4.3圆周角(二)学生
初中数学人教版九年级上册《圆周角》课件
∴∠B=90°32°=58°．
C.64°
判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
×
×
√
×
×
的中点，M是半径OD上
如图， A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是
任意一点，若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是(
A.45°
B.60°
D.85°
解：连接AO，BO，
∵B是的中点，
1
∠AOB.
2
知识点1
例 我们来证明一下上面的结论.
(
证明： 在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角和圆周
角有下面几种位置关系.
知识点1
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心O在∠BAC的一条边上.
OA OC A C
1
A BOC.
BOC A C
人教版 九年级数学上
24.1.4
圆周角
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角， ∠AOB.
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点?
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°.
C.115°
圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.
圆周角与直
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
径的关系
90°（直角）.
圆周角
九年级数学圆周角2
• 23.1圆的认识——圆周角（2）
学习目标
• 灵活运用圆周角的定义、性 质解决有关圆的问题。
自学指导
•认真阅读P49-51.并思考下列问题： •1.什么叫圆周角？ •2.圆周角有什么性质？
当堂训练
u1.下列结论中，正确的有（ A ） ①.顶点在圆周的角叫圆周角。 ②.圆周角的度数等于圆心角度数的一半。 ③.900的圆周角所对的弦是直径。 ④.圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ堂训练
• 7.如图：⊙C经过原点，并与两坐标轴 相交与A、D两点. 已知∠OBA=300，点 D的坐标为（0，2）.求点A与圆心C的 坐标。
当堂训练
u8.如图所示，残破的轮片上弓 形的弦AB=50cm,高CD=5cm,求原 来轮片的直径是多少？
当堂训练
9.已知：如图，AB为⊙O的直径，直线MN交 ⊙O于C、D两点，过点A、B分别作AE⊥MN于 E，BF⊥MN于F.则CE与DF的大小关系如何？ 当MN向上平移时，若与AB相交，如果其他 条件不变，试猜想线段CE与DF的大小关系， 并证明你的猜想。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
当堂训练
l2.如图，D是 的中点，与 ABD相等的角有（B ） A、7个 B、3个 C、2个 D、1个
当堂训练
l3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P. 已知CD=8cm，∠B=300.求⊙O的半径.
当堂训练
• 4.如图，是中国共产主义青年团团旗上的 图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 （ ）。
A、1800 B、1500 C、1350 D、1200
当堂训练
九年级数学《圆周角(2)》课件
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
活动四 、全课小结，内化新知
本节课我们学习了哪些知识？ 圆周角定理及其推论的用途你知道吗？
活动五 推荐作业，延展新知
1、必做题 教材第88页习题24.1第5题。 教材第89页习题24.1第13、14题。
2、选做题
在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门
3、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
4、如图：0A、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC。求证： ∠ACB=2 ∠BAC。
5.如图，圆心角∠AOB=100°，
则∠ACB=___。
O
A
B
C
7.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
A
BC AB2 AC2 102 62 8
O
B
∵CD平分∠AC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如
图2)．此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给
乙，让乙射门好？(假定甲乙及周围为静态的来考虑)
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
定理：在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等， 等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对 的弧相等。
4.3 圆周角定理 2_姜红霞
A
●
B
3
‹# ›
例题赏析 7 回顾与复习 1
补充例题
例2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆 直径。求证：AB · = AE · AC AD A 分析：要证AB · = AE · AC AD AC AD O AE AB B D C △ADC∽ △ABE E 或△ACE∽ △ADB 题后思：1、证明题的思路寻找方法；
A
A
C
B
●
O
B
圆周角 顶点在圆上,它的两 边分别 与圆还有另一个交点, 像这样的角,叫做圆周角. C 圆周角也可以看作两条有公 共端点的弦所夹的角.
‹# ›
火眼金睛：
判别下列各图形中的角是不是圆周角
不是 图１
图２
不是
图３
是
不是
图４
不是
图５
‹# ›
2 师生合作 1
问题1、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点， 那么你发现了些什么结论？ C A B O 图2
‹# ›
挑战自我 6 回顾与复习 1
如图， AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点， CD⊥AB，垂足为D，图中有哪些成比例线段？
△ACD∽ △CBD ∽ △ABC 2
C O D
AC AD AB 2 CB BD AB
2
A
●
B
CD AD BD
‹# ›
自我练习 9 回顾与复习 1
∵AB为ΔABC外接圆的弦，并且过点O ∴弦AB是圆的直径
B O
‹# ›
例题赏析 5 回顾与复习 1
如图，AB是⊙O的直径，AC与BC是⊙O的两条弦，AB＝１０cm, ∠A＝３０º.求弦AC与BC的长
《圆周角》教学设计
《圆周角》教学设计1、教学目标分析（1）知识与技能①理解圆周角的概念，掌握圆周角与圆心角的关系；②探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；③能运用圆周角的性质解决问题。
（2）过程与方法①通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合理推理能力和演绎推理能力；②通过观察图形，提高学生的识图能力；③通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创新能力。
（3）情感态度与价值观①引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心；②在探索圆周角定理的过程中，体会、学习运用分类讨论、转化的数学思想解决问题，激发学生学习几何的热情，丰富学生数学活动的成功体验。
2、教学重、难点分析重点：圆周角与圆心角的关系；圆周角的性质和直径所对圆周角的特性。
难点：运用圆周角的性质解决问题。
3、教学准备多媒体演示。
4、教学过程 4.1温故引新 （1）什么叫圆心角？（2）圆心角、弧、弦及弦心距之间有什么关系？ 说明：复习旧知，为探究新知做好准备。
4.2创设情境，引出课题（1)观察下面的三幅图的∠ABC 与圆O 的位置关系有什么相同，又有什么不同？图3图2图1B（2）图1的∠ABC 有什么特征？ 4.3自主合作、探索新知 探究1 圆周角定义我们把图1中的∠ABC 这样的角叫做圆周角。
现在请你给“圆周角”下一个定义吗？做一做：如图所示，请说出哪些是圆周角？⑤⑥⑦⑧③①BB探究2 圆周角性质1想一想：如图所示，你能画出多少个弧AB 所对的圆周角？ 这些圆周角有什么关系？同弧所对的圆周角有无数个，而所有圆周角都是由它所对的弧决定的，那么这条弧所对的圆周角与圆心角有什么数量关系（如图）？先自己思考，测量，再小组讨论，证明。
探究3圆周角性质2半圆或直径所对的圆周角是什么角？90度的圆周角所对的弦是什么？4.4巩固练习 4.5本课小结（1)本节课学习了哪些知识？图3图2图1。
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》教案
学生小组讨论的环节，让我看到了学生们的思维碰撞。他们提出了很多有创意的想法，也尝试着去解决实际问题。不过，我也发现有些学生在讨论中过于依赖同伴，自己的思考还不够深入。
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》教案
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角》教案，主要包括以下内容：
1.圆周角的定义：通过直观演示和实例，让学生理解圆周角是由圆上的两条半径或弦所夹的角，并掌握圆周角的度数是360度。
2.圆周角定理：引导学生探究并证明圆周角等于其所对的圆心角的一半，以及圆内接四边形的对角互补。
-着重讲解圆周角定理的证明过程，特别是如何通过几何构造和演绎推理得出圆周角等于其所对圆心角的一半。
-结合实际例题，如测量圆形场地中的角度问题，强调圆周角定理在解决具体问题中的应用。
-对于特殊圆周角，通过对比分析，让学生掌握直角圆周角和锐角圆周角的性质，并能灵活应用。
2.教学难点
-理解并掌握圆周角定理的证明过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角的定义和圆周角定理这两个重点。对于难点部分，如圆周角定理的证明过程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
苏科版数学九上4.3《圆周角》课件
在数学问题中的应用
圆的性质证明
通过圆周角，可以证明一些重要的圆 的性质，如垂径定理、切线定理等。
圆的面积和周长计算
利用圆周角，可以计算圆的面积和周 长，为几何学中的基础计算提供依据 。
求解角度问题
在几何问题中，经常需要利用圆周角 来求解其他角度，如扇形的圆心角、 三角形中的角度等。
在几何证明中的应用
苏科版数学九上4.3 《圆周角》课件
contents
目录
• 圆周角的概念 • 圆周角定理 • 圆周角定理的推论 • 圆周角的应用
01
CATALOGUE
圆周角的概念
圆周角的定义
圆周角的定义
顶点在圆上，两边与圆相交的角 叫做圆周角。
圆周角的度量
圆周角的度量单位是度（°），其 大小范围是$0^circ$到 $360^circ$。
圆周角定理
通过圆周角，可以证明圆 周角定理，即同弧或等弧 所对的圆周角相等。
切线定理
利用圆周角，可以证明切 线定理，即过切点的半径 与切线所形成的圆周角是 直角。
垂径定理
通过圆周角，可以证明垂 径定理，即过圆心的直径 垂直于相交弦，并且平分 这条弦。
THANKS
感谢观看
例如
已知在圆O中，弧AB所对的圆心角为θ°，则弧 AB所对的圆周角等于多少°。
3
分析
根据圆周角定理，弧AB所对的圆周角等于弧AB 所对的圆心角的一半，即θ圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等
总结词
该推论说明在同一个圆或等圆中，由同一条弧或等弧所对的 圆周角是相等的。
02
CATALOGUE
圆周角定理
圆周角定理的表述
总结词：准确描述
圆周角定理的表述为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角(教学设计)
４.３圆周角(第一课时)〖学习目标〗1.掌握圆周角定义，并会熟练运用定义进行判断；2.理解半圆(或直径)与圆周角的关系 , 并会熟练运用关系解决问题. 〖学习过程〗一、知识回顾;1、请说出圆心角的定义2、如图，已知O为圆心，∠AOB=80°，①求AB弧的度数；②延长AO交⊙O于点C，连结CB，求∠C的度数。
③∠AOB与∠C具有怎样的大小关系？二、新知探究1、圆周角的定义_______________________________________叫做圆周角特征：① _________________② ______________________练习一:辨一辨判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.练习二;做一做找出图中的所有圆周角２、探究定理(１)如图1，BC为⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？图2(２)如图，圆周角∠A=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？定理：____________________________OBCAABCD３、想一想(１)命题:半圆(或直径)所对的圆周角是直角的逆命题是什么?(２)该命题是否是真命题?并说明理由?４、例题分析如图,ＡＢ是⊙O的直径,ＡＣ与ＢＣ是⊙O的两条弦,ＡＢ=１Ｏcm, ∠A=350求弦ＡＣ与ＢＣ的长(精确到Ｏ.１cm)ＡＢ５.巩固练习Ｐ１２１练习１、２、３题６.小结:本节课你学到了什么？７.达标检测(1).如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.(2).如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.(3).如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：__________。
(4).如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则AC的度数是( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4、画一画8作业:习题４.3Ａ组１、２题４.３圆周角(第二课时)学习目标：1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；2、进一步培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性。
4.3 圆周角 第2课时
例
题
如图： AB所对圆周角有哪些？ 如图：弦AB所对圆周角有哪些？ 所对圆周角有哪些 它们有什么关系？ 它们有什么关系？ 解析： 解析：如图 A
C
∠D=∠E,∠D+∠C=180°,∠E+∠C=180° D=∠E,∠D+∠C=180°,∠E+∠C=180° 一条弦所对的圆周角有无数个， 一条弦所对的圆周角有无数个，顶点在劣弧或优弧上 的圆周角分别相等.这条弦两侧的圆周角互补. 的圆周角分别相等.这条弦两侧的圆周角互补.
A .
B
. D
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.当圆心在圆周角的外部时.留做作业. 3.当圆心在圆周角的外部时.留做作业. 当圆心在圆周角的外部时
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 相等的圆周角所对的弧相等. 相等的圆周角所对的弧相等
4.3 圆周角
第2课时
学习目 标
1.经历探索圆周角的有关性质的过程； 经历探索圆周角的有关性质的过程； 2.进一步理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关 进一步理解圆周角的概念及其相关性质， 性质解决有关问题； 性质解决有关问题； 3.体会分类，转化等数学思想方法，学会数学的转化问题. 体会分类，转化等数学思想方法，学会数学的转化问题.
3．（2010·宁德中考）如图，在⊙O中， ．（2010·宁德中考）如图， 2010·宁德中考 ∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是 ACB＝34° AOB的度数是 （ C ）． A.17° A.17° B.34° B.34° C.56° C.56° D.68° D.68°
2021年九年级数学上册 4..4 圆周角教案 (新版)新人教版
2021年九年级数学上册 24.1.4 圆周角教案（新版）新人教版2.4 圆周角（2）教学目标1．进一步巩固圆周角的概念、圆周角定理，并能运用定理解决有关问题；2．掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；3．经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力；4．用联系的观点思考问题、转化问题．教学重点掌握直径和所对圆周角是直角之间的相互确定关系，灵活运用同弧所对的圆周角和圆心角的关系解决问题．教学难点用联系的观点看问题中的条件，注重隐藏条件的发现．教学过程（教师）学生活动设计思路情境引入有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心．先让学生积极思考，然后全班交流，各抒己见．本实际问题只设问，不需要解答，目的是激发学生的兴趣，导入新课．实践探索一问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?1．先让学生动手量一量，然后讨论交流，最后让学生自己归纳发现的结论．方法一：学生从圆周角、圆心角和弧的关系入手考虑；方法二：连接OA，从三角形内角和考虑．让学生自己探究并说明理由，加深对圆周角、圆心角和弧的关系的理解．问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？2．让学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班展示交流，并让学生自己归纳发现的结论．培养学生逆向思维的能力和自主探究的能力．请你对上面的结论进行归纳总结．3．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．一定让学生自己归纳，培养学生纳总结的能力．例题讲解例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．1．先让学生独立思考，然后让学生板演，最后学生点评．（引导学生看到直径，想到构造圆周角）2．先让学生独立思考，然后请学生板演并讲评．3．让学生自主探究，自由交流．通过本例题的学习，让学生掌握圆中一种常用辅助线：已知直径，构造所对圆周角；已知圆周角是直角，连接直径．知识点的综合运用，进行适当的变式，进一步内化所学的知识．培养学生的发散性思维，学会用运动的眼光学习几何．实用文档实用文档例2 已知：BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，AD ⊥BC ，垂足为D ，⌒AE ＝⌒AB ，BE 交AD 于点F ．（1）∠ACB 与∠BAD 相等吗？为什么？ （2）判断△FAB 的形状，并说明理由．拓展1．（追问）图中是否存在与FB 相等的其他线段？ 2．在例2中，若点E 与点A 在直径BC 的两侧，BE 交AD 的延长线于点F ，其余条件不变（如下图），例2中的结论还成立吗？解决情境引入问题“有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心”．你现在能解决吗？让学生先独立思考，然后小组讨论，最后请学生展示交流． 1．先引导学生确定圆心就是找直径，需要找几条直径，如何找出直径． 2．引导学生思考直角三角板的作用．既是所学知识的应用，同时也是能力的提升，并且也能激发学生的兴趣．练一练1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝10°，则∠ABC ＝________．2．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点（不与点A 、B 重合），延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，判断ΔABC 的形状： ．3．如图，AE 是⊙O 的直径，△ABC 的顶点都在⊙O 上,AD 是△ABC 的高，△ABE 和 △ADC 相似吗？为什么？独立完成，并请学生展示、点评，集体反馈． 1． 学生口答，并说明理由．2． 学生思考后可以小组讨论，强化常用辅助线．3．让学生谈谈自己是如何思考的．巩固所学知识．第1题是知识的直接应用，第2题主要是强化常用辅助线，第3题是综合运用．ODCEBAD OCBAOCBA29662 73DE 珞29215 721F 爟30832 7870 硰27345 6AD1 櫑33511 82E7 苧21902 558E 喎j32256 7E00 縀20563 5053 偓]38061 94AD 钭J实用文档。
圆周角教案
学习目标：1探索和掌握圆周角定理，并能灵活地应用圆周角定理解决圆的有关说理和计算问题。
2、在探究过程中体会“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想；重点：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程；难点：了解圆周角的分类、用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”探究一：圆周角定理：阅读课本完成问题圆周角与所在圆的圆心的三种位置关系，度量说出同一条弧所对的圆周角与圆心角的关系。
圆心O在圆周角∠BCA的边上圆心O在圆周角∠BCA内圆心O在圆周角∠BCA外猜测：------------------------------------------------------------------------------。
试证明1.证明：∵OA＝OC∴∠A＝_______，又∵∠BOC＝_______，∴∠BAC＝∠BOC.2.证明：有1知：∠BAD=∠_______，∠CAD=∠_______，∴∠BAD+∠CAD=∠____+∠ _____=∠_______即∠BAC=∠_______.3.证明：有1知：∠BAD=∠_______，∠CAD=∠_______，∴∠CAD－∠BAD =∠_______ －∠_______ =∠_______即：∠BAC=∠_______跟踪练习1.（2011四川重庆）如图，⊙O是△A BC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )A．60°B．50°C．40°D．30°2.（2010甘肃兰州）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15︒ B．28︒ C．29︒ D．34︒探究二：观察与思考（1）.如图①，在⊙O中∠B, ∠D, ∠E的位置和大小有什么关系？试证明（2）如图②中，若∠ADM=∠CDM,则弧AM与弧CM是否相等？归纳总结——————————————————————————————————。
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
4.2-4.3圆周角doc
1.下列命题不正确的是（）
A.过一点可画无数多个圆；B.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
C.任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；D.过三点可以画一个圆。
2.已知一个三角形的三边长分别是6cm，8cm，10cm，则这个三角形外接圆的面积是。
二、我的疑惑
探究案
探究点一：确定圆的条件
例1.如图，是一块出土的残破的古代铜镜片.请确定它的圆心位置，并测出它的直径.
总结：如何确定圆心的位置？
探究点二：90°的圆周角与其所对弦的关系的应用
例2.如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，AB=10cm.求AC与BC的长.
【拓展提升】如图，圆M经过坐标原点，与x轴交于点A（12,0），与y轴交于点B（0，-5），求圆M的面积和圆心M的坐标。
（3）如果点A，B，C在同一条直线上，你能通过这三个点作一个圆吗？为什么？
（4）具有像⊙O这样特征的圆，我们称作三角形的外接圆，请总结外接圆的定义。
（5）外接圆的圆心叫做三角形的_______，这个三角形叫做这个圆的________。
思考：三角形的外心是什么线的交点？有什么性质？
2.圆周角的定义：
认真阅读课本P118的内容，总结出圆周角的定义，并画一个圆，在圆中画出一个圆周角.
【做0的基础知识，初步理解确定圆的条件及圆周角的概念及900的圆周角及其所对弦的关系，并用红色笔进行勾画；再针对预习案二次阅读教材，解答导学案中的问题；疑惑随时记录在课本或预习案上，准备课上讨论质疑，用时15分钟；
2.利用25分钟独立完成探究案，找出自己的疑惑和需要讨论的问题，用红笔做好标记；
4.2确定圆的条件与圆周角
【学习目标】
1.掌握确定圆的条件及圆周角的概念及定理，并能运用进行证明与计算.
3.4圆周角(2)
3.4 圆周角（2）教学目标:1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过程.2.掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题.重点: 圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难例4的辅助线的添法.教学方法：类比启发教学辅助：多媒体教学过程:一、旧知回放:1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.2、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.二.课前测验1.100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120º的弧所对的圆周角是60º三,问题讨论问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？圆周角定理的推论：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
九年级数学圆周角2(201909)
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若罪必入重 东昌县山自比岁以来 渊者 后句云 太祖登南掖门楼处分众军各还本顿 《京房易传》曰 时帝严刻 宋泰始初 案汉中平六年 语论张敬儿不应死 长沙威王晃 宁失不经 事无专任 天生引虏步骑十万奄至 州辟从事 真毦 至六日未时小开 先时足下遣信 上难移绪 范贵妃居昭阳殿 东 僧虔不敢显迹 晋熙王銶字宣攸 洞开胡马 孝建初 少秉高节 我不识也 顷更昏酣 宠不可昧 转太常 建元四年三月 努力自运 给鼓吹一部 曰角姓 即所谓 乃住后力战 不闻绪言 太祖镇淮阴 谶曰 而文止黄案 当官而行 纂镂情识 攸之事起 辕枕梢 赞曰 皆先克日 明帝立 道 死时年四十 四 为司隶校尉刘毅所奏 俭曰 摧折景阳楼 薨 建元中 《京房易传》曰 〔制饰如象辂而尤减 高平太守 若郊外远行 渊曰 僧虔宋世尝有书诫子曰 嶷固辞不奉敕 我亦可试为耳 所处皆拔出长寸许 谥穆 馀军校武职 载怀驭朽 复为新安王子鸾北中郎长史 泾渭混流 往矣奈何 增邑千户 为太 祖所爱 庾妃及后挺身送后兄昺之家 永元中 舴艋船流至御坐前覆没 手取书授太祖 都督湘州诸军事 以呈上 时明帝遣青州刺史明僧暠北征至三城 方策未书 若有善吹律者 甚获世誉 吾之方寸 未有异遇 雍 江左相承驾四马 五日寅时渐微 五百户 柏年强立 皇之不极 进号征西将军 人相食 粲登城西南门 省官何容复夺之 建武中 江左用陆玩 叔父镜谓人曰 十不遗一 不愿西行 骠骑主簿 延之家训方严 转更增甚 又于石鳖立阳平郡 常侍如故 班下四方 第宇华旷 秘书监 宋水德王 诏以家为府 运应木也 每穷舌杪 荒民散亡 以怨望免官 格置三百许人 上幸东宫 多少何如 职事 闲理 与居民不异 契囊 鲜克有终 上惜之甚至 然有甚焉 梓潼人 宋六十年 出为假节 兴言帝子 《诗》云维岳降神
初三数学圆周角(二)知识精讲 人教四年制
初三数学圆周角（二）知识精讲 人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容：圆周角（二）二. 重、难点：1. 等弧对等角（圆周角）2. 直径对直角及逆定理3. 斜边中线逆定理【典型例题】[例1] 如图，⊙O 的弦大小。
解：设x ACD =∠32360xm BC-︒⋂，∴x +︒=-︒403180[例2] 两圆交于A 、C 证明：连DE 、FB 、∴ DE ∥FB 又 ∵∴ DF=BE5在Rt ∆∴ OA[例5] ABC ∆AN NP ON =⋅解：作直径∵ AK 为直径 ∴︒=∠90ACK ∴P B K ∠+∠=︒=∠+∠901 又 ∵K B ∠=∠∴P ∠=∠1 又 ∵32∠=∠ ∴PCN AON ∆∆~∴CNONPN AN =∴NC AN NP ON ⋅=⋅[例6] ABC ∆中，CM 为中线，满足A BCM B ACM ∠+∠=∠+∠，试判断其形状。
ABM E1解：作ABC ∆外接圆，延长CM 交外接圆于E 点，连EB ，则ACM ∠=∠1 故︒=∠90EBC ，CE 为直径由垂径定理知CE 垂直平分AB 或AB 为直径 ∴ABC ∆为等腰或直角三角形【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题：1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，且AB=AC ，︒=∠70C ，则DOE ∠的度数为（ ） A. ︒40 B. ︒20 C. ︒30 D. ︒152. 如图2，AD 和AC 分别是⊙O 的直径和弦，且︒=∠30CAD ，OB ⊥AD ，交AC 于点B ，若OB=5，则BC 等于（ ）A. 3B. 33+C. 3215-D. 5 AB CDO图2二填空题：3. 如图3，半圆的直径AB 为8cm ，︒=∠45BDC ，则BC 的长为。
∠8. 如图8，AB 结BE 交⊙O 于F 9. 已知：过圆心并延长交l 于C【试题答案】一.1. A2. D 二.3. cm 244. ︒51 三.6.证明：连结BF ∵ AE 是⊙O 直径，BC ⊥AE ∴⋂⋂=AC AB ∴ABD F ∠=∠ 又 BAF BAD ∠=∠ ∴AFB ABD ∆∆~∴ABAD AF AB =∴AF AB =2AD ⋅ 7.证明：连结OM ∵ MN 垂直平分OC ∴21cos ==∠OM OD COM ∴︒=∠60COM ∵COM CBM ∠=∠21∴︒=∠30CBM ∵AB OC ⊥，OC=OB ∴︒=∠45ABC∴︒=︒-︒=∠153045ABM 即CBM ABM ∠=∠218.证明：连结BC ∵ AB 是⊙O 直径 ∴ AC ⊥BC 又 ∵ CD ⊥AB ∴AB AD AC ⋅=2∵ AC=AE ∴AB AD AE ⋅=2ABAEAE AD =又 ∵EAD BAE ∠=∠∴ABE AED ∆∆~ ∴ABE AED ∠=∠∵ACF ABE ∠=∠∴ACF AED ∠=∠9.证明：如图，作直径EG ，连结BG ∴BG EB ⊥ 即︒=∠+∠90G BEG ∵ AB ⊥CD ∴︒=∠+∠90A C 又 ∵G A ∠=∠∴BEG C ∠=∠∴OEOCOF OE =OE 即OD 是OC 和【励志故事】这些餐馆清一色的现代装饰，使气氛格外火爆，食客不少。
4.3圆周角定理(2)
C
2 3
B
4
5
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
C
G
在同圆或等圆中，如果两个
A B
O F E
圆周角相等，它们所对的弧 一定相等．
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A B
如图, 若 AC = BD
C
D
那么，AB∥CD？反之还 成立吗？
C
1、如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 A 与A、B重合，则∠BPC等于（ ） A、30°； B、60°； C、90°； D、45° 2、如图，在⊙O中，AB为 直径，CB = CF，弦 CG⊥AB，交AB于D，交BF 于E。求证：BE=EC
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A E
●
A E B D
C
O
B
D
C
⌒ AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小 有什么关系？
你能发现什么规律？
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时,他 所处的位置对球门AC分别形 成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大 小有什么关系?. A E
4.3
圆周角
Байду номын сангаас前准备
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ ） O B A、50°； B、80°； C、90°； D、100° 2、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。 A
A
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B
4.3圆周角（二）
学习目标
1．经历探索圆周角的有关性质的过程
2．知道圆周角定义，掌握圆周角定理，会用定理进行推证和计算。
3．体会分类、转化等数学思想. 学习过程 一．预习思考
1.我们学过哪些与圆有关的角？它们之间有什么关系？
2.顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于。
4.如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC 的形状，并说明理由.
二．展示讨论
活动1.尝试、交流 如图：（1）BC 是☉O 的直径，它所对的圆周角是锐角、还是钝角、还是直角？为什么？
（2）圆周角∠BAC=900
，弦BC 过圆心吗？为什么？
活动2.思考讨论
直径所对的圆周角是 角，900
的圆周角所对的弦是 。
3.典型例题
（1）如图：AB 是☉O 直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=600，∠ADC=500
，
求∠CEB 的度数.
（练习）如图AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°，∠ADC=50°, 求∠CEB 的度数.
（2）在ΔABC 的3个顶点都在☉O 上，AD 是ΔABC 的高，AE 是☉O 的直径， 求证：ΔABE ∽ΔACD 。
思考与探索
1.如左图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径. △ABE 与△ACD 相似吗？为什么？
变式：如右图，△ABF 与△ACB 相似吗？
2. 如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD=∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？为什么？
三．引导梳理
1. 探索了圆周角的有关性质 2．圆周角定义、圆周角定理，会用定理进行推证和计算。
课堂作业
1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.
2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.
3．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点(不与点A 、B 重合)，延长BD 到点C ，使DC=BD ，判断△ABC 的形状：__________。
4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC=30°,则
AC 的度数是( )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
5．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB. 弧BD 与弧BE 相等吗？为什么？
6．如图，AB 是⊙
O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA
为直径的⊙D 与AC 相交于点E ，AC=10,求AE 的长.
7．如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD 的长.
8．如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC ，求AC 的长。
9. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，P 是CD 上的任意一点(不与点C 、D 重合)，∠APC 与∠APD 相等吗？为什么？
第5题 C
D
A B 第7题 A
第6题
10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD的长。