高三一轮复习 第43讲 抛物线 学案
高中数学_一轮复习：抛物线教学设计学情分析教材分析课后反思
当前教学我们最应注意的问题就是自主课堂中提倡的理念“将课堂还给学生”，课堂上学生是主体，教师是引导者。本节课教学我把学习的主动权交给学生，用多媒体创设情境，围绕例题进行变式训练，师生围绕问题展开讨论，学生在质疑、讨论、总结的过程中，理解了抛物线的定义与标准方程，形成了自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发了学生的智慧源泉，实现了举一反三、触类旁通的效果。虽然在教学中培养学生积极参与的习惯同时也不能忽视学生的发散思维，要恰当引导学生，课堂上突发性的问题，教师要能自如地应对。
3.学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点 不在直线 上”这个条件.为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性.
另外，在建系、推导抛物线标准方程的过程中，依据学生的认知习惯，同时激励学生主动学习，我采取了以下策略：
4，先让学生独立思考，再组织学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解.
教材分析
本章是选修2-1的第三章《圆锥曲线与方程》，教材内容的顺序是：椭圆—抛物线—双曲线—曲线与方程.我的认识有两点：（1）先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律.在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础.（2）椭圆学习后先学抛物线，一方面因为课程标准和考试大纲对椭圆与抛物线的要求都是掌握，而对双曲线的要求是了解.另一方面是因为椭圆与抛物线相比双曲线来说更为常见，更熟悉.
3.抛物线的相关概念：
定点 ：抛物线的焦点.定直线 ：抛物线的准线.
设 ， 焦点到准线的距离.
高中数学一轮复习课题.抛物线导学案
课题：抛物线一、新考纲：备考动向1．抛物线的标准方程掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单性质． 二、抓主干：知识回顾知识点一 抛物线定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 )0,2(pF )0,2(p F -)2,0(p F )2,0(p F -离心率 e ＝1准线方程 2p x -=2p x =2p y -=2p y =范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0，y 0)) 20p x PF +=20p x PF +-=20p y PF +=20p y PF +-=易误提醒 抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1) 4221p x x =，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长α221sin 2pp x x AB =++= (α为弦AB 的倾斜角)． (3)pFB FA 211=+. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[自测练习]1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知321=+p，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选D. 答案：D2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.答案：B三、研考向：考点研究考点一 抛物线的标准方程及几何性质1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二 抛物线的定义及应用抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：1．到焦点与动点的距离之和最小问题． 2．到准线与动点的距离之和最小问题． 3．到两定直线距离之和最小问题． 4．到焦点与定点距离之和最小问题． 探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题1．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．探究二 到准线与动点的距离之和最小问题2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( )A.B ．7C ．6D ．9探究三 到两定直线距离之和最小问题3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A.1637B.511C ．3D ．2探究四 到焦点与定点距离之和最小问题4．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三 直线与抛物线的位置关系已知：过抛物线x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C .(1)求证：0=⋅； (2)求△ABC 的面积的最小值．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．题型专练1．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1)3．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：42x y =与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 4．已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，2=⋅，求抛物线C 的方程．。
高三数学(文科)一轮学案【第43-44课时】抛物线
一、复习目标：1、了解并重视抛物线定义在解题中的应用，掌握抛物线标准方程的四种形式，能用待定系数法求抛物线标准方程。
2、掌握抛物线的标准方程和几何性质，会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题。
二、知识梳理：1、定义：2、标准方程：3、几何性质：4、焦点弦长：过抛物线22y px (0)p 焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则||AF ，||AB ，12x x ，12y y ．5、抛物线22x py (0)p 的焦点为F ，AB 是过焦点F 且倾斜角为的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x ；12y y ；||AB ．三、基础训练：1、（1）抛物线24y x 的焦点坐标为______________（2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x ，则抛物线的方程是2、已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则ABP 的面积为________.3、经过点(4,2)P 的抛物线的标准方程为_________________4、若AB 为经过抛物线24y x 焦点的弦，且4AB ，O 为坐标原点，则AOB 的面积等于_____________5、已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为__________．6、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）7、将两个顶点在抛物线22(0)y px p 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则_______8、已知直线1l ：4360x y 和直线2l ：1x ，抛物线24y x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为。
高考苏教版数学《抛物线》一轮复习导学案教师版
抛 物 线【知识梳理】1．抛物线定义： 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质解析：∵p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是__________ 解析：抛物线的标准方程为x 2＝1a y .则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.3．倾斜角为60°的直线l 过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为______解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得焦点F (0，1)，准线方程y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消x 得y 2－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.4．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12·|AO |·|OF |＝a 216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x . 5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定义知|PF |＝x P ＋p2＝6.说明：1.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 系数除以4，再确定焦点位置即可．【考点探究】考点一 抛物线的定义及应用[例1] (1)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________(2)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是_________[解] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．【由题悟法】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【以题试法】1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝_____.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2，∴|BF |＝12－(－1)＝32. 考点二抛物线的标准方程及几何性质[例2] (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________(2)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝___________[解] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.【由题悟法】1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p 但要注意判断标准方程的形式．2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．【以题试法】2．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________.解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF |＝|NH |＝32|MN |， 如图．∴cos ∠MNH ＝32，∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6. 考点三 直线与抛物线的位置关系[例3] 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[解] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎨⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎨⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．【由题悟法】 1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.【以题试法】3．如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F . (1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k 2＝12，解得k ＝±33.故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0. (2)直线AB 与抛物线相切，证明如下：设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0. 因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)．所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0① 把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0， Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线相切．【巩固练习】1．抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_______解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为_____解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 20＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎫10－p2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18. 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为______ 解析：注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2.4．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为_________解析： ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2), 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2， ∴BC 中点为(1，－1)， 则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0. 5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB ,＝OA ＋OF (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝12×1×2＝1.6．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．解析：由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程得y ＝(y －1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.7．已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x . ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.① 且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.。
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
高三数学《抛物线》教案
高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。
具体内容包括：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、性质和标准方程。
2. 能够运用抛物线的性质解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质和标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如拱桥、篮球抛物线等，引导学生思考抛物线的性质和用途。
2. 基本概念：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生理解抛物线的定义。
（2）抛物线的性质：通过动画演示，让学生观察抛物线的对称性、顶点、焦点等性质。
（3）抛物线的标准方程：引导学生根据性质推导出抛物线的标准方程。
3. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程。
（2）已知抛物线上一点，求该点处的切线方程。
4. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线。
（2）求下列抛物线的标准方程。
5. 应用拓展：（1）抛物线在实际问题中的应用。
（2）抛物线与圆、直线等图形的位置关系。
六、板书设计1. 定义、性质、标准方程。
2. 例题解答步骤。
3. 课后作业及答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列抛物线的标准方程：① y²=4x；② x²=4y；③ y²=8x；④ x²=8y。
（2）已知抛物线y²=4x上一点（1，2），求该点处的切线方程。
2. 答案：（1）① y²=4x，焦点（1，0），顶点（0，0）；② x²=4y，焦点（0，1），顶点（0，0）；③ y²=8x，焦点（2，0），顶点（0，0）；④ x²=8y，焦点（0，2），顶点（0，0）。
高三数学一轮复习抛物线PPT学习教案
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3．在解决以圆锥曲线为背景的创新交汇问题时，应 注意以下两点
(1)注意解实际应用问题的四个解题步骤，同时对有 关圆锥曲线的基本知识必须要熟练掌握，以便能及时提 取运用．
(2)注意观察实际生活中一些形状与圆锥曲线的形状 接近的事物，如截面为抛物线形的拱桥、探照灯，截面 为双曲线形的烟筒，斜截圆柱得椭圆形状的截面等．
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4 个结论——直线与抛物线相交的四个结论
已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线 于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：
(1)|AB|＝x1＋x2＋p 或|AB|＝si2np2α(α 为 AB 所在直线的 倾斜角)；
(2)x1x2＝p42； (3)y1y2＝－p2； (4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的 通径，抛物线的通径长为2p.
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抛物线的标准方程与性质 [例2] (1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横 坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为____. (2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若 线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离 为________．
高三数学复习教案：抛物线的知识
通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2=抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧== 222pt y pt x （t 为参数）二．基本题型1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则q p 11+=（ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a44．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2＝2y (D) y x 212=5．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是 (A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）6．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ 7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为8．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是9．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积． （答案：25512） 10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求这个正三角形的边长（答案：边长为p 34） （12答案：0822=-+px y x ）11．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形外接圆的方程12．已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案：x y 42=）13．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程 答案：（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB过定点()0,2p ;（3）点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x py p x14．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程 （答案：x y 252=） 15．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案：x y =2）16．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程 （答案：x y 22=）17．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（ 答案：x y 122=或x y 42-=）参考答案： 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D6．()122-=x y7．x 2＝±8y8．9)23(22=++y x 9．2551210．边长为p 3411．分析：依题意可知圆心在x 轴上，且过原点，故可设圆的方程为：022=++Dx y x ，又∵ 圆过点()32,6p A ， ∴ 所求圆的方程为0822=-+px y x12．x y 42=13．（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()0,2p（3）点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x py p x14．x y 252=15．x y =216．x y 22=17．x y 122=或x y 42-=。
2024版高三数学《抛物线》教案
抛物线概念及性质抛物线的定义平面上到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
抛物线的标准方程y^2=2px（p>0）或x^2=2py（p>0）。
抛物线的性质抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-p或y=-p；抛物线有一个顶点，即抛物线与对称轴的交点；抛物线有一个焦点和一条准线，焦点在直线x=-p/2或y=-p/2上，准线方程为x=-p或y=-p。
03掌握抛物线的定义、标准方程和性质；理解抛物线的几何意义；了解抛物线的应用。
知识目标能够运用抛物线的定义、标准方程和性质解决相关问题；能够运用数形结合的思想分析抛物线问题；能够运用数学语言准确地表达抛物线问题。
能力目标培养学生对数学的兴趣和爱好，提高学生的数学素养；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；培养学生严谨、认真的学习态度。
情感目标课程目标与要求教学方法与手段教学方法采用启发式教学法、讲练结合法、小组讨论法等，引导学生主动思考、积极探究。
教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，使教学内容更加形象、直观。
同时，鼓励学生使用计算器、计算机等工具进行数值计算和图形绘制，提高解题效率。
平面直角坐标系平面直角坐标系的定义在平面上画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点的坐标对于平面内任意一点C，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对(a,b)叫做点C的坐标。
二次函数图像及性质二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴为$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, c -frac{b^2}{4a}right)$。
抛物线学案(高三一轮)
第八讲 抛物线的标准方程及几何性质（课前复习）【考试要求】掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.重点：①抛物线的定义及相关概念；②抛物线的标准方程；③抛物线的几何性质.难点：①利用抛物线的定义解题；②求抛物线的标准方程；③抛物线的几何性质及应用. 【知识梳理】一、抛物线的定义： 注：①定义中要求定点F l ∉，如果F l ∈则满足条件的点的轨迹为②“p ”的几何意义是【基础训练题】1、抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A .)0,21( B .)21,0( C .)41,0( D .)81,0(2、顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1,2)A -的抛物线的方程是（ ）A .x y 412=B .x y 412-=C .y x 42-=D .241y x -=3、点P 是抛物线x y 42=上一点，F 是焦点，(2,1)A 是定点，当PA PF +最小值时，P 点的坐标是（ ）A .)1,41(B .)1,21( C .)22,2( D .)1,1(4、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果126x x +=，那 么||AB 等于（ ）A .10B .8C .6D .45、已知抛物线()220y px p =>的焦点F ，点()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）A .123FP FP FP +=B .222123FP FP FP += C .2132FP FP FP =+D .2213FP FP FP =6、AB 是抛物线的一条焦点弦，若抛物线为2y x =，||4AB =，则AB 的中点C 到直线102x += 的距离为（ ）A .94 B .52 C .72D .3 7、（2012四川理8）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A .B .C .4D .8、圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴及该抛物线的准线相切的一个圆的方程是（ ）A .041222=---+y x y x B .01222=+-++y x y x C .01222=+--+y x y x D .041222=+--+y x y x题组一：抛物线的标准方程1.抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标为_________，准线方程为_________，通径长为_______.2.焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程是 .3. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点()3,Q m -到焦点的距离是5，求抛物线方程.4. (2012陕西文14)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米题组二：抛物线定义的应用1.动点P 到直线40x +=的距离减去它到点()2,0的距离之差等于2，则点P 的轨迹（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线变式：与x 轴相切，且与圆22(1)1x y +-=外切的动圆圆心的轨迹方程是 .2.（1）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.115 D.3716（2）设点(3,4)M 与抛物线24y x =上的点P 之间的距离为1d ，点P 到抛物线的准线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为 .3.抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则弦AB 中点M 到y 轴的最小距离为题组三：焦半径、焦点弦的相关问题1.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于()()1122,,A x y B x y 两点，且l 的倾斜角为θ，则：（1）AB = = .（用坐标及参数表示） （2）12y y = ，12x x = . （用参数p 表示） （3）11AF BF+= .（用参数p 表示） （4）AOB S ∆=_________.（用参数p 及θ表示）（5）以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为 ，以焦半径AF 为直径的圆与y 轴的位置关系为 .（6）过,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,A B ''，则A FB ''∠= .2.（1）已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =（ ）A.13B.3C.23D.3（2）过抛物线24y x =的焦点F 作弦AB ，若||2||AF BF =，则弦AB 所在的直线方程是.（3）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB= .（4）（2012北京理12）在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线2=4y x 的焦点F .且与该抛物线相交于,A B 两点.其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60︒.则OAF ∆的面积为 .题组四：其它1.过抛物线焦点的一条直线与它交于两点,P Q ，经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证直线MQ 平行于抛物线的对称轴。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《抛物线》含答案
第七节抛物线知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．1．判断正误(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)(3)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(×)2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(B)A．9 B．8C．7 D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.知识点二抛物线的标准方程与几何性质3．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(D)A．y2＝2x B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.4．(选修2－1P72练习第1(1)题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为y2＝－8x 或x2＝－y.解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.5．(2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0)．解析：由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2a，由于l 被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4a＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．1．抛物线定义的两点理解 (1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线． 2．抛物线的方程特点(1)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线．(2)y 2＝2px (p >0)：①p 表示焦点到准线的距离； ②2p 为通径长． 3．抛物线的图形特点抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，不是中心对称图形．考向一 抛物线的定义及标准方程【例1】 (1)(2019·河南豫南九校联考)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )A ．2 B.135 C.145D ．3(2)(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x【解析】 (1)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.(2)因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.【答案】 (1)A (2)D1.应用抛物线定义的两个关键点,(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)已知椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值为( A )A ．213B ．4 2C ．313D ．4 6(2)(2019·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( C )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：(1)∵椭圆y 25＋x 2＝1，∴c 2＝5－1＝4，即c ＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x 2＝ay ，∴抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，∵椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，∴a4＝2，即a ＝8，则抛物线方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2，∵|AF |＝4，由抛物线的定义得A 到准线的距离为4，y ＋2＝4，即点A 的纵坐标y ＝2，又点A 在抛物线上，∴x ＝±4，不妨取点A 坐标为(4,2)，A 关于准线的对称点的坐标为B (4，－6)，则|P A |＋|PO |＝|PB |＋|PO |≥|OB |，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为|OB |＝42＋(－6)2＝16＋36＝52＝213，故选A.(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5.又p >0，解得p ＝2或p ＝8. 考向二 抛物线的几何性质【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.【解析】 解法1：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.解法2：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(1k y ＋1)，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.【答案】 2在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(2019·安徽滁州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－54，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，直线AF 的倾斜角为π3，则|MF |＝5.解析：设准线与x 轴交点为B ，由于AF 的倾斜角为π3， 所以∠F AM ＝π3，又|MA |＝|MF |， 所以|MA |＝|MF |＝|F A |＝2|FB |， 又由已知p ＝54×2＝52， 即|FB |＝52， 所以|MF |＝5.考向三 直线与抛物线的位置关系 方向1 焦点弦问题【例3】 已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】 由抛物线y 2＝4x 知F (1,0)，故可设直线l 1的方程为y ＝k (x－1)，直线l 1的方程与y 2＝4x 联立并消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1·x 2＝k 2k 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2，同理l 2的方程为y ＝－1k (x －1)，与y 2＝4x 联立可得|DE |＝4＋4k 2.∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2＝8＋4(k 2＋1k 2)≥8＋4×2＝16.当k ＝±1时取等号．故选A.【答案】 A方向2 直线与抛物线的位置关系【例4】 (2019·武汉调研测试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．【解】 设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . ① (1)由x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ， ∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p ＝－1，∴p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p (x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 1p (x －x 1)，y －y 2＝x 2p (x －x 2)，结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离 d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p 或|AB |＝|y 1|＋|y 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.1．(方向1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( D )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.2．(方向2)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( D )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：解法1：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.解法2：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1,0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.抛物线的拓展结论对抛物线y 2＝2px (p >0)，设θ为过焦点的弦AB 的倾斜角，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ≥2p ；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p ；(4)抛物线焦点三角形面积公式：S △OAB ＝p 22sin θ；(5)以AB 为直径的圆与准线相切；(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．典例 设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则直线l 的斜率为________．【解析】 设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3.因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，所以13|BF |＋1|BF |＝1，所以|BF |＝43，|AF |＝4，所以|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ，可得163＝4sin 2θ，所以sin 2θ＝34，所以sin θ＝32，所以斜率k ＝tan θ＝±3.【答案】 ±3。
【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)抛物线教学案
抛_物_线[知识能否忆起]1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析：选A ∵p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .2．(教材习题改编)抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 抛物线的标准方程为x 2＝1ay .则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.3．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则依题意得焦点F (0，1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去x 得y 2－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.4．(2012·郑州模拟)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12·|AO |·|OF |＝a 216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x .答案：y 2＝8x5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定义知|PF |＝x P ＋p2＝6.答案：61.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 的系数除以4，再确定焦点位置即可．典题导入[例1] (1)(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．[答案] (1)C (2)B由题悟法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．以题试法1．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32典题导入[例2] (1)(2012·山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.[答案] (1)D (2)B由题悟法1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p 但要注意判断标准方程的形式． 2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．以题试法2．(2012·南京模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________.( )解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF |＝|NH |＝32|MN |，如图．∴cos ∠MNH ＝32， ∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.答案：π6典题导入[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．由题悟法1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.以题试法3．(2012·泉州模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F .(1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k 2＝12，解得k ＝±33.故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0. (2)直线AB 与抛物线相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0①把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0， Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0， 所以直线AB 与抛物线相切．1．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45y B ．y 2＝－45x C ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：选A 由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．(2012·东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：选C 设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.3．(2013·大同模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪p2＋3＝4.又p ＞0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2. 4．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12，所以sin θ＝22，所以θ＝π4或3π4. 5．(2012·唐山模拟)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0) 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2，∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．(2013·湖北模拟)已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1k ，b ＝k a －m ，则b ＝－km1＋k2，a ＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，得b 2k 2＋b 2＋4bk ＝0，即bk 2＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km 1＋k2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－m )＝0，因此m ＝4.7．(2012·乌鲁木齐模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB ,＝OA ,＋OF , (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝12×1×2＝1.答案：18．(2012·渭南模拟)已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．解析：由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程得y ＝(y －1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.答案：59．(2012·广州模拟)已知直线y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 的值为________．解析：直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|FA |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B ，则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k，所以y B＝－8k，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±22，又k ＞0，故k ＝2 2.答案：2 210．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． 解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.11.如图，过抛物线y 2＝4px (p ＞0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0＞0)作两条直线，分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求该抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离； (2)当MA 与MB 的斜率都存在，且y 1＋y 2y 0＝－2时，求MA 与MB 的斜率之和； (3)证明：直线AB 不可能平行于x 轴．解：(1)当y ＝4p 时，x ＝4p ，抛物线的准线方程为x ＝－p ，焦点为(p,0)，抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离，就是该点到焦点的距离，由抛物线的定义得，所求距离为4p －(－p )＝5p .(2)设直线MA 的斜率为k MA ，MB 的斜率为k MB ， 由y 21＝4px 1，y 20＝4px 0，得k MA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝4py 1＋y 0， 同理k MB ＝4py 2＋y 0，又y 1＋y 2y0＝－2，所以y 1＋y 2＝－2y 0，因为k MA ＋k MB ＝4p y 1＋y 0＋4p y 2＋y 0＝4p y 1＋y 2＋2y 0y 1＋y 0y 2＋y 0＝0，所以k MA ＋k MB ＝0，故MA 与MB 的斜率之和为0.(3)证明：设直线AB 的斜率为k AB ，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224p －y 214p＝4py 1＋y 2，由(2)知y 1＋y 2＝－2y 0，所以k AB ＝－2p y 0，由于M (x 0，y 0)为定点，所以－2p y 0为定值且－2py 0≠0，故直线AB 不可能平行于x 轴．12．(2012·安徽模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x＋x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.①且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.1．(2013·郑州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C 过点B 作准线的垂线，垂足为B 1，记准线与x 轴的交点为F 1，则依题意得|BB 1||FF 1|＝|BC ||CF |＝23，所以|BB 1|＝23|FF 1|＝2p3，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|＝2p3.过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，由△BEF ∽△ADF 得23p 3＝p －2p 33－p ，解得p ＝32.所以此抛物线的方程是y 2＝3x .2．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：选C 由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为l ：x ＝－1，可得A 点的横坐标为2，代入y 2＝4x 得y 2＝8，不妨设A (2，22)，则直线AB 的方程为y＝22(x－1)，与y 2＝4x 联立得2x 2－5x ＋2＝0，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×|y A－y B |＝322.3．(2012·浙江高考)如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值． 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ·2m ＝1，所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝ 1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2，设△ABP 的面积为S ， 则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u －2u 3，S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 所以S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.答案： 32．(2012·东城模拟)已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，A 点到抛物线焦点的距离为1. (1)求该抛物线的方程；(2)设M (x 0，y 0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条相互垂直的弦MP ，MQ ，求证：PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)；(3)直线x ＋my ＋1＝0与抛物线交于E ，F 两点，问在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由．解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则由抛物线的定义可得p 2＋12＝1，即p ＝1，所以该抛物线的方程为y 2＝2x .(2)由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，代入y 2＝2x 得y 2－2my －2n ＝0.所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，其中y 1，y 2分别是P ，Q 的纵坐标，x 1，x 2分别是P ，Q 的横坐标．因为MP ⊥MQ ，所以k MP ·k MQ ＝－1.即y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1， 又由x 1＝y 212，x 2＝y 222，x 0＝y 202，代入上式得2y 1＋y 0·2y 2＋y 0＝－1，所以(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4. 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＋4＝0，所以(－2n )＋2my 0＋2x 0＋4＝0，即n ＝my 0＋x 0＋2. 所以直线PQ 的方程为x ＝my ＋my 0＋x 0＋2， 所以直线PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)．(3)假设存在点N (x 0，y 0)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＋my ＋1＝0，消去x 得y2＋2my ＋2＝0，则y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2，且(2m )2－8＞0，即m 2＞2.由于NE ⊥NF ，所以y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，又点E ，F ，N 在抛物线上，所以x 1＝y 212，x 2＝y 222，x 0＝y 202，代入y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，得2y 1＋y 0·2y 2＋y 0＝－1，即(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2代入并整理得y 20－2my 0＋6＝0，只要4m2－24＞0，即m 2＞6，该方程即有实数解．所以只要m 2＞6就存在满足条件的点N ，当m 2≤6时不存在满足条件的点N .。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：抛物线
§8.7抛物线考试要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y ＝4x 2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x 2＝4y .(√)教材改编题1．抛物线x 2＝14y 的准线方程为()A ．y ＝－116B ．x ＝－116C ．y ＝116D ．x ＝116答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y 线方程为y ＝－116.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于()A ．9B ．8C ．7D ．6答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x答案B解析由题意可得|MF |＝x M ＋p2，则3＋p2＝4，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于()A ．2B ．22C ．3D ．32答案B 解析方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设y 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝2 2.方法二由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2，所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4，所以AF 的长为通径长的一半，所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.(2)已知点M (20,40)不在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，抛物线C 的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________．答案42或22解析当点M (20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |，|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.当点M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42.当点M (20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P ，M ，F 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为4141，解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或p ＝22.①②思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y ＝mx 2(m >0)上的点(x 0,2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A ．4B ．3 C.14D.13答案D解析由题意知，抛物线y ＝mx 2(m >0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0,2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13.(2)若P 是抛物线y 2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d 1，到圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4上动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案34－4解析圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4的圆心为C (－3,3)，半径r ＝2，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为P 是抛物线y 2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d 1，到圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4上动点Q 的距离为d 2，所以要使d 1＋d 2最小，即P 到抛物线的焦点与到圆C 的圆心的距离最小，如图，连接PF ，FC ，则d 1＋d 2的最小值为|FC |减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即(－3－2)2＋(3－0)2－2－2＝34－4，所以d 1＋d 2的最小值为34－4.题型二抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，则2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝9xC．y2＝92xD．y2＝3x答案D解析如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由抛物线的定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，∴在Rt △ACE 中，2|AE |＝|AC |，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，∴3＋3a ＝6，解得a ＝1，∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，∴p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x .(2)(2022·烟台模拟)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝－2D ．x ＝－4答案B解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点将点P 的横坐标代入抛物线得y 2＝16p ，可得y ＝±4p ，不妨令P (8,4p )，则S △OFP ＝12×p2×4p ＝p p ＝22，解得p ＝2，则抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.题型三抛物线的几何性质例3(1)在抛物线y 2＝8x 上有三点A ，B ，C ，F 为其焦点，且F 为△ABC 的重心，则|AF |＋|BF |＋|CF |等于()A ．6B ．8C ．9D ．12答案D解析由题意得，F 为△ABC 的重心，故AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，设点A ，B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，∵抛物线y 2＝8x ，F 为其焦点，∴F (2,0)，∴AF →＝(2－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AC →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，∵AF →＝13(AB →＋AC →)，∴2－x 1＝13(x 2－x 1＋x 3－x 1)，∴x 1＋x 2＋x 3＝6，∴|AF →|＋|BF →|＋|CF →|＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12.(2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是()A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE ∥x 轴，所以∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形，所以∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4，故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ∥AE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；因为∠DAE ＝60°，所以∠ADE ＝30°，所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确；因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3(p ＝0舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM →＝2MN →，则|FN |＝________.答案16解析易知焦点F 的坐标为(4,0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM →＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|FN |＝16.课时精练1．(2022·桂林模拟)抛物线C ：y 2＝－32x 的准线方程为()A ．x ＝38B ．x ＝－38C ．y ＝38D ．y ＝－38答案A解析y 2＝－32x 的准线方程为x ＝38.2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点M (x 0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A ．6B ．4C ．3D ．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y ＝－p 2，可得1＋p2＝2，解得p ＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p ＝2.3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝－8x答案D解析由题意知动点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以(－2,0)为焦点，x ＝2为准线的抛物线，所以p ＝4，轨迹方程为y 2＝－8x .4．(2022·北京模拟)设M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若∠OFM ＝120°，则|FM |等于()A ．3B ．4 C.43D.73答案B解析过点M 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为点N ，连接FN ，如图所示，因为∠OFM ＝120°，MN ∥x 轴，则∠FMN ＝60°，由抛物线的定义可得|MN |＝|FM |，所以△FNM 为等边三角形，则∠FNM ＝60°，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，设直线x ＝－1交x 轴于点E ，则∠ENF ＝30°，易知|EF |＝2，∠FEN ＝90°，则|FM |＝|FN |＝2|EF |＝4.5．(多选)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案ACD解析由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；则抛物线的方程为y 2＝8x ，焦点F (2,0)，故B 错误；则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，∴y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 正确；又由y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)－8＝4，得x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点F 是抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点，点B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，则下列结论正确的是()A ．C 的准线方程为x ＝24B ．b ＝2C.OA →·OB →＝2D.1|AF |＋1|BF |＝16215答案BD解析点a >0)，B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，2＝a 22，2＝a 2，＝2，＝2，则抛物线C ：y 2＝2x ，B (2，2)，抛物线C 的准线方程为x ＝－24，故A 错误，B 正确；OA →·OB →＝22×2＋1×2＝1＋2，故C 错误；抛物线C 的焦点则|AF |＝324，|BF |＝524，则1|AF |＋1|BF |＝223＋225＝16215，故D 正确．7.如图是抛物线形拱桥，当水面为l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．答案26解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．8．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________，作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案545解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)，因为|FM |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.9．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．解(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F 0，p 2当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p 2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝(－2)24＝1，M 坐标为(－2,1)．又直线l 过点F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)，MB →＝(x 2＋2，y 2－1)．∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M ，不符合题意，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.10．已知在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的第一象限的点P (x ,1)到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的方程和点P 的坐标；(2)1l 交抛物线C 于A ，B 两点，若∠APB 的角平分线与y 轴垂直，求弦AB 的长．解(1)由1＋p 2＝2，可得p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y ，当y ＝1时，x 2＝4，又因为x >0，所以x ＝2，所以点P 的坐标为(2,1)．(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)＋12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋k ＋12，2＝4y ，得x 2－4kx －4k －2＝0，所以Δ＝16k 2＋4(4k ＋2)>0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4k －2，因为∠APB 的角平分线与y 轴垂直，所以k P A ＋k PB ＝0，所以k P A ＋k PB ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，即x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2＝0，即x 1＋x 2＋4＝0，所以k ＝－1，x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝2，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r ：y 2＝x ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l 1从点P 4116，1r 上的点A (x 1，y 1)反射后，再经r 上另一点B (x 2，y 2)反射后，沿直线l 2射出，经过点Q ，则下列结论正确的是()A ．y 1y 2＝－1B ．|AB |＝2516C ．PB 平分∠ABQD ．延长AO 交直线x ＝－14于点C ，则C ，B ，Q 三点共线答案BCD 解析设抛物线的焦点为F，如图所示，则F 14，0因为4116，1l 1∥x 轴，故A (1,1)，故直线AF ：y ＝1－01－14x －14＝43x －13.y ＝43x －13，y 2＝x ，可得y 2－34y －14＝0，故y 1y 2＝－14，故A 错误；又y 1＝1，故y 2＝－14，故B 116，－14故|AB |＝1＋116＋12＝2516，故B 正确；因为|AP |＝4116－1＝2516＝|AB |，故△APB 为等腰三角形，故∠ABP ＝∠APB ，而l 1∥l 2，故∠PBQ ＝∠APB ，即∠ABP ＝∠PBQ ，故PB 平分∠ABQ ，故C 正确；直线AO ：y ＝x ＝x ，＝－14.可得－14，－y C ＝y 2，所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确．12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点M 是抛物线C 上一点，MH ⊥l 于H ，若|MH |＝4，∠HFM ＝60°，则抛物线C 的方程为________．答案y 2＝4x 解析因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF |＝|MH |＝4，又∠HFM ＝60°，所以△MHF 为正三角形，所以|HF |＝4，记准线l 与x 轴交于点Q ，则∠QHF ＝30°，所以p ＝|QF |＝|HF |sin ∠QHF ＝4sin 30°＝2，所以该抛物线方程为y 2＝4x .13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (9,6)，动点C 在线段OB 上，BD ⊥y 轴，CE ⊥y 轴，CF ⊥BD ，垂足分别是D ，E ，F ，OF 与CE 相交于点P .已知点Q 在点P 的轨迹上，且∠OAQ ＝120°，则|AQ |等于()A ．4B ．2C.43D.23答案A解析设P (x ，y )，则y C ＝y ，∵l OB ：y ＝23x ，∴，∴E (0，y )，，∵FC ∥y 轴，∴△OPE ∽△FPC ，∴EP CP ＝OE FC，∴x 32y －x ＝y 6－y ，即y 2＝4x ，∴P 的轨迹方程为y 2＝4x 在第一象限的部分且0≤x ≤9，故A (1,0)为该抛物线的焦点．设Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，AQ →＝(x 0－1，y 0)，AO →＝(－1,0)，∴cos ∠OAQ ＝AO →·AQ →|AO →|·|AQ →|＝1－x 0(x 0－1)2＋y 20·1＝1－x 0x 0＋1＝－12，解得x 0＝3，∴|AQ |＝x 0＋p 2＝3＋1＝4.14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线C 上的两个动点，且AF ⊥AB ，∠ABF ＝30°，设线段AB 的中点M 在准线l 上的射影为点N ，则|MN ||AB |的值是________．答案32解析如图所示，作BE ⊥l ，AD ⊥l ，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，所以b＝2a，则|MN|＝3a 2，又|AB|＝b2－a2＝3a，故|MN||AB|＝3a23a＝32.。
2025高考数学一轮复习-第43讲-抛物线【课件】
抛物线的几何性质 视角1 焦半径
2-1 已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，
则|AF|＝ A．3
B．4
(B )
C．5
D．6
【解析】由题意得 F(1，0)，准线方程为 x＝－1.设 A(m，n)，则 AF 中点的横坐标为 m＋2 1，故m＋2 1＝2，解得 m＝3.由抛物线的焦半径可知|AF|＝3＋1面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离___相__等___的点 的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的___焦__点___，直线l叫做抛物线的 ____准_线___．
标2准．方抛程物线y2的＝标2px准(p＞方0程) 与y几2＝何－性2px质(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
设直线 l1 的方程为 x＝m1y＋1，同理可得|FC|·|FD|＝4m21＋4.因为|FA|·|FB|＝|FC|·|FD|， 所以 4m2＋4＝4m21＋4，解得 m＝m1(舍去)或 m＋m1＝0，即 m1＝－m，所以|AB|＝|FA| ＋|FB|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4，同理可得|CD|＝4m21＋4＝4(－m)2＋4＝ 4m2＋4. 当|CD|＝8时，即4m2＋4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1 ＝0.
Op2→2Ax＋1·＋Op2→(Bxx2＝1＋＋xpx1x2)2＝＋2py1，y2故＝①p42－②p③2＝④－都3是4p2“，直|F1线A|＋A|BF1B经|＝过x焦1x＋1点＋p2Fx2x”＋2的＋p必p2要＝条x1x件2＋．x1p2＋(xx1＋2＋xp2)＋p42＝ 充分性：设直线 AB 的方程为 x＝my＋t，则直线 AB 交 x 轴于点(t，0)，抛物线的焦点 为 Fp2，0.将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立得 y2－2pmy－2pt＝0，Δ＝4p2m2＋ 8pt＞0，则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2pt. 对于①， 若 x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝m2(－2pt)＋tm·2pm＋t2 ＝p42，可得 t＝±p2，直线 AB 不一定经过焦点 F，所以条件①是“直线 AB 经过焦点 F” 的必要不充分条件．
东北师大附属中学高三一轮导学案：抛物线【A】
抛物线(教案)A一、知识梳理：1.抛物线的定义定义的理解:定点在直线上,轨迹是: .2.抛物线的标准方程及性质(见下表)=2px (p>0) ， M(,)为抛物线上任意一点。
F为抛物线的焦点， |MF|=+（2）、n= , m=+=4、若抛物线过焦点的弦AB，设A（）B（），则有下列结论：（1）、|AB|=p++（2）、|AB|=( =2px (p>0), |AB|=( =2py (p>0))（3）、|AB|=( =2py (p>0))(通径是最短的焦点弦)（4）、= ,=-（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p （6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：=|AB||ON|=|OF|||=|OF|||（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切 （8）、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？ 以为例说明特例：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为在准线上．证明:当弦AB 过焦点F ，设()11,y x A 、()22,y x B 则过A 点的切线方程是：()11x x p y y += ① 过B 点的切线方程是：()22x x p y y += ②由①－②可得：()()2121x x p y y y -=-即：()py y p y y y 2222121-⋅=-∴221y y y +=代入①式可得：px y y 221=⋅x=，∵弦AB 过焦点弦，由焦点弦性质可知221p y y -=，∴即交点P坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p ．结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．（9）、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。
以px y 22=（p ＞0）为例说明特例：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．证明:，设()11,y x A 、()22,y x B ，则切线PA 的方程为()11x x p y y +=，切线PB 的方程为()22x x p y y +=．均过点P ，则，， ，故弦AB 过焦点．证明：设准线上任一点，切点分别为()11,y x A 、()22,y x B ，则切线方程分别为：()11x x p y y +=，()22x x p y y += 两切线均过点P ，则满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1012x p p y y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2022x p p y y ．故过两切点的弦AB 方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20p x p y y ， 则弦AB 过焦点．结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．（10）、如图，AB 是过抛物线px y 22=（p ＞0）焦点F的弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过点A ，B 的切线相交于P 点，PQ 与抛物线交于点M ．（1）PA 与PB 是否有特殊的位置关系？ 结论：PA ⊥PB ． 证明：1y pk PA=，2y p k PB=，∴1212-=⋅=⋅y y p k k PBPA∴PA ⊥PB ．（2）与是否有特殊的位置关系？ 结论：PF ⊥AB ．证明：⎪⎭⎫⎝⎛+-=2,221y y p P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,2p F p y y k PF 221-+=，21222121212122y y pp y y y y x x y y K AB +=--=--=1-=⨯∴AB PF K K ∴PF ⊥AB ．（3）点M 与点P 、Q 的关系 结论：M 平分PQ ．证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p P ，⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x Q ∴221y y y M += ∴()()24822828221221222212212QP M M x x p x x p p x x p p p y y p y y p y x +=-+=-+=-+=+== ∴M 平分PQ ．（4）直线PA 与∠A1AB ，直线PB 与∠B1BA 的关系 结论：PA 平分∠A1AB ，PB 平分∠B1BA ．证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2,2121y y x p ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,21x p ，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11,2y x p AF ∴2112⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅x p AA AP ，2242121221y y y p x +--=⋅ 21122124⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=p x px p x∴FAB AP A ∠=∠1即PA 平分∠A1AB ，同理PB 平分B1BA ．（52PF 的大小比较证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11,2y p x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22,2y p x FB ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2,21y y p PF ()212122y y p x p x FB FA -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅-=()()2221222212142442p p x x p p p p x x p x x +-++-=+-++-=()22221p x x p ++=()()()212212221222122222414x x p p y y y y p y y p++=+++=++=2（6）PAB S ∆的最值问题结论：PAB S ∆2min p =证明：2121y y PQ S PAB -⋅=∆∵()p p x x p x x BB AA PQ =+⋅≥++=+=22212212111⎪⎭⎫⎝⎛===”时取“当221p x x 2121y y y y +=-≥p y y 2221=⋅ ()”时取“当==-=p y y 21 ∴PAB S ∆2min p =（两等号可同时取得）课下思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，有无与上述结论类似结果．则①p y y x p 221=，221y y y p +=②PA 平分∠A1AB ，同理PB 平分∠B1BA ． ③PFB PFA ∠=∠ ④点M 平分PQ2PF=【练习】对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FAn 交抛物线于另一点()n n n t s B ,，（1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）（2）取nn x 2=，并Cn 为抛物线上分别以An 与Bn 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）（1）证明：焦点（0，1） 设直线An Bn 方程为：1+=x k y n⎩⎨⎧=+=y x x k y n 412 消去y 得 0442=--x k x n∴4-=⋅n n s x（2）由xy 21'=则2'n n x x y = 故y x 42=在An 处切线方程为()n n n x x x y y -=-2，即422n n x x x y -=类似的，y x 42=在Bn 处切线方程为()n n n s x s t y -=-2，即422n n s x s y -= 两式相减得2n n s x x +=代入可得14-=⋅=n n xs y则点⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1,2n n n s x C ∴2222222222442442⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++=+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n n n n n n nx x x x s x s x FC从而nn n x x FC 22+=∴()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=+++n n n x x x x x x FC FC FC 111221212121()12222122121212222211122+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=+-+-n n n n n n【作业】1、证明上述问题中的结论发散2、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，（1）证明：AB FM ⋅的值；（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．3、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ；（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．5、直线与抛物线的关系（1）、=p （2）、直线与抛物线的公共点的情况 6、二次函数y=a按向量=() 平移得到y=a ，其中平移后坐标系下的焦点坐标为（0，），平移前的焦点坐标为（(）7、抛物线的焦点的位置的判断：看方程中的一次项，一次项是哪个变量，焦点就在哪个变量对应的坐标轴上，而且正系数在正半轴，负系数在负半轴；8、A 、B 两点都在抛物线上，且OA ⊥OB ，则=4p ,=- 二、题型探究探究一：抛物线的标准方程例1：根据下列条件求出抛物线的标准方程 （1）、焦点到准线的距离是2；（2）、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是X 轴，抛物线上的点A （-3，y ）到焦点的距离是5， 解：（1）：；（2）：P=4，探究二：抛物线的几何性质 例2：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线（B ）（A ） 有且只有一条（B ）有且仅有两条（C ）有无数条 （D ）不存在 例3：已知点P 是抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，点A （3，2），则|PA|+|PF|的最小值为 3.5，此时P 的坐标是（ 2，2 ） 探究三：直线与抛物线的关系例4：已知A ，B 是抛物线上两点，O 为原点，且OA OB ，求证：（1）A ，B 两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数；(4, -4)（2）、直线AB 过定点。
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学案43 抛物线（2课时）
[考点导读]
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.
[知识梳理]
1．抛物线的概念
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的
________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程与几何性质
知识梳理参考答案: 1．相等焦点准线;2. ① x＝0,②F(0，
p
2),③F(0，－
p
2),④ y＝－
p
2,⑤y＝
p
2,⑥ y≥0，
x∈R
考点一_____抛物线的定义及应用_______________
（1）已知F是抛物线2y x
=的焦点，,A B是该抛物线上的两点.若线段AB的中点到y轴的距离为
5
4
，
则||||
AF BF
+=（）
A．2 B．
5
2
C．3 D．4
(2)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，
则点P的坐标是()
A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)
(3)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝
3
2|MN|，
则∠NMF＝________.
(4)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，AM=，点P是平面ABCD内的动点，
且点P到直线A1D1的距离与点P到M的距离的平方差为，则P点的轨迹是．
考点二_____求抛物线的标准方程_______________________
(1)根据下列条件求出抛物线的标准方程:①过设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2;②
焦点到准线的距离是2；③已知抛物线的顶点在原点，对称轴是X轴，抛物线上的点A（-3，y）到
焦点的距离是5。
(2)抛物线的焦点为椭圆
x2
4＋
y2
9＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()
A．x2＝－45y B．y2＝－45x C．x2＝－413y D．y2＝－413x
(3)已知双曲线C1：
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x
2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C
1
的渐近线的
距离为2，则抛物线C2的方程为()
A．x2＝
83
3y B．x
2＝163
3y C．x
2＝8y D．x2＝16y
考点三_____抛物线的几何性质_______________________
(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20
的两条渐近线围成的三角形的面积等于5
4，则抛物线的方程为( )
A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y
(2)已知抛物线22(0)
y px p
=>的准线与圆22670
x y x
+--=相切，则p的值为( ).
A．1
2
B．1 C．2 D．4
(3)抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的
重心，则直线BC的方程为()
A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0
(4)抛物线22
y px
=（0
>
p）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足120
AFB
∠=︒.
过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
AB
MN 的最大值为 （ ）
A.
3 B.1 C.3
D.2
1.已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是 ( ) A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12x
D ．y 2＝12x
2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是 ( ) A.1
8
B ．－1
8 C ．8
D ．－8
3.过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=
（ ）
A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2
＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为
( ) A ．4
B ．6
C ．10
D ．16
5.已知点A(3,4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M 点坐标是
( )
A ．(0,0)
B ．
C ．(2,4)
D ．(3，－)
6.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F.射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:F M M N = （ ） A ．
B ．1:2
C ．
D ．1:3 7．抛物线y 2
＝8x 的焦点到准线的距离是________．
8.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 9.已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．
2两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.
11.已知过抛物线y 2
＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是
( )
A.π6或5π
6
B.π4或3π4
C.π3或2π3
D.π2
12.抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( ) A ．x ＋y ＝0
B ．x －y ＝0
C ．2x ＋y －1＝0
D ．2x －y －1＝0
13.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，
B 在抛物线上，点
C 在y 轴上，则BCF ∆与
ACF
∆的面积之比是 （ ）
A.
11
BF AF -- B.
2
2
11
BF AF -- C.
11
BF AF ++ D.
2
2
11
BF AF ++
14.如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F .(1)若点O 到直线l 的距离为1
2，
求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆
心，|F A |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．
[小结与反思]。