不等关系与不等式基础+复习+习题+练习)

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北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(答案解析)

一、选择题1．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．3172⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞2．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（） A ．[]4,3- B ．[]2,6- C ．[]6,2- D ．[]3,4-3．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（） A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定4．下列命题中，正确的是（） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若22a bc c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd >5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤6．已知x y z >>，2x y z ++=，则（）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >7．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >9．下列命题中错误．．的是（） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22ac bc >10．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( ) A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ11．若0a b -B ．1a b< C ．a b -<-D ．11a b< 12．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________14．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈，()2f x ≥，则a 的取值范围是__________．15．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 16．已知221:12:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤>，，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为_________．17．若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是______． 18．6722519．设函数|1||1|()2x x f x +--=，则使()22f x ≥x 取值范围是______20．设函数2()||(,)f x x a x b a b R =+++∈，当[2,2]x ∈-时，记()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______．三、解答题21．已知0a >，0b >，23a b +=. （1）求 22a b +的取值范围；（2）求证：3381416a b ab +≤. 22．已知函数()|21||23|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知集合{}413,11A x x x B x x ⎧⎫=+-≤=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式230x ax b ++<的解集为集合B ，求实数,a b 的值. 24．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围.25．设x ∈R ，解不等式211x x +->. 26．设函数3211()132f x ax bx cx =+++，f x 为()f x 的导函数，(1)2af '=-，322a c b >>.（1）用a ，b 表示c ，并证明：当0a >时，334b a -<<-；（2）若12a =-，2b =，32c ，求证：当1x ≥时，()ln x f x '≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<，当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=，所以11x x +--的最小值为-2，所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.2．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围．【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立，即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．3．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.4．C解析：C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．B解析：B 【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥. 令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．C解析：C 【分析】由放缩法可得出0x >，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】x y z >>，23x y z x ∴=++<，可得203x >>.取0y =，3x =，1z =-，则A 、D 选项中的不等式不成立；取0z =，32x =，12y =，则B 选项中的不等式不成立； 0x且y z >，由不等式的基本性质得xy xz >，C 选项中的不等式成立.故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->>对于A 中，因为110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的；对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确；对于C 中，因为幂函数()23f x x =在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确；对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确；故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.10．D解析：D 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案．【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <，又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．11．A解析：A 【解析】【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断．【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立；取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确； 21a b -=-=，，∴a b --＞，∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确．故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．12．D解析：D 【分析】不妨令，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确；，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题二、填空题13．【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解解析：x c -【分析】构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质．【详解】函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数，若a c b c +>+，则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-，即a b >．故答案为：x c - 【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．14．【解析】对只需的最小值大于等于当时当时当时当时只需解得；当时当时当时当时只需解得故答案为解析：(][),13,-∞-+∞【解析】对(),2x R f x ∀∈≥，∴只需()f x 的最小值大于等于2，当1a >时， ∴当1x ≤时，()211f x x a a =-++≥-，当1x a <≤时，()1f x a =-，当x a >时，()211f x x a a =--≥-，∴只需12a -≥，解得3a ≥；当1a ≤时，当x a ≤时，()211f x x a a =-++≥-，当1a x <≤时，()1f x a =-，当1x >时，()211f x x a a =--≥-，∴只需12a -≥，解得1a ≤-，(][),13,a ∴∈-∞-⋃+∞，故答案为(][),13,-∞-+∞.15．【解析】结合自变量的范围若可得：不等式明显成立；若由不等式可得解得：综上可得的取值范围是解析：4a ≠【解析】结合自变量的范围，若02x ≤<，可得：20x -<，不等式明显成立；若2x =，由不等式可得40a ->，解得：4a ≠，综上可得a 的取值范围是4a ≠.16．【解析】试题分析：由得由于解得是的必要而不充分条件转化为是的充分而不必要条件则是的真子集故或所以考点：1充分必要条件；2不等式【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题难度稍大分别解得命题和命解析：9m ≥【解析】试题分析：由22:210q x x m -+-≤，得{|11}Q x m x m =-≤≤+，由于1:123x p --≤，解得{|210}P x x =-≤≤， p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件转化为p 是q 的充分而不必要条件，则P 是Q 的真子集，故0{12110m m m >-<-+≥或0{12110m m m >-≤-+>，所以9m ≥．考点：1充分必要条件；2不等式．【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题，难度稍大．分别解得命题p 和命题q 中x 的解集,P Q ．根据互为逆否命题的两个命题同真假可得p 是q 的充分而不必要条件，分析可得P 是Q 的真子集，画数轴可得关于m 的不等式，列不等式时注意两个端点不能同时取等号，否则容易出错．17．2﹣log23【解析】试题分析：由基本不等式得2a+2b≥可求出2a+b 的范围再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c2c 可用2a+b 表达利用不等式的性质求范围即可解：由基本解析：2﹣log 23 【解析】试题分析：由基本不等式得2a +2b ≥，可求出2a+b 的范围，再由2a +2b +2c =2a+b+c =2a+b 2c =2a+b +2c ，2c 可用2a+b 表达，利用不等式的性质求范围即可．解：由基本不等式得2a +2b ≥，即2a+b ≥，所以2a+b ≥4，令t=2a+b ，由2a +2b +2c =2a+b+c 可得2a+b +2c =2a+b 2c ，所以2c =因为t≥4，所以，即，所以故答案为2﹣log 23点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．18．【详解】试题分析：要比较的大小只须比较要比较两数的大小只须比较的大小显然从而考点：1数或式的大小比较；2分析法解析：>【详解】672252(67)13242=+、2(225)1341013240=+=+，要比较13242+13240+42,404240>67>225考点：1．数或式的大小比较；2．分析法．19．【分析】先根据指数函数单调性化简不等式再根据绝对值定义求解不等式【详解】即或或所以或或即【点睛】本题考查指数函数单调性以及利用绝对值定义求解不等式考查基本分析求解能力属基础题解析：3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先根据指数函数单调性化简不等式，再根据绝对值定义求解不等式【详解】1132112x x x x +--≥+--≥ 即1{3112x x x ≥+-+≥或1{3112x x x ≤---+-≥或11{3112x x x -≤≤++-≥ 所以1x ≥或φ或314x ≤≤，即34x ≥ 【点睛】本题考查指数函数单调性以及利用绝对值定义求解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【分析】由题意可得在的最大值为中之一可得四个不等式相加再由绝对值不等式的性质即可得到所求最小值【详解】去掉绝对值可得在的最大值为中之一由题意可得上面四个式子相加可得即有可得的最小值为故答案为【点睛】解析：258 【分析】由题意可得()f x 在[2,2]-的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭中之一，可得四个不等式，相加，再由绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．【详解】去掉绝对值，可得()f x 在[2,2]-的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭中之一，由题意可得()(),242M a b f a b ≥-=++-+， (),242M a b f a b ≥=+++（），()1,211||42M a b f a b ⎛⎫≥=+++ ⎪⎝⎭， ()11,21||42M a b f a b ⎛⎫≥-=++-+ ⎪⎝⎭，上面四个式子相加可得()114,2421|22|||42M a b a a b b b b ⎛⎫⎛⎫≥++++-+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112524221||42||22≥-++++=，即有()25,8M a b ≥，可得(,)M a b 的最小值为258．故答案为258．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用函数取最值的情况，以及绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题21．（1）9,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）证明见解析【分析】（1）由23a b +=和0b >求出b 的范围，用b 表示a ，将22a b +转化为269555b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再根据b 的范围即可求出22a b +的取值范围；（2）对23a b +=，利用基本不等式求出ab 的范围，再将334a b ab +转化为28194168ab ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用ab 的范围即可证明不等式. 【详解】（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<∴222222699(32)51295555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95，又22696955095555b ⎛⎫⎛⎫-+<⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22995a b ≤+<，即229,95a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭；（2）0a >，0b >，23a b +=，3∴≥908ab <≤，当且仅当322a b ==时，取等号，()3322244(2)4a b ab ab a b ab a b ab ⎡⎤∴+=+=+-⎣⎦22819(94)94()4168ab ab ab ab ab ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116， ∴3381416a b ab +≤. 【点睛】本题主要考查解不等式和不等式的证明，利用了基本不等式和一元二次函数的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.22．（1）{}|12x x -；（2）()()1,03,4-【分析】（1）通过对自变量x 的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式()6f x ≤的解集；（2）不等式22()(3)2f x log a a -->恒成立⇔22(3)2()min log a a f x -+<恒成立，利用绝对值不等式的性质易求()4min f x =，从而解不等式22(3)2log a a -<即可．【详解】解：（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-⎪⎨⎪+--⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩，解得：322x <或1322x -或112x -<-， ∴不等式()6f x 的解集为{}|12x x -．（2）不等式22()(3)2f x log a a -->恒成立，22(3)2()|21||23|log a a f x x x ∴-+<=++-恒成立，∴22(3)2()min log a a f x -+<恒成立，|21||23||(21)(23)|4x x x x ++-+--=，()f x ∴的最小值为4，∴22(3)24log a a -+<，即2230340a a a a ⎧->⎨--<⎩，解得：10a -<<或34a <<．∴实数a 的取值范围为()()1,03,4-．【点睛】本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查函数的单调性与解不等式组的能力，属于中档题．23．（1）{}|12x x -<≤；（2）6,9a b =-=-.【分析】(1)分别求出集合A B 、，再求A B 即可； (2) 1-和3是方程230x ax b ++=的两根，由根与系数的关系可求实数,a b 的值. 【详解】解：（1）当30,3x x -≥≤时，13,313x x x x x -≤-∴-≤-≤-，2x ∴≤，当30,3x x -<>时，13x x -≤-的解集是空集，所以{}2A x x =≤， 4310,1311x x x x --=<∴-<<++，即{}13B x x =-<< {}{}{}21312A B x x x x x x ⋂=≤⋂-<<=-<≤.（2）不等式230x ax b ++<的解集为集合{}13x x -<<，则1-和3是方程230x ax b ++=的两根，所以(13)36a =--+⨯=-，(1)339b =-⨯⨯=-.【点睛】考查绝对值不等式和分式不等式的解法，一元二次方程的根与系数的关系，中档题. 24．（1）{}05x x ≤≤；（2）[]2,1-.【分析】（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式性质，求出min ()f x ，转化为解关于m 的一元二次不等式，即可求得结论.【详解】（1）当3x ≥时，不等式()5f x ≤化为255x -≤，得5x ≤，即35x ≤≤；当23x <<时，不等式()5f x ≤化为15≤成立，即23x <<；当2x ≤时，不等式()5f x ≤化为525x -≤，得0x ≥，即02x ≤≤；综上所述，所求不等式的解集为{}05x x ≤≤；（2）()23231f x x x x x =-+-≥--+=，若()21f x m m >+-恒成立，则211m m >+-，解得：21m -≤≤，所以实数m 的取值范围[]2,1-.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想，考查学生的运算求解能力.25．{|0x x <或}32x >【分析】利用零点分区间法去掉绝对值符号，分组讨论求并集，即可求得不等式的解集【详解】当0x <时，原不等式可化为121x x -+->，解得0x <：当102x ≤≤时，原不等式可化为121x x +->，即0x <，无解；当12x >时，原不等式可化为211x x +->，解得23x > 综上，原不等式的解集为{|0x x <或}32x >. 【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法问题. 含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解26．（1）32c a b =--；证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后，利用(1)2a f '=-可得32c a b =--，将其代入到322a c b >>，利用不等式的性质可得334b a -<<-；（2）构造函数213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥，求导得单调性，利用单调性可证不等式.【详解】（1）由题得2()f x ax bx c '=++ ∵(1)2a f '=-，∴2a a b c ++=- ∴32c a b =--，∵322a c b >> ∴3322a a b b >--> ∴334b a -<<- （2）∵12a =-，2b =，32c ∴213()222f x x x '=-+- 令213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥ 求导可得21(1)()2x g x x x x -'=+-= ∴()0g x '≥∴()g x 在区间[)1,+∞上单调递增 ∴()()10g x g ≥= ∴()ln x f x '≥成立【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.。

高中不等式的基本知识点和练习题(供参考)

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形：有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S . 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c R ，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(3)

一、选择题1．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 2．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞3．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+4．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >5．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 6．下列命题中错误．．的是（） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >，则22ac bc > 7．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（）A ．ac ＞bcB ．ac ＜bcC ． 22ac bc >D ． 22ac bc8．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y->D ．ln x +ln y >09．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-10．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（） A ．1a b< B ．1133a b<C a b a b <-．2a ab <二、填空题13．已知实数a ，b ，c 满足a ＞c ﹣2且1333abc++<，则333a bc-的取值范围是_______．14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．设5x >，45P x x --23Q x x --，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.20．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->；（2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ；（3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜．（224．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 25．比较log (1) n n +与()*(1)log (2),2n n n N n ++∈≥大小，并证明.26．（1）若0a >，0b >，求证：11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭；（2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ，因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ，因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+，所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。

不等关系练习含答案

不等关系一、选择题1．(2014·四川理，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．ac>bdB．ac<bdC．ad>bcD．ad<bc[答案] D[解析] 本题考查不等式的性质，ac－bd＝ad－bccd，cd>0，而ad－bc的符号不能确定，所以选项A、B不一定成立.ad－bc＝ac－bddc，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd，所以选项D成立．2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系为( ) A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>aC．－a>a2>a>－a2D．a2>－a>a>－a2[答案] B[解析] 因为a2＋a<0，所以a2<－a，a<－a2，又由于a≠0，∴－a2<a2，即a<－a2<a2<－A．故选B．3．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A．b－a>0 B．a3＋b3<0C．a2－b2<0 D．b＋a>0[答案] D[解析] 利用赋值法：令a＝1，b＝0排除A，B，C，选D．4．若a>b>c，a＋2b＋3c＝0，则( )A．ab>ac B．ac>bcC．ab>bc D．a|b|>c|b|[答案] A[解析] ∵a>b>c且a＋2b＋3c＝0，∴a>0，c<0.又∵b>c且a>0，∴ab>aC．选A．5．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是( )A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1[答案] A[解析] 由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A．6．如果a＞0，且a≠1，M＝log a(a3＋1)，N＝log a(a2＋1)，那么( ) A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．M、N的大小无法确定[答案] A[解析] 当a＞1时a3＋1＞a2＋1，y＝log a x单增，∴loga(a3＋1)＞log a(a2＋1)．当0＜a＜1时a3＋1＜a2＋1，y＝log a x单减．∴log a(a3＋1)＞log a(a2＋1)，或对a取值检验．选A．二、填空题7．如果a>b，那么下列不等式：①a3>b3；②1a<1b；③3a>3b；④lg a>lg B．其中恒成立的是________．[答案] ①③[解析] ①a3－b3＝(a－b)(a2＋b2＋ab)＝(a－b)[(a＋b2)2＋34b2]>0；③∵y＝3x是增函数，a>b，∴3a>3b当a>0，b<0时，②④不成立．8．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m、n的大小关系是________．[答案] m≥n[解析] m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解析] 设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎨⎧300x ＋150y ≥2 000250 x ＋100 y ≥1 500x ≥0y ≥0，∴⎩⎨⎧6x ＋3y ≥405x ＋2y ≥30x ≥0y ≥0.10．(1)已知a >b ，e >f ，c >0.求证：f －ac <e －bC ． (2)若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. [证明] (1)∵a >b ，c >0，∴ac >bc ，∴－ac <－bc ，∵f <e ，∴f －ac <e －bC ． (2)∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，又∵bd >0，∴a b ≤cd， ∴a b ＋1≤c d＋1， ∴a ＋b b ≤c ＋dd.。

高中不等式基本知识点和练习题(含答案)

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：a b b a <⇔>ca cb b a >⇒>>,(3)加法法则：；(同向可加)c b c a b a +>+⇒>d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：； bc ac c b a >⇒>>0,bcac c b a <⇒<>0,(同向同正可乘)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则： (6)乘方法则：b a ab b a 110,<⇒>>)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

第28课不等关系与不等式(提分宝典)

第28课不等关系与不等式1.日常生活中的不等关系(1)(2017北京，5分)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (ⅰ)男学生人数多于女学生人数； (ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为； ②该小组人数的最小值为 . 答案：①6 ②12 解析：设男学生人数，女学生人数，教师人数分别为a ，b ，c ，则2c >a >b >c ，a ，b ，c ∈N *.①若c ＝4，则2c ＝8，∴8>a >b >4，当a ＝7时，b ＝6或5；当a ＝6时，b ＝5.∴b max ＝6.②∵2c >a >b >c ，a ，b ，c ∈N *，∴c 与2c 之间至少有两个整数，∴2c －c ≥3，∴c ≥3，∴c min ＝3.当c ＝3时，有6>a >b >3，此时a ＝5，b ＝4，∴该小组人数的最小值为a ＋b ＋c ＝12.2.不等式的性质及其应用a.利用不等式的性质判断不等关系 (2)(2021改编，5分)已知实数a ，b ，c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的有 .①a 2c >b 2c ；②a ＋c ab 3；④c b >c a ；⑤a ＋1b >b ＋1a ；⑥b a >b ＋1a ＋1；⑦ 2a ＋b a ＋2b <a b ；⑧b c <ac ；⑨b a －c >a b －c；⑩3c a <3c b .答案：③⑤⑦解析：①不成立，∵a >b >0，∴a 2>b 2，又∵c <0，∴a 2c b ＋c ；③成立，∵a >b >0，∴a 2>b 2，ab >0，∴a 2·ab >b 2·ab ，即a 3b >ab 3；④不成立，∵a >b >0，∴1b >1a ，又∵c <0，∴c b <ca ；⑤成立，∵a >b >0，∴1b >1a ，∴a ＋1b >b ＋1b >b ＋1a；⑥不成立，b a ＝b （a ＋1）a （a ＋1）＝ab ＋b a （a ＋1），b ＋1a ＋1＝a （b ＋1）a （a ＋1）＝ab ＋a a （a ＋1）， ∵a >b >0，∴ab＋a >ab ＋b >0，a (a ＋1)>0，∴ab ＋b a （a ＋1）<ab ＋a a （a ＋1），即b a b >0，∴0b >0，∴0<2a ＋b <3a ，a ＋2b >3b >0，∴0<1a ＋2b <13b ，∴2a ＋b a ＋2b <3a 3b ＝a b；⑧不成立，∵c <0，∴1c <0.又∵a >b >0，∴b c >ac；⑨不成立，∵c <0，∴－c >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －c >0， ∴0<1a －c <1b －c ，∴b a －c <ab －c；⑩不成立，∵a >b >0，∴1a <1b .又∵c <0，∴c a >cb ，∴3c a >3c b.b.作差法比较两数(式)的大小(3)(2018 安徽模拟，8分)若x ≥1，y ≥1，比较代数式x ＋y ＋1xy ，1x ＋1y＋xy 的大小.答案：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy解：因为x ≥1，y ≥1，所以xy ≥1，要比较x ＋y ＋1xy ，1x ＋1y＋xy 的大小，只需比较xy (x＋y )＋1，y ＋x ＋(xy )2的大小即可.(2分)作差比较xy (x ＋y )＋1，y ＋x ＋(xy )2的大小. y ＋x ＋(xy )2－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy －1)(xy ＋1)－(xy －1)(x ＋y ) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1).(6分)因为x ≥1，y ≥1，xy ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，所以xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2，即x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(8分)c.作商法比较两数(式)的大小(4)(经典题，8分)设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小. 答案：a a b b >a b b a解：a a b ba b ba ＝a a -b ·b b -a ＝⎝⎛⎭⎫a b a -b ，(2分) 当a >b >0时，a b>1，a －b >0，则⎝⎛⎭⎫a b a -b >1，于是a a b b >a b b a；(5分) 当b >a >0时，0<a b<1，a －b <0，则⎝⎛⎭⎫a b a -b >1，于是a a b b >a b b a. 故当a >0，b >0，且a ≠b 时，a a b b >a b b a .(8分)d.特值法比较大小(5)(2019全国Ⅱ，5分)若a >b ，则( ) A.ln(a －b )>0 B.3a <3b C.a 3－b 3>0 D.|a |>|b | 答案：C解析：(法一)A 选项，只有当a －b >1时，才有ln(a －b )>0，故A 错误； B 选项，因为函数y ＝3x 是单调递增函数，且a >b ，所以3a >3b ，故B 错误； C 选项，因为函数y ＝x 3是单调递增函数，且a >b ，所以a 3>b 3，故C 正确； D 选项，当b <a ≤0时，有|a |<|b |，故D 错误. 故选C.(法二)因为a >b ，不妨取a ＝0，b ＝－1. A 选项，ln(a －b )＝ln1＝0，故A 错误；B 选项，3a ＝30＝1，3b ＝3-1＝13，3a >3b ，故B 错误；C 选项，a 3＝03＝0，b 3＝(－1)3＝－1，a 3－b 3＝0－(－1)＝1>0，故C 可能正确； D 选项，|a |＝|0|＝0，|b |＝|－1|＝1，|a |<|b |，故D 错误.故选C.e.利用待定系数法求代数式的取值范围(6)(经典题，5分)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是 .答案：27解析：(法一)由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可以转化为⎩⎪⎨⎪⎧lg3≤lg （xy 2）≤lg8，lg4≤lg ⎝⎛⎭⎫x 2y ≤lg9，即⎩⎪⎨⎪⎧lg3≤lg x ＋2lg y ≤lg8，lg4≤2lg x －lg y ≤lg9.∵lg ⎝⎛⎭⎫x 3y 4＝3lg x －4lg y ，设lg ⎝⎛⎭⎫x 3y 4＝m (lg x ＋2lg y )＋n (2lg x －lg y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝3，2m －n ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2， ∴lg ⎝⎛⎭⎫x 3y 4＝－(lg x ＋2lg y )＋2(2lg x －lg y ).∵－lg8≤－(lg x ＋2lg y )≤－lg3，2lg4≤2(2lg x －lg y )≤2lg9，∴－lg8＋2lg4≤lg ⎝⎛⎭⎫x 3y 4≤－lg3＋2lg9，∴2≤x 3y 4≤27，∴x 3y4的最大值是27.(法二)∵4≤x2y ≤9，3≤xy 2≤8，∴16≤⎝⎛⎭⎫x 2y 2≤81，18≤1xy 2≤13.∵x 3y 4＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy2，∴16×18≤x 3y 4≤81×13，即2≤x3y 4≤27，∴x 3y 4的最大值是27.(7)(经典题，5分)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，P 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A.p 2，p 3 B.p 1，p 2 C.p 1，p 4 D.p 1，p 3 答案：B解析：设x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －2y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，m －2n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝43，n ＝－13.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4，∴43(x ＋y )≥43，－13(x －2y )≥－43， ∴x ＋2y ＝43(x ＋y )－13(x －2y )≥0，∴x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞).故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误，故选B.随堂普查练281.(经典题，5分)如图28－7所示为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间内进出路口A ，B ，C 的机动车辆如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间内通过路段AB ︵，BC ︵，CA ︵的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )图28－7A.x 1>x 2>x 3B.x 1>x 3>x 2C.x 2>x 3>x 1D.x 3>x 2>x 1答案：C解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1－20＋30＝x 2，x 2－35＋30＝x 3，x 3－55＋50＝x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋10＝x 2，x 2－5＝x 3，x 3－5＝x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，x 2>x 3，x 3>x 1，∴x 2>x 3>x 1.故选C.2.(2021改编，5分)设a ，b ，c ，d 均为非零实数，则下列命题中正确的有 . ①若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0；②若a 1b；③若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；④若a >b >1>d ＋1，则log a (b －d )<log b (a －d ). 答案：①④解析：①正确，∵c a －d b ＝bc －adab>0，bc －ad >0，∴ab >0；②错误，∵a 1b不一定成立； ③错误，∵a >b ，c >d ，∴令a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝0，则a －c ＝b －d ，∴a －c >b －d 不一定成立；④正确，∵a >b >1>d ＋1，∴a －d >b －d ＞0， ∴log a (b －d )<log a (a －d ).又∵log a (a －d )<log b (a －d )，∴log a (b －d )<log b (a －d ).3.(经典题，5分)设a >b >0，m >0，n >0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n 由小到大的顺序是 .答案：b a b >0，m >0，n >0，∴b a －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）<0， ∴b a b >0，试比较 a 2－b 2a 2＋b 2与 a －ba ＋b的大小. 答案：a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b解：(作差法)a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝（a ＋b ）（a 2－b 2）－（a 2＋b 2）（a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝（a －b ）[（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）]（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）.(4分) ∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0，2ab >0，a 2＋b 2>0，(6分)∴2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b .(7分) (作商法)∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0，2ab >0，(2分)∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝（a ＋b ）2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1，(6分) ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b .(7分)5.(经典题，10分)若已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围.答案： [6，10]解：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过原点， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx .(2分)(构造方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b ，f （－1）＝a －b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，(5分)∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1).(7分) 又∵1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，∴3×1＋3≤f (－2)≤3×2＋4，∴6≤f (－2)≤10.(10分) (待定系数法)设m (a ＋b )＋n (a －b )＝f (－2)＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3， ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1).(7分) 又∵1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，∴1×3＋3≤f (－2)≤2×3＋4，即6≤f (－2)≤10.(10分)课后提分练28 不等关系与不等式A 组(巩固提升)1．(经典题，5分)设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D解析：采用特殊值法.当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b >0，但ab <0，故不是充分条件；当a ＝－3，b ＝－1时，ab >0，但a ＋b <0，故不是必要条件，∴“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件.故选D.2．(2019浙江期中，4分)已知b >a >0，且a ＋b ＝1，则有( )A ．b >a 2＋b 2>2ab >12>aB ．b >a 2＋b 2>12>2ab >aC ．a 2＋b 2>b >12>a >2abD ．a 2＋b 2>b >a >12>2ab答案：B解析：∵b >a >0，且a ＋b ＝1，∴不妨令b ＝34，a ＝14，则a 2＋b 2＝58，2ab ＝38，∴b >a 2＋b 2>12>2ab >a .故选B.3．(2019浙江邵阳模拟，4分)若x ＋y >0，a <0，ax >0，则y －x 一定( ) A ．等于0 B ．小于0 C ．大于0 D ．不确定答案：C解析：因为a <0，ax >0，所以x <0，所以－x >0.因为x ＋y >0，所以y >－x >0，所以y －x >0.故选C.4．(2018西宁模拟，5分)对于实数a ，b ，c ，有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b.其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：①不正确，若c <0，则ac <bc ；若c >0，则ac >bc ； ②正确，∵ac 2>bc 2，∴c 2>0，∴a >b ；③正确，∵a －b >0，∴(－a )·(－a )>(－b )·(－a )>(－b )·(－b )，即a 2>ab >b 2； ④正确，∵c >a >b >0，∴－a <－b <0，∴0<c －a <c －b ，∴1c －a >1c －b >0，∴a c －a >b c －b>0，故选C.5．(2018沈阳模拟，5分)设a ，b ∈R ，则a 0，∴ab <0，∴a <00，ab 2<00，∴0>ab 2>a ，∴ab >ab 2>a .7．(经典题，5分)已知a 1≤a 2，b 1≤b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系为________________________．答案：a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1 解析：(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝(a 1b 1－a 1b 2)－(a 2b 1－a 2b 2) ＝a 1(b 1－b 2)－a 2(b 1－b 2) ＝(a 1－a 2)(b 1－b 2).∵a 1≤a 2，b 1≤b 2，∴a 1－a 2≤0，b 1－b 2≤0， ∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)≥0，∴a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1.8．(经典题，10分)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc <0，求证：1a ＋1b ＋1c >0.答案：见证明过程证明：∵a ＋b ＋c ＝0，abc <0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，a 2＋b 2＋c 2>0.(3分)∵bc ＋ac ＋ab ＝12[(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)]，∴bc ＋ac ＋ab <0，∴bc ＋ac ＋ababc>0.(8分)∵1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc ， ∴1a ＋1b ＋1c >0.(10分)9．(经典题，10分)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 答案：见证明过程证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b ).(5分)∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0，(8分)∴(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .(10分)10．(2018广东模拟，10分)已知f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f ()1≤－1，－1≤f ()2≤5，求f ()3的取值范围．答案：[－1，20]解：(法一)∵⎩⎪⎨⎪⎧－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5.(2分) 设f (3)＝9a －c ＝m (a －c )＋n (4a －c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4n ＝9，－m －n ＝－1，(4分) 解得⎩⎨⎧m ＝－53，n ＝83，∴f (3)＝－53f (1)＋83f (2)，(5分)∴⎝⎛⎭⎫－53×(－1)＋83×(－1)≤f (3)≤⎝⎛⎭⎫－53×(－4)＋83×5，即－1≤f (3)≤20.(9分) ∴f (3)的取值范围为[－1，20].(10分)(法二)∵⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －c ，f （2）＝4a －c ，∴⎩⎨⎧a ＝13[f （2）－f （1）]，c ＝13[f （2）－4f （1）].(3分)∵f (3)＝9a －c ，∴f (3)＝3[f (2)－f (1)]－13[f (2)－4f (1)]＝－53f (1)＋83f (2)，(5分)以下同法一.B 组(冲刺满分)11.(2019四川绵阳模拟，5分)已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，则下列选项中一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＜0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＞0 答案：A解析：∵a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴c ＜0＜a .∵a ＞0，b ＞c ，∴ab ＞ac ，故A 选项正确.∵b ＜a ，∴b －a ＜0.∵c ＜0，∴c (b －a )＞0，故B 选项不正确.若b 2＝0，则cb 2＝ab 2，故C 选项不正确.∵c ＜a ，∴a －c ＞0.∵ac ＜0，∴ac (a －c )＜0，故D 选项不正确.故选A.12．(经典题，5分)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案：C解析：由a ，b ∈R ＋，且ab ≥4，∴a ，b 中一定有一个值大于或等于2，∴a ∨b ≥2.同理c ∧d ≤2.故选C.13．(经典题，5分)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是______________．答案：c ≥b >a解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2①，c －b ＝4－4a ＋a 2②，∴①－②，得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴b >a . ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 综上，c ≥b >a .14．(经典题，10分)已知a ，b >0且a ≠b ，试比较a a b b与(ab )2+a b 的大小．答案：a a b b>(ab )2+a b解：2()+a b a ba b ab ＝⎝⎛⎭⎫a b 2-a b，(3分) 若a >b >0，则a b>1，a －b >0，由指数函数的性质得⎝⎛⎭⎫a b 2-a b>1；(6分)若b >a >0，则0<a b <1，a －b <0，由指数函数的性质得⎝⎛⎭⎫a b 2-a b>1，(9分)∴a a b b>(ab )2+a b .(10分)15．(2018辽宁模拟，10分)已知函数f (x )＝x 2＋()b －1x ＋c 的图像与x 轴交于()x 1，0，()x 2，0两点，且x 2－x 1>1.当t <x 1时，试比较t 2＋bt ＋c 与x 1的大小．答案：t 2＋bt ＋c >x 1解：令f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，又∵f (x )＝x 2＋(b －1)x ＋c ，∴x 2＋bx ＋c ＝(x －x 1)(x －x 2)＋x ，(2分)则t 2＋bt ＋c ＝(t －x 1)(t －x 2)＋t ，∴t 2＋bt ＋c －x 1＝(t －x 1)(t －x 2)＋t －x 1＝(t －x 1)(t －x 2＋1).(5分) ∵t <x 1，x 2－x 1>1，∴t －x 1<0，t －x 2<x 1－x 2<－1， ∴t －x 2＋1<0，(8分) ∴(t －x 1)(t －x 2＋1)>0， ∴t 2＋bt ＋c >x 1.(10分)。

基础过关练：不等关系与不等式的基本性质(原卷版)

基础过关练：不等关系与不等式的基本性质1．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）以下表达式：①4x +3y ≤0；①a >3；①x 2+xy ；①a 2+b 2=c 2；①x ≠5．其中不等式有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）已知a −2bD ．ac 2<bc 23．用一组 a ，b 的值说明“若a b ，且(6−x )a <(6−x )b ，则x 的取值范围是________．5．（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考阶段练习）“x 的3倍与y 的差是负数．．”用不等式表示为__________．6．用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x 小时，所列不等式为_________．7．选择适当的不等号填空：（1）若a −b >0，则a ______b ．（2）若a >−b ，则a +b ______0．（3）若−a −b ，则2−a ______2−b ．（5）若a >0，且(1−b )a <0，则b ______1（6）若a <b,b <2a −1，则a _______2a −1．8．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空．(1)a ___________b ．(2)|a |___________|b |．(3)a +b ___________0．(4)a −b ___________0．(5)ab ___________0．9．根据下列数量关系列不等式：(1)x 的7倍减去1是正数．(2)y 的13与13的和不大于0．(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．(4)y的20%不小于1与y的和．10．指出他们的错误在哪里：(1)甲在不等式－10＜0的两边都乘－1，得到10＜0；(2)乙在不等式2x＞5x两边同除以x，得到2＞5．11．说出下列不等式的变形依据．(1)若x+2>3，则x>1；(2)若2x>−3，则x>−3；2(3)若−3x>4，则x<−4．312．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）当x>y时，(1)请比较−3x+5与−3y+5的大小，并说明理由．(2)若(a−3)x<(a−3)y，则a的取值范围为______．（直接写出答案）13．根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．10x－1＞7x14．某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之间（包括60元和70元），买3个这样的键盘需要多少钱（用适当的不等式表示）？15．（1）小明在学习时推导出了0>5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里？已知x>y，两边都乘以5，得5x>5y；（1）两边都减去5x，得0>5y－5x；（2）即0>5（y－x）．（3）两边都除以y－x，得0>5．（4）（2）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，①A＝36°，DE垂直平分AC于点D，交AB于点E，求证：BC＝CE．。

不等式与不等式组专项训练(含答案详解)

《不等式与不等式组专项训练》一、选择：1．下列不等式一定成立的是（）A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（）A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a3．解不等式中，出现错误的一步是（）A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D．4．不等式的正整数解有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（）A．B．C．D．6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0二、填空：7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”．8．不等式的最大正整数解是，最小正整数解是．9．一次不等式组的解集是．10．若y=2x+1，当x时，y＜x．11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为．12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是．13．若a＞b，则的解集为．14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道．三、解不等式或不等式组：15．解不等式或不等式组：（1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1（2）1﹣≥x+2（3）（4）．四、解答下列各题：16．x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数．17．k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1．18．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数．19．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案．《不等式与不等式组专项训练》参考答案与试题解析一、选择：1．下列不等式一定成立的是（）A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，可得答案．【解答】解：A、a≤0时，a≤﹣a，故A错误；B、a≤0时，3a≤a，故B错误；C、a＜﹣1时，a＜，故C错误；D、1＞0，1+a＞a，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，熟记不等式得性质是解题关键．2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（）A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的基本性质分别判断，再选择．【解答】解：A、不等式的两边同时减去a，不等号的方向不变，则0＜b﹣a，即b﹣a＜0成立；B、不等式的两边同时乘以c，因为c的符号不确定，所以不等号的方向也不确定，故ac＜bc不成立；C、不等式的两边同时除以b，因为b的符号不确定，所以不等号的方向也不确定，故不成立；D、不等式的两边同时乘以﹣1，不等号的方向改变变，则﹣a＜﹣b，则﹣b＜﹣a不成立．故选A．【点评】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．解不等式中，出现错误的一步是（）A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D．【考点】解一元一次不等式．【专题】计算题．【分析】先去分母，移项，合并同类项，化系数为1即可求出x的取值范围，与各选项进行对照即可．【解答】解：去分母得，6x﹣3＜4x﹣4，故A选项正确；移项得，6x﹣4x＜﹣4+3，故B选项正确；合并同类项得，2x＜﹣1，故C选项正确；化系数为1得，x＜﹣，故D选项错误．故选D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．4．不等式的正整数解有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】先求出不等式的解集，再据此求出不等式的整数解．【解答】解：去分母，得4x﹣5＜12，移项，得4x＜12+5，系数化为1，得x＜．于是大于0并小于的整数有1，2，3，4．共4个，故选C．【点评】正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；不等式的解集．【分析】首先分别根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定出不等式组的解集，即可选出答案．【解答】解：A、不等式组的解集为无解，故此选项错误；B、不等式组的解集为x＞4，故此选项错误；C、不等式组的解集为﹣1≤x＜4，故此选项正确；D、不等式组的解集为x＞4，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定规律．6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0【考点】解一元一次不等式．【分析】先解不等式≥4x+6，得出用a表示出来的x的取值范围，再根据解集是x≤﹣4，列出方程﹣=﹣4，即可求出a的值．【解答】解：∵≥4x+6，∴x≤﹣，∵x≤﹣4，∴﹣=﹣4，解得：a=22．故选B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，根据不等式的解集是x≤﹣4得出关于a的一元一次方程是解答此题的关键．二、填空：7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”6+3x＞15．【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【分析】首先表示“x的3倍”为3x，再表示“6与x的3倍的和”为6+3x，最后再表示“大于15”为6+3x＞15．【解答】解：根据题意，得：6+3x＞15，故答案为：6+3x＞15．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．8．不等式的最大正整数解是9，最小正整数解是1．【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】去分母，解不等式求解集，在解集的范围内求最大正整数解和最小正整数解．【解答】解：去分母，得x+3≤12，解得x≤9，最大正整数解是9，最小正整数解是1，故答案为：9，1．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．9．一次不等式组的解集是﹣3＜x＜2．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x＞﹣3，所以不等式组的解集是﹣3＜x＜2．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．10．若y=2x+1，当x＜﹣1时，y＜x．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】根据y＜x即可得到一个关于x的不等式，解不等式求解．【解答】解：根据题意得：2x+1＜x，解得：x＜﹣1．故答案是：＜﹣1．【点评】本题考查了一次函数与不等式，正确列出不等式是本题的关键．11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为x＞﹣．【考点】解一元一次不等式．【分析】先移项，再把x的系数化为1即可．【解答】解：移项得，ax＜﹣b，x的系数化为1得，x＞﹣．故答案为：x＞﹣．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是m＞4．【考点】解一元一次不等式．【分析】解关于x的方程得x=，由方程的解为负数得到关于m的不等式，解不等式即可．【解答】解：解方程mx+13=4x+11得：x=，∵方程的解为负数，∴＜0，即4﹣m＜0，解得：m＞4，故答案为：m＞4．【点评】本题主要考查解一元一次方程和不等式的能力，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键．13．若a＞b，则的解集为空集．【考点】不等式的解集．【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．【分析】利用不等式组取解集的方法判断即可．【解答】解：∵a＞b，∴的解集为空集，故答案为：空集【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对13道．【考点】一元一次不等式的应用．【专题】应用题．【分析】根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分≤90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．【解答】解：设应答对x道，则10x﹣5（20﹣x）＞90解得x＞12∴x=13【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键．三、解不等式或不等式组：15．（20分）解不等式或不等式组：（1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1（2）1﹣≥x+2（3）（4）．【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（3）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可；（4）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）去括号得：3x﹣6﹣4+4x＜1，3x+4x＜1+6+4，7x＜11，x＜；（2）去分母得：6﹣2x+1≥6x+12，﹣2x﹣6x≥12﹣6﹣1，﹣8x≥5，x≤﹣；（3）∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1；（4）∵解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞7，∴不等式组无解．【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．四、解答下列各题：16．（8分）x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数．【考点】解一元一次不等式．【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可得．【解答】解：根据题意，得：5（x﹣1）﹣2（x﹣2）＞﹣（x+2），去括号，得：5x﹣5﹣2x+4＞﹣x﹣2，移项、合并，得：4x＞﹣1，系数化为1，得：x＞﹣，即x＞﹣时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．17．（8分）k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1．【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组．【专题】方程与不等式．【分析】将k看作常数，解关于x、y的二元一次方程组，令其解大于1，就只需解关于k的不等式组即可【解答】解：①+②，得x=k+2①﹣②，得y=k﹣2∵x＞1，y＞1∴解之得：k＞3即：当k＞3时，解方程组得到的x，y的值都大于1【点评】本题考查了二元一次方程组解的解法与一元一次不等式组的解法，关键是解方程组时将k看作常数．18．（10分）（2016春•房山区期中）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数．【考点】一元一次不等式组的应用．【专题】比例分配问题．【分析】根据题意设安排住宿的房间为x间，并用含x的代数式表示学生人数，根据“每间住4人，则还余20人无宿舍住和；每间住8人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答．【解答】解：设安排住宿的房间为x间，则学生有（4x+20）人，根据题意，得解之得5.25≤x≤6.25又∵x只能取正整数，∴x=6∴当x=6，4x+20=44．（人）答：住宿生有44人，安排住宿的房间6间．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．要根据人数为正整数，推理出具体的人数．19．（12分）（2012春•东城区校级期中）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案．【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】本题首先找出题中的不等关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．【解答】解：设安排生产A种产品x件，则安排生产B种产品（50﹣x）件．依题意得解得30≤x≤32∵x为正整数，∴x=30，31，32，∴有三种方案：（1）安排生产A种产品30件，B种产品20件；（2）安排生产A种产品31件，B种产品19件；（3）安排生产A种产品32件，B种产品18件．【点评】考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出题中隐藏的不等关系甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，列出不等式组解出即可．。

(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(包含答案解析)

一、选择题 1．不等式2122x x a a ++-≥-恒成立，则a 的取值范围是（） A ．[]1,3-B ．][),33,(-∞⋃+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞） 2．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（） A ．m n = B ．m n < C ．m n > D ．m 、n 关系不确定 3．下列结论中一定正确的是（）A ．若,0a b c <≠，则ac bc ，则a b >C ．若,0a b c >≠，则a b c c >D ．若a b c d>⎧⎨>⎩，则a c b d ->- 4．已知函数22()x x a f x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（）．A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞ 5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤ 6．已知01x y a <<<<，log log a a m x y =+，则有（）A ．0m 7．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（）A ．集合P 是集合Q 的真子集B ．集合Q 是集合P 的真子集C ．P Q =D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集 8．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（）A ．11a b> B ．11a b a >- C ．2233a b > D ．22a b > 9．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（） A ．11x y x y ->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．ln x +ln y >0 10．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( )A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),2ππ 11．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是（）A ．若,,a b c d >>则a c b d +>+B ．22a b ac bc >>若，则C ．若,a b >则11a b< D ．若,,a b c d >>则ac bd > 二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b =+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接)15．函数11y x x =+--的最大值是___________16．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．17．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是．18．设x ∈R ，如果()lg 37a x x <++-恒成立，那么实数a 的取值范围是________.19．设函数2()||(,)f x x a x b a b R =+++∈，当[2,2]x ∈-时，记()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______．20．已知()2|1|f x x =-，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，…，若对于任意的*n N ∈，0|()|2n f x ≤恒成立，则实数0x 的取值范围是_______．三、解答题21．设函数()2|1||2|f x x x =-+-.（1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()(1)f x a x +的解集非空，求实数a 的取值范围.22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->；（2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ；（3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.23．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小. 24．已知函数()|23||1|f x x x =+--.（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知0a >，0b >，22143a b ab+=+. （1）求证：1ab ≤；（2）若b a >，求证：3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 26．设函数3211()132f x ax bx cx =+++，f x 为()f x 的导函数，(1)2a f '=-，322a cb >>. （1）用a ，b 表示c ，并证明：当0a >时，334b a -<<-；（2）若12a =-，2b =，32c ，求证：当1x ≥时，()ln x f x '≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A 【分析】利用绝对值三角不等式求得12x x ++-的最小值，由此可得出关于实数a 的不等式，进而可解得实数a 的取值范围. 【详解】由绝对值三角不等式可得()()12123x x x x ++-≥++-=，当12x -≤≤时等号成立，由于不等式2122x x a a ++-≥-恒成立，则223a a -≤，解得13a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]1,3-.故选：A.【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 2．C解析：C【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系.【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--,2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.3．B解析：B【分析】通过反例可判断A 、C 、D 均错误，利用函数的单调性可证明B 正确.【详解】对于A ，取2,1,1a b c =-=-=-，则a b <，但ac bc >，故A 错误.对于C ，取2,1,1b a c =-=-=-，则a b >，但a b c c<，故C 错误. 对于B ，因为3y x =为R 上的增函数，故33a b >等价于a b >，故B 正确.对于D ，取1,2,1,100a b c d =-=-=-=-，满足a b c d >⎧⎨>⎩，但a c b d -<-，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题.4．B解析：B【分析】结合已知不等式可转化为即22a x x >-+,结合二次函数的性质求22x x -+ 在[2,)+∞ 上的最大值,即可求解．【详解】解: [2,)x ∈+∞,22()0x x a f x x-+=> [2,)x ∴∈+∞,220x x a -+> 即22a x x >-+在[2,)x ∈+∞上恒成立.结合二次函数的性质可知当2x =时,22x x -+取得最大值为0.即0a >.故选:B ．【点睛】本题考查了由不等式恒成立问题求参数的范围.对于关于()f x 的不等式在x 的某段区间上恒成立问题,一般情况下进行参变分离,若()a h x > 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最大值,令max ()a h x > 即可; 若()a h x < 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最小值,令min ()a h x < 即可.5．B解析：B【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可.【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==,从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B .解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立,所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立,所以1a =-符合题意,可以排除A.故选:B【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．D解析：D【分析】首先根据对数的运算得到()log a m xy =，再由不等式的性质及对数函数的性质即可得解.【详解】解：由题意得()log a m xy =，01x y a <<<<，201xy a ∴<<<，2log 2a m a ∴>=.故选：D【点睛】本题考查对数的运算及对数函数的性质，不等式的性质，属于中档题.7．C解析：C【分析】先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =．【详解】|||1|3x x +-<，∴当0x 时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<；当01x <时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<．{|12}P x x ∴=-<<．{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，P Q ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．B解析：B【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->>对于A 中，因为110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的；对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确；对于C 中，因为幂函数()23f x x =在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确；对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确；故选B.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．A解析：A【分析】结合选项逐个分析，可选出答案.【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确；对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确；对于选项C ，110y x x y xy--=<，故C 错误；对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确.故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.10．D解析：D【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案．【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <，又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．11．A解析：A【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解.【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1，所以|x-3|+|x-4|的最小值为1，所以1＜a,即a ＞1.故选A【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．A解析：A【解析】分析：根据不等式性质判断命题真假.可举反例说明命题不成立.详解：因为同向不等式可相加，所以若,,a b c d >>则a c b d +>+，因为c=0时，22ac bc =，所以B 错；因为121,12>->-，所以C 错；因为10,01,100(1)>>-⨯=⨯-，所以D 错；选A.点睛：本题考查不等式性质，考查基本论证能力.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案.【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈，则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7-【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【解析】因为所以与1的大小关系是故答案为解析：1S >【解析】因为,,a b c R +∈，所以1a b c a b c S b c a c a b a b c a b c a b c =++>++=+++++++++，S 与1的大小关系是1S > ，故答案为1S >.15．2【分析】利用表示数轴上的到的距离减去它到1的距离求得它的最大值等于2即可【详解】∵表示数轴上的到的距离减去它到1的距离最大值等于2故答案为2【点睛】本题主要考查绝对值不等式绝对值的意义函数的值域属解析：2【分析】利用表示数轴上的x 到1-的距离减去它到1的距离，求得它的最大值等于2即可．【详解】 ∵11x x +--表示数轴上的x 到1-的距离减去它到1的距离，最大值等于2，故答案为2．【点睛】本题主要考查绝对值不等式，绝对值的意义，函数的值域，属于中档题.16．【分析】先将不等式对任意恒成立转化为不等式对任意恒成立再令转化为对任意恒成立求解即可【详解】因为不等式对任意恒成立所以不等式对任意恒成立令所以对任意恒成立令所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查不等解析：[6,)-+∞【分析】先将不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，转化为不等式22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，再令[]2,5=∈y t x ，转化为 22a t t ≥-，对任意[2,5]t ∈恒成立求解即可.【详解】因为不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，所以不等式22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，令[]2,5=∈y t x，所以 22a t t ≥-，对任意[2,5]t ∈恒成立，令211248⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭y t ，所以 max 6y =-，所以 6a ≥-故答案为：[6,)-+∞【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及不等式的性质，二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．(-24)【分析】根据条件得到的范围然后与的范围相加得到的取值范围【详解】因为所以而所以故答案为【点睛】本题考查不等式的基本性质属于简单题解析：(-2,4)【分析】根据条件，得到b -的范围，然后与a 的范围相加，得到-a b 的取值范围.【详解】因为21b -<<，所以12b -<-<而1a 2-<<所以24a b -<-<故答案为()2,4-.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.18．【分析】先根据绝对值三角不等式求得最小值即得最小值再根据不等式恒成立得结果【详解】当且仅当时取等号由恒成立得故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题利用绝对值三角不等式求最值考查综合分析转化求解能解析：1a <【分析】先根据绝对值三角不等式求得37x x ++-最小值，即得()lg 37x x ++-最小值，再根据不等式恒成立得结果.【详解】 373(7)10x x x x ++-≥+--=,当且仅当(3)(7)0x x +-≤时取等号， ()lg 37lg101x x ∴++-≥= 由()lg 37a x x <++-恒成立得()min [lg 37]11a x x a <++-=∴<故答案为：1a <【点睛】本题考查不等式恒成立问题、利用绝对值三角不等式求最值，考查综合分析转化求解能力，属中档题. 19．【分析】由题意可得在的最大值为中之一可得四个不等式相加再由绝对值不等式的性质即可得到所求最小值【详解】去掉绝对值可得在的最大值为中之一由题意可得上面四个式子相加可得即有可得的最小值为故答案为【点睛】解析：258【分析】由题意可得()f x 在[2,2]-的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭中之一，可得四个不等式，相加，再由绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．【详解】去掉绝对值，可得()f x 在[2,2]-的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭中之一，由题意可得()(),242M a b f a b ≥-=++-+，(),242M a b f a b ≥=+++（），()1,211||42M a b f a b ⎛⎫≥=+++ ⎪⎝⎭，()11,21||42M a b f a b ⎛⎫≥-=++-+ ⎪⎝⎭，上面四个式子相加可得()114,2421|22|||42M a b a a b b b b ⎛⎫⎛⎫≥++++-+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112524221||42||22≥-++++=，即有()25,8M a b ≥，可得(,)M a b 的最小值为258．故答案为258．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用函数取最值的情况，以及绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．20．【解析】【分析】先由得再由的定义可知对于任意的时不等式均成立进而得解【详解】由对于任意的恒成立可知即解得下证即为所求当时…故答案为：【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用属于中档题解析：[0,2]【解析】【分析】先由()()1002f x f x =≤，得002x ≤≤，再由()()()1n nf x f f x +=的定义可知对于任意的*n N ∈，[]00,2x ∈时不等式均成立，进而得解. 【详解】由对于任意的*n N ∈，()02n f x ≤恒成立，可知()()1002f x f x =≤，即0212x -≤，解得002x ≤≤.下证02x ≤≤即为所求.当[]00,2x ∈时，()[]100,2f x ∈，()()()()[]211210,2f x f f x f x ==-∈,()()()()[]302020 210,2f x f f x f x ==-∈,…，()()()()[]01010 210,2n n n f x f f x f x --==-∈.故答案为：[]0,2. 【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）直接分类去绝对值，即可求出()2f x >的解集；（2）去绝对值，得出()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，画出图象，由于直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，结合图象即可得出不等式()(1)f x a x +的解集非空时，a 的取值范围..【详解】解：（1）原不等式等价于1,432x x <⎧⎨->⎩或12,2x x ≤≤⎧⎨>⎩或2,342,x x >⎧⎨->⎩解得不等式()2f x >的解集为2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩画出图象，如图所示，其中(1,1)A ，(2,2)B ，直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，且绕点(1,0)-旋转时，由图可得若不等式1()2f x a x ⎛⎫+⎪⎝⎭的解集非空，则3a <-或AC a k ≥，故实数a 的取值范围为1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，考查数形结合思想和计算能力. 22．（1）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()(),01,P =-∞+∞；（3）存在，0a =或1a =或2a =.【分析】（1）分2x >，12x ≤≤，1x <三种情况求解即可；（2）根据三角不等式得，121221x x a x a x a -+-=-+-≥-，由此可得211a ->，从而可求出a 的取值范围；（3）先解不等式.220x x +-<与|212x x -<+，可得()2,3A -∈，当0a =时，符合题意，当0a ≠时，构造函数()2220f x ax x a =+--，则有()()2030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，从而可求出a 的值【详解】（1）若2x >时，112>，符合题意；若12x ≤≤时，1122x x -+->，解得74x >，故724x <≤；若1x <时，112->，无解；综上，1122x x --->的解是7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）根据三角不等式得，121221x x a x a x a -+-=-+-≥-，所以211a ->，解得1a >或0a <，∴集合()(),01,P =-∞+∞；（3）由220x x +-<可得21x -<<，由212x x -<+可得133x -<<，故()2,3A -∈，若0a =，220x <，解得1010x -<<，符合题意；若0a ≠，设()2220f x ax x a =+--，由于0a >，所以只要()()2030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即可即422200923200a a a a ⎧++-≤⎪⎨+--≤⎪⎩ 因为a N ∈，可得1a =或2a =；综上，0a =或1a =或2a =. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数()2220f x ax x a =+--，可得()()2030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，从而可求出a 的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题23．222()px qy px qy +≤+【分析】用作差的方法，因式分解，利用1p q +=，化简可得2)0(pq x y --≤，进而得出结果. 【详解】22222()(1)(1)2()px qy px qy p p x q q y pqxy +-+=-+-+因为1p q +=，所以1,1p q q p -=--=-因此222222()()(2)()+-+=-+-=--px qy px qy pq x y xy py x y 因为,p q 为正数，所以2)0(pq x y --≤因此222()()+≤+px qy px qy ，当且仅当x y =时等号成立【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小，考查了运算求解能力，属于中档题目. 24．（1）17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）52a <.【分析】（1）分类讨论，得出使得绝对值不等式成立的不等式组，然后求解x 的范围即可；（2）()2|33|f x a x >--可化为|23||22|2x x a ++->，然后根据绝对值三角不等式可出|23||22|5x x ++-≥，进而可得25a <，最后求出a 的取值范围即可. 【详解】（1）|23||1|3x x +--≤，12313x x x ≥⎧∴⎨+-+≤⎩或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或322313x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩ 11x x ≥⎧∴⎨≤-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或327x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩173x ∴-≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()2|33|f x a x >--，即|23||1|2|33|x x a x +-->--，可化简为：|23||22|2x x a ++->，|23||22||23(22)|5x x x x ++-≥+--=，25a ∴<，52a ∴<. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.25．（1）证明见解析.（2）证明见解析【分析】（1）根据条件利用基本不等式可得221344a b ab ab+=+，然后解关于ab 的不等式即可；（2）要证3311113()a b a b --，即证221113a ab b ++，然后根据条件得到221113a ab b++成立．【详解】（1）证明：由2210,344>+=≥+ab a b ab ab(当且仅当224a b =，即2a b ==得“=”).所以2134()ab ab +≥，即24()310ab ab --≤，所以1ab ≤(当且仅当a b ==取得“=”) （2）332222111111111111111133=3a b a b a b a ab b a b a b a ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-++---++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(※)，因为0b a >>，所以110->a b. 又221113a ab b ab ++≥，当且仅当a b =时取得“=”，又0b a >>，故221113a ab b ab++>，又由（1）知1ab ≤，又0b a >>，故11ab >，故2211133a ab b ab++>>，即2211130a ab b ++->，故(※)式成立，即原不等式成立. 【点睛】本题考查了基本不等式，利用综合法证明不等式和利用分析法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题． 26．（1）32c a b =--；证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后，利用(1)2af '=-可得32c a b =--，将其代入到322a c b >>，利用不等式的性质可得334b a -<<-；（2）构造函数213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥，求导得单调性，利用单调性可证不等式. 【详解】（1）由题得2()f x ax bx c '=++ ∵(1)2a f '=-，∴2aa b c ++=-∴32c a b =--， ∵322a c b >>∴3322a a b b >--> ∴334b a -<<- （2）∵12a =-，2b =，32c ∴213()222f x x x '=-+- 令213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥求导可得21(1)()2x g x x x x-'=+-=∴()0g x '≥∴()g x 在区间[)1,+∞上单调递增 ∴()()10g x g ≥=∴()ln x f x '≥成立【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.。

2018届数学复习第六章不等式、推理与证明课时作业36不等关系与不等式(含解析)文

课时作业36 不等关系与不等式一、选择题1．若a〈0，ay〉0且x＋y〉0，则x与y之间的不等关系是(）A．x＝y B．x>yC．x〈y D．x≥y解析:由a〈0，ay>0知y〈0，又由x＋y〉0知x>0,所以x〉y。

答案:B2．若1a〈错误!〈0，则下列结论不正确的是（)A．a2<b2B．ab〈b2C．a＋b〈0 D．｜a｜＋｜b|>|a＋b|解析：∵错误!<错误!<0，∴b〈a〈0.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a｜＋｜b｜＝|a＋b｜.答案：D3．设a，b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是（ )A ．a 2〈b 2B ．ab 2〈a 2b C.1ab 2〈错误! D.错误!<错误!解析：当a <0时,a 2〈b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab （b －a )．b －a 〉0，ab 符号不确定．所以ab 2与a 2b 的大小不能确定,故B 错．因为错误!－错误!＝错误!<0.所以错误!〈错误!，故C 正确．D 项中b a 与错误!的大小不能确定．答案：C4．设α∈（0，π2)，β∈[0，错误!］，那么2α－错误!的取值范围是（ )A ．（0，5π6)B ．(－错误!，错误!)C ．（0,π）D ．(－错误!，π）解析：由题设得0<2α<π，0≤错误!≤错误!.∴－π6≤－错误!≤0，∴－错误!<2α－错误!〈π.答案:D5．已知a＝log23＋log2错误!,b＝log29－log2错误!，c ＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a〉b>c解析：a＝log23＋log23＝log23错误!。

b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!。

∴a＝b＝log23错误!〉log22＝1。

不等关系与不等式练习题(基础、经典、好用)

不等关系与不等式一、选择题1．若a 、b 、c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1bB ．a 2＞b 2 C.a c 2＋1＞b c 2＋1D ．a |c |＞b |c | 2．(2013·揭阳模拟)已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )A.c a ＜b aB.b －a c ＞0C.b 2c ＜a 2cD.a －c ac ＜03．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 34．(2013·佛山调研)若a 、b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ≥2ab D.b a ＋a b ≥25．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a二、填空题6．x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小关系是________．7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a ＞b ，有ac 2＞bc 2；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＞b ，则a ·2c ＞b ·2c .以上命题中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．8．(2013·惠州模拟)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．三、解答题9．若实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，试比较a 、b 、c 的大小．10．下面为某省农运会官方票务网站分布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数．11．已知奇函数f(x)在R上是单调递减函数，α，β，γ∈R，α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0，试说明：f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．解析及答案一、选择题1．【解析】∵c2＋1≥1，∴根据不等式的性质知ac2＋1＞bc2＋1成立．【答案】 C2．【解析】∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴ca＜ba，b－ac＞0，a－cac＜0，但b2与a2的关系不确定，故b2c＜a2c不一定成立．【答案】 C3．【解析】当a＞b时D/⇒a＞b＋1，但a＞b＋1⇒a＞b，∴“a＞b＋1”是“a＞b”成立的充分不必要条件．【答案】 A4．【解析】当a＝b＝－1时，ab＞0，但a2＋b2＝2ab，A错，此时ab＞0，2ab＞0，2ab＞0，又a ＋b ＝－2＜0，1a ＋1b ＝－2＜0，因此，B 、C 均不正确．对于D 项，当ab ＞0，由均值定理b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.【答案】 D5．【解析】由1＜e 2＜10，知0＜lg e ＜12，∴a ＞b ，a ＞c ，又c －b ＝lg e －(lg e)2＝(12－lg e)·lg e ＞0，∴a ＞c ＞b .【答案】 B二、填空题6．【解析】 ∵(x 2＋y 2＋1)－2(x ＋y －1)＝(x －1)2＋(y －1)2＋1>0，∴x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)．【答案】 x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)7．【解析】对于命题①，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故①错，对于命题②，c 2＞0，则a ＞b 成立，故②正确，对于命题③，∵2c ＞0，∴a ·2c ＞b ·2c 成立，故③正确．【答案】 ②③8．【解析】 ∵3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∵4≤x 2y ≤9，∴16≤x 4y 2≤81，∴2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值是27.【答案】 27三、解答题9．【解】 ∵b －c ＝a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0，∴b ≥c . ①又⎩⎨⎧b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，∴c ＝2a 2－a ＋1.则c －a ＝2a 2－2a ＋1＝2(a －12)2＋12＞0，∴c ＞a . ②由①②得b ≥c ＞a .10．【解】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n 张，则足球比赛门票预订(15－2n )张，由题意得⎩⎨⎧80n ＋60n ＋100（15－2n ）≤1 200，80n ≤100（15－2n ），n ∈N *，解得5≤n ≤5514，由n ∈N *知，n ＝5，∴15－2n ＝5，故可预订足球比赛门票5张．11．【解】由α＋β＞0，得α＞－β，∵f (x )在R 上是减函数，且为奇函数，∴f (α)＜f (－β)＝－f (β)，∴f (α)＋f (β)＜0，同理f (β)＋f (γ)＜0，f (γ)＋f (α)＜0，以上三式相加，得2[f (α)＋f (β)＋f (γ)]＜0，故f (α)＋f (β)＋f (γ)＜0.。

(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(有答案解析)(3)

一、选择题1．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]- 2．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（）A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定3．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>4．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 5．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 26．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（） A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A b a -8．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >9．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab< C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，则“a 3＞5”是“S 3＋S 9＞93”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．若0x y >>，则()412x y x y +-的最小值是________.14．已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______.15．已知实数,,a b c 满足3a b c ++=,222226a b c ++=,则c 的取值范围是___________. 16．若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图像经过点()0,3A 和()3,1B -，则不等式()112f x +-<的解集是__________．17．若不等式|4||3|x x a +--≤对一切实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________18．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.19．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.20．设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.三、解答题21．已知函数2()|1|5f x mx a x =-++．（1）当0,1m a ==时，求不等式()|2|f x x -的解集；（2）当1m =时，存在0[0,2]x ∈，使()00|1|f x a x -成立，求实数a 的取值范围． 22．已知函数()211f x x x =--+. （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值为m ，正实数a ，b 满足a b m +=，试求1412a b +++的最小值. 23．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++；（2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 24．已知1m ，且关于x 的不等式21x m -≤-的解集为[]1,3. （1）求m 的值；（2）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值. 25．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围. 26．设x ，y 是两个正数．（1）证明：若12x y +=，则289y x+≥；（2）已知a b c >>，0a b c ++=<【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.2．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.3．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.4．D解析：D 【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确；令5,a =3b =，满足||1a b >+，1ab b>+不成立. 【详解】||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立； ||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立；令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D.本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.5．C解析：C 【解析】【分析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确；对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11a b＞，故选项B 不正确；对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确；对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确；故选：C ．【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．6．A解析：A 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.7．C解析：C 【分析】考虑到,C D 中不等号方向，先研究C ，D 中是否有一个正确。

【参考习题】《不等关系与不等式》(人教B)

《不等关系与不等式》同步练习一、选择题1．若a b c∈R a>b 则下列不等式成立的是( )A 1a <1bB ．a 2>b 2C a c 2＋1>b c 2＋1D ．a|c|>b|c|2．已知a<0 b<－1 则下列不等式成立的是( )A ．a>a b >a b 2B a b 2>a b>a C a b >a>a b 2 D a b >a b 2>a3．已知a 、b 为非零实数且a0 则下列不等式中正确的是( )A ．b －a>0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a>06．若a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0 则下列不等式中正确的是( )A ．ab>acB ．ac>bcC ．a|b|>c|b|D ．a 2>b 2>c 2二、填空题7．若1≤a≤5 －1≤b≤2 则a －b 的取值范围为___________________________。

8．若f(x)＝3x 2－x ＋1 g(x)＝2x 2＋x －1 则f(x)与g(x)的大小关系是________。

9．若x∈R 则x 1＋x 2与12的大小关系为________。

10．设n>1 n∈N A ＝n －n －1 B ＝n ＋1－n 则A 与B 的大小关系为________。

不等式基础训练1含答案

不等式基础训练一．选择题（共30小题）1．已知a＜b，下列式子不成立的是（）A．a+1＜b+1B．4a＜4bC．﹣＞﹣b D．如果c＜0，那么＜2．已知直线y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞2B．x＞3C．x＜2D．x＜33．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是（）A．a+b＜﹣1B．ab＜1C．D．4．不等式组的整数解共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．2a+3＞2b+3B．5a＜5b C．D．a﹣2＜b﹣2 6．不等式4（x﹣2）≥2（3x﹣5）的正整数解有（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．关于x的一元一次方程x+m﹣2＝0的解是负数，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞﹣2D．m＜﹣28．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a﹣2，3a）在第二象限，则字母a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜2C．0＜a＜2D．a＞29．已知a、b、c是实数，且a＞b，则以下四个式子中，正确的是（）A．ac＞bc B．﹣2a＞﹣2b C．D．﹣1+a＞﹣1+b10．已知点P（a+1，﹣）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．11．已知点A（m+1，﹣2m+3）关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＜0B．﹣1＜m＜C．﹣＜m＜1D．m＞12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝1交点的横坐标为5，则不等式kx+b≥1的解集为（）A．x≥1B．x≥5C．x≤1D．x≤513．已知a＞b，则下列不等式不成立的是（）A．3a＞3b B．b+3＜a+3C．﹣a＞﹣b D．3﹣2a＜3﹣2b 14．在平面直角坐标系中，若P（x﹣2，﹣x）在第三象限，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞215．在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4，正确的是（）A．B．C．D．16．若m＞n，则下列不等式变形错误的是（）A．m﹣2＞n﹣2B．﹣3m＜﹣3nC．m2＞mn D．＞17．不等式3x﹣5＜3+x的自然数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣119．不等式＞x的最大整数解为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝220．某商品进价加价25%后出售，最后降价处理库存，要使后续销售不亏本，售价降价不能高于（）A．20%B．25%C．30%D．40%21．满足﹣2＜x≤1的数在数轴上表示为（）A．B．C．D．22．把不等式2﹣x＜1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．23．小东去批发市场购买了甲糖果20斤，价格为每斤x元；又购买了乙糖果10斤，价格为每斤y元．后来，他以每斤元全部卖出后，发现自己赔钱了．则下列判断正确的是（）A．x＝y B．x＞yC．x＜y D．x、y的大小关系不确定24．下列各数，是不等式x+2＞5的解的是（）A．3.5B．﹣3C．3D．﹣225．已知a＜b，下列不等式中正确的是（）A．B．a﹣3＜b﹣3C．a+3＞b+3D．﹣3a＜﹣3b26．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．27．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．28．如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（）A．3个B．9个C．7个D．5个29．不等式组的解集是（）A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．﹣2＜x≤2 30．如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2二．填空题（共20小题）31．不等式3x﹣6＞0的解集为______．32．不等式组的解集是______．33．不等式组的整数解是______．34．不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是______．35．一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≤0的解集为______．36．不等式组的解集为______．37．若x的2倍与1的和大于x，则满足条件的x的最小整数为______．38．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2020＝______．39．关于x的方程2x﹣2m＝x+4的解为正数，则m的取值范围是______．40．不等式组的解集为______．41．“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为______．42．“y减去1不大于2”用不等式表示为：______．43．如图，在数轴上，点A，B分别表示数1，﹣2x+3．则x的取值范围是______．44．不等式3x﹣1＞﹣4的最小整数解是______．45．不等式组的解集是______．46．直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣3x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式﹣3x＞kx+b的解集为______．47．不等式＞4﹣x的解集为______．48．已知关于x的不等式x﹣a≥0只有3个负整数解，则a的取值范围是______．49．关于x的不等式组无解，则常数b的取值范围是______．50．根据数量关系列不等式：x的2倍与y的差大于3______．不等式基础训练参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．解：A、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，式子a+1＜b+1成立，故这个选项不符合题意；B、不等式两边同时乘以4，不等号方向不变，式子4a＜4b成立，故这个选项不符合题意；C、不等式两边同时乘以﹣，不等号方向改变，式子﹣a＞﹣b成立，故这个选项不符合题意；D、不等式两边同时除以负数c，不等号方向改变，式子＜不成立，故这个选项符合题意．故选：D．2．解：直线y＝kx+b中，当y＞0时，图象在x轴上方，则不等式kx+b＞0的解集为x＜2，故选：C．3．解：∵a＜b＜0，给a，b，c赋予特殊值，即a＝﹣2，b＝﹣1，∴A、a+b＝﹣3＜﹣1，故本选项错误，B、ab＝2＞1，故本选项错误，C、＝2＞1，故本选项错误，D、＝2＞1，故本选项正确．故选：D．4．解：解不等式1+x≥﹣1，得：x≥﹣2，解不等式2﹣x＞1，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，所以不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0，故选：A．5．解：A、不等式的两边都乘以2，不等式的两边都加上3，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都乘以5，不等号的方向不变，故B错误；C、不等式的两边都除以﹣2，不等号的方向改变，故C错误；D、不等式的两边都减去2，不等号的方向不变，故D错误；故选：A．6．解：去括号，得：4x﹣8≥6x﹣10，移项，得：4x﹣6x≥﹣10+8，合并同类项，得：﹣2x≥﹣2，系数化为1，得：x≤1，则不等式的正整数解为1，故选：C．7．解：∵方程x+m﹣2＝0的解是负数，∴x＝2﹣m＜0，解得：m＞2，故选：A．8．解：由点P的坐标为（a﹣2，3a）在第二象限，得，解得0＜a＜2．故选：C．9．解：A、由a＞b，当c＜0时，得ac＜bc，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、由a＞b，得﹣2a＜﹣2b，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、由a＞b，得＞或＜，原变形错误，故这个选项不符合题意；D、由a＞b，得﹣1+a＞﹣1+b，原变形正确，故这个选项符合题意；故选：D．10．解：∵点P（a+1，﹣）关于原点的对称点坐标为：（﹣a﹣1，），该对称点在第四象限，∴，解得：a＜﹣1，则a的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．11．解：∵点A（m+1，﹣2m+3）关于x轴的对称点在第四象限，∴对称点坐标为：（m+1，2m﹣3），则m+1＞0，且2m﹣3＜0，解得：﹣1＜m＜．故选：B．12．解：由图象可得：当x≥5时，kx+b≥1，所以不等式kx+b≥1的解集为x≥5，故选：B．13．解：A、∵a＞b，∴3a＞3b，成立；B、∵a＞b，∴b+3＜a+3，成立；C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故本选项不成立；D、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，∴3﹣2a＜3﹣2b，故本选项成立；故选：C．14．解：∵P（x﹣2，x）在第三象限，∴解得0＜x＜2，故选：A．15．解：在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4的解集为：故选：A．16．解：A、∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2∴选项A不符合题意；B、∵m＞n，∴﹣3m＜﹣3n，∴选项B不符合题意；C、∵m＞n，m是什么数不明确，∴m2＞mn不正确，∴选项C符合题意；D、∵m＞n，∴＞，∴选项D不符合题意．故选：C．17．解：解不等式3x﹣5＜3+x的解集为x＜4，所以其自然数解是0，1，2，3，共，4个．故选：D．18．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），∴不等式kx+b＞0的解集为x＜﹣2．故选：A．19．解：＞x，4﹣x＞3x，﹣x﹣3x＞﹣4，x＜1，∴不等式＞x的最大整数解是0．故选：B．20．解：设售价的折扣为x，成本为a元，根据题意可得出：a（1+25%）（1﹣x）≥a，解得：x≤20%，故选：A．21．解：由于x＞﹣2，所以表示﹣2的点应该是空心点，折线的方向应该是向右．由于x≤1，所以表示1的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．所以数轴表示的解集为：故选：B．22．解：不等式移项合并得：﹣x＜﹣1，解得：x＞1，表示在数轴上，如图所示故选：A．23．解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱则＞，解之得，x＞y．所以赔钱的原因是x＞y．故选：B．24．解：不等式解得：x＞3，则3.5是不等式的解，故选：A．25．解：A．a＜b，不等式两边同时乘以得：，即A项不合题意，B．a＜b，不等式两边同时乘以得：，不等式两边同时减去3得：a﹣3﹣3，即B项符合题意，C．a＜b，不等式两边同时加上3得：a+3＜b+3，即C项不合题意，D．a＜b，不等式两边同时乘以﹣3得：﹣3a＞﹣3b，即D项不合题意，故选：B．26．解：，∵解不等式①得：x＞8，解不等式②得：x＜2﹣4a，∴不等式组的解集是8＜x＜2﹣4a，∵关于x的不等式组有四个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故选：B．27．解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2，解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A．28．解：解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤，∴不等式组的解集为＜x≤，∵关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，∴6≤＜7，9≤＜10，解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，∴a＝15或16或17，b＝21或22或23，设整数a与整数b的和为M，则M的值有15+21＝36，15+22＝37，15+23＝38，16+21＝37，16+22＝38，16+23＝39，17+21＝38，17+22＝39，17+23＝40共5个，故选：D．29．解：，解①得：x＞﹣2，解②得：x≤2，则不等式组的解集是：﹣2＜x≤2．故选：D．30．解：由图象可得：当x≤2时，kx+b≥0，所以关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≤2，故选：D．二．填空题（共20小题）31．解：移项得：3x＞6，解得：x＞2，故答案为：x＞2．32．解：解不等式5﹣2x≥1，得：x≤2，解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故答案为：﹣2＜x≤2．33．解：不等式组整理得：，解得：1≤x＜2，则不等式组的整数解为1，故答案为：1．34．解：解不等式3x﹣5＞1，得：x＞2，解不等式5x﹣a≤12，得：x≤，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4≤＜5，解得：8≤a＜13，故答案为：8≤a＜13．35．解：一次函数y＝kx+b，当y≤0时，图象在x轴上以及x轴下方，∴函数图象与x轴交于（2，0）点，∴不等式kx+b≤0的解集为x≥2，故答案为：x≥2．36．解：解不等式2x﹣3＜7，得：x＜5，解不等式5﹣3x＜﹣4，得：x＞3，则不等式组的解集为3＜x＜5，故答案为：3＜x＜5．37．解：根据题意得：2x+1＞x，解得：x＞﹣1，则满足条件的x的最小整数是0，故答案为：038．解：由不等式得x＞a+2，x＜b，∵﹣1＜x＜1，∴a+2＝﹣1，b＝1∴a＝﹣3，b＝2，∴（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1．故答案为1．39．解：2x﹣2m＝x+4，∴x＝4+2m，∵方程的解是正数，∴4+2m＞0，∴m＞﹣2．即m的取值范围是m＞﹣2．40．解：，由①得，x≥3；由②得，x＜5；则不等式组的解集为3≤x＜5．故答案为：3≤x＜5．41．解：由题意得：2x﹣3≥0．故答案为：2x﹣3≥0．42．解：由题意可得：y﹣1≤2．故答案为：y﹣1≤2．43．解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣2x+3＞1，解得x＜1；故答案为x＜1．44．解：3x﹣1＞﹣4，3x＞﹣3，x＞﹣1，所以不等式3x﹣1＞﹣3的最小整数解是0，故答案为：0．45．解：∵解不等式①得：x≥，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集是≤x＜3，故答案为：≤x＜3．46．解：由图形可知，当x＜﹣1时，﹣3x＞kx+b，所以，关于x的不等式﹣3x＞kx+b的解集是x＜﹣1．故答案为：x＜﹣147．解：去分母得：x﹣4＞8﹣2x，移项合并得：3x＞12，解得：x＞4，故答案为：x＞448．解：∵关于x的一元一次不等式x﹣a≥0只有3个负整数解，∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．49．解：∵解不等式①得：x≥2+2b，解不等式②得：x≤，又∵关于x的不等式组无解，∴2+2b＞，解得：b＞﹣3，故答案为：b＞﹣3．50．解：根据题意，得2x﹣y＞3．故答案是：2x﹣y＞3．。

2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式练习含解析新人教A版必修

课时训练15　不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0. (∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有 .答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a < 1 b,又c<0,∴ca >cb,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a >1,则1+a<1+1a,∴log a(1+a)>log a(1+1a),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(a-12b)2+34b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.ABD.A>B答案:B 解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 .答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v 2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×S v 1+v 22=4S v 1+v 2.∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v 1v 2−4S v 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x +a 与y y +b的大小关系.解:因为x x +a −y y +b =bx -ay (x +a )(y +b ),又1a >1b且a>0,b>0,所以b>a>0.又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0.又x+a>0,y+b>0,所以bx -ay (x +a )(y +b )>0,即x x +a >y y +b.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 .答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.①∵3≤xy 2≤8,∴18≤1x y 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1x y 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b ;(2)a-b ;(3)ab .解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8.(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.又1<a<2,所以-3<a-b<-1.(3)因为3<b<4,所以14<1b <13.又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0.求证:3√ad <3√bc .思路分析:解答本题可先比较a d 与b c 的大小,进而判断3√a d <3√bc .证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d .又a>b>0,∴-ad >-bc>0.∴3√-a d>3√-b c,即-3√a d>-3√b c.两边同乘以-1,得3√a d<3√b c.(建议用时:30分钟) 1.若a,b∈R,且a>b,则( )A.a2>b2B.ba<1C.lg(a-b)>0D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b,无法保证a2>b2,ba<1和lg(a-b)>0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )A.1 a <1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.1 a-c >1b-cB.1a-c<1b-cC.ac>bcD.ac<bc 答案:B解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.∴1 a-c <1 b-c.故选B.4.下列结论正确的是( )A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac > b cC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为 .答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-b b <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是 . 答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p-m>0,p-n<0或{p-m<0,p-n>0.又m<n,∴m<p<n.同理m<q<n,又p<q,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=a+b2元,乙的平均价格为n=20001000a+1000b=2aba+b,∴m-n=a +b 2−2ab a +b =(a -b )22(a +b )>0.∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2),解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403,所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。

高中数学：不等关系与不等式练习

高中数学：不等关系与不等式练习(时间:30分钟)1.(十堰模拟)若x+y>0，a<0，ax>0，则y-x一定( A )(A)大于0 (B)等于0(C)小于0 (D)不确定解析:由a<0，ax>0，得x<0，又x+y>0，所以y>0，故y-x>0.2.(衡水中学模拟)已知<<0，则下列选项中错误的是( D )(A)|b|>|a| (B)ac>bc(C)>0 (D)ln >0解析:<<0，当c<0时，>>0，即b>a>0，所以|b|>|a|，ac>bc，>0成立，此时0<<1，所以ln <0. 当c>0时，<<0，即b<a<0，所以|b|>|a|，ac>bc，>0成立，此时0<<1，所以ln <0.故选D.3.(许昌模拟)若a，b都是实数，则“->0”是“a2-b2>0”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由->0得a>b≥0，由a2-b2>0得a2>b2，即a>b≥0或a<b≤0，所以“->0”是“a2-b2>0”的充分不必要条件.4.(商丘模拟)已知a=log23+log2，b=log29-log2，c=log32，则a，b，c的大小关系是( B )(A)a=b<c (B)a=b>c (C)a<b<c (D)a>b>c解析:a=log23+log2=log23.b=log29-log2=log2=log23.所以a=b=log23>log22=1.因为c=log32<log33=1，所以a=b>c，故选B.5.(安徽五校联考)已知下列四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.能推出<成立的有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:因为b>0>a，所以①正确;由倒数法则知②④正确，故选C.6.(阜阳模拟)若1<a<3，-4<b<2，则a-|b|的取值范围是( C )(A)(-1，3) (B)(-3，6)(C)(-3，3) (D)(1，4)解析:因为-4<b<2，所以0≤|b|<4，所以-4<-|b|≤0，又因为1<a<3，所以-3<a-|b|<3.7.x2+y2+1与2(x+y-1)的大小关系是.解析:因为(x2+y2+1)-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0，所以x2+y2+1>2(x+y-1).答案:x2+y2+1>2(x+y-1)8.若-1<a+b<3，2<a-b<4，则2a+3b的取值范围是.解析:设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)，所以得因为-1<a+b<3，2<a-b<4，所以-<(a+b)<，-2<-(a-b)<-1.所以-<2a+3b<. 答案:-，能力提升(时间:15分钟)9.(咸阳模拟)已知0<a0 (B)2a-b <(C)log 2a+log 2b<-2 (D)<解析:由题意，得0<a<1，0<b<1，因此log 2a<0，A 错;-1<-b<0，又a2=2. 所以>22=4，D 错;由a+b=1>2，得ab<，所以log 2a+log 2b=log 2(ab)<log 2=-2，C 正确.故选C.10.(江门模拟)已知三个不等式:ab>0，bc-ad>0，->0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数为( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①由ab>0，bc-ad>0，即bc>ad ，得>，即->0;②由ab>0，->0，即>，得bc>ad ，即bc-ad>0;③由bc-ad>0，->0，即>0，得ab>0.故可组成3个正确的命题.11.(芜湖模拟)甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种)，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购买1 000 kg，乙每次购粮用去1 000元钱，则购粮方式更合算的是(选填“甲”或“乙”).解析:设两次价格分别为a元，b元，则甲的平均价格为m=元，乙的平均价格为n==，所以m-n=-=>0，所以m>n，所以乙更合算.答案:乙12.(襄阳模拟)若x>y，a>b，则在①a-x>b-y，②a+x>b+y，③ax>by，④x-b>y-a，⑤>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是.解析:令x=-2，y=-3，a=3，b=2，符合题设条件x>y，a>b，因为a-x=3-(-2)=5，b-y=2-(-3)=5，所以a-x=b-y，因此①不成立.因为ax=-6，by=-6，所以ax=by，因此③也不成立.因为==-1，==-1，所以=，因此⑤不成立.由不等式的性质可推出②④成立.答案:②④13.(遵义模拟)若-1≤lg ≤2，1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是.解析:由1≤lg(xy)≤4，-1≤lg ≤2得1≤lg x+lg y≤4，-1≤lg x-lg y≤2，而lg =2lgx-lg y=(lg x+lg y)+(lg x-lg y)，所以-1≤lg ≤5. 答案:[-1，5]14.在a>0，b>0的情况下，下面四个结论:①≤;②≤;③≤;④+≥a+b.其中正确的是.解析:①中-==-≤0，所以≤;②正确;③中()2-=≤0，所以≤;④中(+)-(a+b)===≥0，所以+≥a+b.答案:①②③④。

课时作业17：§3.1　不等关系与不等式

§3.1 不等关系与不等式一、选择题1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>ax >a 2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D解析取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12∴a b >a b 2>a . 3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 答案 C解析对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b<0，此时1a >1b，∴A 不成立；对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立，∴C 成立；对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2 答案 A解析由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >c ，则ab >ac . 5．已知a ，b 为非零实数，且a 0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a 0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1. 6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N 答案 C解析当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .二、填空题7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时， .答案 a ＋m b ＋m >a b解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．8．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－32，52 解析由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得，2a －b ∈⎝⎛⎭⎫－32，52. 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为．答案 x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0. ∴x 1＋x 2≤12. 10．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为．答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2解析因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0.所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2.三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．解由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N )． 12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号． 13．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：e a －c ＞e b －d. 证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0，即a －c ＞b －d ＞0，∴0<1a －c <1b －d，又∵e <0，∴e a －c ＞e b －d .14．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y 1＋y，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M ＝NB ．M <NC ．M ≤ND ．M >N答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0，∴x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y 1＋y ，故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y 1＋y＝N ，即M <N . 15．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是．答案 [－6,9]解析设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， ∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10，又－4≤x －y ≤－1，∴－6≤9x －3y ≤9.。

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课题：不等式与不等关系
考纲要求：
①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.
②了解不等式的常见性质.
教学重点:不等式的性质的灵活应用与两实数大小比较的方法.
教材复习
不等式的性质：①对称性：a b b a <⇔>；②传递性：,a b b c a c <<⇒<．
③可加性：a b a c b c <⇔+<+；④加法性质：,.a b c d a c b d <<⇒+<+
⑤移项法则：a b c a c b +>⇔>-⑥可乘性：,0,0a b c ac bc a b c ac bc
<>⇒<<<⇒>； ⑦乘法性质：0,0.a b c d ac bd >>>>⇒>⑧乘方性质：0,.
n n a b n N a b *>>∈⇒>
⑨开方性质：0,a b n N *>>∈⇒> ⑩倒数法则：111100,00.a b a b a b a b
>>⇒<<<<⇒>> 主要方法：比较两数大小的一般方法是：作差比较法与作商比较法．
典例分析：
考点一：不等式的性质
问题1．若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题：()1ad bc >；()20a b d c
+<； ()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-中能成立的个数是 .A 1.B 2.C 3.D 4
问题2．已知1260a <<，1536b <<，求12a b -及a b
的取值范围.
问题3．已知0a b >>，0d c <<<.
考点二：比较数（式）的大小
问题4．()1若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；
()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.
考点三：利用不等式表示不等关系
问题5．已知4枝郁金香和5枝丁香的价格最多22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格不小于24元.设郁金香、丁香的单价分别为x 元、y 元，则满足上述不等关系的不等式组为
课后作业：
1.已知0a <,10b -<< ,那么2,,a ab ab 的大小的关系是
2.已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列不等式中恒成立的是（填序号） ①b c a a > ②0b a c -> ③22b a c c > ④0a c ac
-<
3.设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b -
>-”成立的 .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件
4.（2012济南练习）若0a b <<，则下列不等式成立的是
.A 11a b > .B 11a b a
>- .C a b > .D 22a b >
5.（2013浙江六校联考）若,0a b >，则“a b >”是“3322a b a b ab +>+”的
.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件
6.(2013泰安模拟)已知(),,0,a b c ∈+∞，若
c a b a b b c c a <<+++，则 .A c a b << .B b c a << .C a b c << .D c b a <<
走向高考：
1.（09四川文）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件
2.（09安徽文）“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的
.A 必要不充分条件.B 充分不必要条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件
3.（04北京）已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是
.A ab ac > .B c b a ()-<0 .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac
4.（06上海春）若,a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是
.A b a 11< .B 22b a > .C 1
122+>+c b c a .D ||||c b c a >
5.（06江西）若0a >，0b >，则不等式1b a x
-<<等价于 .A 10x b -<<或10x a <<.B 11x a b -<< .C 1x a <-或1x b > .D 1x b <-或1x a
>
6.（2010广东文） “0x >0>”成立的
.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 既非充分也非必要条件 .D 充要条件
7.（2012湖南文）设1a b >>，0c <，给出下列三个结论：
① c a ＞c b
② c a ＜c b ③ log ()g ()b a a c lo b c ->-．其中所有的正确结论的序号是 .A ① .B ① ② .C ② ③ .D ① ②③
8.（2013上海春）如果0a b <<,那么下列不等式成立的是
.A 11a b < .B 2ab b < .C 2ab a -<- .D 11a b
-<-
9.（2013北京文）设,,a b c R ∈,且a b >,则
.A ac bc > .B 11a b < .C 22a b > .D 33a b >。