高中数学难点突破_难点37__数形结合思想
数学必修一第三章知识点总结总结
数学必修一第三章知识点总结总结数学考试要注重计算，很多孩子成绩丢分在计算上，解题步骤没有问题，但是计算的过程中出现马虎的问题，导致丢分，影响整体成绩。
下面是整理的数学必修一第三章知识点总结，仅供参考希望能够帮助到大家。
数学必修一第三章知识点总结一次函数应用题解题技巧：例1：一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。
如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12则13.5=3k+12解k=0.5∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12由题意，得：23=0.5x+12=22解之，x=22∴自变量x的取值范围是0≤x≤22例2：(1)y与x成正比例函数，当y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式.(2)已知一次函数的图象经过A(-1，2)和B(3，-5)两点，求此一次函数的解析式.解：(1)设所求正比例函数的解析式为y=kX把y=5，x=2.5代入上式得，5=2.5k解得k=2∴所求正比例函数的解析式为y=2X(2)设所求一次函数的解析式为y=kx+b∵此图象经过A(-1，2)、B(3，-5)两点，此两点的坐标必满足y=kx+b，将x=-1、y=2和x=3、y=-5分别代入上式，得2=-k+b,-5=3k+b解得k=-7/4,b=1/4∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4例3：拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并且画出图象.分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.解：函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。
高考数学重点难点37数形结合思想大全
重点重点难点36 函数方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●重点重点难点磁场1.（★★★★★）关于x的不等式2•32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为.2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值.●案例探究［例1］已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x＜–3或x＞3.∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x1＞x2≥α，有当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1, f(x)为减函数.∴即即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根∴∴0＜m＜故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏. （1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：又A、B锐角为三角形内两内角∴＜A+B＜π∴tan(A+B)＜0，即∴∴m≥5(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=且≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，∴m=3●锦囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.●歼灭重点重点难点训练一、选择题1.（★★★★★）已知函数f(x)=loga［–(2a)2］对任意x∈［,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A.(0,B.(0, )C.［,1D.( , ）2.（★★★★★）函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2–x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是( )A.［，+∞B.(1,C.［,+∞D.(1, ］二、填空题3.（★★★★）关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是.4.（★★★★★）如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为.三、解答题5.（★★★★）设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.6.（★★★★）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.7.（★★★★★）已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］, …gn(x)=f［gn–1(x)］,…（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，且n≥2时，gn(x)＜0.试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0.8.（★★★★）已知函数f(x)= (a＞0,x＞0).（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围.参考答案●重点重点难点磁场1.解析：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3.故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又∵A、B关于y=kx+ 对称.∴k=–1.设AB的中点为M(x′,y′)∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的两个根.∴x′=y′= ，又点M在直线上有，即∵a＞0，∴2a+ ≥2 当且仅当2a= 即a= ∈(0,1)时取等号，故b≥–，得b的最小值–.●歼灭重点重点难点训练一、1.解析：考查函数y1= 和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1.由题意得a= ，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A2.解析：由题意可得f(–x+1)=–f(x+1).令t=–x+1，则x=1–t，故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x).当x＞1,2–x＜1，于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其递减区间为［，+∞).答案：C3.解析：显然有x＞3，原方程可化为故有(10–a)•x=29,必有10–a＞0得a＜10又x= ＞3可得a＞.答案：＜a＜104.解析：原式化为.当＜–1,ymin=1+m=–4 m=–5.当–1≤≤1,ymin= =–4 m=±4不符.当＞1，ymin=1–m=–4 m=5.答案：±5二、5.解：(1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2–4t+a.由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有①f(t)=0有两等根时，Δ=0 16–4a=0 a=4验证：t2–4t+4=0 t=2∈(0,+∞)，这时x=1②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0 a＜0③若f(0)=0，则a=0，此时4x–4•2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立.只须＜x≤26.解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f(x)=–x2+2x. （2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1∴n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则又m＜n≤,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立，则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1时，命题成立.∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0=∴稳定不动点为0和.(3)解：∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0 x＜0或x＞1.∴gn(x)＜0 f［gn–1(x)］＜0 gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1.由g1(x)＜0 6x–6x2＜0 x＜0或x＞1由g1(x)＞0 6x–6x2＞1故对于区间( )和(1,+∞)内的任意实数x,只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0.8.(1)证明：任取x1＞x2＞0,f(x1)–f(x2)=∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0,∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数.（2）解：∵≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,∴a≥在（0，+∞）上恒成立，令（当且仅当2x= 即x= 时取等号），要使a≥在(0,+∞)上恒成立，则a≥.故a的取值范围是［,+∞).(3)解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.∴m=f(m),n=f(n)，即m2–m+1=0，n2–n+1=0故方程x2–x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m•n=1，故只需要Δ=( )2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜.重点难点37 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●重点难点磁场1.曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围.2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.●案例探究［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B 用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决. 解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知：必须且只需解得≤a≤2③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必须且只需解得2＜a≤3④当a＜–2时，A= 此时B=C= ，则C B成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即∴.●锦囊妙计应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭重点难点训练一、选择题1.（★★★★）方程sin(x–)= x的实数解的个数是( )A.2B.3C.4D.以上均不对2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为( )A.α＜a＜b＜βB.α＜a＜β＜bC.a＜α＜b＜βD.a＜α＜β＜b二、填空题3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是.4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥},B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是.三、解答题5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参考答案●重点难点磁场1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.答案：（］2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2) a∈(–3,–2 ，综上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭重点难点训练一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2= x的图象如图.答案：B2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：答案：A二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案：4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.答案：a＞3三、5.解：①作出y=sin(x+ )(x∈(0,π))及y=–的图象，知当｜–｜＜1且–≠时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(–,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan ，故tan(α+β)=3.6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1, )为圆心，a为半径的圆.如图所示∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点.显然当半圆O和圆O′外切时，a最小a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即a最大.此时a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜如图：由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知–≤｜PA｜–｜PF2｜≤.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，– .于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y∴∴.高考数学重点难点突破重点难点38 分类讨论思想.txt人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。
高中数学难点解析教案指数函数、对数函数问题
高中数学难点解析教案——指数函数、对数函数问题一、教学目标1. 理解指数函数、对数函数的定义及性质。
2. 掌握指数函数、对数函数的图象和性质。
3. 学会运用指数函数、对数函数解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义与性质2. 对数函数的定义与性质3. 指数函数、对数函数的图象4. 指数函数、对数函数的应用5. 难点解析与例题讲解三、教学重点与难点1. 教学重点：指数函数、对数函数的定义、性质、图象及应用。
2. 教学难点：指数函数、对数函数的图象特点，以及实际问题的解决方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究指数函数、对数函数的性质。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解指数函数、对数函数的图象。
3. 运用实例讲解法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4. 组织小组讨论，提高学生的合作交流能力。
五、教学过程1. 导入：通过回顾初中阶段学习的指数函数、对数函数知识，引发学生对高中阶段深入学习这些内容的兴趣。
2. 新课讲解：（1）讲解指数函数的定义与性质，让学生通过实例理解指数函数的单调性、奇偶性等性质。
（2）讲解对数函数的定义与性质，让学生了解对数函数与指数函数的互化关系，以及对数函数的单调性、奇偶性等性质。
（3）结合图象，讲解指数函数、对数函数的图象特点，以及它们之间的关系。
3. 应用拓展：通过实例让学生学会运用指数函数、对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
4. 难点解析：针对学生在学习过程中遇到的难点，如指数函数、对数函数的图象特点，以及实际问题的解决方法，进行详细讲解和分析。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调指数函数、对数函数的性质和应用。
7. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生对指数函数、对数函数概念和性质的理解程度。
高中数学中数形结合思想的应用研究
Ｃｉ ｗ ｅ ｎｏｅａ ｏ ｃ ｈａ ｅ Ｔｈ ｌｉ ｎＰｄ ｔ ｎＮ ｃ ｏｇｓ ｄ ｒｕｓ
文化 与教 育技 术
高 中数学 中数形 结 合思想 的应用研 究
肖军 委
（ 河南省 临颍县第三高级中学， 河南 临颍 ４ ２０ ） ６ ６ ０
摘 要： 数形 结合 的 思想在 我们 高 中数 学是 非 常 重要 的思 想之一 ， 简单 来说 就是 数与 形的 有机 的 结合 来解 决 问题 ， 达到数 与 形 的完 美的结 合 ， 以数 制型 ， 以形得 数 。在 高考试题 中有相 当一部 分题 目都 用到该 思 想 ， 常用来 研究 方程 的根 ， 它 讨论 函数 的值 域 （ 最值 ） 及 求 变量 的取值 范 围等 题 目， 对这 类 内容 的选择题 填 空题 ， 形 结合特 别 有效 ， 数 故应 引起 我 们的 重视 。我 现在 将 它作 为一 条复 习的 轴 线 ， 一下 它与 各章 的知 识点 的联 系， 一 小 结 ， 试举 几例 它在 我 们 的各 个章 节试题 ， 看 做 现 以便 大 家进 一 步的 完善 总结 ， 到 熟练 的 以达
例７ 直线 ｙｋ＋（ Ｒ与焦点在 坐标 轴的 围 ， 借助（） ＝ｘ１ｋ ） 并 Ｉ中的约束 条件得 ｃ ［ ，瞄 而求 －Ｏ ２ 充分的利用 ，因为向量本身就是数 与形的一个 有较强的技 巧性。 载体 ， 形的运算 ， 具有 也有坐 标的运算 （ 的运 椭圆 ＿ ＝ 恒有公共点 ， ｍ的取值范 围足 解 ， 数 ＋ １ 则 ３ Ｉ ｎ 解 ：由题意有 ｆｇ ３２ ６ ｘ ＋ ｃ０ （ ＝ ｘ＋ ｂ ２ ３＝ ． ｘ ￣ ２ Ｃ ！ ） 算） ， 我们在处理 该类 型的问题时一定要注 意结
运用该 思想起 到抛 砖 引玉 的效 果。 关键 词 ： 中 学； 高 数 数形 结合 思 想
数形结合思想及其在高中数学教学中的应用实践
数形结合思想及其在高中数学教学中的应用实践-中学数学论文数形结合思想及其在高中数学教学中的应用实践文/景占东【摘要】在高中数学的教学过程当中，数形结合方法贯穿整个教学的始终。
而数形结合方法实质上就是按照数据和图形之间的对应关系，将比较抽象的语言，通过图形表达出来，或者是将图形用数学语言表达出来。
在高中数学的某些问题的解题过程当中，通过应用数形结合思想，会使问题变得更加的简单化、直观化，开拓了学生的解题思路，使学生能够对一些比较难的问题也有了解题思路。
因此，在高中数学的教学过程当中，要积极培养学生在这方面的能力，将数形结合思想真正的应用到答题当中。
关键词数形结合思想；高中数学；应用在历年的高考题当中，数形结合思想一直是众多思想方法当中考查的重点，与此同时，数形结合思想也是数学研究领域经常使用的方法。
因此，在高中数学的教学过程当中，我们应该加大对学生数形结合思想应用的训练力度，使学生们真正地认识到数与形之间的关系，并且能够灵活的通过数形转换，进而解决数学中的一些难题，锻炼学生的思维能力。
一、数形结合思想遵循的原则在数形结合思想的应用过程当中，要遵循下面的两个原则，才能真正的正确的使用数形结合思想。
1.等价原则。
等价原则就是说在进行数与形的转换过程当中，要保证数的代数意义与形的几何意义是相同的，也就是说在同一个问题当中，数与形所反映的问题的反差关系是一致的，要准确构建图形与数字的关系。
2.双向性原则。
双向性原则就是说不仅要通过图形的直观分析，也要进行数学语言的研究，因为数学的语言表达和计算自身的严谨性等优势，能够避免一些图形的约束性，达到更好的解题效果。
二、数形结合在高中数学中的应用在数学的解题过程当中，数形结合思想能够具有双面的效应，我们可以通过将数形合理的进行转换，达到一定的解题效果。
（一）数到形的转换其一，在数学的方程和不等式问题当中，我们可以利用方程和不等式和函数图像，直线之间的位置关系和交点，或者是利用函数图像所具有的其他特征，来解答相关问题。
高中数学大纲知识点
高中数学大纲知识点篇1：人教版高中数学知识点提纲一.集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
高中数学题型考点全面总结
高中数学考点和题型全面总结（马修新老师总结）模块序列考点和题型难度备注函数与导数1函数概念的1个要点和3个要素及两类题型（同一函数、图像判断）2求函数解析式的换元法、构造方程组法、待定系数法（易错点是关键）3定义域的两个考点（具象函数定义域与抽象函数定义域）4二次函数12条性质55个重要辅助函数（对勾、类对勾、等幂分式型、一次二次互比型、min与max）6单调性基础（基本要点与变形式、线性性质及常用条件）7重点函数的单调性考点（复合、分段、抽象均为两条要点须谨记）8奇偶性基础（10条基本要点、线性性质、加绝对值后的性质）96个暗示奇偶性的重要函数10奇函数+C模型题型11周期性定义和4个基本推论12f(x+a)+f(x)=C型函数求周期13对称性基础（轴对称基本规律和原点基本对称规律、反函数对称规律）14对称性重点结论（点对称基本公式、轴对称基本公式）15三类含绝对值函数的对称性规律16奇偶性、对称性、周期性结合的两条基本结论及综合题17求半段解析式（常结合奇偶性、周期性，注意[求谁设谁想方设法]的含义）18函数图像做法及其变换（含带绝对值的形式）19给函数解析式判断图像的三步骤法20取整函数三个类型及其标准图像21比较大小问题（指数、对数、幂函数）22零点定理（存在定理与唯一定理）及其考法23变换主元法24指数函数性质（定义域、值域、定点、底大图高、计算公式）25对数函数性质（定义域、值域、定点、底大图高、计算公式）26极为重要的切线不等式（会证明与作图）27指数对函数运算类型（单纯运算和近几年重点细致运算）28幂函数基本性质（定点和五个常考幂函数图形）29幂函数图像变化形态与u的关系30零点问题（数形结合类）31零点问题（横纵坐标累加、乘积类）32零点问题（嵌套函数类）33三次函数的性质总结（图像性质与参数关系、大韦达定理）34三次函数的性质总结（零点个数与极值关系、切线条数定理）35最基本的求导运算36基本切线问题分类37切线条数问题38公切线问题39导数源问题：单调、不单调、单调增、单调减40导数源问题：恒成立、存在性（能成立）、恰成立41导数源问题：讨论函数单调区间（三层次法、因式分解法）42构造函数第一类：f（x）与f`（x）并存型模块序列考点和题型难度备注函数与导数43导数图像问题鉴别判断类型44二次求导法使用条件及举例45九个必考的超越单极值函数及其图像（指对型）46选择题中的神奇特征数字（极端好方法）47选择填空题中的神奇赋值具象法（极端好方法）48多自变量问题两个处理策略（转化最值问题、构造函数、）49指对分离思想的应用及条件50超重磅问题：隐零点问题处理策略51极值点偏移问题解决思路52洛必达法则用于提前锁定正确结果53神奇的端点效应54构造函数第二类：单一自变量f(x)>g(x)型55构造函数第三类：双自变量根据结构形式构造统一函数56构造函数第四类：构造原始型差函数（用于解决极值点偏移问题）57ALG不等式的应用58导数中的基本放缩工具与放缩思想59拉格朗日法锁定正确结果6061三角函数与解三角形1弧度定义、弧长、扇形以及相关计算类型（2rad结论）2终边坐标定角公式、象限角符号、轴线角总结、象限角分线结论3诱导公式及其计算4齐次式处理策略5警惕|Asin(wx+e)+b|的最值（须考察是否需要讨论A和b）6图像性质（周期、定义域、值域、单调、奇偶、对称轴、对称中心、作图）7图像变换：两类、四个方向变换，注意易错点和要点8快速化“一角一函数”标准型9三角函数角的配凑（配凑很简单，精确是关键）10三角函数求w取值范围是很多题的难点所在11注意解三角形中角分线定理的使用12看图写解析式问题（正弦余弦的方法、正切的方法）13三角函数两类最值求法（注意三角换元的范围问题）14解三角形7个核心公式（正弦、余弦、面积、射影、三角形与诱导、边角、降幂）15会推导两个重点公式（cos与辅助角公式）16警惕三角形的范围问题（锐角、钝角、非最大、非最小等等表述）17三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（求三角函数式值域）18三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（求面积或其最值）19三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（纯三角形角边计算类）20三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（三角形角边取值范围类）21三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（实际应用问题）模块序列考点和题型难度备注平面向量1易错点：夹角考点（涉及到求参数取值范围的小题注意细节）2几个向量的特征及易错点（相等向量、零向量、共线向量、相反向量、单位向量）3向量垂直的四种表达（数量积、坐标、矩形法、单位向量法）4向量不等式（加减不等式、数量积不等式、柯西不等式的向量表达）5按照向量平移函数、平移点、平移向量的含义6平面向量最频繁考点：向量拆分（特别是动点拆分问题的三点共线策略）7三角形四心与平面向量表示（特别谨记重心的表达）8极化恒等式9等和线定理10基于坐标运算的求最值类型（坐标法和数形结合法均可用）11向量坐标化处理较难类型题（坐标化包括建系法和特值点法）12向量问题的绝杀技（多个向量时，可先预设前几个）1314直线与圆1基本方程：斜率3种、直线7种（注意其中易错点）、圆4种2斜率与倾斜角的变化趋势图（注意竖直斜率分段写、水平倾角分段写）3距离公式（4个）4倾斜角求范围问题（关键易错点）5与圆有关的最值问题（类似于线性规划，分三种类型）6直线间位置关系（包括垂直、平行基本设法）7直线与圆位置关系判定3个方法8通用切线结论公式9弦长问题（含弦长公式）10残缺圆问题（尤其注意方法的选择）11圆上点到直线距离为定值的个数问题12五类对称13中点弦结合轨迹问题14圆与圆的位置关系要点15涉及到双圆的轨迹问题16巧用阿波罗尼斯圆1718数列1等差数列性质（10条）2等比数列性质（9条）3通项公式求法（10个）4求和三个方法（错位相减有公式、裂项相消是重点且难点，倒序相加有模型）5简单的放缩形式6数列奇偶项问题7涉及到复杂数列单调性的问题8数列是最能用特殊方法解决的一章（类型诸多，几乎无难题）9斐波那契数列10模块序列考点和题型难度备注圆锥曲线1最根本考点：第一定义（特别谨记定义的易错点）2定义法解决重要考点类型3焦点三角形性质（椭圆、双曲线）4椭圆全部涉及考点的性质（16条）5双曲线全部涉及考点的性质（16条）6抛物线全部涉及考点的性质7线段距离最值问题8抛物线与阿基米德三角形结论9双曲线离心率公式7个10椭圆的离心率公式5个11参数坐标法（椭圆、双曲线）12最重点问题之面积及面积最值问题13常见处理策略（一）：涉及到平面向量、外角分线、倾角互补角分线14常见处理策略（二）：涉及到钝锐直角、对称点、斜率、四边形等处理策略15垂径定理及点差法16轨迹三个方法（定义法、相关点法、参数法）及注意完备性17完美公式（联合椭圆与双曲线）18蒙日圆锁定正确结果19定点问题（手电筒模型）20定点问题（切点弦模型）21定点问题（相交弦模型）22定点问题（动圆模型）23定值问题（统一模型）24定线问题（本质是轨迹问题）25存在性问题（点的存在性）26存在性问题（数的存在性）27存在性问题（线的存在性）28范围问题29最值问题3031计数原理1涉及排列组合的计算（勿遗漏组合数两性质）2排列与组合的区别与联系3计数原理方法（一）：捆绑法、插空法、隔板法、缩倍法、集合法、单排法4计数原理方法（二）：错排公式法、求幂法、排除法、涂色问题5排列组合分情况讨论的问题类型6二项式定理基本（展开式、通项公式、二项式系数及和、项的系数及和、对称性）7二项式的常数项、有理项8二项式定理的暴力公式与（a+b+c）型、（a+b）（c+d）型9整除问题的处理策略10二项式定理的配凑法11二项式定理用于证明不等式（简单放缩应用）模块序列考点和题型难度备注不等式与选修不等式1分式不等式及高次不等式解法（寄穿偶回规律要懂其含义）2只需加不许减原则求范围3整体型不等式范围问题4双绝对值和不等式的解法（选修）5含参一元二次不等式的解决方法（三层次法和因式分解法）6均值不等式（基本不等式）基础性质总结及替换工具7均值不等式“1的代换”8均值不等式“和+积为定值及变形”9均值不等式“配凑型”10均值不等式“三元变量型”11一次二次互比型重点12柯西不等式求最值的核心思路（选修）13线性规划形式五大类型（标准型、平方型、分式型、含参型、绝对值型）1415空间向量与立体几何1重要考点的立体图形的结构特征2位置关系（线线、线面、面面，特别注意线面）3正四面体与正方体的基本关系4球面距离概念及求法5通过平移法求空间线线角、线面角与二面角6立体几何中的轨迹问题7三视图（三色法、割补法）8外接球（长方体、正方体、正四面体）9外接球（直棱柱、“直棱锥”、正棱锥、对角线相等的四面体）10外接球（普通图形的球心位置确定法）11外接球（暴力法）12内切球（独一公式）13四大证明（判定定理及性质定理的要点和易错点）14空间向量三大定理15法向量的三种特殊无须计算法（另两类准确计算法）16空间三大角的基本问题（定义、角度范围、计算公式、易错点）17三余弦定理的巧妙应用18空间向量综合题的特殊点问题19体积求法（公式法、等体积法、割补法）20空间距离求法（体积法和公式法）统计1抽样方法区分（简单随机抽样、分层抽样、系统抽样[已不重要]）2最小二乘法求线性回归方程及其变形考法（线性回归方程的特点）3K方分布及其检验4通过频率分布直方图求均值、众数、中位数、方差等5相关系数、相关指数的基本概念模块序列考点和题型难度备注概率1古典概型计算类型（复杂情况须用排列组合计算）2随机数表的读法3一维几何概型4二维几何概型5三维几何概型6条件概率的各考法类型7独立事件概率计算8综合题之超几何分布9综合题之二项分布10综合题之卡方分布型11综合题之正态分布型12综合题之回归方程相关型13综合题之离散型设计类最优解问题14综合题之纯排列组合型1516坐标系与参数方程请注意：本部分内容部分省份及新课标已不再列入考试范围1极坐标及常见极坐标曲线2参数方程公式及重点考点（推导过程也必须要理解）3方程之间的相互转化4综合问题t的应用（必须要深刻理解t的真正涵义）5参数坐标与距离问题6极坐标法与轨迹7极坐标法与长度、面积高中数学必备资料清单列表序列资料名称出处价格1教材（课本）学校发2错题本/错题集自己3自己高中以来，尤其是高三以来做过的所有题/卷自己4历年高考真题[2007年以来的]市面购买或在我处购买5《精细红宝书》专项细分我处购买6《历年易错题汇编》我处购买7《教材习题精选430》我处购买89模拟卷（只做老师或学校发的）；切勿购买那种打着各种押题噱头的高价试卷学校发。
第一章总结提升
分析法和综合法的综合应用
一、基本内容回顾（略）
二、重点、难点突破
1、几个重要定理
（1）等腰三角形的性质定理
①等边对等角。（这是一三角形中由两边相等证明两角相等的依据）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（这是等腰三角形中解题时常用的辅助线）
（2）等腰三角形的判定定理：等角对等边。（这是一三角形中由两角相等证明两边相等的依据）
例1：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，（1）求证：OE=OF；（2）若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB于点F，其它条件不变，则（1）中结论“OE=OF”是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。
(例5图)（例Biblioteka 图）例6：如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（）
A 2：1 B 1：2 C3：2 D 2：3
变式题4：例3中△ABC具备什么条件时，四边形BDFE不存在？
例4：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，AR=GF=GC。
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC=2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形。
类型之三：灵活运用三角形、四边形有关知识解决图形中的折叠、旋转等问题
例2：如图（1），已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，AD∥BC，，PB=PC。求证：PA=PD.
变式题1：已知如图（2），四边形ABCD是等腰梯形，P为梯形内一点，且PB=PC。求证：PA=PD.
高中数学七大基本思想方法讲解
高中数学七大基本思想方法讲解第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想：（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
高中数学的“四大思想”和“六大法则”
高中数学的“四大思想”和“六大法则”想要学好高中数学，需要树立正确的解题思想与提高解题能力，下面将向大伙介绍高中数学的四大思想和六大法则，让大家来学会运用这部分容易见到的思想和法则，进而形成正确的数学解题思维，帮提高高中数学成绩。
高中数学容易见到的六大法则1、配办法所谓的公式是用变换分析方程的同构办法，并将其中的一些分配给一个或多个多项式正整数幂的和形式。
通过配方解决数学问题的公式。
其中，用的最多的是配成完全平方法。
匹配办法是数学中不断变形的要紧办法，其应用很广泛，在分解，简化根，它一般用于求解方程，证明方程和不等式，找到函数的极值和分析表达式。
2、因式分解法因式分解是将多项式转换为几个积分商品的乘积。
分解是恒定变形的基础。
除去引入中学教科书中介绍的公因子法，公式法，群体分解法，交叉乘法法等外，还有大量办法可以进行因式分解。
还有一些项目，如拆除物品的用，根分解，替换，未确定的系数等等。
3、换元法替代办法是数学中一个尤为重要和广泛用的解决问题的办法。
大家一般称未知或变元。
用新的参数替换原始公式的一部分或重新构建原始公式可以更容易，更容易解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程 ax2+ bx+ c=0根的判别， = b2-4 ac，不只用来确定根的性质，还作为一个问题解决办法，代数变形，求解方程（组），求解不等式，研究函数，甚至几何与三角函数都有很广泛的应用。
吠陀定理除去知晓二次方程的根外，还找到另一根;分析到两个数的和和乘积的容易应用并探寻这两个数，也可以找到根的对称函数并量化二次方程根的符号。
求解对称方程并解决一些与二次曲线有关的问题等，具备很广泛的应用。
5、待定系数法在解决数学问题时，假如大家第一判断大家所探寻的结果具备肯定的形式，其中包含某些未决的系数，然后依据问题的条件列出未确定系数的方程，最后找到未确定系数的值或这部分待定系数之间的关系。
为知道决数学问题，这种问题解决办法被叫做待定系数法。
高考数学难点突破难点(集合思想及应用-充要条件)
目录高考数学难点突破_难点01__集合思想及应用2高考数学难点突破_难点02__充要条件7难点1集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围.●案例探究［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+bkx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则()A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则()A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x -=1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,n S n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.8.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .参考答案难点磁场解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.故所求m 的取值范围是m ≤－1.歼灭难点训练一、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }.答案：C2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4.答案：D 二、3.a =0或a ≥894.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b ya x -=1相切，则1=22ba ab +,即ab =22b a +.答案：ab =22b a +三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B ∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩B ∅，∴a =－2.6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,nS n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n ,n S n )均在直线y =21x +21a 1上.(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解.∴A ∩B 至多有一个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.7.解：由w =21zi +b 得z =ib w 22-,∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ibw 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含.因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2.8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A .∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B .(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根.将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0解得x =1,3,3,－3.故B ={－3，－1，3，3}.难点2充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集.又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p ,∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1(p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是()A.ab =0 B.a +b =0 C.a =b D.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b )又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b (2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明pq ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立.综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.dn a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1)32d =32d 为常数.故{b n }是等差数列，公差为32d .②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ①b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n ②①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性：当3＜x ≤310时，x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >03216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310.8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.。
高三数学备考复习计划(7篇)
高三数学备考复习计划（7篇）高三数学备考复习计划篇1一. 背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。
考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。
更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。
20__年是湖南省新课标命题的第二年，数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。
在前二年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出湖南卷的特色：1、试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查2、充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性3、重视对数学思想方法的考查4、深化能力立意，考查考生的学习潜能5、重视基础，以教材为本6、重视应用题设计，考查考生数学应用意识二、教学计划与要求新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。
第一轮为系统复习(第一学期)，此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。
在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。
在教学中重点抓好各中通性、通法以及常规方法的复习，是学生形成一些最基本的数学意识，掌握一些最基本的数学方法。
同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。
三、具体方法措施1. 认真学习《考试说明》，研究高考试题,提高复习课的效率。
《考试说明》是命题的依据，复习的依据. 高考试题是《考试说明》的具体体现。
高一数学知重点难点识点总结归纳5篇
高一数学知重点难点识点总结归纳5篇高一数学知识点总结11.柱.锥.台.球的结构特征(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体.分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱.四棱柱.五棱柱等.表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱.几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面.对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.(2)棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体.分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥.四棱锥.五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥几何特征:侧面.对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分.分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态.四棱台.五棱台等表示:用各顶点字母,如五棱台几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体.几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体.几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形.(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径.2.空间几何体的三视图定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右).俯视图(从上向下)注:正视图反映了物体上下.左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右.前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下.前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.3.空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点:①原来与_轴平行的线段仍然与_平行且长度不变;②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.高一数学知识点总结2如果直线a与平面平行,那么直线a与平面内的直线有哪些位置关系?平行或异面.若直线a与平面平行,那么在平面内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?无数条;平行.如果直线a与平面平行,经过直线a的平面与平面相交于直线b,那么直线a.b的位置关系如何?为什么?平行;因为a∥ ,所以a与没有公共点,则a与b没有公共点,又a与b在同一平面内,所以a与b平行.综上分析,在直线a与平面平行的条件下我们可以得到什么结论?如果一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.高一数学知识点总结3集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C 而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c 拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义.将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如:A={ }的形式.等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种共同性质的数学元素.常用的有列举法和描述法.1.列举法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法.{1,2,3, }2.描述法﹕常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法.{_|P}(_为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于的正实数组成的集合表示为:{_|03.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合.集合自然语言常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N;不包括0的自然数集合,记作N_(2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作Z+;负整数集内也排除0的集,称负整数集,记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q.Q={p/q|p Z,q N,且p,q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集,记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算:集合交换律A B=B AA B=B A集合结合律(A B) C=A(B C)(A B) C=A (B C)集合分配律 A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)集合德.摩根律集合Cu(A B)=CuA CuBCu(A B)=CuA CuB集合〝容斥原理〞在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A).集合吸收律A (A B)=AA (A B)=A集合求补律A CuA=UA CuA= 设A为集合,把A 的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B) (A-C)A-(B C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=_B _C～(B C)=_BU_C_ =E_E= 特殊集合的表示复数集C 实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q 正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q_高一数学知识点总结4直线和平面的位置关系:直线和平面只有三种位置关系:在平面内.与平面相交.与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角. esp.空间向量法(找平面的法向量)规定:a.直线与平面垂直时,所成的角为直角,b.直线与平面平行或在平面内,所成的角为0 角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0 ,90 ]最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行.直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.高一数学知识点总结51.进行集合的交.并.补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时,易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道〝否命题〞与〝命题的否定形式〞的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增,则一定存在反函数,且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调.例如:._.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法_.求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号〝〞和〝或〞;单调区间不能用集合或不等式表示._.求函数的值域必须先求函数的定义域._.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?_.解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论_.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?_.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性,易忽略参数的范围._.〝实系数一元二次方程有实数解〞转化时,你是否注意到:当时,〝方程有解〞不能转化为.若原题中没有指出是二次方程,二次函数或二次不等式,你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?_.利用均值不等式求最值时,你是否注意到:〝一正;二定;三等〞._.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?_.解分式不等式应注意什么问题?用〝根轴法〞解整式(分式)不等式的注意事项是什么?_.解含参数不等式的通法是〝定义域为前提,函数的单调性为基础,分类讨论是关键〞,注意解完之后要写上:〝综上,原不等式的解集是〞._.在求不等式的解集.定义域及值域时,其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意〝同号可倒〞即a b 0,a 0.24.解决一些等比数列的前项和问题,你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在〝已知,求〞的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时,应有)需要验证,有些题目通项是分段函数.26.你知道存在的条件吗?(你理解数列.有穷数列.无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数,但其定义域中的值不是连续的.)28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全,二要注意从到过程中,先假设时成立,再结合一些数学方法用来证明时也成立.29.正角.负角.零角.象限角的概念你清楚吗?,若角的终边在坐标轴上,那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线.余弦线.正切线)的定义你知道吗?31.在解三角问题时,你注意到正切函数.余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数.余弦函数的有界性了吗?32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦.降幂公式.用三角公式转化出现特殊角.异角化同角,异名化同名,高次化低次)33.反正弦.反余弦.反正切函数的取值范围分别是34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?35.掌握正弦函数.余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了),你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?36.函数的图象的平移,方程的平移以及点的平移公式易混:(1)函数的图象的平移为〝左+右-,上+下-〞;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为,即.(2)方程表示的图形的平移为〝左+右-,上-下+〞;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为,即.(3)点的平移公式:点按向量平移到点,则.37.在三角函数中求一个角时,注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值,再判定角的范围)38.形如的周期都是,但的周期为.39.正弦定理时易忘比值还等于2R.1.精选最新高一数学知识点总结归纳5篇2.精选高一数学知识点总结归纳5篇3.最新高一数学知识点总结5篇4.最新_高一数学知识点总结归纳5篇5._最新高一数学知识点归纳总结5篇高一作文开学第一天优秀范文今天是开学第一天.这一天是令人激动的,是崭新的一天.下面是小编给大家带来的开学第借物喻人作文6_字高一闻着春的气息,听见春的脚步,看见春的身影.已是六年级的毕业班学生,随之而来的压力以生活启示为题的作文高一在生活中启示无处不在,每个人都会受到启发.我也是这样,就在今天我受到了蚂蚁的启示英语自我介绍作文高一五篇开学的时候我们总是要有一个精彩的自我介绍才能给别人留下深刻的印象.下面是小编给大。
重点、难点突破
重点、难点突破重点、难点突破在高考数学复习的第二、三轮中要逐个突破：选择填空题、三角函数、概率、立体几何、导数、解析几何、数列等七种重要的题型；归纳整理出函数与方程、数形结合、分类讨论和化归与转化等重要的数学思想来提高解题能力，力争数学高分。
下面我们主要以“就题型论思想”的方式来重点研究如何突破高考数学中的一些重点和疑难点问题。
—、克服圆锥曲线小题例题1 : ［2011年赣州市第一次摸底考试］已知点P{mA）是椭圆* +召=1（小＞0）上的一点，许迅是椭圆的两个焦点，若呵朽的内切圆的3半径为则此椭圆的离心率为 ___________ •一命题意图：本题考查椭圆的定义、离心率和内切圆等基础知识，考查学生分析问题和知识迁移的能力，属于中档题。
易错原因：不能准确地找出基本元之间的等量关系。
重难点突破：内切圆半径有什么用呢？检索和内切圆相关联的知识：面积。
技巧与方法：从两个角度刻画鬥的面积从而得出基本元",b,c之间的等量关系。
2 2题型链接：［赣州市第一次摸底考试］椭圆匚+罕=1，M, N是椭圆上关于9 4原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，PM, PN的斜率为k v k2,则比1 + 1込1的最小值为（）A、壬B、专C、扌D、扌3 2 3 9［点评］本题属于偏难题，区分度很好，方法多样、灵巧。
1、常规解法，主要考查知识：通法点差法，主要考查能力：分析问题的能力即如何想到点差法；2、解选择题方法：特殊值法、极端法和函数思想，即把M, N特殊为左右顶点，根据椭圆的对称性只要考虑点P在第一象限变化即可，极端化，当P为4上顶点时比1 + 1灯1=亍当P为右顶点时+ 当P从上顶点向右顶点运动时时比1 + 1妬I的值是増大的，所以选C。
二、拿稳三角函数例题2 : ［2011年赣州市第一次摸底考试］在Z\ABC中，角A、B、C的对边分别为"、b、c,且a2-(b-c)2 =(2-＞］3)bcr(1)若sin Asin cos2-,求角A和角B的大小；2(2)求sinBsinC的最大值命题意图：本题考查余弦定理、倍角公式的变形及辅肋角公式等三角函数的核心知识，考查函数的思想。
高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿
高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿1、高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿一.教材内容分析：1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。
许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
2.教学目标定位。
根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了四个层面的教学目标。
第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。
第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。
第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
3.教学重点、难点确定。
本节课是在复习了一次不等式的解法之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法。
只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可。
因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
二.教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。
浅析高中数学课堂中数形结合思想在函数解题中的运用
２ ． 建立数形结合模 型 ， 处理量与量之间的变化关系
函数 的性质在高考中 占有 较高 比重 ，其在 函数知识 的学 习中
此， 高 中数 学教学要求教师在教 学过程 中重视对学 生数 形结合思
想 的培 养 ， 这样 对学生准确解读 题 目的含义 、 把握解题 的思路 、 做 也是一个十分重要 的知识点。然而学生对于 函数 的性质 即函数 中 出正确 的解答有很大帮助。数学教师要把 向学生渗透数形结合 的 量 与量之 间的关系一直视为一 大难题 ，之所 以形成这种局 面是 因 思想 和方 法作为 日常教学 任务 ， 培养学生形成数形 结合的思考逻 为这方 面的知识 内容较为抽象 ， 理解起来存在一 定难度 。 为了克服
辑与解题思维 ， 进而提高教学效率。
这种不利 的教学现状 ，教师可以将数形结合 的教学方法融人 日常 ２ ． 数形结合 的思想运用于函数解题过程 ， 可 以提高速度和效率 教 学活动 中， 借 助直 观形象 的图形达到帮助学生理解 知识 ， 鼓励学 数形结合作 为一种有效 的函数解题途径 ， 能够帮助 我们将复 生使用数形结合思想处理相关数学 问题 。如题 ： “ 已知方程 Ｘ ２ １ ４ Ｘ ￣ 杂抽象的问题变得具 体 ， 更易于解答 ， 在实际应用 中大大提高 了解 ３ ＝ ｍ有 ４个 根 ， 求实数 ｍ 的取值范 围” 此题并 不涉及方 程根的具 题速度与效率。 在运用数形结合的方法解答 函数题 目时 ， 对 于给出 体值 ， 只求根的个数 ， 而求方程 根的个数 问题可 以转化为求两条 曲 的 图象形式的函数 ，可以先把 图形语言转化为两数之 间的数量关 线 的交点 的个 数问题来解 决 ， 即求解 函数 ｙ ＝ ｘ ２ － ４ ｘ ＋ ３与函数 ｙ ＝ ｔ ｒ ｔ 系 以便更客观地分析 ， 然后正确地思考和解决 ； 对于 已知 的函数数 图象 的交点 的个数。 如此一来 ， 原本抽象 的数量变化关 系就变得 十 量关 系之 间的问题 ， 我们可 以根据其 具有 的几何意 义进行图形转 分具体 ， 数形模 型的建立就是准确快速解答 的前提 。 化， 从而能够更加直观地观察和解 决 ， 并 由此得 出正确 的答案和结 三、 数形结合思想方 法在 函数教学中的运用 策略 论。 数形结合 的方法在解题运用中还必须遵循相关的实施原则 ， 其 原则 如下 ： （ １ ） 敏 锐 细致 的洞 察力 ， 准确地 抓住 不 同图形 所 包含 １ ． 借助数形转化关 系帮助学生准确理解函数概念 高 中数学教师设计 函数概念课程时 ， 应引导学生学习和掌握数
利用数形结合思想 巧思妙解几何问题
利用数形结合思想㊀巧思妙解几何问题罗志山(海安市角斜镇老坝港初级中学ꎬ江苏南通２２６６３４)摘㊀要:数形结合思想是借助可视化的几何图形ꎬ将数学概念与几何图形相结合ꎬ帮助学生更好地理解和应用数学知识的一种思想方法ꎬ在初中数学解题中有着广泛的应用.几何问题不仅可以培养学生的空间想象力和几何推理能力ꎬ而且可以培养学生的几何直观.因此ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师可将数学概念与平行四边形㊁全等三角形㊁阿氏圆等几何图形相结合ꎬ让学生能够更直观地理解和应用数学知识.关键词:数形结合思想ꎻ初中数学ꎻ课堂教学ꎻ几何问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２６－００２９－０３收稿日期:２０２３－０６－１５作者简介:罗志山(１９６６.０３－)男ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中数学课堂是学生掌握数学基础知识㊁训练基本技能㊁形成基本数学思想㊁积累数学活动经验的主阵地ꎬ也是培养学生高阶数学思维的主阵地[１].数形结合思想是一种重要的数学思想方法ꎬ是将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行思考的一种思想.在初中数学教学过程中ꎬ教师需培养学生数形结合意识ꎬ提高数形结合能力ꎬ从而提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.１利用数形结合思想妙解平行四边形问题平行四边形是初中数学中一个重要的平面图形ꎬ它的性质在解题中有着广泛的应用.在与平行四边形有关的数学问题中ꎬ其主要涉及平行四边形的定义㊁性质和判定等知识ꎬ利用这些知识解决问题时ꎬ数形结合思想可以发挥重要作用.在初中数学教学中ꎬ教师可以借助数形结合思想ꎬ帮助学生理解平行四边形的概念㊁性质和判定ꎬ还可以帮助学生找到数学学习的灵活性和机动性.在 平行四边形 教学中ꎬ教师可以给学生展示一些平行四边形的实际例子ꎬ比如铁路轨道㊁篮球场地等ꎬ通过观察这些实际对象的特点ꎬ学生可以直观地感受到平行四边形的形状和性质.然后ꎬ教师可引导学生观察并描述这些平行四边形的特点ꎬ如对边是否平行㊁对角是否相等等ꎬ从而帮助学生建立对平行四边形的初步认识.接着ꎬ教师可以为学生展示课堂例题ꎬ培养学生的应用能力.例１㊀如图１ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬ设点ＥꎬＦ分别为边ＢＣꎬＡＢ上的一点ꎬＣＦ与ＡＥ相交于一点ＰꎬＣＦ＝ＡＥ.求证:øＡＰＤ＝øＣＰＤ.图１㊀例１题图为使学生熟练运用平行四边形的性质解决本题ꎬ教师可帮助学生回顾平行四边形的性质.指导学生绘制平行四边形的几何图形ꎬ引导学生观察图形中的边㊁角㊁对角线ꎬ并与平行四边形的定义结合起来ꎬ探索平行四边形的性质.教师可要求学生测量平９２行四边形各边的长度和各角的大小ꎬ通过比较ꎬ学生发现平行四边形的对边相等㊁平行四边形的对角相等.同时ꎬ教师还可以引导学生观察平行四边形的对角线的特征ꎬ学生容易发现 平行四边形的对角线互相平分 .针对本题ꎬ在教师的指引下ꎬ学生积极思考ꎬ踊跃发言ꎬ得到了问题的证明方法.证明㊀如图２ꎬ过点Ｄ作ＤＧʅＡＥꎬＤＨʅＣＦꎬ垂足分别为ＧꎬＨ.连接ＤＦꎬＤＥ.图２㊀例１题证明图根据图形特征ꎬ易得ＳәＡＤＥ＝１２Ｓ平行四边形ＡＢＣＤꎬＳәＡＣＦ＝１２Ｓ平行四边形ＡＢＣＤꎬ所以ＳәＡＤＥ＝ＳәＡＣＦꎬ即１２ＡＥ ＤＧ＝１２ＣＦ ＤＨꎬ又因为ＡＥ＝ＣＦꎬ所以ＤＧ＝ＤＨꎬ所以ＤＰ为øＣＰＡ的角平分线ꎬ所以øＡＰＤ＝øＣＰＤ.除此之外ꎬ教师还可以设计一些与实际生活相关的问题ꎬ要求学生利用平行四边形的性质进行推理和解答.例如ꎬ教师可以给学生一个房间的平面图ꎬ要求学生找出平行四边形.通过这样的问题设计ꎬ能够将数学知识与实际情境相结合ꎬ培养学生的逻辑推理能力和问题分析能力.借助数形结合的数学思想方法ꎬ可为学生解决问题提供良好的数学解题思路ꎬ提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.在初中数学教学中ꎬ教师可借助数形结合的思想方法ꎬ激发学生学习数学的兴趣ꎬ提高学生的几何直观和几何推理能力.２利用数形结合思想妙解全等三角形问题数形结合思想的应用非常广泛ꎬ不仅可以解决与平行四边形有关的几何问题ꎬ还可以解决与全等三角形有关的几何问题.教师可引导学生将数学概念与几何图形相结合ꎬ帮助学生更好地理解数学概念和几何图形的结构特征ꎬ从而提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.在 全等三角形 教学中ꎬ教师可展示一些全等三角形ꎬ引导学生观察图形的特征ꎬ从而得到全等三角形的性质.首先ꎬ教师给学生展示两个全等三角形ꎬ并提醒学生注意图形中的对应边㊁对应角的大小关系.然后ꎬ教师让学生通过观察和比较ꎬ找出两个全等三角形中具有相等关系的边或角ꎬ从而发现全等三角形的对应边相等㊁全等三角形的对应角相等.接下来ꎬ教师可以设计一些有趣的几何问题ꎬ让学生利用数形结合思想解决.例２㊀如图３ꎬ在әＡＢＣ中ꎬ点Ｄ在线段ＡＣ上ꎬ线段ＢＤ平分øＡＢＣꎬ延长ＢＡ到点Ｅ处ꎬ使得ＢＥ＝ＢＣꎬ连接ＤＥꎬ若øＡＤＥ＝３８ʎꎬ求øＡＤＢ的度数.图３㊀例２题图教师引导学生结合图形特征ꎬ对已知条件和所求角度之间的逻辑关系进行思考ꎬ利用数形结合思想求解.学生指出ꎬ从角平分线入手ꎬ根据全等三角形的性质可得出对应角相等ꎬ然后再借助假设法和等量代换得出最后的结果.教师对学生的求解思路给予充分肯定ꎬ并请学生写出求解过程.解㊀因为ＢＤ平分øＡＢＣꎬ所以øＤＢＥ＝øＤＢＣ.在әＢＤＥ和әＢＤＣ中ꎬ因为ＢＣ＝ＢＥꎬøＥＢＤ＝øＣＢＤꎬＢＤ＝ＢＤꎬ所以әＢＤＥɸәＢＤＣꎬ所以øＢＤＥ＝øＢＤＣ.设øＢＤＡ＝αꎬ则øＣＤＢ＝øＥＤＢ＝α＋３８ʎꎬ又因为øＣＤＡ为平角ꎬ所以α＋α＋３８ʎ＝１８０ʎꎬ解得α＝７１ʎꎬ即øＡＤＢ＝７１ʎ.除此之外ꎬ教师还可以引导学生将数学概念与实际生活中的问题相结合ꎬ让学生意识到全等三角形在生活中的广泛应用.例如ꎬ教师可以给学生讲解全等三角形在建筑设计㊁地图绘制等领域的应用等.借助数形结合思想方法ꎬ学生对几何知识有了更深入的理解ꎬ提高了学生观察和比较的能力.全等三角形的判定与性质是解决与全等三角形有关几何问题的工具ꎬ数形结合思想为学生提供了一种有效０３解决几何问题的方法ꎬ使学生灵活运用所学知识解决几何推理问题.因此ꎬ掌握全等三角形的概念可以帮助学生更好地理解和应用全等三角形的判定与性质解决实际问题ꎬ为学生未来的学习和发展打下坚实的基础[２].３利用数形结合思想妙用最值阿氏圆阿波罗尼斯圆是一种特殊的圆ꎬ简称为阿氏圆ꎬ其特点是它的半径与焦点之间的距离成反比例关系ꎬ学生学习阿波罗尼斯圆的意义在于它代表了几何学中的一个重要概念ꎬ不仅具有理论上的价值ꎬ还有实际应用的意义.通过学习阿波罗尼斯圆ꎬ教师可以引导学生深入理解数学中的比例关系和图形的性质ꎬ帮助学生更好地理解和解决最值问题.在 圆 的教学中ꎬ教师可以指出阿波罗尼斯圆的研究对于几何学发展的重要意义ꎬ扩展学生对圆形的认识ꎬ使学生能够更加全面地理解和应用圆的性质.通过研究阿波罗尼斯圆ꎬ教师可以引领学生进一步探索圆的曲率㊁切线和法线等方面的特性.在教学实践中ꎬ教师可以给学生呈现一个最值问题ꎬ求解一个三角形内切圆半径的最大值问题ꎬ然后引入阿氏圆的概念ꎬ并通过对几何图形的观察ꎬ让学生发现阿氏圆的半径与三角形的边长之间存在着某种关系.接着ꎬ教师可以引导学生运用数学知识ꎬ如勾股定理和三角形面积公式ꎬ结合阿氏圆的性质ꎬ推导出最值问题的解决方法.通过这样的教学方式ꎬ学生不仅能够理解数学规律ꎬ还能够培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力.例３㊀如图４ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＢＣＡ＝９０ʎꎬ且ＣＢ＝４ꎬＣＡ＝５ꎬ圆Ｃ的半径为２ꎬ点Ｐ为圆上的一个动点ꎬ连接ＰＡ和ＰＢꎬ求ＰＡ＋１２ＰＢ的最小值.图４㊀例３题图结合图形特征和已知条件ꎬ教师可以鼓励学生自主解答ꎬ培养学生的数学思维能力ꎬ提升学生的数学核心素养.其中一名学生提供了如下解题思路:如图４ꎬ在线段ＢＣ上取一点Ｄꎬ使ＰＤ＝１２ＢＤꎬ连接ＡＤꎬ则ＰＡ＋１２ＰＢ＝ＡＰ＋ＰＤ.要使ＰＡ＋１２ＰＢ最小ꎬ只需ＡＰ＋ＰＤ最小.根据图形特征可以发现ꎬ当点ＡꎬＰꎬＤ三点在同一条直线上时ꎬＡＰ＋ＰＤ最小ꎬ即ＰＡ＋１２ＰＢ最小值为ＡＤ.为此ꎬ教师给予学生充分肯定ꎬ并鼓励其他学生继续思考ꎬ突破问题难点ꎬ最终求出结果ꎬ有学生求得ＡＤ＝３７ꎬ教师肯定了学生的回答.借助数形结合思想解决与阿氏圆有关的最值问题ꎬ为学生提供了锻炼几何推理思维的机会ꎬ帮助学生深刻理解数学最值问题的几何意义ꎬ从而为学生的数学学习提供更加丰富和深入的活动体验[３].总之ꎬ数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法ꎬ在初中数学解题中有着广泛的应用.几何问题不仅可以培养学生的空间想象力和几何推理能力ꎬ而且可以培养学生的几何直观.因此ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师也可以将数学概念与几何图形相结合ꎬ让学生能够更直观地理解和应用数学知识.数形结合思想是一种有效解决几何问题的思想方法ꎬ可以提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的数学核心素养ꎬ促进学生全面发展.参考文献:[１]赵春玉.初中数学教学中数形结合思想的应用探析[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２３(２０):４６－４８. [２]何朝富.数形结合思想在初中数学教学中的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２３(２３):１０７－１１０. [３]杨敏.浅谈如何激活初中生的数形结合意识[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２３(１４):７４－７５.[责任编辑:李㊀璟]１３。
2023年教师资格(高级中学)-数学知识与教学能力(高中)考试备考题库附带答案9
2023年教师资格（高级中学）-数学知识与教学能力（高中）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知曲面方程为x2 +y2 - 2x + 8y + 6z = 10,则过点(5,-2，1)的切平面方程为（）。
A. 2x+y+2z=0B. 2x+y+2z=10C. x—2y+6z=15D. x—2y+6z=0正确答案：B,2.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设a∈R，则“a=1”是“直线11：ax+2y-1=0与直线12：x+(a+1)y+4=0平行”的（）。
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要正确答案：A,3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 以学论教主要是从情绪状态、注意状态、参与状态、交往状态、（）、生成状态六个方面对教师课堂教学进行评价。
A. 发散状态B. 思维状态C. 讨论状态D. 接受状态正确答案：B,4.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知F1, F2是椭圆x2/16+y2/9=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A, B两点。
在△F1B中，若有两边之和是10,则第三边的长度为（）。
A. 6B. 5C. 4D. 3正确答案：A,5.(单项选择题)(每题 5.00 分) AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P的轨迹是（）。
A. 圆B. 椭圆C. 一条直线D. 两条平行直线正确答案：B,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 下列不属于《普通高中数学课程标准(实验)》提出的五大基本能力的是（）。
A. 抽象概括能力B. 运算能力C. 逻辑推理能力D. 数据处理能力正确答案：B,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设向量a，b满足：|a|=3，|b|=4，a.b=0。
以a，b，a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）。
77.直角三角形全等的判定难点突破
2. 已知：如图所示，AB=CD，DE⊥AC， BF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：⑴ AE=CF；⑵AB∥CD。
∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠CED=∠AFB=90°， 又∵AB=CD，BF=DE， ∴R t△ABF≌R t△CDE (HL)， ∴AF=CE，∠BAF=∠DCE， ∴AE=AF-EF=CE-EF=CF，AB∥CD。
因为AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC， E、F是垂足，DE=BF，根据全等三 角形的定理判断，△AFB和△CED 全等，所以AF=CF。又△AFB与 △CED全等，∠DCE=∠BAF，根据 内错角相等，两直线平行得出答 案。
3.如图所示，在△ABC中，已知D是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 是E、F，DE=DF，求证：AB=AC.
4.在直角三角形 ABC 中，若∠C=90°，D是BC边上 的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是 （ ）
A 30° C 120°
B 60° D 150°
C
∵∠ADC=60°， ∴∠ADB=120°。
探索两个直角三角形全等的条件。 掌握两个直角三角形全等的条件。
∵D是BC边的中点，DE垂直AB，DF 垂直AC，
∴∠BED=∠DFC= 90°，BD=CD.
在 R t△BED 和 R t△CFD 中， ED=FD，BD=DC，
∴R t△BED≌R t△CFD,
∴∠B=∠C，∴AB=AC
因为 D 是 BC 的中点，所以 BD=CD. 在R t△BED 和 R t△CFD 中，由BD=CD，DE=DF 可以证明这 两个三角形全等，从而∠B=∠C， 得到AB=AC。
探索两个直角三角形全等的条件。 掌握两个直角三角形全等的条件。
直角三角形全等的判定难点突破：
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难点37 关于数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●难点磁场1.曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围 .2.设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围. ●案例探究［例1］设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目. 知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C .进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下：①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜z 2≤z ≤4} 要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾. ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知：必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a解得21≤a ≤2 ③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立. 综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］. ［例2］已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证：22222cosb ac +=-βα. 命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目. 知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β,sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图.从而：｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2 =2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l 的距离22||ba c d +=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 ba c d +==---2224)cos(221βα∴22222cosb ac +=-βα. ●锦囊妙计应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★）方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.以上均不对2.（★★★★★）已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A.α＜a ＜b ＜βB.α＜a ＜β＜bC.a ＜α＜b ＜βD.a ＜α＜β＜b 二、填空题 3.（★★★★★）(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是 . 4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是 . 三、解答题5.（★★★★）设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β. （1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B ≠∅，求a 的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A （1，1）为椭圆5922y x +=1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点.求｜PF 1｜+｜P A ｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm 、20 cm 、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参 考 答 案●难点磁场1.解析：方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线.答案：（43,125］ 2.解法一：由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]，综上所述a ∈(–3,1). 解法二：由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象. 如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l 对应的a ∈(–3,1). ●歼灭难点训练一、1.解析：在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图.答案：B2.解析：a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示：答案：A二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t ) 点A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线. 考虑用点到直线的距离公式求解. 答案：2274.解析：解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得. 答案：a ＞3三、5.解：①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点，故a ∈(–2,–3)∪(–3,2). ②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan 332=+βα， 故tan(α+β)=3.6.解：∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆.如图所示∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点. 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大. 此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+2.7.解：由15922=+y x 可知a =3,b =5,c =2，左焦点F 1(–2,0),右焦点F 2(2,0).由椭圆定义，｜PF 1｜=2a –｜PF 2｜=6–｜PF 2｜,∴｜PF 1｜+｜P A ｜=6–｜PF 2｜+｜P A ｜=6+｜P A ｜–｜PF 2｜ 如图：由｜｜P A ｜–｜PF 2｜｜≤｜AF 2｜=2)10()12(22=-+-知–2≤｜P A ｜–｜PF 2｜≤2.当P 在AF 2延长线上的P 2处时，取右“=”号； 当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，取左“=”号. 即｜P A ｜–｜PF 2｜的最大、最小值分别为2，–2. 于是｜PF 1｜+｜P A ｜的最大值是6+2,最小值是6–2.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值. 由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：设AE =x ,BE =y ,则有AE =AH =CF =CG =x ，BE =BF =DG =DH =y∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+225210520222222y x y y x x ∴2225225210=+=+=y x AB .。