高一数学二次函数知识点归纳

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二次函数的零点知识点高一

二次函数的零点知识点高一二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是数学课程中较为复杂的内容之一。

其中，二次函数的零点是学习二次函数的基础知识点之一。

本文将从定义、性质、求解等多个方面来探讨二次函数的零点知识点。

定义：二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a≠0。

这个函数的图像是一条抛物线，开口的方向取决于a的正负。

零点（或者称为根）是指函数的值为0的点，即f(x) = 0的解。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，求解零点就是要找到使得f(x) = 0的x的值。

性质：1. 零点的个数：二次函数一般有零点，但它的零点个数取决于判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。

当Δ > 0时，有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，没有实根，但存在两个虚根。

这个性质也反映了二次函数图像与x轴的相交情况。

2. 零点的对称性：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点x1和x2满足x1 + x2 = -b/a，即两个零点的和与二次项系数a的比值为负。

这个性质称为二次函数零点的对称性，也可通过抛物线的轴对称性来解释。

求解方法：1. 因式分解法：如果二次函数能够被因式分解，即能写成f(x) = a(x - r)(x - s)的形式，其中r和s为实数，那么它的零点就是x = r和x = s。

2. 公式法：二次函数的根可以通过求解一元二次方程得出。

根据根的公式x = (-b±√Δ)/(2a)，其中±表示取加减两种解，Δ = b^2 - 4ac为判别式。

通过这个公式，可以求出二次函数的零点。

3. 完全平方法：对于一些特殊的二次函数，可以利用完全平方公式将其转化为平方的形式。

例如，f(x) = (x - 3)^2 - 4的零点可以通过x - 3 = ±√4转化为求解一次方程的问题。

高一数学二次函数知识点归纳

高一数学二次函数知识点归纳高一数学二次函数是一种常见的函数类型，掌握二次函数的知识对我们学习数学以及实际生活中的问题解决都具有重要作用。

下面是对高一数学二次函数知识点的归纳和三个例子。

（一）基本概念高一数学二次函数的一般式为 y = ax² + bx + c（其中a ≠ 0），其中 a，b，c是实数，x，y是变量。

a 是函数的二次项系数，控制着图像的开口方向和大小，当 a>0 时，开口朝上；a<0 时，开口朝下。

b 是一次项系数，控制着图像的横向位置；c 是常数项系数，控制着图像的纵向位置。

二次函数的图像是一个抛物线。

（二）二次函数的性质①对称性：二次函数图像关于 x=-b/2a 对称，称为抛物线的对称轴；②零点：也就是函数值为0的点。

求二次函数的零点需要先将其转化为一元二次方程，使用求根公式即可求解；③最值：也就是函数的极值点，当二次函数的抛物线朝上时，函数的最小值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c；当抛物线朝下时，函数的最大值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c。

（三）例子1. 求二次函数 y = x² + 3x + 2 的对称轴、开口方向和最小值。

解：对称轴为x=-b/2a = -3/2，因此抛物线沿着这条直线对称。

a=1>0，因此开口朝上。

最小值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c = -1/4。

2. 求二次函数y = −2 x² + 8 x − 3 的零点和最大值。

解：将函数转化为一元二次方程：-2x²+8x-3 = 0；使用求根公式求解，得到 x1=1.5，x2=1.7；a=-2<0，因此抛物线朝下，最大值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c = 2.2。

3. 已知二次函数 y=3x²+6x-1，求其图像通过的点。

解：将 x 带入函数式得到 y=3x²+6x-1；当 x=0 时，y=-1；因此，通过的点为 (0,-1)。

高一数学必修一知识点归纳

高一数学必修一知识点归纳第一章二次函数1.1 一元二次方程及其解法一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，可以通过公式法、配方法和因式分解等方式求解。

1.2 二次函数的图像及性质二次函数y=ax^2+bx+c的图像为抛物线，开口向上或向下，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

1.3 二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程可以通过二次函数的图像特征求解，二次函数的各项系数与一元二次方程的特征之间有一一对应的关系。

第二章直线与圆2.1 直线的方程及性质直线的一般方程为Ax+By+C=0，斜率为-k/A，其中k为直线的垂直距离。

2.2 圆的方程及性质圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

第三章度量衡3.1 长度、面积和体积的计算长度、面积和体积的计算包括常见图形的计算公式和应用场景，如长方形、正方形、圆形等。

3.2 单位换算长度、面积和体积的不同单位之间的换算，包括长度单位、面积单位、体积单位等。

第四章三角函数4.1 弧度制下的角度角度的度量单位有度、分、秒和弧度制，弧度制下一周的角度为2π。

4.2 三角函数的概念三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们与直角三角形的边和角之间有一一对应的关系。

4.3 三角函数的图像及性质三角函数的图像具有周期性、对称性，通过振幅和周期来描述函数的性质。

第五章概率5.1 随机事件及基本概率随机事件的基本概率计算方法包括等可能概率、加法原理和乘法原理等。

5.2 条件概率及事件的独立性条件概率描述了随机事件在已知其他事件发生的情况下自身发生的概率，事件的独立性指两个事件发生与否互不影响。

第六章初等数论6.1 整除、最大公因数、最小公倍数整除、最大公因数和最小公倍数概念及计算方法，涉及质数、合数、素数分解等内容。

6.2 同余式同余式描述了整数之间的某种特殊的相等关系，同余式的性质包括传递性、对称性和相容性等。

课次九二次函数知识点归纳

高一上学期数学开学复习讲学案课题九二次函数【知识点归纳】：一、二次函数概念：1、概念：一般地，形如2=++（a b cy a x b x ca≠）的函数，叫做二次函数。

，，是常数，0和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：2y ax=的性质：2. 2y ax c=+的性质：上加下减。

例1 若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）（A）a+c（B）a－c（C）－c（D）c3. ()2y a x h =-的性质：4.()2y a x h k =-+的性质将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”。

例2 要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位例3 在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）。

A . 2x 2y 2-= B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 例4 将抛物线y =3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（）A . y =3(x +2)2+4B ．y =3(x －2)2+4C ． y =3(x －2)2－4D ．y =3(x +2)2－4 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.例5 抛物线y =(m －4)x 2－2mx －m －6的顶点在x 轴上，则m =______．例6 二次函数y =2x 2－x －3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________．例7. 已知一次函()()2322++++-=m x m x m y 的图象过点（0，5） ⑴ 求m 的值，并写出二次函数的关系式； ⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac ba-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac ba -．例8 已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间例9 已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是（只需填写序号）．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.例10 用配方法把二次函数y =2x 2+2x －5化成y =a (x －h )2+k 的形式为___________．八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．a ＞0，抛物线开口向上，0a <，抛物线开口向下； a 越小开口越大，a 越大开口越小。

高一数学必背知识点大全：二次函数的定义

高一数学必背知识点大全：二次函数的定义当高中倒计时的钟声开始响起，一段全新的旅程也即将开启。

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高一数学必背知识点大全：二次函数的定义一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

调整心态，正确对待考试首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。

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由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。

高一数学必背知识点大全介绍到这里了，想必大家已经积累了不少文化知识，同时也一定不要忘了及时调整自己的【学习计划】，提前做好开学的准备！高一数学必背知识点2017：两个平面的位置关系之平行高一数学知识重点：两个平面的位置关系之二面角。

数学二次函数高一知识点

数学二次函数高一知识点一、二次函数的定义与性质二次函数是函数中最常见也最重要的一类函数，其定义形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

二次函数的图像是抛物线。

1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

- a决定抛物线开口的方向和抛物线的开口程度（正数为开口向上，负数为开口向下）。

- b决定抛物线的位置，也称为抛物线的对称轴。

- c决定抛物线与y轴交点的纵坐标。

2. 零点：二次函数的零点是指使得函数值为0的x值。

如果二次函数有两个不同的零点，那么抛物线与x轴有两个交点。

- 零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来获得。

3. 对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为对称轴，可通过利用二次函数的特点可知对称轴的横坐标为-x坐标的一半。

4. 领域：二次函数的定义域为全体实数。

即二次函数对任意实数x都有定义。

5. 单调性：二次函数的单调性取决于a的正负，当a > 0时，二次函数单调递增；当a < 0时，二次函数单调递减。

6. 极值点：若二次函数的开口向上，则二次函数的最小值为极值点；若开口向下，则二次函数的最大值为极值点。

二、二次函数的图像及其性质1. 垂直方向的平移：通过改变常数c的值，可以实现二次函数整体上下平移。

当c > 0时，抛物线上移；当c < 0时，抛物线下移。

2. 水平方向的平移：通过改变常数b的值，可以实现二次函数整体左右平移。

对于函数y = ax^2 + bx + c，当b > 0时，抛物线右移；当b < 0时，抛物线左移。

3. 拉伸与压缩：通过改变常数a的值，可以实现二次函数整体的拉伸或压缩。

当|a| > 1时，抛物线沿x轴方向压缩；当|a| < 1时，抛物线沿x轴方向拉伸。

4. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过计算得到，顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

高一高二数学知识点归纳

高一高二数学知识点归纳一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数的定义、定义域和值域、奇函数与偶函数、周期函数、反函数等。

2. 一次函数与二次函数一次函数的图像、斜率与截距、函数关系、线性规划等；二次函数的图像、顶点、轴、对称性质、判别式、二次函数图像的平移等。

3. 高次函数与分式函数高次函数的性质、幂函数与指数函数、对数函数等；分式函数的图像、长除法、解分式方程等。

4. 三角函数基本三角函数的定义、单位圆上的三角函数图像、三角函数的性质、解三角方程等。

二、几何与向量1. 几何运算与几何图形直线与平面的方程、向量的加法与数量积、几何图形的平移、旋转、镜像等。

2. 二维几何图形与三维几何图形二维几何图形的性质与计算、三角形与四边形的性质、圆的性质等；三维几何图形的表面积与体积、曲线与曲面的切线与法线等。

3. 空间向量与立体几何三角函数在空间中的应用、向量的混合积、平面与直线的位置关系等。

三、数列与数学归纳法1. 通项公式与递推公式等差数列与等比数列的性质、通项公式的推导、递推公式的应用等。

2. 等差数列与等差数列的求和等差数列与等差数列的求和公式、算术平均数、等差中项等。

3. 数列极限与数学归纳法数列的极限与性质、数学归纳法的应用等。

四、概率与统计1. 事件与概率事件的概念与关系、样本空间与概率、事件的运算、条件概率与独立性等。

2. 随机变量与分布随机变量的概念、离散随机变量与连续随机变量、分布函数与密度函数、期望与方差等。

3. 统计与抽样数据的收集与整理、频率分布表与直方图、数据的描述与分析等。

五、数学思想方法与证明1. 数学思想方法抽象思维与逻辑思维、归纳与演绎、分类与比较等。

2. 数学证明直接证明、间接证明、归纳证明、反证法等。

综上所述，高一高二数学知识点的归纳包括了函数与方程、几何与向量、数列与数学归纳法、概率与统计以及数学思想方法与证明等内容。

掌握这些知识点可以帮助同学们在学习数学过程中更加全面和系统地理解和运用相关的概念与方法，提高数学思维和解决问题的能力。

高一数学二次函数知识点总结

I.定义与定义表达式一般地，自变量某和因变量y之间存在如下关系：y=a某^2+b某+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)那么称y为某的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=a某^2+b某+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(某-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(某-某 )(某-某 )[仅限于与某轴有交点A(某，0)和B(某，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a某，某 =(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=某^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线某=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线某=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在某轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

a越大，那么抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与某轴交点个数Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与某轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与某轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与某轴没有交点。

二次函数数学知识点高一

二次函数数学知识点高一二次函数是高中数学中的一个重要知识点，它是一种常见的函数类型，在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。

本文将从二次函数的定义、特点、图像、性质等多个方面进行论述，帮助读者更好地理解和掌握二次函数的相关知识。

一、二次函数的定义与特点二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$都是实数且$a\neq 0$。

其中，$a$决定了二次函数的开口方向（正负号），$b$决定了二次函数的对称轴位置，$c$决定了二次函数与纵轴的交点。

二次函数的图像通常为抛物线，它有以下几个特点：1. 开口方向：若$a > 0$，则抛物线开口向上；若$a < 0$，则抛物线开口向下。

2. 对称轴：对称轴是一条垂直于横轴的直线，其方程为$x = \frac{-b}{2a}$。

3. 最值：当$a > 0$时，二次函数的最小值为$c - \frac{b^2}{4a}$；当$a < 0$时，二次函数的最大值为$c - \frac{b^2}{4a}$。

4. 零点：二次函数与$x$轴的交点称为零点。

二次函数有可能有1个、2个或0个零点，这取决于判别式$D = b^2 - 4ac$的值。

二、二次函数的图像与性质1. 完整图像：为了绘制二次函数的图像，我们可以找到对称轴上的一个点，然后根据对称性质绘制其他部分。

还可以根据开口方向、最值等信息来确定图像的大致形状。

2. 平移与伸缩：对于一般的二次函数，平移与伸缩可以通过改变对称轴和系数来完成。

平移可以通过将对称轴上的点坐标改变相应量来实现，而伸缩可以通过改变系数$a$来实现。

3. 零点与轨迹：对于二次函数中的零点，可以通过求解方程$f(x) = 0$来求得。

如果将二次函数平移或伸缩，零点的位置会相应地改变。

当二次函数开口向上时，轨迹低于抛物线；当二次函数开口向下时，轨迹高于抛物线。

三、二次函数的应用二次函数是应用数学中的一个重要工具，被广泛运用于各个领域。

高一数学知识点梳理：二次函数与一元二次方程_知识点总结

高一数学知识点梳理：二次函数与一元二次方程_知识点总结亲爱的同学们，大家好!在度过一个平安、愉快的暑假之后，我们满怀新的希望，迎来了生机勃勃的新学期！现在请跟着我，一起熟悉高一数学知识点梳理。

二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h>0，k当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

高一数学单元知识点专题讲解5---二次函数的最值问题

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【例 3】当 x ≥ 0时，求函数 y = −x(2 − x)的取值范围．
解：作出函数 y = −x(2 − x) = x2 − 2x 在 x ≥ 0 内的图象．
可以看出：当 x = 1时， ymin = −1，无最大值．所以，当 x ≥ 0时，函数的取值范围是 y ≥ −1．
【例 4】当t ≤ x ≤ t +1时，求函数 y = 1 x2 − x − 5 的最小值(其中t 为常数)．分析：由于 x 所给的范围随着t 的变化而2变化，所以2需要比较对称轴与其范围的相对位置．
ymax = 37
当时，；当时，． (2) a ≥ 0 ymax = 27 + 10a a < 0 ymax = 27 −10a
．． 2 −2 ≤ m ≤ −1 ．． 3 a = 2,b = −2
4． a = − 1 或 a = −1． 4
5．当t ≤ 0 时， ymax = 2 − 2t ，此时 x = 1；当t > 0 时， ymax = 2 + 2t ，此时 x = −1．
解：函数 y = 1 x2 − x − 5 的对称轴为 x = 1．画出其草图．
2
2
(1) (2)
当对称轴在所给范围左侧．即t 当对称轴在所给范围之间．即t
> 1时：
当时， x = t
ymin
时： ≤ 1 ≤ t + 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
=
1 t2 2
−t
−
5 2
；
(3)
当当对x称=轴1时在，所给ym范in 围= 右12 ×侧1．2 −即1t−+521
； (1) y = 2x2 − 4x + 5

沪教版高一数学知识点归纳总结

沪教版高一数学知识点归纳总结高一是学生们进入高中阶段的开始，也是学习数学的关键时期之一。

在这一阶段，学生们需要打好数学基础，掌握数学的基本概念和方法。

下面将对沪教版高一数学的知识点进行归纳总结，以帮助学生们更好地学习和理解数学。

一、二次函数与一次函数1. 二次函数的概念及基本性质：- 定义：形如y=ax²+bx+c(a≠0)的函数称为二次函数，其中a、b、c 为常数，a称为二次项系数。

- 平移变换：二次函数可以通过平移变换的方式进行图像的平移、翻转和压缩。

- 对称轴与顶点：二次函数的对称轴与顶点可以通过二次函数的常用形式y=a(x-h)²+k来确定，其中(h,k)为顶点坐标。

2. 一次函数的概念及基本性质：- 定义：形如y=kx+b的函数称为一次函数，其中k、b为常数，k称为斜率，b称为截距。

- 斜率与图像特性：一次函数的斜率决定了图像的倾斜程度，斜率大于0表示图像向上倾斜，斜率小于0表示图像向下倾斜。

- 解直线方程：通过一次函数的斜率和截距，可以确定直线的方程，从而求解方程。

二、三角函数1. 基本概念：- 弧度与角度的转化：弧度制与角度制是两种衡量角度大小的方式，可以通过特定的换算公式进行转化。

- 正弦、余弦、正切等概念：对于一个给定的角度，正弦、余弦、正切等三角函数可以通过三角比的方式进行计算。

2. 基本性质：- 周期性质：三角函数具有周期性的特点，周期为2π或π，根据角度大小可以进行相应的变化。

- 函数图像：通过绘制三角函数的函数图像，可以更直观地了解三角函数的变化规律。

3. 弧长和面积计算：- 弧长的计算公式：通过角度和半径的关系，可以计算出圆的弧长。

- 扇形面积和扇形弧长：通过给定的角度、半径，可以计算出扇形的面积和弧长。

三、平面向量1. 基本概念：- 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，并可以表示为有序数组。

- 向量的加减法：向量的加法和减法可以通过分别对应位置的坐标进行运算得到。

高一数学第二章题型知识点

高一数学第二章题型知识点第一节一次函数与二次函数在高一数学第二章的学习中，我们将会接触到一次函数与二次函数这两个重要的数学概念。

这两种函数在现实生活中的应用非常广泛，所以掌握它们的基本知识是非常重要的。

下面我们来具体了解一下这两个概念及其相关的题型知识点。

一、一次函数一次函数是指函数的最高次项是一次幂的函数，其一般表达式为：y = kx + b其中，k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的交点。

1. 斜率的意义斜率代表了直线的倾斜程度，可以用来描述函数图像的特征。

斜率越大，表示直线越陡峭；斜率为正值，表示直线是递增的；斜率为负值，表示直线是递减的。

2. 截距的意义截距表示了直线与y轴的交点在y轴上的坐标，可以通过截距来确定直线与y轴的位置关系。

当截距为正值时，表示直线在y轴的上方与y轴相交；当截距为负值时，表示直线在y轴的下方与y轴相交；当截距为零时，表示直线经过原点。

3. 求解一次函数的图像与解析式根据一次函数的斜率和截距信息，我们可以画出该函数的图像。

反过来，通过观察一次函数的图像，我们可以估计出该函数的斜率和截距的取值范围。

二、二次函数二次函数是指函数的最高次项是二次幂的函数，其一般表达式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

1. 抛物线的开口方向二次函数的抛物线开口方向与二次项系数a的正负有关。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

2. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，在求解最值问题时十分重要。

顶点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得，纵坐标则通过代入横坐标到函数中求得。

3. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，也就是函数值等于0的解。

可以通过因式分解、配方法或求根公式来求解二次函数的零点。

结语通过学习第二章的一次函数与二次函数知识点，我们将会更深入地理解函数的性质与解析式之间的联系。

高一下数学知识点归纳大全

高一下数学知识点归纳大全在高一下学期的数学学习过程中，我们接触到了许多重要的知识点，这些知识点是我们建立起数学基础的关键。

为了更好地回顾和巩固这些知识点，下面将对高一下学期的数学知识点进行归纳总结。

一、二次函数及其图像1. 二次函数的定义及标准形式二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

标准形式为y=ax²+bx+c。

2. 二次函数的图像特征二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。

若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

3. 二次函数的平移与缩放二次函数通过平移和缩放可以改变其图像的位置和形状。

平移时，将横轴上的每个点x移动h个单位，纵轴上的每个点y移动k 个单位。

缩放时，将横轴上的每个点x乘以一个比例系数a，纵轴上的每个点y乘以一个比例系数b。

二、三角函数及其应用1. 三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

它们的定义通过单位圆上的点和坐标轴之间的关系来确定。

2. 三角函数的图像与周期性正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为2π。

其中，正弦函数的图像在x=π/2和x=3π/2处取得最大值和最小值，余弦函数的图像在x=0和x=π处取得最大值和最小值。

3. 三角函数的性质与公式三角函数具有很多性质和公式，如和差化积、倍角公式、平移公式等。

这些公式在解三角方程和简化三角式等问题中起到重要作用。

三、平面向量与解析几何1. 平面向量的定义与运算平面向量是有大小和方向的量，用箭头表示。

平面向量的加法满足三角形法则，减法则是加上对应向量的相反向量。

向量的数乘、数量积和向量积是平面向量的常见运算。

2. 解析几何的基本概念解析几何是通过代数的方法来研究几何问题的分支学科。

在平面直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y)，向量的表示为(xi, yj)。

高一第二册数学知识点思维导图

高一第二册数学知识点思维导图一、函数与方程1. 函数的定义和性质1.1 函数的概念1.2 函数的性质2. 一次函数与二次函数2.1 一次函数的性质与图像2.2 二次函数的性质与图像3. 指数函数与对数函数3.1 指数函数的定义和性质3.2 对数函数的定义和性质4. 幂函数与反比例函数4.1 幂函数的定义和性质4.2 反比例函数的定义和性质5. 方程的解及图像5.1 方程的解5.2 方程的图像二、三角函数与解三角形1. 三角函数的基础知识1.1 弧度制与角度制1.2 三角函数的定义和性质2. 三角函数的图像与性质2.1 正弦函数的图像与性质 2.2 余弦函数的图像与性质2.3 正切函数的图像与性质3. 三角函数的计算3.1 三角函数的基本关系式3.2 三角函数的合并与分解4. 解三角形的基本概念4.1 直角三角形的解析4.2 一般三角形的解析三、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列1.1 等差数列的基本性质1.2 等比数列的基本性质2. 数列的递推关系与通项公式2.1 等差数列的递推关系与通项公式2.2 等比数列的递推关系与通项公式3. 数列的求和3.1 等差数列的求和3.2 等比数列的求和4. 数学归纳法的基本概念4.1 数学归纳法的思想和原理4.2 数学归纳法的应用四、平面向量与立体几何1. 平面向量的基础知识1.1 平面向量的定义和性质1.2 平面向量的运算法则2. 点、直线、平面与向量的关系2.1 点与向量的关系2.2 直线与向量的关系2.3 平面与向量的关系3. 空间向量与立体几何的基础概念 3.1 空间向量的定义和性质3.2 空间几何的基本公理4. 空间直线与平面的位置关系4.1 空间直线与平面的相交关系4.2 平行与垂直的判定五、概率论与数理统计1. 随机事件与概率的基础知识1.1 随机事件的概念和性质1.2 概率的定义和性质2. 随机变量与概率分布2.1 随机变量的概念和性质2.2 概率分布的基本概念和形式3. 统计与估计3.1 统计的基本概念和方法3.2 参数估计的基本原理和方法4. 假设检验与方差分析4.1 假设检验的基本概念和过程4.2 方差分析的基本原理和应用六、数学证明与数学建模1. 数学证明的基本方法1.1 直接证明法和间接证明法1.2 数学归纳法的证明方法2. 常见数学定理与证明2.1 勾股定理及其证明2.2 平行线定理及其证明2.3 傅里叶级数展开及其证明3. 数学建模的基本步骤3.1 建立模型的思路和方法3.2 模型求解的策略和技巧以上是高一第二册数学知识点的思维导图，通过这个思维导图，你可以清晰地了解到该册数学所包含的内容。

高一基本二次函数知识点

高一基本二次函数知识点二次函数是高中数学中的一个重要章节，也是数学学习的一个关键阶段。

在高一阶段，学习和掌握基本的二次函数知识点对于深入理解和应用数学知识具有重要意义。

本文将以介绍、解析和应用的方式，深入探讨高一基本二次函数的知识点。

1. 二次函数的定义二次函数是一种以x的二次项为最高项的函数。

一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像为一个抛物线，开口方向由a的正负决定。

2. 二次函数的图像特点二次函数的图像是一个抛物线，常常具有以下几个特点：- 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：抛物线的对称轴为x = -b/2a。

- 顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

- 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的图像与x轴的交点个数和位置。

- 当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点；- 当Δ < 0时，抛物线与x轴没有交点。

3. 二次函数的解析式对于一般形式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，我们常常需要解析出具体的性质和特点。

常见的解析内容包括：- 利用顶点形式的二次函数：f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标，可快速确定二次函数的图像特点。

- 求根公式：当二次函数与x轴相交时，可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求出交点的横坐标。

- 一次项的判断：通过判断一次项系数b的正负，可以确定抛物线的开口方向。

4. 二次函数的应用除了理论性的解析和计算，高一阶段的二次函数还有一些实际应用场景，如物理、经济、几何等。

以下是一些常见的应用方式：- 物理应用：物体的运动轨迹一般为抛物线，通过二次函数可以描述物体的运动规律和轨迹。

高一数学第2章知识点总结

高一数学第2章知识点总结在高一数学的第2章中，我们学习了一些重要的数学知识点。

本文将对这些知识点进行总结，以帮助同学们更好地复习和巩固相关知识。

1. 二次函数二次函数是高一数学中的重要内容之一。

它的一般形式为 f(x)= ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 都是实数，且a ≠ 0。

我们学习了如何根据二次函数的特点画出函数图像，如顶点、对称轴、开口方向等。

同时，我们还学习了如何求解二次函数的零点，并应用二次函数解决实际问题。

2. 平面向量平面向量是另一个重要的数学概念。

它由大小和方向组成，常用有向线段表示。

我们学习了平面向量的表示方法，如点表示法、坐标表示法等。

此外，我们还学习了向量的加法、减法、数量积和向量积等运算，以及这些运算的性质和应用。

3. 三角函数三角函数是与三角比相关的函数。

我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数等常见的三角函数，并熟悉了它们的定义和性质。

此外，我们还学习了如何利用三角函数解决实际问题，如测量高度、距离等。

4. 导数与微分导数是一个函数在某一点的变化率。

我们学习了导数的定义、性质和求导法则。

通过求导，我们可以计算函数在某一点的斜率，进而研究函数的变化趋势。

同时，我们还学习了微分的概念和应用，如求函数在某一点的微分近似值等。

5. 概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支。

我们学习了概率的基本概念，如样本空间、事件、概率等，并掌握了概率的计算方法，如排列组合、条件概率等。

此外，我们还学习了统计的相关概念，如频率、均值、中位数、标准差等，并学习了如何通过收集和分析数据来进行统计推断。

以上是高一数学第2章的主要知识点总结。

通过对这些知识点的复习和巩固，我们可以更好地理解和应用数学，提高数学问题的解决能力。

在学习过程中，我们要多加练习，注重思维的灵活运用，做到理论联系实际，掌握数学知识的内在规律。

只有通过不断地学习和实践，我们才能在数学领域中取得更好的成绩和突破。

高一数学知识点归纳总结重难点

高一数学知识点归纳总结重难点在高中数学学习过程中，高一阶段是数学基础知识的重要阶段。

在这一年里，学生们将接触到许多数学概念和知识点，为进一步深入学习打下坚实的基础。

本文将对高一数学知识点进行归纳总结，重点关注一些重要且难以理解的知识点。

1. 二次函数与图像在高一数学中，二次函数是重要的内容之一。

了解二次函数的基本形式和图像特点非常重要。

二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c为常数。

a决定了二次函数的开口方向，正值表示向上开口，负值表示向下开口；b决定了二次函数图像的位置；c则是二次函数图像与y轴交点的纵坐标。

掌握二次函数图像的平移、翻折等变换规律，能够帮助我们更好地理解和解题。

另外，了解二次函数的顶点坐标、对称轴等概念也是非常重要的。

2. 等差数列与等差数列求和等差数列也是高一数学中的一个重要内容。

等差数列是指一个数列中，任意两个相邻的项之间的差值都是相等的。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

了解等差数列的求和公式也很关键。

等差数列的前n项和Sn的公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2通过掌握等差数列的通项公式和求和公式，我们可以更有效地进行等差数列的计算和应用。

3. 概率与统计概率与统计也是高一数学中的重要内容。

了解概率的基本概念和计算方法，能够帮助我们预测事件发生的可能性。

了解统计学中的各种统计量，能够帮助我们从数据中获取有用的信息。

在概率与统计中，理解条件概率和事件独立性的概念至关重要。

同时，掌握排列组合和二项式定理等数学方法，能够更好地解决与概率和统计相关的问题。

4. 三角函数与三角恒等式三角函数是高一数学中的另一个重要内容。

熟练掌握正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，能够帮助我们理解和解决各种三角函数相关的问题。

另外，熟练掌握三角恒等式也是非常重要的。

通过运用三角恒等式，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而更好地解决问题。

高一数学必修一第二章知识点总结

高一数学必修一第二章知识点总结在高一学习数学的过程中，必修一是重要的基础课程之一。

第二章是其中的一个重要部分，以下是对该章节的知识点总结。

1. 二次函数二次函数是高中数学中的重要内容，它是由形如y=ax^2+bx+c的函数所组成。

其中，a、b、c分别代表二次函数的系数，a决定了二次函数的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了二次函数的纵坐标截距。

需要特别注意的是，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 二次函数的图像与性质二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置与二次函数的系数有关。

可以通过求解二次函数的顶点、轴对称线、零点等内容来探究二次函数的性质。

顶点是抛物线的最低点（最高点），轴对称线是通过顶点的一条垂直线，零点是函数与x轴的交点。

利用顶点坐标可以得到二次函数的最值，即最大值或最小值。

3. 二次函数的变化规律通过改变二次函数的系数，可以观察到其图像的变化规律。

例如，改变a的值可以改变抛物线的开口方向；改变b的值可以改变抛物线的位置；改变c的值可以改变抛物线的纵坐标截距。

此外，二次函数还可以通过平移、伸缩等变换来改变其图像。

4. 二次函数的解及其应用解二次函数的方法包括配方法和求根公式。

通过配方法，将二次函数转化为完全平方的形式，然后求解方程。

求根公式是通过根据二次函数的系数来计算零点的方法。

在实际应用中，二次函数经常用于解决最值、距离、速度等问题。

5. 二次函数与一次函数的关系一次函数是高中数学中的基础内容，而二次函数可以看作是一次函数的补充和扩展。

可以通过观察二次函数与一次函数的图像和性质，探讨二者之间的关系。

一次函数的图像是一条直线，而二次函数则是一个抛物线。

此外，二次函数与一次函数的图像有关系。

以上是高一数学必修一第二章的知识点总结。

通过对这些知识点的理解和掌握，同学们可以更好地应对数学学习和应用中的问题。

希望同学们在学习数学的过程中，能够更加深入地理解和应用这些内容，提升数学思维能力。

高一上册数学第二章知识点归纳

高一上册数学第二章知识点归纳一、一元二次函数、方程和不等式。

1. 不等关系与不等式。

- 基本性质。

- 对称性：a > bLeftrightarrow b < a。

- 传递性：a > b,b > cRightarrow a > c。

- 可加性：a > bRightarrow a + c>b + c；a > b,c > dRightarrow a + c>b + d。

- 可乘性：a > b,c > 0Rightarrow ac > bc；a > b,c < 0Rightarrow ac < bc；a > b > 0,c > d>0Rightarrow ac > bd。

- 乘方性：a > b>0Rightarrow a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 开方性：a > b>0Rightarrowsqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈ N,n≥slant2)。

- 比较大小的方法。

- 作差法：a - b>0Leftrightarrow a > b；a - b = 0Leftrightarrow a=b；a - b <0Leftrightarrow a < b。

- 作商法：当a>0,b>0时，(a)/(b)>1Leftrightarrow a > b；(a)/(b)=1Leftrightarrow a = b；(a)/(b)<1Leftrightarrow a < b。

2. 一元二次不等式及其解法。

- 一元二次不等式的一般形式：ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

- 求解步骤。

- 当a>0时，对于方程ax^2+bx + c = 0，先求根x_1,2=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。