5 连续型随机变量
降水量连续型随机变量例题
降水量连续型随机变量例题例一·测量电压设在一电路中，电阻两喘的电压(V)服从 N ( 120 , 2 2 ) . N(120,2^2). N(120,22).今独立测量了 5 5 5次，试确定有2 2 2次测定值落在区间 [ 118 , 122 ] [118,122][118,122]之外的概率.思路设第 i i i次的测量值为 X i X_i Xi， i = 1 , 2 , 3 ,4 ,5 , i=1,2,3,4,5, i=1,2,3,4,5,则 X i ∼ N ( 120 , 2 2 ) X_i \sim N(120,2^2) Xi∼N(120,22),代入公式得 P{ 118 ⩽ X i ⩽122 } = Φ ( 122 − 120 2 ) − Φ( 118 − 120 2 ) = Φ ( 1 ) − Φ ( − 1 ) = 2 Φ ( 1 ) − 1 = 0 , 6826 P { X i ∉ [ 118 , 122 ] } = 1 − P { 118 ⩽ X ⩽ 122 } = 0.3174 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5\begin{array}{l} P\left\{118 \leqslant X_{i} \leqslant 122\right\}=\Phi\left(\frac{122-120}{2}\right)-\Phi\left(\frac{118-120}{2}\right) \\ \quad=\Phi(1)-\Phi(-1)=2 \Phi(1)-1=0,6826 \\ P\left\{X_{i}\notin[118,122]\right\}=1-P\{118 \leqslant X \leqslant 122\}=0.3174, i=1,2,3,4,5 \end{array} P{118⩽Xi⩽122}=Φ(2122−120)−Φ(2118−120)=Φ(1)−Φ(−1)=2Φ(1)−1=0,6826P{Xi∈/[118,122]}=1−P{118⩽X⩽122}=0.3174,i=1,2,3,4,5因各个X i X_i Xi相互独立，故用 Y Y Y表示 5 5 5次测量其测量值 X i X_i Xi落在区间 [ 118 , 122 ] [118,122][118,122]之外的个数，则 Y ∼ b ( 5 , 0.3174 ) Y \simb(5,0.3174) Y∼b(5,0.3174)代入公式得 P { Y = 2 } = ( 52 ) ( 0.3174 ) 2 ( 0.6826 )3 = 0.3204P\{Y=2\}=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2\end{array}\right)(0.3174)^{2}(0.6826)^{3}=0.3204P{Y=2}=(52)(0.3174)2(0.6826)3=0.3204例二·等待指示灯的时间某人上班，自家里去办公楼要经过一交通指示灯，这一指示灯有80%时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮，等待时间在区间 [ 0 , 30 ] [0,30] [0,30](以秒计)服从均匀分布.以X表示他的等待时间.求X的分布函数F(x)，并问X是否为连续型随机变量，是否为离散型的? (要说明理由)思路当他到达交通指示灯处时,若是亮绿灯,则等待时间X为零,亮红灯则等待时间X服从均匀分布.记A为事件“指示灯亮绿灯”,对于固定的x≥0,由全概率公式有 P { X ⩽ x } = P { X ⩽x ∣ A } P ( A ) + P { X ⩽x ∣ A ˉ ⟩ P( A ˉ ) P\{X \leqslant x\}=P\{X \leqslant x | A\}P(A)+P\{X \leqslant x|\bar{A}\rangle P(\bar{A})P{X⩽x}=P{X⩽x∣A}P(A)+P{X⩽x∣Aˉ⟩P(Aˉ) 其中 P { X ⩽x ∣ A } = 1 , P { X ⩽x ∣A ˉ } = x 30 ( 当 0 ⩽ x ⩽ 30 ) , P ( X ⩽x ∣ A ˉ ) = 其中P\{X\leqslant x | A\}=1, P\{X \leqslant x |\bar{A}\}=\frac{x}{30}(当0 \leqslant x \leqslant 30), P(X \leqslant x | \bar{A})= 其中P{X⩽x∣A}=1,P{X⩽x∣Aˉ}=30x(当0⩽x⩽30),P(X⩽x∣Aˉ)= 1 ( 当 x > 30 ) , 由 P ( A ) = 0.2 得到 1(当 x>30), 由P(A)=0.2 得到 1(当x>30),由P(A)=0.2得到 P { X ⩽x } = 1 × 0.2 + x 30 × 0.8 = 0.2 + 0.8 x 30 ( 当 0 ⩽ x ⩽ 30 ) P\{X \leqslantx\}=1 \times 0.2+\frac{x}{30} \times 0.8=0.2+\frac{0.8 x}{30}(当0 \leqslant x \leqslant 30)P{X⩽x}=1×0.2+30x×0.8=0.2+300.8x(当0⩽x⩽30) P { X ⩽x } = 1 × 0 , 2 + 1 × 0.8 = 1 ( 当 x > 30 ) P\{X \leqslant x\}=1 \times 0,2+1 \times 0.8=1\quad\left(当 x>30\right) P{X⩽x}=1×0,2+1×0.8=1(当x>30) 于是得到 X 的分布函数于是得到X的分布函数于是得到X的分布函数 F ( x ) = P { X ⩽ x } = { 0 , x < 0 0.2 + 0.8 x 30 , 0 ⩽ x < 30 1 , x ⩾ 30F(x)=P\{X \leqslant x\}=\left\{\begin{array}{ll}0, &x<0 \\ 0.2+\frac{0.8 x}{30}, & 0 \leqslant x<30 \\ 1, & x \geqslant 30\end{array}\right. F(x)=P{X⩽x}=⟩⟩⟩0,0.2+300.8x,1,x<00⩽x<30x⩾30例三·求概率密度设 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1),求 Y = e X Y=e^X Y=eX的概率密度.思路因为 Y = e X Y=e^X Y=eX大于0，故当 y < 0 y<0 y<0时，f Y ( y ) = 0 f_Y(y)=0 fY(y)=0；当 y > 0 y>0 y>0时，注意到 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1)，因而可以求出 Y Y Y的分布函数为 F Y ( y ) = P { Y ⩽ y } = P { 0 < Y ⩽ y } = P { 0 < e x ⩽ y } − P { − ∞ < X ⩽ ln ⟩ y } = Φ ( ln ⟩ y ) \begin{aligned}&F_{Y}(y)=P\{Y \leqslant y\}=P\{0<Y \leqslanty\}=P\left\{0<\mathrm{e}^{x} \leqslant y\right\}\\ &-P\{-\infty<X \leqslant \ln y\}=\Phi(\ln y)\end{aligned} FY(y)=P{Y⩽y}=P{0<Y⩽y}=P{0<ex⩽y}−P{−∞<X⩽lny}=Φ(lny)进而求得 f Y ( y ) = d d y F Y ( y ) = d d x Φ ( x ) ∣ x = ln ⟩ y ⋅ 1 y = 1 2 π e − 1 2 ( ln ⟩ y ) 2 ⋅ 1 y f_{Y}(y)=\frac{d}{d y}F_{Y}(y)=\left.\frac{d}{d x} \Phi(x)\right|_{x=\ln y} \cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}(\ln y)^{2}} \cdot \frac{1}{y} fY(y)=dydFY (y)=dxdΦ(x)∣∣∣∣x=lny⋅y1=2π1e−21(lny)2⋅y1于是， Y = e X Y=e^X Y=eX的概率密度为f Y ( y ) = { 1 2 π y e − 1 2 ( ln ⟩ y ) 2 ⋅ , y >0 0 , 其他 f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2 \pi} y} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(\ln y)^{2}} \cdot, & y>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right.fY(y)={2πy1e−21(lny)2⋅,0,y>0其他例四·使用引理求概率密度设随机变量 X X X的概率密度为 f ( x ) = { e − x , x > 0 0 , 其他 f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-x}, &x>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right. f(x)={e−x,0,x>0其他求 Y = X 2 Y=X^2 Y=X2的概率密度.思路Y = X 2 Y=X^2 Y=X2，即有 y = g ( x ) = x 2 y=g(x)=x^2 y=g(x)=x2，在 x > 0 x>0 x>0时， g ( x ) g(x) g(x)单调递增，具有反函数 x = h ( y ) = y 1 / 2 x=h(y)=y^{1/2} x=h(y)=y1/2,又有h ′ ( y ) = 1 2 y − 1 / 2h^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} h′(y)=21y−1/2由课本引理得 Y = X 2 Y=X^2 Y=X2的概率密度为 f Y ( y )= { 1 2 y e − y , y > 0 0 , 其他f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2 \sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, & y>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right. fY(y)={2y1e−y,0,y>0其他。
随机变量函数的分布
二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }
4 y /
f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g
连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
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3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
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2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
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密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
第二章随机变量及其分一、基本要求、重点与难点
第二章随机变量及其分一、基本要求、重点与难点（一）基本要求1．理解随机变量的概念。
2．掌握离散型随机变量和连续型随机变理的描述方法。
3．理解分布列与概率密度的概念及其性质。
4．理解分布函数的概念及性质。
5．会应用概率分布计算有关事件的概率。
6．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。
7．会求简单随机变量函数的分布。
（二）重点1．离散型随机变量的分布列和分布函数的概念及性质。
2．连续型随机变量的密度函数和分布函数的概念及性质。
3．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。
4．随机变量的一些简单函数的概率分布的求法。
（三）难点1．离散型随机变量的分布列与分布函数的关系。
2．连续型随机变量的密度函数与分布函数的关系。
3．随机变量函数的分布的计算。
二、重点内容简介§1 随机变量的概念及分类定义定义在样本空间Ω上的一个实值函数X=X(ω)，使随机试验的每一个结果ω都可用一个实数X(ω)来表示，且实数X满足1）X是由ω唯一确定；2）对于任意给定的实数x，事件{X≤x}都是有概率的，则称X为一随机变量，一般用大写字母X,Y,Z等表示。
引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量来表示，这样，我们就把对事件的研究转化为对随机变量的研究。
随机变量一般可分为离散型和非离散型两大类。
非离散型又可分为连续型和混合型。
由于在实际工作中我们经常遇到的是离散型和连续型的随机变量，因此一般情况下我们仅讨论这两个类型的随机变量。
§2 随机变量的分布函数及其性质定义 设X 为一随机变量，x 是任意实数,称函数 F(x)=P(X ≤x) (-∞<x<+∞) 为随机变量X 的分布函数。
分布函数是一个以全体实数为其定义域，以事件{ω|∞＜X(ω)≤∞}的概率为函数值的一个实值函数。
分布函数具有以下的基本性质： 1） 0≤F(x )≤1;2） F(x )是非减函数； 3） F(x )是右连续的； 4）lim ()0,lim ()1;x x F x F x →−∞→+∞==设随机变量X 的分布函数为F(x )，则可用F(x )来表示下列概率：(1) ()();(2) ()(0);(3) ()1()1();(4) ()1()1(0);(5) ()()()()(0);(6) (||)()()()(0)();P X a F a P X a F a P X a P X a F a P X a P X a F a P X a P X a P X a F a F a P X a P a X a P X a P X a F a F a ≤=<=−>=−≤=−≥=−<=−−==≤−<=−−<=−<<=<−≤−=−−−§ 3 离散型随机变量1 定义定义 如果随机变量X (ω)所有可能取值是有限个或可列多个，则称X (ω)为离散型随机变量（discrete random variable ）简写作d .r .v .。
连续型随机变量及其概率密度
G
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f (x)x
指数分布常用于可靠性统计研究 中，如元件的寿命.
若X 服从参数为 θ 的指数分布, 则其分布函数为
F(x)PXຫໍສະໝຸດ x 1 e x /
,
0,
x0 其它
事实上 ,
F
x
x
f
t
dt
当
x 0 时, F x
x f t dt
x
0dt
当
x 0 时, F x
x f t dt
0
0dt
x
1
c l
Pc X c l
1 dx
l
c ba ba
如果随机变量 X 服从
区间 a， b上的均匀分布，
X
X
则随机变量 X 在区间 a， b a l 0 l
bx
上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间
的长度成正比，而与该子区间的位置无关．
2 . X的 分 布 函 数 为 ：
0,
xa
F(x)
PX
1
1 x
2
x
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
5Continuousrandomvariables：5个连续的随机变量
5Continuous random variablesWe deviate from the order in the book for this chapter,so the subsections in this chapter do not correspond to those in the text.5.1Densities of continuous random variableRecall that in general a random variable X is a function from the sample space to the real numbers.If the range of X isfinite or countable infinite, we say X is a discrete random variable.We now consider random variables whose range is not countably infinite orfinite.For example,the range of X could be an interval,or the entire real line.For discrete random variables the probability mass function is f X(x)= P(X=x).If we want to compute the probability that X lies in some set, e.g.,an interval[a,b],we sum the pmf:P(a≤X≤b)= x:a≤x≤b f X(x)A special case of this isP(X≤b)= x:x≤b f X(x)For continuous random variables,we will have integrals instead of sums. Definition1.A random variable X is continuous if there is a non-negative function f X(x),called the probability density function(pdf)or just density, such thatP(X≤t)= t−∞f X(x)dxProposition1.If X is a continuous random variable with density f(x), then1.P(X=x)=0for any x∈R.2.P(a≤X≤b)= b a f(x)dx3.For any subset C of R,P(X∈C)= C f(x)dx14. ∞−∞f(x)dx=1Proof.First we observe that subtracting the two equationsP(X≤b)= b−∞f X(x)dx,P(X≤a)= a−∞f X(x)dxgivesP(X≤b)−P(X≤a)= b a f X(x)dxand we have P(X≤b)−P(X≤a)=P(a<X≤b),soP(a<X≤b)= b a f X(x)dx(1) Now for any nP(X=x)≤P(x−1/n<X≤x)= x x−1/n f X(t)dtAs n→∞,the integral goes to zero,so P(X=x)=0.Property2now follows from eq.(1)sinceP(a≤X≤b)=P(a<X≤b)+P(X=a)=P(a<X≤b)Note that since the probability X equals any single real number is zero, P(a≤X≤b),P(a<X≤b),P(a≤X<b),and P(a<X<b)are all the same.Property3is easy if C is a disjoint union of intervals.For more general sets,it is not clear what C even means.This is beyond the scope of this course.Property4is just the fact that P(−∞<X<∞)=1.Caution Often the range of X is not the entire real line.Outside of the range of X the density f X(x)is zero.So the definition of f x(x)will typically involves cases:in one region it is given by some formula,elsewhere it is simply0.So integrals over all of R which contain f X(x)will reduce to intervals overa subset of R.If you mistakenly integrate the formula over the entire real line you will of course get nonsense.25.2CatalogAs with discrete RV’s,two continuous RV’s defined on completely different probability spaces can have the same density.And there are certain densities that come up a lot.So we start a catalog of them.Uniform:(two parameters a,b∈R with a<b)The uniform density on [a,b]isf(x)= 1b−a dx=d−cσ√2 x−µπ(1+x2)3Example:Suppose X is a random variable with an exponential distribution with parameterλ=2.Find P(X≤2)and P(X≤1|X≤2).Example:Suppose X has the Cauchy distribution.Find the number c with the property that P(X≥c)=1/4.Example:Suppose X has the densityf(x)= c x(2−x)if0≤x≤20otherwisewhere c is a constant.Find the constant c and then compute P(1/2≤X).5.3Expected valueA rigorous treatment of the expected value of a continuous random variable requires the theory of abstract Lebesgue integration,so our discussion will not be rigorous.For a discrete RV X,the expected value isE[X]= x xf X(x)We will use this definition to derive the expected value for a continuous RV. The idea is to write our continuous RV as the limit of a sequence of discrete RV’s.Let X be a continuous RV.We will assume that it is bounded.So there is a constant M such that the range of X lies in[−M,M],i.e.,−M≤X≤M. Fix a positive integer n and divide the range into subintervals of width1/n. In each of these subintervals we“round”the value of X to the left endpoint of the interval and call the resulting RV X n.So X n is defined byX n(ω)=kn≤X(ω)<k+1nf X n(kNowf X n(kn)=P(kn)= k+1n f X(x)dxSoE[X n]=Mn−1k=−Mn k n knk nf X(x)dxWhen n is large,the integrals in the sum are over a very small interval.In this interval,x is very close to k/n.In fact,they differ by at most1/n.So the limit as n→∞of the above should beMn−1k=−Mn k+1n x f X(x)dx= M−M x f X(x)dx= ∞−∞x f X(x)dxThe last equality comes from the fact that f X(x)is zero outside[−M,M]. So we make the following definitionDefinition2.Let X be a continuous RV with density f X(x).The expected value of X isE[X]= ∞−∞x f X(x)dxprovided∞−∞|x|f X(x)dx<∞(If this last integral is infinite we say the expected value of X is not defined.) The variance of X isσ2=E[(X−µ)2],µ=E[X]provided the expected value is defined.5Just as with discrete RV’s,if X is a continuous RV and g is a function from R to R,then we can define a new RV by Y=g(X).How do we compute the mean of Y?One approach would be to work out the density of Y and then use the definition of expected value.We have not yet seen how tofind the density of Y,but for this question there is a shortcut just as there was for discrete RV.Theorem1.Let X be a continuous RV,g a function from R to R.Let Y=g(X).ThenE[Y]=E[g(X)]= ∞−∞g(x)f X(x)dxProof.Since we do not know how tofind the density of Y,we cannot prove this yet.We just give a non-rigorous derivation.Let X n be the sequence of discrete RV’s that approximated X defined above.Then g(X n)are discrete RV’s.They approximate g(X).In fact,if the range of X is bounded and g is continous,then g(X n)will converge uniformly to g(X).So E[g(X n)]should converges to E[g(X)].Now g(X n)]is a discrete RV,and by the law of the unconscious statisticianE[g(X n)]= x g(x)f X n(x)(2) Looking back at our previous derivation we see this isE[g(X n)]=Mn−1k=−Mn g(k n knk n)f X(x)dxwhich converges tog(x)f X(x)dx(3)6Just as in the discrete case,there is an application of this theorem that gives us a shortcut for computing the varianceCorollary1.If X is a continuous random variable withfinite varianceσ2 and meanµ,thenσ2=E[X2]−µ2= ∞−∞x2f X(x)dx−µ2Proof.By the theoremσ2=E[(X−µ)2]= (x−µ)2f X(x)dx= [x2−2µx+µ)2]f X(x)dx = x2f X(x)dx−2µ x f X(x)dx+µ2 f X(x)dx= x2f X(x)dx−2µ2+µ2= x2f X(x)dx−µ2Example:Find the mean and variance of the uniform distribution on[a,b].The mean isµ= b a x f(x)dx= b a x2b2−a22(4) For the variance we have tofirst computeE[X2]= b a x2f(x)dx(5) We then subtract the square of the mean andfindσ2=(b−a)2/12. Example:Find the mean and variance of the normal distribution. Example:Find the mean of the Cauchy distributionThe gamma function is defined byΓ(w)= ∞0x w−1e−x dx(6)7The gamma distribution has range[0,∞)and depends on two parameters λ>0,w>0.The density isf(x)= λwλ,σ2=w35f X(x)1/83/81/8 GRAPH8Example:Compute cdf of exponential distribution.Theorem2.Let X be a continuous RV with pdf f(x)and cdf F(x).Then they are related byF(x)= x−∞f(t)dt,f(x)=F′(x)Proof.Thefirst equation is immediate from the def of the cdf.To get the second equation,differentiate thefirst equation and remember that the fun-damental theorem of calculus saysdSince x n→∞,every outcome is in E n for large enough n.So∪∞n=1E n=Ω. Solim n→∞F(x n)=limn→∞P(E n)=1(9)The proof that the limit as x→−∞is0is similar.GAPNow consider a continuous random variable X with density f.ThenF(x)=P(X≤x)= x−∞f(t)dtSo given the density we can compute the cdf by doing the above integral. Differentiating the above we getF′(x)=f(x)So given the cdf we can compute the density by differentiating.Theorem4.Let F(x)be a function from R to[0,1]such that1.F(x)is non-decreasing.2.lim x→−∞F(x)=0,lim x→∞F(x)=1.3.F(x)is continuous from the right.Then F(x)is the cdf of some random variable,i.e.,there is a probability space(Ω,F,P)and a random variable X on it such that F(x)=P(X≤x). fThe proof of this theorem is way beyond the scope of this course.5.5Function of a random variableLet X be a continuous random variable and g:R→R.Then Y=g(X)is a new random variable.We want tofind its density.This is not as easy as in the discrete case.In particular f Y(y)is not x:g(x)=y f X(x).KEY IDEA:Compute the cdf of Y and then differentiate it to get the pdf of Y.10Example:Let X be uniform on[0,1].Let Y=X2.Find the pdf of Y.GAPExample:Let X be uniform on[−1,1].Let Y=X2.Find the pdf of Y.GAPExample:Let X be uniform on[0,1].Letλ>0.Y=−1Theorem5.Let X be a non-negative continuous random variable with cdf F(x).ThenE[X]= ∞0[1−F(x)]dx(12) provided the integral converges.Proof.We use integration by parts on the integral.Let u(x)=1−F(x)and dv=dx.So du=−fdx and v=x.So∞0[1−F(x)]dx=x(1−F(x))|∞x=0+ ∞0x f(x)dx=E[X](13)Note that the boundary term at∞is zero since F(x)→1as x→∞.We can use the above to prove the law of the unconscious statistician for a special case.We assume that X≥0and that the function g is from[0,∞) into[0,∞)and it strictly increasing.Note that this implies that g has an inverse.ThenE[Y]= ∞0[1−F Y(x)]dx= ∞0[1−P(Y≤x)]dx(14)= ∞0[1−P(g(X)≤x)]dx= ∞0[1−P(X≤g−1(x))]dx(15)= ∞0[1−F X(g−1(x))]dx(16)Now we do a change of variables.Let s=g−1(x).So x=g(s)and dx= g′(s)ds.So above becomes∞0[1−F X(s)]g′(s)ds(17) Now integrate this by parts to get[1−F X(s)]g(s)|∞s=0+ ∞0g(s)f(s)ds(18) which proves the theorem in this special case.12。
高二数学知识点及公式总结5篇
高二数学知识点及公式总结5篇第一篇：高二数学必备知识点及公式总结1.函数的概念及其性质函数是一种特殊的关系，它将一组自变量的值映射到另一组因变量的值上。
函数的三要素为定义域、值域和对应关系。
常见的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，不同的函数具有不同的性质。
常见函数的公式：一次函数：y = kx + b二次函数：y = ax^2 + bx + c指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)2.三角函数及其应用三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等。
由于三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等特点，因此在物理、工程、数学等领域中被广泛应用。
三角函数的公式：正弦函数：y = sinx余弦函数：y = cosx正切函数：y = tanx割函数：y = secx余割函数：y = cotx3.微积分基础微积分是研究函数变化的过程的一门学科，包括导数和积分两个方面。
导数表示函数在某一点的变化率，积分则表示函数在一段区间内的累积变化量。
微积分在自然科学、社会科学、工程技术等领域中均有广泛应用。
微积分的公式：导数公式：f'(x) = lim├_(∆x→0) (f(x + ∆x) - f(x))/∆x积分公式：∫_a^b f(x)dx = lim├_n→∞ □(□(□(Δx )))Σ▒f(xi)Δx第二篇：高二数学解析几何知识点及公式总结1.向量及其运算向量是数学中的一种对象，具有大小和方向两个要素。
向量的运算包括加、减、数乘、点乘等，可以用来描述物体的运动、力的作用等。
向量运算的公式：向量加法： A + B = (Ax + Bx, Ay + By)向量减法： A - B = (Ax - Bx, Ay - By)向量数乘： kA = (kAx, kAy)向量点乘：A·B = |A||B|cosθ2.平面及直线的方程平面是空间内的一种二维图形，可以通过点和法向量来确定。
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
概率论连续型随机变量
概率论连续型随机变量概率论是数学的一个分支，研究随机现象的数学模型和计算方法。
其中，连续型随机变量是概率论中重要的概念之一。
本文将介绍连续型随机变量的基本概念、特征以及相关的概率分布。
一、连续型随机变量的概念在概率论中，随机变量是指对随机现象结果的数值化描述。
连续型随机变量是指取值在某个区间内的随机变量。
与之相对的是离散型随机变量，其取值是有限个或可数个的。
连续型随机变量与离散型随机变量的主要区别在于其取值的特点。
连续型随机变量的取值可以是任意的实数，在某个区间内可以取无穷多个不同的值。
二、连续型随机变量的特征连续型随机变量的特征可以通过其概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
PDF是描述连续型随机变量概率分布的函数，可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。
连续型随机变量的概率密度函数具有以下两个性质：1. 非负性：对于任意的实数x，概率密度函数f(x)大于等于0。
2. 归一性：连续型随机变量的概率密度函数在整个取值范围上的积分等于1。
三、连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布可以通过其概率密度函数来确定。
常见的连续型随机变量概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布：均匀分布是最简单的连续型随机变量概率分布之一。
在均匀分布中，随机变量在某个区间内的取值是等可能的。
均匀分布的概率密度函数是一个常数，表示在某个区间内的概率是相等的。
2. 正态分布：正态分布是最重要的连续型随机变量概率分布之一。
许多自然现象和实际问题都服从正态分布。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
其均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
3. 指数分布：指数分布是描述随机事件发生时间间隔的连续型随机变量概率分布。
指数分布的概率密度函数是一个指数函数，表示事件发生的概率随时间的推移而逐渐减小。
四、连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
概率论-5分布函数、连续型
dF ( x ) (2) 若x是f(x)的连续点 则 的连续点, 是 的连续点 = f ( x) dx
因为: 因为
(4) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X ≤ b ) = P (a ≤ X < b)
= P ( a < X < b ) = F (b) F (a ) = ∫ f ( x )dx
并不反映X取 值的概率.但这个值 ★密度函数值f(a)并不反映 取a值的概率 但这个值 越大,X取 附近值的概率就越大.也可以说 也可以说,在某点密 越大 取a附近值的概率就越大 也可以说 在某点密 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 1 证明 f ( x ) = 1 / 2e 证
a
b p{a < X ≤ b} = ?
请看下节! 请看下节!
总结
一,定义 二,举例
若离散型随机变量X的分布律为
P ( X = x k ) = p k , k = 1, 2 ,
则其分布函数为
F ( x ) = P{ X ≤ x } =
xi ≤ x
∑p
i
作业: 作业:P33
10,11,12. , ,
P( X = C ) = 1
则称这个分布为单点分布或退化分布, 则称这个分布为单点分布或退化分布,它的 分布函数为 0 x < c F ( x) = 1 x ≥ c
向平面上半径为1的圆 内任意投掷一个质点, 的圆D内任意投掷一个质点 例2 向平面上半径为 的圆 内任意投掷一个质点 表示该质点到圆心的距离. 以X表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在 中 表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在D中 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比 试求X的分布函数 的分布函数. 试求 的分布函数 解 当 x<0时, {X ≤ x} = φ 时 当0≤x≤1, 可得
第二章 随机变量及其分布
2. 二项分布的推导过程与说明
3. 举例（ 例2，例3，例4 ）
C. 泊松分布
1. 定义：如果随机变量X的概率密度如下：
P(X k)
λ k k!
e
λ
,
k =0,1,2,… ( >0) ,
(2.4)
则称X服从参数为 的泊松分布，记作：
X ~ ()
2. 说明
3. 举例
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§3 随机变量的分布函数
P{X=4}=0.218 P{X=5}=0.175 P{X=6}=0.109 P{X=7}=0.055
P{X=k} < 0.001 , 当 k ≥ 11时
P{ X=8 }=0.022 P{ X=9 }=0.007 P{X=10}=0.02
例3：
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射 击400次，试求至少击中两次的概率。
解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，
X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律 为：P{X= k}= (1-p)k p , k=0,1,2,3, P{X= 4}= (1-p)4。用表格表示如下：
X
01
2
34
pk
p (1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4
代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布 律两性质。
• 而有的实验结果与数值无直接关系，我们可 以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出 现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。
例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，
在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它 们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样 本空间S={e}={(i,j)} i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第 二次取到球的号码。 以X表示两球号码之 和，得到样本空间 的每一个样本点e， X都有一值与之对 应，如图2-1。
概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2
x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度
x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}
概率论 第二章 随机变量与概率分布
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx
(2021年整理)概率论与数理统计习题集及答案
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 。
1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形。
样本空间是：S= ；(2） 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数。
样本空间是：S= ; 2.（1） 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= 。
(2） 一枚硬币连丢2次, A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：（1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： 。
(3）A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .（4）A 、B 、C 中最多二个发生表示为: 。
（5）A 、B 、C 中至少二个发生表示为： 。
(6）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ,（2）=AB ，(3）=B A ， （4)B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 。
3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则（1） =)(AB P ， （2)()(B A P ）= , （3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 。
连续型随机变量及其概率分布
t 0, t 0.
7
二、连续型随机变量的密度函数 随机变量X 在区间( x, x x)上的平均概率分布密度:
P( x X x x) x
随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为:
P( x X x x)
f ( x) lim
x0
x
连续型随机变量的分布函数F x 与概率密度f x 有如下关系：
复习
§2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
基本事件
二、随机变量的分布函数
F(x) PX x
X ()
(1) 0 F(x) 1 (2) F(x) 是单调不减的函数；
(3) F() 1 F() 0
(4) F(x) 是右连续的函数.
(5) Px1 X x2 F(x2 ) F(x1 )
P(10 X 30) P(40 X 60) 30 1 dx 60 1 dx 2 .
10 60
40 60 3
19
均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽 车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩 擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与 地面接触的点的位置X应服从[0, 2r]上的均匀分布， 即 X～Ｕ[0, 2r] ，即在 [0, 2r] 上任一等长的小区间 上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮 胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白 均匀分布的含义了.
对任意实数 x ，有
x
F(x) f (t)dt
则 X 称为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数
或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数.
利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质
11
§3、连续型随机变量及其分布
综上所述，即得随机变量X的分布函数为
0, 当x 0时 1 F ( x) x 2 , 当0 x 2时 4 1, 当x 2时
对F(x)求导数，可得 x 2时 f ( x) F ( x) 2 0, 其它
P{a X b} F (b) F (a ) b a .
x
x
x 2 a x 2 a x dx a x arcsin C . 2 2 a
2 2
2
8
③当
x x 1 时，
1
F ( x)
f (t )dt
2 0 1 t 2 dt 0 1 1;
注：积分 所以
1
1
1 1 t dt 12 为单位圆面积一半． 2
19
正态分布密度函数 图形曲线的几何性质： (1)概率密度曲线 关于 x =μ为轴对称； (2)密度函数的 最大值为
f max ( x ) f ( )
(3)在点 x±μ处有拐点，凸凹区间为 (, ), ( , ), ( ,); (4)概率密度曲线以 x 轴为水平渐近线． 参数μ (X的数学期望)是其位置参数；参数σ (X的均方差)是其形状参数．
注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，……
6
【例1】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数． 【解】 注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此 根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段 求其分布函数F(x)． ①当
x
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x) 其它, 0,
5离散型随机变量、连续型随机变量
二项分布
设在一次试验中事件Ａ出现的概率为 p 0 p 1 ,
X 表示Ａ在 n 次贝努里试验中出现的次数，X的分布律为：
PX k Pn k Cnk pk 1 p nk k 0,1,2,...,n
此分布称为二项分布。
记作 X ~ Bn, p
例2 从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回 地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.
X 1500 表示“元件寿命不大于 1500 小时 ”
100 X 1500
表示“元件寿命在 100 小时以上但不超出 1500 小时 ”
对任意的数集 S, P X S 反映了随机变量的取值规律。
称为 随机变量的分布。
随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。
※ 一维随机变量的分布函数
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
e x
f (x)
x0
( 0为常数）
0 x 0
则称X服从参数为λ的指数分布。
记为 X～E(λ)。 分布函数
0
x0
F(Biblioteka x)1ex
x0
例11 设X服从参数为3的指数分布，求它的概率密度
及 P(X 1) 和 P(1 X 2) 3 e3x x 0
解 X的概率密度 f (x) 0 x 0
c ba
ba
例10 102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘 客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。
解：设随机变量X为候车时间，X 服从（0，5）上的均匀分布
X～U（0，5）
2
21 2
P( X
2) F (2) 0
f (x)dx 0
dx 55
指数分布 Exponential Distribution
5随机变量函数的分布
y = g ( x) = ax + b, g ′( x) = a ≠ 0, x = h( y ) = 所以Y = aX + b的概率密度为 1 y −b 1 fY ( y ) = f X (h( y )) h′( y ) = f X ( )= a a a = 1 e 2π ( a σ )
FY ( y ) = P {Y ≤ y } = P{2 X + 8 ≤ y} y − 8 = F ( y − 8) = P{ X ≤ } Y 2 2 y −8
=
∫
2 −∞
f ( x ) dx
x ,0 < x < 4 f (x) = 8 0, 其 它
FY ( y ) =
∫
y −8 2 −∞
X Y
Y=0.1X+10的密度函数。 Y=0.1X+10的密度函数。 的密度函数
90 ≤ x ≤ 110
其它
N ( µ ,σ 2 ) 设令令令令X服从正态分布 例7 设令令令令 服从正态分布
的概率密度。 求 Y = aX + b 的概率密度 a≠0 解
1 X ~ N ( µ ,σ ), 其密度为 f X ( x) = e 2π σ
x2 p2
L L
xk pk
L L
则 Y = g ( X )的分布律为
Y = g( X ) pk g ( x1 ) p1 g ( x2 ) L g ( xk ) L p2
L
pk
L
2. 连续型随机变量的函数的分布 方法1 方法
FY ( y ) = P {Y ≤ y } = P { g ( X ) ≤ y }
= 1 2 y ⋅( y) ⋅e
1987年数四真题解析
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换
2 1 4 3 4
1 0 1 1 3
B
A, b
1 3
0 1
1 1
1 3 r1r2 2 1 4 3 4
0 1
3 1 1 0 1
7
0
7 3
3
7
0
7 3
3
1 0 1 1 3
1 x x3 ex2 dx
1 xex2 dx
1 x3ex2 dx
0
x3
0
0
0
D
又 1 xex2dx= 1 1ex2d x2 1 ex2 1 1 e 1
0
20
2 02
1
x 3e x2
dx
x2 t
1
1tetdt 1 tet et
11
（ A）
(2)若 f x 在 a,b 内可导且 a x1 x2 b ，则至少存在一点 ，使得 ( ) (A) f b f a f b aa b
(B) f b f x1 f b x1 x1 b
(4)若 A 为 n 阶方阵, k 为常数,且 A 和 kA 为 A 和 kA 的行列式,则 kA k A （ ）
【答案】×
【解析】 A 为 n 阶方阵, kA k n A , 故错误.
(5)连续型随机变量取任何给定实数值的概率为 0. 【答案】 √ 【解析】由于连续型随机变量的密度函数在某一点的积分为0, 故正确. 二、选择题（本题共5小题,每小题2分,满分10分） (1)下列函数在其定义域内连续的是
1 0 1 1 3
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x t dt ; 2
2
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解(续) (3) 1 x 2,
x F ( x ) t dt (2 t )dt 2 x 1 ; 0 1 2 (4) x 2, F ( x ) 1. x 0, 0, 2 x , 0 x 1, 2 F ( x) 2 2 x 1 x , 1 x 2, 2 x 2. 1, 苏保河主讲
苏保河主讲
概率密度的性质: (1) f ( x ) 0
(2)
f ( x )d x 1
y
y f ( x)
面积为1
o
x
注 这两条性质是判定一个函数 f (x) 是否为某随机变量 X 的概率密度 的充分必要条件
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y o
y f ( x)
x x x .
x
注1 概率密度 f (x) 在某个点 x 处的高 度, 并不等于 X 取值的概率. 但是, 这个高 度越大, 则 X 取 x 附近的值的概率就越大.
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三、两个重要的连续型随机变量
例5 在区间 [0, a] 上任意投掷一个质 点, 以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点 落在 [0, a] 中任意小区间内的概率与这个 小区间的长度成正比, 试求 X 的分布函数. 解 设 F (x) 为 X 的分布函数, x x 1) x 0,
F ( x ) P{ X x } 0. 2) x a , F ( x ) P{ X x } 1.
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例3 设连续型随机变量 X 的概率密度 0 x1 x, f ( x ) 2 x, 1 x 2 0, 其它 求 X 的分布函数 F (x). 解 由 F ( x)
x
f ( t )dt :
x 0
(1) x 0, F ( x ) 0; (2) 0 x 1, F ( x )
注1 连续型随机变量的分布函数连续. d F ( x) f ( x ). 注2 在 f (x) 的连续点 x , dx 注3 P { a X b } P { a X b } P {a X b } P { a X b } = F ( a )－F ( b ).
1 x
2
例4 设连续型随机变量 X 的分布函数 (1) 求 X 取值在区间 0, x 0 2 (0.3, 0.7)的概率; F ( x) x , 0 x 1 1, x 1 (2) 求 X 的概率密度 . 解 (1) P {0.3 < X < 0.7} = F (0.7) －F (0.3) = 0.72 － 0.32 = 0.4 d F ( x ) 2 x , 0 x 1, (2) f (x) dx 0, 其它. 注 F (x) 在 1 处不可导, 由于被积函数在 个别点处的值不影响积分结果, 可以在导数不 存在的个别点适当规定导数值.
P{ x X x x } f ( x )x ( x 很小) 它表示随机变量 X 取值于 [ x , x x ] 的概率近似等于 f ( x )x .
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注2 连续型随机变量取任一指定值的
概率为 0. 即：
P{ X a } 0 这是因为:
P{ X a } lim P{a X a x }
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例2 设随机变量 X 的概率密度为 2 2 1 x , 1 x 1 f ( x) 其它 0, 求 X 的分布函数 F (x).
解 由 F ( x ) P{ X x } f ( t )dt x 1) x 1,
x
F ( x)
由 P{ X a } 0 可得:
P{ X R {a }}
1 0 1 而 {X = a} 并非不可能事件, { X R {a }} 并非必然事件, 由 P (A) = 0, 不能推出 A , 由 P (B) = 1, 不能推出 B S , 称 A 为几乎不可能事件, B 为几乎必然事件.
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f ( x )d x P{ X a}
例1 若随机变量 X 的概率密度为： A cos x , x , f ( x) 2 2 其他 , 0, (1) 求系数A. (2) 求 P 0 X . 4 解 (1) 求系数A.
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例6 对于例 5 中的随机变量 X, 试求: (1) P {X <－1}; (2) P {－2 < X < a / 3}; (3) X 的概率密度. 0, x 0, x 解 已知 X 的分布函数 F ( x ) , 0 x a , a 1, x a . (1) P {X <－1} = F (－1) = 0; (2) P {－2 < X < a / 3} = F (a / 3)－F (－2) = 1 / 3－0 = 1 / 3;
1
-1
x
2 1
0
1
1 1 x arcsin x . 2
2
x
1
1 t dt
2
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解 (续 ) 3) x 1,
1
x
-1
1
1. 所求分布函数：
F ( x ) 0dt
2
0
2
1
1
1 t dt 0dt
1
x
0, x 1, x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1, 2 1, x 1.
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复 习
定义 1 设随机试验的样本空间是 S {e }, 如果 e S , 有唯一确定的实数 X (e ) 与之对 应, 则称 X X (e ) 为随机变量. 注 随机变量简记为 r.v.
定义 2 设随机变量 X 只取有 限个或可列个可能值，则称 X 为 离散型随机变量.
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分布函数的性质: (1) 0 F ( x ) 1, x ; (2) F (x) 不减: 若 x1< x2, 则 F (x1) F (x2);
(3) F ( ) = lim F (x) = 0，
x
F ( ) = xlim F ( x ) = 1; (4) F (x) 右连续, 即 lim F ( x ) F ( x0 ).
x
0 dt 0.
-1
0
1
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2 2 1 x , 1 x 1 已知 f ( x ) 其它 0,
解(续) 由 F ( x ) P{ X x } f ( t )dt x 2) 1 x 1,
x
F ( x ) 0dt
概率论与数理统计 第二章 随机变量
第五节 连续型随机变量
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课堂文明的基本要求
1. 文明着装, 不穿拖鞋; 2. 不迟到(至少提前 5 分钟到教室), 不旷课, 不早退, 不带食品到教室; 3. 上课前关闭手机, 取下耳机; 4. 遵守课堂纪律, 上课时不睡觉, 不做小动作 ( 不吃东西、玩游戏、 随意走动、接电话、玩手机等 ). 你的文明举止为课堂增彩，谢谢！
1 A . 2
f ( x )d x
2 2
A cos x d x 2 A 1,
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例1 若随机变量 X 的概率密度为： A cos x , x , f ( x) 2 2 其他 , 0, (1) 求系数A. (2) 求 P 0 X . 4 1 解 (1) 系数 A . 2 (2) 所求概率为 1 2 . P 0 X 4 cos x d x 0 2 4 4
定义1 设 X 是随机变量, 如果存在非 负可积函数 f (x), x ( , ), 满足条件 对于任意 a, b ( a b ),
f ( x )d x 1,
b a
P{a X b} f ( x )d x ,
则称 X 为连续型随机变量, f (x) 为 X 的概 率密度函数, 简称为概率密度.
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二、连续型随机变量的分布函数
定义 设 X 是一个随机变量, 称 F ( x ) P{ X x } ( x ) 为 X 的分布函数. P { x1< X x2 } = F ( x2)－F ( x1).
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若 X 是连续型随机变量, X 的概率 密度为 f (x), 则 x F ( x ) P{ X x } f ( t )dt 为随机变量 X 的分布函数.
x x0
注 性质(1)-(4)是判别一个函数是否为某 r.v. 的分布函数的充分必要条件.
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第二章 随机变量
第五节 连续型随机变量
主要内容
一、连续型随机变量与概率密度 二、连续型随机变量的分布函数 三、两个重要的连续型随机变量
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一、连续型随机变量与概率密度
0
a
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例5 在区间 [0, a] 上任意投掷一个质 点, 以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点 落在 [0, a] 中任意小区间内的概率与这个 小区间的长度成正比, 试求 X 的分布函数. 解(续) 设 F (x) 为 X 的分布函数, x 3) 0 x a ,
P{0 X x } k x (k 为某常数), P{0 X a } ka 1, k 1 / a , F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{0 X x } x / a. 苏保河主讲