极坐标方程与直角坐标方程的互化复习讲义
极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化一、引言极坐标和直角坐标是两种常用的描述平面上点位置的方式。
在数学和物理学中，这两种坐标系都有广泛的应用。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化关系。
二、极坐标系和直角坐标系的定义1. 极坐标系极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它使用极径和极角来表示点在平面上的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，而极角表示该点与正半轴之间的夹角。
通常用符号(r,θ)表示一个点在极坐标系中的位置。
2. 直角坐标系直角坐标系是一种描述平面上点位置的方式，它使用x轴和y轴上的数值来表示点在平面上的位置。
通常用符号(x,y)表示一个点在直角坐标系中的位置。
三、从直角坐标系到极坐标系1. 由(x,y)求(r,θ)要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
其中，r可以通过勾股定理求得：r = √(x² + y²)而θ可以通过反三角函数求得：θ = arctan(y/x) (当x>0时)θ = arctan(y/x) + π (当x<0,y≥0时)θ = arctan(y/x) - π (当x<0,y<0时)θ = π/2 (当x=0,y>0时)θ = -π/2 (当x=0,y<0时)θ = 未定义 (当x=0,y=0时)2. 由(r,θ)求(x,y)要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，需要求出该点在x轴和y 轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)四、从极坐标系到直角坐标系1. 由(r,θ)求(x,y)同样地，要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，也需要求出该点在x轴和y轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)2. 由(x,y)求(r,θ)同样地，要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，也需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
极坐标方程与直角坐标方程怎么互化的
极坐标方程与直角坐标方程怎么互化的在数学中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
它们在描述平面上的点、图形和曲线方程时具有不同的表达方式。
在某些情况下，我们需要在两种坐标系之间进行转换，以便更方便地求解和分析问题。
而将极坐标方程和直角坐标方程互相转化是一种常见的转换方式。
本文将介绍如何互化极坐标方程和直角坐标方程。
一、从极坐标转换为直角坐标在极坐标系中，一个点的位置由极径（r）和极角（θ）共同确定。
我们可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，x和y分别表示直角坐标系下的点的坐标。
使用这两个公式，我们可以将给定的极坐标转换为直角坐标。
例如，如果我们有一个极径r=3和极角θ=π/4，我们可以使用上述公式计算出对应的直角坐标为：•x = 3 * cos(π/4) = 3 * √2 / 2 = √2 * 3 / 2•y = 3 * sin(π/4) = 3 * √2 / 2 = √2 * 3 / 2因此，原来的极坐标(3,π/4)在直角坐标系下的表示为(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)。
二、从直角坐标转换为极坐标同样地，我们也可以通过一些公式将直角坐标转换为极坐标。
给定一个点在直角坐标系下的坐标(x, y)，我们可以使用以下公式将其转换为极坐标：•r = √(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)其中，r表示点到原点的距离，θ表示点与x轴正向的夹角。
通过这两个公式，我们可以将给定的直角坐标转换为极坐标。
例如，如果我们有一个点在直角坐标系下的坐标为(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)，我们可以使用上述公式计算出对应的极坐标为：•r = √((√2 * 3 / 2)^2 + (√2 * 3 / 2)^2) = √(9/2 + 9/2) = √(9 + 9) = √18•θ = arctan((√2 * 3 / 2) / (√2 * 3 / 2)) = arctan(1) = π/4因此，原来的直角坐标(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)在极坐标系下的表示为(√18, π/4)。
极坐标系与直角坐标的互化 课件
解 结合坐标系及直角坐标的特点知，
(1)2
3，π2.
(2)
2，32π.
(3)32π，0.
类型三 极坐标与直角坐标互化的应用
例3 已知A，B两点的极坐标为6，π3 坐标.
和8，43π
，求线段AB中点的直角
引申探究 1.若本例条件不变，求线段AB中点的极坐标. 解 由例 3 知，AB 中点的直角坐标为－12，－ 23， ∴ρ2＝x2＋y2＝1，∴ρ＝1. 又 tan θ＝yx＝ 3，∴θ＝43π， ∴极坐标为1，43π.
2.若本例条件不变，求AB的直线方程. 解 因为 A 点的极坐标为6，π3， 所以 xA＝6×cos π3＝3，yA＝6×sin π3＝3 3，
所以 倾斜角为π3，故斜率 k＝ 3， 故直线 AB 的方程为 y－3 3＝ 3(x－3)，即 3x－y＝0.
引申探究
1.若规定θ∈R，上述点的极坐标还惟一吗？
解 (1)4，23π＋2kπ(k∈Z).
(2)2
2，116π＋2kπ(k∈Z).
(3)3
22π，π4＋2kπ(k∈Z).
极坐标不惟一.
2. 若 点 的 直 角 坐 标 为 (1)(0,2 3 ) ， (2)(0 ， － 2 ) ， (3) 32π，0化 为 极 坐 标 (ρ≥0,0≤θ<2π).
y
tan θ = __x__(x≠0).
类型一 点的极坐标化直角坐标
例1 把下列点的极坐标化为直角坐标.
(1)A2，76π；
解
由公式xy＝ ＝ρρscions
θ， θ，
得
x＝2cos 76π＝－ 3，y＝2sin 76π＝－1，
∴点 A 的直角坐标为(－ 3，－1).
极坐标与直角坐标方程互化
极坐标与直角坐标方程互化引言在数学中，坐标系是一种用来描述平面上点的工具。
直角坐标系是最常见的一种坐标系，通过使用水平的x轴和垂直的y轴来描述点的位置。
而极坐标系则使用极径和极角来描述点的位置。
本文将介绍极坐标与直角坐标之间的互换关系，以及如何将一个方程从极坐标形式转换为直角坐标形式，或者从直角坐标形式转换为极坐标形式。
极坐标与直角坐标的关系极坐标形式下，一个点的坐标由极径和极角表示。
极径是该点与原点之间的距离，极角则是从参考方向到与正极轴连接的线段之间的夹角。
直角坐标形式下，一个点的坐标由x轴和y轴上的投影、即横坐标和纵坐标表示。
两种坐标系之间的互换关系一般通过以下公式表示：在将一个坐标点从直角坐标系转换为极坐标系时，使用下述公式： - 极径 r = sqrt(x^2 + y^2) - 极角θ = arctan(y/x)反之，将一个坐标点从极坐标系转换为直角坐标系时，使用下述公式： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ)通过这些公式，我们可以在两种坐标系之间进行相互转换。
从极坐标方程转换为直角坐标方程对于一个给定的极坐标方程，我们想要将其转换为直角坐标方程。
我们可以使用之前介绍的公式，将极坐标方程中的极径和极角用直角坐标的x和y表示。
例如，给定一个极坐标方程为：r = 2cos(θ)。
我们可以将它转换为直角坐标方程。
首先，我们用极坐标到直角坐标的公式计算出x和y：x = r * cos(θ) = 2cos^2(θ) y = r * sin(θ) = 2cos(θ) * sin(θ)通过这些计算，我们得到直角坐标方程为：y = x * tan(θ)通过这个例子，我们可以看到如何将一个极坐标方程转换为直角坐标方程。
从直角坐标方程转换为极坐标方程反之，我们也可以将一个给定的直角坐标方程转换为极坐标方程。
同样，使用之前介绍的公式，我们将直角坐标系中的x和y用极坐标的极径和极角表示。
极坐标系与直角坐标的互化 课件
点的极坐标和直角坐标的互化 1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点 ，x 轴的正半轴作为 极轴 ，并在两
种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图所示．
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ， θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
故点的极坐标为2
2，34π.
(2)由 ρ＝ x2＋y2＝1，
tan θ＝xy＝－ 33，
且角 θ 的终边经过点 23，－12， 当 θ∈[0,2π)时，θ＝116π，
故点的极坐标为1，116π. (3)由 ρ＝ x2＋y2＝ 6，且角 θ 的终边经过点(0，－ 6)，当 θ∈[0,2π)时，θ＝32π，
故点的极坐标为
6，32π.
点的直角坐标化为极坐标的注意事项 化点的直角坐标为极坐标时，一般取 ρ≥0，θ∈[0,2π)，即 θ 取最小正角，由 tan θ＝xy(x≠0)求 θ 时，必须根据角 θ 的终边经过点(x，y)所在的象限来确定 θ 的值．
2．已知点的直角坐标分别为 A(3，－ 3)，B0， 35，C(－2,2 3)，求它们的极坐标， 其中极角 θ∈[0,2π)． 解析：根据 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)，
[解析] (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ3＝1， y＝ρsin θ＝2sinπ3＝ 3， ∴点的极坐标2，π3化为直角坐标为(1， 3)． (2)∵x＝ρcos θ＝4cos－π2＝0， y＝ρsin θ＝4sin－π2＝－4， ∴点的极坐标4，－π2化为直角坐标为(0，－4)．
(3)∵x＝ρcos θ＝5cos(－5)＝5cos 5， y＝ρsin θ＝5sin(－5)＝－5sin 5， ∴点的极坐标(5，－5)化为直角坐标为(5cos 5，－5sin 5)．
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
议
探究一：
求曲线
2
sin 3 cos 的直角坐标方程
解： sin 3 cos（两边同乘以 ）
x cos ; y sin； 2 x2 y2
x 3x y y 0
2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
2 2
课堂小结：
评
1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可 2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；
2 sin 2 cos 0 表示的曲线是_____ 抛物线 1.极坐标方程
检
2.极坐标方程 4 sin 3 所表示的曲线是（ B ）
2
A.两条射线 3.以(
B.两条相交直线
C.圆
D.抛物线
2 , )为圆心，2 4
为半径的圆的极坐标方程是(C )
sin cos
2(sin cos )
A. (sin cos ) B. C. 2(sin cos ) D.
它表示倾斜角为150°，且过点(4，0)的直线. (2)原方程变形为ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,所以x2 -y2=3, 它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲 线.
展
(3)原方程变形为 x2+y2 -3x+6y -5=0, 它
3 表示圆心为 ( , 3) , 半径为 2
(4)原方程变形为ρ+ρsinθ=2, 所以 x 2 y 2 2 y, 所以 x2+y2=4 -4y+y2, 即 x2= -4(y -1), 它表示 顶点为(0 , 1), 开口向下的抛物线.
极坐标和直角坐标的互化 课件
(2)A舰发射炮弹的仰角θ应为多少？ (注：射程公式 s v02sin 2 )
g
【解题探究】1.如何求旋转后的点B的极坐标与向量的直角坐
标？
2.如何建立直角坐标系定位目标的直角坐标以及极坐标？
探究提示：
1.极坐标中的ρ不变，角度θ再由 加6上 即2得, .向量
OB
的坐标即终点B的直角坐标.
2.根据直线与二次曲线的交点的直角坐标定位目标，联想二
极坐标和直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化公式 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点M的直角坐 标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)，则由三角函数的定义可 以得到如下两组公式：
图示
直角坐标(x,y)
极坐标(ρ,θ)
x _ρ__c_o_s__θ___， y _ρ__s_i_n__θ___
x2 y2
2，且tan角θ的xy终边1，经
当θ∈［0,2π)时， 由于，θ∈R,
4
故点的极坐标为 (
2, 4
2k ), k
Z.
答案： (
2, 4
2k ), k
Z
2.(1)由
x2 y2
2，t且an角θ的y 终－边1，经过
x
点(1,－1)，
当θ∈［0,2π)时，
7， 4
故点的极坐标为 (
2, 7 ). 4
2.将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)(2,0).(2)(2, 2 ).(3)(3, 3 ).
3
2
(4)(4,－3 ).(5)(5,6).(6)(4, ).
2
12
【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？ 探究提示： 1.极坐标化为直角坐标是惟一的. 2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.
极坐标方程与直角坐标方程的互化例题讲解
极坐标方程与直角坐标方程的互化例题讲解引言在数学中，极坐标和直角坐标是两种常见的表示点的方式。
极坐标系使用角度和距离来描述一个点的位置，而直角坐标系使用水平和垂直坐标来表示。
极坐标方程和直角坐标方程是用来描述曲线或图形的等式。
本文将通过一些例题来讲解极坐标方程和直角坐标方程之间的互化关系。
例题一：互化问题假设有一个极坐标方程为$r = 2\\cos\\theta$，我们要将其转换为直角坐标方程。
首先我们需要了解极坐标和直角坐标之间的关系公式：$x = r\\cos\\theta$，$y = r\\sin\\theta$。
现在我们可以开始进行转换。
步骤一：将r替换为x和y将r用x和y表示，得到$x = 2\\cos\\theta \\cdot \\cos\\theta = 2\\cos^2\\theta$$y = 2\\cos\\theta \\cdot \\sin\\theta = \\sin2\\theta$步骤二：将$\\theta$替换为它的表达式考虑到$\\cos^2\\theta = \\frac{1 + \\cos2\\theta}{2}$，将其代入x的表达式中，得到$x = 2\\cdot\\frac{1 + \\cos2\\theta}{2}=\\cos2\\theta+1$将$\\sin2\\theta$用x和y表示，得到$y = \\sin2\\theta = 2\\sin\\theta\\cos\\theta = 2x\\sqrt{1-x^2}$步骤三：整理结果最后，将x和y的结果整理一下，$x = \\cos2\\theta + 1$$y = 2x\\sqrt{1-x^2}$这样，我们成功地将极坐标方程转换为了直角坐标方程。
例题二：互化问题现在我们来看一个反向的例题，给定一个直角坐标方程x=2，我们要将其转换为极坐标方程。
步骤一：将x和y替换为r和$\\theta$将x=2代入$x = r\\cos\\theta$中，得到$r\\cos\\theta = 2$。
直角坐标方程与极坐标方程互化公式推导
直角坐标方程与极坐标方程互化公式推导在平面几何中，直角坐标系和极坐标系是常见的坐标系。
直角坐标系由x轴和y轴组成，通过点的水平和垂直距离来确定点的位置。
而极坐标系则根据点与原点的距离和点与x轴的夹角来确定点的位置。
在某些情况下，我们需要将直角坐标方程转换为极坐标方程，或者将极坐标方程转换为直角坐标方程。
本文将推导直角坐标方程与极坐标方程的互化公式。
一、直角坐标方程转换为极坐标方程假设点P在直角坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的极径为r，极角为θ。
我们需要推导关于x和y的方程，以及关于r和θ的方程。
首先，由勾股定理可知：r2=x2+y2其次，我们需要根据P点在直角坐标系中的坐标来确定θ的取值。
根据直角三角形的性质，可以得到：$\\sin \\theta = \\frac{y}{r}$$\\cos \\theta = \\frac{x}{r}$最后，我们将以上的方程合并，得到直角坐标方程转换为极坐标方程的公式：r2=x2+y2$\\theta = \\arctan \\left( \\frac{y}{x} \\right)$二、极坐标方程转换为直角坐标方程假设点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)，点P在直角坐标系中的x坐标为x，y 坐标为y。
我们需要推导关于r和θ的方程，以及关于x和y的方程。
首先，由勾股定理可知：r2=x2+y2其次，我们需要根据P点在极坐标系中的坐标来确定x和y的取值。
根据直角三角形的性质，可以得到：$x = r \\cdot \\cos \\theta$$y = r \\cdot \\sin \\theta$最后，我们将以上的方程合并，得到极坐标方程转换为直角坐标方程的公式：r2=x2+y2$x = r \\cdot \\cos \\theta$$y = r \\cdot \\sin \\theta$三、实例分析下面通过一个实例来说明如何使用上述互化公式进行坐标转换。
4.极坐标和直角坐标的互化
选修4-4 第一讲 坐标系4．极坐标和直角坐标的互化教学目标1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式2．会实现极坐标和直角坐标之间的互化教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握教学过程一、复习引入：问题1：若点作平移变动时，则点的位置采用 描述比较方便;若点作旋转变动时，则点的位置采用 描述比较方便问题2：如何进行极坐标与直角坐标的互化？二、讲解新课：把直角坐标系的原点O 作为 ，x 轴的正半轴作为 ，且在两坐标系中取 。
设M 是平面内任意一点，它的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：和说明：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<π2。
3、互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合;（2）极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;（3）两种坐标系的单位长度相同.三、例题分析例1．将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标 变式：已知点的极坐标分别为)4,3(π，)32,2(π，)2,4(π，),23(π，求它们的直角坐标。
例2．将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标。
变式：已知点的直角坐标分别)3,3(，)35,0(-，)0,27(，)32,2(--，求它们的极坐标。
四、当堂巩固1．极坐标方程)0..(22cos ≥=ρθ表示的曲线是（ ） A. 余弦曲线 B.两条相交直线 C.一条射线 D.两条射线2．设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为 （ ）A.(23，π43)B. (π45)C. (3，π45)D. (3，π43) 3.在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.判断P N M ,,三点是否在一条直线上。
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题1：点 的直角坐标为 ，在 的要求下，它的极坐标为．
【分析与点评】本题是帮助学生极坐标与直角坐标的互化，要注意直角坐标转化成极坐标时极角的确定范围。
题2．极坐标方程 转化为直角坐标方为．
【分析与点评】在极坐标系下分析：原方程等价于： 或 ，结果是一点和一直线。
题3．在极坐标系中，定点A（1， ），点B在直线 上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是 ____________；
四、范例导析
例1、（1）化直角坐标方程 为极坐标方程。
（2）化极坐标方程 为直角坐标方程。
【教学处理】本题要强调两种形式方程互化的前提条件：以直角坐标系中的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。（2）先将方程两边同乘以，化成直角坐标方程。
例2：在极坐标系中，曲线C的方程为 ，过点M 作曲线C的切线，求切线长。
【分析与点评】先将所给方程和点化成直角坐标方程，在直角坐标系下解决这个问题，再转化成极坐标；
题4．在极坐标系中，设 为基点，点为直线 与圆 的切点，则 长为；
【分析与点评】本题是帮助学生熟悉利用极坐标与直角坐标的互化解题。
3、要点归纳
对于极坐标系下的问题，如果直接处理比较方便就直接处理；如果有困难或比较麻烦，就将问题转化到直角坐标系下处理，但要注意转化的等价性。
对于极坐标系下不便处理的问题，可考虑将其转化为直角坐标下的问题，但要注意转化的等价性．
答案：（1） ， ；（2）
【教学处理】本题第一问直接由学生自主完成，教者巡视后简单点评．
【引导分析与精讲建议】
(1) 按照题目的要求，先完成第(1)小题； (2) 在极坐标系下求两曲线交点的一个极坐标比较麻烦，可以先化为直角坐标方程求出交点，再求出直角坐标方程，再化为直线的极坐标坐标方程．
五、解题反思
2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；
二、基础知识回顾与梳理
1、点的极坐标为 ，则其直角坐标为。
点 的直角坐标为 ，则点的一个极坐标为__________。
【教学建议】本题是帮助学生极坐标与直角坐标的互化，要注意直角坐标转化成极坐标时极角的确定。
2、极坐标方程 化为直角坐标方程为_____________。
曲线的参数方程
导学案
成绩
课程名称
高考数学二轮复习（人教版）教案
开卷
闭卷
√
教研室
高三数学组
A卷
√
B卷
复习时间
年
月
日
时
分至
时
分
适用专业班级
班级姓名学号
考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。
答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、教学目标
1．了解曲线的极坐标方程的求法；
答案：2
【教学处理】本题可让学生板演，根据学生板演情况进行讲评．
【引导分析与精讲建议】
（1）本题是强化学生的化归意识：在极坐标系下不能解决的问题可考虑转化到直角坐标系下处理。
（2）学生最常见的思路就是先将曲线方程转化成直角坐标方程，然后利用圆的切线的性质和勾股定理求切线长
（3）引导学生思考极坐标方程的特点，画出图形。
【变式】在极坐标系中,设圆 上的点到直线 的距离为 ,求 的最大值。
【教学处理】本题由学生自主思考，教者提问学生解题思路，然后师生共同完成。
【引导分析与精讲建议】
(1)先将所给问题转化到直角坐标系下：即圆：和直线： ;
(2)再分析如何求圆上的点到直线距离的最大值：
法1：利用圆的参数方程，设立目标函数，求最大值．
法2：先求出圆心到直线的距离，再得到圆上的点到直线距离的最大值；答案：4
【说明】: 在极坐标系下不能处理的问题，将它转化到直角坐标系下来处理．
例3 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为 ， —2 cos（— ）=2．
(1) 把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
【教学建议】本题在转化时首先要在方程两端同时乘以，严格的讲最后要检验，即强调曲线方程在转化时的等价性。
3、在极坐标系中，点 到直线 的距离为。
【教学建议】本题是强化学生的化归意识：在极坐标系下不能解决的问题可考虑转化到直角坐标系下处理。
三、诊断练习
1、教学处理：由学生自主完成5小题，教者可在课前抽查批阅部分学生的解答，了解学生的思路及主要错误，再进行点评。