2[1].3.1《直线与平面垂直的判定》课件(新人教A版必修2)
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
[ 思路分析]
(1) 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出
过直线上一点的平面的垂线． (2) 中过 A1 作平面 BDD1B1 的垂线，该垂线必与 B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[ 解析]
(1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD， ∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
命题方向2 ⇨直线与平面所成的角
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 导学号 09024474
(1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
又 BB1∥AA1，∴CD⊥BB1， 又 AA1⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， ∴CD⊥平面 ABB1A1.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 错因分析]
错解中 AA1 和BB1 是平面 ABB1A1 内的两条平行直线，不是相交
直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．
第二章 点、
线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直 于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一 个平面．
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修2
错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BC∥FG. 因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B, 所以BC⊥平面A1ABB1. 又因为B1E⊂平面A1ABB1, 所以BC⊥B1E, 即FG⊥B1E. 同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1. 纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
(2)解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE.所以 BC⊥A1F,所以 A1F⊥平面 BB1C1C. 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以 A1E⊥AE. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 故AE⊥平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B, 从而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
和这个平面所成的角.
锐角
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角 ;一条直线在平面内或 一条直线和平面平行,称它们所成的角是 0° 的角,于是,直线与平面 所成的角θ 的范围是0°≤θ ≤90°.
自我检测
1.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α ,直线b∥平面α ,则a与b的关系为
(B ) (A)a∥b
在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N= A1N = 1 ,因此∠A1B1N=30°.所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 A1B1 2
数学：《直线与平面垂直的判定定理》课件(人教a版必修2)
例2.已知a∥b, a ⊥ 求证: b ⊥
a
m
b
n
O
练习
在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD， 求证：对角线AC BD。
A
1.
证明 取BD的中点E , 连接AE, CE ,
：
AB AD, AEBD,
D
B E
BC DC, CEBD, 又 AE CE E , BD平面ACE, AC 平面ACE, BDAC
l
线面垂直的定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们
就说直线
l 和平面
互相垂直。记作：l
l
平面的垂线
A
垂足
直线的垂面
?
l
l
a a
图1
图2
?
两 条 直 线
l
l
a b
a b
图1
图2
直线与平面垂直的判定定理
如果直线 l 和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直，那么直线 l 垂直平面。 即： m , n , m n P l l m, l n
测量BD的长度，若长度为 6m，则AB BD， 否则不垂直。
再将绳子拉直与地面交 与另一点D，D与B，C不共线，连接 BD，
若AB与BC，AB与CD都垂直，则旗杆 与地面垂直，否则不垂 直。
变式：有一根旗杆和一条比它长的绳子，请设计一个方案用
一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直，并说明理由。
A
D C B
m
P
l
n
?
例1．有一根旗杆 AB 高 8m ，它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子，请设计一个方案用一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直
人教A版高中数学必修二课件 《空间直线、平面的垂直》(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)
3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB 于点 E， AF⊥PC 于点 F”，改为“E，F 分别是 AB， PC 的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证： EF⊥平面 PCD.
证明：取 PD 的中点 G，连接 AG，FG. 因为 G，F 分别是 PD，PC 的中点， 所以 GF═∥12CD，又 AE═ ∥12CD，所以 GF═ ∥AE， 所以四边形 AEFG 是平行四边形，所以 AG∥EF. 因为 PA＝AD，G 是 PD 的中点， 所以 AG⊥PD，所以 EF⊥PD， 易知 CD⊥平面 PAD，AG⊂平面 PAD， 所以 CD⊥AG，所以 EF⊥CD. 因为 PD∩CD＝D，所以 EF⊥平面 PCD.
8．6 空间直线、平面的垂直 第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
会用两条异面直线所成角的
直观想象、逻辑
异面直线所成的 定义，找出或作出异面直线
推理、
角
所成的角，会在三角形中求简
数学运算
单的异面直线所成的角
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
所以∠GFE(或其补角)就是异面直线 EF 与 AB 所成的角，EG ＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF. 所以∠EGF＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°， 即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
直线与平面垂直的定义
(1)直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
解析：当 l 与 α 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 α 垂 直，所以①不正确；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的无数条 平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义， 若 l⊥α，则 l 与 α 内的所有直线都垂直，所以④正确． 答案：③④
高中数学人教A版必修二平面与平面垂直的判定定理课件
__4_5_°__或___1_3_5_°____.
back
3：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线
段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G,
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围：[ 0o, 90o ]．
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
l平
面
面
面 面
棱l
(3) 二面角的画法和记法： 接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.
14
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
直线的倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定课件-新人教A版高中数学必修2
2．如图②，若 l1 与 l2 中的一条斜率不存在，另一条斜率为 零，则 l1 与 l2 的位置关系是 8 _垂__直___．
[思考探究]………………|辨别正误| 1．如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1 吗？ [提示] 不一定．它们的斜率也可能一个是 0，另一个不存 在． 2．若 k1·k2≠－1，则两条直线能否垂直？ [提示] 两直线一定不垂直．
数 m 的值为( )
A．2
B．1
C．0
D．－1
解析：选 B 直线 AB 与 x 轴垂直，则点 A，B 横坐标相同，
即 m＝1.
2．已知直线 l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8 平行，则实数 m 的值为( )
A．－7
B．－1
C．－1 或－7
13 D. 3
解析：选 A l1 的斜率为－3＋4 m，纵截距为5－43m，
|方法总结| 当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置 关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两 种情况.
5．已知四边形 ABCD 的顶点 A(m，n)，B(5，－1)，C(4BCD 为直角梯形．
知识点一|两条直线平行与斜率的关系
1．如图①，设两条不重合的直线 l1，l2 的斜率分别为 k1， k2，若 l1∥l2，则 k1 1 __＝___k2；反之，若 k1＝k2，则 l1 2 __∥__l2.
2．如图②，若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条 直线也平行．
[思考探究]………………|辨别正误| 1．如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？
题型三 根据两直线平行或垂直关系求参数
【例 3】 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1,2)，直线 l2 经过点 C(1,2)，D(－2，a＋2)．
2.3.1_直线与平面垂直的判定_课件3(新人教版A必修2)
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
数学必修② · 人教A版第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1 自主预习学案2 互动探究学案3 课时作业学案自主预习学案一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做_________．任意一条垂线垂面垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直[归纳总结](1)定义中的“任任任任任任”任任任任任“任任任任”任任任任任任“任任任任任”任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言 l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，__________⇒l ⊥α 作用判断直线与平面垂直相交 a ∩b ＝P[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直任任任任任任任任任任任任任任任任任任任“任任任任任任任任任任”．任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过_______和______的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于______.因此，直线与平面所成的角的范围是____________． 垂直 交点 垂足 斜足 锐角 90° 0° [0°，90°][解析] ∵直线l ⊥任任α任∴l 任α任任任任∵m ⊂α任∴l 任m 任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任l ⊥m .任l 任m 任任任任任任1．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能导学号 09024468() A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直A2．直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α的关系是导学号 09024469( )A ．l 和平面α相互平行B ．l 和平面α相互垂直C ．l 在平面α内D ．不能确定[解析] 如下图所示，直线l 和平面α相互平行，或直线l 和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D ．D3．(2016～2017·福州高二检测)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是导学号09024471()A．5B．25C．35D．4 5[解析]取BC的中点D，∵AB＝AC，∴AD⊥BC. 又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又P A∩AD＝D，∴BC⊥平面P AD，∴BC⊥PD.∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4，∴PD＝P A2＋AD2＝4 5.故选D．D互动探究学案命题方向1⇨线面垂直的判定如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：导学号 09024472(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析](1)∵PA⊥平面ABC任BC⊂任任ABC任∴PA⊥BC.∵∠ABC任90°任∴AB⊥BC.任AB∩PA任A任∴BC⊥任任PAB.(2)∵BC⊥任任PAB任AE⊂任任PAB任∴BC⊥AE.∵PB⊥AE任BC∩PB任B任∴AE⊥任任PBC.(3)∵AE⊥任任PBC任PC⊂任任PBC任∴AE⊥PC.∵AF⊥PC任AE∩AF任A任∴PC⊥任任AEF.『规律方法』线面垂直的判定方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习1〕如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.导学号 09024473(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.命题方向2⇨直线与平面所成的角在正方体ABCD－A1B1C1D1中，导学号 09024474(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B 1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.『规律方法』求线面角的方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习2〕如图，在三棱柱ΑΒC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．导学号 09024475(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．[解析] (1)取BC 任任任E 任任任A 1E 任DE 任AE 任任任任任A 1E ⊥任任ABC 任任任A 1E ⊥AE 任任任AB 任AC 任任任AE ⊥BC 任任AE ⊥任任A 1BC 任任D 任E 任任任B 1C 1任BC 任任任任任DE ∥B 1B 任DE 任B 1B 任任任DE ∥A 1A 任 任任任任任A 1AED 任任任任任任任任A 1D ∥AE 任任任任AE ⊥任任A 1BC 任任任A 1D ⊥任任A 1BC .(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF .因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E .因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2.由∠A1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14.由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.逻辑推理不严密致误如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D 是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1.导学号 09024476[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.[错因分析]错解中AA1任BB1任任任ABB1A1任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任[正解]∵AA1⊥任任ABC任CD⊂任任ABC任∴CD⊥AA1.任AC任BC任D任AB任任任任∴CD⊥AB.∵AB⊂任任ABB1A1任AA1⊂任任ABB1A1任AB∩AA1任A任∴CD⊥任任ABB1A 1 .[警示]任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.〔跟踪练习3〕如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 2C 1＝90°，D 为BB 1的中点．求证：AD ⊥平面A 1DC 1. 导学号09024477[错解] 在三棱柱中，∵AA 1⊥平面ABC ，∠B 1A 1C 1＝90°，∴AD ⊥A 1C 1；又从图可知AD ⊥平面BCC 1B 1，∴AD ⊥C 1D ，∴AD ⊥平面A 1DC 1.[辨析]前半部分任任任任任任任任任任任任任AD⊥A1C1任任任任任任任任任任任任任任AD⊥任任BCC1B1任任任任任任任任任任任任任[分析]任任任C1A1⊥任任ABB1A1任任AD⊥C1A1任任任任任ABB1A1任任任任任任任任AD⊥A1D.[证明]∵AA1⊥任任ABC任任任A1B1C1∥任任ABC任∴AA1⊥任任A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.任∠B1A1C1任90°任∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.1．线线垂直和线面垂直的相互转化(2016～2017·湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点.导学号 09024478(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解析](1)证明：直三棱柱ABC任A1B1C1任任BB1⊥任任ABC任∴BB1⊥AD任∵AB任AC任D任BC任任任任∴AD⊥BC.任BC∩BB1任B任∴AD⊥任任BCC1B 1 .(2)解：连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝32，AC1＝2，sin∠AC1D＝ADAC1＝64，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.〔跟踪练习4〕如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .导学号 09024479[证明] ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .2．关于垂直的存在型探索性问题在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，边BC 上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？为什么？导学号 09024480[思路分析] 关键是将PQ ⊥QD 转化为DQ ⊥AQ ，再使DQ ⊥AP 即可，但AD ＝BC ＝a 是变化的，故需对a 进行讨论．[解析]∵PA⊥平面ABCD任∴PA⊥QD.任任BC任任任任任Q任任任QD⊥AQ任任任QD⊥任任PAQ任任任QD⊥PQ.任任任ABCD任任任AD任a<2任任任任BC任任AD任任任任任任任任任任任任任Q任任AQ⊥DQ.∴任a≥2任任任任任任Q任任任PQ⊥QD.[点评]任任任任任任任任任任任任任任AD任任任任任任BC任任任任任任任任Q任任任任任[解析] 三角形的两边任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.1．如果一条直线垂直于一个平面内的：导学号 09024481①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直( )A ．①③B ．①②C ．②④D ．①④A2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为导学号 09024482()A．223B．23C．24D．13[解析]∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13.D3．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有____.导学号 09024483[解析]∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC.∴△P AB、△P AC为直角三角形．∵BC⊥AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AC，BC⊥PC.∴△ABC、△PBC为直角三角形．44．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.导学号 09024484[解析] 如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH 12CD ，∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形， ∴AH ∥EF .∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD .又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又∵AH⊂平面P AD，∴CD⊥AH.又∵P A＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D，∴AH⊥平面PCD，又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD.课时作业学案。
直线与平面垂直第1课时 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
取值范围
[0°，90°]
例 2 、 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， 求 直 线 A1B和平面A1DCB1所成的角．
解：连接 BC1, B1C ， BC1 与 B1C 相交于点O ，连接 A1O .
设正方体的棱长为 a . A1B1 B1C1 ， A1B1 B1B ， B1C1 B1B B1 ，
300
.
直线 A1B 与平面 A1DCB1 所成的角为300 .
【变式】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， (1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角．
[证明] (1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD，
∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角，
[解析] 由题意知 A 是 M 在平面 ABC 上的射影，∴MA⊥平面 ABC， ∴MC 在平面 CAB 上的射影为 AC.∴∠MCA 即为直线 MC 与平面 CAB 所成的角. 又∵在 Rt△MBC 中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5× 3＝5 3. 22
在 Rt△MAB 中，MA＝ MB2－AB2＝ 52－42＝3． 在 Rt△MAC 中，sin∠MCA＝MMAC＝533＝253.
2
即 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值为2 3. 5
课堂小结
一、知识必备 线线垂直和线面垂直的相互转化
二、方法必备 1．证明线面垂直的方法： (1)线面垂直的定义． (2)线面垂直的判定定理． (3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条 直线也垂直于这个平面． (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也 垂直于另一个平面．
高中数学 2.32.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2
而 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E.
栏
PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B，
目 链
接
∴平面 DEF∥平面 PGB.
由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB，
∴平面 PGB⊥平面 ABCD， ∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
第三十四页，共42页。
PC＝PC，
所以 Rt△PBC≌Rt△PAC，
栏 目
链
所以 AC＝BC.
接
如图，取 AB 中点 D，连接 PD，CD，
则 PD⊥AB，CD⊥AB，又因为 PD∩CD＝D，所以 AB⊥平
面 PDC，所以 AB⊥PC.
第三十七页，共42页。
跟踪 训练
(2)解析：作 BE⊥PC，垂足为 E，连接 AE.
目 链
接
(pàndìng)定理和性质定理间的相互联系．
第三页，共42页。
栏 目 链 接
第四页，共42页。
基础 梳理
1．直线与平面垂直的性质定理.
文字语言
垂直于同一个平面的两条直
平行线(_p_í_n_g_x_íng)
栏
目
链
接
符号语言
a∥b
第五页，共42页。
基础 梳理
图形语言 栏 目 链 接
作用
①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线
栏 目 链 接
(1)证明：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝1，AD＝2，求二面角 BPCA 的正切值．
第二十九页，共42页。
跟踪
训练
证明：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面 BDE，∴PC⊥BD.
又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面 PAD.
2.3.3直线与平面垂直的性质 课件(人教A版必修2)
解析: ①中, 直线 m 垂直于平面 α 内的一条直线 n, 则直线 m 与平面 α 不一定垂 直, 所以①不是真命题; ②是平面与平面垂直的判定定理, 所以②是真命题; ③是 直线与平面垂直的性质定理, 所以③是真命题; ④中, 分别在两个平行平面 α, β内 的直线 m, n 平行或异面, 所以④不是真命题. 答案: B
2 已知直线 m⊂ 平面 α, 直线 n⊂ 平面 α, m∩n=M, 直线 a⊥m, a⊥n, 直线 b⊥m, b ⊥n, 则直线 a, b 的位置关系是 ∥b. 答案: 平行 .
解析: 由于直线 a 垂直于平面 α 内的两条相交直线 m, n, 则 a⊥α.同理, b⊥α, 则a
3 已知 AF⊥平面 ABCD, DE⊥平面 ABCD, 如图所示, 且 AF=DE, AD=6, 则 EF= .
1 设 m, n 是两条不同的直线, α, β 是两个不重合的平面, 给定下列四个命题, 其中真命题的是( ) ①若 m⊥n, n⊂ α, 则 m⊥α; ②若 a⊥α, a⊂ β, 则 α⊥β; ③若 m⊥α, n⊥α, 则 m∥n; ④若 m⊂ α, n⊂ β, α∥β, 则 m∥n. A.①和② C.③和④ B.②和③ D.①和④
题型
证明两条直线平行
【例】 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, EF 与异面直线 AC, A1D 都垂直相交. 求证: EF∥BD1.
证明: 连接 AB1, B1C, BD, B1D1, 如图所示. ∵ DD1⊥平面 ABCD, AC⊂ 平面 ABCD, ∴ DD1⊥AC. 又∵ AC⊥BD, BD∩DD1=D, ∴ AC⊥平面 BDD1B1. ∴ AC⊥BD1. 同理 BD1⊥B1C, 又 AC∩B1C=C, ∴ BD1⊥平面 AB1C. ∵ EF⊥A1D, 且 A1D∥B1C, ∴ EF⊥B1C.又∵ EF⊥AC, AC∩B1C=C, ∴ EF⊥平面 AB1C.∴ EF∥BD1. 反思: 当题中垂直条件很多, 但又需证明两条直线的平行关系时, 就要考虑直线 与平面垂直的性质定理, 从而完成垂直向平行的转化.
平面与平面垂直的判定课件_新人教A版必修2
BC为棱,以面BCD与BCA为面的二面角 90 为________.
11
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱
PD a, PA PC 2a.
(1)求证:PD⊥平面ABCD; (2)求证:平面PAC⊥平面PBD; (3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
3
题型二 用定义证明两平面垂直 例2:如图,在四面体ABCD中,
BD 2a, AB AD CB CD AC a
求证:平面ABD⊥平面BCD.
,
4
变式训练2:如图,已知:AB⊥β,AB∩β=B,AB 求证:α⊥β.
α.
5
题型三 面面垂直的判定 例3:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E､F分别为AB､BB1的中点. 求证:平面DEF⊥平面A1BD1.
2.过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为( A.1 B.2
C.无数 D.1或无数 答案:D 3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( )
A.α∥γ C.α与γ相交,但不垂直 B.α⊥γ D.以上都有可能 答案:D
9
5.若两条直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面( A.有且只有一个 B.可能有一个,也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在 答案:B
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1
题型一 空间线与面的位置关系 例1:(1)已知m､l是直线,α､β是平面,给出下列命题: ①若l垂直于α内两条相交直线,则l⊥α;
②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;
③若m α,l β,则l⊥m,则α⊥β; ④若l β,且l⊥α,则α⊥β; ⑤若m α,l β,且α∥β,则l∥m.
) C.3条 D.4条
直线与平面垂直(两个课时)高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
平面垂直．
m ，n
m nB
l m ，l n
l 五个条件：垂直、垂直、面内、面内、相交
小结
3.点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂
足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个
复习回顾
回顾2 什么是异面直线所成的角？我们是如何证明空间中直线与直
线垂直？
异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线 ′ ∥
，′ ∥ ，我们把直线′与′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角的取值范围： ° ≤ ≤ ° .
∴ BC1⊥平面A1DCB1
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B
和平面A1DCB1所成的角
构造三角形进行角度求解！
小结
1．直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线
都垂直，则直线与平面互相垂直，记作 ⊥ .
2．直线与平面垂直的判定定理：直线和平面垂直的判定定理：如
你能得到什么结论?
垂直于同一条直线的两个平面平行
问题6 在 ⊥ 的条件下，如果平面与平面平行，你又能得到什
么结论?
概念生成
1.若 ⊥ ，则与面内的所有直线都垂直.
(若 ⊥ ， ⊂ ，则 ⊥ )
2.两条平行直线垂直于同一个平面.
(若//， ⊥ ，则 ⊥ )
3.若a⊥α，则平面外与a垂直的直线//.
新课导入
下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线与平面垂
平面与平面垂直 课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
3个条件：
A
l
O
10
B
A
O
B
。
。
5.二面角的平面角的范围 [0 ,180 ]
6.直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
A
B
O
步步高P83
例1
如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－
B的平面角的余弦值.
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明
其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的
判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．
P
在本题中, 由题意可知BC AC , BC PA,
AC PA A, 从而BC 平面PAC ,
进而平面PAC 平面PBC .
求证：平面A BD 平面ACC A
分析：要证平面ABD 平面ACC A, 根据两个平面垂直的判定定理,
只需证明平面ABD经过平面ACC A的一条垂线即可. 这需利用AC , BD
是正方形ABCD的对角线.
证明： ABCD A B C D是正方体 ,
AA 平面ABCD , AA BD ,
如果棱记作l , 那么这个二面角记作二面角 l 或P l Q .
李志刚课件
思考
如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角
大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
4.二面角的平面角
以二面角的棱上 任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱
高一数学必修2《直线与平面垂直的判定》课件(新人教A版)
C C1
B
B1
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直线与平面垂直的定义： 如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直. 记作：l ⊥α l 叫做α 的垂线, α 叫做l 的垂面, l 与α 的唯一公共点P叫做垂足。 画直线与平面平行时，通 常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
D
C
B
巩固练习 2.过ABC所在平面外一点P, 作PO , 垂足
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为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA PB PC, C 90 , 则O是AB边的 __ 点.
王新敞
奎屯 新疆
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引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
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观察实例,发现新知
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旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
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房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
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例题示范,巩固新知 例2、如图，已知a∥b，a⊥α 。 求证：b⊥α 。 分析：在平面内作两条相交直线， 由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
直线与平面垂直 ppt课件
人教A版（2019）必修第二册
8.6.2 直线与平面垂直（第一课时）
【单元知识结构框架】
直线与直线垂直
平面与平面垂直
【课时目标】
（1）能通过具体实例，抽象出直线与平面垂直的定义，能说出直线
与平面垂直的条件和结论；能用“三种语言”表达直线与平面垂直的定
义；能利用定义研究点到平面的距离。
设正方体的棱长为.
∵ �� ⊥ , ⊥ , ∩
= ,
∴ ⊥ 平面 , ∴ ⊥ .
又∵ ⊥
∴ ⊥平面
∴ 为斜线 在平面 上的射影，
垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
为什么？
追问3 在平面几何中，得出平面内过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直后，我们定义了点到直线的距离。类似的，有了过一点有且只
有一条直线与已知平面垂直后，我们可以定义什么？
三、新知探索--线面垂直的判定定理
如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：
义两条直线所成角的基础上，把所成角为90°时的两条直
线称为相互垂直。如果按照这个思路，我们要先定义直
线与平面所成的角，你认为该如何定义？
A
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
问题2 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及
它在地面的影子BC。随着时间的推移，影子
BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与
其影子BC所在直线是否保持垂直？
A
C
B
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
A
C
B
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
A
C
人教版高中数学必修2(A版) 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 PPT课件
O
α1
α2
x
结论：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为 k1、k2，则有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
例题精讲
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ
63 2 3 (6) 3 63 3 60 20y源自C BOx
A
课堂练习
1、已知直线l 的倾斜角是α ，且450≤α ≤1350, 求直线的斜率k的取值范围。
2、已知直线l 的斜率是k，且0≤k≤1,求直线l 的倾斜角α 的取值范围。
3、 若三点A（5，1），B（a，3），C（-4，2） 在同一条直线上，确定常数a的值.
作业布置
课本89页，习题3.1 A组 6、7题
k AB kPQ -1 BA PQ
例题精讲
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
1 ( 1) 1 解: k AB 1 5 2 3 1 k BC 2 2 1 k AB k BC 1 AB BC 即ABC 90 因此ABC是直角三角形 .
y
D C
A
∥ DA AB∥CD, BC
因此四边形ABCD是平行四边形 .
O
B
x
探究：当两条垂直直线有一条直线的斜率不存在， 则另外一条直线的斜率呢？
结论：另外一条直线的斜率是零
探究：当两条直线l1、l2的斜率都存在，分别为k1、k2.
当l1与l2 垂直时 ，k1与k2满足什么关系？ y
l2 l1
例题精讲
例1、已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并 证明你的结论。
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a
b
阅读P66页的证明过程. 阅读P66页的证明过程. P66页的证明过程
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品质来自专业 金太阳教育网 巩固练习 信赖源于诚信 1.平行四边形 所在平面α 1.平行四边形ABCD所在平面α外有一点P，且 PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交 求证： P 点O的连线PO垂直于AB、AD.
C C1
B
B1
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直线与平面垂直的定义： 直线与平面垂直的定义：
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如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 如果一条直线 和一个平面α内的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意一条直线 都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直. 都垂直，我们就说直线 和平面α互相垂直. 记作： 记作：l ⊥α l 叫做α的垂线, α叫做 的垂面, 叫做α 垂线, α叫做l 垂面, 叫做 l 与α的唯一公共点P叫做垂足。 的唯一公共点P叫做垂足 垂足。 画直线与平面平行时， 画直线与平面平行时，通 常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直 一边垂直。 的平行四边形的一边垂直。
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奎屯
作业布置
P67页练习第1 ,P74页 P67页练习第1题,P74页B组2题 页练习第
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品质来自专业 金太阳教育网 复习引入 信赖源于诚信 1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直， 如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我 们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定 理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 与一个平面内的两条相交直线都垂直， 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。 则该直线与此平面垂直。 V 3.作业讲评:P67页 作业讲评:P67 3.作业讲评:P67页 练习第1 练习第1题
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2.3.1《直线与平面垂直的判定》 2.3.1《直线与平面垂直的判定》
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教学目的
1.理解直线与平面垂直的定义； 理解直线与平面垂直的定义； 理解直线与平面垂直的定义 2.掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其应用； 掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其应用； 掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其应用 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题 . 应用直线与平面垂直的判定定理解决问题 教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及其应用 直线与平面垂直的判定定理内容及其应用. 直线与平面垂直的判定定理内容及其应用 教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 ：
利用定义， 利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法， 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质. 了线面垂直的最基本的性质.
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探究
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提出问题： 提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢？ 线和平面垂直呢？ 师生活动： 师生活动：请同学们准备一 块三角形的纸片， 块三角形的纸片，我们一起 来做如图所示的试验： 来做如图所示的试验：过 ABC的顶点 翻折纸片， 的顶点A △ABC的顶点A翻折纸片， A 得到折痕AD AD， 得到折痕AD，将翻折后的 纸片竖起放置在桌面上 BD、DC与桌面接触 与桌面接触）， （BD、DC与桌面接触）， α B D 折痕AD与桌面垂直吗 与桌面垂直吗？ 问:折痕 与桌面垂直吗？ C 如何翻折才能保证折痕AD 如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面垂直？ 与桌面所在平面垂直？
金太阳教育网 例题示范, 例题示范,巩固新知 如图，已知a∥b a⊥α。 a∥b， 例2、如图，已知a∥b，a⊥α。 求证：b⊥α。 求证：b⊥α。 分析：在平面内作两条相交直线， 分析：在平面内作两条相交直线， α 由直线与平面垂直的定义可知， 由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a 可证b 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直， 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。 面垂直。
A
在阳光下观察直立于地面的 旗杆及它在地面的影子， 旗杆及它在地面的影子，随 着时间的变化， 着时间的变化，尽管影子的 位置在移动， 位置在移动，但是旗杆所在 的直线始终与影子所在的直 线垂直（如图），事实上， ），事实上 线垂直（如图），事实上， 旗杆AB AB所在直线与地面内 旗杆AB所在直线与地面内 任意一条不过点B 任意一条不过点B的直线也 α 是垂直的。 是垂直的。
l P
α
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金太阳教育网 三点说明: 三点说明
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①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的 任何”表示所有（提问： 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. a⊥α等价于对任意的直线 等价于对任意的直线m ，都有a⊥m. ③ a⊥ 等价于对任意的直线m⊂α，都有a⊥m.
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品质来自专业 金太阳教育网 引入新课 信赖源于诚信 在直线和平面相交的位置关系中, 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交, 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
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金太阳教育网 观察实例,发现新知 观察实例,
A B
C
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引课
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我们知道,当直线和平面垂直时, 我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直, 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢? 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢? 关系呢?
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旗杆与地面的关系， 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。 垂直的形象。
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房屋的屋柱与地面的 关系， 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。 平面垂直的形象。
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大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直 的形象。 的形象。
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品质来自专业 金太阳教育网 实例研探, 实例研探,定义新知 信赖源于诚信 探究:什么叫做直线和平面垂直呢? 探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面 垂直时， 垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎 样呢? 生活中线面垂直的实例: 样呢? 生活中线面垂直的实例:
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如图,若一条直线PA和一个 如图,若一条直线PA和一个 PA 平面α相交,但不垂直, 平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线, 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。 叫做斜足。
斜线 P A
α
斜足
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A O B C
D
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品质来自专业 金太阳教育网 巩固练习 信赖源于诚信 2.过∆ABC所在平面α外一点P, 作PO ⊥ α , 垂足
为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA = PB = PC , ∠C = 90 , 则O是AB边的 __ 点.
0
2).若PA = PB = PC , 则O是∆ABC的 _____ 心. 3).若PA ⊥ PB, PB ⊥ PC , PC ⊥ PA, 则O是∆ABC 的 _____ 心.
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斜线
如图, 如图,过斜线上斜足以外的 斜足 一点向平面引垂线PO, PO,过垂 一点向平面引垂线PO,过垂 和斜足A的直线AO AO叫做 足O和斜足A的直线AO叫做 斜线在这个平面上的射影. 斜线在这个平面上的射影. 垂足 射影 平面的一条斜线和它在平面 垂线 上的射影所成的锐角, 上的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的 规定: 一条直线垂直于平面, 规定 一条直线垂直于平面,我们说它所成的 角 角是直角；一条直线和平面平行, 角是直角；一条直线和平面平行,或在 平面内,我们说它所成的角是0 的角。 平面内,我们说它所成的角是00的角。 想一想:直线与平面所成的角 的取值范围是什么 直线与平面所成的角θ的取值范围是什么? 想一想 直线与平面所成的角 的取值范围是什么 23
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品质来自专业 金太阳教育网 复习引入： 复习引入： 信赖源于诚信 1.直线和平面的位置关系是什么? 直线和平面的位置关系是什么 1.直线和平面的位置关系是什么? 直线在平面内（无数个公共点）； （1）直线在平面内（无数个公共点）； 直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； 直线和平面平行（没有公共点） （3）直线和平面平行（没有公共点） 2.线面平行的判定定理的内容是什么? 线面平行的判定定理的内容是什么 2.线面平行的判定定理的内容是什么? 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. 线面平行的性质定理的内容是什么 3.线面平行的性质定理的内容是什么? 3.线面平行的性质定理的内容是什么 如果一条直线和一个平面平行， 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.