空间向量的综合运用
空间向量应用知识点总结
空间向量应用知识点总结一、空间向量的定义和性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指具有大小和方向的物理量，可以在空间中表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
2. 空间向量的几何意义：空间向量的几何意义是指用有向线段来表示向量，其方向由箭头表示，长度由线段的长度表示。
3. 空间向量的性质：空间向量与平面向量相似，具有平行、共线、相等、相反等性质，还有长度相等、共线向量的倍数、共面向量的叉乘等性质。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加法：空间向量的加法是指两个向量相加后得到一个新的向量，其结果向量的大小和方向由两个向量的大小和方向决定。
2. 空间向量的减法：空间向量的减法是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，其结果向量的大小和方向由两个向量的大小和方向决定。
3. 空间向量的数量积：空间向量的数量积是指两个向量相乘后得到一个数量，其结果是一个标量，其大小等于两个向量的模的乘积，其方向由两个向量的夹角决定。
4. 空间向量的叉积：空间向量的叉积是指两个向量相乘后得到一个新的向量，其结果向量的大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，其方向垂直于两个向量构成的平面。
5. 空间向量的混合积：空间向量的混合积是指三个向量相乘后得到一个数量，其结果是一个标量，其大小等于三个向量构成的平行六面体的体积。
三、空间向量在物理学中的应用1. 力的合成：在物体受到多个力的作用时，可以利用空间向量的加法和减法原理，将所有的力向量进行合成或分解，从而求出合力或分力的大小和方向。
2. 力的平衡：当一个物体处于受力平衡状态时，可以利用空间向量的数量积或叉积原理，求出合力或力矩为零的条件，从而判断物体是否处于平衡状态。
3. 力的做功：当一个物体受到外力作用而发生位移时，可以利用空间向量的数量积原理，求出外力做功的大小和方向，从而判断外力对物体的能量变化情况。
4. 力的矢量描述：在分析物体的运动和力的作用时，可以通过空间向量的描述方法，将力的大小和方向用向量来表示，从而对物体的运动和受力情况进行分析。
空间向量在立体几何中的应用
∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0，0，2 3)．
O→P＝(0，
22，－2)，O→D＝(－
2， 2
22，－2)．
设平面 OCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由 n·O→P＝0，n·O→D＝0，
得
22y－2z＝0，
－ 22x＋ 22y－2z＝0.
取 z＝ 2，得 n＝(0，4， 2)．
∵M→N·n＝(1－ 42)×0＋ 42×4＋(－1)× 2＝0，∴M→N⊥n.
解 作AP⊥CD于点P,分别以AB,AP,AO所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系A－xyz,如图所示,
则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0， 22，0)，D(－ 22， 22，0)，
O(0，0，2)，M(0，0，1)，N， 42，－1)，
A→M·n＝0.
a2y＋ 2az＝0，
令 y＝2，则 z＝－ 22，x＝0.
∴n＝(0，2，－ 22)．
又B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)，
∴cos〈B→C1，n〉＝B→→C1·n
|BC1||n|
＝
－a－a 3a×
9＝－29 2
6.
设 BC1 与平面 AMC1 所成的角为 θ，
则 sin θ＝|cos〈B→C1，n〉|＝296.
题型三 二面角的求法
例3 12分如图所示,正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中 点,求二面角AA1DB的余弦值．
空间向量的基本运算和应用
空间向量作为一种基础数学工具，将在更多交叉学科领域 中得到应用和发展，如生物医学成像分析、地球科学数据 分析等。
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空间向量共线、共面条件
共线条件
如果两个空间向量共线，那么它们之间存在一个实数关系，即一个向量是另一个 向量的数乘。
共面条件
如果三个空间向量共面，那么它们之间存在线性关系，即其中一个向量可以表示 为另外两个向量的线性组合。同时，共面的三个向量也满足混合积为零的条件。
02 空间向量基本运 算方法
加法运算与几何意义
坐标运算性质
空间向量的坐标运算满足交换律、结 合律和分配律等基本性质。
03 空间向量在几何 中应用
平面方程建立与求解
平面方程的建立
在空间直角坐标系中，一个平面可以用一个三元一次方程表示，即 $Ax+By+Cz+D=0$，其中$A,B,C$不同时为零。
平面方程的求解
给定平面上的三个不共线的点，可以通过求解线性方程组得到平面 的方程。
电磁场中矢量场描述
电场强度
电场强度是描述电场中某点电场大小和方向 的物理量，是矢量。电场强度的方向与正电 荷在该点所受电场力的方向相同。
磁感应强度
磁感应强度是描述磁场中某点磁场大小和方 向的物理量，也是矢量。磁感应强度的方向 与小磁针在该点静止时北极所指的方向相同 。
05 空间向量在计算 机图形学中应用
数乘运算
空间向量的数乘运算是指向量与实数的乘积，其结果是一个与原向量共线的新 向量，其大小等于原向量大小与实数的绝对值的乘积，方向由实数的正负决定 。
空间向量数量积与性质
数量积定义
空间向量的数量积是指两个向量的点积，其结果是一个实数 。
空间向量的运算
空间向量的运算在数学和物理学中，空间向量是用来表示空间中的物理量和几何概念的工具。
空间向量的运算包括加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
这些运算在解决空间几何问题和物理问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍空间向量的运算及其应用。
一、空间向量的表示空间向量可以用有序三元组表示，也可以用向量符号表示。
以有序三元组表示，空间向量A可以表示为 A = (a1, a2, a3)。
向量符号表示时，通常用小写字母加箭头来表示，例如a 或 b。
在图上表示时，可以用有向线段表示，线段的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。
二、空间向量的加法和减法空间向量的加法和减法都是对应分量相加和相减。
设有向量A = (a1, a2, a3) 和B = (b1, b2, b3)，则它们的和可以表示为 A + B = (a1+b1,a2+b2, a3+b3)。
它们的差可以表示为 A - B = (a1-b1, a2-b2, a3-b3)。
三、空间向量的数乘空间向量的数乘是指向量的每个分量与一个实数的乘积。
设k是一个实数，向量A = (a1, a2, a3)，则它的数乘可以表示为 kA = (ka1, ka2,ka3)。
四、空间向量的点乘空间向量的点乘也称为数量积或内积，它的结果是一个实数。
设有向量A = (a1, a2, a3) 和B = (b1, b2, b3)，则它们的点乘可以表示为 A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3。
点乘满足交换律和分配律，即A·B = B·A，A·(B+C) = A·B + A·C。
点乘有一些重要的性质。
当两个向量的点乘等于零时，它们垂直或正交；当两个向量的点乘大于零时，它们夹角小于90度；当两个向量的点乘小于零时，它们夹角大于90度。
五、空间向量的叉乘空间向量的叉乘也称为矢量积或外积，它的结果是一个向量。
设有向量A = (a1, a2, a3) 和B = (b1, b2, b3)，则它们的叉乘可以表示为 A×B = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
空间向量在立体几何里的综合运用.
z 分析:钢板所受重力的大
小为 500kg ，垂直向下作用在
F1
三角形的重心 O ，如果能将各
顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示，求出其合力， A 就能判断钢板的运动状态. x
F3
F2 C
O
B
y 500kg
合力
答案
F2
F1
F3
F2 F3 F1
F1 A
F3
F2 C
O
B
500kg
合 力 就 是 以F1、F2、F3 为棱的平行六面体的
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos .
uv
“同进同出互补”
“一进一出相等”
例1
四、异面直线成角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直 线a ′∥a, b ′∥b,则a ′, b ′所夹的锐角或直角叫a与b 所成的角.
(2)设 直 线a，b的 方 向 向 量 分 别 为a, b,
(3)法一：如图建系，设DC 1，n (x, y, z) 面PBC,
则P(0,0,1), B(1,1,0),C(0,1,0).
Z
PB (1,1,1), PC (0,1,1)，
P
则n PB 0, n PC 0
x
y
y z
z 0
0 ,另z
1,
l
a
AB
a
AB
0
a CD a CD 0
例1
三、二面角的平面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的
方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）
空间向量的基本概念及其综合应用
空间向量的基本概念及其综合应用随着现代科技的飞速发展，空间向量的应用已经越来越广泛。
本文将介绍空间向量的基本概念以及其在各个领域的综合应用。
一、空间向量的基本概念1. 定义空间向量是指在三维空间中由起点和终点两个点确定的有向线段。
通俗地说，可以将其理解为箭头，箭头的起点和终点均在三维空间内。
2. 表示方法空间向量通常使用坐标表示法进行表述。
在三维直角坐标系中，每个向量可以表示为由三个实数 $(x,y,z)$ 组成的有序数组。
3. 运算法则空间向量的加、减、数量积、向量积等运算法则和二维向量（即平面向量）的运算法则一样。
其中，数量积得到的结果是一个实数，向量积得到的结果是一个向量。
二、空间向量的综合应用1. 三维建模在三维建模软件中，空间向量是非常重要的基本元素。
使用空间向量可以方便地表示各种形状的物体，并进行各种变换和操作，如平移、旋转、缩放等。
2. 物理学在物理学中，向量是描述物理量的重要工具。
例如，重力向量可以表示为指向中心的矢量。
还有一些物理量，如磁场和电场，也可以使用向量来表示。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，向量也是非常基础的概念。
例如，在三维空间中，图形元素（如点、线、面等）的坐标通常使用向量来表示。
4. 空间解析几何在空间解析几何中，向量是非常重要的基本元素。
通过向量的运算，可以求出线段的长度、两直线的夹角等问题。
5. 机器学习在机器学习中，向量是非常重要的数据表示方式。
通过向量表示数据，可以方便地使用各种算法进行分类、回归等任务。
总结：本文简单介绍了空间向量的定义、表示方法和运算法则，并介绍了空间向量的综合应用，包括三维建模、物理学、计算机图形学、空间解析几何和机器学习等领域。
在实际应用中，空间向量是非常重要的基础工具，值得深入学习和掌握。
空间向量的实际应用
向量在计算机游戏中的应用
角色控制
在游戏中，玩家可以通过向量输 入来控制角色的移动、跳跃和攻 击等动作，提供更加直观和灵活
的游戏体验。
物理引擎
游戏中的物理引擎可以通过向量运 算来模拟物体的运动和碰撞，如物 体的位移、速度和加速度等。
动画和特效
向量可以用于实现游戏中的各种动 画和特效，如火、水、电等自然现 象的模拟，增加游戏的视觉效果。
VS
详细描述
在建筑结构设计中，空间向量的分析可以 帮助我们理解结构的受力状态，如压力、 拉力和剪切力等。这对于确保结构的稳定 性和安全性至关重要。通过使用空间向量 ，工程师可以预测结构的变形、位移和振 动等行为，从而优化设计并提高结构的性 能。
04
数学领域中的应用
向量在解析几何中的应用
总结词
详细描述
空间Байду номын сангаас量的实际应用
• 引言 • 物理领域中的应用 • 工程领域中的应用 • 数学领域中的应用 • 计算机图形学中的应用 • 总结与展望
01
引言
空间向量的基本概念
空间向量
具有大小和方向的量，可以用几何图 形表示。
向量运算
包括加法、减法、数乘、向量的模等 基本运算。
空间向量在现实生活中的应用价值
解析几何是研究空间向量、点、线、面等几 何对象在坐标系中的表示和性质。向量在解 析几何中有着广泛的应用，包括向量的表示、 向量的运算、向量的模、向量的数量积、向 量的向量积、向量的混合积等。
在解析几何中，向量被用来表示空间中的点、 线、面等几何对象。通过向量的坐标表示， 我们可以方便地计算向量的长度、夹角、投 影等几何量。此外，向量还可以用来解决一 些几何问题，如求点到直线的距离、求两条 直线的夹角等。
高考数学空间向量的综合应用ppt课件
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第八章 立体几何与空间向量
5
设平面 PAD 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AP→→AD＝＝00，，即－2x＋ x＋y＝y－0，3z＝0，令 x＝1，则 y＝－2，z＝－ 3，故 n＝(1，
－2，－ 3)为平面 PAD 的一个法向量．
所以点 E 到平面 PAD 的距离 d＝|n·|nP→|E|＝
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第八章 立体几何与空间向量
10
设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)， 由D→A1·n＝0 得 x＋z＝0，由D→B·n＝0 得 x＋y＝0， 取 x＝1，则 n＝(1，－1，－1)， 所以点 D1 到平面 A1BD 的距离是 d＝|D→D|n1·| n|＝ 23＝233.
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第八章 立体几何与空间向量
24
翻折与展开问题
(2021·江西红色七校第一次联考)如图 1.梯形 ABCD 中，AB∥CD，过 A，B 分别作 AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F.AB＝AE＝2，CD＝5， DE＝1，将梯形 ABCD 沿 AE，BF 折起，得空间几何体 ADE-BCF，如图 2.
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第八章 立体几何与空间向量
21
所以 AD⊥AN，所以 AN⊥MN， 因为 AP＝AB，所以 AN⊥PB，MN∩PB＝N，所以 AN⊥平面 PBC，
因为 AN⊂平面 ADM，所以平面 ADM⊥平面 PBC.
(2)存在符合条件的 λ. 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，
12×1＋0×（－2）＋－ 23×（－ 12＋（－2）2＋（－ 3）2
3） ＝
高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法五——在立体几何中综合应用
C
则显然有 n m 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1
同理可得平面 CB1D 1的法向量为m (1,1,1)
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
例1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， A1 P P、Q分别是A1B1和 BC上的动点，且 A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的 中点. 求证： A MN∥平面AC. （１）M是中点，N是中点
MN∥平面AC
建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2. A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2) E(0,2,1),F(1,1,0)
Z
E
A ' F (1,1, 2), DB (2, 2,0), DE (0, 2,1) F A ' F DB (1,1, 2) (2, 2,0) 0 A ' F DE (1,1, 2) (0, 2,1) 0 X A ' F DB, A ' F DE, 又DB DE D. A ' F 平面BDE
y
例2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1 (1)平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1 B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
(2)证明：建立如图所示 的空间直角坐标系o-xyz A1 设正方形边长为1， 则向量 DA1 (1,0,1)
高考数学 空间向量知识点
高考数学空间向量知识点高考数学是每个高中生都要面对的一项重要考试。
而在高考数学中，空间向量是一个重要的知识点。
掌握空间向量的概念和应用，不仅有助于解题，还可以拓宽数学思维的广度和深度。
首先，我们来了解一下什么是空间向量。
空间向量是指具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
在三维空间中，我们可以用一个无关点与某一定向线段连接起来，形成一个有向线段，即空间向量。
空间向量有三个重要的性质：大小、方向和平行。
在高考数学中，空间向量常常与平面几何和解析几何等知识点相结合，形成一道综合性题目。
例如，求两条直线是否相交，可以利用空间向量的平行条件来判断。
若两条直线所对应的向量平行，那么两条直线必相交于一点；反之，若两条直线所对应的向量不平行，那么两条直线不相交。
除了判断相交，空间向量还可以用于求解直线的垂直关系。
若两条直线所对应的向量垂直，那么两条直线互相垂直；反之，若两条直线所对应的向量不垂直，那么两条直线不垂直。
在解题过程中，我们还可以利用向量的线性运算来简化计算。
向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
通过将向量加法和数乘运算引入解题过程，我们可以更加方便地推导出最终的结果。
此外，空间向量还与三角函数密切相关。
在空间向量中，我们可以通过向量的坐标来求解向量的大小和方向。
而求解向量的坐标，需要借助于三角函数的相关知识。
通过将空间向量与三角函数相结合，我们可以更加准确地描述向量在空间中的位置和方向。
掌握了空间向量的知识点，我们不仅可以在高考数学中得心应手，更能够用向量的思维方式去解决生活中的实际问题。
向量思维方式强调整体观念，能够帮助我们看清问题的全貌，从而找到解决问题的途径。
总之，空间向量是高考数学中的重要知识点。
通过学习和掌握空间向量的概念和运算规则，我们能够更好地理解和应用空间向量的性质，提高解题的效率。
同时，向量思维方式也有助于我们培养整体观念和拓宽数学思维的广度和深度。
因此，在备战高考数学时，我们务必要重视空间向量的学习和理解，为自己的数学成绩增添亮点。
空间向量的坐标表示与混合积的应用的综合考察
空间向量的坐标表示与混合积的应用的综合考察空间向量是三维空间中的矢量，具有大小和方向。
为了方便表示和计算，我们使用坐标系来描述空间向量。
本文将综合考察空间向量的坐标表示以及混合积的应用。
一、空间向量的坐标表示在三维空间中，我们可以使用直角坐标系或者柱坐标系来表示空间向量的坐标。
以直角坐标系为例，一个空间向量可以用三个有序实数（x, y, z）表示。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影，z表示向量在z轴上的投影。
例如，我们有一个向量v，其坐标表示为（2, -3, 4）。
这意味着向量v在x轴上的投影为2，y轴上的投影为-3，z轴上的投影为4。
二、向量的线性运算空间向量支持加法和数乘运算。
两个向量的加法表示将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
数乘运算表示将一个向量的大小乘以一个实数。
例如，向量u = (4, -1, 2)和向量v = (-2, 3, 5)，它们的和的坐标表示为(2, 2, 7)，即u + v = (4 + (-2), -1 + 3, 2 + 5) = (2, 2, 7)。
三、混合积的定义与性质在三维空间中，三个向量的混合积可以用以下公式表示：v1 · (v2 × v3) = |v1| |v2| |v3| sinθ其中，v1、v2、v3分别代表三个向量，×表示向量的叉乘，·表示向量的点乘，|v|表示向量的模长，θ表示v2和v3之间的夹角。
混合积有以下性质：1. 混合积与向量的顺序无关，即(v1 × v2) · v3 = v1 · (v2 × v3) =v2 · (v3 × v1)。
2. 当三个向量共面时，混合积为0。
3. 当三个向量不共面时，混合积的绝对值等于三个向量所张成的平行六面体的体积。
四、混合积的应用混合积在几何学和物理学中有广泛的应用，下面我们以几何学中的平行六面体面积的计算为例来说明混合积的应用。
高考数学复习：空间向量的运算及应用
1 8
[∵P，A，B，C四点共面，∴34＋18＋t＝1，∴t＝18.]
1234
4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则 EF的长为________．
2 [|E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2 ＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，所以|E→F|＝ 2，所以EF的长为 2.]
二、教材习题衍生
1．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)， 则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不对
C [∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]
1234
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为 A1C1与B1D1的交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝ c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
[跟进训练] 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2， M，N分别是A1B1，A1A的中点． (1)求B→N的模； (2)求cos〈B→A1，C→B1〉的值； (3)求证：A1B⊥C1M.
(1)解：如图，以点 C 作为坐标原点 O，CA， CB，CC1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 空间直角坐标系．
1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为 OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段 MN上，且M→G＝2G→N，若O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则x ＋y＋z＝________.
数学学科中的空间向量应用技巧分享
数学学科中的空间向量应用技巧分享近年来，随着科技的发展，空间向量在各个领域得到了广泛的应用。
而在数学学科中，空间向量也是一个重要的概念。
空间向量不仅仅是数学中的一个概念，更是一种重要的工具和应用技巧。
今天，我们就来分享一下数学学科中的空间向量应用技巧。
一、空间向量概念空间向量是三维空间中的一个几何对象，它可以表示空间中的一个点或者一条线段。
向量通常由三个坐标表示，分别表示向量在x、y、z三个方向上的长度。
在空间向量中，有一些重要的概念和公式，如向量的加减、点积、叉积等等，这些概念和公式都是我们学习空间向量的基础。
二、空间向量的应用技巧1. 直线与平面的位置关系在实际应用中，我们常常需要判断一个点是否在一个平面或者一条直线上。
这个时候，空间向量可以提供一个很好的解决方法。
对于一个平面，可以通过求出平面上的两个向量，再用另一个向量与这两个向量做出的平面向量比较来判断点的位置关系。
对于一条直线，可以通过求出直线上的两个向量，再用另一个向量来比较两个向量的夹角，从而判断点的位置关系。
2. 向量的旋转在游戏开发和图形处理方面，向量的旋转是一个非常重要的应用。
可以通过在向量的三个方向上分别进行旋转，来实现在三维空间中的旋转效果。
例如，我们可以使用旋转矩阵来将一条向量绕着z轴旋转90度。
将这条向量表示成列矩阵，用旋转矩阵乘以该矩阵，就可以得到旋转后的向量。
3. 向量的长度计算在实际应用中，我们经常需要计算向量的长度。
这个计算可以通过向量的点积来实现。
向量的点积公式为：A·B=|A|·|B|·cosθ其中，|A|表示向量A的长度，cosθ表示向量A和B之间的夹角。
因此，可以通过将向量的三个分量代入公式来计算向量的长度。
4. 向量的投影向量的投影也是一个非常重要的应用。
在图形处理和游戏开发中，经常需要计算向量在某个方向上的投影。
例如，在一些飞行游戏中，需要计算飞机沿着地面方向的速度。
空间向量的综合运用
空间向量的综合运用教案：空间向量的综合运用一、教学目标1. 熟练掌握空间向量的运算法则；2. 能够解决与空间向量有关的问题；3. 培养学生的空间思维和综合运用能力。
二、教学重点1. 理解空间向量的定义和性质；2. 掌握空间向量的加法、减法、数量积和向量积的运算法则；3. 运用空间向量解决实际问题。
三、教学内容1. 空间向量的定义和性质a. 三维坐标系及坐标表示法b. 空间向量的定义和性质c. 向量的模、方向和单位向量2. 空间向量的加法和减法运算a. 平行四边形法则b. 终点相连法则3. 空间向量的数量积a. 向量的数量积定义和性质b. 向量的数量积的几何意义c. 向量的数量积的计算方法4. 空间向量的向量积a. 向量的向量积定义和性质b. 向量的向量积的几何意义c. 向量的向量积的计算方法5. 空间向量综合运用a. 位移向量和力的分解、合成b. 作业问题解析与解决四、教学过程1. 导入与目标梳理运用实际问题引入空间向量的概念和作用，并简要梳理本节课的学习目标。
2. 空间向量的定义和性质通过三维坐标系的引入，让学生了解坐标表示法并明确空间向量的定义和性质。
3. 空间向量的加法和减法运算介绍平行四边形法则和终点相连法则，并通过实例演示如何进行向量的加法和减法运算。
4. 空间向量的数量积详细讲解向量的数量积的定义和性质，强调几何意义和计算方法，并通过实例加深学生的理解。
5. 空间向量的向量积清晰阐述向量的向量积的概念和性质，让学生理解几何意义和计算方法，并通过实例巩固知识点。
6. 空间向量综合运用结合实际问题，引导学生运用空间向量解决位移向量和力的分解、合成等问题，并指导学生完成与课程内容相关的作业。
7. 总结与拓展对本节课所学内容进行总结，并提出学生需要进一步拓展的知识点和能力。
五、教学资源1. 课件或黑板、粉笔等教学工具；2. 笔记本或作业本。
六、教学评价1. 课堂参与度：学生积极回答问题、互相讨论合作；2. 作业完成情况：学生完成作业并准确解答问题；3. 实际问题解决能力：学生能够运用所学知识解决实际问题。
第八章 85空间向量及其应用
§8.5空间向量及其应用最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，能判断向量的共线．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的垂直. 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b ). ②交换律：a ·b ＝b ·a .③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．5.(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量直线l ⊥平面α，取直线l 的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量． (3)直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝01．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c)．(×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(√)题组二教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c答案 A解析BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．答案 2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2. 题组三 易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3，2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案 B解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______. 答案 18解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面， ∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18. 6．设μ，v 分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案 α⊥β α∥β解析 当v ＝(3，－2,2)时，μ·v ＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v ，所以α⊥β； 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，μ∥v ，所以α∥β.空间向量的线性运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1——→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案 12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 ∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. (2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 答案 B解析 NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c )． 共线定理、共面定理的应用例2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线 空间四点(M ，P ，A ，B )共面P A →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →1111足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1——→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面． (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合， MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内； 当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.空间向量数量积及其应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．(1)求证：EG ⊥AB ； (2)求EG 的长；(3)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值． (1)证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 由题意知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝⎛⎭⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG →⊥AB →，即EG ⊥AB .(2)解 由题意知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.(3)解 AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ·⎝⎛⎭⎫－b ＋12a ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c 2·⎝⎛⎭⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.向量法证明平行、垂直例4 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)， M ⎝⎛⎭⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32.(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →. 又CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .(2)方法一 由(1)知，BA →＝(0,4,0)，PB →＝(23，0，－2)， 设平面P AB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)，又∵平面P AD 的一个法向量n ＝(－3，2,1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .方法二 如图，取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA .又P A ∩DA ＝A ，P A ，DA ⊂平面P AD ， ∴BE ⊥平面P AD . 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .思维升华 (1)用向量证明平行的方法①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量．②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量． (2)用向量证明垂直的方法①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直．②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量． ③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直．跟踪训练4 如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1∥BC 且B 1C 1＝12BC ，二面角A 1－AB －C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明 由二面角A 1－AB －C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，可得AA 1⊥平面BAC . 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴∠CAB ＝90°且CA ⊥AB ， ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．以A 为坐标原点，AC ，AB ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .设AB ＝2，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)，B 1(0，2,2)． (1)A 1B 1——→＝(0,2,0)，A 1A →＝(0,0，－2)，AC →＝(2,0,0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴A 1B 1——→＝2n ，即A 1B 1——→∥n ， ∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1→＝(0,2,2)，A 1C 1——→＝(1,1,0)，A 1C →＝(2,0，－2)， 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1——→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)． ∴AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴AB 1→⊥m . 又AB 1⊄平面A 1C 1C ，∴AB 1∥平面A 1C 1C .1．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)答案 B解析 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.145 D ．2答案 D解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6 答案 D解析 ∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1,1,2)， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.4．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.5．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( ) A.52 3 B.54 3 C.74 3 D.114 答案 B解析 |OA →|＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋|b |2＋4a ·b ＝7，同理|OB →|＝7，则cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝6|a |2－|b |2＋a ·b 7＝1114，从而有sin ∠AOB ＝5314，∴△OAB 的面积S ＝12×7×7×5314＝534，故选B.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－ 2 答案 D解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2， 故|BD →|＝3－ 2.7．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________. 答案 －9解析 由题意知c ＝x a ＋y b ， 即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.8．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝________. 答案 (3，－2,2)解析 因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1(y ≠0)，解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)， 又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．9．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN→＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________． 答案 平行解析 如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面．又VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN . 10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1——→＋A 1B 1——→)2＝3A 1B 1——→2； ②A 1C →·(A 1B 1——→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________． 答案 ①②解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1——→)2＝A 1A →2＋A 1D 1——→2＋A 1B 1——→2＝3A 1B 1——→2，故①正确；②中，A 1B 1——→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11.如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 方法一 ∵CC ′⊥平面ABC 且CA ⊥CB ，∴以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC ′所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)．令AC ＝BC ＝AA ′＝2，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C ′(0,0,2)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，E (0,2,1)，D (1,1,0)，(1)证明 ∴CE →＝(0,2,1)，A ′D →＝(－1,1，－2)， ∵CE →·A ′D →＝0＋2－2＝0，∴CE →⊥A ′D →，∴CE ⊥A ′D . (2)解 AC ′→＝(－2,0,2)，∴cos 〈CE →，AC ′→〉＝CE →·AC ′→|CE →||AC ′→|＝25·8＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 方法二 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)证明 CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－b ·c －12c 2＋12b 2＋14b ·c －12a ·b －14a ·c ＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 12.如图，正方形ABCD 的边长为22，四边形BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交于点G ，O 为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ， 又四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ， 故以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A (3,0,0)，C (－1,0,0)，D (1，－2，0)，F (0,0，3)，B (1,2,0)． BC →＝(－2，－2,0)，CF →＝(1,0，3)，BF →＝(－1，－2，3)． (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1)． 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF → ＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，3) ＝(－3，－4，3)，∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF . (2)AF →＝(－3,0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →，即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .13．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定答案 C解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．14.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案 56解析 连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a ＋23⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.15．已知O (0,0,0)，A (1,2,1)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________． 答案 (1,1,2)解析 由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1,1,2)．16.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，平面PBC ⊥底面ABCD .求证：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ， ∵△PBC 为等边三角形，∴PO ⊥BC ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)， ∴BD →＝(－2，－1,0)，P A →＝(1，－2，－3)， ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →，∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1,0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0.∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A∩PB＝P，P A⊂平面P AB，PB⊂平面P AB，∴DM⊥平面P AB.∵DM⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面P AB.21。
向量的综合应用
向量的综合应用引言：向量作为数学中的重要概念，不仅在理论研究中有着广泛的应用，同时也被广泛运用于各个领域的实践中。
本文将从几个方面介绍向量的综合应用，包括向量的几何意义、向量与力的关系以及向量在导航系统中的应用等。
第一部分：向量的几何意义1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
在空间中，向量通常有三个分量：x、y和z。
2. 向量的运算向量的几何运算包括加法、减法、数量乘法以及向量的数量积和向量积等。
3. 向量的平行和垂直关系两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或者相反；两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。
第二部分：向量与力的关系1. 力的概念和性质力是物体之间相互作用的产物，具有大小和方向。
力的作用可以改变物体的状态或者形状。
2. 向量描述力的特点根据牛顿第二定律，力可以用向量表示，即力的大小和方向有明确关系。
通过向量的运算，可以得到多个力合成后的结果。
3. 向量力的分解对于一个斜向上施加的力，可以通过向量的分解，将它拆分为与斜面平行和垂直的两个力，从而更好地理解力的作用。
第三部分：向量在导航系统中的应用1. GPS定位原理GPS定位系统通过卫星发射的信号，计算出接收器与卫星之间的距离，并利用向量的几何关系，确定接收器所在的具体位置。
2. 导航中的向量分析导航系统中，通过对当前位置和目标位置的向量进行分析，可以计算出最短路径，并指导行进方向，提高导航的准确性和效率。
3. 向量导航在现实生活中的应用向量导航不仅在汽车导航系统中得到广泛应用，同时也在航空、航海和无人机等领域中发挥着重要的作用，为人们提供方便和安全。
结论：通过上述内容，我们可以看到向量在几何、力学和导航系统等领域的广泛应用。
向量的综合应用不仅丰富了数学理论研究，同时也为我们日常生活中的各个方面提供了便利和解决问题的方法。
因此，理解和掌握向量的概念和运算是非常重要的。
空间向量在力学问题中的应用
空间向量在力学问题中的应用引言力学是物理学中研究物体运动和力的学科，其研究对象包括力的作用和效果，以及物体的运动规律。
在力学问题的解决过程中，空间向量的概念和方法被广泛应用。
本文将探讨空间向量在力学问题中的应用，包括力的合成与分解、力矩和力的平衡等方面。
通过运用空间向量的概念和方法，我们能够更有效地解决力学问题，提高问题解决的准确性和效率。
空间向量的概念在力学问题中，我们通常使用空间向量来描述物体在三维空间中的位置和方向。
空间向量由向量的模和方向两个要素组成。
向量的模表示向量的长度，而向量的方向表示向量在空间中的朝向。
在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序的三元组(x, y, z)，其中x、y和z 分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的分量。
力的合成与分解在力学问题中，我们经常需要计算多个力的合成或分解。
通过使用空间向量的加法和减法运算，我们能够将多个力的作用效果合成为一个综合的力，或将一个力分解为多个力的合力。
合力的计算当多个力作用于同一个物体时，我们可以使用向量的加法运算来计算这些力的合力。
假设我们有两个力F1和F2，它们的向量表示分别为F1 = (x1, y1, z1)和F2= (x2, y2, z2)。
那么这两个力的合力F可以通过向量的加法运算得到：F = F1 + F2= (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
分解力的计算当一个力作用于物体上时，我们可以使用向量的减法运算将这个力分解为多个力的合力。
假设一个力F的向量表示为F = (x, y, z)，我们需要将这个力分解为F1和F2两个力的合力。
那么这两个力的合力满足：F1 + F2 = F。
我们可以通过向量的减法运算得到合力F1 = F - F2。
通过合力的计算和分解力的计算，我们能够更好地理解和解决力学问题中的力的作用效果。
力矩力矩是力学中一个重要的概念，用来描述力对物体产生转动效果的能力。
力矩是由力和力臂两个要素共同决定的。
人教版高中数学选修二教学课件-空间向量在空间问题中的综合应用
故������������ ·������������<0,解得13<λ<1.
答案：
1 3
,1
探究一
探究二
规范解答
探究一利用空间向量求空间中两点间距离
【例1】 如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在 两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|ALeabharlann |=2,|BD|=3,求CD的长 度.
cos<
������������ ,
������
������1>=|������������������������|·|������������������������11
=-
|
22,知结论不正确.
答案：D
做一做3 如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的
对角线BD1上,记
是
两点的距离为
.
解析：A,B 两点的距离|AB|
= (1-2)2 + (-1-2)2 + (1 + 2)2 = 19.
答案： 19
做一做2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是 ()
A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1 D.向量 ������������与������������1 的夹角为60°
分析：本题中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向 量分解的方法,利用公式|a|= ������·������ 求解.
探究一
探究二
规范解答
解：因为������������ = ������������ + ������������ + ������������,所以|������������|2=������������ ·������������=(������������ + ������������ +
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课时提升作业 (二十四)空间向量运算的坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=错误！未找到引用源。
平行,则λ等于( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.-错误！未找到引用源。
D.-错误！未找到引用源。
【解析】选C.因为a∥b,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以λ=-错误！未找到引用源。
.2.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于( )A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)【解析】选B.b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).【变式训练】已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=错误！未找到引用源。
,b=错误！未找到引用源。
,则a+b等于( )A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)【解析】选 B.错误！未找到引用源。
=(-1,0,-2)=a,错误！未找到引用源。
=(-4,9,0)=b,所以a+b=(-5,9,-2).3.(2014·临沂高二检测)已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是( )A.(2,3,1)B.(1,-1,2)C.(1,2,1)D.(1,0,3)【解析】选D.错误！未找到引用源。
=x错误！未找到引用源。
+y错误！未找到引用源。
=(x+y,x+2y,x-y),对四个选项逐个检验,只有当(x+y,x+2y,x-y)=(1,0,3)时有解错误！未找到引用源。
4.(2014·杭州高二检测)已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( ) A.x=错误！未找到引用源。
,y=1 B.x=错误！未找到引用源。
,y=-4C.x=2,y=-错误！未找到引用源。
D.x=1,y=-1【解析】选B.a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)∥(2a-b),所以错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。
5.(2014·南宁高二检测)已知向量错误！未找到引用源。
=(2,-2,3),向量错误！未找到引用源。
=(x,1-y,4z),且平行四边形OACB对角线的中点坐标为错误！未找到引用源。
,则(x,y,z)=( )A.(-2,-4,-1)B.(-2,-4,1)C.(-2,4,-1)D.(2,-4,-1)【解析】选A.由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z)=2错误！未找到引用源。
,所以(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1),所以错误！未找到引用源。
【变式训练】以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】选B.连接AB1和A1B交于点O.据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的中点.由题意得A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为错误！未找到引用源。
.6.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n 的值分别为( )A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2【解析】选 A.由c=m a+n b+(4,-4,1),得c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)= (m+4,m+2n-4,m-n+1).因为c与a及b都垂直,所以得c·a= m+4+m+2n-4+m-n+1= 3m+n+1=0,c·b=2(m+2n-4)-(m-n+1)=m+5n-9=0,即m=-1,n=2.【变式训练】若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.-2【解析】选D.a+λb=(λ,1+λ,-1).由(a+λb)⊥a,知(a+λb)·a=0,所以1+λ+1=0,解得λ=-2.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·启东高二检测)与a=(2,-1,2)共线且满足a·x=-18的向量x= . 【解析】设x=(x,y,z),由题意得错误！未找到引用源。
解得x=-4,y=2,z=-4.所以x=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)8.已知A(0,2,4),B(5,1,3),在x轴上有一点P,使|错误！未找到引用源。
|=|错误！未找到引用源。
|,则P点坐标为.【解析】设P(x,0,0),则|错误！未找到引用源。
|=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
, |错误！未找到引用源。
|=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以x2+20=x2-10x+35,解得x=错误！未找到引用源。
.所以点P坐标为错误！未找到引用源。
.答案:错误！未找到引用源。
【举一反三】本题条件“在x轴上有一点P”改为“在y轴上有一点P”,结果如何?【解析】设P(0,y,0),则|错误！未找到引用源。
|=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
, |错误！未找到引用源。
|=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以y2-4y+20=y2-2y+35,解得y=-错误！未找到引用源。
.所以点P坐标为错误！未找到引用源。
.9.(2014·长春高二检测)已知a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.【解析】b-a=(1+t,1-t,t),|b-a|=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
≥错误！未找到引用源。
. 答案:错误！未找到引用源。
三、解答题(每小题10分,共20分)10.设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
的坐标.【解析】建立空间直角坐标系,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥y轴,P1P4⊥x 轴,SO在z轴上.因为|P1P2|=2,而P1,P2,P3,P4均在xOy平面上,所以P1(1,1,0),P2(-1,1,0).在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称,所以P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0).又|SP1|=2,|OP1|=错误！未找到引用源。
,所以在Rt△SOP1中,|SO|=错误！未找到引用源。
,所以S(0,0,错误！未找到引用源。
).所以错误！未找到引用源。
=(1,1,-错误！未找到引用源。
),错误！未找到引用源。
=(0,-2,0).11.(2014·福州高二检测)如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是错误！未找到引用源。
,点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求向量错误！未找到引用源。
的坐标.(2)设向量错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的夹角为θ,求cos θ的值.【解题指南】利用三角形的知识先求出点D的坐标,然后再利用向量夹角公式求解向量错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的夹角的余弦值.【解析】(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=错误！未找到引用源。
.所以DE=CD·sin30°=错误！未找到引用源。
.OE=OB-BD·cos60°=1-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以D点坐标为错误！未找到引用源。
,即向量错误！未找到引用源。
的坐标为错误！未找到引用源。
.(2)依题意:错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
=(0,-1,0),错误！未找到引用源。
=(0,1,0).所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=(0,2,0). 由于向量错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的夹角为θ,则cosθ=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。
.所以cosθ=-错误！未找到引用源。
.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·黄山高二检测)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的夹角θ的大小是( )A.60°B.120°C.30°D.150°【解析】选 B.因为错误！未找到引用源。
=(-2,-1,3),错误！未找到引用源。
=(-1,3,-2),所以cos<错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
>=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。
,又0°≤<错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
>≤180°,所以θ=<错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
>=120°.2.(2014·泰安高二检测)设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】选C.由向量加减运算法则得错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
)=错误！未找到引用源。
(3,2,1)+错误！未找到引用源。
(1,-1,5) =错误！未找到引用源。
,故|CM|=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.3.空间三点A(1,1,0),B(0,1,0),C错误！未找到引用源。
,下列向量中,与平面ABC垂直的向量是( )A.(1,0,1)B.(0,1,1)C.(1,0,-1)D.(1,1,0)【解题指南】将四个选项分别与平面上的向量求数量积,看是否为零,从而选出正确结果.【解析】选B.错误！未找到引用源。
=(-1,0,0),错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零,选项A中的向量(1,0,1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意;选项B中的向量(0,1,1)与上述向量的数量积为零,合题意;选项C中的向量(1,0,-1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意;选项D中的向量(1,1,0)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意,故选B.4.(2014·长沙高二检测)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为错误！未找到引用源。