2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程课件文新人教版
2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习课件：第九章 平面解析几何 9.3
【点拨】(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心 坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点则可求出圆的方程．因此，待定系数 法是求圆的方程的常用方法．(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆 的任一条弦的垂直平分线上”等．(3)常见圆的方程的设法： 标准方程的设法 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 与 x 轴相切 x2＋y2＝r2 (x-a)2＋(y-b)2＝a2＋b2 (x-a)2＋y2＝r2 x2＋(y-b)2＝r2 一般方程的设法 x2＋y2-r2＝0 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 x2＋y2＋Dx＋F＝0 x2＋y2＋Ey＋F＝0 1 x2＋y2＋Dx＋Ey＋ 4 D2＝0 1 x2＋y2＋Dx＋Ey＋ 4 E2＝0
解：圆心(-1，-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1，-1) 到直线 3x＋4y-2＝0 的距离，根据点到直线的距离公式得 d |-3-4-2| 9 4 ＝ ＝ ，故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1＝ .故 5 5 5 选 C.
(2014·陕西)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1， 0) 关 于 直 线 y ＝ x 对 称 ， 则 圆 C 的 标 准 方 程 为 ____________．
方程 x2＋y2＋4mx-2y＋5m＝0 表示圆的充要条件的是( 1 1 A. <m<1 B．m< 或 m>1 4 4 1 C．m< D．m>1 4
)
1 解：由(4m) ＋4-4×5m>0，得 m< 或 m>1.故选 B. 4
2
(2015·浙江嘉兴测试)若 P(2，-1)为圆 M：(x-1)2＋y2 ＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为( A．2x＋y-3＝0 C．x＋y-1＝0 B．x-y-3＝0 D．2x-y-5＝0 )
高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文新人教B版
答案
-5知识梳理 双基自测 自测点评
1
2 3 4 5
2.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为 ( )
A. C.
5 2 2 25 ������+y = 4 16 5 2 2 25 ������ + +y = 4 16
B.x 4 16 5 2 25 ������ + = 4 16
关闭
(x-2)2+(y-1)2=4
解析 答案
-9知识梳理 双基自测 自测点评
1.求圆的标准方程,一定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素. 2.配方法在圆的一般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟 练掌握. 3.求轨迹方程时,一定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解.
-10考点1 考点2 考点3
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)已知圆的方程为 x2+y2-2y=0,过点 A(1,2)作该圆的切线只有 一条. ( ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为 t 的一 个圆. ( ) (3)方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆心为 - ,-������ ,半径为
-11考点1 考点2 考点3
解析: (1)(方法一)设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列 方程即可. |������-(-������)| |������-(-������)-4| 设圆心坐标为(a,-a),则 = , 即|a|=|a-2|,解得a=1, 2 故圆心坐标为(1,-1),半径 r= = √2, √2 故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这 4 d= 两条平行线之间的距离 √2=2√2 ;圆心是直线x+y=0被这两条平 行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0), 与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所 求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件
则 ≤3,解得
√2
1-3√2≤u≤1+3√2,所以 x-y 的最大值为 1+3√2.
= 2 + 3cos,
(方法 2)由 x +y -4x-2y-4=0,得(x-2) +(y-1) =9,令
0≤θ<2π,
= 1 + 3sin,
2
2
所以 x-y=1+3cos θ-3sin
1+3√2.故选 C.
x2+y2=16.故选 B.
(2)(方法 1)
设 P(x,y).
∵圆心 C(1,1),点 P 是过 A 的弦的中点,∴ ⊥ .
又=(2-x,3-y), =(1-x,1-y),
(-8)2 + 2 ,化简整理得
∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.
∴P 点的轨迹方程为
解析 由题意可设圆心坐标为(a,a),则圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=9,
且|a|=r=3,得a=±3.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9.
增素能 精准突破
考点一
求圆的方程
典例突破
例1.(1)以直线ax-y-3-a=0(a∈R)过的定点为圆心,2为半径的圆的方程是
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=16.
故选D.
= √2,解得 a=6 或 a=2,
方法总结求圆的方程的两种方法
对点训练1(1)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
18版高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程理
第九章解析几何 9.3 圆的方程理圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √)(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |， 即a ＋2＋1＝a －2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝＋2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋2＋y －2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3，∴k max＝3，k min＝－ 3.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1. 6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3.所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解之得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________． 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________． 答案π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －2＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7， 故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝＋2＋－2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第九章 平面解析几何 9-3
Dx0＋Ey0＋F＞0.(3)√ (4)× (5)× (6)√
A．(2，3) C．(－2，－3)
B．(－2，3) D．(2，－3)
【解析】 圆 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0
【答案】 D
2
2
D E 的圆心为－ 2 ，－ 2 ，
∴圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心为(2，－3)．
(3)点在圆内：_______________________．
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝
§9.3 圆的方程 [考纲要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程．
1．圆的定义 在平面内，到_____的距离等于_____的点的______叫圆．
2．确定一个圆最基本的要素是_____和______．
3．圆的标准方程
定点 定长 半径 集合
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中______为圆心，__为半径． 圆心
方法二 令 x＝0，得 y＝ 2±1，所以点 B(0， 2＋1)．又点 C(1， 2)，设过点 B 的切线方程为 y－( 2＋1)＝kx，即 kx－y＋ ( 2＋1)＝0.由题意，圆心 C(1， 2)到直线 kx－ y＋( 2 ＋1)＝0 |k－ 2＋ 2＋1| 的距离 d＝ ＝r＝ 2，解得 k＝1.故切线方程为 x 2 k ＋1 －y＋( 2＋1)＝0.令 y＝0，得切线在 x 轴上的截距为－ 2－1.
2018版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文新人教A版
又令y=0,得x2+Dx+F=0.③ 设x1,x2是方程③的两根, 由|x1-x2|=6可得D2-4F=36,④ 由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
-13考点1 考点2 考点3
解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆 的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定 圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上; ②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2) 代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.
(x-2)2+(y-1)2=4
关闭
答案
-8.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐 标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为 .
关闭
设C(x,y),根据在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即 x2+y2=2. 考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).
-10考点1 考点2 考点3
考点 1
求圆的方程
例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 (2)经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 . 思考求圆的方程有哪些常见方法?
2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件理新人教A版
解析：线段 AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的两端点分别为(2,0)， (0,2)， 1 所以圆心为(1,1)，圆的半径为2 22＋22＝ 2，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
圆的一般方程：注意表示圆的条件． (1) 方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取
解析：根据圆的一般方程的圆心公式和半径公式，可得圆 的圆心坐标为(a，－2a)，半径为 5|a |.
(2)[教材习题改编]以线段 AB：x＋ y－2 ＝0(0≤x ≤2)为直径
2 2 ( x － 1) ＋ ( y － 1) ＝2 的圆的方程为__________________________ ．
表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．
y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， x y 所以设 ＝k，即 y＝kx. x
当直线 y＝kx 与圆相切时(如图)， 斜率 k 取最大值或最小值， |2 k－0| 此时 ＝ 3， 2 k ＋1 解得 k＝± 3. y 所以 的最大值为 3，最小值为－ 3. x
＝ ①(x0－a)2＋(y0－b)2________ r2⇔点在圆上； > ②(x0－a)2＋(y0－b)2________ r2⇔点在圆外； < ③(x0－a)2＋(y0－b)2________ r2⇔点在圆内．
(1)[教材习题改编]圆 x2＋y2－2ax＋4ay＝0(a≠0)的圆心坐标
(a，－2a) 5|a | 是_____________ ，半径 r＝_____________.
解法二： 因为圆 C 的圆心在直线 x－2y＝0 上， 设圆心 C(2b， b)， 所以圆 C 的方程为(x－2b)2＋(y－b)2＝r2， 因为圆 C 与 y 轴正半轴相切，则 r＝2b>0.① 又圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3， 由勾股定理，得圆心 C 到 x 轴的距离为 联立①②，得 b＝1，r＝2. 因此圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. r2－b2＝ 3.②
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课件
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3．已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C
上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为455，则圆 C 的方程为 ________． 解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a>0，
所以圆心到直线
2x－y＝0
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角度一 借助几何性质求最值 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求xy的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值． 【解】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，
3为半径的圆． (1)xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设xy＝k，即 y＝kx.
条件：_D_2_＋__E__2－__4__F_>_0_
一般方 程
x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0
圆心：__－__D_2_，__－__E2__ ____
半径 r＝__12___D_2_＋__E_2_－__4_F___
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2.点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系： (1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2_＞__r2. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2_＝__r2. (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2_＜__r2.
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(2019·台州质检)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的
充要条件是( )
[推荐学习]2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程试题理新人教版
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2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2.(2017·漳州模拟)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C.(－2，0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.答案 D4.(2017·淄博调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，② 联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________. 解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254. 答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547.(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________.解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大.答案 (0，－1)8.已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案 x ＋y －1＝0三、解答题9.已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直.三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 所以点B 的坐标是(1，－1).线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，又|AB |＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3. 故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94.10.在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ). 由|AB ||AC |＝m ，得（x ＋1）2＋y 2＝m （x －1）2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.① 当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴.当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2（m 2－1）2.所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m |m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点). 能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( ) A.1 B.5 C.4 2D.3＋2 2解析 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立. ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.答案 D12.已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________.解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆. ∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝513.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74. 答案 7414.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围. 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)， 且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221].。
高考数学大一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文新人教A版
项目一概论一、填空题1.汽车制造经典的四大工艺，即___________、___________、___________和___________。
2.冲压工艺是在常温条件下利用___________和___________对板料施压加工，使其产生塑性变形，以获得形状、尺寸和性能均符合设计要求的结构件或覆盖件。
3.汽车总装工艺包括___________、___________、___________和___________等多个生产环节。
4.表面强化处理有___________和___________两种不同的类型。
5.按照工艺特点，汽车总成部件可分为___________、___________、___________、___________和___________。
二、判断题1. 我国汽车产业处在精益生产的特殊时代。
（）2. 涂装工艺输送系统多采用空中悬挂的机械化输送方式。
（）3. 目前总装工艺生产线采用100％采用柔性生产方式。
（）4. 毛坯制造中的铸、锻、焊三大工艺在机械制造行业统称为金属材料的热加工。
（）5.汽车上只有部分构件隔热隔声件都采用复合材料。
（）6. 汽车产业在100多年的发展历程中，已经历了手工生产、大量生产、精益生产和现代生产四个阶段。
（）三、简答题1.精益生产特点2.我国汽车的生产模式3.总成部件制造工艺4.少无切削加工特点5.描述汽车产业结构的演变与发展6.描述现代汽车生产方式一、填空题1.冷冲压是利用安装在压力机上的___________对材料___________，使其产生___________，从而获得所需零件的一种加工方法。
2.拉深时变形程度以___________表示，其值越小，变形程度越___________。
3. 冷冲压模具是实现冷冲压工艺的一种___________。
4. 落料和冲孔属于___________，拉深和弯曲属于___________。
5. 冲裁的变形过程分为___________、___________、___________三个阶段。
高考数学一轮复习第9章平面解析几何第3讲圆的方程课件文
12/11/2021
第四页，共四十一页。
2．几种特殊圆的标准方程(r>0)
特殊条件
圆的方程
圆心在坐标原点
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
圆心在 y 轴上
x2＋(y－b)2＝r2
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 (a，b 不同时为 0)
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方程为________．
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第十三页，共四十一页。
【解析】 (1)直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点坐标满足 y＝0， x－y＋1＝0， 即(－1，0)． 根据题意，圆心为(－1，0)． 因为圆与直线 x＋y＋3＝0 相切，所以半径的长度为圆心到切 线的距离，即 r＝d＝|－11＋2＋0＋123|＝ 2， 则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2．故选 A．
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一
方
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
般
程
＝0
式
充要条件： _____D__2＋__E__2－__4_F__>_0_____
圆心坐标：－D2 ，－E2 半径 r＝12 D2＋E2－4F
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[特别提醒] 在圆的一般方程中：当 D2＋E2－4F＝0 时，方 程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示一个点(－D2 ，－E2)；当 D2＋ E2－4F<0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 没有意义，不表 示任何图形．
(2)①形如 μ＝xy－－ba形式的最值问题，可转化为动直线斜率的 最值问题． ②形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的 最值问题． ③形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定 点的距离的平方的最值问题．
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程课件文新人教版
方
充要条件12：D2＋E2－4F
程 一 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
知识拓展
1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程. 2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
例2 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.求x＋y的最大值和最小值.
解答
几何画板展示
引申探究
1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值. 解答
几何画板展示
yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，
y x
的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大
值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
将 x2＋y2＋mx－2y＋3＝0 化为圆的标准方程得(x＋m2 )2＋(y－1)2＝m42＋1－3. 由其表示圆可得m42－2>0，解得 m<－2 2或 m>2 2.
3.(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 答案 解析 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2.(2016·昆明一模)方程|x|－1＝ 1－y－12 所表示的曲线是 答案 解析
A.一个圆
B.两个圆
C.半个圆
D.两个半√圆
由题意得|x|x|－|－11≥2＋0，y－12＝1，
高考数学一轮复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件文
,半径r=⑩
D2 E2 4F
2
.
5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
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6.点与圆的位置关系
2.确定一个圆最基本的要素是④ 圆心 和⑤ 半径 .
3.圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中⑥ (a,b) 为圆心,⑦ r 为半径.
4.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是⑧ D2+E2-4F>0 ,其中圆心为
⑨
D 2
,
E 2
点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0)) (1)点在圆上: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; (2)点在圆外: (x0-a)2(x0-a)2+(y0-b)2<r2 .
栏目索引
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线的距离,即r=d= | 11| = 2 .
2
∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=2.故选A.
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4.(2016北京石景山期末)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x
对称,则圆C的标准方程为 ( C )
A.(x-1)2+y2=1 B.x2+(y+1)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+y2=1
【步步高】2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习文档讲义：第九章9.3圆的方程
圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)1．(教材改编)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足． 2．方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得(x ＋m 2)2＋(y －1)2＝m 24＋1－3. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一求圆的方程例1(1)(2016·天津)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·株洲一模)圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝5 D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 答案 D解析 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 故⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －7＝0，a 2＋(4＋b )2＝r 2，a 2＋(2＋b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，半径r ＝22＋12＝5，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON 为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．19．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧ 1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y ＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆答案 D 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1， 或⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．3．(2017·福州质检)设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0， 即(0＋a )2＋(0＋1)2＞2a ，所以原点在圆外．4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 5．已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为 ( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x ＋1)2＋y 2＝4C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4 答案 B解析 由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ， 解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，r ＝2， 所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.6．(2016·汉中模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知圆心为(1，－3)，且10－5a >0，即a <2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴点(1，－3)在直线上，则b ＝－2.∴a －b ＝2＋a <4.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．(2016·深圳模拟)已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是________________．答案 2＋52，2－52解析 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1， 又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52. 11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2.所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教师用书理新人教版
第九章平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书理新人教版圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √)(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |， 即a ＋2＋1＝a －2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝＋2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋2＋y －2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3，∴k max＝3，k min＝－ 3.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1. 6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3.所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解之得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________． 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________． 答案π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －2＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7， 故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝＋2＋－2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课件文
平面解析几何
第3讲
圆的方程
1．圆的方程 标准 (x－a)2＋(y－ 方程 b)2＝r2(r>0)
(a，b) 圆心_______ r 半径为_______ D2＋E2－4F>0 条件：______________
一般 方程
x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0
D E － ，－ 2 2 圆心：____________
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( (2)方程 x2＋y2＝a2 表示半径为 a 的圆．( (3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆．( ) ) )
(4)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
【解】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2， 0)为圆心， 3 为半径的圆． y (1)x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， y 所以设x＝k，即 y＝kx.
当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得最大值或最小值，此时 |2k－0| ＝ 3， 2 k ＋1 解得 k＝± 3(如图所示)． y 所以x的最大值为 3，最小值为－ 3.
1 2 2 r ＝ D ＋ E －4F 半径：_________________ 2
2. 点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系．
＞ r2. (1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______
＝ r2. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______ ＜ r2. (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______
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4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的 方程为_(x_－__2_)_2_＋__y_2＝__1_0_. 答案 解析 设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|，
(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆1x62 ＋y42＝1 的三个顶点，且圆心在
x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___x_－__32_2_＋__y_2＝__2_45______.
答案 解析
由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的 垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)， 令 y＝0，解得 x＝32，圆心为32，0，半径为52.
将 x2＋y2＋mx－2y＋3＝0 化为圆的标准方程得(x＋m2 )2＋(y－1)2＝m42＋1－3. 由其表示圆可得m42－2>0，解得 m<－2 2或 m>2 2.
3.(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 答案 解析 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
思维升华
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出 方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已 知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.
在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为455，则圆 C 的方程为 _(_x_－__2_)_2＋__y_2_＝__9___. 答案 解析 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0， 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝2a5＝455， 解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
由已知方程表示圆，则a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
题型分类 深度剖析
题型一 求圆的方程
例 1 (1)(2016·天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)
即 a＋12＋1＝ a－12＋9，
解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝ 2＋12＋1＝ 10， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
5.(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆， 则圆心坐标是__(－__2_，__－__4_)_，半径是__5___. 答案 解析
例2 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.求x＋y的最大值和最小值.
解答
几何画板展示
பைடு நூலகம்
引申探究
1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值. 解答
几何画板展示
yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，
y x
的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大
(1)点在圆上： (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ； (2)点在圆外： (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 ； (3)点在圆内： (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 .
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x －x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ ) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0， B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ ) (4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.( × ) (5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x 20＋y20 ＋Dx0＋Ey0 ＋F＞0.( √ )
§9.3 圆的方程
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
圆的定义与方程
平面内到定点 的距离等定于长 定义
做圆
的点的轨迹叫
(a，b)
标 (x－a)2＋(y－b)2＝
r
圆心__D_2＋_E_2_－_4_F>0
准
r2(r>0)
半径(为－D_2 ，__－E2 )
跟踪训练1 (2016·株洲一模)圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交 于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的标准方程为 答案 解析 A.(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 B.(x－2)2＋(y－3)2＝5 C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
题型二 与圆有关的最值问题
考点自测
1.(教材改编)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是 答案 解析
A.x＋y－1＝0
B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0
D.x－y＋3＝0
圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C满足.
2.方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的范围是 答案 解析
A.(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) B.(－∞，－2 2)∪(2 2，＋∞) C.(－∞，－ 3)∪( 3，＋∞) D.(－∞，－2 3)∪(2 3，＋∞)
方
充要条件12：D2＋E2－4F
程 一 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
知识拓展
1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程. 2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)