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广东省2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

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2019年广州市一模试题及答案(文科数学)

2019年广州市一模试题及答案(文科数学)

文科数学试题 第1页（共19页）2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则A B =I（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ （2）已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（A ）12（B ）15 （C ）15- （D ）12-（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =u u u r u u u r，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24（6）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12（7）在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的文科数学试题 第2页（共19页）概率为 （A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）34（8）已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（A ）210-（B ）210- （C ）210（D ）210 （9）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=L ，则12n PF P F P F +++=L （A ）10n + （B ）20n + （C ）210n +（D ）220n +（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π （B ）2053π （C ）5π （D ）556π（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）88246+ （B ）88226+（C ）2226+ （D ）126224++第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～文科数学试题第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）函数()33f x x x =-的极小值为 ．（14）设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．（15）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =u u u r u u u r g ，则双曲线C 的离心率为 ．（16）在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =，5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75取一个容量为6个总体，从中任意抽取2件产品，求这件产品都在区间[)45,65内的概率．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面文科数学试题 第4页（共19页）21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1A CO ；（Ⅱ）若60BAD ∠=o，求点C 到平面1OBB 的距离．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数()e ln 1x f x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲文科数学试题 第5页（共19页）如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA P 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =g ；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．文科数学试题 第6页（共19页）2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）B （6）C （7）A （8）B（9）A（10）D（11）B（12）A二．填空题（13）2-（14）[]6,15- （15（16）5三．解答题（17）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分文科数学试题 第7页（共19页）①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[)45,55内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++件，记为1A ，2A ，3A ．在区间[)55,65内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++件，记为1B ，2B ．在区间[)65,75内应抽取0.1610.30.20.1⨯=++件，记为C ．…………………6分设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ， 则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．…………10分所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102153=．………………………12分 （19）（Ⅰ）证明：因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，文科数学试题 第8页（共19页）所以1A O ⊥BD ．……………………………………………………………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．……………………………………………2分因为1AO CO O =I ，1A O ，CO ⊂平面1A CO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分 （Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =I ，21==AA AB ，60BAD ∠=o，所以1OB OD ==，OA OC ==4分所以OBC ∆的面积为112212OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯．…………………5分 因为1A O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1A O AO ⊥，11AO ==．………………………………………6分因为11A B P 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1A O ．…………7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1A A ．因为11A A B B P ，所以BD ⊥1B B ．………………………………………………8分 所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……………………9分 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =g g ．………………………………………………10分所以111212OBC OBBS AO d S ∆∆⨯⋅===．所以点C 到平面1OBB的距离为2．……………………………………………12分文科数学试题 第9页（共19页）解法二：由（Ⅰ）知BD因为BD ⊂平面11BB D D 所以平面1A CO ⊥平面连接11A C 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11A C 的中点，所以11OA O C 为平行四边形．所以111O C OA ==．…………………………………………………………………6分 因为平面11OA O C 与平面11BB D D 交线为1OO ，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．………………………………8分 因为11O C A O P ，1A O ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ．因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分 所以1122O C OC CH OO ⋅===．所以点C 到平面1OBB 2．……………………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．………………………………………………………2分 所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分文科数学试题 第10页（共19页）解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，0y =．………………………………………………6分所以直线AE的方程为y x =+．……………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛ ⎝．……………………8分同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．………10分即20t =，即240t -=．………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．文科数学试题 第11页（共19页）………………………………12分 解法二： 因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分 假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．即20t =，即2220808y t x +=-． （※）…………9分因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．……………………………………………10分 将220082x y -=代入（※）得240t -=．………………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．……6分 所以直线AE的方程为y x =+．………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，文科数学试题 第12页（共19页）令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………8分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………9分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．………10分即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分（21）（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1xf x x =--，所以1()e x f x x'=-．………………………………………………………………1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. …………………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1xxf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->. 思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e x h x x =-，则21()e 0x h x x'=+>， 所以函数()h x =1()e x g x x '=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分 因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e x g x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分文科数学试题 第13页（共19页）因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．………………………………………………5分 设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．………………………………………7分 所以要证明e ln 20xx -->，只需证明()1ln 20x x +-->．……………………………………………………8分 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分文科数学试题 第14页（共19页）（若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2x x ->.因为曲线e xy =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x = 的距离分别为1d ，2d ， 则)122AB d d +． 其中12t d =22d ()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=． 所以122t d =>． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=． 所以222d =≥ 所以)1222222AB d d =+>+=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分证法二：因为()e ln 1xf x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.…………………………………4分以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.文科数学试题 第15页（共19页）思路1：设()e ln 2xg x m x =--，则1()e x g x m x'=-. 设1()e x h x m x =-，则21()e 0x h x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e x g x m x'=-在()0+∞，上单调递增．……………………6分因为11221e 2e 202mm g m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->， 所以函数1()e x g x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭.……8分 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--．……………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分设()e 1xF x x =--，则()e 1xF x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．……………7分由e 1()xx x ≥+∈R ，得1e x x -≥（当且仅当1x =时取等号）．………………8分所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．……………………………9分 再证明e ln 20xm x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1xx ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，文科数学试题 第16页（共19页）所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DE CA P ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =g ．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB =g （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =g ，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA P ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分 所以BA ACBEED=．所以6438BA ED AC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分文科数学试题 第17页（共19页）所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =． 所以点D的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分文科数学试题 第18页（共19页）因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <<时，()f x x x =2x =+≤=当x ≥()f x x x ==所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =x x ≤=文科数学试题 第19页（共19页）=当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a 的最大值. 思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()maxg a =⎡⎤⎣⎦．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cosa θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01xy ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z ，此时2x y ==．所以b 的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。

2019届广州一模文科数学答案

2019届广州一模文科数学答案

（2）解：由（1）知， an 1 2n ，
……………………………………7 分
∴ an 2n 1，
2 1 2n
∴ Sn 1 2 n 2n1 n 2 ，
……………………………………8 分 ……………………………………9 分
数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 6 页
450 0.0015100
……………………………2 分
265 .
……………………………3 分
故该种蔬果日需求量的平均数为 265 公斤.
…………………………4 分
（2）当日需求量不低于 250 公斤时，利润 y=(25－15) 250=2500 元,
………………5 分
当日需求量低于 250 公斤时，利润 y=(25 15)x (250 x)5=15x 1250元 , ………6 分
又 FG 平面 BED ， OE 平面 BED ，
所以 FG 平面 BED ．
……………………………4 分
（2）证明：在 ABD 中， AD 1 ， AB 2 ， BAD 60 ，
由余弦定理得 BD 12 22 2 1 2 1 3 ， 2
数学（文科）试题参考答案及评分标准
F E
所以 OG DC 且 OG 1 DC 1，……………1 分 2
因为 EF AB ， AB DC ， EF 1， 所以 EF OG 且 EF OG ，……………………2 分
B G
C
A O
D
所以四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FG OE ，
………………………3 分
所以
y

15x 1250, 0 x 250, 2500, 250 x 500.

2019年广东省高考模拟试题(一)(文科)

2019年广东省高考模拟试题(一)(文科)

③m 1与n 1相交=m 与n 相交或重合；其中不正确的命题个数是（）A.1B.2C.33、 双曲线4--匕=1的焦点到渐近线的距离为4 12A.2.,3B.2C.4、 函数f （x ）=（x-3）e x 的单调递增区间是2019年广东省高考模拟试题（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.『一 (5i)1、 已知复数z 的实部为-1,虚部为2,则一=（）zA . 2—iB . 2+iC. —2 —i D . —2+i2、 平面c （外有两条直线 m 和n ,如果m 和n 在平面ot 内的射影分别是 m 〔和n 〔，给出下列 四个命题：① m）1 ± n 〔nm 上 n ；② m 上 nnm^④m 1与n 1平行= m 与n 平行或重合;D.4（）,3D.1（）（2,二）2019. 125、一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.6、(2019全国卷□理)设a =log3兀，b = log2 J3,c = log3 J2 ,贝UA. a b cB. a c bC. b a cD. b c a7、点P (4, — 2)与圆x2+ y2= 4上任一点连续的中点轨迹方程是(). _ 2 2 _ 2 2A.(x -2) (y 1) =1B. (x -2) (y 1) =42 2 2 2C. (x 4) (y -2) =4D. (x 2) (y -1) =12 2x y ................8、右双曲线F=1(a》o )的离心率为2,贝U a等于()a 3A. 2B. .3C. -D. 129、计算机是将信息转换成二进制进行处理的.二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是 1 X23 +1 X22 +0X21 +1 乂2° = 13 ,那么将二进制数(111竺少2转换成十进制形式是( ).16个1A. 217—2 B . 216—2 C . 216—1 D .泸一110、已知o, N, P在AABC所在平面内，且OA = OB = OC ,NA+NB+NC =。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A {x|x 12}，B {x|1216}，则A B ()A．(,8)2．（5分）复数zi51iB．(0,8)B．(,3)(i为虚数单位）的虚部为()D．(0,3)A．111B．C．i2221D．i23．（5分）双曲线9x216y21的焦点坐标为( )A．(512，0)B．(0,512)C．(5,0)D．(0,5)4．（5分）若sin(33)23，则cos2()A．12B．11C．33D．125．（5分）已知函数f(x)在(,)上单调递减，且当x [2，1]时，f(x)x22x 4，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A．(,1)B．(,3)C．(1,3)D．(1,)6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．3B．4C．6D．87．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 17，x 19，x 20，x 21，x 23，则输出的S值及其1 2 3 4 5统计意义分别是()xA．S 4，即5个数据的方差为4 B．S 4，即5个数据的标准差为4 C．S 20，即5个数据的方差为20 D．S 20，即5个数据的标准差为208．（5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别是a 围为()，b，cb b，已知cos C cos A 1，则c os B的取值范c a1 A．( ,)21B．[,)2C．(12，1)D．[12，1)9．（5分）已知A，B，C 三点不共线，且点O满足16OA 12O B 3OC 0，则() A．OA 12AB 3A C B．OA 12AB 3A C C．OA 12A B 3A C D．OA 12A B 3A C10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB ，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足AC BC510.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，AB AC2若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M 落在APQ内的概率为( )A．512B．52C．5152D．4211．（5分）已知F为抛物线C:x24y的焦点，直线y 12x 1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则SOAB()A．255B．455C．5D．2512．（5分）函数f(x)(k x 2)lnx，g(x)2lnx x，若f(x)g(x)在(1,)上的解集中恰有两个整数，则k取值范围为( )的141A．[1，)2ln23ln3411C．[，2)3ln32ln2141B．(1，]2ln23ln3411D．( ，2]3ln32ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．lnx,x 113．（5分）已知函数f(x)，则f(f（2）)e x,x (1)．14．（5分）设x，y满足约束条件3x 2y 11 0x 2y 1…0，则z 2x y的最大值为．x (1)15．（5分）在三棱锥P ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP AB AC 3，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为．116．（5分）已知函数f(x)sin(x )(0)62，点P，Q，R是直线y m(m 0)与函数f(x)的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ ||Q R|32，则m ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a}的前n项和为S，S 1a(n N*)．n n n n（1）求数列{a}的通项公式；n1（2）设b log a，求数列{}的前nb bn n 1项和T．n18．（12分）在五面体A BCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD 2D E 2A D 2A B 4，AC 25，EAD30（1）证明：AB 平面ADE；（2）求该五面体的体积．．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x101112131415n2n（分钟）等候人数 y（人 )23 25 26 29 28 31调查小组先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 y ˆ，再求 y ˆ与实际等候人数 y 的差，若差值的绝对值不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后，求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 y ˆ bxa ˆ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过 35 人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分 钟？附：对于一组数据 ( x ， y ) 11， ( x ， y ) 22，， ( x ， y ) nn，其回归直线 y ˆbxa ˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为： bx y nxy i ii 1 x 2nx 2ii 1( xx )( y y ) i i ( xx )2 i， a ˆ y bx ， i 1x y1546 ． i ii 120．（12 分）已知点 (1, 2) ， ( （1）求椭圆 C 的方程；22 i 1y 2 x 2 , 3) 都在椭圆 C :1(a b 0) 上．a 2b 2（2）过点 M (0,1) 的直线 l与椭圆 C 交于不同两点 P ， Q （异于顶点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A ， 1A ，若直线 A P 与 A Q 交于点 S ，证明：点 S 恒在直线 y 4上． 2 1 221．（12 分）已知函数 f ( x )e x2ax (a R )（1）若曲线 y f ( x ) 在 x 0 处的切线与直线 x 2 y 2 0 垂直，求该切线方程；（2）当 a 0 时，证明 f ( x )…4a 24a(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4： 坐标系与参数方程](10 分)22．（10 分）在平面直角坐标系 x Oy 中，曲线x 2cosC 的参数方程为 ， (为参数）已知点Q (4,0) ，点 Py 2sin是曲线 C 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点， x l轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点 M 的轨迹 C 的极坐标方程；2（2）已知直线 l : y kx 与曲线 C 交于 A ， B 两点，若 OA 3 A B ，求 k 的值．2ˆ ˆ ˆnn nn ˆ 41[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)|x a|2|x 1|(a 0)．（1）求f(x)的最小值；（2）若不等式f(x)50的解集为(m,n)，且n m 43，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A {x|x 12}，B {x|1216}，则A B ()A．(,8)B．(,3)C．(0,8)D．(0,3)【解答】解：集合A {x| x 12}(,3)，B {x|12A B (0,3)．故选：D．x 16}(0,4)2．（5分）复数zi51i(i为虚数单位）的虚部为()111 A．B．C．i 222i5 i4 1 i i(1i)11【解答】解：z i1i1i1i(1i)(1i)22，1D．i2zi51i1的虚部为．2故选：B．3．（5分）双曲线9x216y21的焦点坐标为( )A．(512，0)B．(0,512)C．(5,0)D．(0,5)【解答】解：双曲线9x216y2x2 y21的标准方程为：111，916可得a 11 1 15，b ，c ，3 491612所以双曲线的焦点坐标为(0,512)．故选：B．4．（5分）若sin(33)23，则cos2()A．12B．11C．33D．12【解答】解：sin(33)cos23，则cos22cos121，3故选：B．x式f(x)1的解集为()A．(,1)B．(,3)【解答】解：x [2，1]时，f(x)x2C．(1,3)2x 4 ；D．(1,)f(1)1；f(x)在(,)上单调递减；由f(x)1得，f(x)f(1)；x 1；不等式f(x)1的解集为(1,)．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，3组合体的体积是：122故选：A．23，7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 17，x 19，x 20，x 21，x 23，则输出的S值及其1 2 3 4 5统计意义分别是()A．S 4，即5个数据的方差为4B．S 4，即5个数据的标准差为4C．S 20，即5个数据的方差为20D．S 20，即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图，输出的S是x 17，x 19，x 20，x 21，x 23这5个数据的方差，1 2 3 4 51x (1719 202123)20，51由方差的公式S [(1720)2 (1920)2 (2020)2 (2120)2 (2320)2]4．5故选：A．8．（5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别是a 围为()，b，cb b，已知cos C cos A 1，则c os B的取值范c a1 A．( ,)21B．[,)2C．(12，1)D．[12，1) b b【解答】解：cos C cos A 1，c ab a2b2c2b b2c2a2由余弦定理可得：1，化简可得：bc2ab a2bc2ac，由余弦定理可得；cos B a2c2b2a2c2ac2ac ac1…，2ac2ac2ac211…cos B 1，即：cos B [，1)．22故选：D．9．（5分）已知A，B，C 三点不共线，且点O满足16OA 12O B 3OC 0，则() A．OA 12AB 3A C B．OA 12AB 3A C C．OA 12A B 3A C D．OA 12A B 3A C 【解答】解：由题意，可知：对于A:OA 12AB 3A C 12(OB OA)3(OC OA)12O B 3OC 15OA，整理上式，可得：16O A 12O B 3OC 0，这与题干中条件相符合，故选：A．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB ，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足AC BC510.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，AB AC2若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M 落在APQ内的概率为( )A．512B．52C．514D．522【解答】解：设BC a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ 5151a，CP a，22所以PQ BQ CP BC (52)a，SAPQ :SABCPQ:BC (52)a:a 52，由几何概型中的面积型可得：在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为SSAPQABC5 2 ，故选：B．11．（5分）已知F为抛物线C:x24y的焦点，直线y 12x 1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则SOAB()A．255B．455C．5D．25【解答】解：抛物线C:x24y的焦点(0,1)，设A(x1，y)1，B(x2，y)2，F且倾斜角为60的直线y 12x 1，1y x 122x 4y，整理得：x22x 40，由韦达定理可知：x x 2，y y 31 2 1 2由抛物线的性质可知：|AB |p y y 235，1 2点O到直线y 12x 1的距离d，d25．则OAB的面积S，S 12|AB|d 5．故选：C ．12．（5分）函数f(x)(k x 2)lnx，g(x)2lnx x，若f(x)g(x)在(1,)上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为( )A．[1141，)2ln23ln3B．(1141，]2ln23ln3411C．[，2)3ln32ln2【解答】解：当x 1时，lnx 0，由f(x)g(x)得(k x 2)lnx 2lnx x，411 D．( ，2] 3ln32ln2即kx 22x x，即kx 4，lnx lnx设h(x)4xlnx，则h(x)lnx x(lnx)21x lnx 1，(lnx)2由h(x)0得(lnx 1)0得lnx 1，得1x e，此时h(x)为增函数，由h(x)0得(lnx 1)0得lnx 1，得x e，此时h(x)为减函数，即当x e时，h(x)取得极大值h（e）4作出函数h(x)的图象，如图，当x 1时，h(x)，elne4e，h（3）43ln3，h（4）442324，即A(3,4)，B(4,4)ln4ln2ln3ln2，当直线y kx过A，B点时对应的斜率k3244411，k 1，ln3ln2B要使 f ( x ) g ( x ) 在 (1,)上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为 x 2 ，和 x 3 ，即直线 y kx 的斜率 k满足 k k … k BB，即 11 41k … ，2ln 2 3 ln 3即实数 k的取值范围是 (11 4 1， ] 2ln 2 3 ln 3，故选： B ．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．lnx , x 113．（5 分）已知函数 f ( x )，则 f ( f （2） ) e x , x (1)2 ．【解答】解： f （2） ln 2 ， f ( f （2） ) f (ln 2) e 故答案为：2．ln 22 ．14．（5 分）设 x3x 2 y 11 0， y 满足约束条件 x 2 y 1… 0 ，则 z 2 x y 的最大值为 7 ．x (1)【解答】解：画出 x3x 2 y 11 0， y 满足约束条件 x 2 y 1… 0 表示的平面区域，x (1)如图所示，由3x 2 y 11 0 x 2 y 1 0，解得点 A (3,1) ，结合图形知，直线 2 x y z 0 过点 A 时， z 2 x y 取得最大值为 2 3 1 7 ．故答案为：7．15．（5 分）在三棱锥 P ABC 中， AP ， AB ， AC 两两垂直，且 AP AB AC 3 ，则三棱锥 P ABC 的内切球的表面积为(4 2 3)．【解答】解：如图，由 AP ， AB ， AC 两两垂直，且 AP AB AC 3 ，得 PB PC BC 6 ，SPBC1 323 36 ， 2 2 2设三棱锥 P ABC 的内切球的半径为 r ，1 1 1 1 3 3利用等体积可得： 3 3 3 (3 3 3 )r ，3 2 3 2 23 1解得 r ．2三棱锥 P ABC 的内切球的表面积为 S 4( 3 1 ) 22(4 2 3)．故答案为： (4 2 3)．116．（5 分）已知函数 f ( x ) sin(x ) (0) 6 2，点 P ， Q ， R 是直线 y m (m 0) 与函数 f ( x ) 的图象自左至右的某三个相邻交点，且 2 | PQ ||Q R|3 17 ，则 m 2 9． 13 3【解答】解：函数 f ( x ) sin(x ) (0) ，由 2 | PQ ||Q R | ，解得 | PQ | ，6 2 2 4T |P Q | | QR |94， 2 2 8 ， T 9 9设 P ( x 0T ，m ) ，则 Q (x2， m ) ， R (T x 0 ， m ) ，| PQ |T T2 x ， | QR |2 x ， 2 2 T T 2( 2 x ) 2 x 2 2，解得 xT 3，12 168 3 1 1 1m sin( )1 ，9 16 2 2 2m8 171 ． 9 9故答案为： 179．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每道试题考生 都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共 60 分．17．（12 分）设数列 {a }的前 n n（1）求数列 {a }的通项公式；n项和为 S ， S 1 a (n N *) nnn．1（2）设 blog a ，求数列 { }的前 n b bn n 1项和 T ．n 【解答】解：（1）数列 {a }的前 n n当 n 1 时，项和为 S ， S1 a (n N *) nnn①．1解得： a12 当 n …2 时， S，n 11 an 1．②①②得： 2aa nn 1，a1所以： n（常数）， a2n 1故：数列 {a }是以 n 1 1为首项， 为公比的等比数列． 2 2 则： an1 1 1 ( )n 1 ( )2 2 2 n （首项符合通项），1所以： a( ) 2n．1 （2）由于： a ( ) 2n ， 则： blog an ．n2n所以： bn 1 (n 1) ，则：11 1 1 ， 0 0 00 0 n2 nn n故：T 1n11111n223n n 1n 1．18．（12分）在五面体A BCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD 2D E 2A D 2A B 4，AC 25，EAD30（1）证明：AB 平面ADE；（2）求该五面体的体积．．【解答】解：（1）证明：因为AD 2，DC 4，AC 25，所以AD 2 DC 2 AC2 ，所以AD CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD D E，所以CD 面ADE，所以EF 面ADE，由线面平行的性质定理得：AB//E F，所以AB 面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE 2，AD 2，AB 2，EAD 30．可得E 到底面ABCD的距离为：2sin603，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F BCH的体积，11123103可得22sin120422 3 43．2323319．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x （分钟）等候人数y （人)101112131415 232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数yˆ，再求yˆ与实际等候人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程yˆbx aˆ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据(x，y)1 1，(x，y)2 2，，(x，y)n n，其回归直线yˆbx aˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：bx yi ii 1x2inxynx2i 1(xix)(y y)i(x x)2i，aˆy bx，x y 1546 ．i ii 1i 1i 1【解答】解：（1）设“从这6 组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以P(A)152．153（2）后面4组数据是：间隔时间(x分钟）等候人数(y人）1226132914281531因为x 121314152629283113.5,y4428.5，i 1x yi i1546,x2ii 1734，x y nxyi i所以b i 1x2nx2 ii 12757154642227734421.4，aˆy bx 28.5 1.413.59.6，ˆˆˆnn nn4ˆ44nˆn2ˆ所以 y ˆ 1.4 x 9.6 ．当 x 10 时， y ˆ 当 x 11 时， y ˆ1.4 10 9.6 23.6,23.6 23 0.6 1 ， 1.4 11 9.6 25,25 25 0 1 ，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由 1.4x 9.6... 35 ，得 x (18)17，故间隔时间最多可设置为 18 分钟．20．（12 分）已知点 (1, 2) ， ( （1）求椭圆 C 的方程；22y 2 x 2 , 3) 都在椭圆 C :1(a b 0) 上．a 2b 2（2）过点 M (0,1) 的直线 l与椭圆 C 交于不同两点 P ， Q （异于顶点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A ， 1A ，若直线 A P 与 A Q 交于点 S ，证明：点 S 恒在直线 y 4上． 2 1 2 211【解答】解：（1）由题意可得，解得 a 31 1 a2 2b 22 4 ， b 2 2 ，故椭圆 C 的方程为y 2x 2 1 ．4 2证明：（2）易知直线l ， y ) 2的斜率存在且不为 0，设过点 M (0,1) 的直线 l 方程为 y kx 1 ，(k 0) ，P ( x ，y ) 11，Q ( x ， 2由 y kx 1y 2x 2 1 42，消 y 可得 (k 22) x 2 2kx 3 0 ，xx122k 3， x x，k 22k 22A (0,2) 1， A (0, 2) 2，y 2 kx 1 2 1直线 A P 的方程为 y 1 x 2 1 x 2 (k ) x 2 ，x x x 1 1 1 y 2 3则直线 A Q 的方程为 y 2 x 2 (k ) 2 ，x x22由y (ky(k1 x 1 3 x 2) x 2 ) x 2 ，消 x1 ky 2 x可得 1 y 2 3 x2，整理可得4kx x 6 x 2 x 4kx x 6( x x ) 4(3 x x ) 4k x x 6( x x )y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23xx3xx3xx12121244kk 3 2k622k 22 3xx124 4，直线 A P 与 A Q 交于点 S ，则点 S 恒在直线 y 4 上12a 2b 21 212 k21．（12 分）已知函数 f ( x ) e x2ax (a R )（1）若曲线 y f ( x ) 在 x 0 处的切线与直线 x 2 y 2 0 垂直，求该切线方程； （2）当 a 0 时，证明 f ( x )…4a 24a【解答】（1）解： f (x)e x2a ，1 f (0) 1 2a2 ，解得： a， 2f (x ) e x ，则 f (0) 1．切线方程为 y12x 1 ；（2）证明： f (x)e x2a ，由 f (x)e x2a 0 ，解得 x ln 2a ．当 x (,l n 2a ) 时， f (x) 0 ，当 x (ln 2a , )时， f (x) 0 ．f ( x ) 在 (,l n 2a ) 上单调递减，在 (ln 2a , )上单调递增．f ( x )minf (ln 2a )e ln 2a2a ln 2a 2a 2a ln 2a ．令 g （a ） 2a 2aln 2a4a 24a2a 22a 2aln 2a (a 0) ．要证 g （a ） …0 ，即证 a 1ln 2a …0 ，令 h （a ） a 1 ln 2a ，则 h（a ） 11 a 1，a a 当 a (0,1) 时， h （a ） 0 ，当 a (1,)时， h（a ） 0 ，h （a ） …h （1） 0 ，即 a 1ln 2a …0 ．f ( x )…4a 24a ．(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4： 坐标系与参数方程](10 分)x22．（10分）在平面直角坐标系x 2cosx Oy中，曲线C的参数方程为，(为参数）已知点Q(4,0)，点Px 2sin是曲线C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，xl（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；2轴正半轴为极轴建立极坐标系．（2）已知直线l:y kx与曲线C交于A，B两点，若OA 3A B，求k2【解答】解：（1）消去得曲线C的普通方程为：x y 4，1的值．设M(x,y)则P(2x 4,2 y)在曲线C上，所以(2x 4)12(2y)24，即(x 2)2y21，即x2y24x 30，C轨迹的极坐标方程为：224cos 30．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形11CMA中，CM 2 CA2(AB)21AB242，①在直角三角形CMO中，CM2OC2OM27494(AB)24AB242，②1715由①②得AB ，O M ，CM ，24415CM 15kOM774．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)|x a|2|x 1|(a 0)．（1）求f(x)的最小值；4（2）若不等式f(x)50的解集为(m,n)，且n m ，求a3的值．12 2 43x a 2,x…a【解答】解：（1）f(x)x a2,a x 1，x 1时，f(x)的最小值为a 1．3x a 2,x (1)（2）如图所示：当a 152a 2即合，3a a4a4a 4时，f(x)50的解集为(a 3,1)，1a 34，a 2符23333当2a 2...5即0a (3)2时，f(x)的解集为a a a a4(1，1)，112．33333综上可得a 2．。

2019届广东省广州市高三第一学期调研考试(一模)数学(文)试题(解析版)

2019届广东省广州市高三第一学期调研考试(一模)数学(文)试题(解析版)

2019届广东省广州市高三第一学期调研考试（一模）数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解不等式得集合P,利用交集的定义求解即可.【详解】集合，，所以故选D.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2．若复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由复数的除法运算可得，进而可得模长.【详解】由，可得..故选C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.3．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由奇函数的定义先可排除选项A,D再利用函数单调性判断B,C，即可得选项.【详解】由奇函数的定义，可知A,D不满足奇函数的定义，排除A,D；由与均为增函数，知为增函数，B正确；对于，有，所以为减函数，D不正确.故选B.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及单调性的判断，属于基础题.4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期在8月C．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】根据已知中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【详解】由已有中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据可得：年接待游客量呈上升趋势，所以年接待游客量逐年增加，故A正确；每一年的接待量八月份的最大，故B正确；折线图中没有具体数据，中位数无法计算，故C错误；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确.故选C.【点睛】本题主要考查了学生的读题能力和信息处理能力，属于基础题.5．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】还原几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形，易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球，则长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形.其中底面ABCD，AB=1,AD=2,PD=1.易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球.则该阳马的外接球的直径为 .球体积为： .故选A.【点睛】本题主要考查了几何的外接球问题，常用的解法是将几何体放入长方体内，即补体的思想，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.6．已知的边上有一点满足，则可表示为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由，结合题中条件即可得解.【详解】由题意可知.故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】讨论双曲线的焦点轴，设出方程，根据条件列出方程组求解即可.【详解】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，解得，所以.当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，方程无解.综上的方程为.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，注意题中没有交代焦点轴时，解题时需要分情况讨论，属于中档题.8．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据三角函数的平移和伸缩变换可直接得解.【详解】由的图象向左平移个单位，可得到.再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到.故选A.【点睛】本题考查的是三角函数的平移和伸缩变换问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.9．是直线和平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】试题分析：先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=﹣2，a=﹣2时，两条直线都为x﹣y+3=0，重合，舍去∴a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的充要条件．故选：C．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定．10．若实数，满足不等式组则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到取值范围即可.【详解】作出不等式的可行域，如图所示：由，即.平移此直线经过点A（0,5）时，z取得最小值-5，经过点B(2,1)时，z有最大值3，所以的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11．已知的内角, , 的对边分别是, , ，且，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∴∴∴,∴∴,又∴的取值范围为故选：B12．已知椭圆Γ：的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据条件可将椭圆化简为，为简化计算，令，直线与椭圆联立，根据条件可得，再由结合韦达定理求解即可.【详解】根据题意可知，所以.椭圆Γ：,可化为：.过右焦点F且斜率为的直线为：，即.为简化计算，令，则.由，联立可得：.①设，由可得.由①可得：.因为，所以.解得，所以，由，可得.故选D.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想，通过韦达定理解决方程问题，属于中档题.二、填空题13．已知，则______．【答案】【解析】利用指数与对数的运算性质即可得解.【详解】由，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.14．设为第二象限角，若，则=______．【答案】【解析】由可得，进而由，结合为第二象限角即可得解.【详解】.由，结合为第二象限角，，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了两角和差的正切展开及同角三角函数关系，属于基础题.15．圆锥底面半径为，高为点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离____【答案】【解析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，求出CD长，根据垂径定理求出PC=2CD，即可得出答案．【详解】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥PC于D，弧PC的长是2π⋅1=2π，则侧面展开图的圆心角是，∴∠DAC=，∵AC=3，∴，所以.即蚂蚁爬行的最短路程是.故答案为：.【点睛】考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．16．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】设切点为，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点A代入，使得方程关于有两解即可.【详解】设切点为，则切线斜率为：.切线方程为：，将点代入切线方程得：，又.所以，整理得有两个解.所以，解得或.故答案为：.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义：求切线，求切线时要注意设过点作切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，属于易错题型.三、解答题17．设为数列的前项和，已知，．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式，并判断，，是否成等差数列？【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据条件构造等比数列：，再根据等比数列定义给予证明，（2）先根据等比数列通项公式求得，即得的通项公式，再根据分组求和法得，最后判断是否成立.试题解析：证明：∵，，∴，∴，∴，，∴是首项为公比为的等比数列.（2）解：由（1）知，，∴，∴，∴，∴，即，，成等差数列.18．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为公斤，利润为元.求关于的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率.【答案】（1）265公斤（2）0.7【解析】（1）用频率分布直方图的每一个矩形的面积乘以矩形的中点坐标求和即为平均值；（2）讨论日需求量与250公斤的关系，写出分段函数再利用频率分布直方图求概率即可.【详解】（1）故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤.（2）当日需求量不低于250公斤时，利润元,当日需求量低于250公斤时，利润元所以由得，,所以＝故估计利润不小于1750元的概率为0.7 .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，做此类题的关键是理解题意，属于中档题.19．如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，,,,，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）见证明；（3）【解析】（1）取的中点，通过证明四边形是平行四边形，可得到，从而得证；（2）由余弦定理证得，通过平面平面即可得证；（3）由平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，通过计算距离即可.【详解】（1）证明：取的中点，连接，在中，因为是的中点，所以且，因为，，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）证明：在中，，，，由余弦定理得，因为，所以.因为平面平面，平面,平面平面，所以平面.（3）解法1：由（1）平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，过作，交的延长线于，则平面，所以是三棱锥的高由余弦定理可得，所以,..因为，即，解得.所以点到平面的距离为．解法2：因为，且,所以点到平面的距离等于点到平面的距离的，由（2）平面.因为平面，所以平面平面．过点作于点，又因为平面平面，故平面.所以为点到平面的距离．在中，，由余弦定理可得所以，因此，所以点到平面的距离为【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.20．已知动圆过定点，且与定直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) ，（2）见解析【解析】（1）根据抛物线的定义即可得解；（2）假设存在点满足题设条件，由题意可得直线与的斜率互为相反数，即，设，，设,再由直线与抛物线联立，利用韦达定理代入求解即可.【详解】（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其中．动圆圆心的轨迹的方程为．解法2：设动圆圆心，依题意：.化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程（2）解：假设存在点满足题设条件．由可知，直线与的斜率互为相反数，即①直线的斜率必存在且不为，设,由得．由,得或．设，则．由①式得,,即．消去，得,,,存在点使得．【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．已知函数.（1）若e，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证：．【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为．(2) 见解析.【解析】（1）求函数导数，由导数大于0解得增区间，由导数小于0得减区间；（2）求函数导数分析函数的单调性得，存在，使得，时，取得最小值，即，化简得，再构造函数求范围即可.【详解】（1）当时，，的定义域是，当时，；当时，．所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：由（1）得的定义域是，，令，则，在上单调递增，因为,所以，，故存在，使得．当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故时，取得最小值，即,由得，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即时，取最大值1，m．【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，当导函数的零点不可解时，我们可以通过“设而不求”的思路，直接代入化简解决，属于难题.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．【答案】（1）；；为参数；（2）.【解析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线与直线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程两边同乘以利用即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立，得，同理，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线直角的坐标方程为，直线直角的坐标方程为，由得，，，曲线的参数方程为为参数）.（2）联立，得，同理，又，，即的面积为.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式，可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.23．选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值求解即可；（2）不等式的解集包含，所以不等式在恒成立，可得，即，所以，求解即可.试题解析：（1）当时，原不等式可化为.①当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.②当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.③当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.综上所述，当时，不等式可化为，的解集为或.（2）不等式，因为不等式的解集包含，所以不等式在，所以不等式，所以可得，即，所以，解得，求实数的取值范围是.第 21 页共 21 页。

2019年广州市一模文科数学试题及答案

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文科数学试题 第1页（共20页）广州市普通高中毕业班综合测试（一）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则A B =I（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ （2）已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（A ）12（B ）15 （C ）15- （D ）12-（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =u u u r u u u r，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24（6）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12（7）在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为 （A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）34（8）已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭文科数学试题 第2页（共20页）（A ）210-（B ）210- （C ）210（D ）210 （9）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=L ，则12n PF P F P F +++=L （A ）10n + （B ）20n + （C ）210n +（D ）220n +（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π （B 205π （C ）5π （D 55π（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）88246+ （B ）88226+（C ）2226+ （D ）126224+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）函数()33f x x x =-的极小值为 ．（14）设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．（15）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =u u u r u u u r g ，则双曲线C 的离心率为 ．（16）在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =，5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2 件产品都在区间[)45,65内的概率．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =I ，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1A CO ；文科数学试题 第4页（共20页）（Ⅱ）若60BAD ∠=o，求点C 到平面1OBB 的距离．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数()e ln 1xf x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA P 交BA 的延长线于点E ．文科数学试题 第5页（共20页）（Ⅰ）求证：2DE AE BE =g ；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．文科数学试题 第6页（共20页）绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）B （6）C （7）A （8）B（9）A（10）D（11）B（12）A二．填空题（13）2-（14）[]6,15-（16）5三．解答题（17）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分文科数学试题 第7页（共20页）①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[)45,55内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++件，记为1A ，2A ，3A ．在区间[)55,65内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++件，记为1B ，2B ．在区间[)65,75内应抽取0.1610.30.20.1⨯=++件，记为C ．…………………6分设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ， 则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．…………10分所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102153=．………………………12分 （19）（Ⅰ）证明：因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，文科数学试题 第8页（共20页）所以1A O ⊥BD ．……………………………………………………………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．……………………………………………2分因为1AO CO O =I ，1A O ，CO ⊂平面1A CO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分 （Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =I ，21==AA AB ，60BAD ∠=o，所以1OB OD ==，OA OC ==4分所以OBC ∆的面积为112212OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯．…………………5分 因为1A O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1A O AO ⊥，11AO ==．………………………………………6分因为11A B P 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1A O ．…………7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1A A ．因为11A A B B P ，所以BD ⊥1B B ．………………………………………………8分 所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……………………9分 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =g g ．………………………………………………10分所以111212OBC OBBS AO d S ∆∆⨯⋅===．所以点C 到平面1OBB的距离为2．……………………………………………12分文科数学试题 第9页（共20页）解法二：由（Ⅰ）知BD因为BD ⊂平面11BB D D 所以平面1A CO ⊥平面连接11A C 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11A C 的中点，所以11OA O C 为平行四边形．所以111O C OA ==．…………………………………………………………………6分 因为平面11OA O C 与平面11BB D D 交线为1OO ，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．………………………………8分 因为11O C A O P ，1A O ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ．因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分 所以1122O C OC CH OO ⋅===．所以点C 到平面1OBB 2．……………………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．………………………………………………………2分 所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分文科数学试题 第10页（共20页）解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，0y =．………………………………………………6分所以直线AE的方程为y x =+．……………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛ ⎝．……………………8分同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．………10分即20t =，即240t -=．………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．文科数学试题 第11页（共20页）………………………………12分 解法二： 因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分 假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．即20t =，即22t （※）…………9分因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．……………………………………………10分 将220082x y -=代入（※）得240t -=．………………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．……6分 所以直线AE的方程为y x =+．………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，文科数学试题 第12页（共20页）令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………8分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………9分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．………10分即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． ………………………………12分（21）（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1xf x x =--，所以1()e x f x x'=-．………………………………………………………………1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. …………………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1xxf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->. 思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e x h x x =-，则21()e 0x h x x'=+>， 所以函数()h x =1()e x g x x '=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分 因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e x g x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分文科数学试题 第13页（共20页）因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．………………………………………………5分 设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．………………………………………7分 所以要证明e ln 20xx -->，只需证明()1ln 20x x +-->．……………………………………………………8分 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分文科数学试题 第14页（共20页）（若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2x x ->.因为曲线e xy =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x = 的距离分别为1d ，2d ， 则)122AB d d +． 其中12t d =22d ()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=． 所以122t d =>． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=． 所以222d =≥ 所以)1222222AB d d =+>+=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分证法二：因为()e ln 1xf x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.…………………………………4分以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.文科数学试题 第15页（共20页）思路1：设()e ln 2xg x m x =--，则1()e x g x m x'=-. 设1()e x h x m x =-，则21()e 0x h x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e x g x m x'=-在()0+∞，上单调递增．……………………6分因为11221e 2e 202mm g m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->， 所以函数1()e x g x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭.……8分 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--．……………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分设()e 1xF x x =--，则()e 1xF x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．……………7分由e 1()xx x ≥+∈R ，得1e x x -≥（当且仅当1x =时取等号）．………………8分所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．……………………………9分 再证明e ln 20xm x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1xx ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，文科数学试题 第16页（共20页）所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DE CA P ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =g ．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB =g （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =g ，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA P ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分 所以BA ACBEED=．所以6438BA ED AC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分文科数学试题 第17页（共20页）所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =． 所以点D的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分文科数学试题 第18页（共20页）因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+--)1， 当x ≤()f x x =-=0<．当x <<时，()fx x x=2x=+≤=当x ≥()f x x x==所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()fx x x =x x ≤=文科数学试题 第19页（共20页）=当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a 的最大值. 思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()maxg a =⎡⎤⎣⎦．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a = 因为01a ≤≤，所以可设2cosa θ=0⎛ ⎝⎭则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01xy ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z ，此时2x y ==．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分文科数学试题第20页（共20页）。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2x＜16}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3.双曲线9x2-16y2=1的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.若sin（）=，则cos2α=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，依次输入x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A. ，即5个数据的方差为4B. ，即5个数据的标准差为4C. ，即5个数据的方差为20D. ，即5个数据的标准差为208.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A=1，则cos B的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16-12-3=，则（）A. B.C. D.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足==≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A. B. C. D.11.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，直线y=x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D.12.函数f（x）=（kx-2）ln x，g（x）=2ln x-x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f（f（2））=______．14.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y=m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18.在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2，∠EAD=30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20.已知点（1，），（，）都在椭圆C：=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上．21.已知函数f（x）=e x-2ax（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥-4a2+4a22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线C l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y=kx与曲线C2交于A，B两点，若=3，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）-5＜0的解集为（m，n），且n-m=，求a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x-1＜2}=（-∞，3），B={x|1＜2x＜16}=（0，4）∴A∩B=（0，3）．故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z=的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线9x2-16y2=1的标准方程为：，可得a=，b=，c==，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：sin（）=-cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-，故选：B．利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；∴f（-1）=-1；∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜-1得，f（x）＜f（-1）；∴x＞-1；∴不等式f（x）＜-1的解集为（-1，+∞）．故选：D．根据条件可得出f（-1）=-1，根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜-1得出f（x）＜f（-1），从而得到x＞-1，即得出原不等式的解集．考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，∵=（17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式S=[（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．故选：A．根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵cosC+cosA=1，∴由余弦定理可得：•+•=1，化简可得：b2=ac，由余弦定理可得；cosB==≥=，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16-12-3=，这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，故选：B．先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，得解．本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2-2x-4=0，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5，点O到直线y=x+1的距离d，d=．∴则△OAB的面积S，S=•|AB|•d=．故选：C．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）lnx＜2lnx-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h′（x）=-=-，由h′（x）＞0得-（lnx-1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得-（lnx-1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k A==-，k B==1-，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1-＜k≤-，即实数k的取值范围是（1-，-]，故选：B．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|=π，∴ω==2，设P（x0，m），则Q（-x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|=-2x0，|QR|=+2x0，∴2（-2x0）=+2x0，解得x0==，∴m=sin（2×）+=+=1，∴ω+m=2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）①．当n=1时，解得：，当n≥2时，S n-1=1-a n-1．②①-②得：2a n=a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n=log2a n=-n．所以：b n+1=-（n+1），则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为AD=2，DC=4，AC=2，所以AD2+DC2=AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，，，所以，，所以．当x=10时，，当x=11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2，故椭圆C的方程为+=1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y=kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（0，2），A2（0，-2），∴直线A1P的方程为y=x+2=•x+2=（k-）x+2，则直线A2Q的方程为y=x-2=（k+）-2，由，消x可得=，整理可得y===+4=+4=4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y=4上【解析】（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y=，根据韦达定理化简整理可得直线y=4 本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-2a，f′（0）=1-2a=2，解得：a=-，∴f（x）=e x+x，则f（0）=1．∴切线方程为y=2x+1；（2）证明：f′（x）=e x-2a，由f′（x）=e x-2a=0，解得x=ln2a．∴当x∈（-∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（ln2a）=e ln2a-2a ln2a=2a-2a ln2a．令g（a）=2a-2a ln2a+4a2-4a=2a2-2a-2a ln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，则h′（a）=1-=，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）=0，即a-1-ln2a≥0．∴f（x）≥-4a2+4a．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），得到关于a的方程，求得a，得到函数解析式，求得f（0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f（x）≥-4a2+4a转化为证f（x）的最小值大于等于-4a2+4a，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，求其最小值大于等于0即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2=4，设M （x ，y ）则P （2x -4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x -4）2+（2y ）2=4，即（x -2）2+y 2=1，即x 2+y 2-4x +3=0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+3=0． （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2=CA 2-（ AB ）2=1-AB 2，① 在直角三角形CMO 中，CM 2=OC 2-OM 2=4-（ AB ）2=4-AB 2，②由①②得AB = ，∴OM =，CM =，k ===．【解析】（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2=4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C 1德轨迹C 2的直角坐标方程，再化成极坐标方程； （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM ，OM 后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）= ， ， ＜ ＜ ，，∴x =1时，f （x ）的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时，f （x ）-5＜0的解集为（a -3，1-），∴1--a +3=4- =，∴a =2符合，当2a +2≤5即0＜a ≤时，f （x ）的解集为（ --1，1-），∴1- ++1=2≠． 综上可得a =2． 【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

(晨鸟)2019年广东省高考数学一模试卷(文科)

(晨鸟)2019年广东省高考数学一模试卷(文科)

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x|x ﹣1＜2}，B ＝{x|1＜2x＜16}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）2．（5分）复数z ＝（i 为虚数单位）的虚部为（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（）A ．（±，0）B ．（0，）C ．（±5，0）D ．（0，±5）4．（5分）若sin （）＝，则cos2α＝（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x ∈[﹣2，1]时，f （x ）＝x2﹣2x ﹣4，则关于x 的不等式f （x ）＜﹣1的解集为（）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 1＝17，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosC+cosA＝1，则cosB 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为（）A ．B ．﹣2C ．D ．11．（5分）已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝x+1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝（）A ．B ．C ．D ．212．（5分）函数f （x ）＝（kx ﹣2）lnx ，g （x ）＝2lnx ﹣x ，若f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为（）A ．[1﹣，﹣）B ．（1﹣，﹣]C ．[﹣，2﹣）D ．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f （x ）＝，则f （f （2））＝．14．（5分）设x ，y 满足约束条件，则z ＝2x+y 的最大值为．15．（5分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝，则三棱锥P ﹣ABC 的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f （x ）＝sin （ωx+）+（ω＞0），点P ，Q ，R 是直线y ＝m （m ＞0）与函数f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m ＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1﹣a n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/101112131415分等候人数y/232526292831人调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线与直线x+2y ﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥﹣4a 2+4a (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q （4，0），点P 是曲线?l 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（2）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若＝3，求k 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x+a|+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝，求a 的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x|x ﹣1＜2}，B ＝{x|1＜2x＜16}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A ＝{x|x ﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B ＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A ∩B ＝（0，3）．故选：D ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z ＝（i 为虚数单位）的虚部为（）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z ＝＝，∴z ＝的虚部为．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（）A ．（±，0）B ．（0，）C ．（±5，0）D ．（0，±5）【分析】直接利用双曲线的方程求解a ，b ，c 得到焦点坐标即可．【解答】解：双曲线9x 2﹣16y 2＝1的标准方程为：，可得a ＝，b ＝，c ＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．2 5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜﹣1得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为20【分析】根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．【点评】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosC+cosA＝1，则cosB 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）【分析】由余弦定理化简已知等式可得b2＝ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．【解答】解：∵cosC+cosA＝1，∴由余弦定理可得：?+?＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cosB＝＝≥＝，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【分析】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．【分析】先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，得解．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．【点评】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11．（5分）已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝x+1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝（）A ．B ．C ．D ．2【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x 1+x 2，由抛物线的性质可知|AB|＝p+y 1+y 2，利用点到直线的距离公式求得O 到直线y ＝x+1的距离d ，根据三角形的面积公式S ＝?|AB |?d ，即可求得则△OAB 的面积．【解答】解：抛物线C ：x 2＝4y 的焦点（0，1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，整理得：x 2﹣2x ﹣4＝0，由韦达定理可知：x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y 1+y 2＝2+3＝5，点O 到直线y ＝x+1的距离d ，d ＝．∴则△OAB 的面积S ，S ＝?|AB|?d ＝．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12．（5分）函数f （x ）＝（kx ﹣2）lnx ，g （x ）＝2lnx ﹣x ，若f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为（）A ．[1﹣，﹣）B ．（1﹣，﹣]C ．[﹣，2﹣）D ．（﹣，2﹣]【分析】将不等式f （x ）＜g （x ）转化为kx ＜4﹣，设h （x ）＝4﹣，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y ＝kx 的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x ＞1时，lnx ＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝2．【分析】利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为7．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．【分析】由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝3．【分析】根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．【分析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/101112131415分等候人数y/232526292831人调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．【分析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：间隔时间（x分钟）12131415等候人数（y人）26292831因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【点评】本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y＝4上．【分析】（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x 整理可得y＝，根据韦达定理化简整理可得直线y＝4【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A 1P 的方程为y ＝x+2＝?x+2＝（k ﹣）x+2，则直线A 2Q 的方程为y ＝x ﹣2＝（k+）﹣2，由，消x 可得＝，整理可得y ＝＝＝+4＝+4＝4，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，则点S 恒在直线y ＝4上【点评】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线与直线x+2y ﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥﹣4a 2+4a 【分析】（1）求出函数的导数，计算f ′（0），得到关于a 的方程，求得a ，得到函数解析式，求得f （0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f （x ）≥﹣4a 2+4a 转化为证f （x ）的最小值大于等于﹣4a 2+4a ，即证a ﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，求其最小值大于等于0即可．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线?l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．【分析】（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4；设出M的坐标后利用中点公式得到P的坐标后代入C1德轨迹C2的直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM后可得斜率．【解答】解：（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2＝4，设M （x ，y ）则P （2x ﹣4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4，即（x ﹣2）2+y 2＝1，即x 2+y 2﹣4x+3＝0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos θ+3＝0．（2）当k ＞0时，如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2＝CA 2﹣（AB ）2＝1﹣AB 2，①在直角三角形CMO 中，CM 2＝OC 2﹣OM 2＝4﹣（AB ）2＝4﹣AB 2，②由①②得AB ＝，∴OM ＝，CM ＝，k ＝＝＝．当k ＜0时，同理可得k ＝﹣．综上得k ＝±．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x+a|+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝，求a 的值．【分析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

【详解】广东省揭阳市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案

【详解】广东省揭阳市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案

2019年5月广东省揭阳市2019年高考一模数学（文科）试题本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【分析】先求函数定义域得集合A，再根据交集定义求结果.【详解】因为，所以，选C.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.已知,是虚数单位，若，，则A. B. 1或-1 C. D.【答案】B【分析】根据复数的模得方程，解得.【详解】因为，所以,选B.【点睛】熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为.3.已知向量，若，则的值为A. B. C. D.【答案】A【分析】先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.【详解】因为，所以由得，选A. 【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.4.已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】C【分析】根据函数奇偶性定义以及指数函数单调性进行判断选择.【详解】因为定义域为，且，所以是奇函数，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，综上选 C.【点睛】本题考查函数奇偶性定义以及指数函数单调性，考查基本分析判断能力.属基本题.5.已知曲线，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.【答案】C把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选.6.已知数列满足（），，等比数列满足，，则的前6项和为A. B. C. D.【答案】B【分析】先求，再求等比数列公比，最后根据等比数列前项和公式求结果.【详解】因为，所以，因此等比数列公比,所以的前6项和为，选 B.【点睛】本题考查等比数列前项和公式，考查基本分析求解能力.属基本题.7.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.。

2019广州一模文科数学试题及答案文字版

2019广州一模文科数学试题及答案文字版

2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑2019年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学眼尘编辑一、选择题: 本题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1. （）已知集合2A x|x 2x 0 ,B x|x 0 , 则A．A B B．A B R C．B A D．A B 2. （）已知 a 为实数, 若复数( a + i ) ( 1 - 2 i ) 为纯虚数, 则 a =A．-2 B．12C．12D．23. （）已知双曲线2y2C : x 1的一条渐近线过点( b , 4 ), 则 C 的离心率为2bA．52 B．32C． 5 D．34. （）a, b 为平面向量, 已知 a = ( 2 , 4 )． a 2b ( 0 , 8 ), 则 a , b 夹角的余弦值等于A．45B．35C．35D．455. （）若s in sin 0 , 则下列不等式中一定成立的是A．s in 2 sin 2 B．s in 2 sin 2C．c os2 cos2 D．c os2 cos26. （）刘微是我国魏晋时期的数学家, 在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”, 是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示, 圆内接正十二边形的中心为圆心O．圆O 的半径为2．现随机向圆O 内投放 a 粒豆子, 其中有 b 粒豆子落在正十二边形内a,b N*, b a , 则圆周率的近似值为A．baB．abC．3abD．3ba7. （）在正方体ABCD - A1B1C1D1 中, 点E, F 分别是棱AB, BC 的中点, 则直线CE 与D1F 所成角的大小为A．B．C．D．6 4 3 2眼尘编辑1 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑8.（ ）如图 , 一高为 H 且装满水的鱼缸 , 其底部装有一排水小孔 , 当小孔打开时 , 水从孔中匀速流出 , 水流完所用时间为 T ．若鱼缸水深为 h 时 , 水流出所用时间为 t , 则函数 h = f (t) 图象大致是9. （）函数5 f xsin xsin x的最大值是1212A ．2B ．32C ．3 D ．2 310. （ ） 一个几何体的三视图如图所示 , 其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形 , 则该几何体的表面积为A ． 13 2B ． 7正视图侧视图C ．15 2D ． 8俯视图11. （）已知 F 为抛物线2C : y 6x 的焦点 , 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点 , 且 | AF |= 3 | BF | , 则 | AB | = A ．6B ．8C ．10D ．1212. （） 已知函数 |x| 2fx e ax , 对任意 x 1 0, x 20, 都有 x 2 x 1 f x 2f x 10．则实数 a 的取值范围是A ．, e 2B ．,e 2C ． 0,e 2e D ． ,02二、 填空题: 本题共 4小题 , 每小题 5分, 共20分． 13. 已知函数3f x x a log x , 若 f 26 , 则 31f____________214. 已知以点 ( 1, 2 ) 为圆心的圆 C 与直线 x + 2y = 0 相切 , 则圆 C 的方程为 _______________________2x y 1 015. 已知关于 x, y 的不等式组x m 0 y 2 0表示的平面区域内存在点 P x 0 ,y 0 , 满足 x 0 2y 0 2, 则m 的取值范围是 _____________________________16. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 b=2, c=3, C=2B, 则 △ABC 的面积为 _____________眼尘编辑2 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．（一）必考题: 共60分17.(12分)已知a n 是等差数列, 且lg a1 0, lg a4 1.(1)求数列a n 的通项公式；(2)若a1,a k ,a6 是等比数列b n 的前 3 项, 求k 的值及数列a n b n 的前n项和．18.(12分)如图, 在三棱锥A-BCD 中, △ABC 是等边三角形．∠BAD＝∠BCD = 90 °,点P 是AC 的中点, 连接BP , DP．(1)证明: 平面ACD ⊥平面BDP ;(2)若B D 6 , cos3BPD , 求三棱锥A-BCD 的体积．3APB DC3 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑19.(12分)某网络平台从购买该平台某课程的客户中, 随机抽取了100位客户的数据, 并将这100个数据按学时数．客户性别等进行统计, 整理得到下表．学时数[5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40)男性18 12 9 9 6 4 2女性 2 4 8 2 7 13 4(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表, 结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中, 对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人, 再从这7人中随机抽取2人, 求这2人购买的学时数都不低于15的概率；(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”, 25学时以下者视为“非十分爱好该课程者”, 请根据已知条件完成以下2x2列联表, 并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计100附 :2n ad bc2 ,K n a b c da b c d a c b d2P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.8284 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑20.(12分)已知椭圆2 2x yC : 1 a b 02 2a b的一个焦点为 F (1, 0) , 点2 2 6P , 在 C 上．3 3(1)求椭圆 C 的力程;(2)若直线l : y x m 与椭圆 C 相交于A, B 两点, 问y 轴上是否存在点M, 使得△ABM 是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在, 求点M 的坐标;若不存在, 说明理由．21.(12分)已知函数x 1f x e a ,g x ln x, 其中 a 2 .(1)讨论函数y f x 与y g x 的图象的交点个数；(2)若函数y f x 与y g x 的图像无交点, 设直线y t 与函数y f x 和y g x的图象分别交于点P, Q．证明: PQ a 1．5 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑（二）选考题: 共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．22.[必修4-4:坐标系与参数方程](10分)x cost在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 2y sin t( t 为参数)．以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线C2 的极坐标方程为1sin a cos a R ．2(1)写出曲线C1 的普通方程和直线C2 的直角坐标方程;(2)若直线C2 与曲线C1 有两个不同交点, 求a的取值范围．23.[选修4-5:不等式选讲](10分 )已知函数 f x x a 2x 1(1)当 a = 1 时, 求不等式 f x 0 的解集:(2)若 a > 0, 不等式 f x 1 对x R 都成立, 求 a 的取值范围．6 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑参考答案一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D A C B D C D B C B B A 二．填空题24.17825.2 2x 1 y 2 5 15. ,4316. 15 716三．解答题（2）17.解（1）设 b 公比为q设an公差为1dnb a 1,b a 3k 2,b a lg a 011 12 k3 62a a aa1k 1 16ak4又lg a 143k N*a a 3d 104 1a 3k 2k44解得k2b2b1 16n 1 n 1b b q 4n 1设 a b 前n项和为Sn n nS a b a b a bn 1 1 2 2 n na a ab bb1 2 n 1 2nn1 3n2 n 1 42 1 4n3n 1 n 4 12 3dq a a n 1 d 3n 2n 1解:(1)在△中, 为的中点ABC BA BC, P AC∴BP⊥AC又∵∠BAD ∠BCD90°2 2 22 ∴AD BD AB ，CD BD BC ∴AD CDBP PDBDP、平面又∵P为AC的中点∴PD⊥AC∵BP⊥AC，PD⊥AC，BP PD P，∴AC⊥平面BDP又∵AC 平ACD面∴平面⊥平面ACD BDP(2)设AB AC BC a32∴BP a,CD 6 a252 22 PD CD PC 6a 4在△BPD中，由余弦定理，得cos∠BPD3 52 2a 6 a4 43 52 a 62 4解得∴4∴或（舍去）a2a2BP3,PD12 sin∠=1-cos∠=BPDBPDS△BPVA BC31 2 223 2 3∴∴6 18.(解：1)7.5 18 12.5 12 17.5 9 22.5 9 27.5 6 32.5 4 37.5 218 12 9 8 6 4 2(3)203 12 16.92非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性48 12 60 (2)学时数20以下的女性：2 4 8=14人16 24 40女性合计64 36 100 分层抽样7人，则学时数在5,10 ，10,15 ，15, 20 分别为1、2、4人7 6抽取2人共有=21种可能2 K 22100 4 824 1 16250 16.6760 40 64 36 310.8284 3在中抽取人共有15,20 2 =62所以有99.9%的把握认为?十分爱好该课程者”与性别有关所以这人购买的学时数都不低于=的概率P 6 = 2 21521 77 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑26. (1)解由已知，得222a bc将 代入 ，得 [1] [2]2223x4 x2mx m123 4 m t m7 71∴t m7 c 1 4 24229a 9b解得122∴7x 8mx 4m -12 0∴ 2 2=64m 4 7 4m -12248 7 m 01 1 ∴ x xym y m1 21277 11x xx m m ym m1 212772a42b 3 12c∴椭圆 C 的方程：22x y1 4 3(2)联立方程组 y x m[1]22x y1 [2]43设A x , y , B x , y , G x , y中点112228m 4m 12 ∴xx = , x x121 27 78m4m 3m∴ x2, y7 7 7设存在M 0,t 满足题意 即AM BM 0x x y t y t 1 2 1 2由MGAB 得,整理，得 86422x xm xxm =0 1 2127 49 24m 12 8 8m 642∴2mm =0 777 49解得m3∴t1 3377∴当m3时， 3 3存在点M 0, 或M 0,满足题意77解：(1) 27. x由f x g x ,得 a ln x e 设 x 1h x ln x ex 01x 1h ' xe x1x 1h" xe2x∴h ' x 单调减，又 h ' 11x 1设P x ,ea ,Q x ,ln x1122∴x 11e a t lnx t2整理，得 xln t a11txe2∴ tPQ xxe ln t a 1, t21[1] a 0时， F ' t 0，F t 递增[2] 10 'a 时，设 F t∴ te1 ta∴ tln ta∴tPQF teln1 tat1x0,11 1,∴h ' x设tF t e ln t a 1, t a1tata a 01h x 1∴当时，有2个交点2 a 1当时，有1个交点a= 1当a 1时，没有交点(2)由(1)知a 1，t 0，t at1taF ' t e1tF " t e 02t a∴' 单调增F t又∵F1 a 1' 0 =1 =a aa 11当且仅当，= t at a即t =a 1时，等号成立1t代入，得1,与的取值矛盾e0 a at a∴PQ a 18 / 92019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学眼尘编辑28.(1)解：2 2∵cos t sin t 1由已知代入，得2x y 12∴y x1∵cost 1,12∴曲线C : y x 1 x 1,111 ∵sin a cos21 ∴sin a cos21∴y ax21∴y ax2∴直线C: yax2(2)112联立方程组：y,消得122x ax由已知可得122∴设=a 2 02f x x ax∴有f1 01 1a2 21f 1 0 既有 a 02aa2 21 12∴1 1的取值范围为[ ]a,2 2x 2在上有两不同的根x 1,1122x x 1 2解：23. (1)将a 1代入f x ，得f x x 1 2x 1 0 ∴x 1 2x 1 令g x 2x 1 112 2x x21易求最小值为=1g x g x gm i n2∴ 2 2x 1 2x 1 ∴x a g xm i n1∴3x x 2 0 ∴0 x 21 1即只需当x 时，x a a2 21````解得∴x 0,23 1(2)a2 2由已知得又a 0x a 2x 1 11∴a0,29 / 9。

广东省江门市2019届高三数学第一次模拟考试试题文(含解析)

广东省江门市2019届高三数学第一次模拟考试试题文(含解析)

广东省江门市2019年高考模拟（第一次模拟）考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.R【答案】C【解析】【分析】进行补集、交集的运算即可．故选：C．【点睛】考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.iA. iB.C. 1【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质计算．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．3.甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150了解学生能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调在丙校有50名数学培优生，需要从中抽取10名学生进行失分分析，A. 分层抽样法、系统抽样法B. 分层抽样法、简单随机抽样法C. 系统抽样法、分层抽样法D. 简单随机抽样法、分层抽样法【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可．故选：B．【点睛】本题主要考查简单抽样的应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键．4.在直角坐标系Oxy中，D.【答案】D【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，然后推出mn的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．，解得故选：D．【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】【详解】两直线和平行的充要条件为又“”是“故选：A．【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，属简单题．DD.【答案】C【解析】【分析】建系，设D坐标，再由向量垂直得D坐标，即得结果.故选：C．【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量共线、垂直的运算，属中档题．5A. 50 C. 100 D. 10【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质、标准差公式直接求解．5，故选：B．【点睛】本题考查标准差的求法，考查等差数列的性质、标准差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.正方体的平面展开图如图，AB、CD、EF、GH四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出平面展开图对应的正方体，分析其中6合即可得答案．【详解】根据题意，如图为平面展开图对应的正方体，其中AB与GH、AB与EF、GH与CD、EF与CD共有4组；故选：D．【点睛】本题考查正方体的几何性质以及异面直线所成的角，属于基础题．9.A. 10B. 20C. 30D. 40 【答案】A【解析】【分析】10，故选：A．【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．10.的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数易函数是【答案】D【解析】【分析】即可得答案．据此依次分析选项：对于，，为正切函数，过原点且是奇函数，符合题意；是周易函数；故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断以及应用，关键是分析周易函数的性质，属于基础题．11.实数x、y1A. 最大值9B. 最大值18C. 最小值9D. 最小值18 【答案】C【解析】【分析】a，b的关系，再根据基本不等式求解．故选：C．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）R．【答案】-2【解析】【分析】即可得答案．R上的奇函数，则；故答案为：-2．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意利用函数奇偶性的定义进行分析，属于基础题．13.在直角坐标系Oxy A、B两点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是______．【解析】【分析】先求出A、B的坐标，根据圆心为直角三角形AOB的斜边AB的中点C，半径为AB的一半，写出圆的标准方程．【详解】在直角坐标系Oxy中，A、B两点，、则经过O、A、B三点的圆的圆心为直角三角形AOB的斜边AB半径为AB则经过O、A、B三点的圆的标准方程是【点睛】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．14.n．【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求出结果．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15._________．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）16.平面四边形ABCDC的大小；A、B、C、D四点共圆，求边AD的长．【答案】（Ⅱ）3 .【解析】【分析】C的大小；B、C、D四点共圆，求出A，然后利用余弦定理，转化求解即可．A、B、C、D四点共圆，所以，解得或，所以，【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．17.如图，ABC是等边三角形，，(Ⅱ)M,N，的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】【分析】垂足为D，连接CD，平面ACD，推出推出侧面ACD，垂足为E，然后求AND，连接CD，所以，所以a，所以ACD.ACD平面ACD，所以侧面平面中，作，垂足为EDEAN，三棱锥的体积同理可得，三棱锥的体积【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．18.随着生活质量不断提高，c为大于0当体重与6位成年男性，测得数据如下：6位男性中再随机选取2位，求恰有一位优等身材的概率；y关于x的回归方程；180cm，，【答案】（Ⅱ）（1）；（2）.【解析】【分析】由此能求出y关于x的回归方程．6位成年男性中，优等身材有4位，2位，不同的选取结果有：、、、、，共15种恰有一位优等身材的结果有：8、所求y关于x的回归方程为答：预测这个成年男性体重为【点睛】本题考查概率的求法，考查回归直线方程的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.在直角坐标系Oxyy轴负半轴的交点，经过F的直线l与椭圆交于点M、N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A l的方程．【答案】【解析】【分析】c，利用e求解a，然后求解椭圆的标准方程．.，，所以MN与x轴不垂直，设直线l、依题意，直线AB的方程为l【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20.证明：曲线在处的切线经过定点；【答案】（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】在处的切线为即切线过定点时，单调递增，根据对数函数与幂函数性质，当x当x所以，任意，有零点的单调性知，有且仅有一个零点【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．21.的极坐标方程为（1的普通方程和的直角坐标方程；（2的一个交点，过点【答案】（1（2【解析】【分析】（1普通方程；（2）联立两圆的方程得到P PQ 的直线方程，结合垂径定理得到结果.【详解】（1的直角坐标方程为（2根据圆的对称性，不妨设,到直线的距离【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程的化法，也涉及圆的知识的应用，关于圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

广东省2019届高三3月模拟考试(一)数学文试题

广东省2019届高三3月模拟考试(一)数学文试题

，则 z＝2x+y 的最大值为
． ，则三棱锥 P﹣ABC 的内切球
15．在三棱锥 P﹣ABC 中，AP，AB，AC 两两垂直，且 AP＝AB＝AC＝ 的表面积为 ． ）+
16．已知函数 f（x）＝sin（ωx+
（ω＞0） ，点 P，Q，R 是直线 y＝m（m＞0）与函数 f（x）的图 ，则 ω+m＝ ．
i5 2．复数 z＝ 1 i （i 为虚数单位）的虚部为（ ）
1 A．－ 2 1 B． 2 1 i C．－ 2 1 i D． 2
3．双曲线 9x2﹣16y2＝1 的焦点坐标为（ ）
5 A． （0，± 12 ）
5 B． （± 12 ，0）
C． （±5，0）
D． （0，±5）
3 3 4．若 sin（α＋ 2 ）＝ 3 ，则 cos2α＝（ ）
4 （2）若不等式 f（x）﹣5＜0 的解集为（m，n） ，且 n﹣m＝ 3 ，求 a 的值．
5 1 2 ≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在△ABC 中，若点
P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点 M，则点 M 落在△APQ 内的概率为（ ）
5 1 A． 2
B．
﹣2
5 1 C． 4
52 D． 2
11．已知 F 为抛物线 C：x2＝4y 的焦点，直线 y＝ S△OAB＝（ ） A． B． C．
广东省 2019 届高三 3 月模拟考试（一） 数学文试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知集合 A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16}，则 A∩B＝（ ） A． （﹣∞，8） B． （﹣∞，3） C． （0，8） D． （0，3）

2019届全国统一考试广东省模拟(一)数学(文)试题(解析版)

2019届全国统一考试广东省模拟(一)数学(文)试题(解析版)

2019届全国统一考试广东省模拟（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出集合，再求两集合的交集即可．【详解】在集合中，得，即，在集合中在上递增，且，所以，即,则．故选：D．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的单调性，属于基础题．2．复数（为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】=，所以z的虚部为．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3．双曲线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．4．若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以 .故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 5．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，由=，得，由函数单调性的性质，即可得的解集.【详解】当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质，属于基础题．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为23＝4．故选：B．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．7．设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（）A．S＝2，这5个数据的方差B．S＝2，这5个数据的平均数C．S＝10，这5个数据的方差D．S＝10，这5个数据的平均数【答案】A【解析】根据程序框图，得输出的S是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22这5个数据的方差，因为，∴由方差的公式S＝．故选：A．【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题．8．的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理化简，得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为，得，所以，所以当且仅当取等号，且为三角形内角，所以.故选：D【点睛】本题考查余弦定理解三角形和基本不等式的应用，属于基础题.9．已知，，三点不共线，且点满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量换为表示，整理后可求结果。

广东省广州市2019年高三(上)摸底数学试卷(文科)(解析版)

广东省广州市2019年高三(上)摸底数学试卷(文科)(解析版)

2019年广东省广州市高三（上）摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，若集合A={x|3x＞1}，B={x|log3x＞0}，A∩∁U B=（）A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3B．3C．2D．23．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（3，1），=（2，﹣2），则（）A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．104．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，]5．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A． B．C．D．6．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．47．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点8．函数y=x2+bx+c当x∈（﹣∞，1）时是单调函数，则b的取值范围（）A．b≥﹣2 B．b≤﹣2 C．b＞﹣2 D．b＜﹣29．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b=0 B．a+b=0 C．a=b=0 D．a=b11．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）12．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是．14．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f （x）=﹣1，f （﹣1）=2，则f为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC的值．18．为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC 为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．（1）求证：B、E、F、N四点共圆；（2）求证：AC2+BF•BM=AB2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，若集合A={x|3x＞1}，B={x|log3x＞0}，A∩∁U B=（）A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B中的不等式的解集，确定出集合A，B，根据全集U=R，找出集合B的补集，然后找出集合B补集与集合A的公共元素，即可求出所求的集合【解答】解：集合A={x|3x＞1}={x|x＞0}，B={x|log3x＞0}={x|x＞1}，则∁U B={x|x≤1}，则A∩∁U B={x|0＜x≤1}，故选：D．2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3B．3C．2D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则和复数的模计算即可．【解答】解：z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，则|z|=3，故选：B．3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（3，1），=（2，﹣2），则（）A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，再计算数量积．【解答】解：=（5，﹣1），=（﹣1，﹣3）．∴=5×（﹣1）+（﹣1）×（﹣3）=﹣2．故选B．4．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】全称命题．【分析】利用参数分离法和函数的单调性，求出命题P为真命题时的等价条件，由全称命题与其否定真假之间的关系，求出实数a的取值范围．【解答】解：若“∀x∈（2，3），x2+5＞ax恒成立，则a＜（x+）min，x∈（2，3）．∵f（x）=x+在（2，）上是减函数，（，3）上为增函数，∴函数f（x）的最小值是f（）=2，则a＜2，∵命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞），故选：A．5．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可．【解答】解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y），总共有6×6=36，两次朝上的点数之积为奇数事件为：A有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共有9个结果，∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==故选：C6．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，=2，y B=﹣2，可得y∴|AB|=4．故选：D．7．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】先观察导函数的图象，找到等于0的点，再观察正负变化情况即可．【解答】解：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于0变为小于0，此时原函数有极大值，在x3处导函数由小于0变为大于0，此时原函数有极小值，在x1、x4处导函数没有正负变化无极值点．故选A．8．函数y=x2+bx+c当x∈（﹣∞，1）时是单调函数，则b的取值范围（）A．b≥﹣2 B．b≤﹣2 C．b＞﹣2 D．b＜﹣2【考点】函数单调性的性质．【分析】二次函数图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣，又y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调函数，故1应在对称轴的左边．【解答】解：∵函数y=x2+bx+c的对称轴是x=﹣，∵函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调函数，又函数图象开口向上∴函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调减函数∴1≤﹣，∴b≤﹣2，∴b的取值范围是b≤﹣2．故选B．9．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选A10．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b=0 B．a+b=0 C．a=b=0 D．a=b【考点】函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值．【解答】解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b=﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）=2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|=2b=0，即a=b=0，故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，故选C．11．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】由题意可得，离直线x=1越近的点，函数值越小，由此判断答案．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，再根据函数的图象关于直线x=1对称，可得函数在（﹣∞，1]上是减函数．故离直线x=1越近的点，函数值越小．|﹣1|=，|﹣1|=，|﹣1|=，∴f（）＜f（）＜f（），故选：B12．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】要找m的取值使f（x）+9≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于﹣9即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=x4﹣2x3+3m，所以f′（x）=2x3﹣6x2．令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m﹣．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥﹣9恒成立，所以3m﹣≥﹣9，解得m≥．故答案选A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是∀x∈R，x2+2x≠3．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．14．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B={x|﹣4＜x ≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算，即可得到结论【解答】解：集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故答案为：{x|﹣4＜x≤2}．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f （x）=﹣1，f （﹣1）=2，则f满足f（x+3）•f （x）=﹣1，∴f（x+6）•f （x+3）=﹣1，∴f（x+6）=f（x），∴函数f（x）的周期为6，∵f（﹣1）=2，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．16．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）由函数图象得到半周期，进一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由f（）=1结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求，再由函数图象得到函数的减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（﹣）=求得A，由cosB=求得sinB，利用sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）展开两角和的正弦求得sinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，得，即ω=2．当x=时，f（x）=1，可得sin（+φ）=1．∵φ＜，∴φ=．故．由图象可得f（x）的单调递减区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，即，又角A为锐角，∴A=．∵0＜B＜π，cosB=，∴，∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．18．为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，能作出抽取的15人的成绩茎叶图，由样本得成绩在90分以上频率为，由此能计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数．（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A，B，C，D，E，F，其中E，F 的成绩在90分以上（含90分），利用列举法能求出选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率．【解答】解：（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的15人的成绩茎叶图如右图所示，…3分由样本得成绩在90分以上频率为，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为=200人．…5分（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A，B，C，D，E，F，其中E，F 的成绩在90分以上（含90分），…6分成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，D}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{A，E，F}，{B，C，D}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，{D，E，F}，{B，E，F}，{C，E，F}，共20种，…8分其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，共12种， (10)分∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为==．…12分19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC 为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，=V C1﹣BCD=••6=9．∴V20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，2b=，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）当直线MN⊥x轴时，．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与圆O：的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN与圆O相切，得25b2=k2+1，联立，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，由此能证明为定值．（Ⅲ）设∠XOM=θ，则∠XON=，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），从而=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）=9×16+（9﹣16）2sin22θ，由此能求出|OM|•|ON|的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由椭圆C：（a＞b＞0）上点到两焦点距离和为，得，即a=；由短轴长为，得2b=，即b=．∴椭圆C的方程为：9x2+16y2=1．（Ⅱ）证明：当直线MN⊥x轴时，∵直线MN与圆O：相切，∴直线MN方程为：x=或x=﹣，当直线方程为x=，得两点分别为（）和（），故=0，．同理当x=﹣时，．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与椭圆的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN与圆O相切得，即25b2=k2+1，①联立，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，∴△＞0，，，由=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）==，②由①②，得=0，即，综上，为定值．（Ⅲ）解：不妨设∠XOM=θ，则∠XON=，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），∵M，N都在9x2+16y2=1上，∴=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）=9×16+（9﹣16）2sin2θcos2θ=9×16+（9﹣16）2sin22θ，又sin22θ∈[0，1]，故（）2∈[9×16，]，∴|OM|•|ON|的取值范围是[]．21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．【分析】（I）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可．（II）通过a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）…①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；…②当a＞0时，令f′（x）=0，解得，当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0；∴函数f（x）在当内单调递减，在内单调递增；…（II）当a≤0时，由（I）知f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）不可能有两个零点；…当a＞0时，由（I）得，函数f（x）在当内单调递减，在内单调递增，且当x趋近于0和正无穷大时，f（x）都趋近于正无穷大，故若要使函数有两个零点；…则f（x）的极小值，即，解得0＜a＜e3所以a的取值范围是（0，e3）…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．（1）求证：B、E、F、N四点共圆；（2）求证：AC2+BF•BM=AB2．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）连结BN，证明∠BEF+∠BNF=180°，即可证明B、E、F、N四点共圆；（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AE•AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：，即可得出结论．【解答】证明：（1）连结BN，则AN⊥BN，又CD⊥AB，则∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF+∠BNF=180°，则B、E、F、N四点共圆．…（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AE•AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：，∴BF•BM=BA•BE=BA•（BA﹣EA），∴BF•BM=AB2﹣AB•AE，∴BF•BM=AB2﹣AC2，即AC2+BF•BM=AB2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．【解答】解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin（θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin（θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的符号，求出a的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然a≠0，…当a＞0时，解集为，，无解；…当a＜0时，解集为，令，，综上所述，．…（Ⅱ）当a=2时，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|4x+1|﹣|2x﹣3|=…由此可知，h（x）在单调减，在单调增，在单调增，则当时，h（x）取到最小值，…由题意知，，则实数m的取值范围是…。

2019届广东省高三3月模拟考试(一)数学(文)试卷(word版)

2019届广东省高三3月模拟考试(一)数学(文)试卷(word版)

广东省2019届高三3月模拟考试（一）数学文试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．复数z＝51ii-（i为虚数单位）的虚部为（）A．－12B．12C．－12i D．12i3．双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（0，±512）B．（±512，0）C．（±5，0）D．（0，±5）4．若sin（α＋32πcos2α＝（）A．－12B．－13C．13D．125．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c ，已知cos C +cos A＝1，则cos B的取值范围为（）A．（12，＋∞）B．[12，＋∞）C．（12，1）D．[12，1）9．已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A ．＝12+3B ．＝12﹣3C ．＝﹣12+3D ．＝﹣12﹣310．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．12B ．﹣2 C．14D．2211．已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线y ＝x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB＝（）A ．B ．C ．D．212．函数f（x）＝（kx﹣2）lnx，g（x）＝2lnx﹣x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A．[1﹣12ln2，﹣1ln3）B．（1﹣12ln2，43﹣1ln3]C．[43﹣1ln3，2﹣12ln2）D．（43﹣1ln3，2﹣12ln2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数f（x ）＝，则f（f（2））＝．14．设x，y 满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC ＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．16．已知函数f（x）＝sin（ωx +）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y＝4上．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥﹣4a2+4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝43，求a的值．。

2019届广东省高三适应性考试数学(文)试题(解析版)

2019届广东省高三适应性考试数学(文)试题(解析版)

2019届广东省高三适应性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则A B =（ ）A ．()(),10,-∞-+∞B ．(]2,4C ．()0,2D ．(]1,4-【答案】B【解析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}， B ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0＜x ≤4}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}＝（2，4]． 故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则（ ）A ．B ．13C D ．5【答案】B【解析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解． 【详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根， 则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13． 故选：B ． 【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．已知实数x，y满足约束条件133xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=-+的最小值为( ）A．-6 B．-4 C．-3 D．-1【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最小值．【详解】由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由330x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得A（3，0）．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝﹣6，即目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣6．故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4．如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确．．．的是（）A ．与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长B ．2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省C ．2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元 【答案】C【解析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系. 【详解】由2018年第一季度五省情况图，知：在中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的总量均实现了增长，正确；在中，2018年第一季度增速由髙到低排位第5的是浙江省，故正确；在中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故不正确；在中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故正确，故选C. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.5．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=-D ．14n n a a b b -=-【答案】B【解析】由已知求得等比数列{b n }的通项公式，作比即可得到14n n a a b b -=．【详解】∵等差数列{a n }的公差为2，数列{b n }是公比为﹣2的等比数列，∴11(2)n n b b -=⋅-，∴11111121111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ---------⋅--===-=-=⋅--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．6．如图，先画一个正方形ABCD ，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH ，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．116【答案】C【解析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12．则四边形的面积构成公比为12的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到. 【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12，四边形的面积构成公比为12的等比数列，∴第n 个正方形的面积为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，即第四个正方形的面积31128⎛⎫= ⎪⎝⎭ .∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P ＝11818= ，故选：C ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若60NFR ∠=︒，则NR =（ ）A ．2BC ．D ．3【答案】A【解析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF 为等边三角形，求出其边长，进而在Rt △FMR 分析可得答案． 【详解】根据题意，如图所示：连接MF ，QF ，抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为（1，0），准线x ＝﹣1， 则FH ＝2，PF ＝PQ ，又由M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，则MN ∥QF ， 又PQ ＝PF ，∠NRF ＝60°， 且∠NRF ＝∠QFH ＝∠FQP ＝60°，则△PQF 为边长为4等边三角形，MF ＝在Rt △FMR 中，FR ＝2，MF ＝， 则MR ＝4， 则NR 12=MR ＝2， 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF 为等边三角形，属于综合题． 8．已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则（ ） A ．0OM BC ∙= B ．0OM AB ∙= C ．//OM BC D ．//OM AB【答案】D【解析】由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 【详解】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，230OA OB OC ++=，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+40OM =， 即2（OA OB -）+120OM =， 可得AB =6OM ， 即OM ∥AB ， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．9．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101xx e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01x x e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数的奇偶性判断函数的对称性； 4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象 10．如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．D ．【答案】D【解析】建立坐标系，求出M 的轨迹，得出M 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【详解】解：以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4）， 设M （a ，0，b ），则（a ，﹣4，b ﹣4），（﹣4，﹣4，2），∵D 1M ⊥CP ，∴4a +16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4．取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ．又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ，∴S △BCM 的最小值为S △QBC ．故选：．【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.11．已知函数()()()2sin 10,f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是（ ） A ．513,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B ．713,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．212,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．112,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A【解析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据直线6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，得出(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，由此求出,,k nω的关系式，进而得到ω的最小值与对应ϕ的值，进而得到函数()f x 的解析式，从而可求出它的单调增区间． 【详解】∵函数()f x 的一个零点是3x π=，∴2sin 103ωπϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭， ∴1sin 32ωπϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴236k ωππϕπ+=+，或()5236k k Z ωππϕπ+=+∈．① 又直线6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，∴(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，②由①②得()()222,?,3k n k n Z ω=-±∈， ∵0,,k n Z ω>∈， ∴min 23ω=； 此时252,296k n k ππϕπ+=+=， ∴()11218k k Z πϕπ=+∈，∵ϕπ<， ∴1118πϕ=，∴()2112sin 1318f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 由()2112223182k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得()53336k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈．∴()f x 的单调增区间是513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦．故选A ． 【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．12．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，(,0),(,0)(0)A t B t t ->，斜率为13的直线过A 点且与双曲线交于,M N 两点，若2OD OM ON =+，0BD MN ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】联立方程组消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式得出D 点坐标，根据BD k ＝﹣3列方程得出a ，b 的关系，从而可得出双曲线的离心率． 【详解】直线MN 的方程为y 13=（x +t ）， 联立方程组()2222131y x t x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消元可得：（9b 2﹣a 2）x 2﹣2a 2tx ﹣a 2t 2﹣9a 2b 2＝0， 设M （11,x y ），N （22,x y ），则由根与系数的关系可得：12x x + 22229a tb a=-， ∵2OD OM ON =+，∴D 为MN 的中点，∴D （2229a t b a-，()222339a t t b a +-）， ∵0BD MN ⋅=，∴BD ⊥MN ，∴k BD ＝﹣3，即()22222233939a t t b a a ttb a +-=---，化简可得222495a b a =-， 即b 2a =，∴e 2c aa ===故选：A ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．二、填空题13．已知函数()(,)x f x ae b a b R =+∈在点(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+，则a b -=_______．【答案】3【解析】由f （x ）＝ae x+b ，得f '（x ），因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1，故（0，f （0））适合方程y ＝2x +1，且f ′（0）＝2；联立可得结果． 【详解】由f （x ）＝ae x+b ，得f '（x ）＝ae x，因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1，所以()()01'02f a b f a⎧==+⎪⎨==⎪⎩解得a ＝2，b ＝﹣1．a ﹣b ＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题．14．已知函数)3()log2f x x x =+，若()7()f a a R =∈，则()f a -=_______．【答案】7【解析】求出f （x ）的定义域，然后判断f （x ）的奇偶性，根据奇偶性可得答案． 【详解】f （x ）的定义域为R ，关于原点对称， 又f （﹣x）)3()2x logx =-+32x log ⎛⎫=-+)32x logx =+=f （x ），∴f （x ）是R 上的偶函数， ∴f （﹣a ）＝f （a ）＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，关键是对对数式的真数分子有理化，属基础题． 15．已知点A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，且2AB AC ==，BC =锥A BCD -的体积为3，球心O 恰好在棱AD 上，则这个球的表面积为_______. 【答案】16π【解析】根据条件可知球心O 是侧棱AD 中点.利用三棱锥的体积公式，求得设点D 到平面ABC的距离h =，又由球的性质，求得2R =，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，ABC ∆满足2,AB AC BC ===ABC ∆为直角三角形， 根据条件可知球心O 是侧棱AD 中点. 设点D 到平面ABC 的距离为h，则112232h ⨯⨯⨯⨯=，解得h =又由球的性质，可得球O 半径为R ，满足()((2222R =+，所以2R =，所以这个球的表面积2416S R ππ==.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合体的应用，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16．已知数列{}n a 满足()*12(1)2(1)1(1)3n n n n n a a n n N +⎡⎤⎡⎤--++-=+-⨯∈⎣⎦⎣⎦，则251a a -=____． 【答案】300【解析】由[2﹣（﹣1）n ]a n +[2+（﹣1）n ]a n +1＝1+（﹣1）n×3n ，当n ＝2k （k ∈N ），可得：a 2k +3a 2k +1＝1+6k ，n ＝2k ﹣1（k ∈N ），可得：3a 2k ﹣1+a 2k ＝1﹣6k +3，于是a 2k +1﹣a 2k﹣1＝4k ﹣1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n 项和公式即可得出．【详解】∵[2﹣（﹣1）n ]a n +[2+（﹣1）n ]a n +1＝1+（﹣1）n ×3n ， ∴n ＝2k （k ∈N ），可得： 221316k k a a k ++=+ n ＝2k ﹣1（k ∈N ），可得： 2213163k k a a k -+=-+ ∴，212143k k a a k +--=- ∴()()()2525232321311a a a a a a a a =-+-++-+＝（4×12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+1a ()1212142⨯+=⨯-12+1a ＝300+1a ．则251a a -=300， 故答案为：300． 【点睛】本题考查了数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,2b c A B ===. （1）求a 的值； （2）求cos(2)6A π+的值.【答案】（Ⅰ） （Ⅱ.【解析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理可得22222a c b a b ac+-=⋅，代入边长求解a 的值即可；(Ⅱ)由余弦定理可得：1cos 3A =-，则sin A =，利用二倍角公式和两角和差正余弦公式求解cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】(Ⅰ)由2A B =可得sin sin 22sin cos A B B B ==，结合正弦定理可得：2222cos 22a c b a b B b ac +-==⋅，即：21962a a a+-=⨯，据此可得212,a a ==.(Ⅱ)由余弦定理可得：22291121cos 22313b c a A bc +-+-===-⨯⨯，由同角三角函数基本关系可得sin A ==故227cos 2cos sin 9A A A =-=-，sin 22sin cos A A A ==cos 2cos 2cos sin 2sin 666A A A πππ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，两角和差正余弦公式，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为等腰直角三角形，2AB BC ==，13AA =，P 为11B C 的中点，Q 为1BB 的三等分点（靠近1B ）点.（1）求三棱锥P AQC -的体积；（2）在线段11A C 上找点M ，使得1//B M 平面APQ ，写出作图步骤，但不要求证明. 【答案】(1) 43P AQC V -=(2)见解析 【解析】（1）把三棱锥P ﹣AQC 转化为A ﹣PQC ，容易求解；（2）首先过B 1作平面与平面APQ 平行，该平面与A 1C 1的交点M 即为所找的点． 【详解】(1)由题知11AB B C CB ⊥面 依题意得11422333P AQC A PQC PQC V V S AB --∆==⨯⨯=⨯⨯= (2) 如图，在平面11ABB A 内，过点1B 作1//B E AQ 交1AA 于点E ，连结1A P ，在1P AA ∆中，作//EF AP 交1A P 于点F ，连结1B F 并延长交11A C 于点M ，则1B M 为所求作直线.【点睛】此题考查了转化法求体积，面面平行，熟记定理准确推理是关键，难度适中．19．随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据:（1）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量；(2)小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位,为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区,由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后,将所有申请的业主报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价,则以提出申请的时间在前的业主成交,为预测本:次竞拍的成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查,统计了他们的拟报竞价,得到如下频率分布直方图：（ⅰ）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；（ⅱ）如果所有符合条件的车主均参与竞拍,利用样木估计总体的思想,请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功?(精确到整数) 参考公式:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ,其回归直线ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑ ，a y bx =-$$【答案】（1）310（2）（i ）12（ii ）974【解析】（1）利用回归直线方程方程计算公式，计算出回归直线方程，令7x =求得预测值.（2）（i ）根据频率分布直方图计算出不低于1000的频率，由此计算出人数. （ii ）先求得能够竞拍成功的比例为59，用510000.31009⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭求得竞拍成功的最低报价. 【详解】解：（1）由表中数据，计算得，()11234535x =⨯++++=， ()134951241812161305y =⨯++++=，()()()()()()222229613501512862101ˆ2b -⨯-+-⨯-++⨯+⨯=-+-+++ 4504510==， 130453ˆ5ˆay bx =-=-⨯=-， 故所求线性回归方程为ˆ455y x =-， 令7x =，得ˆ310y=， 所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆.（2）（i ）由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为()0.250.0510.3+⨯=，共抽取40位业主，则400.312⨯=，所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人. （ii ）由题意，12052169=， 所以竞价自高到低排列位于前59比例的业主可以竞拍成功， 结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为5877010000.310097499⎛⎫--⨯=≈ ⎪⎝⎭元.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查频率分布直方图的有关计算，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.【答案】（1）2212x y +=（2）证明过程详见解析【解析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b ，利用离心率求出a ，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）依题意可知直线l 斜率存在，设l 方程为()2y k x =-，代入2212x y +=整理得()222128k xk x +- 2820k +-=， l 与椭圆有两个交点，0∴∆>.设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AF ，BF 的斜率分别为1k ，2k ，利用韦达定理证明120k k +=即可. 【详解】解：（1）依题意可设圆C 方程为222x y b +=， 圆C与直线0x y -+=相切，1b ∴==.221a c ∴-=，由c a =解得a = ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）依题意可知直线l 斜率存在，设l 方程为()2y k x =-，代入2212x y +=整理得()222128k xk x +- 2820k +-=，l 与椭圆有两个交点，0∴∆>，即2210k -<.设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AF ，BF 的斜率分别为1k ，2k则2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+. ()1,0F 12121211y y k k x x ∴+=+-- ()()12122211k x k x x x --=+--1211211k k x x ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭ ()121212221x x k k x x x x ⎛⎫+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭2222228212282811212k k k k k k k k -+=---+++ 22422021k k k k -=-=-，即PFM PFB ∠=∠. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力． 21．已知函数2()ln 31f x x x ax =+++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）讨论a 的范围，得出f ′（x ）＞0和f ′（x ）＜0的解集，得出f （x ）的单调性；（2）求出f （x ）的极大值，判断极大值小于0，根据f （x ）的单调性得出f （x ）的零点个数． 【详解】（1）21231()23(0)x ax f x x a x x x++'=++=>，令2()231u x x ax =++，其对称轴为034ax =-，令22310x a x ++=，则298a ∆=-.当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，对称轴为0304ax =->，若2980a ∆=-≤，即0a ≤<，()0u x ≥恒成立，所以()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；若3a <-时，设()0u x =的两根1x =，2x =当1(0,)x x ∈时，()0u x >，所以()0f x '>，所以()f x 在1(0,)x 上单调递增， 当12(,)x x x ∈时，()0u x <，所以()0f x '<，所以()f x 在12(,)x x 上单调递减， 当2(,)x x ∈+∞时，()0u x >，所以()0f x '>，所以()f x 在2(,)x +∞上单调递增，综上所述：当3a ≥-时， ()f x 在(0,)+∞上单调递增；若a <时， ()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增；（2）当1a <-时，由（1）知()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，下面研究()f x 的极大值21111()ln 31f x x x ax =+++，又2112310x ax ++=，所以2221111111()ln 231ln f x x x ax x x x =+++-=-，令2()ln g x x x =-，则212()x g x x -'=（0x >），可得()g x 在(0,2上单调递增，在)+∞上单调递减，且()g x 的极大值1ln 02g =-<，所以()0<g x ，所以1()0f x <，当1(0,)x x ∈时， ()f x 单调递增，所以1()()0f x f x <<当12(,)x x x ∈时， ()f x 在12(,)x x 上单调递减，所以21()()()0f x f x f x <<< 当2(,)x x ∈+∞时， ()f x 单调递增，且222(4)ln(4)16121ln(4)41(1)f a a a a a a a -=-+-+=-++<-，2()(4)0f x f a ⋅-<，所以存在2(,4)x x a '∈-，使得()0f x '=，又当2(,)x x ∈+∞时， ()f x 单调递增，所以()f x 只有一个零点x '，综上所述，当1a <-时，()f x 在(0,)+∞上只有一个零点.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数极值、单调性与函数零点的个数判断，属于难题．22．（选修4-4：极坐标与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.P 是曲线1C 上的动点，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0M ，求MAB ∆的面积.【答案】（I ）1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，2C 的极坐标方程为2cos (0)ρθρ=≠；（II ）3.【解析】（1）先求得1C 的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程.设出Q 点的极坐标，由此表示出P 点的极坐标，代入1C 的极坐标方程，化简后得出曲线2C 的极坐标方程.（2）将3πθ=代入1C ，2C 的极坐标方程求得,A B 两点的极坐标，利用MAB MOA MOB S S S ∆∆∆=-求得三角形MAB 的面积.【详解】解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=，故1C 的极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=.设点()(),0Q ρθρ≠，则由已知得,2P πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得2sin 2πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即()2cos 0ρθρ=≠.（2）将3πθ=代入1C ，2C的极坐标方程得3A π⎫⎪⎭，1,3B π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又∵()4,0M ，所以1sin 323MOA S OA OM π∆=⋅=，1sin 23MOB S OB OM π∆=⋅=∴3MAB MOA MOB S S S ∆∆∆=-=.【点睛】本小题主要考查参数方程化为极坐标方程，考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的计算，属于中档题.23．（选修4-5：不等式选讲）已知函数()()230f x x m x m m =--+>.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}31x x -≤≤- (2) 605m << 【解析】(1)先由1m =，将原函数变为()123f x x x =--+，将函数写出分段函数的形式，解不等式即可；(2)先由题意可知，对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-，进而可求出结果.【详解】（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++- 因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()min 213t t ++-=因为0m >时，()23f x x m x m =--+= 34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以532m <， 所以实数m 的取值范围605m <<. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法，以及不等式恒成立问题，属于中档试题.。

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广东省2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12 C ．12i - D ．12- 2.已知集合{}{}2|0,|1A x x B x x =>=<，则AB = （ ）A ．()0,+∞B ． ()0,1C ． ()1,-+∞D ．()1,0- 3. “常数m 是2与8的等比中项”是“4m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）A ．320 B ．325π C ．325 D ．20π 5. 已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，点F 到C 的一条渐近线的距离为2a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．．2 6. 等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．488π+B ．968π+ C. 9616π+ D ．4816π+ 8.已知曲线:sin 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 （ ） A ．把C 向左平移512π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（ ）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥ C. n 是偶数，100n > D ．n 是奇数，100n > 10.已知函数()xf x e在其定义域上单调递减，则函数()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C. D ．11.已知抛物线2:,C y x M =为x 轴负半轴上的动点，,MA MB 为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MA MB 的最小值为 （ ）A ．14-B ．18- C. 116- D ．12- 12.设函数()121,25,2x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222ab c ++的取值范围是 （ ）A ．()16,32B ．()18,34 C. ()17,35 D ．()6,7 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -= ．14.设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为 ．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ． 16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22b c a a ⎫+=+⎪⎪⎝⎭.（1）证明：a A =； （2）若,36A B ππ==，求ABC ∆的面积.18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 3000 6000800010000 1 0规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在30016000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F ==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形. （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求点F 到平面ABCD 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），且直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.21. 已知函数()2xf x e x ax =--.（1）证明：当22ln 2a ≤-时，函数()f x 在R 上是单调函数； （2）当0x >时，()1f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3C R πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+.（1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在12,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.广东省2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:DCBAC 6-10: ABBDA 11、12：CB 二、填空题13. 1 14. 2 15. 14 16. 27三、解答题17.解：（1）因为2223b c a +=+，所以2223b c a abc +-=， 又因为2222cos b c a bc A +-=，所以2cos 3bc A =，即a A =.（2）因为3A π=，所以a A =由正弦定理sin sin a bA B=，可得1b =， 2C A B ππ=--=，所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 18.解：（1）根据题意完成下面的列联表：根据列联表中的数据，得到()225020810120.231 2.70630203218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”； （2）设步行数在30016000中的男性的编号为1，2，女性的编号为,,a b c .选取三位的所有情况为：()()()()()()()()()()1,2,,1,2,,1,2,c ,1,,,1,,,1,,,2,,,2,,,2,,,,,a b a b a c b c a b a c b c a b c 共有10种情形，符合条件的情况有：()()()1,2,,1,2,,1,2,a b c 共3种情形. 故所求概率为310. 19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥， 又AE CF ⊥，且EFCF F =，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ； （2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF ，DG EC ⊥， 又,BD EC BD DG D ⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易得EGBBEC ∆∆，则EG EBEB BC=，得EB = 设点F 到平面ABCD 的距离为h ， 因为14482F ABC A BCF V V --==⨯⨯=， 又因为,,BC AE BC EB AE EB ⊥⊥于E ，所以BC ⊥平面AEB ，故AB BC ⊥，又因为14AE EB 2BCF S ∆=⨯⨯===，所以28h ==，故点F 到平面ABCD 的距离为2.20.解：（1）由题意可得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=， 则()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++， 故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，又直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，则22121y y k x x =， 即()221212212k x x km x x m k x x +++=，所以22228014k m m k -+=+， 又0m ≠，所以214k =，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()2xf x e x a '=--， 令()2xg x e x a =--，则()2xg x e '=-，则当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在ln 2x =取得最小值，()ln 22ln 20g a =--≥， 故()0f x '≥，即()f x 在R 上是单调递增函数；（2）当0x >时，21xe x ax x --≥-，即11x e a x x x≤--+， 令()()110x e h x x x x x =--+>，则()()()()2221111xx x e x e x x h x x x-----+'==，令()()10x x e x x ϕ=-->，则()10x x e ϕ'=->. 当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=， 则当()0,1x ∈时，()0h x '<，所以()h x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 单调递增. 所以()()min 11h x h e ==-，所以(],1a e ∈-∞-.22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=， 所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C的平面直角坐标系方程为y =；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得1224ρρ=+=+则OMN ∆的面积为((124sin 8236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<； 当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<，综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =-成立， 所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x Ry x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+，由（1）可知()9 , 4g x⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x⎛⎤-∈-∞⎥⎝⎦，所以9314a+≤，解得1351212a-≤≤.故a的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

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