19-20 第5章 5.4 5.4.3 正切函数的性质与图象

5.4.3正切函数的性质与图象学习目标核心素养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养.2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.正切函数的图象与性质解析式y＝tan x图象定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z值域R周期π奇偶性奇函数对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0，k∈Z单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z内都是增函数1．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是()A．y＝tan x B．y＝cos xC．y＝tanx2D．y＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________． ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z.] 3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.]4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的单调增区间是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z [令k π－π2＜x －π5＜k π＋π2，k ∈Z得k π－3π10＜x ＜k π＋7π10，k ∈Z 即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z .]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＜x ＜π4且x ≠0的值域是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的定义域为________．(3)函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为________．[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(1)B(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z [(1)当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ≤－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ≥1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)要使函数有意义应满足π6－x 4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠－4k π－4π3，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z. (3)要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则 ⎩⎨⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1. 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4. 又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z.]1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．函数y ＝log 12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB [由题意tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＞0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＜0，∴k π－π2＜x －π4＜k π，∴k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，故选B.]2．求函数y ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域．[解] 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π3＋π18(k ∈Z ). 设t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .[思路点拨] (1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)①定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法： (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z 的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .3．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2 x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． 正切函数单调性的应用[探究问题]1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________． (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．[思路点拨] (1)利用y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)．(2)先将原函数化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，再由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z ，求出单调减区间．(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [(1)y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，又π2＜2＜3＜4＜π＋1＜3π2， 所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.] (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得， －π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为－π8＋k 2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中的函数改为“y ＝lgtan x ”结果又如何？ [解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数． 所以函数y ＝lgtan x 的单调递增区间 就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的递增区间， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan(ωx＋φ)转化为y＝A tan[－(－ωx－φ)]＝－A tan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝A tan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．2．正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．性质正切函数正弦函数、余弦函数定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠π2＋kπ，k∈Z R值域R[－1,1]最值无最大值为1最小值为－1单调性仅有单调递增区间，不存在单调递减区间单调递增区间、单调递减区间均存在奇偶性奇函数正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数周期性T＝πT＝2π对称性有无数个对称中心，不存在对称轴对称中心和对称轴均有无数个1．思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．()(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x ＝k π±π2，k ∈Z .( ) (4)正切函数是增函数．( )[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．若tan x ≥1，则( ) A ．2k π－π4＜x ＜2k π(k ∈Z ) B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z ) C ．k π－π4＜x ≤k π(k ∈Z ) D ．k π＋π4≤x ＜k π＋π2(k ∈Z ) D [因为tan x ≥1＝tan π4. 所以π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .]3．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域为________．(－3，1) [y ＝tan(π－x )＝－tan x ， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数， 所以值域为(－3，1)．]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z. ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.2 ③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。