．若直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行，则a ＝ ．14．点A （1，2，1），B （3，3，2），C （1，4，3），若D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，则点D 的坐标为 ．15．已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，其中e 是自然对数的底数．设直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点，若对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立，则a 的取值范围为 ．16．已知函数f(x)={xe x+e −e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0，点M ，N 是函数y ＝f （x ）图象上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan ∠MON 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值； （Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在[50，60）的平均成绩是51，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差s 2．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，P A ＝BC ＝3，AB＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．19．（12分）如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C和圆O：x2+y2＝1．过点A（m，0）（m＞1）作直线l1和l2，且两直线的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M、N，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=a(x+4)e x，其中a∈R且a≠0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），∵tan θ=√3，∴θ＝60°， 故选：B ．2．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+23b →−12c →解：由题意MN →=MA →+AB →+BN → =13OA →+OB →−OA →+12BC → =−23OA →+OB →+12OC →−12OB →=−23OA →+12OB →+12OC →又OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∴MN →=−23a →+12b →+12c →故选：B ．3．已知向量a →、b →是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c →在直线l 上，则c →•a →=0，且c →•b →=0是l ⊥α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：（1）由c →⋅a →=0，c →⋅b →=0得，c →⊥a →，c →⊥b →； ∵a →，b →所在直线不一定相交，c →所在直线为l ； ∴得不到l ⊥α；即c →⋅a →=0，且c →⋅b →=0不是l ⊥α的充分条件；（2）若l ⊥α，向量a →，b →所在直线在平面α内，c →在直线l 上；∴c →⊥a →，c →⊥b →；∴c →⋅a →=0，且c →⋅b →=0；即c →•a →=0，且c →•b →=是l ⊥α的必要条件； 综上得c →•a →=0，且c →•b →=是l ⊥α的必要不充分条件． 故选：B ．4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．15解：由题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有6×5＝30种结果， 若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5， 若第一张抽到的是5，共有5种抽法， 若第二张抽到的是5，共有5种抽法，故抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的共10种抽法， 所以所求概率为P =1030=13． 故选：A ．5．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．1.8cmB ．2.5cmC ．3.2cmD ．3.9cm解：如图所示：以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A(12，4)，B(−32，2)，直线AB ：y−42−4=x−12−32−12，整理为x −y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+1=7√24≈2.5．故选：B ．6．已知函数y ＝xf ′（x ）的图象如图所示（其中f ′（x ）是函数f （x ）的导函数），下面四个图象中，y ＝f （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由图象看出，﹣1＜x ＜0，和x ＞1时xf ′（x ）＞0；x ≤﹣1，和0≤x ≤1时xf ′（x ）≤0； ∴﹣1＜x ≤1时，f ′（x ）≤0；x ＞1，或x ≤﹣1时，f ′（x ）≥0； ∴f （x ）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增； ∴f （x ）的大致图象应是B ． 故选：B ．7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x=15（1+2+3+3+6）＝3方差为S2=15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选：C．8．过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形P ACB的面积的最小值为（）A．√6B．2√2C．3D．2√3解：圆C：x2+y2﹣2x＝0的圆心C（1，0），半径r＝1，由于AC⊥P A，BC⊥PB，|P A|＝|PB|，可得四边形P ACB的面积为12r|P A|+12r|PB|＝r|P A|＝|P A|，又|P A|2＝|PC|2﹣r2＝|PC|2﹣1，要求四边形P ACB的面积的最小值，只需求|P A|的最小值，即求|PC|的最小值．而|PC|的最小值为C到直线3x+4y+12＝0的距离d．由点到直线的距离公式可得d=|3+0+12|√9+16=3，所以|P A|的最小值为√32−1=2√2，则四边形P ACB的面积的最小值为2√2．故选：B．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知圆O1：(x−1)2+y2=4和圆O2：x2+(y−1)2=2的交点为A，B，则（）A．两圆的圆心距|O1O2|＝2B．直线AB的方程为x﹣y+1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2解：圆O1的圆心坐标为（1，0），圆O2的圆心坐标（0，1），对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距|O1O2|=√(1−0)2+(0−1)2=√2，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得﹣2x+2y﹣2＝0，即得公共弦AB的方程为x﹣y+1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心坐标（0，1），所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB 长的弦，故C错误；=√2，对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x﹣y+1＝0的距离为√2故圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2，故D正确．故选：BD．10．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝上的点数，用（a，b）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，事件A＝“关于x的方程2x2﹣2（a+b）x+5（a+b）＝0无实根”，事件B＝“a＝4”，事件C＝“b＜4”，事件D＝“ab＞20”则（）A．A与B互斥B．A与D对立C．B与C相互独立D．B与D相互独立解：根据题意，Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个基本事件；事件A＝“关于x的方程2x2﹣2（a+b）x+5（a+b）＝0无实根”，则Δ＝4（a+b）2﹣40（a+b）＜0，必有0＜a+b＜10，则事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3）}，共30个基本事件；事件B＝{（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）}，共6个基本事件；事件C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3）}，共18个基本事件；事件D＝“ab＞20”，D＝{（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6）}，共6个基本事件；分析选项：对于A，A与B可能同时发生，A、B不是互斥事件，A错误；对于B，A与D对立，B正确；对于C，事件BC＝{（4，1），（4，2），（4，3）}，有3个基本事件，则P（BC）=336=112，而P（B）=636=16，P（C）=1836=12，有P（B）P（C）＝P（BC），则B与C相互独立，C正确；对于D，事件BD＝{（4，6）}，有1个基本事件，则P（BD）=1 36，P（B）=636=16，P（D）=636=16，有P（B）P（D）＝P（BD），则B与D相互独立，D正确．故选：BCD．11．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A．该平台女性主播占比的估计值为0.4B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6解：该平台女性主播占比的估计值为60%×40%+30%×30%+10%×70%＝0.4，A 选项正确； 随机抽取一位主播是中年男性的概率为30%×70%＝0.21，B 选项错误；用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取20×30%＝6名，C 选项正确；随机选取一位做为幸运主播，设该幸运主播是青年人为事件A ，该幸运主播是女性为事件B ，则P(B|A)=P(AB)P(A)=60%×40%60%=0.4，D 选项错误； 故选：AC ．12．如图，棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 满足AM →=λAC 1→，CN →=μCD →，其中λ、μ∈（0，1），点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=13时，DM ∥平面CB 1D 1B ．当μ=12时，若B 1P ∥平面A 1NC 1，则|B 1P |的最大值为3√5C ．当λ=μ=12时，若PM ⊥D 1N ，则点P 的轨迹长度为12+6√5D ．过A 、M 、N 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1（0，0，0）、B 1（6，6，0）、C （0，6，6）、A （6，0，6）、D （0，0，6）、C 1（0，6，0），当λ=13时，DM →=AM →−AD →=13AC 1→−AD →=13(−6，6，−6)−(−6，0，0)=(4，2，−2)，设平面CB 1D 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，因为D 1B 1→=(6，6，0)，D 1C →=(0，6，6)，所以{m →⋅D 1B 1→=6x 1+6y 1=0m →⋅D 1C →=6y 1+6z 1=0，不妨取y 1＝﹣1，可得m →=(1，−1，1)，所以m →⋅DM →=4−2−2=0，则m →⊥DM →， 因为DM ⊄平面CB 1D 1，故当λ=13时，DM ||平面CB 1D 1，A 对；当μ=12时，N 为CD 中点，分别取AB 、BC 中点G 、H ，连接B 1G 、GH 、B 1H 、A 1C 1、GN ，因为G 、H 分别为AB 、BC 的中点，所以GH ||AC ，又因为AA 1||CC 1且AA 1＝CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ||A 1C 1， 因为GH ||AC ，所以GH ||A 1C 1，因为GH ⊄平面A 1NC 1，A 1C 1⊂平面A 1NC 1，所以GH ||平面A 1NC 1， 同理可得，B 1G ||平面A 1NC 1，因为B 1G ∩GH ＝G ，B 1G 、GH ⊂平面B 1GH ，所以平面B 1GH ||平面A 1NC 1，当点P 为△B 1GH 的边上一点（异于点B 1）时，则B 1P ⊂平面B 1GH ，则B 1P ||平面A 1NC 1， 故点P 的轨迹为△B 1GH 的边（除去点B 1）．因为|B 1G|=√BB 12+BG 2=√62+32=3√5，同理可得|B 1H|=3√5，结合图形可得|B 1P|max =|B 1G|=|B 1H|=3√5，B 正确；当λ=μ=12时，M 、N 分别为AC 1、CD 的中点，如图所示：此时点N （0，3，6）、M （3，3，3）、D 1（0，0，0），D 1N →=(0，3，6)，当点P 在平面AA 1D 1D 内运动时，设点P （x ，0，z ），其中0≤x ≤6，0≤z ≤6，则MP →=(x −3，−3，z −3)，因为D 1N ⊥MP ，则D 1N →⋅MP →=−9+6(z −3)=6z −27=0，解得z =92，设点P 的轨迹分别交棱AA 1、DD 1于点R 、Q ，则R(6，0，92)、Q(0，0，92)，当点P 在平面CC 1D 1D 内运动时，设点P （x ，0，z ），其中0≤y ≤6，0≤z ≤6，MP →=(−3，y −3，z −3)， 则D 1N →⋅MP →=3y −9+6(z −3)=3y +6z −27=0，设点P 的轨迹交棱CC 1于点F ，则F(0，6，32)，设点P 的轨迹交棱BB 1于点T ，因为平面AA 1D 1D ||平面BB 1C 1C ，平面RQFT ∩平面AA 1D 1D ＝RQ ，平面RQFT ∩平面BB 1C 1C ＝FT ， 所以RQ ||FT ，同理可得QF ||RT ，所以四边形RQFT 为平行四边形，且|FT |＝|RQ |＝6，|RT|=|FQ|=√02+62+(32−92)2=3√5，因此，点P 的轨迹的长度即为平行四边形RQFT 的周长2(6+3√5)=12+6√5，C 对； 设截面AMN 交棱A 1B 1于点U ，连接AU 、C 1U ，由题意，截面AMN 与平面AC 1N 重合，因为平面ABCD ||平面A 1B 1C 1D 1，平面ANC 1∩平面ABCD ＝AN ，平面ANC 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝C 1U ， 所以AN ||C 1U ，同理可得AU ||C 1U ，所以四边形AUC 1N 为平行四边形，易知N （0，6﹣6λ，6），其中0＜λ＜1，所以AN →=(−6，6−6λ，0)，C 1N →=(0，−6λ，6)， 所以AN →⋅C 1N →=−6λ(6−6λ)=36λ(λ−1)＜0，故AN 与C 1N 不可能垂直， 故平行四边形AUC 1N 不可能为矩形，即过A 、M 、N 三点的截面不可能是矩形，所以D 错．故选：ABC ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．若直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行，则a ＝ 1或﹣2 ． 解：因为直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行， 所以a （a +1）＝1×2，解得a ＝1或a ＝﹣2，检验：当a ＝1或a ＝﹣2时，两条直线均不重合，所以a ＝1或a ＝﹣2． 故答案为：1或﹣2．14．点A （1，2，1），B （3，3，2），C （1，4，3），若D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，则点D 的坐标为 (73，83，53) ．解：设D 的坐标为D （x ，y ，z ），则CD →=(x −1，y −4，z −3)， AB →=(2，1，1)，AD →=(x −1，y −2，z −1)， 因为D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，所以CD →⊥AB →，AD →∥AB →，即{2(x −1)+(y −4)+(z −3)=0x−12=y−21=z−11，解得：{x =73y =83z =53，所以点D 的坐标为(73，83，53)．故答案为：(73，83，53)．15．已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，其中e 是自然对数的底数．设直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点，若对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立，则a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，因为直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点， 所以f(x 1)=e x 1+1=t ，g(x 2)=lnx 2+1=t ， 所以x 1=lnt −1，x 2=e t−1， 此时x 2−x 1=e t−1−lnt +1，当t ＞0时，不妨设h （t ）＝e t ﹣1﹣lnt +1，可得ℎ′(t)=e t−1−1t，当0＜t ＜1时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减； 当t ＞1时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以当t ＝1时，函数h （t ）取得极小值也是最小值，最小值为h （1）＝2， 则对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立， 此时a ＜（x 2﹣x 1）min ＝h （t ）min ＝2， 则a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．16．已知函数f(x)={xe x+e−e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0，点M ，N 是函数y ＝f （x ）图象上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan ∠MON 的取值范围是 （0，2+ee )．． ．解：当x ≤0时，f(x)=xex+e −e 2，f ′(x)=e x+e −xe x+e e 2x+2e =e x+e (1−x)e 2x+2e=1−xe x+e ＞0，f(x)=xe x+e −e 2在（﹣∞，0]上单调递增，作出函数f(x)={xe x+e −e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0的图象如图， 设过原点且与f （x ）（x ≤0）的图象相切的切线方程为y ＝kx ，切点为(x 0，x 0ex 0+e−e 2)，所以切线方程为y =1−x 0e x 0+e (x −x 0)+x 0ex 0+e −e 2， 将原点坐标代入切线方程可得，x 02−x 0e x 0+e+x 0e x 0+e−e 2=0，即x 02e x 0+e−e 2=0，即x 02e x 0+e=e 2，构造函数q （x ）＝x 2e ﹣x ﹣e（x ≤0），则g '（x ）＝（2x ﹣x 2）e﹣x ﹣e≤0，∴函数g （x ）＝x 2e ﹣x ﹣e在（﹣∞，0]上单调递减，且g （﹣e ）＝e 2，得x ＝﹣e ，则k =1+ee 0=1+e ， 而函数f(x)=−x 2−14（x ＞0）过原点的切线方程为y ＝﹣x ，设直线y ＝（1+e ）x 到直线y ＝﹣x 的角为θ， 则tanθ=−1−(1+e)1−1−e =2+ee，结合图形可知，tan ∠MON 的取值范围是（0，2+ee )．故答案为：（0，2+ee)．．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在[50，60）的平均成绩是51，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，解得a＝0.030；（Ⅱ）成绩落在[40，80）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65＜0.75，落在[40，90）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030+0.025）×10＝0.9＞0.75，设第75百分位数为m，则m落在区间[80，90）内，由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，得m＝84，即第75百分位数为84；（Ⅲ）由图可知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，故两组成绩的总平均数z=10×51+20×6330=59，由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：s2=130{10[7+（51﹣59）2]+20[4+（63﹣59）2]}＝37．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．（1）证明：在△P AB中，∵P A＝3，AB＝2，PB=√13，∴PA2+AB2=32+22=(√13)2=PB2．∴∠P AB ＝90°，即AB ⊥P A ．又∵AB ⊥AD ，在平面P AD 中，P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ；（2）解：∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， AB ⊥AD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥P A ，已证AB ⊥P A ，且已知AB ⊥AD ，∴以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D （2，0，0），P （0，0，3），C （3，2，0）．AP →=(0，0，3)，AD →=(2，0，0)，AC →=(3，2，0)，CP →=(−3，−2，3)，∵E 为PD 中点，∴AE →=12(AP →+AD →)=(1，0，32)．由PC ＝3FC 知，AF →=AC →+CF →=AC →+13CP →=(3，2，0)+(−1，−23，1)=(2，43，1)．设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅AE →=x +32z =0n →⋅AF →=2x +43y +z =0，令z ＝2，得n →=(−3，3，2)．又AB ⊥平面P AD ，∴平面P AD 的法向量为AB →=(0，2，0)． ∴cos〈n →，AB →〉=n →⋅AB→|n →||AB →|=2×9+9+4=3√2222，由题知，二面角F ﹣AE ﹣D 为锐角，∴二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值为3√2222；（3）解：设Q 是线段AC 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AQ →=λAC →． ∵AC →=(3，2，0)，DA →=(−2，0，0)，∴DQ →=DA →+AQ →=DA →+λAC →=(3λ−2，2λ，0)． ∵DQ ⊄平面AEF ，∴要使DQ ∥平面AEF ，则DQ →⋅n →=0，即（3λ﹣2，2λ，0）•（﹣3，3，2）＝0．即（3λ﹣2）×（﹣3）+2λ×3+0×2＝0．解得λ＝2．∵λ＝2∉[0，1]，∴线段AC上不存在Q，使得DQ∥平面AEF．19．（12分）如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．解：（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，由题意，设点P（a，1），且直线AN的斜率为k AN＝tanα＝﹣1，经过点A（0，0），所以直线AN的方程为x+y＝0，又点P到直线AN的距离为√2，所以√2=√2，解得a＝1或a＝﹣3（舍），故点P的坐标为（1，1）；（2）由题意可知，直线BC的斜率一定存在，设直线BC的直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），联立直线BC与AN的方程，{y−1=k(x−1) x+y=0，解得点C的坐标为(k−1k+1，1−kk+1)，在直线BC的方程中，令y＝0，解得x B=−1k+1=k−1k，所以S△ABC=12⋅k−1k⋅(−k−1k+1)=4，解得k=−1 3，故直线BC的方程为x+3y﹣4＝0．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．解：（1）已知f（x）＝ax﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x=ax−1x，当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；当x∈(0，1a)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(1a，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1a时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1a）＝1+lna，无极大值，综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1+lna，无极大值；（2）证明：由（1）知，当0＜a＜1时，f（x）的最小值为1+lna，若∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2，此时a2﹣3a+1+lna+ln2＜0，不妨设g（a）＝a2﹣3a+1+lna+ln2，函数定义域为（0，1），可得g′(a)=2a−3+1a=(2a−1)(a−1)a，当a∈(0，12)时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，当a∈(12，1)时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，所以当a=12时，g(a)max=g(12)=14−32+1+ln12+ln2=−14＜0，故∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C和圆O：x2+y2＝1．过点A（m，0）（m＞1）作直线l1和l2，且两直线的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M、N，求m的取值范围．（1）解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22，可得{12a2+34b2=1e=ca=√22a2=b2+c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．（2）解：由题意，两直线l1、l2的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，设l2的斜率为k，则l1的斜率为1k(k≠0)，则直线l2的方程为y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，直线l1的方程为y=1k(x−m)，即x﹣ky﹣m＝0，因为l1与圆O相切于点P，所以√1+k2=1，化简得m2＝1+k2，由{y=k(x−m)x22+y2=1，整理得（2k2+1）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0，所以Δ＝（﹣4mk2）2﹣4（2k2+1）（2m2k2﹣2）＞0，化简得1+k2（2﹣m2）＞0，由m2＝1+k2，可得k2＝m2﹣1，代入上式化简得m4﹣3m2+1＜0，解得3−√52＜m2＜3+√52，又因为m＞1，可得1＜m2＜3+√52，得1＜m＜√5+12，所以m的取值范围是(1，√5+12)．22．（12分）已知函数f(x)=a(x+4)e x，其中a∈R且a≠0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）=x+4e x，定义域为R，f′（x）=−x+3e x，令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣3，∴当x ＜﹣3时，f ′（x ）＞0；当x ＞﹣3时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），单调递减区间为（﹣3，+∞）．（2）函数f （x ）的不动点即为方程f （x ）﹣x ＝0的根，即方程a(x+4)e x −x ＝0， ∴xe x x+4−a ＝0，设F （x ）=xe x x+4−a （x ≠﹣4）， F ′（x ）=(x+2)2e x (x+4)2≥0，当且仅当x ＝﹣2时取等号， ∴F （x ）在（﹣∞，﹣4）和（﹣4，+∞）上单调递增，由F （x ）=xe x −a(x+4)x+4，设h （x ）＝xe x ﹣a （x +4）， 当a ＞0时，若x ∈（﹣∞，﹣4）时，h （﹣4）=−4e 4＜0，h （﹣4−1ae ）＞0， ∴存在t 1∈（﹣∞，﹣4），使得h （t 1）＝0，即存在唯一t 1∈（﹣∞，﹣4），使得F （t 1）＝0， 当x ∈（﹣4，+∞）时，h （0）＝﹣4a ＜0，h （4a ）＞0，存在t 2∈（0，+∞），使得h （t 2）＝0，即存在唯一t 2∈（0，+∞）使得F （t 2）＝0， 当a ＜0时，当x ∈（﹣∞，﹣4）时，F （x ）=xe x x+4−a ＞0无零点， 当x ∈（﹣4，+∞）时，∵h （0）＝﹣4a ＞0，h （﹣4）=−4e 4＜0， 存在t 0∈（﹣4，0），使得h （t 0）＝0，即存在唯一t 0∈（﹣4，+∞）使得F （t 0）＝0， 综上所述，当a ＞0时，函数f （x ）有两个“不动点”t 1，t 2，当a ＜0时，函数f （x ）有一个“不动点”．（3）∵f （f （x ））﹣f （x ）＝0，由（2）可得f （x ）＝t i （其中i ∈{0，1，2}），由F （t i ）＝0得a =t i e t i t i +4，代入x+4e x =t i +4e t i， 设G （x ）=x+4e x， 由（1）知，当x ∈（﹣∞，﹣4]时，G （x ）单调递增，且G （x ）∈（﹣∞，0]， ∴在（﹣4，﹣3）上G （x ）单调递增，且G （x ）∈（0，e 3），在（﹣3，+∞）上G （x ）单调递减，且G （x ）∈（0，e 3），由G（x）＝G（t1）＜0可得x＝t1，G（x）＝G（t2）＞0可得x＝t2，x0，共三个解，∴F（t）有一个零点t0，∴f（f（x））﹣f（x）＝0，∴f（x）＝t0，由F（t0）＝0得a=t0e t0t0+4，代入x+4e x=t0+4e t0，由（1）知当t0＝﹣3，即a=−3e3时，G（x1）＝G（t0）的解为t0，当t0≠﹣3，即a＜0且a≠−3e3时，G（x1）＝G（t0）的解为x1，t0，综上所述，当a＜0且a≠−3e3时方程有两个不同实数根．。
2017-2018学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期期中数学试卷与解析
2017-2018学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）下列四个命题中，其中正确的命题是（）A．三点确定一个平面B．四条边都相等的四边形是平面图形C．矩形一定是平面图形D．三条直线两两相交则确定一个平面2．（4分）下列正确的是（）A．命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题为真命题B．命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b，c∈R）”的逆命题为真命题C．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＜b，则2a＜2b﹣1”D．“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件3．（4分）用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π4．（4分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（）A．+B．1+C．1+D．2+5．（4分）已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．6．（4分）某几何体的三视图如图所示，图中的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，两条虚线的交点为正方形的中点，则该几何体的表面积为（）A．6+B．5+C．4+2D．5+27．（4分）过C：y2=8x抛物线上一点P（2，4）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于A、B两点，则直线AB的斜率是（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣28．（4分）一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1如图所示，H，J分别是C1D1，BB1的中点，由于某种原因，在D，H，J三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问容器中水的上表面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形9．（4分）如图，已知点P是圆锥母线SA的中点，Q是底面圆周上的点，M是线段PQ的中点，当点Q在圆周上运动一周时，点M的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆D．抛物线10．（4分）设F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|=|F1F2|，则C的离心率为（）A．B．3 C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共20分）.11．（6分）抛物线x2=4y的焦点F的坐标为，离心率为．12．（6分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积是；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是．13．（6分）命题“若﹣1≤x≤3，则x2﹣2x﹣3≤0”的逆否命题是；直线：x﹣y+m=0与椭圆C：+y2=1有公共点的充要条件是．14．（6分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为；外接球的表面积为．15．（5分）设直线L1：y=k1x+m，m≠0交椭圆+=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E，则“E为CD的中点”是“k1•k2=﹣”的条件．（从“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中选一个填空）16．（4分）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P﹣DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为．17．（4分）如图，P是椭圆+=1在第一象限上的动点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，PT是∠F 1PF2的平分线，过F2作PT的垂线，则|OH|的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．18．（10分）设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+1|＜a，a＞0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B．（1）若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；（2）若￢q是￢p的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．19．（15分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，且AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q．（1）求证：D，B，E，F四点共面；（2）若A1C交平面DBEF于R点，求证：P，Q，R三点共线；（3）设G为BB1的中点，求异面直线DF与CG所成角θ的余弦值．20．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦距为2，椭圆上的动点到两焦点的距离之和为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F的直线l与椭圆C交于点A，B，求△AOB面积的最大值．21．（16分）已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=﹣1上的射影为点N，且满足（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=﹣1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．22．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的短轴端点分别记为A，B（如图所示），直线AM，BM分别为椭圆C交于E，F两点，其中点M（m，）（m≠0）在椭圆C的内部．（i）求E，F的坐标（用m表示）；（ii）求的取值范围．2017-2018学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）下列四个命题中，其中正确的命题是（）A．三点确定一个平面B．四条边都相等的四边形是平面图形C．矩形一定是平面图形D．三条直线两两相交则确定一个平面【解答】解：在A中，不共线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四条边都相等的四边形有可能是空间四边形，故B错误；在C中，矩形的两组对边分别平行，由两条平行线确定一个平面得矩形一定是平面图形，故C正确；在D中，三个直线两两相交确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．2．（4分）下列正确的是（）A．命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题为真命题B．命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b，c∈R）”的逆命题为真命题C．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＜b，则2a＜2b﹣1”D．“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件【解答】解：利用排除法，对于A、若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，对于平行直线也没有公共点．故错误．B、命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b，c∈R）”的逆命题为：若ac2＞bc2（a，b，c∈R）则a＞b，是真命题．故正确．C、若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为若a≤b，则2a≤2b﹣1，故错误．D、a=±1是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件．故错误．故选：B．3．（4分）用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π【解答】解：由题意，此圆柱的侧面积为2π×2×4=16π或2π×4×2=16π，故选：B．4．（4分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（）A．+B．1+C．1+D．2+【解答】解：把直观图还原出原平面图形，如图所示；∴这个平面图形是直角梯形，它的面积为S=×（1+1+）×2=2+．故选：D．5．（4分）已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．【解答】解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5﹣=5﹣2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9﹣=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C．6．（4分）某几何体的三视图如图所示，图中的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，两条虚线的交点为正方形的中点，则该几何体的表面积为（）A．6+B．5+C．4+2D．5+2【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正方体扣去一个正四棱锥，如图．则正四棱锥的侧面是底为1、高为=的等腰三角形，正四棱锥的每个侧面面积S1==，∴该几何体的面积为S=5×（1×1）+4×S1=5+．故选：B．7．（4分）过C：y2=8x抛物线上一点P（2，4）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于A、B两点，则直线AB的斜率是（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣2【解答】证明：点P坐标为（2，4），设B（x1，y1），A（x2，y2），由已知设PB：m（y﹣4）=x﹣2，即：x=my﹣4m+2，代入抛物线的方程得：y2=8my﹣32m+16，即y2﹣8my+32m﹣16=0，则y1+4=8m，故y1=8m﹣4，设PA：﹣m（y﹣4）=x﹣2，即x=﹣my+4m+2，代入抛物线的方程得：y2=﹣8my+32m+16，即y2+8my﹣32m﹣16=0，则：y2+4=﹣8m，故y2=﹣8m﹣4，x1﹣x2=my1﹣4m+2﹣（﹣my2+4m+2）=m（y1+y2）﹣8m=﹣16m，直线AB的斜率k AB===﹣1，所以直线BC的斜率为定值﹣1．故选：B．8．（4分）一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1如图所示，H，J分别是C1D1，BB1的中点，由于某种原因，在D，H，J三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问容器中水的上表面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解答】解：如图，连接DH并延长交CC1的延长线于S，连接SJ交B1C1于K，延长SJ交CB的延长线于T，连接DT交AB于G，则五边形DGJKH为过三点D、H、J的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D1所截得的平面图形，∴为使此容器内存水最多，容器中水的上表面的形状是五边形．故选：C．9．（4分）如图，已知点P是圆锥母线SA的中点，Q是底面圆周上的点，M是线段PQ的中点，当点Q在圆周上运动一周时，点M的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆D．抛物线【解答】解：设底面圆的圆心为O，连接OP，取OP的中点O′，连接OQ，O′M，则O′M=OQ，∴点M的轨迹是以O′为圆心，OQ为半径的圆，故选：B．10．（4分）设F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|=|F1F2|，则C的离心率为（）A．B．3 C．D．【解答】解：设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，特别地，当P与A重合时，|PM|=a．由|MP|=|F1F2|=，即有a=，由离心率公式e==．另解：设PT交x轴于T，PT为三角形PF1F2的角平分线，可得==，又OM∥PT，可得==，即有===，则PF2=PF1﹣2PM，由双曲线的定义可得，PF1﹣PF2=2a=2PM=c，则c=a，即有e==．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共20分）.11．（6分）抛物线x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），离心率为1．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2=4y，其对称轴为y轴，开口向上，且p=2，则其焦点坐标为（0，1），离心率e=1；故答案为（0，1），1．12．（6分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积是；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是4：3．【解答】解：①圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的高为2，底面圆的周长为2，∴底面圆的半径为R==，∴该圆柱的体积为V圆柱=π••2=；②圆锥的侧面积为S圆锥侧=π×12×=，圆锥的底面半径为r=2π×1×÷2π=，圆锥的底面积S圆锥底=π•=，∴圆锥的表面积S圆锥=S圆锥侧+S圆锥底=+=，∴这个圆锥的表面积与侧面积的比为S圆锥：S圆锥侧=4：3．故答案为：，4：3．13．（6分）命题“若﹣1≤x≤3，则x2﹣2x﹣3≤0”的逆否命题是若x2﹣2x﹣3＞0，则：x＞3或x＜﹣1．；直线：x﹣y+m=0与椭圆C：+y2=1有公共点的充要条件是．【解答】解：①命题“若﹣1≤x≤3，则x2﹣2x﹣3≤0”的逆否命题是：若x2﹣2x ﹣3＞0，则：x＞3或x＜﹣1．②直线：x﹣y+m=0与椭圆C：+y2=1有公共点，则：，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，利用△=16m2﹣12（2m2﹣2）≥0，解得：．故有公共点的充要条件是：．故答案为：若x2﹣2x﹣3＞0，则：x＞3或x＜﹣1.14．（6分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为12；外接球的表面积为34π．【解答】解：三视图可知，该四棱锥底面为边长3的正方形，高为4，∴该四棱锥体积V=Sh=，该四棱锥补形为长方体，可知高为4，长宽均为3外接球的半径是长方体对角线的一半，即R==那么球的表面积S=4πR2=34π．故答案为：12；34π．15．（5分）设直线L1：y=k1x+m，m≠0交椭圆+=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E，则“E为CD的中点”是“k1•k2=﹣”的充要条件．（从“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中选一个填空）【解答】解：设C（x1，y1）D（x2，y2），E（x0，y0），则+=1 （1），+=1 （2）两式相减得+=0，即+=0，∴k1===﹣，∴k1•k2=﹣，故答案为：充要．16．（4分）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P﹣DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为．【解答】解：如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，则GK∥DH，故∠PGK 即为所求的异面直线角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，，，故．即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是．故答案为：．17．（4分）如图，P是椭圆+=1在第一象限上的动点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，PT是∠F1PF2的平分线，过F2作PT的垂线，则|OH|的取值范围是（0，3）．【解答】解：由+=1，可得：a=4，b2=7，c==3．如图所示，延长F2H与PF1相交于点M，∵PT⊥F2M，∠MPH=∠F2PH，∴∠PMH=∠PF2H．∴|PF2|=|PM|，|MH|=|HF2|．又|F1O|=|OF2|∴|OH|=|MF2|∵|PF1|+|PF2|=2×4=8．∴|PF1|=8﹣|PF2|．∴|OH|=|MF1|=（|PF1|﹣|PF2|）=（8﹣2|PF2|）=4﹣|PF2|．∵P是椭圆+=1在第一象限上的动点，∴|PF2|∈（a﹣c，a），即|PF2|∈（a﹣c，a），即|PF2|∈（1，4）．∴|OH|∈（0，3）．故答案为：（0，3）．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．18．（10分）设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+1|＜a，a＞0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B．（1）若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；（2）若￢q是￢p的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，解得：A={x|﹣3＜x＜1}，集合B={x||x+1|＜a，a＞0}，解得：B={x|﹣a﹣1＜x＜a﹣1}，命题p：x∈A，命题q：x∈B．p是q的充要条件，则：p⇔q，即：，解得：a=2，故当a=2时，p是q的充要条件．（2）￢q是￢p的必要不充分条件，则：q是p的充分不必要条件．即：，解得：0≤a≤2，由于a＞0，a的取值范围是：0＜a≤2．19．（15分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，且AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q．（1）求证：D，B，E，F四点共面；（2）若A1C交平面DBEF于R点，求证：P，Q，R三点共线；（3）设G为BB1的中点，求异面直线DF与CG所成角θ的余弦值．【解答】证明：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1∥BD，∴D，B，E，F四点共面．（2）在正方体AC1中，连接PQ，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA．又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ．又A1C∩平面BDEF=R，∴R∈A1C，∴R∈平面A1C1CA，R∈平面BDEF．∴R是A1C与PQ的交点．∵PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1，R∈A1C，而A1C⊂平面A1ACC1，故R∈平面A1ACC1，同理，R∈平面BDEF，故R∈PQ，即P，Q，R三点共线．解：（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），F（0，1，2），C（0，2，0），G（2，2，1），=（0，1，2），=（2，0，1），∴cosθ===．∴异面直线DF与CG所成角θ的余弦值为．20．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦距为2，椭圆上的动点到两焦点的距离之和为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F的直线l与椭圆C交于点A，B，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：2c=2，2a=2，b2=a2﹣c2，解得c=1=b，a=．∴椭圆C的方程为：=1．（2）F（﹣1，0）．设直线l的方程为：ty=x+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣1=0，△＞0．∴y1+y2=，y1y2=，∴|AB|===．点O到直线AB的距离d=．∴S=d|AB|=×==≤△AOB．当且仅当t=0时取等号．∴当直线l⊥x轴时，△AOB面积的最大值是．21．（16分）已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=﹣1上的射影为点N，且满足（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=﹣1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（﹣1，y），从而，，则=，由，得，即．化简得y2=4x，即为所求的P点的轨迹C的对应的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），MA：y=k1（x﹣1）+2，MB：y=k2（x﹣1）+2．将y=k1（x﹣1）+2与y2=4x联立，得：由，得①同理②而AB直线方程为：，即③由①②：y1+y2=代入③得，，整理得k1k2（x+y+1）+6+y=0．则，故直线AB经过定点（5，﹣6）．22．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的短轴端点分别记为A，B（如图所示），直线AM，BM分别为椭圆C交于E，F两点，其中点M（m，）（m≠0）在椭圆C的内部．（i）求E，F的坐标（用m表示）；（ii）求的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知，2a=4，则a=2，又e==，得c=，∴b=，∴椭圆C的方程为；（2）（i）由（1）知：A（0，1），B（0，﹣1），M （m，），且m≠0，∴直线AM的斜率为k1=﹣，直线BM斜率为k2=，∴直线AM的方程为y=﹣x+1，直线BM的方程为y=x﹣1，联立，得（m2+1）x2﹣4mx=0，∴x=0，x=，∴E（），联立，得（9+m2）x2﹣12mx=0，∴x=0，x=，∴F（）；（ii）∵•|MA|•|MF|•sin∠AMF，•|MB|•|ME|•sin∠BME，∠AMF=∠BME，∴=====．∵m≠0，∴m2+1＞1，∵点M （m ，）（m ≠0）在椭圆C 的内部，∴m 2＜3，则1+∈（3，9）， ∴的取值范围是（3，9）．。
浙江省余姚中学10-11学年高二上学期期中试题(数学文)
余姚中学 2010学年 高二数学（文科）期中试卷 第一学期一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．函数y =的定义域为（ ）（A ）．(4,1)-- （B ）．(4,1)- (C)．(1,1)-(D)．(1,1]-2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）（A ） k ＞4? （B ）k ＞5?（C ） k ＞6? （D ）k ＞7?3．从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为14，则N 为（ ） （A ）150 （B ）120 （C ）100 （D ）2004．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5．命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是（ ）(A)若()f x 是偶函数，则()f x -是偶函数（B ）若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数（C ）若是()f x -奇函数，则()f x 是奇函数（D ）若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数6．点P 在椭圆131222=+y x 上，21,F F 是左右焦点，1PF 的中点在y 轴上，则=21PF PF （ ） (A) 7 (B)5 (C)4 (D)37．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF斜率为，那么PF =（ ）（A ）（B ） 8 （C ） （D ） 168．椭圆22221()x y a b a b +=>>0的右焦点F ，直线2a x c=与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A ）⎛ ⎝⎦（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )1,1 （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为（ ） (A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 10．已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）(A) 4-3- (C) 4-+32-+二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省余姚中学高二数学上学期期中试题 理 新人教A版【会员独享】
24俯视图侧视图正视图（第3题）余姚中学高二数学（理科）期中试卷参考公式：球的表面积公式：24S R π= 球的体积公式：343V R π=其中R 表示球的半径 锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式：V =)(312211S S S S h ++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在空间直角坐标系中,点(1,3,5)P -关于平面xOy 对称的点的坐标是（ ▲ ） A 、(1,3,5)-- B 、(1,3,5)-- C 、(1,3,5) D 、(1,3,5)--2、已知平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“||||PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B 焦点的椭圆”，那么甲是乙的（ ▲ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ▲ ）A 、 88π+B 、82π+C 、 168π+D 、162π+ 4、下列命题中错误．．的是（ ▲ ） A 、如果平面α内的任何直线都平行平面β，则//αβB 、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC 、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么直线l ⊥平面γD 、如果平面α⊥平面β，m αβ⋂=，直线n m ⊥，则n β⊥ 5、下列说法中正确．．的是（ ▲ ） Ａ、命题“若,a b >则ac bc >”的否命题为“若,a b >则ac bc ≤” Ｂ、已知,p q 表示两个命题，则当p q ∧为假命题时， p q ⌝∨为真命题Ｃ、命题“∀k R ∈，直线1y kx =+过定点”的否定为“∃k R ∈，直线1y kx =+过定点” Ｄ、若直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12//l l 的必要不充分条件为12k k =6、平面直角坐标系中有(0,1),(0,5),(3,4)A B C 三点，则以下选项中能与点,,A B C 在同一个圆上的点为（ ▲ ）A 、(1,1)-B 、(1,1)C 、(2,5)D 、(3,3)7、已知直线l 过(,6),(1,3)P m Q m -两点，且l 的倾斜角是直线':21l y x =+倾斜角的两倍，则实数m 的值为（ ▲ ）A 、10-B 、1413 C 、22D 、34118、若直线y x b =+与曲线3y=b 的取值范围是（ ▲ ）A、[1,1-+ B、[1-+ C 、[1- D 、[19、已知直线:34120l x y +-=，若圆上恰好存在两个点P Q 、，它们到直线l 的距离为1，则称该圆为“理想型”圆．则下列圆中是“理想型”圆的是（ ▲ ）A 、221x y +=B 、2216x y +=C 、22(4)(4)1x y -+-=D 、22(4)(4)16x y -+-=10、设O 为坐标原点，12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=，且||OP =，则该椭圆的离心率为（▲ ） Ａ、12 Ｂ、14二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11、用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形的直观图，则所得直观图的面积为 ．12、若直线l 过点(1,1)，且与直线':230l x y +-=垂直，则直线l 的方程为 ． 13、如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱14AA =,若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面的高为 ．DCBA第14题第13题1A 114、如图所示三棱锥A BCD -中，,ABD BCD 均为等边三角形，1BD =，二面角A BD C --的大小为23π，则线段AC 长为 ． 15、点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 ．16、设直线3450x y +-=与圆221:4C x y +=交于A B ,两点, 若圆2C 的圆心在线段AB 上, 且圆2C 与圆1C 相切, 切点在圆1C 的优弧⌒AB 上, 则圆2C 的半径的最小值是 ．17、如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2BC =．现将ACD ∆沿AC 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，设E 为AB 中点，则异面直线AC 和DE 所成角的余弦值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤）18、在圆:O 224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 形成轨迹C ． （1）求轨迹C 的方程；（2）若直线y x =与曲线C 交于AB 两点，Q 为曲线C 上一动点，求ABQ 面积的最大值．19、已知命题:p 0[1,1]x ∃∈-，满足20010x x a +-+>，命题:q ∀(0,1)t ∈，方程22221(22)21y x t a t a a +=-++++都表示焦点在y 轴上的椭圆．若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．DCBA第17题 E CDB AMFEA 'D CBA第21题20、已知一隧道的截面是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶 部至少要有0.5米的距离，现有一货车，车宽4米，车高2.5米．（１）若此隧道为单向通行，经测量隧道的跨度是10米，隧道才能保证此货车正常通行？（２）圆可以看作是长轴短轴相等的特殊椭圆，类比圆面积公式，请你推测椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的面积公式．并问，当隧道为双向通行（车道间的距离忽略不记）时，要使此货车安全通过，应如何设计隧道，才会使同 等隧道长度下开凿的土方量最小？21、如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，23ABC π∠=，E 为线段AB 的中线，将△ADE 沿直线DE 翻折成△'A DE ，使平面'A DE ⊥平面BCD ，F 为线段'AC 的中点. （１）求证：BF ∥平面'A DE ；（２）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值．22、如图，设M 点是圆22:(4)4C x y +-=上的动点，过点M 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ,切线,MA MB 分别交x 轴于,D E （1）求四边形MAOB 面积的最小值；（2）是否存在点M ，使得线段DE 被圆C 在点M 存在，求出点M 的纵．坐标；若不存在，说明理由．余姚中学2011学年度第一学期高二数学（理科）期中考试答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11、412、21y x =- 13、3 14、3215、6 16、3 17三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18、（1）2214y x +=； （2）面积最大为2。
浙江省余姚中学高二数学上学期期中试题
（第4题）1A 浙江省余姚中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（ ） A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.153.已知,m n 是不同的直线，,a b 是不同的平面，有下列命题：① 若n m ,α⊂∥α，则m ∥n ② 若m ∥α，m ∥β，则α∥β③ 若m n ,=βα ∥n ，则m ∥α且m ∥β ④若βα⊥⊥m m ,，则α∥β其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD为平行四边形，已知AB a =，AD b =，1AA c =，则用向量a,b,c 可表示向量1BD 为（ ） A ．a+b+c B ．a+b+c - C ．a b+c -D ．a+b c --5.圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．3πD ．2π6.若直线a 不平行于平面α，则下列结论正确的是（ ）A ．α内所有的直线都与a 异面；B ．直线a 与平面α有公共点；C ．α内所有的直线都与a 相交；D ．α内不存在与a 平行的直线. 7.如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线， 垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是1A BD △的垂心 B ．AH 垂直平面11CB D1 11BC ．AH 的延长线经过点1CD ．直线AH 和1BB 所成角为458.已知一个高度不限的直三棱柱111ABC A B C -，4AB =，5BC =，6CA =，点P 是侧棱1AA 上一点，过A 作平面截三棱柱得截面,ADE 给出下列结论：①ADE ∆是直角三角形；②ADE ∆是等边三角形；③四面体APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体。
浙江省余姚中学11-12学年高二上学期期中试题数学理
24俯视图侧视图正视图（第3题）2011学年度余姚中学 高二数学（理科）期中试卷第 一 学 期参考公式：球的表面积公式：24SR π= 球的体积公式：343V R π=其中R 表示球的半径锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式：V =)(312211S S S S h ++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1、在空间直角坐标系中,点(1,3,5)P -关于平面xOy 对称的点的坐标是（ ▲ ） A 、(1,3,5)-- B 、(1,3,5)-- C 、(1,3,5) D 、(1,3,5)--2、已知平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“||||PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B 为焦 点的椭圆”，那么甲是乙的（ ▲ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ▲ ） A 、 88π+ B 、82π+ C 、 168π+ D 、162π+4、下列命题中错误．．的是（ ▲ ） A 、如果平面α内的任何直线都平行平面β，则//αβB 、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC 、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么直线l ⊥平面γD 、如果平面α⊥平面β，m αβ⋂=，直线n m ⊥，则n β⊥ 5、下列说法中正确．．的是（ ▲ ） Ａ、命题“若,a b >则ac bc >”的否命题为“若,a b >则ac bc ≤” Ｂ、已知,p q 表示两个命题，则当p q ∧为假命题时， p q ⌝∨为真命题Ｃ、命题“∀k R ∈，直线1y kx =+过定点”的否定为“∃k R ∈，直线1y kx =+过定点” Ｄ、若直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12//l l 的必要不充分条件为12k k =6、平面直角坐标系中有(0,1),(0,5),(3,4)A B C 三点，则以下选项中能与点,,A B C 在同一个圆上的点为（ ▲ ）A 、(1,1)-B 、(1,1)C 、(2,5)D 、(3,3)7、已知直线l 过(,6),(1,3)P m Q m -两点，且l 的倾斜角是直线':21l y x =+倾斜角的两倍，则实数m 的值为（ ▲ ）A 、10-B 、1413 C 、22D 、34118、若直线y x b =+与曲线3y=b 的取值范围是（ ▲ ）A、[1,1-+ B、[1-+ C 、[1- D 、[19、已知直线:34120l x y +-=，若圆上恰好存在两个点P Q 、，它们到直线l 的距离为1，则称该圆为“理想型”圆．则下列圆中是“理想型”圆的是（ ▲ ）A 、221x y +=B 、2216x y += C 、22(4)(4)1x y -+-= D 、22(4)(4)16x y -+-=10、设O 为坐标原点，12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=，且||2OP a =，则该椭圆的离心率为（ ▲ ） Ａ、12Ｂ、14Ｄ、2二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11、用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形的直观图，则所得直观图的面积为 ．12、若直线l 过点(1,1)，且与直线':230l x y +-=垂直，则直线l 的方程为 ． 13、如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱14AA =,若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面的高为 ．DCBA第14题第13题1A 114、如图所示三棱锥A BCD -中，,ABD BCD 均为等边三角形，1BD =，二面角A BD C --的大小为23π，则线段AC 长为 ． 15、点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 ．16、设直线3450x y +-=与圆221:4C x y +=交于A B ,两点, 若圆2C 的圆心在线段AB上, 且圆2C 与圆1C 相切, 切点在圆1C 的优弧⌒AB 上, 则圆2C 的半径的最小值是 ． 17、如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2BC =．现将ACD ∆沿AC 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，设E 为AB 中点，则异面直线AC 和DE 所成角的余弦值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤）18、在圆:O 224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 形成轨迹C ． （1）求轨迹C 的方程；（2）若直线y x =与曲线C 交于AB 两点，Q 为曲线C 上一动点，求ABQ 面积的最大值．19、已知命题:p 0[1,1]x ∃∈-，满足20010x x a +-+>，命题:q ∀(0,1)t ∈，方程22221(22)21y x t a t a a +=-++++都表示焦点在y 轴上的椭圆．若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．DCBA 第17题 E CDB AMFEA 'D CBA 第21题20、已知一隧道的截面是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶 部至少要有0.5米的距离，现有一货车，车宽4米，车高2.5米．（１）若此隧道为单向通行，经测量隧道的跨度是10米，隧道才能保证此货车正常通行？（２）圆可以看作是长轴短轴相等的特殊椭圆，类比圆面积公式，请你推测椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的面积公式．并问，当隧道为双向通行（车道间的距离忽略不记）时，要使此货车安全通过，应如何设计隧道，才会使同 等隧道长度下开凿的土方量最小？21、如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，23ABC π∠=，E 为线段AB 的中线，将△ADE 沿直线DE 翻折成△'A DE ，使平面'A DE ⊥平面BCD ，F 为线段'AC 的中点. （１）求证：BF ∥平面'A DE ；（２）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值．22、如图，设M 点是圆22:(4)4C x y +-=上的动点，过点M 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ,切线,MA MB 分别交x 轴于,D E （1）求四边形MAOB 面积的最小值；（2）是否存在点M ，使得线段DE 被圆C 在点M 存在，求出点M 的纵．坐标；若不存在，说明理由．余姚中学2011学年度第一学期高二数学（理科）期中考试答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11、4 12、21y x =- 13、3 14、3215、6 16、3 17三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18、（1）2214y x +=； （2）面积最大为2。
浙江省余姚中学10-11学年高二上学期期中试题数学文
余姚中学 2010学年 高二数学（文科）期中试卷第一学期一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1．函数2ln(1)34x y x x +=--+的定义域为（ ）（A ）．(4,1)-- （B ）．(4,1)- (C)．(1,1)- (D)．(1,1]- 2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） （A ） k ＞4? （B ）k ＞5? （C ） k ＞6? （D ）k ＞7?3．从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为14，则N 为（ ） （A ）150 （B ）120 （C ）100 （D ）2004．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 5．命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是（ ） (A)若()f x 是偶函数，则()f x -是偶函数 （B ）若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数 （C ）若是()f x -奇函数，则()f x 是奇函数 （D ）若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数6．点P 在椭圆131222=+y x 上，21,F F 是左右焦点，1PF 的中点在y 轴上，则=21PF PF （ ） (A) 7 (B)5 (C)4 (D)37．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为3-，那么PF =（ ）（A ）43 （B ） 8 （C ） 83 （D ） 168．椭圆22221()x y a b a b +=>>0的右焦点F ，直线2a x c=与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） （A ）20,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )21,1⎡-⎣ （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为（ ）(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 10．已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB •的最小值为（ ）(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
余姚中学2023学年第一学期期中考试高二数学答案
余姚中学2023学年第一学期期中考试高二数学学参考答案1. B2. D3. B4. A5. C6. A7. C8. B9. BD 10. BCD 11. AC 12. ABC13. 2−或1 14. 785(,,)33315. (),2−∞ 16. 20,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 17. 解：（Ⅰ）每组小矩形的面积之和为1，(0.0050.0100.0200.0250.010)101a ∴+++++⨯=，0.030a ∴=；（Ⅱ）成绩落在[40,80)内的频率为(0.0050.0100.0200.030)100.65+++⨯=，落在[40,90)内的频率为(0.0050.0100.0200.0300.025)100.9++++⨯=，设第75百分位数为m ，由0.65(80)0.0250.75m +−⨯=，得84m =，故第75百分位数为84；（Ⅲ）由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[60,70)的市民人数为1000.220⨯=， 故10516320591020z ⨯+⨯==+， 设成绩在[50,60)中10人的分数分别为1x ，2x ，3x ，，10x ； 成绩在[60,70)中20人的分数分别为1y ，2y ，3y ，，20y ， 则由题意可得，2222121051710x x x +++−=，2222122063420y y y +++−=， 即222121026080x x x +++=，222122079460y y y +++=，22222222121012201()1020s x x x y y y z ∴=+++++++−+21(2608079460)593730=⨯+−=， 所以两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37.18. 解：（Ⅰ）在PAB ∆中， 22222232PA AB PB +=+==.所以90PAB ∠=︒，即AB PA ⊥；又因为AB AD ⊥，在平面PAD 中，PA AD A =，所以AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，AB AD ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD PA ⊥，由（Ⅰ）已证AB PA ⊥，且已知AB AD ⊥，故以A 为原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz ，则(2,0,0)D ，(0,0,3)P ，(3,2,0)C ，所以(0,0,3)AP =，(2,0,0)AD =，(3,2,0)AC =，(3,2,3)CP =−−因为E 为PD 中点， 所以13()(1,0,)22AE AP AD =+=，由3PC FC =知，124(3,2,0)(1,,1)(2,,1)333AF AC CF AC CP =+=+=+−−=，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即324203x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，令2z =，则3x =−，3y =，于是(3,3,2)n =−，又因为由（Ⅰ）已证AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量为(0,2,0)AB =，所以cos ,||||2n ABn AB n AB ⋅<>===⨯，平面FAE 与平面AED ；（Ⅲ）设Q 是线段AC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得AQ AC λ=，因为(3,2,0)AC =，(2,0,0)DA =−，所以(32,2,0)DQ DA AQ DA AC λλλ=+=+=− ，因为DQ ⊂/平面AEF ，所以//DQ 平面AEF 当且仅当0DQ n ⋅=，即(32,2,0)(3,3,2)0λλ−⋅−=，即(32)(3)23020λλ−⨯−+⨯+⨯=，解得2λ=，因为2[0,1]λ=∉，所以线段AC 上不存在Q 使得//DQ 平面AEF .19. 解：（Ⅰ）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可设点P 的坐标为(,1)a ，因为直线AN 的斜率tan 1AN k α==−，且直线AN 经过点(0,0)A ，所以直线AN 的方程为0x y +=因为点P 到直线AN =，解得1a =或3(a =−舍去)，所以点P 的坐标为(1,1)； （Ⅱ）由题意可知直线BC 的斜率一定存在，故设其直线方程为1(1)y k x −=−，联立1(1)0y k x x y −=−⎧⎨+=⎩，得11C k x k −=+，11C k y k −=−+， 对于直线BC 的方程1(1)y k x −=−，令0y =，得111B k x k k−=−+=， 所以111421ABC k k S k k −−⎛⎫=⋅⋅−= ⎪+⎝⎭，解得13k =−， 所以直线BC 的方程为()1113y x −=−−，即340x y +−=. 20. 解：（Ⅰ）易知0x >，11()ax f x a x x −'=−=， 当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，1(,)x a∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 综上，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a +∞上单调递增； 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当01a <<时，()f x 在1x a=处取得最小值1ln a +， 若(0,)x ∃∈+∞，使得2()3ln 2f x a a <−−，只需231ln ln 20a a a −+++<，令2()31ln ln 2g a a a a =−+++，由1(21)(1)()23a a g a a a a−−'=−+=， 可得，当1(0,)2a ∈时，()0g a '>，()g a 单调递增， 当1(,1)2a ∈时，()0g a '<，()g a 单调递减，故当12a =时，max 11311()()1ln ln 2024224g a g ==−+++=−<， 所以，(0,)x ∃∈+∞，使得2()3ln 2f x a a <−−.21. （Ⅰ）由题意，22222131242a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22a =，21b =，21c =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=； （Ⅱ）由题意，两直线1l 、2l 的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1， 设2l 的斜率为k ，则1l 的斜率为()10k k≠， 则直线2l 的方程为()y k x m =−，即0kx y km −−=，直线1l 的方程为()1y x m k=−，即0x ky m −−=， 1l 与圆O 相切于点P，1=，化简得221m k =+， 由()2212y k x m x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()22222214220k x mk x k m +−+−=， ()()22222(4)421220mk k m k ∴∆=−−+−>，化简得，()22120k m +−>， 由221m k =+得，221k m =−，代入上式化简得，42310m m −+<，2m <<， 又1m >，则21m <<1m <<， 所以m的取值范围是⎛ ⎝⎭. 解：（Ⅰ）所以()f x 的单调增区间为(,3]−∞−，单调减区间为[3,)−+∞； （Ⅱ）原命题等价于方程4(1)4x a e x =−⋅+解的个数 令4()(1)4x x e x ϕ=−⋅+，22244(2)'()[1]0(4)4(4)x x e x x e x x x ϕ+=+−⋅=≥+++，当x →−∞时，()0x ϕ+→，当4x −→时，()x ϕ→+∞，当4x +→时，()x ϕ→−∞，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，(0)0ϕ=， 于是，当0a >时，方程有两个解， 即函数()f x 有两个不动点，当0a <时，方程只有一个解，即函数()f x 有一个不动点；（Ⅲ）设()t f x =，则()f t t =，（ⅰ）当0a >时，()f t t =有两个解1t ，2t ，其中14t <−，20t >，于是11()()t f t f x ==， 即111(4)(4)4t xa t a x t e e ++==<−， 有一个解1x ， 22()()t f t f x ==， 即222(4)(4)0t xa t a x t e e ++==>， 有两个解2x ，3x ，因此0a >不成立；（ⅱ）当0a <时，()f t t =有且只有一个解0t ，其中040t −<<，于是00()()t f t f x ==， 即000(4)(4)40t xa t a x t e e ++−<==<， 即00044t x t t x a e e++==，其中043t −<<−， 或030t −<<，方程有两个解1x ，2x ， 当03t =−时，方程只有一个解3x =−，此时33a e=−， 综上所述，a 的取值范围3333(,)(,0)e e −∞−−.。
2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知空间向量()()1,2,13,,3a b x =-=-，，且//a b ，则x =（ ） A ．3- B ．3 C ．6- D ．6【答案】C【分析】利用向量平行列方程直接求得.【详解】因为空间向量()()1,2,13,,3a b x =-=-，，且//a b ， 所以33121x -==-，解得：6x =-. 故选：C2．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ） A ．()2,3- B ．()2,3 C ．()3,2- D ．()3,2【答案】A【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A.3．双曲线22154x y -=的焦距等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】D【分析】由题意可知，25a = ，24b =，解出3c =，即可知焦距. 【详解】由题意可知：25a = ，24b = ， ∴ 2229c a b =+= ，解得3c =， ∴26c = 即双曲线的焦距等于6，故选：D.4．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为（ ）AB ．CD ．【答案】B【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长.【详解】联立方程：22224044120x y x y x y ⎧+-=⎨+-+-=⎩， 两式相减可得公共弦方程20x y -+=，方法一：联立方程：224020x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩得220x x +=，得 10x =，22x =-，即公共弦的端点坐标为()0,2，()2,0-根据点到直线距离公式可得公共弦长为d =方法二：圆2240x y +-=的圆心坐标为()0,0，半径为2r =圆心到公共弦的距离为1d =d ==故选:B5．袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A =“第一次摸到白球”，事件B =“第二次摸到白球”，事件C =“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ） A ．A 与B 是互斥事件 B ．A 与B 不是相互独立事件 C ．B 与C 是对立事件 D ．A 与C 是相互独立事件【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.【详解】根据题意可知，事件A 和事件B 可以同时发生，不是互斥事件，故A 错；不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件A 和事件B 不相互独立，故B 正确； 事件B 的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C 错； 事件A 与事件C 为对立事件，故D 错. 故选：B.6．在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．35C ．33D ．63【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线AE ，FG 所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案.【详解】连接DE ，因为点F ，G 分别为棱CD ，AC 的中点， 所以FG //AD ，所以EAD ∠或其补角为异面直线AE ，FG 所成角，设正四面体的边长为a ， 则3AE DE ==，AD a =， 由余弦定理得：222222233344cos 232a a a AE AD DE EAD AE AD a+-+-∠===⋅⨯所以异面直线AE ，FG 3故选：C7．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F (-c ，0)，2F (c ，0)，若椭圆C 上存在一点M 使得12MF F △的内切圆半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用12MF F △的面积相等，得到2M a c y +=，得到2a cb +≤，消去b ，整理化简求出离心率的取值范围.【详解】12MF F △的面积为1212M F F y ⋅. 因为12MF F △的内切圆半径为2c，所以12MF F △的面积可表示为()12222c a c +⋅.所以()11222222M c c y a c ⨯⋅=+⋅，所以2M a cy +=. 因为M y b ≤，所以2a cb +≤. 两边平方得：222a c b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，而222b ac =-，所以2222a c a c +⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，整理得：225230c ac a +-≤,因为离心率c e a=，所以25230e e +-≤，解得：305e <≤.故选：A.8．如图，三棱柱111ABC A B C 满足棱长都相等且1AA ⊥平面ABC ，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．先增大再减小B ．减小C ．增大D ．先减小再增大【答案】D【分析】以AC 中点O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x ∈，通过空间向量来求二面角的cos θ=23115()24-+x ，故cos θ在1(0,)2x ∈上单增， 1(,2)2x ∈上单减，即随着x 增大先变大后变小，所以θ随着x 增大先变小后变大.即可得出结果.【详解】以AC 中点O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x ∈，(3,0,0)(0,1,1)(0,1,)，，-B D E x ,(3,1,1)DB =--，(0,2,1)DE x =--，设平面BDE 法向量(,,)n a b c =,则0302(1)0n DB a b cn DE b c x ⎧⎧⋅==+⎪⇒⎨⎨⋅=-+-=⎪⎩⎩，令3c =13(1)23a xb xc =+⎧⎪-⎨⎪=⎩， 故(1,3(1),3)n x x =+-.又平面ABC 的法向量(0,0,1)m =，故平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角θ的余弦值222233cos (1)3(1)124m n m nx x x x θ⋅===++-+-+23115()24x =-+(0,2)x ∈，故cos θ在1(0,)2x ∈上单增， 1(,2)2x ∈上单减， 即随着x 增大先变大后变小，所以θ随着x 增大先变小后变大. 故选：D.【点睛】本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目.二、多选题9．甲、乙两人在高二的6次数学成绩统计的折线图如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ．若甲、乙两组成绩的平均数分别为1x ，2x ，则12x x >B ．若甲、乙两组成绩的方差分别为2212,s s ，则2212s s >C ．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 【答案】AC【分析】对四个选项一一判断：根据折线图直接判断选项A 、B 、D ；分析甲乙的中位数，判断C. 【详解】由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以12x x >.故选项A 正确；由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得2212s s <.故选项B 错误；由折线图可得甲同学的成绩的第3和第4均大于90，乙同学的成绩的第3和第4均小于90，所以甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数. 故选项C 正确；因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D 错误. 故选:AC10．如图，已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为2，22，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为20π，则侧棱长为（ ）A 2B ．2C 6D 10【答案】AD【分析】根据球的表面积公式可求得球的半径R ；作出截面11BDD B ，设外接球球心为O ，棱台底面的中心分别为1,G G ，分别讨论O 在四边形11BDD B 内和O 在四边形11BDD B 外两种情况，结合勾股定理可求得棱台的高1GG ，进而可得侧棱长.【详解】正四棱台的外接球表面积2420S R ππ==，解得：5R =，即球的半径为5；884BD =+=，11222B D =+=，作出截面11BDD B ，设外接球球心为O ，棱台底面的中心分别为1,G G ， 若O 在四边形11BDD B 内，如下图所示，22111512OG R B G ∴=-=-=，22541OG R BG =-=-=， 113GG OG OG ∴=+=， ()2211111910BB BG B G GG ∴=-+=+=，即棱台侧棱长为10；若O 在四边形11BDD B 外，如下图所示，22111512OG R B G ∴=-=-=，22541OG R BG =--=， 111GG OG OG ∴=-=，1BB ∴==；故选：AD.11．设圆O 22:4x y +=，直线:250l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法中正确的是（ ） A ．直线l 与圆O 相交B ．直线AB 恒过定点84,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．当P 的坐标为()21--，时，APB ∠最大 D ．当||PO AB ⋅最小时，直线AB 的方程为240x y ++= 【答案】BCD【分析】求出圆心O 到直线l 的距离d =对于A ：由dr 直接判断；对于B ：设(),25P m m --.求出以OP 为直径的圆D 的方程，得到直线AB ：()2540m x y y -+++=.证明直线AB 恒过定点84,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.对于C ：先判断出 要使APB ∠最大，只需OPA ∠最大.在直角OPA 中，由2sin OPA OP∠=.求出OP 最小时P ()21--，，即可判断；对于D ：利用面积相等得到要使||PO AB ⋅最小，只需PO 最小，即OP l ⊥时，得到P的坐标为()21--，，求出直线AB . 【详解】圆O 22:4x y +=的半径2r =.设圆心O 到直线:250l x y ++=的距离为d ，则d对于A ：因为5d r =，所以直线l 与圆O 相离.故A 错误； 对于B ：P 为:250l x y ++=上的动点，可设(),25P m m --. 因为P A ，PB 为过点P 作圆O 的两条切线，所以,PA OA PB OB ⊥⊥. 所以,,,O A P B 四点共圆，其中OP 为直径.设OP 的中点为25,22m m D +⎛⎫- ⎪⎝⎭,则222522m m OD +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以圆D 为222225252222m m m m x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()22520x mx y m y -+++=.所以直线AB 为圆D 和圆O 的相交弦，两圆方程相减得：()5240mx m y -+++=. 即直线AB ：()2540m x y y -+++=.由20540x y y +=⎧⎨+=⎩解得：8545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线AB 恒过定点84,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故B 正确；对于C ：因为OPA 和OPB △为直角三角形，且,OP OP OA OB ==,所以OPA OPB ≅， 所以OPA OPB ∠=∠，所以2APB OPA ∠=∠. 要使APB ∠最大，只需OPA ∠最大. 在直角OPA 中，2sin OA OPA OP OP∠==. 要使OPA ∠最大,只需OP 最小，所以当OP l ⊥时，5OP d ==此时1OP l k k ⋅=-，所以12OP k =，所以直线1:2OP y x =.由12250y xx y ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=-⎩，即当P 的坐标为()21--，时，APB ∠最大.故C 正确； 对于D ：因为直线AB 为圆D 和圆O 的相交弦，所以AB OP ⊥，且AB 被OP 平分. 所以四边形OAPB 的面积为||12PO B S A ⋅=. 而四边形OAPB 的面积还可以表示为2222212|2|2||2OPAPA OA OP OA O S A OP =⨯==⋅-⋅-⋅所以22||2212PO AB OP S =-=⋅⋅.要使||PO AB ⋅最小，只需PO 最小，即OP l ⊥时，得到P 的坐标为()21--，. 所以圆22:20D x x y y +++=,两圆相减得到直线AB ：240x y ++=.故D 正确. 故选：BCD.12．给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算：a b ⨯．规定：①a b ⨯为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；③ ||||||sin a b a b a b ⨯=〈〉，．如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，124AB AD AA ===，，则下列结论正确的是（ ） A ．1AB AD AA ⨯= B ．AB AD AD AB ⨯=⨯C ．111()AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ D ．11111()ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅【答案】ACD【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =AD =2，14AA =，A ：1AA 同时与AB AD ，垂直，sin =22sin 904AB AD AB AD AB AD ︒⨯=⨯⨯=，，又因为1=4AA ，所以AB AD ⨯=1AA ，且AB AD ，，1AA 构成右手系， 故1=AB AD AA ⨯成立，故A 正确；B ：根据a b a b ⨯，，三个向量构成右手系，可知1=AB AD AA ⨯，1=-AD AB AA ⨯， 则AB AD ⨯≠AD AB ⨯，故B 错误；C ：11()224sin 90AB AD AA AC AA ︒+⨯=⨯==1AC AA ⨯与DB 同向共线，124sin 908AB AA ︒⨯=⨯=，且1AB AA ⨯与DA 同向共线，又124sin 908AD AA ︒⨯=⨯=，且1AD AA ⨯与AB 同向共线，即1AD AA ⨯与DC 同向共线，所以1182AB AA AD AA ⨯+⨯=11AB AA AD AA ⨯+⨯与DB 同向共线，所以1()AB AD AA +⨯=11AB AA AD AA ⨯+⨯，故C 正确； D ：长方体1111ABCD A B C D -的体积22416V ，2111()416AB AD CC AA CC ⨯⋅=⋅==，所以1111ABCD A B C D V -=1()AB AD CC ⨯⋅，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．双曲线22143x y -=的渐近线方程是_________________.【答案】y = 【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.【详解】双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，所以双曲线22143x y -=的渐近线方程是y =.故答案为y = 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.14．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===∠=∠=∠=°，则1AC =___________．【分析】利用空间向量基本定理，得到11AC AB AD AA =++，即可求出16AC =【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AC AB BC CC =++. 因为11,AD BC AA CC ==，所以11AC AB AD AA =++. 所以11AC AB AD AA =++()21AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++++⋅+⋅+⋅=15．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________. 【答案】512【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.【详解】解：设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,12,B B 分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得 ()()212313392,448416P A P A ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭()()212214242,33939P B P B ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭设A =“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则1221A A B A B =,且12A B 与21A B 互斥,1A 与2B ,2A 与1B 分别相互独立,所以()()()1221P A P A B P A B =+()()()()1221P A P B P A P B =+349458916912=⨯+⨯=因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512. 故答案为：51216．矩形ABCD 中，AB =1BC =，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折，设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，BD 的范围为______.【答案】71022⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，根据DB DE EF FB =++，计算275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图1，分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，垂足分别为F ，E ， 则在四面体ABCD 中也满足BF AC DE AC ⊥⊥，． 因为3AB =，1BC =，所以2AC =，13322DE BF ⨯===， 则12AE CF ==，1EF =．在四面体ABCD 中，DB DE EF FB =++，因为二面角D AC B --的平面角为θ，且BF AC DE AC ⊥⊥，， 所以DE 和FB 的夹角为πθ-， 所以()222222DB DE EF FBDE EF FB DE FB =++=+++⋅()2233335312cos πcos 22θθ=+++-=-⎝⎭⎝⎭因为ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则7102DB ⎡∈⎢⎣⎦． 故答案为：710⎡⎢⎣⎦，四、解答题17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 3cos 0b C c B +⋅=.(1)求角B 的大小；(2)若7b =，8a c +=，求△ABC 的面积. 【答案】(1)23π (2)1534【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）由正弦定理可得sin sin 3sin cos 0B C C B +⋅=， 又()0,C π∈，所以sin 0C ≠，因此tan 3B =-， 又()0,B π∈，所以23B π=； （2）由余弦定理，得()()2222222cos 22cos3b ac ac B a c ac ac a c ac π=+-=+--=+-， 所以()22644915ac a c b =+-=-=， 所以△ABC 的面积113153sin 152224S ac B ==⨯⨯=. 18．第19届亚运会将在杭州举行．某高校承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的众数、平均数和第60百分位数（精确到0.1）；(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．【答案】(1)0.0050.025a b ==，；(2)众数：70，平均数等于695，第60百分位数等于71.7；(3)35.【分析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，求出a ；利用频率和为1，求出b ； （2）由频率分布表进行数据分析，分别求出众数，平均数和第60百分位数；（3）先判断出从在第四、五两组志愿者中分别抽取了4人和1人，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以100.650.7a +=，解得0.005a =. 由频率和为1，即()20.0050.065101b ⨯++⨯=，解得：0.025b =. （2）由频率分布表进行数据分析可得：众数为70；平均数等于500.05600.25700.45800.2900.05695⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 第60百分位数等于0.60.3645651071.70.750.39-+⨯=≈-：（3）可知从在第四、五两组志愿者中分别抽取了4人和1人．故选出的两人来自同一组的概率为2425C 3C 5=． 19．已知圆C 经过点M （0，-2）和N （3，1），圆心C 在直线210x y ++=上．直线l 的方程为()()21160m x m y m ++--=(1)求圆C 的标准方程；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最大值和最小值． 【答案】(1)()()22329x y -++= (2)最长等于6；最短等于【分析】（1）利用待定系数法求出圆C 的标准方程；（2）先判断出直线l 过定点P （2，-2），得到最长弦为直径，利用垂径定理求出最短弦.【详解】（1）因为圆心C 在直线210x y ++=上，所以可设()12,C n n -- 由圆C 经过点M （0，-2）和N （3，1）=解得：2n =-，即圆心坐标为()3,2-，所以半径3r =.所以圆C 的标准方程()()22329x y -++=.（2）将直线l 的方程()()21160m x m y m ++--=整理为()()260x y m x y ++--=，令0260x y x y +=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩，故直线l 过定点P （2，-2）.又点P 在圆C 内，故当直线l 与直线PC 重合时，弦长最长，等于直径长为6； 当直线l 与直线PC 垂直时，弦长最短，此时圆心到l 的距离为()()2232221d =-+-+=，由垂径定理得，弦长为22229142r d -=-=．20．如图，在棱长为2 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱CD ， 11A B 的中点．(1)求直线1C F 与直线AE 间的距离： (2)求直线1DD 与平面1AED 所成角的正弦值． 【答案】(1)直线1C F 与直线AE 230(2)直线1DD 与平面1AED 6【分析】（1）根据题意可知四边形1AEC F 是菱形，运用勾股定理、菱形面积公式即可解得直线1C F 与直线AE 间的距离.（2）建立空间直角坐标系，直接按照线面角的向量求法求解即可．【详解】（1）解： 在棱长为2 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱CD ， 11A B 的中点．由题意可知：1//AE C F ，A 、E 、1C 、F 四点共面， 根据勾股定理可得： 115AE AF FC C E ====， ∴四边形1AEC F 是菱形， ∴22EF =，123AC =，∴111262AEC FSEF AC =⨯⨯= ， ∴12623055AEC FSd AE=== ， ∴直线1C F 与直线AE 间的距离为：2305.（2）以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以 DC 所在的直线为y 轴，1DD 所在的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()10,2,2C ，()2,1,2F ，()2,0,0A ，()0,1,0E ，()0,0,0D ，()10,0,2D ， ∴ ()10,0,2DD =，()=2,1,0AE -，()1=2,0,2AD -， 设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则100n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y x z -=⎧⎨-+=⎩ ，故令1x =，则2y =，1z =， ∴ 平面1AED 的法向量为：()1,2,1n =，111·26cos ,26n DD n DD n DD ∴==，设直线1DD 与平面1AED 所成角为θ ， 则1sin cos ,n DD θ=，6sin θ=∴直线1DD 与平面1AED 621．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，,2FA FC AB ==，且60DAB DBF ∠=∠=．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ：(2)若M 为线段DE 上的一点，满足直线AM 与平面ABF 230求线段DM 的长．【答案】(1)证明见解析 31-【分析】（1）先做辅助线，再利用线面垂直判定定理判定定理证明.（2）建立直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过直线与平面所成角的正弦值计算公式求解即可得到答案.【详解】（1）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ． ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥ O 为AC 中点，FA FC =， ∴AC FO ⊥．又FO BD O ⋂=，BD ⊂平面BDEF ，FO ⊂平面BDEF ∴AC ⊥平面BDEF ． （2）连接DF∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=， ∴BDF 为等边三角形． ∵O 为BD 的中点， ∴FO BD ⊥又0AC FO AC BD ⊥⋂=，，BD ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴FO ⊥平面ABCD ． ∴OA 、OB 、OF 两两互相垂直如图，以O 为坐标原点，OA 、OB 、OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．∵四边形ABCD 为菱形，260AB BAD =∠= ∴222,3BD OA AB OB ==-= ∵△BDF 为等边三角形， ∴3OF =设DM x =,则()()()133,0,0,0,1,0,0,0,3,0,1,22AB F M x x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭13(3,1,0),(0,1,3),(3,1,)22AB BF AM x x ∴=-=-=---设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则3030AB n x y BF n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则3,1y z ==，故(1,3,1)n = 则2||23230|cos ,|15||||54AM n AM n AM n x x ⋅===++，解得312x -=，即线段DM 的长为312-. 故答案为312-. 22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为63．点P 是椭圆E 上的一个动点，且P 在第一象限．记12PF F △的面积为S ，当212PF F F ⊥时，263S =．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图，1PF ，2PF 的延长线分别交椭圆于点M ，N ，记12MF F △和12NF F △的面积分别为1S 和2S ．求证：存在常数λ，使得1211S S Sλ+=成立． 【答案】(1)22162x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由题得关于,,a b c 的方程组，解方程组即得解；（2）设00(,)P x y ，00(0,0)x y >>，1122(,),(,)M x y N x y ，解方程组求出12,y y 的值，再求出12,,S S S 即得证.【详解】（1）由题得222221,x y b y a b a x c⎧+=⎪∴=±⎨⎪=⎩. 所以当212PF F F ⊥时，22||b PF a =.由已知得c a2122b c a ⋅⋅=222a b c =+，所以22b =，从而2264a c ==，，所以椭圆E 的方程为22162x y +=. （2）根据椭圆的对称性，可设00(,)P x y ，0000x y >>（，），1122(,),(,)M x y N x y ，则2200162x y +=即220036x y +=， 因为12(2,0),(2,0)F F -，直线PM 与直线PN 的斜率均不为零， 所以设直线PM 的方程为2x my =-（其中002x m y +=）， 直线PN 的方程为2x ny =+（其中002x n y -=）， 联立222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my +--=，所以01223y y m =-+，所以220001222000000223442523y y y y x y x x x y =-=-=-++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以01025y y x =-+， 由222162x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420n y ny ++-=，所以02223y y n =-+， 所以220002222000000223445223y y y y x y x x x y =-=-=-+-+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以02052y y x =--，第 21 页 共 21 页 所以12001121121222111222222S F F y y S F F y y S F F y y =⋅⋅==⋅⋅=-=⋅⋅=-，，， 所以00121200052521111101022222x x S S y y y y y S ⎛⎫+-+=-+=+== ⎪⎝⎭ 即存在常数10λ=，使得1211S S Sλ+=成立． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
浙江省宁波市余姚市余姚中学2021-2022高二数学上学期期中试题(含解析)
浙江省宁波市余姚市余姚中学2021-2022高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：1.双曲线2222x y -=的焦点坐标是( )A. 10±（，）B. 1±（0，）C. (0,D.(0)【答案】D 【解析】 【分析】将2222x y -=化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.【详解】由2222x y -=得2212y x -=,故222221,2,3a b c a b ===+=,故焦点坐标(0)故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与焦点坐标,属于基础题型.2.已知椭圆221168x y +=的一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点M 到椭圆的另一个焦点的距离等于( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由题可得椭圆上的点到两个焦点之间的距离之和为28a =,利用28a =即可求得.【详解】由题4,28a a ==,故椭圆上的点到两个焦点之间的距离之和为8,又M 到椭圆的一个焦点的距离等于6,故M 到椭圆的另一个焦点的距离等于862-= 故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的定义,属于基础题型.3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，上底长为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积为( )A. B. 6C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的图像性质,原平面图形面积为斜二测画法所得面积的倍,故先求得斜二测画法梯形的面积再乘以即可.【详解】由题意得,斜二测画法内梯形的上底长为2,sin 451︒=,下底长为22454+︒=,故斜二测图像内梯形面积1(24)132S =+⨯=,故原平面图形面积03S =⨯= .故选：C【点睛】本题主要考查原图形面积为斜二测画法内面积的.属于基础题型.4.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是 （ ）①若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥； ②若a α⊥，a β⊂，则αβ⊥； ③若m α⊥，n α⊥，则//m n ； ④若m α⊂，n β⊂，//αβ则//m n 。
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2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的( )A．2倍B．2倍C．倍D．32．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．B．C．D．3．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．34．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=，=，=，则用向量，，可表示向量为( )A．++B．﹣++C．﹣+D．﹣+﹣5．圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为( )A．6πB．5πC．3πD．2π6．若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是( )A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线7．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°8．已知一个高度不限的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，点P是侧棱AA1上一点，过A作平面截三棱柱得截面ADE，给出下列结论：①△ADE是直角三角形；②△ADE是等边三角形；③四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．其中有不可能成立的结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共7小题，第9～12题每题6分，第13～15题每题4分，共36分．）9．一圆柱的底面直径和高都是3，则它的体积为__________侧面积为__________．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__________．外接球半径为__________．11．已知向量=m+5﹣，=3++r若∥则实数m=__________，r=__________．12．各边长为1的正四面体，内切球表面积为__________，外接球体积为__________．13．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是__________．14．三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M在△AB C内，∠MPA=∠MPB=60°，则∠MPC=__________．15．如右图，在正三棱锥S﹣ABC中，M，N分别为棱SC，BC的中点，AM⊥MN，若，则正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积为__________．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．17．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2，M，N分别是线段PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC，E为PC的中点，M为AB 的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（I）求证：BE⊥平面PAC；（II）求证：CM∥平面BEF．19．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥EF；（Ⅱ）若AF=1，且二面角B﹣EF﹣C的大小为30°，求CE的长．20．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的( )A．2倍B．2倍C．倍D．3【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】直接应用公式化简可得球的半径扩大的倍数，然后求出体积扩大的倍数．【解答】解：解：设原球的半径R，∵球的大圆的面积扩大为原来的2倍，则半径扩大为原来的倍，∴体积扩大为原来的2倍．故选B．【点评】本题考查球的表面积、体积和球的半径的关系，是基础题．2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．3．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题．【分析】要求解本题，根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻找特例，进行排除即可．【解答】解：①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题4．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=，=，=，则用向量，，可表示向量为( )A．++B．﹣++C．﹣+D．﹣+﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用；空间向量及应用．【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出．【解答】解：===﹣．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则，属于基础题．5．圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为( )A．6πB．5πC．3πD．2π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后，可得圆锥的表面积．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的表面积S=πr（r+l）=3π，故选：C．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．6．若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是( )A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴α内所有的直线都与a异面或相交，故A和C均错误；直线a与平面α至少有一个公共点，故B正确；当a⊂α时，α内存在与a平行的直线，故D不正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．【点评】本题主要考查正方体体对角线的性质．8．已知一个高度不限的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，点P是侧棱AA1上一点，过A作平面截三棱柱得截面ADE，给出下列结论：①△ADE是直角三角形；②△ADE是等边三角形；③四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．其中有不可能成立的结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】运动思想；反证法；简易逻辑．【分析】因为是高度不限，所以①②都可能成立；③可对四个顶点分别讨论，用反证法逐个得出矛盾，得出结论．【解答】解：如图，做直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，①不妨取AD=6，AE=10，DE=8，则△ADE是直角三角形，①可能成立；②不妨令AD=AE=DE=a（a＞6），则△ADE是等边三角形，②可能成立；③假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，当A为直角顶点时，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，PA⊥底面ABC，则 E，D分别与C，B重合，此时，∠EAD不是直角，与假设矛盾，假设不成立，当P为直角顶点时，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知则∠EPD不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立，当E或D点为直角顶点时，不妨选E为直角顶点，则DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA═A，EP⊂平面ACC1A1，EA⊂平面ACC1A1，则平面ACC1A1与平面BCC1B1垂直，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可证∠ACB为二面角的平面角，∠ACB═90°，与题意矛盾，假设不成立．综上③错误．故选：B．【点评】考查了空间几何体的线面平行，垂直的应用．难点是③的分类判断．二、填空题（本大题共7小题，第9～12题每题6分，第13～15题每题4分，共36分．）9．一圆柱的底面直径和高都是3，则它的体积为侧面积为9π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离．【分析】直接利用圆柱的体积公式求解体积，侧面积公式求解侧面积即可．【解答】解：一圆柱的底面直径和高都是3，底面半径为：；则它的体积为：V=SH=（）2π•3=．侧面积为：3π×3=9π．故答案为：π；9π．【点评】本题考查圆柱的体积以及侧面积的求法，考查计算能力．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．外接球半径为．【考点】球内接多面体．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是2，在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面的侧棱，侧棱长是2，建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，点的球心的坐标，可得球的半径，做出体积．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1，∴几何体的体积V=××2×1×2=．以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（﹣1，，0）∵（x﹣2）2+y2+z2=x2+y2+z2，①x2+y2+（z﹣2）2=x2+y2+z2，②（x+1）2+（y﹣）2+z2=x2+y2+z2，③∴x=1，y=，z=1，∴球心的坐标是（1，，1），∴球的半径是，故答案为：，．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，考查利用空间向量解决立体几何问题．11．已知向量=m+5﹣，=3++r若∥则实数m=15，r=﹣．【考点】共线向量与共面向量．【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．【分析】由∥得出坐标对应成比例，分别求出实数m和r即可【解答】解：向量=m+5﹣=（m，5，﹣1），=3++r=（3，1，r），∥，则==解得m=15，r=﹣故答案为：15，﹣【点评】本题考点是空间共线向量的坐标表示，考查了空间共线向量等价条件的简单应用．12．各边长为1的正四面体，内切球表面积为，外接球体积为．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为1的正四面体的外接球体积、内切球的表面积．【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．设正四面体PABC底面面积为S．将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．每个正三棱锥体积V1=•S•r 而正四面体PABC体积V2=•S•（R+r）根据前面的分析，4•V1=V2，所以，4••S•r=•S•（R+r），所以，R=3r，因为棱长为1，所以AD=，所以PD=，所以R=，r=所以棱长为1的正四面体的外接球体积为π•（）2=、内切球的表面积为4π•（）2=，故答案为：，【点评】本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的表面积，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．13．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】欲求d的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A点，再将正方体展开，找到6个面的中心点，经观察可知蚂蚁爬行最短程为6个正方体的棱长+展开图形中半个正方形对角线的长．【解答】解：欲求d的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A点，正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程的最大值S=5+=．故答案为：．．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题关键是找到A点在正方体展开图形中的对应点及6个面的中心点，有一定的难度．14．三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M在△ABC内，∠MPA=∠MPB=60°，则∠MPC=45°．【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；运动思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ，由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=，从而可得cos∠QPC=，再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，即可求∠MPC．【解答】解：如图，过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ．∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ，∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°﹣60°=30°．由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=．∵∠QPC是∠QPB的余角，∴cos∠QPC=．再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=．∴∠MPC=45°．故答案为：45°．【点评】本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，利用好公式是关键，是中档题．15．如右图，在正三棱锥S﹣ABC中，M，N分别为棱SC，BC的中点，AM⊥MN，若，则正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积为．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=，∴R=，∴V=πR3=π×=故答案为：【点评】本题考查了三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力．三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】（1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，满足定理所需条件．【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO，∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1；（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D1【点评】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2，M，N分别是线段PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）连结AC，交BD于点O，由已知得MN∥AC，由此能证明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）由已知得∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，由此能求出异面直线MN与BC 所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC，交BD于点O，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，∵四边形ABCD是菱形，AB=2，BO=，∴∠OCB=60°，∴异面直线MN与BC所成的角为60°．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC，E为PC的中点，M为AB 的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（I）求证：BE⊥平面PAC；（II）求证：CM∥平面BEF．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）证C A⊥平面PBC，可得BE⊥AC，由E为PC中点，且PB=BC得BE⊥平面PAC；（2）取AF中点N，连接CN，MN，证平面MNC∥平面BEF，即能证得CM∥平面BBF．【解答】证明：（1）∵PB⊥底面ABC，且AC⊂平面ABC∴AC⊥PB．由∠BCA=90°，得AC⊥BC又∵PB∩BC=B∴AC⊥平面PBC∵BE⊂平面PBC∴AC⊥BE∵PB=BC，E为PC中点∴BE⊥PC又∵PC∩AC=C，且PC、AC∈平面PAC∴BE⊥平面PAC（2）取AF的中点G，连接CG、GM∵FA=2FP∴GF=AF=FP又∵E为PC中点∴EF∥CG∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF∴CG∥平面BEF同理可证：GM∥平面BEF又∵CG∩GM=G∴平面CMG∥平面BEF∵CM⊂平面CGM∴CM∥平面BEF．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理及性质、直线与平面平行的证明方法，解题中要注意空间各种关系的相互转化．19．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥EF；（Ⅱ）若AF=1，且二面角B﹣EF﹣C的大小为30°，求CE的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）通过题意可得四边形ACEF在同一平面内，利用线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（Ⅱ）以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz，通过平面BEF的一个法向量与平面CEF的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值为，计算即得CE的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴AF∥CE，∴四边形ACEF在同一平面内，∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD，又∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACEF，∴BD⊥EF；（Ⅱ）解：以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设CE=a，则B（1，0，0），F（0，0，1），E（1，1，a），∴=（﹣1，0，1），=（0，1，a），设平面BEF的一个法向量为=（x，y，1），由，得，∴=（1，﹣a，1），由（I）知=（1，﹣1，0）是平面CEF的一个法向量，∴|cos＜，＞|==cos30°=，∴a=2，即CE=2．【点评】本题考查空间中线线垂直的判定及性质，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】法一：（Ⅰ）连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，可证A1O⊥底面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明向量的数量积为0 即可得到BD⊥AA1；（Ⅱ）确定平面AA1C1C、平面AA1D的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，求出平面DA1C1的法向量，利用数量积为0，即可求得结论．法二：（Ⅰ）先证明BD⊥平面AA1O，即可证得AA1⊥BD；（Ⅱ）过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则∠DEO为二面角D﹣AA1﹣C的平面角，求出OE、DE，即可求得二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）存在这样的点P，连接B1C，在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，可得四边形BB1CP为平行四边形，进而利用线面平行的判定可得结论．【解答】法一：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°∴A1O2=AA12+AO2﹣2AA1•Aocos60°=3∴AO2+A1O2=A12∴A1O⊥AO，∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AO∴A1O⊥底面ABCD∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），A1（0，0，）…∵，，∴∴BD⊥AA1…（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量设⊥平面AA1D，，则由得到，∴…∴所以二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1设，则得…设⊥平面DA1C1，，则由得到，∴…又因为平面DA1C1，则•，∴，∴λ=﹣1即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP …（13分）法二：（Ⅰ）证明：过A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD 又底面为菱形，所以AC⊥BD∵A1O∩AC=O∴BD⊥平面AA1O∵AA1⊂平面AA1O∴AA1⊥BD…（Ⅱ）解：在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°，∴AO=AA1•cos60°=1所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE，故∠DEO为二面角D﹣AA1﹣C的平面角…在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=在Rt△AEO中，OE=OA•sin∠EAO=DE=∴cos∠DEO=∴二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…（Ⅲ）解：存在这样的点P，连接B1C，∵A1B1AB DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP …∵B1B CC1，…∴BB1CP∴四边形BB1CP为平行四边形∴BP∥B1C，∴BP∥A1D∵BP⊄平面DA1C1，A1D⊂平面DA1C1，∴BP∥平面DA1C1…（13分）【点评】本题考查线面位置关系，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行、垂直的判定方法，正确作出面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．- 21 -。