离散时间信号

正弦型序列与虚指数序列是同类信号，可以相互线性表达， 正弦型序列也不一定是周期序列，其周期性的判断与虚指数 序列相同。
例2: 指出序列x[k ] cos(o k )成为周期序列的条件。
二、 序列的卷积与相关运算
卷积(convolution) : y[ k ] x[ n]h[ k - n]
n -


x[n] y[k + n]
n -

x[n]x[k + n]
例5: x[k]={2, 1, -2, 1; k=0,1,2,3}，y[k]={-1, 2, 1, -1; k=0,1,2,3}，试计算互相关函数rxy[k] 和ryx[k]，以及自 相关函数rx[k]。
解：根据序列的相关运算的定义可得:


x[ n]h[ k - n]
(a) rxy[k]=x[k] * y[-k], ryx [k]=y[k] *x[-k] (b) rxy[k]=ryx[-k] , rx[k]=rx[-k] (c) rx[0]|rx[k]|
n -

x[n]x[k + n]
作业
P49
1-2(2) 1-3(1)
x[k ] a , k Z
k
有界序列：
若kZ ，存在|x [k]| Mx ( Mx是与 k无关的常数)
一、常用序列
(5) 虚指数序列 ( imaginary exponential sequence)
x[k ] e
周期性：
j k
, k Z
jN
e
j ( k + N )
e
x[k ] { 1,

1, 2, -1, 1}
x [k]={1, 1, 2, -1, 1; k = -1,0,1,2,3}
k x [ k ] 2 u[k ] 3、表达式法：
一、常用序列
(1) 单位脉冲序列(unit impulse sequence) 1 k 0 定义： [k ] 0 k 0
第一章 离散信号与系统分析
1.1
离散时间信号
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、常用序列
二、序列的卷积与相关运算
重点与难点
重点 1、常用序列（记忆） 2、卷积运算、相关运算 难点 卷积（定义、性质）
离散信号的三种表示方法
x[k] 1 1 2 -1 0 1 -1 3 2 1 k
1、图形法：
2、向量法：
jk
e
jN
若e
1 则e
j ( k + N )
e
jk
即N = m2p ， m = 正整数时，信号是周期信号。 结论：如果 /2p m/N，N、m是不可约的整数， 则信号的周期为N。
一、常用序列
(5) 虚指数序列
ej k可以对连续虚指数信号ejw t以T为间隔抽样得到
x[k ] x(t ) t kT e jwTk e j k
两者区别：虚指数序列 x[k]=e j k不一定为周期序列。 而连续虚指数信号x(t)=e jwt一定是周期信号！ 数字角频率与模拟角频率w之间的关系为:
= wT
例1: 试判断序列 x[k]=ej(k/8-p) 是否为周期序列？若是， 请确定其最小周期N。
解： 如果存在 N （属于自然数），当 x[k]= x[k+N] 时， 则序列x[k]为周期序列，最小的N为序列的周期。 x[k]=ej(k/8-p) e -jp ∙ejk/8 ejk/8 x[k+N]=ej[(k+N)/8] ejN/8 ∙ejk/8
(6) 正弦型序列:
x[k ] cos(k )
2、序列的卷积与相关运算
(1)卷积(convolution)的定义: y[ k ] (2)互相关的定义： rxy [k ] (3)自相关的定义： rx [k ] (4)序列相关 的基本特性:
n -


x[n] y[k + n]
n -
n -
y[k ] x[k ]* h[k ]
计算卷积的步骤：
换坐标 → 反褶 →移位 → 相乘 → 相加 →移位 → 相乘 → 相加 ……
卷积的性质：
交换律： x[k ]* y[k ] y[k ]* x[k ] 结合律： ( x[k ]* y[k ])* z[k ] x[k ]*( y[k ]* z[k ]) 分配律： ( x[k ] + y[k ])* z[k ] x[k ]* z[k ] + y[k ]* z[k ]
(2) 单位阶跃序列( unit step sequence) 1 k 0 定义： u[ k ] 0 k 0
(3) 矩形序列(rectangle sequence)
1 0 k N - 1 定义：R N [k ] 0 其他
一、常用序列
(4) 指数序列( exponential sequence)
二、 序列的卷积与相关运算
(2)互相关的定义： rxy [k ] (3)自相关的定义： rx [k ] 序列相关的基本特性: (1) rxy[k]=x[-k]*y[k], ryx [k]=y[-k]*x[k] (2) rxy[k]=ryx[-k] , (3) rx[0]|rx[k]| rx[k]=rx[-k]
n0
3
{-2,1,7, -3, -4,4, -1}

rx [k ] x[n]x[k + n] 2 x[k ] + x[k + 1] - 2 x[k + 2] + x[k + 3]
n 0
3
{2, -3, -2,10, -2, -3,2}

三、小结
1、常用序列
(1) 单位脉冲序列： [k ]
要使以上两式相等，有： ejN/8 =1，即N/8=m2p
所以有N=16mp。——不是自然数！不是周期序列！
一、常用序列
(6) 正弦型序列( sinusoidal type sequence) 1 jk 1 jk - jk cos( k ) ( e + e ) sin(k ) ( e - e - jk ) 2 2j
1 k 0 0 k 0
(4) 指数序列: 有界性
x[ k ] a k , k Z
(2) 单位阶跃序列: (3) 矩形序列:
1 k 0 u[k ] 0 k 0
(5) 虚指数序列 : 周期性
x[k ] e j k
1 0 k N - 1 R N [k ] 0 其他
例4：x[k]非零范围为 N1 k N2 ，h[k]的非零范围 为 N3 k N4。求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
解：N1+N3 k N4+N2
小结：两个序列的卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序 列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于 两个序列的长度之和，再减1。
例3：试计算两个序列的离散卷积。 x[k]=[-1,0,1,1]， k=-1,0,1,2; h[k]=[2,3,2]， k=0,1,2。
换坐标 反褶 移位 相乘 相加
竖式相乘法：
-1,0,1,1 2,3,2 -2,0,2,2 -3,0,3,3 -2, 0,3,3 -2,-3,1,6,5,2
rxy [k ] x[n] y[k + n] 2 y[k ] + y[k + 1] - 2 y[k + 2] + y[k + 3]
n பைடு நூலகம்0 3
{-1,4, -4, -3,7,1, -2}

ryx [k ] y[n]x[k + n] - x[k ] + 2 x[k + 1] + x[k + 2] - x[k + 3]