[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章1.5 1.5.1-1.5.

1．5.1&1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程预习课本P38～44，思考并完成下列问题(1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？[新知初探]1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .[点睛] 当n →＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( )(2)当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝⎛⎭⎫i n 2近似代替．( ) (3)m i ＝i 2，∑i ＝14m i ＝30.( )答案：(1)× (2)× (3)√2．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________． 答案：9 [1.4,1.6]3．做直线运动的物体的速度v ＝2t (m/s)，则物体在前3 s 内行驶的路程为________ m. 答案：9[典例] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[解] 令f (x )＝x 2＋1.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为 x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ， 2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n＝8n 3∑i ＝1n i 2＋2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2 ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限：S ＝S n ＝⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2 ＝143，即所求曲边梯形的面积为143.求曲边梯形面积(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． [活学活用]求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．⎝⎛⎭⎫提示：13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤12n (n ＋1)2 解：①分割．如图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ， …，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋(n －1)n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n (i ＝1,2,3，…，n )．过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .②近似代替．各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1n 为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )． ③求和．因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3 ·1n . ④取极限．当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．因为∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎪⎫n ＋i －1n 3·1n ＝1n4∑i ＝1n(n ＋i －1)3 ＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]， 所以S ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n ＝1＋32＋1＋14＝154.[典例] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6t 2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .[解] (1)分割：把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1n ，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和s n ＝∑i ＝1ns i .(2)近似代替：ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δt ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋i －12·1n＝6n(n ＋i －1)2≈6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2,3，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1n6n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n ＝6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n .(4)取极限：s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ 6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝3.求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．[活学活用]已知一质点的运动速度为v (t )＝6t 2＋4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s 内通过的路程．解：(1)分割在时间区间[0,5]上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，5n ，⎣⎡⎦⎤5n ，10n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5(i －1)n ，5i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5n －5n ，5， 其中，第i (1≤i ≤n )个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5(i －1)n ，5i n ，其区间长度为5i n －5(i －1)n ＝5n，每个小时间段内的路程记为s 1，s 2，…，s n . (2)近似代替根据题意可得第i (1≤i ≤n )个小时间段内的路程为Δs i ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5(i －1)n 2＋4·5n ＝750(i －1)2n 3＋20n . (3)求和每个小时间段内的路程之和为S n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤750(i －1)2n 3＋20n ＝750n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋20 ＝750n 3·16(n －1)n (2n －1)＋20 ＝125n 2(2n 2－3n ＋1)＋20. (4)取极限当n →∞时，S n 的极限值就是所求质点运动的路程， s ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤125n 2(2n 2－3n ＋1)＋20＝270， 即质点运动的路程为270 m.层级一 学业水平达标1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1)解析：选C ∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确解析：选C 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确，故应选C.4．在求由函数y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ]D.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n解析：选B 把区间[1,2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n ，且第i 个小区间的左端点不小于1，排除A 、D ；C 显然错误；故选B.5．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( ) A ．f (x )的值变化很小 B ．f (x )的值变化很大 C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小解析：选D 当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D.6.求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为__________．解析：S ＝15×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1102＋⎝⎛⎭⎫3102＋⎝⎛⎭⎫5102＋⎝⎛⎭⎫7102＋⎝⎛⎭⎫9102＝0.33. 答案：0.337．由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________________． 解析：将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n .作和S n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎫i 2n 3＋2i n 2＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n2×n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝ 8n 2＋9n ＋16n 2＝⎝⎛⎭⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 答案：438．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动，在第1 s 到第2 s 间经过的路程是________． 解析：将[1,2]n 等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n ，v (ξi )＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5.所以s n ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3n (i －1)＋5·1n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n ·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ＋5， 所以s ＝s n ＝32＋5＝6.5 (m)．答案：6.5 m9. 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积． 解：如图，∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求图形的面积应为y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围成的图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝4，x ≥0，得交点为(2,4)．先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的图形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分，则Δx ＝2n ，取ξi ＝2(i －1)n (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替、求和S n ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n 2·2n＝8n 3[02＋12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n (3)取极限 S ＝⎣⎡⎦⎤83⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝83. ∴S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323.即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积为323.10．汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km/h)为v (t )＝t 2＋2，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解：将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )． 第i 个时间区间的路程的近似值为Δξi ≈Δξi ′＝v (t )·1n ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n ＝3n ＋2(i －1)n 2＋(i －1)2n3， 于是s n ＝∑i ＝1nΔξi ′＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋2(i －1)n 2＋(i －1)2n 3 ＝n ·3n ＋2n 2·[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝3＋2n 2·(n －1)·n 2＋1n 3·(n －1)n (2n －1)6＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . 所以s ＝s n ＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝133. 故这段时间行驶的路程为133km.层级二 应试能力达标1．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关解析：选C 用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值 (取每个区间的左端点)是( )A.19 B.125 C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝⎛⎭⎫133·13＋⎝⎛⎭⎫233·13＝19.3．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 的含义可以是( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积解析：选C 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n ，因此∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．4．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 将区间[0，a ]分为等长的n 个小区间，第i 个区间记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n a ， ia n (i ＝1,2，…，n )，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt ＝a n，所以v (t i )＝⎝⎛⎭⎫ia n 2，s n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫ia n 2·a n ＝a 3n 3(1＋22＋…＋n 2)＝a 3n (n ＋1)(2n ＋1)6n 3＝a 36⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ，于是s＝s n＝a 36⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝a 33＝9，得a ＝3.故选C. 5．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2.…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 答案：556.如图，曲线C ：y ＝2x (0≤x ≤2)两端分别为M ，N ，且NA ⊥x 轴于点A ，把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使其与x 轴平行的边的一个端点在曲线C 上，另一端点在曲线C 的下方，设这n 个矩形的面积之和为S n ，则[(2n －3)(n4－1)S n ]＝__________.解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为22n ，则S n ＝2n (1＋22n ＋24n ＋…＋22n －2n )＝2n ·1－22n n 1－22n ＝2n ·－31－n 4.所以li m n →∞[(2n －3)(n4－1)S n ]＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(2n －3)(n4－1)·2n ·－31－n 4＝12. 答案：127．汽车行驶的速度为v ＝t 2，求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s . 解：(1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 每个小区间的长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，汽车近似地看作以时刻i －1n 处的速度v ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为s n ＝02×1n ＋⎝⎛⎭⎫1n 2×1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 2×1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2×1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝1n 3×(n －1)n (2n －1)6＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . (4)取极限汽车行驶的路程s ＝s n ＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝13.8．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．解：将物体用常力F 沿力的方向拖动距离x ，则所做的功W ＝F ·x . (1)分割在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0，b ]等分成n 个小区间： ⎣⎡⎦⎤0，b n ，⎣⎡⎦⎤b n ，2b n …，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)b n ，b 记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)b n ，i ·b n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i ·b n －(i －1)b n ＝bn .把在分段⎣⎡⎦⎤0，b n ，⎣⎡⎦⎤b n ，2b n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)b n ，b 上所做的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n .(2)近似代替取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔW i ≈F ⎝ ⎛⎭⎪⎫(i －1)b n ·Δx＝k ·(i －1)b n ·b n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和W n ＝∑i ＝1nΔW i ≈∑i ＝1nk ·(i －1)b n ·b n＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝kb 2n 2×n (n －1)2＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n . 从而得到W 的近似值W ≈W n ＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n . (4)取极限 W ＝W n ＝∑i ＝1nΔW i ＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n ＝kb 22. 所以将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为kb 22.。