离散时间信号
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信号与系统-离散时间域分析
滤波器性能评估
分析滤波器的幅频响应、 相频响应、群延迟等性能 指标，以评估滤波器的性 能。
数字调制与解调技术
ASK调制与解调
通过改变载波的振幅来 传递数字信息，实现 ASK调制，并通过相干 或非相干解调方法恢复 原始信号。
FSK调制与解调
利用不同频率的载波表 示不同的数字信息，实 现FSK调制，通过鉴频 器或锁相环等实现FSK 信号的解调。
分类
根据信号的性质和特征，离散时间信 号可分为周期信号和非周期信号、确 定信号和随机信号等。
离散时间系统定义及性质
定义
离散时间系统是一种对离散时间输入 信号进行变换或处理的系统，其输出 也是离散时间信号。
性质
离散时间系统具有线性、时不变性、 因果性、稳定性等性质，这些性质对 于系统的分析和设计具有重要意义。
离散时间信号处理重要性
数字信号处理基础
理论分析基础
离散时间信号处理是数字信号处理的 基础，对于数字通信、音频视频处理、 雷达声呐等领域具有重要意义。
离散时间信号和系统分析的理论和方法 可以推广到连续时间信号和系统，为信 号处理和分析提供统一的理论框架。
计算机处理方便
离散时间信号适合计算机处理，可以 通过算法实现各种复杂的信号处理和 变换。
06 实验：离散时间信号处理 实践
实验目的和要求
理解和掌握离散时间 信号的基本概念和性 质
培养实验操作能力和 分析解决问题的能力
熟悉离散时间信号的 处理方法和实现过程
实验内容和步骤
01
实验内容
02
生成离散时间信号
对信号进行基本运算（如加减、乘除、平移、翻转等）
03
实验内容和步骤
01
对信号进行频谱分析，观察信号 的频谱特性
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
离散时间信号
单位阶跃序列
定义为1，非奇异信号。
单位阶跃序列和单位序列的关系：
3.单位矩形序列（门序列）
定义：
门序列和单位阶跃序列的关系：
4．斜变序列
5．单边实指数序列
定义：
实数a的取值情况： 发散序列
收敛序列
6．正弦序列
定义：
数字角频率 振幅 初相位
数字角频率与模拟信号角频率的关系：
的单位： rad/s
信号与系统
离散时间信号
1.1 离散信号的时域描述
离散信号：只在某些互相分离的时间上才有定义 的信号，这种信号是离散的时间 tk 的函数，可 表示成 f (tk ) 。
离散信号常由连续时间信号进行抽样得到的。
连续信号的抽样
抽样时间： 抽样序号： 抽样值： 离散时间信号：一组序列值的集合
表示为 简记为
常用离散信号
1.单位序列
定义：
抽样性：
信号时域分解公式：
单位序列和单位冲击信号的区别：
单位冲击信号
宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1 的窄脉冲，工程实际中不存在。
单位序列
取有限值1，工程实际中存在。
2.单位阶跃序列
定义：
截取特性:
单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：
单位阶跃函数
跃变，为奇异信号
信号与系统
的单位： 周期信号：
重复周期 重复角频率
正弦序列的周期： 为整数
为有理数 为无理数
且 为使 为最小整数的自然数 正弦序列为非周期序列
1.3 离散信号的基本运算
1．序列的相加
2．序列的相乘
例5.2.1 两离散时间信号
3．序列的移位
4．序列的折叠 5．序列的差分
1离散时间信号—序列
三、序列的基本运算 1、序列的和 ：
两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成 同序号 逐项对应相加 的新序列。 的新序列。 x(n)
2
z(n) = x(n) + y(n)
0
1
2 1 1
1 2 3 4 5 6
n
…… z(0) = x(0) + y(0) = 3 z(1) = x(1) + y(1) = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) = 2 ……
实验结果 y(n) = x1(n)+ x2(n)
1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 - 0 . 2 - 0 . 4 - 0 . 6 - 0 . 8 - 1
‘w1.wav’
x1(n)
0
1
2
3
4
5
6 x 1 0
4
7
1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 - 0 . 2 - 0 . 4 - 0 . 6 - 0 . 8 - 1
α=0.3, R=5000
混响2： 混响 ：
α=0.3, R=10000
4、序列的反褶 ：
y(n) = x(-n)
设有序列x(n)， ， 设有序列 是以n=0为纵轴将x(n)反褶后的序列。 为纵轴将 反褶后的序列。 则x(-n)是以 是以 为纵轴 反褶后的序列 x(n)
2 1 1 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
离散时间信号与离散系统
三、离散信号的基本运算
1.加减运算（对应样点值相加减）
如 (n) U (n) U (n 1)
函数
U (n) (n k)
k 0
2.相乘（除）运算（对应样点值相乘除）
如 因果信号（序列）f (n)U (n) — — — n 0 才有非零值
离散信号与系统的时域分析
反因果信号 f (n)U (n 1) ――― n 0 才有非零值
n －m n －m
0
m
注意： （1）f (n) 1与 (n) 区别
（2） (t) 与 (n) 区别
离散信号与系统的时域分析
n
函数
2. 单位阶跃序列
1, n 0 U (n) 0, n 0
位移
U
(n
m)
1, 0,
nm nm
注意与 U(t) 区别
3.矩形序列
1, GN (n) 0,
0 n N 1 其他
离散信号与系统的时域分析
U(n)
1
仿真
源码
0 12 GN(n) 1
0 1 N-1 N
n
函数1
函数2
仿真
n
源码
仿真 源码
以上三种序列关系
（1）U
(n)
(nk)＝n Nhomakorabea(k
)
k 0
k
t
U (t) ( )d
证明：
(n k) (n) (n 1) (n 2) ...
k 0
k
n
(k
(1 2
n),
f
(2n)
f
(n)
解：f (n) {10
n0,1,2,3 其他
1
12 3
函数
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
离散时间信号的表达及运算规则
06
离散时间信号的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
01
离散时间信号在数字通信系统中用于表示和传输信息，如数字
调制解调、数字信号处理等。
信号压缩与编码
02
离散时间信号在数据压缩和信道编码中用于提高通信系统的传
输效率和可靠性。
无线通信
03
离散时间信号在无线通信中用于处理和传输无线电信号，如数
字音频广播、卫星通信等。
在图像处理中的应用
01
图像数字化
离散时间信号用于将连续的图像 信息转换为离散的数字信号，便 于计算机处理和存储。
图像增强
02
03
图像压缩
离散时间信号在图像增强中用于 改善图像质量，如滤波、锐化等。
离散时间信号在图像压缩中用于 减少图像数据量，提高存储和传 输效率。
在控制系统中的应用
控制算法实现
离散时间信号在控制系统中用于实现控制算法，如PID控制、模 糊控制等。
离散时间信号的图形表示法可以直观地展示信号的幅度和时间变化，有助于理解信号的周期性、趋势 和突变等特征。
数学表示法
离散时间信号的数学表示法通常使用 序列来表示，即使用一串数值来表示 信号在不同时刻的值。
常用的数学表示法包括差分方程、离 散时间函数和离散时间系统等，这些 方法可以用来描述离散时间信号的数 学特征和运算规则。
系统建模与仿真
离散时间信号在控制系统建模和仿真中用于描述系统的动态行为。
故障诊断与预测
离散时间信号在故障诊断和预测中用于分析系统的运行状态和异 常情况。
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FIR滤波器的设计
FIR滤波器的定义
FIR（有限冲激响应）滤波器是一种离散时间系统，其 冲激响应有限长，且在有限时间内收敛到零。
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
《数字信号处理》第二章 离散信号和抽样定理
性延拓，因而采样信号xs(t)就包含了的原信号x(t)全部
信息。
重要结论
第三节 抽样定理
*带限信号抽样定理:
要想连续信号抽样后能够不失真的还原 出原信号，则抽样频率必须大于或等于两 倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是 奈奎斯特抽样定理。
第三节 抽样定理
二、如何从抽样信号恢复出带限信号x(t)
n
其中
1 g (t)
0
t
2
t
2
Ts
第二节 连续信号的离散化
xa (t)
抽样器
（电子开关） P(t)
T
xa (t)
xˆs (t)
fs
1 T
xˆs (t)
第二节 连续信号的离散化
理想抽样：当τ 趋于零的极限情况时，抽样脉冲
方波p(t)变成了冲激函数序列δT(t)，这些冲击函数 的强度准确地为采样瞬间的xa(t)幅值，这样的抽 样称为理想抽样。
余弦与正弦序列示意图如下：
第一节 离散时间信号
5、 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列δ(n)表示成 加权和的形式，即
x(n) x(m) (n m) m
如:
a n x(n)
可表示为 0
10 n 10 其他
10
x(n) am (n m)
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟 信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。
第一节 离散时间信号
离散时间信号的时域表示 1） 表示离散时间信号可采用枚举的方式。例如
{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2， …}
信息。
重要结论
第三节 抽样定理
*带限信号抽样定理:
要想连续信号抽样后能够不失真的还原 出原信号，则抽样频率必须大于或等于两 倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是 奈奎斯特抽样定理。
第三节 抽样定理
二、如何从抽样信号恢复出带限信号x(t)
n
其中
1 g (t)
0
t
2
t
2
Ts
第二节 连续信号的离散化
xa (t)
抽样器
（电子开关） P(t)
T
xa (t)
xˆs (t)
fs
1 T
xˆs (t)
第二节 连续信号的离散化
理想抽样：当τ 趋于零的极限情况时，抽样脉冲
方波p(t)变成了冲激函数序列δT(t)，这些冲击函数 的强度准确地为采样瞬间的xa(t)幅值，这样的抽 样称为理想抽样。
余弦与正弦序列示意图如下：
第一节 离散时间信号
5、 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列δ(n)表示成 加权和的形式，即
x(n) x(m) (n m) m
如:
a n x(n)
可表示为 0
10 n 10 其他
10
x(n) am (n m)
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟 信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。
第一节 离散时间信号
离散时间信号的时域表示 1） 表示离散时间信号可采用枚举的方式。例如
{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2， …}
数字信号处理-第2章第1讲 离散时间信号和离散时间系统
当a>1时 当-1<a<0时 当a< -1时
2.2 常用序列
5、正弦序列
x(n) Asin(n )
x(n) xa (t) tnT Asin(nT ) T / fs 2 f / fs 单位rad, 单位rad / s
6、复指数序列
一阶后向差分： y(n) y(n) y(n 1) 二阶后向差分： 2 y(n) y(n) y(n 1)
y(n) 2 y(n 1) y(n 2) 用延时算子：Dy(n) y(n 1) y(n) y(n) Dy(n) (1 D) y(n) 1 D 2 y(n) y(n) y(n 1) (1 D) y(n) (1 D)Dy(n) (1 D)2 y(n)
卷积和
卷积和的定义
1. 交换律 2. 结合律
y(n) x(k)h(n k) x(n) h(n) k
y(n) h(n)x(n k) h(n) x(n) k
y(n) [x(n) h1(n)]*h2(n)
[x(n) h2(n)]*h1(n) x(n) [h1(n)*h2(n)]
线性非移变系统稳定的充要条件是满足绝对可 和的条件:
S h(n) n
证明:
(1)充分性
当 x(n) M得
y(n) h(k)x(n k) h(k) x(n k)
k
k
M h(k) 得证 k
(2)必要性
x(n) e( j)n
数字频率又叫归一化频率
x(n) en cos(n) jen sin(n)
第2章离散时间信号分析
x (n Ts )
Ts：采样周期
x (n Ts )
0
T
s
t
t
＝ x (t) (t nT x (t) t) x nT S) T( S( S)
2.2 采样定理及实现
假设采样脉冲为理想脉冲(τ<<Ts)
x ( nT ) x ( nT ) ( t nT ) S S S S
1
1
m
0 1 2 3
0 1 2 3
m
当n=2时
x(n)*h(n)=3
h(4-m)
当 n=3时 x(n)*h(n)=4
h( 5 - m )
1 1
m
0 1 2 3 0 1 2 3
m
当 n=5时 x ( n) * h ( n ) =2
当 n=4时
x(n)*h(n)=3
h( 6 -m ) h (7 - m )
2.3 离散信号的相关分析
R mN ) x(
1 X [j ( m s)] T n
X( j)
2 T
Ωm Ωm为最高频率分量
1 T
cm
ˆ ( j) X
s
s
0
2 s
混叠现象 : 2 s m
Xa ( j)
0
s
2 s
s 常称作折叠频 .率 2
奈奎斯特取样定理：要想抽样后 能不失真的还原出原信号，抽样 频率必须大于等于两倍原信号最 高频率分量，即：
R ( n ) ( n m ) ( n ) ( n 1 ) n ( N 1 ) N
Ts：采样周期
x (n Ts )
0
T
s
t
t
＝ x (t) (t nT x (t) t) x nT S) T( S( S)
2.2 采样定理及实现
假设采样脉冲为理想脉冲(τ<<Ts)
x ( nT ) x ( nT ) ( t nT ) S S S S
1
1
m
0 1 2 3
0 1 2 3
m
当n=2时
x(n)*h(n)=3
h(4-m)
当 n=3时 x(n)*h(n)=4
h( 5 - m )
1 1
m
0 1 2 3 0 1 2 3
m
当 n=5时 x ( n) * h ( n ) =2
当 n=4时
x(n)*h(n)=3
h( 6 -m ) h (7 - m )
2.3 离散信号的相关分析
R mN ) x(
1 X [j ( m s)] T n
X( j)
2 T
Ωm Ωm为最高频率分量
1 T
cm
ˆ ( j) X
s
s
0
2 s
混叠现象 : 2 s m
Xa ( j)
0
s
2 s
s 常称作折叠频 .率 2
奈奎斯特取样定理：要想抽样后 能不失真的还原出原信号，抽样 频率必须大于等于两倍原信号最 高频率分量，即：
R ( n ) ( n m ) ( n ) ( n 1 ) n ( N 1 ) N
信号与系统 07离散时间信号离散时间系统
arg ?x?n??? ? 0n
§7.3 离散时间系统的数学 模型—差分方程
?用差分方程描述线性时不变离散系统 ?由实际问题直接得到差分方程 ?由微分方程导出差分方程 ?由系统框图写差分方程 ?差分方程的特点
第
一．用差分方程描述线性时不变离散系统2页7
线性： 均匀性、可加性均成立；
x1 (n )
数值。
离散正弦序列 x?n?? sin?? 0n?是周期序列应满足
x?n ? N ?? x?n?
N称为序列的 周期，为任意 正整数 。
第
正弦序列周期性的判别
23 页
① 2π ? N，N是正整数
?0
sin?? 0 ?n ? N ?? ? sin
正弦序列是周期的
???
?
0
????n
?
2π
?0
????????
3.1
1.5 0.9
o T 2T 3T t
fq ?t ? 4
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
3
2
1
o T 2T 3T t
数字信号： 离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
离散时间系统的优点
第 5
页
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优 越性； ?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精 度取决于位数； ?可靠性好； ?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； ?易消除噪声干扰； ?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大 大改善了系统的灵活性和通用性； ?易处理速率很低的信号。
??
?
?? n? 0
??
第
2．单位阶跃序列
18 页
u(n )
?
§7.2 离散时间信号——序列
退出
二.量化
采样过程就是对模拟信号的时间取 量化的过程—得到离散信号 得到离散信号。 量化的过程 得到离散信号。
幅值量化——幅值只能分级变化； 幅值只能分级变化； 幅值量化 幅值只能分级变化 数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。 数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
退出
三.离散信号的表示方法 离散信号的表示方法
单位样值信号 矩形序列 单边指数序列 复指数序列 •难点：信号的周期 难点： 难点
一.离散时间信号
只在一系列分隔的时间点上才有意义， 只在一系列分隔的时间点上才有意义，而在其它的时间上无 意义，因此它在时间上是不连续的序列。 意义，因此它在时间上是不连续的序列。是离散时间变量t k 的函数。 的函数。
f (t k ) 在L t − 2 , t −1 ,0, t1 , t 2 , t 3 L 瞬间具有相应的数值，在 瞬间具有相应的数值， L t1 → t 2 , t 2 → t 3 , L 间无定义。间隔可以是均匀的，也可 间无定义。间隔可以是均匀的，
以是不均匀的，一般为均匀的。 以是不均匀的，一般为均匀的。
若给出函数值的离散时刻的间隔是均匀的， 若给出函数值的离散时刻的间隔是均匀的，间隔为 T，表示为 ， n 取整数： n = 0,±1,±2,L 取整数： 离散时间信号在用数字计算机或数字化设备处理时， 离散时间信号在用数字计算机或数字化设备处理时，常寄存
在存储器中待取。信号一般是先记录后分析 因此，不必以 存储器中待取。信号一般是先记录后分析。因此 中待取 先记录后分析 因此，
n= 0
n= 0
例1: x( n) = { 1 ,2,3,4,5,6} 则 x( 2n) = { 1 ,3,5} ↑ ↑ 例2:
离散时间信号分析
在离散时间信号处理中，滤波器可以 通过数字计算实现，例如使用离散傅 里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换 （FFT）。
Part
05
离散时间信号的应用实例
数字音频处理中的离散时间信号分析
总结词
数字音频处理中的离散时间信号分析主要应用于音频信号的采样、量化、编码和传输等 环节，以提高音频质量、降低噪声和实现音频数据的压缩。
。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过计算两个信号之间的相关系 数，可以判断它们之间的相似程
度和变化趋势。
相关系数可以为正也可以为负， 正值表示正相关，负值表示负相 关，绝对值越大表示相关性越强
。
离散时间信号的滤波器实现
滤波器是用于提取或抑制特定频率成 分的电路或数字算法。
滤波器可以分为低通、高通、带通和 带阻等类型，根据不同的需求选择合 适的滤波器类型。
离散时间信号的频谱分析
频谱分析的定义
通过计算离散时间信号的 傅里叶变换，得到信号的 频谱表示，即各频率分量 的幅度和相位信息。
频谱分析的特点
频谱分析能够揭示信号中 隐藏的频率成分和模式， 有助于理解信号的内在结 构和特征。
频谱分析的应用
在音频处理、雷达信号处 理、振动分析等领域中， 频谱分析被广泛应用于信 号的特性分析和分类。
离散时间信号的变换
离散时间信号的变换是指将离散时间信号从一种表示形式转换为另一种表示形式的过程 。常见的变换包括离散时间信号的傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
这些变换可以将离散时间信号从时域转换到频域或其他域，从而更好地分析信号的特性 和性质。
Part
03
离散时间信号的频域分析
离散时间信号的傅里叶变换
详细描述
在数字音频处理中，离散时间信号分析通过对音频信号进行采样、量化和编码，将连续 的模拟音频信号转换为离散的数字信号。通过对离散时间信号的分析和处理，可以实现 音频数据的压缩，降低存储和传输成本，同时提高音频质量。此外，离散时间信号分析
第一章 离散时间信号和系统
N 1 运动平均系统 : y ( n) x(n k ) M N 1 k M
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
第3章讲义离散时间信号
采样 fs2=9Hz
x2[n] ω2=？ 2 π/3
谢
谢
观
看
指数序列:
➢实指数序列: x[n]AnAen
β>0，函数值递增 β<0，函数值递减， β=0，恒定
➢复指数序列: x[n]ejn
e j cos j sin e j n cos n j sin n e j n cos n j sin n
Real part 1
Imaginary part 1
也称为开关序列
➢阶跃函数与脉冲函数之间的联系
unnk
阶跃函数是脉冲函k数0的积分(求和)
n n n 1
脉冲函数是阶跃函数的微分(差分)
指数序列:
➢实指数序列:
x[n] An
α>0，函数值递增，发散 α<0，函数值递减，收敛
x[n]AnAen
如果β为纯虚数， j，则0
x [ n ] A e j 0 n A ( c o s0 n js in0 n )
例：配乐朗诵 见过和运算吗？
x[n ]
朗读
[n]
配乐朗读
y[n ]
配乐
音乐合成 、信道建模：加噪 、…
时移 w4nxnN
例：快进、快退
见过时移运算延吗时？器
z 1
w[n]x[n1]
单位超前
z
w[n]x[n1]
时间反转
w5nxn
也称为折叠
照镜子、时光倒流 作用：Fourier运算
卷积
w 6 [n ] y [n ] x [n ] y [k]x [n k] x [k]y [n k]
2. 对称序列 Vs 非对称序列
偶序列/共轭对称序列 奇序列/反共轭对称序列
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。
一、离散时间信号的定义和表示离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。
离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。
其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。
离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。
有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。
无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。
二、离散时间系统的定义和分类离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。
输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。
不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性离散时间信号与系统具有许多特性。
其中一些重要的特性包括时域特性、频域特性和稳定性。
时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了系统的输出是否受到输入的限制。
离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。
离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和单位阶跃响应来描述。
频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅里叶变换来描述。
四、离散时间信号与系统的应用离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。
其中一些常见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。
在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和解码。
它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。
离散时间信号序列
第
3．矩形序列
13 页
1 RN (n) 0
0 n N 1 n 0, n N
RN (n) 1
1 o 1 2 3
N 1 n
与un的关系：RN (n) u(n) u(n N )
X
第
4．斜变序列
14
页
x(n) nu(n)
x(n)
1 1 O 1 2 3 4 n
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
离散正弦序列 xn sin0n 是周期序列应满足
xn N xn
N称为序列的周期，为任意正整数。
§1.7 离散时间信号——序列
•离散信号的表示方法 •离散时间信号的运算 •常用离散时间信号
定义
第 2
页
离散时间信号是仅定义在离散的时间点
上的时间信号。即其时间变量仅在一个离散 集上取值，常记为x(方法
3
页
xt xnT 等间隔T x[n](或xn) n 0,1,2,
2n ,n 0
x(n)
试写出其序列形式并画出波形。
0, n 0
序列形式： x(n) ,0,0, 1 ,2,4,8,
n0
波形：
xn 4
2
1
2 1 O 1 2 n
X
第
序列的三种形式
5 页
单边序列：n 0；
x(n)
双边序列： n ；
离散时间信号-
N-1
n
2020/6/4
信息学科立体化教材
X
2.1.1 几种常用序列
9
4. 实指数序列
x(n)anu(n)
式中， a为实数。当|a|<1 时， 序列是收敛的；而当|a|>1时，序 列是发散的。a为负数时，序列 是摆动的。
anu (n) 1
a a2 a3
a4
0 1 2 34
n
2020/6/4
信息学科立体化教材
(n) 01,,
n0 n0
(n)
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n
2020/6/4
信息学科立体化教材
X
2.1.1 几种常用序列
7
2. 单位阶跃序列u ((n)和 u(n)的关系为
u (n)
(n )u (n ) u (n 1 )
u(n) (nm)
1
信息学科立体化教材
X
2.1.4 序列的运算
28
3. 和 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构 成的一个新序列。和序列y(n)可表示为 y(n )x1(n )x2(n )
2020/6/4
信息学科立体化教材
X
2.1.4 序列的运算
29
4. 积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。乘 积序列y(n)可表示为
X
2.1.1 几种常用序列
10
5. 复指数序列
x(n)e(j0)n
或 x(n)ej0n
它具有实部和虚部，0是复正弦的数字域频率。
x (n ) e nco 0 n s j e nsi0 n
如果用极坐标表示，则 x (n ) |x (n )|e jax r(n g ) ][e ne j 0 n
一、 常用的离散时间信号;二、信号的分类; 三、噪声;四、信号空间;五、离散时间系统;六、 LSI系统输入
4. 确定性信号, 随机信号
表格
n x(n)
曲线
公式
例
信号
1
x1
(n)
n
n 1
0 n 0
可求出：Ex1 1 n 2 6 n1
能量信号
信号
1
x2
(n)
n
n 1
0 n 0
可求出：
Ex2 1 n n 1
不收敛，非 能量信号
20
-1
-0.5
40
60
(a)
0
0.5
(b)
80
1
1.5
100 2
直方图
2.有色噪声： Colored Noise
题去
特点：频谱不是直线
！除 噪
3. 脉冲噪声
声 是
4. 工频噪声
信 号
处
（二）噪声与信号的关系：
理 的
永
加法性噪声 恒
话
乘法性噪声
1.4 信号空间
（一） 范数: Norm
1
1
||
(n
k
)
1 0
nk nk
如何
表达
p(n)
(n k)
k
单位冲激信号（Drac 函数）
(t)dt 1
(t) 0, t 0
x(t) (t )dt x( )
脉冲串： p(n) (n k)
k
或写为 p(n) ={… , 1 , 1 , 1 , …}
冲激串： p(t) (t kTs ) k
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n -
y[k ] x[k ]* h[k ]
计算卷积的步骤：
换坐标 → 反褶 →移位 → 相乘 → 相加 →移位 → 相乘 → 相加 ……
卷积的性质：
交换律： x[k ]* y[k ] y[k ]* x[k ] 结合律： ( x[k ]* y[k ])* z[k ] x[k ]*( y[k ]* z[k ]) 分配律： ( x[k ] + y[k ])* z[k ] x[k ]* z[k ] + y[k ]* z[k ]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x[ n]h[ k - n]
(a) rxy[k]=x[k] * y[-k], ryx [k]=y[k] *x[-k] (b) rxy[k]=ryx[-k] , rx[k]=rx[-k] (c) rx[0]|rx[k]|
n -
x[n]x[k + n]
作业
P49
1-2(2) 1-3(1)
x[k ] a , k Z
k
有界序列：
若kZ ，存在|x [k]| Mx ( Mx是与 k无关的常数)
一、常用序列
(5) 虚指数序列 ( imaginary exponential sequence)
x[k ] e
周期性：
j k
, k Z
jN
e
j ( k + N )
e
x[k ] { 1,
1, 2, -1, 1}
x [k]={1, 1, 2, -1, 1; k = -1,0,1,2,3}
k x [ k ] 2 u[k ] 3、表达式法：
一、常用序列
(1) 单位脉冲序列(unit impulse sequence) 1 k 0 定义： [k ] 0 k 0
(6) 正弦型序列:
x[k ] cos(k )
2、序列的卷积与相关运算
(1)卷积(convolution)的定义: y[ k ] (2)互相关的定义： rxy [k ] (3)自相关的定义： rx [k ] (4)序列相关 的基本特性:
n -
x[n] y[k + n]
n -
第一章 离散信号与系统分析
1.1
离散时间信号
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、常用序列
二、序列的卷积与相关运算
重点与难点
重点 1、常用序列（记忆） 2、卷积运算、相关运算 难点 卷积（定义、性质）
离散信号的三种表示方法
x[k] 1 1 2 -1 0 1 -1 3 2 1 k
1、图形法：
2、向量法：
正弦型序列与虚指数序列是同类信号，可以相互线性表达， 正弦型序列也不一定是周期序列，其周期性的判断与虚指数 序列相同。
例2: 指出序列x[k ] cos(o k )成为周期序列的条件。
二、 序列的卷积与相关运算
卷积(convolution) : y[ k ] x[ n]h[ k - n]
1 k 0 0 k 0
(4) 指数序列: 有界性
x[ k ] a k , k Z
(2) 单位阶跃序列: (3) 矩形序列:
1 k 0 u[k ] 0 k 0
(5) 虚指数序列 : 周期性
x[k ] e j k
1 0 k N - 1 R N [k ] 0 其他
要使以上两式相等，有： ejN/8 =1，即N/8=m2p
所以有N=16mp。——不是自然数！不是周期序列！
一、常用序列
(6) 正弦型序列( sinusoidal type sequence) 1 jk 1 jk - jk cos( k ) ( e + e ) sin(k ) ( e - e - jk ) 2 2j
n -
x[n] y[k + n]
n -
x[n]x[k + n]
例5: x[k]={2, 1, -2, 1; k=0,1,2,3}，y[k]={-1, 2, 1, -1; k=0,1,2,3}，试计算互相关函数rxy[k] 和ryx[k]，以及自 相关函数rx[k]。
解：根据序列的相关运算的定义可得:
例4：x[k]非零范围为 N1 k N2 ，h[k]的非零范围 为 N3 k N4。求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
解：N1+N3 k N4+N2
小结：两个序列的卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序 列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于 两个序列的长度之和，再减1。
jk
e
jN
若e
1 则e
j ( k + N )
e
jk
即N = m2p ， m = 正整数时，信号是周期信号。 结论：如果 /2p m/N，N、m是不可约的整数， 则信号的周期为N。
一、常用序列
(5) 虚指数序列
ej k可以对连续虚指数信号ejw t以T为间隔抽样得到
x[k ] x(t ) t kT e jwTk e j k
rxy [k ] x[n] y[k + n] 2 y[k ] + y[k + 1] - 2 y[k + 2] + y[k + 3]
n 0 3
{-1,4, -4, -3,7,1, -2}
ryx [k ] y[n]x[k + n] - x[k ] + 2 x[k + 1] + x[k + 2] - x[k + 3]
(2) 单位阶跃序列( unit step sequence) 1 k 0 定义： u[ k ] 0 k 0
(3) 矩形序列(rectangle sequence)
1 0 k N - 1 定义：R N [k ] 0 其他
一、常用序列
(4) 指数序列( exponential sequence)
例3：试计算两个序列的离散卷积。 x[k]=[-1,0,1,1]， k=-1,0,1,2; h[k]=[2,3,2]， k=0,1,2。
换坐标 反褶 移位 相乘 相加
竖式相乘法：
-1,0,1,1 2,3,2 -2,0,2,2 -3,0,3,3 -2, 0,3,3 -2,-3,1,6,5,2
两者区别：虚指数序列 x[k]=e j k不一定为周期序列。 而连续虚指数信号x(t)=e jwt一定是周期信号！ 数字角频率与模拟角频率w之间的关系为:
= wT
例1: 试判断序列 x[k]=ej(k/8-p) 是否为周期序列？若是， 请确定其最小周期N。
解： 如果存在 N （属于自然数），当 x[k]= x[k+N] 时， 则序列x[k]为周期序列，最小的N为序列的周期。 x[k]=ej(k/8-p) e -jp ∙ejk/8 ejk/8 x[k+N]=ej[(k+N)/8] ejN/8 ∙ejk/8
二、 序列的卷积与相关运算
(2)互相关的定义： rxy [k ] (3)自相关的定义： rx [k ] 序列相关的基本特性: (1) rxy[k]=x[-k]*y[k], ryx [k]=y[-k]*x[k] (2) rxy[k]=ryx[-k] , (3) rx[0]|rx[k]| rx[k]=rx[-k]
n0
3
{-2,1,7, -3, -4,4, -1}
rx [k ] x[n]x[k + n] 2 x[k ] + x[k + 1] - 2 x[k + 2] + x[k + 3]
n 0
3
{2, -3, -2,10, -2, -3,2}
三、小结
1、常用序列
(1) 单位脉冲序列： [k ]
y[k ] x[k ]* h[k ]
计算卷积的步骤：
换坐标 → 反褶 →移位 → 相乘 → 相加 →移位 → 相乘 → 相加 ……
卷积的性质：
交换律： x[k ]* y[k ] y[k ]* x[k ] 结合律： ( x[k ]* y[k ])* z[k ] x[k ]*( y[k ]* z[k ]) 分配律： ( x[k ] + y[k ])* z[k ] x[k ]* z[k ] + y[k ]* z[k ]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x[ n]h[ k - n]
(a) rxy[k]=x[k] * y[-k], ryx [k]=y[k] *x[-k] (b) rxy[k]=ryx[-k] , rx[k]=rx[-k] (c) rx[0]|rx[k]|
n -
x[n]x[k + n]
作业
P49
1-2(2) 1-3(1)
x[k ] a , k Z
k
有界序列：
若kZ ，存在|x [k]| Mx ( Mx是与 k无关的常数)
一、常用序列
(5) 虚指数序列 ( imaginary exponential sequence)
x[k ] e
周期性：
j k
, k Z
jN
e
j ( k + N )
e
x[k ] { 1,
1, 2, -1, 1}
x [k]={1, 1, 2, -1, 1; k = -1,0,1,2,3}
k x [ k ] 2 u[k ] 3、表达式法：
一、常用序列
(1) 单位脉冲序列(unit impulse sequence) 1 k 0 定义： [k ] 0 k 0
(6) 正弦型序列:
x[k ] cos(k )
2、序列的卷积与相关运算
(1)卷积(convolution)的定义: y[ k ] (2)互相关的定义： rxy [k ] (3)自相关的定义： rx [k ] (4)序列相关 的基本特性:
n -
x[n] y[k + n]
n -
第一章 离散信号与系统分析
1.1
离散时间信号
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、常用序列
二、序列的卷积与相关运算
重点与难点
重点 1、常用序列（记忆） 2、卷积运算、相关运算 难点 卷积（定义、性质）
离散信号的三种表示方法
x[k] 1 1 2 -1 0 1 -1 3 2 1 k
1、图形法：
2、向量法：
正弦型序列与虚指数序列是同类信号，可以相互线性表达， 正弦型序列也不一定是周期序列，其周期性的判断与虚指数 序列相同。
例2: 指出序列x[k ] cos(o k )成为周期序列的条件。
二、 序列的卷积与相关运算
卷积(convolution) : y[ k ] x[ n]h[ k - n]
1 k 0 0 k 0
(4) 指数序列: 有界性
x[ k ] a k , k Z
(2) 单位阶跃序列: (3) 矩形序列:
1 k 0 u[k ] 0 k 0
(5) 虚指数序列 : 周期性
x[k ] e j k
1 0 k N - 1 R N [k ] 0 其他
要使以上两式相等，有： ejN/8 =1，即N/8=m2p
所以有N=16mp。——不是自然数！不是周期序列！
一、常用序列
(6) 正弦型序列( sinusoidal type sequence) 1 jk 1 jk - jk cos( k ) ( e + e ) sin(k ) ( e - e - jk ) 2 2j
n -
x[n] y[k + n]
n -
x[n]x[k + n]
例5: x[k]={2, 1, -2, 1; k=0,1,2,3}，y[k]={-1, 2, 1, -1; k=0,1,2,3}，试计算互相关函数rxy[k] 和ryx[k]，以及自 相关函数rx[k]。
解：根据序列的相关运算的定义可得:
例4：x[k]非零范围为 N1 k N2 ，h[k]的非零范围 为 N3 k N4。求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
解：N1+N3 k N4+N2
小结：两个序列的卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序 列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于 两个序列的长度之和，再减1。
jk
e
jN
若e
1 则e
j ( k + N )
e
jk
即N = m2p ， m = 正整数时，信号是周期信号。 结论：如果 /2p m/N，N、m是不可约的整数， 则信号的周期为N。
一、常用序列
(5) 虚指数序列
ej k可以对连续虚指数信号ejw t以T为间隔抽样得到
x[k ] x(t ) t kT e jwTk e j k
rxy [k ] x[n] y[k + n] 2 y[k ] + y[k + 1] - 2 y[k + 2] + y[k + 3]
n 0 3
{-1,4, -4, -3,7,1, -2}
ryx [k ] y[n]x[k + n] - x[k ] + 2 x[k + 1] + x[k + 2] - x[k + 3]
(2) 单位阶跃序列( unit step sequence) 1 k 0 定义： u[ k ] 0 k 0
(3) 矩形序列(rectangle sequence)
1 0 k N - 1 定义：R N [k ] 0 其他
一、常用序列
(4) 指数序列( exponential sequence)
例3：试计算两个序列的离散卷积。 x[k]=[-1,0,1,1]， k=-1,0,1,2; h[k]=[2,3,2]， k=0,1,2。
换坐标 反褶 移位 相乘 相加
竖式相乘法：
-1,0,1,1 2,3,2 -2,0,2,2 -3,0,3,3 -2, 0,3,3 -2,-3,1,6,5,2
两者区别：虚指数序列 x[k]=e j k不一定为周期序列。 而连续虚指数信号x(t)=e jwt一定是周期信号！ 数字角频率与模拟角频率w之间的关系为:
= wT
例1: 试判断序列 x[k]=ej(k/8-p) 是否为周期序列？若是， 请确定其最小周期N。
解： 如果存在 N （属于自然数），当 x[k]= x[k+N] 时， 则序列x[k]为周期序列，最小的N为序列的周期。 x[k]=ej(k/8-p) e -jp ∙ejk/8 ejk/8 x[k+N]=ej[(k+N)/8] ejN/8 ∙ejk/8
二、 序列的卷积与相关运算
(2)互相关的定义： rxy [k ] (3)自相关的定义： rx [k ] 序列相关的基本特性: (1) rxy[k]=x[-k]*y[k], ryx [k]=y[-k]*x[k] (2) rxy[k]=ryx[-k] , (3) rx[0]|rx[k]| rx[k]=rx[-k]
n0
3
{-2,1,7, -3, -4,4, -1}
rx [k ] x[n]x[k + n] 2 x[k ] + x[k + 1] - 2 x[k + 2] + x[k + 3]
n 0
3
{2, -3, -2,10, -2, -3,2}
三、小结
1、常用序列
(1) 单位脉冲序列： [k ]