2.9函数的应用---根与零点及二分法
函数应用零点二分法知识点和练习
一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
方程的根与函数的零点教案
方程的根和函数的零点（说课稿）、教材分析：函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，得用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。
因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。
1. 知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。
2. 过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。
培养学生函数和方程结合思想的能力。
3. 思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。
『重点。
难点。
关键点』：1． 重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。
2． 难点：理解探究发现函数零点的存在性。
理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。
3． 关键点：帮助学生寻找方程和函数图象之间的联系。
『教学方法和手段』：教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）教学手段：教学软件PPT 和几何画板辅助教学。
『教学进程构思及说明』：置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。
2(1)230x x --= 2(2)210x x -+= 2(3)230x x -+=通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？（表格见资料）课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。
（反馈课前作业，抽学生回答。
）分析：1． 方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程0322=--x x 的两实根对应与函数与x 轴的交点坐标的横坐标。
高一数学函数的零点与二分法教案
一. 教学内容：函数的零点与二分法二. 学习目标1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。
2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。
三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
说明：（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数X 围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点．3、函数零点存在性的判定方法对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。
说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
2-9函数零点
函数与方程【学习目标】1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．【考情分析】从近两年的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考中常见的题目类型．【知识要点】一、函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c ∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．二、、二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点c.第三步，计算：①若，则c就是函数的零点；②若，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．【典型例题】题型一、函数零点的求解与判断（函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.）1．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，则下列说法错误的是 ( ) A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点B．函数f(x)在(3,5)内无零点C．函数f(x)在(2,5)内有零点D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )A ．0,2 B ．0，12 C ．0，－12D ．2，－123、判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]；(2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]；(3)f (x )＝1x－x ，x ∈(0,1)． 4、函数f (x )＝x －4x的零点个数为________． 5．判断函数y ＝ln x ＋2x －6的零点个数．6、判断方程3x －x 2＝0的负实数根的个数，并说明理由．7、若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是 ( )A ．多于4个 B ．4个C ．3个 D ．2个8．(2011·顺义模拟)已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值 ( )A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值 D ．不大于0题型二、二分法1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5) f (0.25)B ．(0,1) f (0.25)C ．(0.5,1) f (0.75)D ．(0,0.5) f (0.125)3．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函那么方程x ＋x －2x －2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．题型三、函数零点的综合应用1、已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m ，是否存在实数m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2、判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．3、已知函数f (x )＝－x 2＋2e x＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的范围为____________．5．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解，则a 的取值范围 ( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <16．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且只有一个零点，则实数m 的值为________．【高考链接】1．（2012年高考（北京文））函数121()()2x f x x =-的零点个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2 ．（2012年高考（天津理））函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2x π≠时 ,()()02x f x π'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ）A ．2B ．4C ．5D ．85．（2012年高考（湖北文））函数()cos2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2012年高考（辽宁理））设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．87．（2012年高考（湖北理））函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．71、（2009福建卷文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是【 】A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2、(2009山东卷文)若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 }1|{>a a3、（2010上海文数）17.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 【 】（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）4．(2010·福建高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2010·天津高考)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间 ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0 )C ．(0,1)D ．(1,2)6．(2010·天津高考)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)7．(2010·浙江高考)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)， 则 ( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞08．(2010·浙江高考)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2] D ．[2,4]9．(2010·上海高考)若x 0是方程(12)x ＝13x 的解，则x 0属于区间( ) A ．(23，1) B ．(12，23) C ．(13，12) D ．(0，13) 10（2011天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,211（2011天津文4）函数()=2x f x e x +-的零点所在的一个区间是（ ）．Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 12（2011重庆理10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 1313（2011山东理16）已知函数()log a f x x x b =+-()0,1a a >≠，当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数()f x 的零点()0,1,x n n n N *∈+∈，则n = . 14（2011辽宁文16）已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．【课后作业】一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f (x )零点的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[1.9,2.3]C ．[4.1,5]D ．[5,6.1]2．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( ) A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点 C ．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 4．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．若函数f (x )在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )A ．5次 B ．6次 C ．7次 D ．8次7．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0.则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A ．5 B ．4 C ．3 D ．2二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)1．(2011·厦门质检)若函数f (x )＝e x ＋2x －6(e ≈2.718)的零点属于区间(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．3．(2011·珠海模拟)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，若在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．三、解答题(共3小题，满分35分)1．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14. 证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0. 2．若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．3．(1)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的值；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．4．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．5．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且D 的长度为12－t .10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．11.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．12．(14分)(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．。
新课标高中数学人教A版必修一教材解读
新课标高中数学人教A 版必修一教材解读5三明二中 范训库２．９方程的根与函数的零点（1节）三维目标：知识与技能：理解函数（特别是二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件过程与方法：从已有的基础出发，从具体到一般揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系，零点存在的判断情感、态度与价值观：从函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。
教材分析：重点：方程的零点存在的判断难点：方程的零点与方程的根关系教学顺序：由二次函数图象与x 的交点与相应方程的根的关系----零点的定义----零点与根的关系----零点的判断—范例选讲．例1：求下列函数的零点：（1）452+-=x x y （2）x x y 83-=（3）x x y 52+-= （4）)23)(2(22+--=x x x y例2：课本P88：例1例3：对于函数n mx x x f ++=2)(，若0)(,0)(>>b f a f ，则函数)(x f 在区间),(b a 内（ ）A 一定有零点B 一定没有零点C 可能有两个零点D 至多有一个零点学生练习：课本P88：练习1补充：求证函数54ln )(-+=x x x f 在),0(+∞内有且仅有一个零点。
作业：学案P60--61：1-12补充一节：二次方程的根的分布问题（略）２．１０用二分法求方程的近似解（1课时）知识与技能：会用二分法求函数的零点或方程的根的近似解，继续深化对函数与方程之间的联系的认识．过程与方法：通过具体实例的求解，体验、总结二分法的过程与步骤．情感、态度与价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。
教材分析：重点：二分法求方程的近似解难点：对近似解所在范围的缩小的理解教学顺序：引入------二分法求近似解过程范例-----二分法的定义------归纳出二分法的步骤---对精确度ε<-||b a 的理解----范例选讲例1：课本P90：例2例2：用二分法求函数3)(3-=x x f 的一个正零点（精确到0.01）（共计算7次）学生练习：1．求方程03323=-+x x 的一个实数解（精确到0.01）（共求10次）2．求函数632)(23--+=x x x x f 的一个正零点（精确到0.1）（)7.1=x3．课本P91：练习2作业：学案P61---62几点说明：1．函数概念的教学可以从学生在义务教育阶段已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念，再引入高中函数的定义，并加以比较两者定义的区别和联系。
函数二分法的原理及应用
函数二分法的原理及应用函数二分法是一种常用的数值计算方法，用于求解函数的根或者近似解。
它的原理很简单，但却能在很多实际问题中发挥重要作用。
函数二分法的原理是基于数学中的中值定理。
假设我们需要求解一个函数f(x)在区间[a, b]内的根，首先需要保证f(x)在这个区间上是连续的，并且f(a)和f(b)异号。
根据中值定理，存在一个介于a和b之间的解c，使得f(c)等于零。
利用这个定理，我们可以使用二分法逼近这个解。
二分法的具体步骤如下：1. 选取区间[a, b]的中点c = (a + b) / 2；2. 计算函数值f(c)；3. 如果f(c)等于零或者f(c)足够接近零（即满足给定的精度要求），则c就是所求的近似解；4. 如果f(c)和f(a)异号，则根据中值定理可知，解位于区间[a,c]内，于是将b更新为c，即b=c；5. 如果f(c)和f(b)异号，则解位于区间[c, b]内，于是将a更新为c，即a=c；6. 重复步骤2至5，直到满足结束条件。
函数二分法的应用非常广泛。
下面我们来介绍一些常见的应用场景：1. 方程求根：函数二分法可以用于求解方程的根。
通过将方程化为f(x)=0的形式，再利用二分法逼近解。
例如，可以使用二分法解方程x^2 - 2 = 0，不断缩小区间[a, b]的范围，最终得到近似解x=√2。
2. 函数极值点：函数二分法可以用来求解函数的极值点。
通过寻找函数值f(x)从正数变为负数或者从负数变为正数的点，再利用二分法逼近极值点。
这在优化问题中非常有用，可以用于寻找最大值或最小值。
3. 函数图像的分割：函数二分法可以用于将函数图像分割成若干区间，每个区间内的函数值满足特定条件。
这在曲线拟合、数值积分等问题中非常常见。
总之，函数二分法是一种简单实用的数值计算方法。
通过不断将区间一分为二，逼近解或满足特定条件的点，可以在实际问题中得到较好的近似结果。
无论是求解方程、寻找极值点还是分割函数图像，函数二分法都能发挥重要作用。
《用二分法求函数的零点》 讲义
《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。
简单来说，如果对于函数 f(x)，存在一个实数 c ，使得 f(c) ＝ 0 ，那么 c 就被称为函数 f(x) 的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1 ，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0 ，解得 x＝ 1 ，所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在方程求解、函数性质研究以及实际问题中都有着重要的意义。
二、为什么要用二分法求函数的零点在实际问题中，我们常常需要求出函数的零点，但很多函数的零点并不能通过简单的代数运算直接得出。
这时候，就需要用到一些数值方法来近似地求出零点，二分法就是其中一种简单而有效的方法。
二分法的基本思想是“逐步逼近”。
通过不断将区间一分为二，确定零点所在的子区间，然后重复这个过程，使包含零点的区间越来越小，从而得到零点的近似值。
与其他求零点的方法相比，二分法具有原理简单、易于理解和实现的优点，而且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。
三、二分法的原理假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b) ＜ 0 ），那么在区间（a, b) 内至少存在一个零点 c 。
我们取区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 ，计算 f(m) 。
如果 f(m) ＝ 0 ，那么 m 就是函数的零点。
如果 f(m) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, m 中；如果 f(m) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 m, b 中。
然后，我们再对新的区间重复上述步骤，不断缩小包含零点的区间，直到达到所需的精度。
四、二分法的具体步骤1、确定初始区间 a, b ，使得 f(a) × f(b) ＜ 0 。
2、计算区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 。
函数零点与二分法
1．函数零点 概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。
既存在，使得，这个也就是方程的根。
2.二分法 二分法及步骤： 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）； ③若·<，则令=（此时零点）； （4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。
（二）考点分析题型1：方程的根与函数零点例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A ．(0，1)B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，+∞) （2）设a 为常数，试讨论方程的实根的个数。
解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与y=-x+3的图象(如图)。
它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。
实际上这是要比较与2的大小。
当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。
由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C 。
（2）原方程等价于))((D x x f y ∈=0)(=x f x))((D x x f y ∈=)(x f y =0)(=x f )(x f y =x 0)(=x f ⇔)(x f y =x ⇔)(x f y =)(x f y =],[b a 0)()(<b f a f )(x f y =),(b a ),(b a c ∈0)(=c f c a[]b )(a f )(b f 0<)(x f y =)(x f ε)(x f a []b )(a f )(b f 0<εa ()b 1x )(1x f )(1x f 01x )(a f )(1x f 0b 1x ),(10x a x ∈)(1x f )(b f 0a 1x ),(10b x x ∈εε<-||b a a b )lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-0x 0x 0x 0x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-xa x x x a x x )3)(1(00301即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解； ③当或时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生法求方程lgx+x=3解所在的区间。
高一 数学 函数的零点与二分法课件
二分法在寻找函数零点中的应用
二分法是一种通过不断将区间 一分为二来逼近函数零点的数 值方法。
在给定一个连续函数和一个闭 区间，不知道零点所在的大致 位置时，可以使用二分法来找 到零点。
二分法的基本思想是，如果函 数在区间两端取值异号，则该 区间内必定存在一个零点。
二分法在解决函数零点问题中的优势
实例
以 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 为例， 其零点为 $x = -1, x = 3$。
高次函数的零点问题
高次函数零点定义
高次函数 $f(x)$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
零点求解方法
通过解高次方程来找到零点。
实例
以 $f(x) = x^3 - x - 1$ 为例，其零点为 $x = 1, x = -1, x = frac{1}{3}$。
以 $f(x) = x - 3$ 为例，其零点为 $x = 3$。
零点求解方法
通过解方程 $ax + b = 0$ 来找到零 点。
二次函数的零点问题
二次函数零点定义
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的
$x$ 值。
零点求解方法
通过解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 来找到零点。
导数法
通过判断导数的正负来判 断函数的单调性，进而找 到函数的零点。
03 二分法原理
二分法的定义
二分法定义
二分法是一种求解实数近似值的方法，通过不断将区间一分 为二，使区间长度逐渐缩小，当区间长度小于给定的误差范 围时，区间内的任意实数近似值即可作为所求的近似解。
《2.9第九节 函数与方程》 教案
20 / 29
【巩固】 4．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x>0 时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，则在 R 上，函数 f(x) 零点的个数为________．
21 / 29
解析：函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝2 012x＋log2
)
19 / 29
1 解析：选 A 注意到函数 f(x)＝ 5 x－log3x 在(0，＋∞)上是减函数，因此当 0<x1<x0 时，有 f(x1)>f(x0)，又 x0 是函数 f(x)的零点，因 此 f(x0)＝0，所以 f(x1)>0，即此时 f(x1)的值恒为正值，选 A.
－
－
＝e2>0，所以 f(0)· f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．
18 / 29
1 3．已知函数 f(x)＝ 5 x－log3x，若 x0 是函数 y＝f(x)的零点，且 0<x1<x0，则 f(x1)的值( A．恒为正值 C．恒为负值 B．等于 0 D．不大于 0
第九节
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 方程的根与函数零点的关系 2. 函数零点的判断方法 知识点 3. 二分法的概念 4. 用二分法求函数零点问题 5. 函数零点个数问题 6. 函数与方程的综合问题 教学目标 教学重点 教学难点
函数与方程
适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解 . 函数的零点及二分法 函数的零点及二分法
高中数学函数的应用
高中数学函数的应用在整个高中数学的学习过程中函数始终贯穿其中，并且新课标数学中强调数学的应用，与老教材相比较，新教材新增加了方程的根与函数的零点及二分法求方程的近似解更突出了高中函数的应用。
高中函数的应用主要有以下几个方面：一、方程的根与函数的零点例如：求函数62ln )(-+=x x x f 的零点的个数析：由0)3()2(<⋅f f 及函数的单调性可判断函数有且仅有一个零点。
二、二分法求方程近似解 例如：用二分法求方程237xx +=的近似解（精确到0.1）。
解：原方程即2370,()237x x x f x x +-==+-令，计算出函数()237x f x x =+-的对应值表：观察表格，可知(1)(2)0f f ⋅<，说明在区间（1，2）内有零点0x 。
取区间（1，2）的中点1 1.5x =，用计算器可的得(1.5)0.33f ≈。
因为(1)(1.5)0f f ⋅<，所以0(1,1.5)x ∈，再取(1,1.5)的中点2 1.25x =，用计算器求得(1.25)0.87f ≈-，因此(1.25)(1.5)0f f ⋅<，所以0(1.25,1.5)x ∈同理可得00(1.375,1.5),(1.375,1.4375)x x ∈∈，由1.375 1.43750.06250.1-=<，此时区间(1.375,1.4375)的两个端点，精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。
三、生活中实际问题与数学建模（高中函数模型）1、一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数模型的比较与选择。
例如：某个体经营者吧开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表：该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少万元才合算。
试制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润。
析：利用函数的性质（一次、二次、幂函数、指数、对数函数的性质），通过描点作图，选择函数模型，用待定系数法求解函数模型并检验。
方程的根与函数的零点
－4
媒
变式训练
体
……
演
存在 c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
示
2．方法：（1）存在性原理 （2）图象法
人教社 ·普通高中课程标准实验教科书 ·必修1 第三章 函数的应用 3.1函数与方程 第一课时
方程的根与函数的零点
1
教材分析
2
教法学法
3
重点难点
4
教学过程
5
教学反思
对教材的理解与把握
教材地位：
必修一第三章“函数与方程”是高中 数学的新增内容，是近年来高考关注的 热点.本章函数与方程是中学数学的核心概 念，并且与其它知识具有广泛的联系性， 地位重要。
教材分析
教法学法
教学过程
12
10
8
6
y=2^x-8 y=2x-4
4
2
y=ln(x-6)
-10
-5
xA = 2.00
A
B
5
xB = 3.00
C xC = 6.00 10
15
-2
-4
-6
设计意图：通过观察几个特殊函数图象，将 结论推广到一般函数，体现了由特殊到一般 的思想，同时也培养了学生的观察归纳能力。
Ⅰ
设计意图：从现实生活
中的问题，让学生体会动
与静的关系，系统与局部
的关系，提炼出数学模型.
Ⅱ
教材分析
教法学法
教学过程
讨论探究，揭示定理
2.将河流抽象成x轴，将前后的两个位 y
置视为A、B两点。请问当A、B与x轴 怎样的位置关系时，AB间的一段连续
A (a, f (a))
不断的函数图象与x轴一定会有交点？ 0
函数零点与二分法解析版 (1)
函数与方程[知识梳理]1．函数的零点,（1）零点的定义：对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的,实数x叫做函数y＝f（x）的零点．函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.（2）零点的几个等价关系：方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c 也就是方程f（x）＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[常用结论]有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．考点一: 函数零点所在区间判断1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选B∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1，2)．2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)解析：选A ∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13， 则g (0)＝1＞f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＜f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213＞f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，结合图象可得13＜x 0＜12.4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5 f (x )－4－2147在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)解析：选B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.[解题技法]确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二:判断函数零点个数[例1] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0[解析] 法一：(直接法)由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法)函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．[答案] B[解题技法]函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f (x )在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．[跟踪训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.2．(2019·南宁模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B 令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x (x ＞0)，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.考点三:函数零点的应用考向(一) 根据函数零点个数求参数[例2] (2019·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1][解析] 令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得e x (x ＋2)＜0，即x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得e x (x ＋2)＞0，即－2＜x ＜0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1，故选D.[答案] D考向(二) 根据函数零点的范围求参数范围[例3] 若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是____________．[解析] 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m <12.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，12考向(三) 求函数多个零点(方程根)的和[例4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x ，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3.答案：12＋ 3[规律探求]看个性考向(一)是根据函数零点的个数求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解.考向(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围. 考向(三)是求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线y ＝m 与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等). 找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤为：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况. (2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式.(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.[跟踪训练]1．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 解析：选D 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103，∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 2．若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________．解析：因函数f (x )在区间(2，3)内递增，则f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )·(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5.因为k ∈Z ，所以k ＝4.[课时过关检测] __A 级——夯基保分练1．(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为(1，2)．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.4．(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点．当x >0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3，分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x <0时，函数f (x )也有1个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.6．(多选)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．d ＜aB ．d ＞bC ．d ＞cD ．d ＜c解析：选ABD 由y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．7．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0， 即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1； 当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2. 因为x ≤0，所以x ＝－1. 综上，函数f (x )的零点为1，－1. 答案：1，－19．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5，10)． 答案：[5，10)10．(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．答案：－1 (0，1)11．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x . 又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1， 故实数a 的取值范围为(－1，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则有t ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1＜1，而原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. B 级——提能综合练13．(2019·宣城二模)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >d >bB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选A 根据题意，设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝g (x )＋2 019，若g (x )＝0，则x ＝a 或x ＝b ，即函数g (x )的图象与x 轴的交点为(a ，0)和(b ，0)．f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )＝0即g (x )＝－2 019，若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则g (x )的图象与直线y ＝－2 019的交点坐标为(c ，－2 019)和(d ，－2 019)，由图象知a >c >d >b ，故选A.14．(2019·湖南娄底二模)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________．解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 分别与函数y ＝1x的图象的公共点A ，B 的横坐标，而A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于直线y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1. 答案：115．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b . (1)求证：a >0且－3<b a <－34； (2)求证：函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2， ∴c ＝－32a －b .∵3a >2c ＝－3a －2b ， ∴3a >－b .∵2c >2b ，∴－3a >4b .若a >0，则－3<b a <－34； 若a ＝0，则0>－b ，0>b ，不成立；若a <0，则b a <－3，b a >－34，不成立． (2)f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ，f (1)＝－a 2，Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4ab ＋6a 2>0. 当c >0时，f (0)>0，f (1)<0，∴f (x )在(0，1)内至少有一个零点．当c ＝0时，f (0)＝0，f (1)<0，f (2)＝4a ＋2b ＝a >0，∴f (x )在(0，2)内有一个零点．当c <0时，f (0)<0，f (1)<0，b ＝－32a －c ，f (2)＝4a －3a －2c ＋c ＝a －c >0， ∴f (x )在(0，2)内有一个零点．综上，f (x )在(0，2)内至少有一个零点．C 级——拔高创新练16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x )＋f (2－x )＝0；②f (x －2)＝f (－x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos ⎝⎛⎭⎫π2x ，x ∈（0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选A 由①f (x )＋f (2－x )＝0可得f (x )的图象关于点(1，0)对称；由②f (x －2)＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．如图，作出f (x )在[－1，1]上的图象，再由对称性，作出f (x )在[－3，3]上的图象，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在[－3，3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为5.故选A.。
求函数零点的几种方法
求函数零点的几种方法函数的零点，也被称为函数的根或方程的解，是函数取值为零的点。
寻找函数的零点是解决许多数学和工程问题的重要步骤之一、在这里，我将分享一些常见的求函数零点的方法。
1.图像法：函数的图像法是最常用的方法之一、通过将函数绘制成图像，可以直观地看到函数的零点。
当函数在一些点的函数值为零时，就可以确定此点是函数的零点。
这个方法特别适用于简单的函数，如线性函数或二次函数。
2. 代数法：代数法是通过代数运算来寻找函数的零点。
对于一些简单的函数，可以直接进行求解。
例如，对于一元一次方程ax+b=0，可以通过求解x=-b/a来得到零点。
对于一些更复杂的函数，可能需要应用代数运算规则，如二次方程求根公式，来求解零点。
3.迭代法：迭代法是一种数值计算方法，通过迭代的方式逐步逼近函数的零点。
迭代法的基本思路是从一个初始值开始，应用迭代公式，不断地计算接近零点的新值，直到满足给定的精度要求。
常见的迭代方法包括二分法、牛顿法和割线法。
-二分法：二分法是最简单和最直观的数值方法之一、它将函数的定义域一分为二，然后判断零点在哪一半，并再次将该半区间一分为二、通过这种方式不断迭代，可以逐渐逼近零点。
-牛顿法：牛顿法基于泰勒级数的思想，通过迭代来逼近函数的零点。
它首先通过选择一个初始点，然后应用切线的思想来确定下一个点，直到满足给定的精度要求。
牛顿法适用于函数具有良好的可导性和初始点选择合适的情况下。
- 割线法：割线法类似于Newton法，但是不需要计算导数。
它利用两个初始点的连线来逼近零点。
在每一步迭代中，割线的交点成为新的逼近零点。
割线法相对于牛顿法的优势是不需要计算导数，但迭代速度可能较慢。
4.数值求解方法：数值求解方法基于数值计算技术，通过将函数的求解转化为数值问题的求解。
常用的数值求解方法包括插值法、最小二乘法和拟合法。
这些方法适用于复杂的非线性方程组或高维函数的零点求解。
-插值法：插值法通过构造一个插值多项式来逼近函数，在拟合逼近的过程中，可以确定函数的零点。
高中数学公式大全函数与方程的根与零点的计算公式
高中数学公式大全函数与方程的根与零点的计算公式高中数学公式大全：函数与方程的根与零点的计算公式一、函数的根与零点的定义在高中数学中，我们学习了函数的概念。
函数是数学中的基本概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
函数的根与零点指的是函数取零的数值。
具体来说，当函数的取值为0时，我们称对应的自变量为函数的根或零点。
函数的根或零点在数学中具有重要意义，它们可以用于解方程、求函数的性质、构造函数图像等。
下面将介绍一些常用的函数与方程的根与零点的计算公式。
二、一次函数的根与零点的计算一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
一次函数的根与零点可以通过求解方程ax+b=0来得到。
根据一次方程ax+b=0的解法，我们可以得到一次函数的根与零点的计算公式如下：根/零点 = -b/a三、二次函数的根与零点的计算二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的根与零点可以通过求解方程ax²+bx+c=0来得到。
根据二次方程ax²+bx+c=0的解法，我们可以得到二次函数的根与零点的计算公式如下：根/零点 = (-b ±√(b²-4ac))/(2a)其中，±表示取正负两个值。
四、三次及以上次数函数的根与零点的计算对于三次及以上次数的函数，由于其通式比较复杂，我们通常使用计算工具或数值近似方法来求解根与零点。
常见的数值近似方法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。
这些方法可以较为准确地计算函数的零点，但需要借助计算机软件或计算器来实现。
五、其他常见函数的根与零点的计算除了一次函数和二次函数之外，我们还常见到其他类型的函数，如指数函数、对数函数、三角函数等。
不同类型的函数具有不同的计算根与零点的方法。
对于指数函数y=a^x和对数函数y=logₐx，我们可以通过观察底数a 的取值范围和指数x的取值范围来判断函数的根与零点。
函数的应用
函数的应用---根与零点及二分法一例题讲解1．下列函数中有2个零点的是 ( )A ．lg y x =B ．2x y =C ．2y x =D ．1y x =-2．若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( )A ．至少有一个零点B ．只有一个零C ．没有零点D ．至多有一个零点3．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 。
4．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．0或lD ．不确定5.已知函数|13|)(f -=xx 与y=a,(1)当a 取什么范围时，它们有且仅有一个交点（2）当a 去什么值时它们有两个交点二课堂练习1．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( )A ．一定没有零点B ．至少有一个零点C ．只有一个零点D ．零点情况不确定2．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞3．函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。
4．设()833-+=x x f x ，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定5已知函数0,20,12{)(2≤-->-=x x x x x f x ，若函数g(x)=f(x)-m 有3个零点，则实数m 的范围_____三、自主学习：1．求132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <，()02a b f a f +⎛⎫> ⎪⎝⎭．则 ( ) A ． ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 B ． ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 C ． ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 D ． ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 3．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个 4.已知函数f(x)=x|x-4|-5,则当f(x)=a 有三个实根时，实数a 的取值范围是___________5.已知函数2,)1(2,2{)(3<-≥=x x x x x f 若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围。
零点定理文档
零点定理简介在数值计算和数学分析领域中，零点定理是指寻找函数的零点的一类方法。
也就是说，它们帮助我们找到函数在某个区间内的根或解。
零点定理在实际应用中起着重要的作用，例如在优化算法、非线性方程求解和图像处理等领域。
一、二分法二分法是最常见的零点定理之一。
它的思想非常简单，通过不断缩小区间来逼近根的位置。
具体步骤如下：1.选择一个初始区间[a, b]，其中函数f(a)和f(b)的符号必须不同。
2.计算区间的中点c，即(a + b) / 2。
3.计算函数在中点处的值f(c)。
4.如果f(c)等于 0，那么c就是零点。
如果不等于 0，继续下一步。
5.如果f(a)与f(c)的符号相同，说明根在区间[c,b]中，将a的值更新为c，然后返回第 2 步。
6.如果f(b)与f(c)的符号相同，说明根在区间[a,c]中，将b的值更新为c，然后返回第 2 步。
该方法不断迭代，直到找到满足精度或迭代次数的根。
二分法的优点是收敛速度较快且易于实现，但它对初始区间的选择比较敏感。
二、牛顿法牛顿法是另一种常用的零点定理。
它是一种迭代方法，通过使用函数的导数来逼近根的位置。
以下是牛顿法的步骤：1.选择一个初始点x0。
2.计算函数在x0处的导数f'(x0)。
3.计算曲线和 x 轴的交点，即求解方程f(x0) +f'(x0) * (x - x0) = 0，其中x是未知的根。
4.通过求解上述方程，得到x1。
将其作为下一次迭代的初始点。
5.重复步骤 2-4，直到满足预设的精度条件或达到最大迭代次数。
牛顿法的收敛速度较快，尤其是初始点选择得当时。
然而，对于某些函数和情况，牛顿法可能会出现发散的问题。
三、割线法割线法是一种类似于牛顿法的迭代方法。
与牛顿法使用函数的导数来逼近根不同，割线法使用两个初始点之间的割线来逼近根。
具体步骤如下：1.选择两个初始点x0和x1。
2.计算函数在x0和x1处的值f(x0)和f(x1)。
3.计算通过两点(x0, f(x0))和(x1, f(x1))的割线的方程。
教学设计与反思优化——方程的根与函数的零点
教学设计与反思优化——方程的根与函数的零点数学组封荣旭函数是中学数学中的核心概念，其核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，给出函数零点的概念，目的是要用函数的观点把所有的中学代数问题都统到函数的思想指导之下。
方程的根与函数的零点这节课是函数应用的第一课，学生在系统地掌握了函数的概念及性质、基本初等函数知识后，学习方程的根与零点之间的关系，并结合函数的图像和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，在浸入函数与方程的思想同时，也为下节二分法求方程的近似解和后续学习的算法提供了基础。
因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要，也是现在教学和多媒体结合的良好素材。
综合考虑到本节课的地位和知识点导向性，现将教学设计准备和课后反思优化过程呈现以进一步优化教学质量。
一、课前设计准备1.学情分析在两个月的教学中，学习者已系统地掌握了函数的概念及性质、基本初等函数知识，对数形结合、分类讨论和转化思想已能够理解和运用，基本功相对比较扎实，并具有一定的自主学习能力和勇攀科学高峰的探究精神。
2.重点难点本节课重点是方程的根与函数零点的关系及零点的存在性定理的深入理解与应用，难点在于发现与理解方程的根与函数零点的关心，探究发现函数存在零点的方法。
3.目标制定本节课在知识技能方面，应注重理解函数零点的概念，能够结合具体方程说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系。
理解函数零点存在性定理，了解图象不间断的意义及作用；在过程与方法方面，经历类比归纳应用的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力。
初步体会函数与方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题；在情感态度方面，体会函数与方程的形与数、动与静、整体与局部的内在联系，体验发现规律的快乐与体会事物间相互转化以及特殊到一般的辩证思想。
4.教学策略遵循由浅入深、循序渐进的原则，采用启发探究讨论归纳总结探究式教学模式，引导学生分析问题由数到形、由形到理，为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是函数与方程思想的理论基础。
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2.9函数的应用---根与零点及二分法
高三数学组 主备人 赵永利 10.10
【学习目标】
1、理解方程的根与函数的零点的关系；
2、掌握并会应用零点存在定理；
3、会用二分法求函数零点的近似值，明确不同增长速度的函数模型。
重点：方程的根与函数的零点；难点：零点存在定理与会用二分法
【预习指导】
一、已学知识回顾 阅读教材P 86-90， P 95-106完成填空
1．方程()0=x f 有实根⇔ ⇔
2．零点定理：如果函数()x f y =在区间 上的图象是 的一条曲线，并且
有 ，那么，函数()x f y =在区间 内有零点，即存在()b a c ,∈，使得 ，这个c 也就是方程()0=x f 的根.
3．二分法求函数零点的一般步骤：
①确定区间[a ，b ]，使()()0f a f b <； ②求区间(a ，b )中点c ；
③计算()f c ，若()0f c =，则____________；
若()0f c <，则__________ ；
若()0f c >，则___________ ；
④判断是否达到精确度 ：若||a b ε-<，则_____________；否则_________________．
4．不同增长速度的函数模型：下列各类函数：1.幂函数(0)y x α
α=> 3.指数函数x y a =(1a >)、4.对数函数log a y x = (1a >)，它们在(0,)+∞上的增长速度从小到大依次是： ．
二、自我检测
4．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( )
A ．一定没有零点
B ．至少有一个零点
C ．只有一个零点
D ．零点情况不确定
5．设()833-+=x x f x
，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得 ()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间 （ ）
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定
【典例分析】
1．方程x x -=3log 3的解所在区间是 （ ）
A ．(0,2)
B ．(2,3)
C ．(1,2)
D ． (3,4)
2． 设函数f （x ）＝6,024,10x x x x ⎧⎨⎩
－≥1－＜，则f （x ）的零点是____________． 3．函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为
【当堂检测】
三、【学科自习作业】
一、选择题
1．不论m 为何值时，函数f(x)＝x 2－mx ＋m －2的零点有 ( )
A ．2个
B ．1个
C ．0个
D ．都有可能
2．二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m<0，那么p 、q 应满足的条件是( )
A ．p>0且q<0
B ．p>0且q>0
C ．p<0且q>0
D ．p<0且q<0
3．下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是 ( )
4．若y＝ax2＋bx＋c(a<0)中，两个零点x1<0，x2>0，且x1＋x2>0，则() A．b>0，c>0 B．b>0，c<0
C．b<0，c>0 D．b<0，c<0
5．函数f(x)＝2x＋2x－6的零点个数为() A．0 B．1 C．2 D．3
6．某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表示此人距乙地的距离，则较符合该人走法的图是()
7．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( ) A．10% B．15% C．18% D．20%
二、填空题
8．函数y＝x3－x的零点是________．
9．某商店将原价2 640元的彩电以9折售出后仍可获利20%，则该种彩电每台的进价为________元．
10．函数y＝x2与函数y＝x ln x在(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
三、解答题
11．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
四、【学后反思】。