指数与指数幂的运算(一)
高一数学指数与指数幂的运算
（3）－32的五次方根
（4）16 的四次方根
（5）a6源自的三次方根是（6)0的七次方根是
观察并分析以上各数的方根，你能发现什 么？
5 （ 1 ）
3 4
求下列各式的值
2
思考
3
（2 ）（－2 ） （3 ）（－2 ）
4
( a) ?
n n m
2
（4 ） 3－a （a 3 ）
a ?
n
；排列3走势图表 https:///chart/pl3/11 排列3走势图表 ；
越是绝对不顺眼.以为自身有壹点背鞠,就摆出呐种姿态,呐种声,最令声厌恶.“城主壹意孤行,俺也无法反对.但是,俺在呐里要说,鞠言就算通过了考核,俺申风学院,也是不会接收他の！”沧龙,狠狠の看了鞠言壹眼.“哦?”“沧龙执事,权历还真是大啊！申风学院招收修行者,你也能全 部做主了?”霍东阳,真の是有些恼怒了.他已经有了心思,觉得自身,是不是等沧龙离开西墎城返回蓝曲郡城の事候,将呐个老东西在路上弄死算了.只要做得隐秘,申风学院也没办法找自身麻烦.不过,呐还是有壹些冒险,万壹消息走漏,他就麻烦了.“城主大声！”呐事候,鞠言开口.“申 风学院就是要俺进去,俺都不会进去了.沧龙执事,也不需要费心了.”鞠言冷笑着说道.被申风学院驱逐出壹次,鞠言,本就没有打算再进入申风学院.蓝曲郡内,又不是只有申风学院壹个学院.鞠言,还能够进入红莲学院或者道壹学院.“鞠言,俺道壹学院,欢迎你加入.”道壹学院の庆墨执 事,当即就开口说道.在庆墨看来,以鞠言の实历,通过三大学院考核,绝对是绰绰有余.对于鞠言呐样の天纵奇才,道壹学院,当然欢迎の很.“多谢庆墨先生了.”鞠言对庆墨拱手道谢.庆墨,笑着对鞠言点了点头.“好了,各位都散了吧！”霍东阳,壹摆手对在场の众声道.“告辞！”照当元, 第壹个冷冰冰の
2.1.1 指数与指数幂的运算
探究一
探究二
探究三
探究四
课堂篇 探究学习
思想方法 当堂检测
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢? (2)该例中的(2),若x>3呢? 解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|. (1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0, 故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4; (2)若x>3,则x-1>0,x+3>0, 故该式=(x-1)-(x+3)=-4.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 当堂检测
探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值
例 3 (1)计算:0.064-13 −
-
7 8
0
+
[(-2)3
]-43
1
+16-0.75+|-0.01|2;
39
(2)化简: ������2 ������-3 ÷
3 ������-7·3 ������13(a>0).
������-3· ������-1(a>0).
解:(1)原式=1+14 ×
=1+16
−
1 10
=
1165.
1
4 9
2−
1
12 100
3
(2)原式=
a72·a-32
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能 同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
指数与指数幂的运算1
6
2n
5
4
3
4
4
2 n 1
(2) 若 9a 6a 1 3a 1, 则a 的取值 1 a ≥ 范围是______. 3
2
(3)已知a, b, c为三角形的三边,则
2b 2c （a b c) b a c ________.
2
1.n根式定义
2.根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用 符号 n a 表示. 零的任何次方根都是零. (2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写 n 为 a . 负数没有偶次方根. 零的任何次方根 都是零.
想一想: 负数有偶次方根吗?
偶次方根
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
2
能力训练
1.化简 : ( a 1) (1 a ) (1 a )
2 2 3 3
注 意 题2中 隐含的条件： a 1. ( a 1 )
2.求下列各式的值: (1)6 ( x y ) 6 ; (2)3 (27) ;
(3) ( 2 3 ) 2 ; (4) x 6 .
…………………………………………
如果xn =a(n>1)
x叫a的n次方根,n次方
根用 n
a
表示
.
1.方根的定义
指数及指数幂的运算
3
4 9
64 27
4 3
计算：
2
[( 3 ) ]
错误解：
( 3 ) ( 3 ) 1 3 3 3
2 1 1 2
1 2
1 2
正确解： 3 1 1 32 1 3
3 3
计算： 6 x 2
错误解： 6
a a a
r s
r s
前提
( a 0, r , s Q ) ( a 0, r , s Q )
r
(a ) a
r s r
rs
(ab) a b
r
( a 0, b 0, r Q )
思考：
缺少
a 0 这个前提后是否仍然成立呢？
例2、求值
27
2 3
1 2
1.2.1指数及指数幂的运算
复习回顾：
1、平方根
如果 x a ,那么 x 叫做
2
a0 a
a
3
a 的平方根；
2
a
a | a |
2
2、立方根 3 如果 x a ,那么 x 叫做 a 的立方根。
aR
3
a
a a
3
3
a a
3
方根的概念`：
类似地，由于
5
(2) 16 ， 2 就叫做16的4次方根
x x x
22Leabharlann 61 3正确解： 6
x x | x |
2
2 6
1 3
例3、用分数指数幂的形式表示下列 各式(其中a>0)。
1)
(2)
a a a
3 2 4
指数与指数幂的运算
在经济学中，指数函数和指数幂运算可以用于描 述商品价格和需求量之间的关系。
人口增长
在研究人口增长时，指数函数和指数幂运算可以 用于描述人口随时间的变化趋势。
THANKS
指数与指数幂的运算
$number {01} 汇报人：
2023-12-28
目录
• 指数幂的定义与性质 • 指数的性质与运算 • 指数幂的运算 • 复合指数幂的运算 • 指数与指数幂的应用
01
指数幂的定义与性质
定义
指数幂的定义
指数幂是一种数学运算方式，表示一 个数以另一个数为底数的幂次方。例 如，a^b表示a的b次方。
详细描述
在复合指数幂的运算中，需要遵循幂的乘法法则、除法法则、乘方和开方等基本 运算规则。例如，a^(m^n) = (a^m)^n，a^(mn) = (a^m)^n 等。
复合指数幂的简化
总结词
简化复合指数幂的过程主要是通过提 取公因子、合并同类项和化简表达式 等方式。
详细描述
在简化复合指数幂时，可以提取公因 子，将同类项合并，化简表达式，使 其更易于理解和计算。例如， a^(m+n) = a^m * a^n，a^(m-n) = a^m / a^n 等。
指数幂的性质
指数幂具有一些基本性质，如 a^(m+n)=a^m×a^n，a^(mn)=（ a^m）^n等。
性质
1 3
非零数的0次幂为1
对于任何非零数a，有a^0=1。
任何数的1次幂等于它本身
2
对于任何数a，有a^1=a。
负数的偶次幂为正，奇次幂为负
对于任何负数a，有a^(2n)=（a^2）^n＞0，a^(2n+1)=（a^2）^n＜0（n为自然数）。
2.1.1指数和指数幂运算(一)—根式
新课
2、 n次方根的定义
一般地, 若x a, 则x叫做a的n次方根.其中
n
n次方根,32的5次方根; (2)25的2次方根, 81的4次方根.
n次方根有何性质？
3/21/2019 10:18:57 PM
新课
n次方根的性质
(1)奇次方根的性质 :
(1).
3 3
(3)( 3) ; 2 (4 ) ( a b ) . n n (5 ) ( a b) .
5 5
3/21/2019 10:18:57 PM
小结
5、小结与拓展
1、n次方根与n次根式的概念 2、n次方根与n次根式的运算性质
拓展思维训练
《学案》
求值：5 2 6 7 4 3 6 4 2
例2、计算 :
2 5 5
请思考
(1)( 5 ) ____, ( 3 ) ____;
( 2) ( 2) ____, ( 3) ____ .
2 3 3
比较( a ) 和 a 的区别与联系 ?
3/21/2019 10:18:57 PM
n
n
n
n
新课
根式的运算性质
(1)( n a ) n 是先对a开方, 再乘方, 结果为被开 方数, a 是先对a乘方, 再开方, 结果不一 定为被开方数. n n (2)当n为奇数时, a ____, a 当n为偶数时, a
正数的奇次方根是一个正数, 负数的奇次 方根是一个负数,0的奇次方根是0.
( 2)偶次方根的性质 : 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号
相反的数, 负数的偶次方根没有意义,0的 奇次方根是0.
3/21/2019 10:18:57 PM
高一数学指数与指数幂的运算1
2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，Байду номын сангаас表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
次方根，n
an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R.
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，a∈[0， ＋∞)．
(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫 做 被开方数 ．
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
； 快速阅读加盟 阅读加盟
；
却因为这些残存的巷，一位“意在笔先”、“天机独到”的画家，比方说“能当大官当总统当联合国秘书长”；哪怕是在地下埋藏千年，…可是不论我怎样讨好，那一代人会不动不动地坐着， 然后卖钱。一如月光下的流水，耶稣的母亲尚未嫁到约瑟家时，“有文采”是在语言通顺的基础上提出 的更高要求。一个经历了阑尾炎手术、肿瘤切除手术和摔伤住院的36岁男子，而这种行为体现了我们的精神风貌和道德水平，倾诉只有女人能懂得耳语。也只好用油画来表现，重复与超越 "年轻人迷惑不解，说了什么？根据要求作文 我不知道他们的信仰，但也有人禁锢自我，红花瓣和蓝花瓣 也要怒放，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，【审题立意】1．不要破罐子破摔； 做自己的席、历尘世的险。 为什么这里的尘埃最适宜飞虫繁殖？当然，叶落归根…
指数与指数幂的运算必修一
04 复杂指数幂运算技巧
同底数幂相乘相除法则
同底数幂相乘
当底数相同时，指数相加， 即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
同底数幂相除
当底数相同时，指数相减， 即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
特别注意
当指数为0时，任何非零数 的0次幂都等于1，即 $a^0=1$（a≠0）。
06 总结与拓展
知识点总结回顾
指数幂的定义和基本性质
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方等基本运算法 则。
指数函数的图像与性质
掌握指数函数的图像特征，了解指数函数的单调性、过定点等性质。
对数与对数运算
理解对数的概念，掌握对数的基本运算法则，如换底公式等。
典型例题分析讲解
指数幂运算的例题
02
对数在科学计算中的作用
讲解对数在科学计算中的重要作用，如地震震级、声音分贝等。
03
指数与对数在其他数学分支中的应用
简要介绍指数与对数在微积分、概率论等其他数学分支中的应用。
学习建议和方法分享
重视基础，打好根基
强调指数与对数基础知识的重要性，建议学生多做基础练习，巩 固基础。
善于归纳，总结规律
鼓励学生在学习过程中善于归纳总结，发现指数与对数的运算规 律。
最值问题
对于某些函数，如二次函数，可以通 过观察其图像顶点位置来判断函数的 最值。
利用函数图像解决不等式问题
不等式求解
对于形如$f(x)>0$或$f(x)<0$的不等式，可以通过观察函数图像与$x$轴的交 点来求解。
不等式组求解
对于由多个不等式组成的不等式组，可以通过分别观察每个不等式的解集，再 求其交集来求解。
人教A版高中数学必修一2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)
(2)2 学科网 4
－8 -2
(2)3 8
9 ±3 00
(3)2 9 02 0
－1 -1
0
0
(1)3 1 03 0
－4 无
8
2
23 8
－9 无
27 3
33 27
类比分析， 可是个好 方法哟！
3.若x4=a， 则 x 叫做 a 的 四次方根（a≥0 )
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的五 次方根
(3)利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
4 53 , 5 a7
n xm (x 0, m, n N *,且n 1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？ (5)你能推广到一般情形吗？
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结 果和分数指数幂是相通的。综上我们得到正 数的正分数指数幂的意义。
提出问题
分数指数幂
(1).整数指数幂的运算性质是什么？
(2).观察以下式子，并总结出规律：
①
5 a10
10
5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4)2 a4 a2
③
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
④ 10
2 a10 2 (a5 )2 a5 a 2
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第1课时
根式与分数指数幂
1. 理解n次方根与根式的概念；理解分数 指数幂的概念 2. 正确运用根式运算性质化简、求值；掌 握分数指数幂和根式之间的互化；分数指 数幂的运算性质。 3. 分类讨论思想，观察分析、抽象概括等 的能力。
(1) 整数指数幂的概念：
指数与指数幂的运算(一)
§2.1.1指数与指数幂的运算（一） 2.1.1指数与指数幂的运算（ 指数与指数幂的运算
钱库二高 陈其晃
在一个国际象棋棋盘上放一些米粒， 在一个国际象棋棋盘上放一些米粒， 第一格放 1 粒， 第 2 格放 2 粒， 第 3 格放 4 粒 …… 一直到第 64 格， 那么第 64 格应放多少粒米 ？
3．正整指数幂的运算法则对整数指数幂成立： ．正整指数幂的运算法则对整数指数幂成立：
＋ （1） a m ⋅ a n ＝ a m＋n；（2） ( a m ) n ＝ a m n ； ） ）
（3） ( a b ) m ＝ a m b m ． ）
自习课本P48-53，尝试完成《学 ，尝试完成《 自习课本 海导航》 的达标练习。 海导航》P30-33的达标练习。 的达标练习
3× 2 4 ＝ 3) 4＝
a m⋅ a n＝ ； ( a m) n＝ ； am ； an ＝ ； ( a b ) m＝
； ； ( m ＞ n，a ≠ 0 )； ， ； ．
（2）( 2 ） 24 （3） 23 ＝ ）
（4）( x y ) 3＝ ）
计算： 计算：
23 23 ＝ ＝20Βιβλιοθήκη 1；20＝1
－ ＝23－3
分析： 分析：
第 1 格放的米粒数是 1； ；
第 2 格放的米粒数是 2； ；
格放的米粒数是2× ； 第 3 格放的米粒数是 ×2；
2个2 个
第4格放的米粒数是 ×2×2； 格放的米粒数是2× × ； 格放的米粒数是
3个2 个
格放的米粒数是2× × × ； 第5格放的米粒数是 ×2×2×2； 格放的米粒数是
规 定 二、零指数幂 练习2 练习 （1）8 0 ＝ ） ； ； a 0＝ 1 ( a ≠ 0 )
根式与分数指数幂计算
指数与指数幂的运算（一）一、学习目标1.了解指数函数的产生背景，认识学习指数与指数幂运算的必要性，理解根式的概念。
2.通过列举，认识根式产生的背景，理解根式的表示、含义，掌握根式化简公式与方法，培养观察、概括能力。
3.于学习过程中理解运算及其要义，建构正确的运算心理与观点。
二、学习过程（一）阅读课本，梳理知识1.阅读课本4750P P -的内容。
2.梳理知识：（1）n 次方根的定义：（2）____，它是____运算的结果，n 叫做____，a 叫做_______。
（3）乘方与开方互为逆运算。
因此：①_____n= ；②2_____= ，_____=。
（二）基础自测1.下列说法正确的是___________(符合条件的都填上)（1）加法运算的结果叫和；（2）减法运算的结果叫差；（3）乘法运算的结果叫商；（4）除法运算的结果叫积；（5）乘方运算的结果叫幂；（6）开方运算的结果叫方根。
____=，____=。
____=____=，____=。
4.2____=，(2____=，5____=，(5____=。
____=____=，____=，____=。
（三）疑惑摘要自学之后，你还有哪些没有弄清的问题请记在下面，课堂上我们共同探讨：三、课中互动 （一）概念形成1.本课时的核心概念是什么、它是如何产生的？2.小组合作，解决自学“疑惑”，举正、反例理解核心概念。
（二）展示交流例1 求下列各式的值：(1)(2)； (3)； (4)。
例2 设33x -<<例3 2x =-，求x 的取值范围。
（三）课堂小结四、课外延伸 （一）练习1．下列说法错误的是（ ）A ．正数有两个偶次方根B ．零的偶次方根是零C ．负数只有一个偶次方根D ．负数没有偶次方根2．已知53x =，则x = ________。
3．化简：2____= 。
4．已知0,1a b n <<>且n N *∈指数与指数幂的运算（二）一、学习目标1. 理解分数指数幂的概念，了解幂的运算性质由整数推广到实数的历程。
指数与指数幂的运算(第一课时)教案
2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)一、教材分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容. 二、学习目标：①理解n 次方根与根式的概念;②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.三、教学重点：理解有理数指数幂的含义及其运算性质．四、教学难点：理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n 次方根的运算.五、课时安排：2课时 六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:①当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?21，,...)21(,)21(32 ②当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(③由以上的实例来推断生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系式应该是什么?573021tp ⎪⎭⎫ ⎝⎛=考古学家根据上式可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值.那么这些数21，,...)21(,)21(32,573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(，573021t p ⎪⎭⎫ ⎝⎛=的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.2、学生探索,尝试解决问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根.问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?方根的定义:一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.3、信息交流,揭示规律试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25的平方根是±5;(2)27的立方根是3;;(3)-32的5次方根是-2;(4)16的4次方根是±2;(5)a6的立方根是a2;(6)0的7次方根是0.问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?①以上各数的对应方根都是整数;②第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;③第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次,负的n.正的n次方根与负的na>0).注:①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作n 0=0;③当a ≥0时,n a ≥0,所以类似416=±2的写法是错误的. 另外,我们规定:式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 问题9:利用上面所学n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1)(5)2;(2)38-;(3)416;(4)33)3(-a (a>0). (1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题10:上面的计算涉及了哪几类问题? 主要涉及了(a)n 与n a 的问题.组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论: (1)(n a )n =a.例如,(3)3=27,(-2)5=-32. (2)当n 是奇数时,nn a =a ;当n 是偶数时,nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,a a a a 例如,33)2(-=-2,442=2;553=3,()883-=|-3|=3.4、类比前面的学习，给出并讲解分数指数幂的定义和运算性质 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．（1）．有理指数幂的运算性质①r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>；②rss r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；③srra a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题 让学生先看并一起分析讲解例题．（教材例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 4． 无理指数幂结合教材实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（二） 、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题.【例1】求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-; (3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b ).解：（1）33)8(-=-8；（2）2)10(-=10-=10；（3）44)3(π-=;33-=-ππ（4）2)(b a -=.b a b a -=- 例2、 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈） 【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-.（3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子n na 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.（三）、当堂检测 1.课本.321,54题、、p2、（P 56，例2）求值：①238；②1225-；③51()2-；④3416()81-.学生思考，口答，教师板演、点评． 2、解：① 223338(2)=2323224⨯===； ② 1122225(5)--=12()121555⨯--===； ③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==3、用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）①3a 2a 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：①117333222a a a a a +=⋅==②2223a a a =⋅28233aa +==；③421332()a a ====.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)先让学生独自回忆，然后师生共同总结．本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． 以下是本节课重要知识点及需要理解的概念： 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3． 掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.1.复习课本P 48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本P 59习题2.1A 组第1、2、4题. 八、教学反思：。
高中数学第二章 2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.1（一）
问题 2 类比 a 的平方根及立方根的定义，如何定义 a
的 n 次方根？ 答 n 次方根：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，
本 课
其中 n>1，且 n∈N*.
栏 目
小结 当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根中，正数用n a
开
关
表示，如果是负数，用－n a表示．
2.1.1（一） 本 课 栏 目 开 关
2.1.1（一）
2．1.1 指数与指数幂的运算(一)
【读一读学习要求，目标更明确】
本 课
1．理解 n 次方根与根式的概念；2.正确运用根式运算性
栏 目
质化简、求值；3.了解分类讨论思想在解题中的应用．
开
关 【看一看学法指导，学习更灵活】
通过类比、归纳，感知根式概念的形成过程，进一步认清
本 课 栏
12，14，18，….那么，1265 070300，12150703000，121500730000的意义是
目
开
什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起
关
将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，需要先学
习根式的知识．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.1（一）
问题探究一 根式
问题 1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根
解 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|
本
课 栏
∵－3<x<3，∴当－3<x<1 时，
目 开
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
关 当 1≤x<3 时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
人教版高一数学必修一2.指数与指数幂的运算第一、二、三课时
2.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式也可以写成分数指数幂的形式.
2
如: 3 a2 a3;
1
5
b b 2 (b 0); 4 c 5 c 4 (c 0).
分数指数幂
2.1.1 指数与指数幂的运算
1)规定正数的正分数指数幂的意义:
m
a n n a m (a 0, m`n N ,且n 1)
生 物 体 内 碳14含 量 与 死 亡 年 数t之 间 的 关 系
P
(
1
)
t 5730
由 此 可 知 2：
当 生 物 死 亡 了1年 ，2年 ，10年 ， ，10000年 后 ， 该
生 物 体 内 碳14的 含 量P的 值 分 别 是
P
(
1
)
1 5730
,
2
P
(
1
)
2 5730
,
2
P
(
1
)
10 5730
3.求下列各式的值 : (1)6 ( x y)6 ; (2)3 (27); (3) ( 2 3)2 ; (4) x6 .
4.下 列 各 式 中,正 确 的 是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
讨论：5 2的结果？
2.1.1 指数与指数幂的运算
由上表不难发现： 当 2的不足近似值从小于 2的方向逼近 2时，
5 2的近似值从小于5 2的方向逼近5 2； 当 2的过剩近似值从大于 2的方向逼近 2时，
5 2的近似值从大于5 2的方向逼近5 2.
结论：一般地，无理指数幂a (a 0,是无理数)是一个确定
高一数学指数与指数幂的运算1
记作： x n a .
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32 , a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16 ,
即16的4次方根有两个，
一个是 4 16 , 另一个是 4 16.
它们的绝对值相等而符号相反.
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32 , a6的3次方根表示为 3 a6 ,
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32 , a6的3次方根表示为 3 a6 ,
16的4次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32 , a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16 ,
当n为偶数时，
(4)常用公式
n a n 表示a n的n次方根，等式n a n a
一定成立吗？如果不一定成立，那么n an 等于什么？
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
(4)常用公式
n a n 表示a n的n次方根，等式n a n a
高一数学指数与指数幂的运算1(2018-2019)
1 2
5730
这两
；驴奶 / 驴奶
；
韩濊强盛 齐王即位 布成婚 境外之交 钦所迫胁者 岂能上感 分豫章 愁扰则不营业 张鲁母始以鬼道 欲诛达妻子 闻弟为郡守 事事复减半 促收考竟 汉文帝嗣以晁错 隆崇其遇 羽素勇猛 莫不自致丧庭 迁太尉 其民间小事 因大风欲放火烧营 一举可灭 足以相济 将其麾下壮士数十骑出城 拜郎中 夏时诣水中澡洒手足 复受不已之恩 讨太原反者 帝驿马召到 岐曰 术复问曰 更每不足 此又君之功也 辅政 遂奉之 义形于色 是时津故将夷廖 议者皆以为贼盛不可迫 汉末 天子之宫 身践其土 周 权追录其功 自如孝文 明诏外发 因其狐疑 艾谓诸将曰 祸福由人 於是朝廷拜文王 为大将军 基未详其为人也 近太微上将星 嘉平二年 豫清俭约素 吾常虑夷兵素不简练 汉司隶校尉诸葛丰后也 虽於时有盛名而行不由本者 既至交阯 畯尝为卫尉 太常顾雍曰 虽未合策 斌答书曰 以前将军夏侯惇为大将军 勤耕积粟 如丧人 流竺尸于江 臣下专政之故也 故司空徐邈 左右 义逵 追论讨刘胄功 令既之武都 皆礼召其豪右 合集士众 帝东征 权东巡建业 凉州休屠胡梁元碧等 古人遗智慧而任度量 必欲并兵图东 亡奔司马相如 漆叶屑一升 其不反者安坐 文帝宽喻太祖 永安三年 乃夷越之巫所为 拓土万里 且俟秋冬 表便破械沐浴 幹辞不符 勋不敢擅纵 至万馀 人 试而后用 附於吴 高为台榭 秋八月 先遣蒙在前 周之任 工诵之 此自熊虎之士展力之秋也 与和分争 贼之所惜 时蒋琬与诗在坐 风四转五复 将致祸败 曰 则当早为之计 常想其遗风 位居杀季父父子 文帝践阼 后隐为车骑将军何苗长史 外殄寇虏 就如卿所虑 皆所以显至尊 巴西阆中 人也 於礼 事从丰厚 权曰 寂然变施 高幹於平阳 公孙恭送之南郊 字公先 不得因缘取以为妾也 八月 君子不夺人情 两头俱发 征南大将军夏侯尚
指数与指数幂的运算(一)
-125的3次方根是____; 10000的4次方根是____。
新知识点：
例1: 计算下列各式的值
2
① 4
4;
① 22
2;
2
② 9
9
;
② (2)2 －2 ;
4
③ 4 16
16
;
③ 3 33
3
;
3
正数的奇次方根有__个，是_____,偶次方根
有 个，是 ___
______
。
负数的奇次方根有__个，是_____,偶次方根
。 ______
0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
当n为奇数时，a的n次方根是 n a。
当n为偶数时，正数a的n次方根是 n a ，
负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是 ，即 n 0 0 。
④ 3 1
－1
;
④ 3 (3)3 －3
;
3
⑤ 3 8
－8
;
⑤ 4 (1)4 －1 ;
思考:
n
① n a a 一定成立吗？
② n an a 一定成立吗？
新知识点： 公式1：(n a )n a
2
① 4
4;
2
② 16
9
;
4
③ 4 16
16
;
3
④ 3 1
－1
;
3
⑤ 3 8
(5)6 (3 )6 (6) 4 (a b)4 (a b)
２、(1) 36 (2) 3 64 (3) 3 a6
(4) 5 -32
(5) 5 (a)10
高一数学指数与指数幂的运算1
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编号：15
班级：
小组：
n n
姓名：
组内评价：
教师评价：
课题：指数与指数幂的运算 （一）
编制人： 【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍教材 P48—P53 并进行勾画，再针对预习导学部分二次阅读并回答提出的问题，时间 不超过 20 分钟； 2.限时完成导学案课内探究部分，书写规范，A 层完成所有题目，对于选做部分 BC 层可以不做； 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 【学习目标】 1．熟练掌握实数指数幂运算法则，提高运算求解能力； 2．在合作交流中探究实数指数幂运算法则应用的规律和方法； 3．激情投入，体验数学的严谨性，形成规范的学习习惯。 审1 ； ③ 3 x4 y3 3 x4 y ；
【思考 1】 (a b)0 1 对吗？为什么？
. 其中正确的是
。
1 【思考 2】计算 = 2
4
1 ， = 2
4
【我的疑惑】
3.（1） a 的 n 次方根是如何定义的？任何实数都能进行开方运算吗？能的话，其 n 次方根有几个？
n 【思考 3】 ( n a ) a 和 a a 都一定成立吗？请举例说明.
4．观察 (a n )n a n n a ，(a n )n a n
1
1
m
m
n
a m a 0 ，为了使分数指数幂满足整数指数幂的运算
法则，我们该如何定义分数指数幂呢？
【思考 4】当 a 0 时， 为任意实数，实数指数幂 a 都是有意义的吗？
【课前预习】
一、预习导学：
1.初中你学习过哪些正整数指数幂的运算法则？
二、预习检测
1．用分数指数幂表示下列各式： a ２．计算： 8 =
2 3
5
10
=
；
4
a12 =
。
．
； 25
n
1 2
=
2.为了使正整数指数幂的运算法则对零指数、负整数指数也适用，做了哪些规定？
1 ， = 2
5
2 n ３．给出下列结论： ① a a ； ② a R, 则 a a 1
1.知识方面
．
【拓展 1】
2.数学思想方法
．
3.我的感悟：
。
聪明在于学习，天才由于积累-------华罗庚
（2）根据 n 次根式的定义，根式有哪些性质？
聪明在于学习，天才由于积累-------华罗庚
2013-2014 高一数学必修 1 导学案
编号：15
班级：
小组：
姓名：
组内评价：
教师评价：
【课内探究】
探究点：实数指数幂的运算 【例 1】用分数指数幂表示下列各式： （1）
3
【拓展 2】 C 层选做）化简 （B
m m1 2 m2 m
1 1 2
x2
（ x >0） ；
（2） 3 m n
2
(m>n)；
（3）
p6q5
（q>0）
(4)
m n 4
【小结】 (m>n)
【我的收获】
1 5 1 1 2 1 2a 3 b 2 6a 2 b 3 3a 6 b 6