2012研究生计算方法模拟试卷2答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2 0 0 1
2
故选（B）。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 =ey 所确定的隐函数，则
【答案】：1
________。
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（10）计算
lim
x→∞
n
1
1 + n2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
= ________。
π
【答案】：
4
【解析= 】：原式
∑ lim
n→∞
1 n
n i=1
1+= 1ni 2
∫= 1 dx
0 1+ x2
arc= tan x 1 0
（A）
2
1
1
（B）
1
2
2
（C）
1
2
2
（D）
2
1
【答案】：（B）
1 0 0
1 0 0
【解析】：
Q
=
P
1
1
0
，则
Q
−1
=
−1
1
0
P
−1
，
0 0 1
2012年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-的渐近线条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是()(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
2012年管理类联考综合模拟试卷2A
绝密★启用前2012年全国硕士研究生入学统一考试管理类专业硕士联考模拟试题（2A）[综合能力]考生注意事项1. 考生必须严格遵守各项考场规则2. 选择题的答案须用2B铅笔填涂在答题卡上，其它笔填涂的或做在试卷或其它类型答题卡上的答案无效。
3. 其他题一律用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔在答题纸上按规定要求作答，凡做在试卷上或未做在指定位置的答案无效。
4 .交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的凭据）。
否则，所产生的一切后果由考生自负。
一．问题求解：本大题共15小题，每小题3分，共45分。
下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的。
请在答题卡．．．上将所选项的字母涂黑。
1．设2ab a b =+，则3533a ab b a ab b-+=-+-( )． A ．32 B ．75 C ．75- D ．32- E ．1 2．设22y x x =-++，则下列结论正确的是( )．A. y 没有最小值 B ．只有一个x 使y 取到最小值C ．有无穷多个x 使y 取到最大值D ．有无穷多个x 使y 取到最小值E ．以上结论均不正确3．某房产开发商建造甲、乙两类商品房，开发面积（单位：m 2）今年比去年甲类商品房增加80%，乙类商品房减少10%．已知今年乙类商品房面积占总开发面积的20%，则今年比去年总开发面积( )．A. 减少50%B. 增加50%C. 减少45% D ．增加45% E. 增加30%4．设能被232x x ++整除，则( )． A. 6a =-,3b = B. 6a =-,3b =- C. 6a =,3b =D ．6a =-,3b =-E ．3a =,6b =-5．某单位有男职工420人，男职工人数是女职工人数的113倍，工龄20年以上者占全体职工人数的20%，工龄10～20年者是工龄10年以下者人数的一半，工龄在10年以下者人数是( )．A ．250人B ．275人C ．392人 D. 401人 E ．4106．甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行．1小时后他们分别到达各自的终点A 和B.若从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ．问甲的速度和乙的速度之比是( )．A ．3:5B ．4:3C ．4:5D ．3:4E ．以上结论均不正确7．某学生在解方程11132ax x ++-=时，误将式中的1x +看成1x -，得出的解为1x =那么a 的值和原方程的解应是( )． A. 1a =,7x =- B. 2a =,5x = C. 2a =,7x = D ．5a =,2x = E ．5a =,17x =8．在某实验中，三个试管各盛水若干克．现将浓度为12%的盐水10克倒入A 管中，混合后取10克倒入B 管中，混合后再取10克倒入C 管中，结果A 、B 、C 三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、0.5%，那么三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是( )．A.A 试管，10克 B ．B 试管，20克 C ．C 试管，30克D.B 试管，40克 E ．C 试管，50克9．有A 、B 两种型号联合收割机，在第一个工作日，9部A 型机和3部B 型机共收割小麦189公顷；在第二个工作日，5部A 型机和6部B 型机共收割小麦196公顷．A 、B 两种联合收割机一个工作日内收割小麦的公顷数分别是( )．A. 14, 21B.21, 14C.15,18D. 18,15E.19,1310．已知2250x x c -++≥的解为132x -≤≤，则c 为( )． A ．13 B ．3 C.13- D ．-3 E ．52-11．一元二次函数(1)x x -的最大值为( )．A.0.05B.0.10C.0.15D.0.20E.0.2512.下列通项公式表示的数列为等差数列的是( )． A.1n n a n =+ B.21n a n =- C.5(1)n n +- D.31n a n =- E.3n a n n =-13．有线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2，…，A 6，线段PQ 上有7个点B 1，B 2，…，B 7．若将每一个A i 和每一个B j ，连成不作延长的线段A i B j ，（i =l ，2，…，6；j =l ，2，…，7），则由这些线段A i B j 相交而得到的交点共有( )．A. 315个 B ．316个 C ．317个 D. 318个 E ．320个14.甲、乙两队进行排球比赛（五局三胜制），若甲队在每局比赛中获胜的概率为12p =，则恰好比赛四局就结束比赛的概率为( )．A ．78B ．58C ．38D ．14 E. 2315.设正方形ABCD 如图3-1所示，其中A (2，1)，B (3，2)，则边CD 所在的直线方程是( )．A.1y x =-+B. 1y x =+C. 2y x =+D. 22y x =+ E ．2y x =-+二．条件充分性判断：第16~25小题，每小题3分，共30题。
新考研数学二试题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x x y x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是 故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B 【考点】数列极限 【难易度】★★★ 【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( ) （A ）π （B ）2 （C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰ 故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----== 故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d ydx == .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。
2012考研数学二真题及参考答案
2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。
正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。
故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。
2012年考研数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（当x=1时，y=无穷，为垂直渐近线。
当x=无穷时，y=1，为水平渐近线。
）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】：（C ）【解析】：''22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
2012年考研数学二真题及答案解析
数学(二)试题 第 5 页 (共 11 页)
（23）（本题满分 11 分）已知
1）求 a 的(k=1,2,3),则有（）
0
（A）I1< I2 <I3.
(B) I3< I2< I1.
(C) I2< I3 <I1,
(D) I2< I1< I3.
（5）设函数 f (x,y) 可微，且对任意 x,y 都 有 f (x, y) x
f (x, y) >0, y <0,f(x1,y1)<f
（A） (1)n1(n 1)!
（B） (1)n (n 1)!
（C） (1)n1n!
（D） (1)n n!
（3）设 an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的
(A)充分必要条件.
(B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
已知函数 f (x) 1 x 1 ，记 a lim f (x)
sin x x,
x0
（1）求 a 的值
（2）若当 x 0 时， f (x) a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
（16）（本题满分 10 分）
( ) -x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值。
（17）（本题满分 10 分）
（2）记（1）中的实根为
xn
，证明
lim
n
xn
存在，并求此极限。
（22）（本题满分 11 分）
1 a 0 0
1
设
A
0
1
a
2012年全国硕士研究计划生入学专业考试数学二试题及其解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐进线的条数________（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则(0)________f '=（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）设0(1,2,3)n a n >=L ，123n n S a a a a =++++L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的_______.（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分也非必要 （4）设2sin (1,2,3)k x k I e xdx k π==⎰，则有______（A ）123I I I << （B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I <<（5）设函数(,)f x y 为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > （6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰ （A ）π （B ）2 （C ）2- （D ）π-（7）设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，4411c α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则线性相关的向量组为（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分。
考研数学二解析2012
2012年数学(二)真题解析一、选择题(1) 【答案】(C).【解】由limy=1,得》=1为曲线夕=务匚半的水平渐近线；oo X—12由limy=°°9得乂=1为曲线丿=的铅直渐近线；工-*1x一12|12由lim岂--—=lim―^―-=万，得z=—1不是曲线y=—----吕的铅直渐近线，1—1乞一1工一12x且曲线没有斜渐近线，故曲线y=务匸寸有两条渐近线，应选(C).x一1方法点评：渐近线是频繁考点，曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.若lim/()—A,称;y=A为曲线y=f(.x)的水平渐近线；X-*°°若)=oo,称工=q为曲线》=/(%)的铅直渐近线；若lim=a(H0900)9)—ax~\—b称为曲线y=f｛x)的斜渐近线.(2)【答案】(A).［解］方法一由/''(■Z)=e"(e"—2)…(e“一/?)+2(e T一l)e2r(e3j一3)…(e'"―”)十…+n(e x—1)(孑一2)…(e("T“-n+l)e",得厂(0)=(―I)""—1)!,应选(A).方法二由导数的定义得/z(0)=lim)--八°)=lim--------(e2j—2)…(e"*—n)=(—1)"1(n—1)!, x->0X LO x应选(A).(3)【答案】(B).【解】由a”>05=1,2,…)得数列｛S”｝单调增加，若数列｛S”｝有上界，由极限存在准则得limS”存在.8令limS”=S，则lima”=limS…—=S—S=0,于是｛a”｝收敛；fl——►OO fl——►OO JJ—>OO fl—►oo反之，若｛a”｝收敛，则｛S n｝不一定有上界，如取a”=2,lima”=2,但limS…=+00,即fl——►-OO fj——►-OO ｛S”｝没有上界，故｛S”｝有上界是｛a”｝收敛的充分非必要条件，应选(B).(4)【答案】(D).f2x2【解】由I2—h=sin z d_z V0,得八>/?；J TC「3兀2由13—12=\e"sin x dx〉0,得12<113；J2n而3k 2X 一 7te r sin jc djr ” —2n‘3兀 2e r sin x dr =n*f2x2= e G+x) sin(z + 7t)d^'2tt 2e° sin jc djr +■3k 2e" sin x dx 92x'2tt?(工+兀)•」e sin x dj? 913 — 11 =由【3 一【1"[e ，—e«4]sin_zdz > 0 得八 V 人，于是 I 2<h< 4,应选(D).（5）【答案】（D ）.【解】呻〉。
2012数二考研真题答案
2012数二考研真题答案2012年的数学二真题是考研数学复习中的重要一环，对于考生来说，掌握这些真题的答案是非常重要的。
在本文中，我们将深入探讨2012年数学二真题的答案，为考生提供一些参考和指导。
首先，我们来看一道选择题。
题目如下：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，对于任意x∈[0,1]，均有0≤f(x)≤1，那么函数f(x)在区间[0,1]上至少有几个不动点？要解答这道题，我们可以通过分析函数图像来得到答案。
根据题目中给出的条件，我们可以确定函数f(x)在区间[0,1]上是递增的，且在x=0和x=1处取得最小值和最大值。
因此，函数f(x)至少有两个不动点，即x=0和x=1。
接下来，我们来看一道填空题。
题目如下：设A是3阶方阵，且满足A^2-3A+2I=0，其中I为3阶单位矩阵，则A的特征值为______。
要解答这道题，我们需要运用矩阵的特征值和特征向量的概念。
根据题目中给出的条件，我们可以得到A^2-3A+2I=0。
将该方程进行化简，得到A^2-3A=-2I。
根据矩阵的特征值和特征向量的定义，我们知道特征值是使得矩阵与特征向量相乘等于特征向量的常数。
因此，我们可以得到特征值为2和1。
最后，我们来看一道计算题。
题目如下：已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求f(x)的极值点。
要解答这道题，我们需要求出函数f(x)的导数，并令导数等于0，求出其极值点。
首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)=3x^2-6x+3。
然后，令f'(x)=0，解方程得到x=1。
将x=1带入函数f(x)，得到f(1)=0。
因此，函数f(x)在x=1处取得极小值。
通过以上三道题目的解答，我们可以看出，解题的关键在于理解题目的要求，灵活运用所学的数学知识和方法。
在考研数学复习中，做真题是非常重要的，通过做真题可以提高解题能力和应试技巧。
因此，考生在备考过程中，应该多做一些真题，并对答案进行仔细分析和总结。
2012年考研数学二真题和答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ） 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：（C ）【解析】：''22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nx f x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
(B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,
(D) I1< I2< I3.
【答案】：(D)
∫ 【 解 析 】：：
Ik =
k ex2 sin xdx
e
看为以
k
为自变量的函数，则可知
∫ Ik ' = ek2 sin k ≥ 0, k ∈(0,π ) ，即可知 Ik =
k ex2 sin xdx 关于 k 在(0,π ) 上为单调增
=
(
y3
+
C
)
1 y
又因为 y = 1时 x = 1，解得 C = 0 ，故 x = y2 .
（13）曲线 y = x2 + x(x < 0) 上曲率为
2
的点的坐标是________。
2
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又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
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(C) x1< x2, y1< y2.
(D) x1< x2, y1> y2.
【答案】：(D)
【解析】： ∂f (x, y) > 0 ， ∂f (x, y) < 0 表示函数 f (x, y) 关于变量 x 是单调递增的，关于变
2012考研数学模拟试卷三(数学二)--参考答案
3
精勤求学 自强不息 【答案】 ：(A)
让有理想的人更加卓越！
【解析】 ： n 阶矩阵可对角化的充要条件是它具有 n 个线性无关的特征向量，故选(A)。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． 9、设方程 xy + e = cos( x + y ) 确定 y = y ( x) 并满足 y (0) = 0 ，则 y ′′(0) =________。
dx = ∫
1
1 ln t 3 2 3t dt = 9∫ t ln tdt 先求不定积分 0 0 t 1
1 t ⎛ t2 ⎞ t2 1 9 再由分部积分法可得 ∫ t ln tdt = ∫ ln td ⎜ ⎟ = ln t − ∫ dt = − 。故原式 = − 。 0 0 0 2 4 4 ⎝2⎠ 2 0 1 1
f (0) 为 f ( x) 的极小值。
4、 设函数 f ( x, y ) 在全平面上都有 的是（ ） (B) x1 < x2 , y1 > y2 (C) x1 > x2 , y1 < y2 (D) x1 > x2 , y1 > y2
∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) < 0， > 0 .则下列条件中能保证 f ( x1 , y1 ) < f ( x2 , y2 ) ∂x ∂y
3、已知函数 f ( x) 具有连续的导数，且满足 lim
( sin x2 ) 3
1
2
f '( x) = −1 ，则（ ） x → 0 ln (1 + x )
（A） f (0) 为 f ( x) 的极大值 （Ｂ） f (0) 为 f ( x) 的极小值 （C）点 ( 0, f (0) ) 为曲线 y = f ( x) 的拐点 （Ｄ） f (0) 不为 f ( x) 的极值，点 ( 0, f (0) ) 也不为曲线 y = f ( x) 的拐点 【答案】 ：(A) 【解析】 由于 lim
2012 MBA模拟试题二 答案详解
1 2 x 元，要使平均成本最小，所应生产的产品件数为 40
E．以上结果均不正确
c 25000 1 25000 1 25000 1 = + 200 + x= + x + 200 ≥ 2 × x + 200 x x 40 x 40 x 40 25000 1 当 ，即 x = 1000 件产品时最小。 = x 40 x
5 9
B．
4 9
C．
13 21
D．
11 21
E．
10 21
【考点】 ：古典概率 【解析】 ：1，2，3，4，5，6，7，8，9 中有 5 奇 4 偶，要求三个数是偶数有两类： 第一类：2 奇 1 偶， C5 C4 = 40 ，第二类 3 偶， C4 = 4 ，总的可能性为 C9 = 84 ，故 p = 【参考答案】 ：D 10．设 a, b, c 都是正实数，那么三个数 a + A．都不大于 2 B．都不小于 2
【参考答案】 ：C 11．有 10 个灯泡，其中有 3 个是坏的，现在要使用一个， 逐个试用，如果拿到坏的就扔掉再拿，直到拿到好的 为止，则在 3 次内可完成此事的概率为（ A． ） D．
59 120
B．
119 120C．源自21 4019 40
E．
11 30
【考点】 ：概率 【解析】 ：法一：正面考虑，
【参考答案】 ：A 8．已知
1 1 b a < < 0 ，则下列不等式（1） a + b < ab （2） a > b (3) a < b (4) + > 2 中成立的是（ ） a b a b
B． （1）和（3） C． （1）和（2） D． （2）和（4） E． （2）和（3）
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
∫∫ (x
5
y − 1 dxdy = ∫ 2π dx ∫
− 2
)
π
1
sin x
(x
5
y − 1)dy = −π
⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ （7）设 α1 = 0 , α 2 = 1 , α 3 = −1 , α 4 = 1 其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数，则下列向量组线性相关 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎜c ⎟ ⎜c ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠
【答案】 ： ( −1, 0 ) 【解析】 ：将
y’ = 2 x + 1, y” = 2 代入曲率计算公式，有
K= | y′′ | = (1 + y′2 )3/2 2
2 ⎡ ⎣1 + (2 x + 1) ⎤ ⎦ 3 2
=
2 2
整理有 (2 x + 1) = 1 ，解得 x = 0或 − 1 ，又 x < 0 ，所以 x = −1 ，这时 y = 0 ，
【答案】 ：(D) 【 解 析 】：：
2
(B) I2< I2< I3. (D) I1< I2< I3.
I k = ∫ e x sin xdx 看 为 以 k 为 自 变 量 的 函 数 ， 则 可 知
2
k
e
I k ' = e k sin k ≥ 0, k ∈ ( 0, π ) ， 即可知 I k = ∫ e x sin xdx 关于 k 在 ( 0, π ) 上为单调增
的是（ ） （B） α1 , α 2 , α 4 （D） α 2 , α 3 , α 4 （A） α1 , α 2 , α 3 （C） α1 , α 3 , α 4 【答案】 ： （C）
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20GG 年全国硕士研究生入学统一考试数学二复习复习试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!n n -（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件. （C)必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.（4）设2kx keI e =⎰sin G d G (k=1,2,3),则有D（A ）I 1<I 2<I 3.(B)I 2<I 2<I 3.(C)I 1<I 3<I 1,(D)I 1<I 2<I 3.（5）设函数f (G,y )可微，且对任意G ,y 都有(,)f x y x∂∂>0,(,)f x y y ∂∂<0,f (G 1,y 1)<f (G 2,y 2)成立的一个充分条件是(A)G 1>G 2,y 1<y 2.(B)G 1>G 2,y 1>y 1. (C)G 1<G 2,y 1<y 2.(D)G 1<G 2,y 1>y 2.（6）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y xππ--)(2)(2)()(D C B A（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123,,ααα（B ）124,,ααα （C ）134,,ααα（D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答．题纸．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21y x y e -+=所确定的隐函数，则________。
2012研究生入学考试计算题讲解解析
热力学例题一、 计算题1、绝热过程计算，出题概率：70%例题：取0℃，3p ∃的O 2(g) 10 dm 3，绝热膨胀到压力p ∃，分别计算下列两种过程的∆U 、 ∆H 、 ∆A 及∆G 。
(1) 绝热可逆膨胀；(2) 将外压力骤减至p ∃，气体反抗外压力进行绝热膨胀。
假定O 2(g)为理想气体,其摩尔定容热容C V , m =(5/2)R 。
已知氧气的摩尔标准熵()-1-1298K 205.0J.K .mol mS =θ。
解：求解理想气体任何单纯pTV 状态变化过程的状态函数（U 、H 、S 、A 和G ）的改变值，关键是求T 2。
n = pV /RT = 1.339 mol(1)已知始态的温度、压力及终态的压力，应用公式(1)/(1)/1122T p T p γγγγ--=求T 2（计算可逆绝热过程终态温度有三个公式，具体应用那一个，要根据题目给的条件）()(),21ln 21199.5K p m R C p p T T e ⎡⎤⎣⎦==,21()V m U nC T T ∆=-＝1.339⨯5/2R(199.5-273) ＝2.045kJ,21()p m H nC T T ∆=- ＝1.339⨯7/2R(199.5-273) ＝2.864kJ0R Q S T ⎛⎫∆== ⎪⎝⎭()1298273298K m S nS S -=+∆（并不是绝热可逆变化中的熵变） ()()-1,3298K ln 273K 298K ln 190.32J.K mp m p nS nC nR p=++=()(),21121V m A U S T nC T T nS T T ∆=∆-∆=---()()21,118.74kJ V m n T T C S =--=()(),21121p m G H S T nC T T nS T T ∆=∆-∆=---()()21,115.90kJ p m n T T C S =--=(2)U W ∆=()(),21221,21212()V m V m U WnC T T p V V nC T T p V nRT∆=-=---=-（计算不可逆绝热过程终态温度的公式） （2）解得 2221K T = (),21 1.448kJ V m U nC T T ∆=-=- (),21 2.028kJ p m H nC T T ∆=-=-()()()-12172ln ln 3 4.000J K S nR T T pp ⎡⎤∆=+⨯=⋅⎣⎦()()-11,3298K ln 273K 298K ln 190.32J.K mp m p S nS nC nR p=++=()-1-121=+4.000J.K 194.32J.K S S =()2211?k J A U T S T S ∆=∆--= ()2211?kJ G H T S T S ∆=∆--=（在上题中，只要求出了T 2，ΔU ，W ，ΔH ，ΔA ，ΔG 都很容易求，但要注意，对于可逆和不可逆过程，求T 2所用的公式不同，千万不要搞错了。
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注：填空题答案要求填写在相应的表中，否则无效。
一、填空题（40分）1、数值方法中需要考虑的误差为。
2、计算方法中等距离意义下的定义、公式或方法有（试举两个）。
3、函数的线性插值余项表达式为)(xf。
4、运用梯形公式，公式，分别计算积分其值分别为Simpson,12xdx∫。
5、用Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代解线性方程组⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛251113108481044410321xxx的迭代格式分别为，如果两种方法都是收敛的，那么收敛速度比较快的算法为。
6、设方程0)(=xf的有根区间为，使用二分法时，误差限为],[ba≤−+*1xxk)2(1kkkbax+=+其中。
7、能否用迭代法求方程5sincos xxx+=的根？，依据是。
8、用改进的欧拉方法求解初值问题，取步长，则⎩⎨⎧=−−=′1)1(2yxyyy2.0=h≈)2.1(y。
9、计算4.12,)12(6≈−=取f，利用算式6)12(1+，3)223(−，3)223(1+，27099−计算，得到的结果最好的算式为 。
二、（15分）已知函数表x 211− )(x f403−（1）给出Lagrange 二次插值多项式，并求的近似值；)0(f （2）给出均差意义下的Newton 二次插值多项式，并求的近似值； )0(f （3）给出离散数据的线性拟合多项式，并求的近似值。
)0(f 解：先作插值多项式，用，求 )(x P )()(x f x P ≈)0(P (1)用插值Lagrange )2(=n)1)(1(34)2)(1(214.)12)(12()1)(1(0.)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1()())(())(()())(())(()())(())(()()()()(2120210121012002010212211002−++−−−=−+−++−+−++−−−−−−−=−−−−+−−−−+−−−−=++=x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x y x l y x l y x l x L （4分）37)1(342.21)0()0(2−=−+−=≈L f （1分）(2)用二次插值Newton 3765233)0()0()1)(1(65)1(233))(](,,[)](,[)()(6521423],[],[],,[4142140)()(],[23231103)()(],[21021001002202110210212121101010−=−+−=≈−++++−=−−+−+==−−−=−−==−−=−−=−−==−−=−−−−=−−=P f x x x x x x x x x x f x x x x f x f x P x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f x x x f x f x x f （5分）(3)设拟合多项式为x a a x P 101)(+= （1分） 则由法方程A T AX ＝A T Y 可得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−40321111121111121111110a a整理可得： 解之得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡111622310a a 1431,7810=−=a a （3分） 则x x P 143178)(1+−=，78)0()0(1−≈P f （1分）三、（15分）对于求积公式)]()0([)]()0([2)(20h f f h h f f hx d x f h ′−′++≈∫α 1、求待定参数α使得该求积公式代数精度尽量高；（5分） 2、指明求积公式所具有的代数精度；（5分） 3、用所求公式计算。
（5分） ∫h x d x 02解：（1）求积公式中只含有一个待定参数α 当时，有x x f ,1)(=h hx d h =++=∫0]11[2102)11(]0[2220h h h h x d x h=−++=∫α故令时求积公式精确成立，即2)(x x f =]202[]0[22202h h h hx d x h −×++=∫α解得121=α 将代入上述确定的求积公式，有3)(x x f =4223341]30[12]0[2h h h h h x d x h =−++=∫说明求积公式至少具有三次代数精度。
再令，代入求积公式时有4)(x x f =]40[12]0[23244h h h h x d x h −++≠∫因此所求求积公式具有三次代数精度。
320231]202[121]0[2h h h h x d x h =−×++=∫四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛7173530103421101002014321x x x x解：设（2分） ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛4434332423221413121143424132312111113010342110100201u u u u u u u u u u l l l l l l 由矩阵乘法可逐行、逐列分别求出 ：j i j i l u ,⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛1111434241323121l l l l l l = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛1010121101（4分） ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛212101020144343324232214131211u u u u u u u u u u 解三角方程⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛7173510101211014321y y y y得4,6,3,54321====y y y y （2分）再解三角方程组⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛463521210102014321x x x x 得1,1,2,21234====x x x x所以方程组的解为T X )2,2,1,1(= （2分）五、（10分）设，给出用牛顿迭代法计算0>a a1的公式，并根据初值61725.02/2345.10==x 来计算2345.11的值。
（要求迭代3次）解 设方程21)(,01)(xx f a x f −=′=−= （3分）牛顿迭代： )2()()(1k k k k k k ax x x f x f x x −=′−=+ （4分）取 61725.02/2345.10==x ，下表是迭代3次的计算结果：（3分） ii x0 1 2 30.61725 0.764159 0.807445 0.810036六、（10分）用欧拉预—校公式求解初值问题100)0(121'2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=+−=x y x xy y要求取步长，计算结果保留6位小数。
5.0=h 解：欧拉预校公式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++ )],(),([2 ),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y （3分） 将2121)(x xyx f +−=，5.0=h 带入上式，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−+−+=+−+=+++++ ]y ~1y 11[5.0 ) y 15.0(1n 211n 21n 21n n n n n n n n n n x x x x y y x x y y （3分） 由可得：00=y 400000.0)5.0(,500000.0~11=≈=y y y ； （2分） 635000.0)1(,74000.0~22=≈=y y y （2分）。