高中数学人教B版选修2-3课件：1.3.1 二项式定理

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高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》课件

(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b2 (a b)4 ?
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x

人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件

代入，令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解：例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数的展开式中，例 1 ⑴在
10
是多少？是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例：特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x

选修2-3第一章1-3-1二项式定理

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1 4 x＋解 (1)法一 x 1 2 1 4 3 2 0 1 2 ＝ C43 x ＋ C43 x · ＋ C43 x · ＋ x x 1 3 1 4 3 4 ＋ C4· C43 x · x x 12 1 2 ＝ 81x ＋ 108x＋ 54＋＋ 2. x x 1 4 （ 3x＋ 1） 4 法二 3 x＋＝ x2 x 1 ＝ 2(81x4＋ 108x3＋ 54x2＋ 12x＋ 1) x 12 1 2 ＝ 81x ＋ 108x＋ 54＋＋ 2. x x 5 1 4 2 3 3 2 4 (2)原式＝ C0 5(x－ 1) ＋ C5(x－ 1) ＋ C5(x－ 1) ＋ C5(x－1) ＋ C5(x 5 5 － 1)＋ C5 － 1 ＝ [( x － 1) ＋ 1] － 1 ＝ x － 1. 5
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3
规律方法
运用二项式定理展开二项式，要记准展开式公
式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的
区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的
求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
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2．对通项公式的理解 n－ r r n (1)通项 Tr＋1＝ Cr a b 是 ( a ＋ b ) 的展开式的第 r＋ 1 项，这里 r n ＝ 0， 1，…， n. n－ r r n (2)二项式(a＋ b)n 的第 r＋ 1 项 Cr a b 和 ( b ＋ a ) 的展开式的第 r n n－ r r ＋ 1 项 Cr b a 是有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b n 是不能随便交换的． (3)注意二项式系数 Cr 二 n与展开式中对应项的系数不一定相等，项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． (4)通项公式是在 (a＋ b)n 这个标准形式下而言的，如 (a－ b)n 的二 n－ r r 项展开式的通项公式是 Tr＋1＝ (－ 1)rCr b (只需把－ b 看成 b na n－ r r 代入二项式定理 )，这与 Tr＋ 1＝ Cr a b 是不同的，在这里对应 n 项的二项式系数是相等的都是 Cr 但项的系数一个是 (－ 1)rCr n， n，一个是 Cr n，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念．

高中数学人教B版选修2-3配套课件：1.3.1二项式定理

(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选
4 0 1 3 a，则得C 0 a b ；若有一个选 b ，其余三个选 a ，则得 C 4 4 a b；若有 2 2 4 0 4 两个选b，其余两个选a，则得C2 4a b ；若都选b，则得C4a b .
＝[(x－1)＋1] 5－1＝x5－1.
1．第(2)小题属公式的“逆用”，首先转化为展开式的形式，适当地进行配凑项处理． 2．对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
－－
r n－r r Cn a b 是展开式中的第 r＋1 项，可记作Tr＋1＝ r n －r r Cn · a · b r 各项的二项式系数Cn (r＝0,1,2，„，n)
特例：在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋
2 2 n n x)n＝1＋C1 x ＋ C x ＋„＋ C n n nx
教学教法分析
思想方法技巧
课前自主导学
1.3 1．3.1
二项式定理二项式定理
当堂双基达标课后知能检测
课堂互动探究
●三维目标 1.知识与技能理解并掌握二项式定理，会证明二项式定理． 2．过程与方法通过观察、归纳(a＋b)2，(a＋b)3的展开式猜想得出二项式定理的过程，体验归纳、猜想、证明的逻辑推理的思维方法． 3．情感、态度与价值观培养学生的观察、分析、概括能力．
二项式定理的正用与逆用

高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理

2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一二项式定理的正用、逆用例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式；解方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二二项展开式通项的应用例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项；解由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

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1.3 二项式定理
本章小结
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型
2Байду номын сангаас1.3 超几何分布
2.2.2 事件的独立性
2.3 随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变
2.4 正态分布
阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论
3.1 独立性检验
本章小结
附表
后记
第一章计数原理
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1.2.2 组合
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2020人教版高三数学选修2－3(B 版)电子课本课件【全册】目录
0002页 0065页 0109页 0165页 0242页 0291页 0317页 0352页 0392页 0394页 0447页 0514页 0608页 0652页
第一章计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
1.3 二项式定理
1.1 基本计数原理
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1.2 排列与组合排列
1.2.1
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数学选修2-3 1.3.1二项式定理

填一填
(x+2)8 的展开式中的第 6 项为 ,其二项式系数为 . 5 3 5 5 解析:展开式的第 6 项是 T6=C8 x· 2 =1 792x3,其二项式系数为C8 . 答案:1 792x3 56
-5-
1.3.1 二项式定理
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探究一
探究二
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探究一二项式定理
1.简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开;对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点.a 的指数是从高到低,b 的指数是从低到高,a,b 的指数和都相等;如果项的系数是正负相间,则是(a-b)n 的形式.
3
2x)
20-k
·-
∵系数为有理数,∴40-5k 是 6 的倍数,0≤k≤20,k∈Z,∴k=2,8,14,20.
答案:(1)C (2)A
-13-
1 �� 2
= -
2 2
��
· ( 2)
3
20-k ��
C20 · x
20-k
=(-1)
k
40-5�� · 2 6 C��
0 C4 · (2
4
解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简:
1 4 ��
+
(2)原式 0 5 1 2 3 4 =C5 (x-1)5+C5 (x-1)4+C5 (x-1)3+C5 (x-1)2+C5 (x-1)+C5 -1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.

数学-人教B版-选修2-3-课件

若展开式中存在常数项，则 72－11r＝0，则 r＝7112∉N+， ∴展开式中不存在常数项，若展开式中存在一次项，则72－6 11r＝1， ∴72－11r＝6，∴r＝6. ∴展开式中存在一次项，它是第 7 项， T7＝C68·26·x＝1 792x.
利用通项公式求二项展开式中的特定项
例
4.已知在3
阶段工作概述
KEY WORD
KEY WORD
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，
r∈Z
令10－3 2r＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，即 r＝10－2 3k＝5－32k. ∵r∈Z，∴k 应为偶函数，∴k 可取 2,0，－2， ∴r＝2,5,8，∴第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项．
它们分别为 C210·－122·x2，C510－125，C180－128·x－2.
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教材自主预习一、二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnr an－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

人教b版高中数学课件_高二选修2-3：3.1《二项式定理》

0 n n 1 n-1 n r n-r r n
n
(n N )
n n n
feixuejiaoyu
二项式定理
0 n 1 n-1 (a+b)n Cn a Cn a b Cnr a n-r b r Cnnb n
(n N )
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式展开式右边的多项式叫做 (a+b) n的，其中 C （r=0,1,2,…,n）叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
5
（1+2x) = C (2x) +C (2x) +C (2x)
3 5 3 4 5 4 5 5
+C (2x) +C (2x) +C (2x)
= 1+10x+40x2 +80x3 +80x4 +32x5
feixuejiaoyu
尝试二项式定理的应用：思考：若展开（1- 2x)5 呢？
3
C
0 3
C
1 3
C
3 3
feixuejiaoyu
尝试二项式定理的发现:
4
（a+b) = (a+b)(a+b)(a+b) （a+b)
= C a +C a b+C a b +C ab +C b
0 4 4 1 3 4 2 4 2 2 3 4 3 4 4 4
a
4
ab
C
1 4
3
ab
C
2 4
2 2
ab
3
b

人教B版高中数学选修2-3课件第一章1.31.3.1二项式定理.pptx

[例 1] (1)用二项式定理展开(2x－23x2)5. (2)化简：C0n(x＋1)n－Cn1(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋ (－1)rCrn(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCnn.
[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
1.3
第 1.3.1
一
章
二项式定
理
理解教材新知
把握热点考向
考点一考点二
应用创新演练
1．3.1 二项式定理
问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b ＋6a2b2＋4ab3＋b4.
[思路点拨] 求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数．
[精解详析] (1)二项展开式的通项为
Tr＋1＝Cr8( x)8－r(2 1 x)r＝Cr8(12)rx4－r.
当 4－r＝0 时，r＝4，所以展开式中的常数项为
C48(12)4＝385.故选
20r
∵系数为有理数，∴( 2)r 与2 3 均为有理数，
∴r 能被 2 整除，且 20－r 能被 3 整除．
故 r 为偶数，20－r 是 3 的倍数，0≤r≤20，
∴r＝2,8,14,20.答案 NhomakorabeaA1．要熟记 Tr＋1＝Crnan－rbr 是第 r＋1 项，而不是第 r 项．
2．通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 主要用于求二项展开式的指定项或项的系数．

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反思当二项式较复杂时,可先将式子化简,然后再展开.
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1.3 二项式定理
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1.3.1 二项式定理
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1.理解用组合的知识推导二项式定理,弄清其适用范围. 2.理解通项的意义,并会灵活应用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的一些简单的问题.
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【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是(
A.2n B.n+1 C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n, 所以展开式有2n+1项. 答案:C