平面向量共线表示1
平面向量的三点共线定理及其应用技巧
思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
第二章 平面向量共线的坐标表示
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规 律 归 纳 涉及本节知识点的试题基本上以共线向量的坐标运算为 主， 另外还会与解析几何知识相结合， 以综合题的形式出现．
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4 (2010· 陕西高考)已知向量 a＝(2， －1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
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三点共线问题 → → → 【例 2】 向量PA＝(k,12)，PB＝(4,5)，PC＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
→ → 思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有BA∥CA.
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→ → → 解：BA＝PA－PB＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)． → → → CA＝PA－PC＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴BA∥CA， 即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0， 整理得 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 11， ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
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自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( A．共线且方向相同 C．是相反向量 B．共线且方向相反 D．不共线 )
2 2 解析：a＝－ b 且－ <0，∴a 和 b 共线且方向相反． 3 3
答案：B
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→ → → 2 已知向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
平面向量共线的坐标表示解析
由平面几何知A识G得 2：AD
B
3
2(x1 x3 2x1 , y1 y3 2y1)
3
2
2
OGOA AG
D
A
G
(x1,
y1)
(
x2
x3 3
2x1
,
y2
y3 3
2y1
)
C
(x2 x3 x1 , y2 y3 y1 )
O
X
3
3
G (x1x2x3,y1y2y3)
3
3
rr a 2b
1.已知a (2,4),b (1,2),则a与b的关系是（.D...）.
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
法二：设Px, y
y P2
x P1 Px1,y 12 Py P1 2,1 2x2x,y2y
P1
P
有
x y
x1 y1
1 2 1 2
x2 y2
x y
O
解P 有 点坐 2x1标 x2,2y1y2
A.30...............B.60............C.45..............D.75
4.设向量a32、b不13平行s，in求证co：s向量a b和向量a b不平行。
4.向量a，b不平行，求证：向量 a – b 与a + b不平行。
证明：设向量 a – b 与a + b平行。
rr rr
设 ab r( ab )r r
( 1 ) a ( 1 ) b 0
1 1
0 0
显然，上述方程没有实数解。
∴ 向量 a – b 与a + b平行。
平面向量的定义及表示方法
平面向量的定义及表示方法平面向量是在平面上具有大小和方向的量。
它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学中，我们通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，坐标上的A点到B点的向量。
平面向量的定义表明，它不仅仅是点之间的连线，它还具有独立的数学性质和运算规则。
我们可以通过平移、加法、乘法等操作来处理平面向量。
在平面向量的表示方法方面，有几种常用的方式，包括坐标表示法、分量表示法和向量的单位表示法。
1. 坐标表示法：在笛卡尔坐标系中，平面上的向量可以用坐标表示。
如果A和B是平面上的两个点，那么向量A B⃗的坐标可以表示为(ABx, ABy)，其中ABx表示向量在x轴的投影，ABy表示向量在y轴的投影。
2. 分量表示法：分量表示法是将平面向量投影到坐标轴上的方法。
对于向量A B⃗，它可以表示为A B⃗ = x⃗ i + y⃗ j，其中x⃗和y⃗分别表示向量的x和y方向的分量，i和j是坐标轴上的单位向量。
3. 向量的单位表示法：向量的单位表示法将向量的大小统一为1的向量，用于表示向量的方向。
在平面向量中，单位向量通常用i和j表示，其中i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。
例如，向量A B⃗的单位向量可以表示为A B⃗ /|A B⃗ | = (ABx / |A B⃗ |) i + (ABy / |A B⃗ |) j。
除了上述常见的表示方法，平面向量还有一些其他的表示方法，如极坐标表示法和共线向量表示法，用于特殊情况下的向量表示和计算。
总结起来，平面向量可以用箭头表示，通过定义和表示方法，我们可以准确地描述和计算平面上的物理量和几何问题。
不同的表示方法可以根据具体情况和需要灵活运用，帮助解决实际问题和计算。
掌握平面向量的定义和表示方法，对于数学和物理学习都具有重要的意义。
平面向量共线的坐标表示
解：∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由两向量平行得 3(k－2)－7×(－1)＝0. 1 ∴k＝－3.
7 此时，ka－b＝－ ，－1 3
1 1 ＝－3(7,3)＝－3(a＋3b)． ∴它们是反向的．
• 2．3.4 平面向量共线的坐标表示
• 1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量，以及两直 线平行和两向量共线的判定的区别．(易混点) • 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ，并能会应 用．(重点) • 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(难点)
• 两向量平行的条件
•
如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ • 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当 两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向． • 例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； • 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
→ → → 【典例】 已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2， → → －3)，当BC∥DA时，求实数 x，y 应满足的关系．
→ → → → → 【错误解答】DA＝－AD＝－(AB＋BC＋CD) ＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]＝(－x－4，－y＋2)． → → → BC＝(x，y)，当BC∥DA时，x(－x－4)－y(－y＋2)＝0 即 x2－y2＋4x＋2y＝0.
→ BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． → → 而AB、BC共线，∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2，∴当 m＝－2 时， A、B、C 三点共线．
2.3.4平面向量共线的坐标表示
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：课本P101习题2.3.4：6、7 B组1~4
《聚焦课堂》
再见!
聚焦作业手册P80: 8T
已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB＋λAC (λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内? 解:设P(x,y). AP =(x－2,y－3), AB =(3, 1), x－2=3＋5λ y－3=1＋7λ AC =(5, 7), (x－2, y－3) =(3, 1)＋λ(5, 7) =(3＋5λ, 1＋7λ) x=5＋5λ <0 y=4＋7λ <0
∴只能有:
(1)k 1 : ke1 e2 e 1 ke2 ,同向共线. (2)k 1 : ke1 e2 (e 1 ke2 ) ,反向共线.
{ k 1 0
k 0
λ 1 k 1.
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ).
B( x 2 , y 2 )
x1=x2,且y1=y2
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
探究：
向量平行的坐标表示
向量平行的向量表示
设a=(x1,y1), b=(x2,y2), 其中a≠0, b // a b = λa (x2,y2) =λ(x1,y1) = (λx1,λy1)
(x , y ) λa 3.两个结论 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) a b x1=x2,且y1=y2 4.共线向量的充要条件:(a≠0) x1y2-x2y1=0 向量a与b共线 b=λa
a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ), a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ),
051平面向量基本定理及共线向量定理
三．课后作业
1．(2015·课标全国Ⅱ，理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
2．已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，若 ，则 =， =．
3.已知： 点C在 内,且 则 ．
1）若向量 与 相等的条件是 且
2）若向量 ，则
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa；
2．典型例题
考向一 平面向量基本定理
1.下列各组中的 与 能否作基底：（1） ， ； （2） ， ；
2.如图所示，| |＝| |＝1，| |＝ ，∠AOB＝60°， ⊥ ，设 ＝x ＋y ，求实数x，y的值．
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为________．
9.在△ABC中， ＝ ，P是直线BN上的一点．若 ＝m ＋ ，则实数m的值为()
A．－4 B．－1C．1 D．4
10.已知 点 在 上， . 则向量 等于()A． B． C． D．
11.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为()
A. B．－ C．1 D．－1
12.在三棱柱 中，侧面 底面 ， ，且侧面 为菱形.
证明： 平面 ；
若 ， ，直线 与底面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
平面向量基本定理和共线定理
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
平面向量基本定理系数的等和线
平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知OA OB OC λμ=+ ，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然
（二）等和线
平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈ ，若点P 在直线
AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值）
，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB 时，1k =；
（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；
（3）当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；
（4）当等和线过O 点时，0k =；
（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
【解题步骤及说明】
1、确定等值线为1的线；
2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】
例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以
O 为圆心的圆弧 AB 上变动。
若OC xOA yOB =+ ，其中,x y R ∈，则x y +的最大值
是__________。
三点共线向量系数和为1例题
三点共线向量系数和为1例题
摘要：
1.题目背景和基本概念介绍
2.例题的详细解题过程
3.例题的结论和意义
正文：
一、题目背景和基本概念介绍
在平面向量的学习中，共线向量是一个重要的概念。
当两个向量共线时，它们可以表示为一条直线上的向量。
向量系数和为1，意味着两个向量之间的比例关系为1:1，即它们完全相同。
本题将通过一个具体的例题，来探讨如何求解共线向量系数和为1 的问题。
二、例题的详细解题过程
例题：已知向量A（1，2）和向量B（3，6），求证向量A 和向量B 共线，并求出它们的共线向量系数。
解：我们可以通过计算向量A 和向量B 的比例关系，来判断它们是否共线。
根据向量的定义，向量A 和向量B 的比例关系为：
A/B = (1, 2) / (3, 6)
为了方便计算，我们可以将向量A 和向量B 分别表示为它们的坐标形式，即：
A = (1, 2)
B = (3, 6)
那么，向量A 和向量B 的比例关系可以表示为：
A/B = (1/3, 2/6)
我们可以进一步简化这个比例关系，得到：
A/B = (1/3, 1/3)
由此可见，向量A 和向量B 是共线的，因为它们的比例关系是恒定的。
同时，我们可以得出它们的共线向量系数为1/3。
三、例题的结论和意义
通过这个例题，我们可以得出结论：当两个向量的比例关系为恒定时，它们是共线的，并且它们的共线向量系数等于比例关系的常数。
这个结论对于理解和解决共线向量问题具有重要的意义。
平面向量共线
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4．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b， 如果 c∥d，那么( )
A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向
解析：∵c∥d，∴存在实数 λ，使 c＝λd，即 ka＋b＝λ(a －b)，
答案：C
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3．已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，x)，若 a＋b 与 4b－2a 平
行，则实数 x 的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以 a＋b＝(3，x＋1)， 4b－2a＝(6,4x－2)，因为 a＋b 与 4b－2a 平行，所以 3(4x－ 2)－6(x＋1)＝0，解得 x＝2.故选 D.
2．证明三点共线的方法 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)， 只要证明 向量共线 ，便可证得 A、B、C 三点 共线．
3．线段的中点坐标 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1P2 的中点 P 的坐标为 x1＋2 x2，y1＋2 y2.
想一想
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解：∵a＝(1,1)，b＝(x,1)， ∴u＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x＋1,3)； v＝2(1,1)－(x,1)＝(2－x,1)． (1)u＝3v⇔(2x＋1,3)＝3(2－x,1)⇔(2x＋1,3)＝(6－3x,3) ⇔2x＋1＝6－3x. 解之，得 x＝1.
A．x＝－1 C．x＝92
B．x＝3 D．x＝51
6.2平面向量共线定理的坐标表示
授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。
共面向量定理
实数 1、2 使
r ur ur
a 1e1 2 e2
作用：判断三向量共面.
小结：
OP = xOA + yOB （其中x+y=1）
（三点共线）
OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1） （四点共面）
平面向量共线定理
r
r
“向量b和非零向量a共线”等价于“有
r rr r
且只有一个实数，使得b a(a 0)”
作用：判断两向量平行
平面向量基本定理:
ur ur
实数 1、2 使
r ur ur
a 1e1 2 e2
新课
D1 A1
D
共面向量的概念
C1
在同一个平面内或通
B1
过平移到同一个平面内的
向量，称为共面向量.
C
A
B
AD、AC、AB在同一平面内，称它们为共面向量.
问： A1D1 、AC、A1B1 为共面向量吗？
问题：
空间任意一个向量p与两个不共线向量a、b共 面时，他们之间存在怎样的关系呢？
P
A
M
B
N D
C
例２、如图，已知矩形ＡＢＣＤ和矩形ＡＤＥＦ所在的 平面互相垂直，点Ｍ、Ｎ分别在对角线ＢＤ、ＡＥ上， 且ＢＭ＝ １３ＢＤ，ＡＮ＝ １３ＡＥ. 求证：MN∥平面ＣＤＥ.
Ｆ
Ｎ Ａ
Ｍ Ｂ
Ｅ Ｄ Ｃ
例３、 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式
OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1） 的四点P、A、B、C是否共面？
平面向量的所有公式-向量共线公式
平面向量的所有公式-向量共线公式
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常用一个有向线段来表示。
向量的加法
设有向线段AB和有向线段BC，通过将有向线段AB的起点
和有向线段BC的终点连接起来构成一条新的有向线段AC，这个
由有向线段AB和有向线段BC构成的有向线段AC称为向量AB
与向量BC的和，记作AB + BC = AC。
向量的减法
设有向线段AB和有向线段BC，通过将有向线段AB的起点
和有向线段BC的起点连接起来构成一条新的有向线段AC，这个
由有向线段AC的终点为B，有向线段AC所表示的向量称为向量AB与向量BC的差，记作AB - BC = AC。
向量的数量积
设向量A = \( a_1, a_2 \)，向量B = \( b_1, b_2 \)，则向量A与
向量B的数量积等于\( a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 \)，记作A · B。
向量共线公式
若向量A与向量B共线，则存在实数k，使得向量A = k ·向量B。
根据向量共线公式，可以得到以下结论：
- 当k>0时，向量A与向量B同向。
- 当k=0时，向量A与向量B重合，即向量A和向量B具有相同的大小和方向。
- 当k<0时，向量A与向量B反向。
总结
本文介绍了平面向量的定义、加法和减法的操作方法，以及向量数量积的定义和共线公式。
了解这些公式和概念可以帮助我们更好地理解向量的运算和性质，进一步应用于解决复杂的数学和物理问题。
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忽视向量共线中的方向致误 【示例】 设点 A(－1,2)， B(n－1,3)， C(－2， n＋1)， D(2,2n → → ＋1)，若向量AB与CD共线且同向，则 n 的值为( A．0 C．2 B ．± 2 D．－2 )
【错解】B 【错因】易忽略题目条件中的同向．准确计算有关向量的 坐标是解答此类问题的前提． → → → → 【正解】由已知条件得AB＝(n,1)，CD＝(4，n)，由AB与CD
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
共线得 n2－4＝0，n＝± 2. → → 当 n＝2 时，AB＝(2,1)，CD＝(4,2)， → → → → 则有CD＝2AB，AB与CD共线且同向；
→ → 当 n＝－2 时，AB＝(－2,1)，CD＝(4，－2)， → → → → 则有CD＝－2AB，AB与CD共线但反向，不符合题意．因 此，符合条件的只有 n＝2.
1．(2015年四川)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实 数x＝( )
A．2
C．4 【答案】B
B．3
D．6
2．(2015年内蒙古兴安盟二模)平面向量a＝(1，－2)，b＝
(－2，x)，若a∥b，则x等于( A．4 C．－1 【答案】A ) B．－4 D．2
3．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是
【答案】C
)
3 B． 2 3 D．－ 2
→ → 【解析】由 A(1,1)，B(4,2)，可得AB＝(3,1)，∵a∥AB，∴ 2 2×1－3λ＝0，解得 λ＝ .故选 C. 3
4．(2015年河北石家庄二模)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－
1)且a－b与b共线，则x的值为______．
【答案】－2 【解析】向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，a－b＝(2－x,2)．又 a－b与b共线，可得2x＝－2＋x，解得x＝－2.
【答案】D
) B．(－1，－ 3) D．(－1， 3)
【解析】方法一：a＋2b＝( 3，－3)， 对于 D， 3× 3－(－1)×(－3)＝0，∴(－1， 3)与 a＋2b 是共线向量． 方法二：∵a＋2b＝( 3，－3)＝－ 3(－1， 3)， ∴向量 a＋2b 与(－1， 3)是共线向量．
由共线向量求参数 【例2】 (2015年新疆库车县校级期末)已知向量a＝(1，
→ → 【解析】由题意得，AB＝(0－2,4－1)＝(－2,3)，CD＝(5－ 1，－3－3)＝(4，－6)，又(－2)×(－6)－4×3＝0，所以 → → → → → → AB∥CD.又CD＝－2AB，所以AB与CD的方向相反．
【方法规律】向量共线的判定方法
若向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－2)，则与 a＋2b 共线的向量可以是( A．( 3，－1) C．(－ 3，－1)
若a＋b与a－b平行，则实数x的值是( A．－2 C．1 【答案】D B．0 D．2 )
【解析】由题意可得a＋b＝(3，x＋1)，a－b＝(－1,1－
x)，因为a＋b与a－b平行，所以3×(1－x)－(x＋1)×(－1)＝0， 解得x＝2.故选D.
3．(2015 年广东惠州模拟)已知点 A(1,1)，B(4,2)和向量 a → ＝(2，λ)，若 a∥AB，则实数 λ 的值为( 2 A．－ 3 2 C． 3
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
目标定位 理解用坐标表示的平面向量共线 标条件 的条件
重点难点 重点：平面向量共线的坐 难点：平面向量共线的坐 标条件
课前预习
平面向量共线的坐标表示 设 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，其中 b≠0 ，则当且仅当
x1y2－x2y1＝0 时，向量 a，b(b≠0)共线． ______________
【答案】C
【警示】(1)当向量用坐标表示时，在解决与向量共线有关 的问题时，一般用坐标表示向量平行． (2)向量共线的坐标表示将向量共线用代数形式表示出来 后，要注意与其他知识的结合应用．
__________． 【答案】－4 4．向量a＝(n,1)，b＝(4，n)共线，则n＝________. 【答案】±2
课堂探究
向量共线的判定
→ 【例 1】 已知 A(2,1)， B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断AB → 与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
→ → 【解题探究】由向量的坐标运算求出AB和CD的坐标，再 判断向量共线的坐标条件，并可判断方向是否一致．
－2)，b＝(3,4)． (1)求向量3a＋4b的坐标；
(2)当实数k为何值时，ka－b与3a＋4b共线．
【解题探究】(1)直接利用向量的坐标运算求解即可． (2)利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解析】(1)∵向量 a＝(1，－2)，b＝(3,4)， ∴向量 3a＋4b＝(3，－6)＋(12,16)＝(15,10)． (2)ka－b＝(k－3，－2k－4)，3a＋4b＝(15,10)， ∵ka－b 与 3a＋4b 共线， 3 ∴10k－30＝－30k－60，解得 k＝－ . 4
【方法规律】由向量共线求参数的值的步骤
课堂小结
对两个向量共线条件的三点说明 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)当 b≠0 时，a＝λb，这是几何运算，体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决向量共线问题 的优点在于不需要引入参数“λ”， 从而减少未知数个数， 而且 使问题的解决过程代数化、程序化． x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时， ＝ ，即两向量的相应坐标成比例．这 x2 y2 种形式容易记忆．
巩固练习
1．(2015 年福建宁德二模)若向量 a＝(3，m)，b＝(2，－1)， a∥b，则实数 m 的值为( 3 A．－ 2 C．2
【答案】A
) 3 B． 2 D．6
【解析】因为向量 a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a∥b，所以 3 －3＝2m，解得 m＝－ .故选 A. 2
2．(2015年福建龙岩模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，