2021届高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课件苏教版

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高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算名师课件

高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算名师课件

∴A→B、B→D共线。又∵它们有公共点 B,
∴A、B、D 三点共线。
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线。
【解】 ∵ka+b 和 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb。∴(k-λ)a=(λk-1)b。 ∵a、b 是两个不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0。∴k=±1。
【例 1】 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则A→B=D→C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④ a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b。 其中真命题的序号是__②__③____。
【解析】 ①不正确。两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相 同。
考点三 共线向量定理的应用
【例 2】 设两个非零向量 a 与 b 不共线,
(1)若A→B=a+b,B→C=2a+8b,C→D=3(a-b),求证:A、B、D 三点共
线; 【解】
证明:∵A→B=a+b,B→C=2a+8b,C→D=3(a-b),
∴B→D=B→C+C→D=2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5A→B。
答案 D
考点二 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算包括向量的加、减、数乘运算及其线性运算的几 何意义的应用,是高考考查向量的热点。常以选择题、填空题的形式出 现。考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则,向量减法的三角形法 则及向量的相等。
角度一:考查向量加法或减法的几何意义
1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是
定义
法则(或几何意义)

高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4讲 数系的扩充与复数的引入课件 文 北师大版

高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4讲 数系的扩充与复数的引入课件 文 北师大版


(2)复数加法的运算定律
Байду номын сангаас
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C, 有 z1+z2=__z_2_+__z1__,(z1+z2)+z3=__z_1+___(z_2_+__z_3)_.
栏目
导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1.辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小. (2)利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d ∈R 的前提条件. (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到 复数集中来.例如,若 z1,z2∈C,z21+z22=0,就不能推出 z1=z2=0;z2<0 在复数范围内有可能成立.
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=___(a_+__c_)_+__(_b_+__d_)i_;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=__(a_-__c_)_+__(_b_-__d_)i__;
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式, 列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以 确定实部和虚部.
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
实 虚数 数( (bb______≠__=________00) ), 纯 非虚 纯数 虚( 数a(__a=≠ ___0_,0,b≠b_0_)_≠_. __0),
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教师用书

高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教师用书

第四节 数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念(1)复数的概念:形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b =0,则a +b i 为实数,若b ≠0,则a +b i 为虚数,若a =0且b ≠0,则a +b i 为纯虚数.(2)复数相等:a +b i =c +d i ⇔a =c ,b =d (a ,b ,c ,d ∈R ). (3)共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭⇔a =c ,b =-d (a ,b ,c ,d ∈R ).(4)复数的模:向量OZ →的模r 叫做复数z =a +b i 的模,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2. 2.复数的几何意义 复数z =a +b i 复平面内的点Z (a ,b )平面向量OZ →=(a ,b ).3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,a ,b ,c ,d ∈R .z 1±z 2=(a +b i)±(c +d i)=(a ±c )+(b ±d )i. z 1·z 2=(a +b i)(c +d i)=(ac -bd )+(bc +ad )i. z 1z 2=a +b i c +d i =ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i(c +d i≠0). (2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图4­4­1所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ →=OZ 1→+OZ 2→,Z 1Z 2→=OZ 2→-OZ 1→.图4­4­11.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )中,虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )(3)实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2. (教材改编)如图4­4­2,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )图4­4­2A .AB .BC .CD .DB [共轭复数对应的点关于实轴对称.] 3.设i 为虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A .0 B .2 C .2iD .2+2iC [(1+i)2=1+2i +i 2=2i.] 4.复数1+2i 2-i =( )A .iB .1+iC .-iD .1-i A [法一:1+2i2-i =++-+=5i5=i. 法二:1+2i 2-i=+-=+2i +1=i.]5.复数i(1+i)的实部为________. -1 [i(1+i)=-1+i ,所以实部为-1.](1)若z =1+2i ,则z z -1=( )A .1B .-1C .iD .-i(2)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a +i)是纯虚数,则实数a 的值为________. (1)C (2)-2[(1)因为z =1+2i ,则z =1-2i ,所以z z =(1+2i)(1-2i)=5,则4iz z -1=4i4=i.故选C.(2)由(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i 是纯虚数可得a +2=0,1-2a ≠0,解得a =-2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a +b i(a ,b ∈R )的形式,再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ,然后利用复数模的定义求解.[变式训练1] (1)(2017·嘉兴二次质检)已知i 为虚数单位,复数z =i2+i的虚部为( )A .-15B .-25C.15D.25(2)设z =11+i +i ,则|z |=( )A.12B.22C.32D .2 (1)D (2)B [(1)复数z =i 2+i=-+-=1+2i 5=15+25i ,则其虚部为25,故选D.(2)z =11+i +i =1-i 2+i =12+12i ,|z |=⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=22.]A .-2-iB .-2+iC .2-iD .2+i(2)已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a ,则a b的值为________.【导学号:51062150】(1)C (2)2 [(1)∵(z -1)i =i +1,∴z -1=i +1i =1-i ,∴z =2-i ,故选C.(2)∵(1+i)(1-b i)=1+b +(1-b )i =a ,又a ,b ∈R ,∴1+b =a 且1-b =0,得a =2,b =1,∴ab=2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i 的幂写成最简形式.2.记住以下结论,可提高运算速度(1)(1±i)2=±2i;(2)1+i 1-i =i ;(3)1-i 1+i =-i ;(4)-b +a i =i(a +b i);(5)i 4n=1;i4n +1=i ;i4n +2=-1;i4n +3=-i(n ∈N ).[变式训练2] (1)已知-2z=1+i(i 为虚数单位),则复数z =( )A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i(2)已知i 是虚数单位,⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 8+⎝ ⎛⎭⎪⎫21-i 2 018=________.(1)D (2)1+i [(1)由-2z=1+i ,得z =-21+i=-2i 1+i =--+-=-1-i ,故选D.(2)原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 8+⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21-i 2 1 009=i 8+⎝ ⎛⎭⎪⎫2-2i 1 009=i 8+i 1 009=1+i4×252+1=1+i.](1)则实数m 的取值范围是( )A .(-3,1)B .(-1,3)C .(1,+∞)D .(-∞,-3)(2)设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z 1=2+i ,则z 1z 2=( ) A .-5 B .5 C .-4+iD .-4-i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m +3>0,m -1<0,即-3<m <1.故实数m 的取值范围为(-3,1).(2)∵z 1=2+i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z 2的对应点的坐标为(-2,1)即z 2=-2+i ,∴z 1z 2=(2+i)(-2+i)=i 2-4=-5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系,即z =a +b i(a ,b ∈R )⇔Z (a ,b )⇔OZ →.2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.[变式训练3] (2017·湖州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ,b c ,d =ad -bc ,则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ,1+i -i ,2i =0的复数z 对应的点在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限B [由题意得z ×2i-(1+i)(-i)=0,所以z =+-2i=-12-12i ,则z =-12+12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12,位于第二象限,故选B.][思想与方法]1.复数分类的关键是抓住z =a +b i(a ,b ∈R )的虚部:当b =0时,z 为实数;当b ≠0时,z 为虚数;当a =0,且b ≠0时,z 为纯虚数.2.复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数. 3.化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法,其中,复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提,复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁.[易错与防范]1.判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.两个虚数不能比较大小.3.利用复数相等a +b i =c +d i 列方程时,应注意a ,b ,c ,d ∈R 的前提条件. 4.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z 1,z 2∈C ,z 21+z 22=0,就不能推出z 1=z 2=0;z 2<0在复数范围内有可能成立.课时分层训练(二十五) 数系的扩充与复数的引入A 组 基础达标 (建议用时:30分钟)一、选择题1.(2017·宁波一模)在复平面内,复数(1+3i)·i 对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限B [复数(1+3i)i =-3+i 在复平面内对应的点为(-3,1),位于第二象限,故选B.]2.设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a =( ) A .-3 B .-2 C .2D .3A [(1+2i)(a +i)=a -2+(1+2a )i ,由题意知a -2=1+2a ,解得a =-3,故选A.] 3.若复数z =21-i ,其中i 为虚数单位,则z -=( )A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i B [∵z =21-i=+-+=+2=1+i ,∴z -=1-i.]4.设(1+i)x =1+y i ,其中x ,y 是实数,则|x +y i|=( ) A .1 B. 2 C. 3D .2B [∵(1+i)x =1+y i ,∴x +x i =1+y i.又∵x ,y ∈R ,∴x =1,y =x =1. ∴|x +y i|=|1+i|=2,故选B.]5.设z 是复数,则下列命题中的假命题是( ) A .若z 2≥0,则z 是实数 B .若z 2<0,则z 是虚数 C .若z 是虚数,则z 2≥0 D .若z 是纯虚数,则z 2<0C [实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z 2=a 2-b2+2ab i ,由z 2≥0,得⎩⎪⎨⎪⎧ab =0,a 2-b 2≥0,,则b =0,或a ,b 都为0,即z 为实数,故选项A为真,同理选项B 为真;选项C 为假,选项D 为真.]6.若i 为虚数单位,图4­4­3中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数z1+i的点是( )图4­4­3A .EB .FC .GD .HD [由题图知复数z =3+i , ∴z1+i =3+i 1+i=+-+i -=4-2i 2=2-i.∴表示复数z1+i 的点为H .]7.已知复数z =1+2i 1-i,则1+z +z 2+…+z 2 019=( ) A .1+i B .1-i C .iD .0D [z =1+2i1-i =1++2=i ,∴1+z +z 2+…+z2 019=-z 2 0201-z=1-i 2 0201-i =1-i4×5051-i=0.]二、填空题8.复数z =(1+2i)(3-i),其中i 为虚数单位,则z 的实部是________. 5 [因为z =(1+2i)(3-i)=3-i +6i -2i 2=5+5i ,所以z 的实部是5.] 9.已知a ∈R ,若1+a i2-i 为实数,则a =________. 【导学号:51062151】-12 [1+a i 2-i =+a+-+=2+i +2a i -a 5=2-a 5+1+2a5i.∵1+a i 2-i 为实数,∴1+2a 5=0,∴a =-12.] 10.已知复数z =x +y i ,且|z -2|=3,则yx的最大值为________. 3 [∵|z -2|=x -2+y 2=3,∴(x -2)2+y 2=3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max =31= 3.] B 组 能力提升 (建议用时:15分钟)1.已知复数z 1=-12+32i ,z 2=-12-32i ,则下列命题中错误的是 ( )A .z 21=z 2 B .|z 1|=|z 2| C .z 31-z 32=1D .z 1,z 2互为共轭复数C [依题意,注意到z 21=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i 2=1-34-32i =-12-32i =z 2,因此选项A 正确;注意到|z 1|=1=|z 2|,因此选项B 正确;注意到z 1=-12-32i =z 2,因此选项D 正确;注意到z 31=z 21·z 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i =1,同理z 32=1,因此z 31-z 32=0,选项C 错误.综上所述,选C.]2.设f (n )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i n +⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 1+i n (n ∈N *),则集合{f (n )}中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .无数个C [f (n )=⎝⎛⎭⎪⎫1+i 1-i n +⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 1+i n =i n +(-i)n ,f (1)=0,f (2)=-2,f (3)=0,f (4)=2,f (5)=0,…,∴集合中共有3个元素.]3.已知集合M ={1,m,3+(m 2-5m -6)i},N ={-1,3},若M ∩N ={3},则实数m 的值为________. 【导学号:51062152】3或6 [∵M ∩N ={3},∴3∈M 且-1∉M , ∴m ≠-1,3+(m 2-5m -6)i =3或m =3, ∴m 2-5m -6=0且m ≠-1或m =3, 解得m =6或m =3.]4.已知复数z 1=cos 15°+sin 15°i 和复数z 2=cos 45°+sin 45°i,则z 1·z 2=________.12+32i [z 1·z 2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i =12+32i.]。

高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与

高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与
第四章 平面向量、数系的扩充分与 复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.理解复数的基本概念;2.理解复数相等的充要条件;3.了 解复数的代数表示法及其几何意义;4.会进行复数代数形式的四则运算;5. 了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
基础自测
(1)任何数的平方都不小于0。( × ) 解析 错误。任何实数的平方都不小于0,而在复数集内,i2=- 1<0。 (2)方程x2+x+1=0没有解。( × ) 解析 错误。方程x2+x+1=0无实数根。 (3)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi。( × ) 解析 错误。复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为b。 (4)两个虚数的和还是虚数。( × ) 解析 错误。例如z1=1+i,z2=1-i是两个虚数,它们的和z1+z2= (1+i)+(1-i)=2是实数。
【解析】 (1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i。 ∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且 1-2a≠0,∴a=-2。
【规律方法】 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方 程(不等式)组即可。 (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部 和虚部。
2.复数的几何意义 (1)复平面的概念 当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为 复平面。 (2)实轴、虚轴 在复平面内,x轴叫做__实__轴____,y轴叫做__虚__轴___,实轴上的点都表示 __实__数____;除原点以外,虚轴上的点都表示_纯__虚__数___。 (3)复数的几何表示 复数 z=a+bi一―一―对→应复平面内的点___Z_(_a_,__b_) __

高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课件理

高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课件理
第六页,共33页。
(2)复数相等:a+bi=c+di⇔ a=c且b=d (a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭⇔ a=c,b=-d (a,b,c,d∈R). (4)复数的模: 向量O→Z的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi| =____a_2_+__b_2___.
3.(2017 届河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数 z=12+i i所对应的点关于实
轴对称的点为 A,则 A 对应的复数为( )
A.1+i
B.1-i
C.-1-i
D.-1+i
解析:因为 z=12+i i=12+ii1-1-i i=i(1-i)=1+i,所以 A 点坐标为(1,-1),其
对应的复数为 1-i. 答案:B
那么B→C 表示的复数为( )
A.2+8i
B.2-3i
C.-4+4i
D.4-4i
第十三页,共33页。
解析:设 B 对应的复数为 a+bi,则由题意可得 A→B=O→B-O→A,
即 1+5i=a+bi-(-2+i)=a+2+(b-1)i, 所以 a+2=1,b-1=5, 所以 a=-1,b=6,故 B 对应的复数为-1+6i. 那么B→C表示的复数为 3+2i-(-1+6i)=4-4i.故选 D. 答案:D
第二十二页,共33页。
求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有 关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即 a+bi(a, b∈R)的形式,再根据题意求解.
第二十三页,共33页。
复数的代数(dàishù)运算
[题 组 训 练]

新课程2021高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第4讲数系的扩充与复数的引入课件

新课程2021高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第4讲数系的扩充与复数的引入课件

(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=
□04 z2+z1
□ ,(z1+z2)+z3= 05 z1+(z2+z3) .
(3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意 z1,z2,z3∈C,
□ □ □ 有 z1·z2= 06 z2·z1 ,(z1·z2)·z3= 07 z1·(z2·z3) ,z1(z2+z3)= 08 z1z2+z1z3 .
=0,a+2≠0,所以
a=2.所以“a=2”是“复数
a+2i-1+i
z=
i
(a∈R)
为纯虚数”的充要条件.故选 C.
3-i 3.(2019·全国卷Ⅰ)设 z=1+2i,则|z|=( )
A.2 C. 2
B. 3 D.1
答案 C
3-i 3-i1-2i 1-7i 解析 ∵z=1+2i=1+2i1-2i= 5 ,
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲在高考中属于必考内容.预 测 2021 年将会考查:①复数的基本概念与四则运算;②复数模的计算;③ 复数的几何意义.题型为客观题,难度一般不大,属于基础题型.
1
PART ONE
基础知识过关
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集 C 与
B.35+45i
C.1+45i 答案 B
D.1+43i
解析 因为复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i, 所以 z2=2-i,所以zz12=22+ -ii=2+5 i2=35+45i,故选 B.
m+i 2.(2019·长沙一模)在复平面内表示复数m-i的点位于第一象限,则实数

高三数学一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入课件

高三数学一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入课件

3 个结论——复数代数运算中常用的三个结论
(1)(1±i)2=±2i;11-+ii=i;11+-ii=-i; (2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*。
1.已知 a∈R,i 为虚数单位,若(1-2i)(a+i)为纯虚数,则 a 的值等于( )
□ (2)复数 z=a+bi
一一对应 ――→
15
_平__面__向__量__O_→_Z__(a,b∈R)。
3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)则:
□ ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= 16 _(_a_+__c_)_+__(b_+__d_)_i___;
解析:由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根据两复数相等的充要条件得 a=1, b=-1。
答案:D
3.i 是虚数单位,复数54+-3ii=(
)
A.1-i B.-1+i
C.1+i D.-1-i
解析:54+-3ii=54+-3ii44++ii=20+51i+6-12i2i+3i2=17+1717i=1+i。 答案:C
第四节 数系的扩充与复数的引入
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件。 考 纲 2.了解复数的代数表示法和几何意义,会进行复数代数形式的四则 导 学 运算。
3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
□ ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= 17 _(_a_-__c_)_+__(b_-__d_)_i___;

高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入432平面向量数量积的应用课件苏教版

高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入432平面向量数量积的应用课件苏教版

因此△ABC 的面积的最大值为3
2+3 2.
方法技巧 向量与三角函数综合应用 1解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的 坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决. 2还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、 夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识.
λA→B+μA→D,∴1+ 22cosθ,1+ 22sinθ=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),
∴λ=1+
22cosθ,μ=1+
22sinθ,
∴λ+μ=1+
22cosθ+1+
2 2
sinθ=2+ 22(cosθ+sinθ)=2+sinθ+π4,当 sinθ+π4=1 时,λ+μ 取得最大值,最大值为 3,故选 A.
设 O 为△ABC 所在平面上一点,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,则
(1)O 为△ABC 的外心⇔|O→A|=|O→B|=|O→C|=2sianA. (2)O 为△ABC 的重心⇔O→A+O→B+O→C=0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔O→A·O→B=O→B·O→C=O→C·O→A. (4)O 为△ABC 的内心⇔aO→A+bO→B+cO→C=0.
考点四 平面向量中的最值、范围问题
【例 4】 (1)(2020·武汉调研)设 A,B,C 是半径为 1 的圆 O 上的
三点,且O→A⊥O→B,则(O→C-O→A)·(O→C-O→B)的最大值是( A )
A.1+ 2
B.1- 2
C. 2-1
D.1
(2)已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量,若非零向量 a 与 e 的
(2)因为|B→A-B→C|= 6,所以|C→A|= 6,即 b= 6,根据余弦

高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课时提升作业理

高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课时提升作业理

数系的扩充与复数的引入(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·安徽高考)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)= ( )A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i【解析】选C.因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i,所以选C.2.(2016·南昌模拟)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z= ( )A.-2iB.2iC.-4iD.4i【解析】选C.由题意,得zi=4,所以z==-4i.3.(2016·泸州模拟)若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则a= ( )A.2015B.2016C.-2015D.-2016【解析】选B.因为===[(a-2016)-(a+2016)i]为纯虚数,所以a-2016=0,a+2016≠0,即a=2016.【加固训练】若(m2+mi)-(4-2i)是纯虚数,则实数m的值为( )A.0B.±2C.2D.-2【解析】选C.因为(m2+mi)-(4-2i)=(m2-4)+(m+2)i是纯虚数,所以解得m=2.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了i的系数不为0.4.设复数w=,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为( )A.-B.-C.D.【解析】选A.w====[(a+1)2-(1-a)2+2(a+1)(1-a)i]=a-i.由题意知a=2,故w的虚部为-=-=-.【加固训练】(2014·湖北高考)i为虚数单位,= ( )A.-1B.1C.-iD.i 【解析】选A.===-1.5.(2014·辽宁高考)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z= ( )A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i【解析】选A.由(z-2i)(2-i)=5得z=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i. 【一题多解】本题还可以采用如下解法:选A.设z=a+bi(a,b∈R),则由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i===2+i,又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i,所以a+(b-2)i=2+i,所以得故z=2+3i.6.(2016·石家庄模拟)下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1.其中的真命题为( )A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4【解析】选C.z====-1-i,所以|z|==,p1不正确;z2=(-1-i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3不正确;显然p4正确.7.(2016·大同模拟)若复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为(1,4),则( )A.a=,b=B.a=,b=C.a=9,b=2D.a=2,b=9【解析】选C.因为===1+4i,所以解得a=9,b=2.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.【加固训练】(2016·泉州模拟)复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选 A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可采用如下解法:z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·重庆高考)复数(1+2i)i的实部为.【解析】(1+2i)i=-2+i,所以实部为-2.答案:-29.(2016·郑州模拟)= .【解析】原式===(-i)3=i.答案:i10.(2015·上海高考)若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z= .【解题提示】令z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等转化为实数运算.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为3z+=1+i,所以3(a+bi)+a-bi=1+i,即4a+2bi=1+i,所以即所以z=+i.答案:+i(20分钟40分)1.(5分)(2015·上海高考)设z1,z2∈C,则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当z 1-z 2是虚数时,z 1,z 2中至少有一个数是虚数成立,即必要性成立;当z 1,z 2中至少有一个数是虚数,z 1-z 2不一定是虚数,如z 1=z 2=i,即充分性不成立.【加固训练】(2016·重庆模拟)设z 1,z 2是复数,则下列命题中的假命题 是 ( ) A.若|z 1-z 2|=0,则=B.若z 1=,则=z 2 C.若=,则z 1·=z 2·D.若=,则=【解析】选D.设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R).选项具体分析 结论 A若|z 1-z 2|=0,则=0,所以a=c,b=d,即z 1=z 2,故=正确B 若z 1=,则a=c,b=-d,所以=z 2正确C 若|z 1|=|z 2|,则a 2+b 2=c 2+d 2,所以z 1·=z 2·正确 D=(a 2-b 2)+2abi,=(c 2-d 2)+2cdi,在a 2+b 2=c 2+d 2的前提下不能保证a 2-b 2=c 2-d 2,2ab=2cd错误2.(5分)(2015·江苏高考)设复数z 满足z 2=3+4i(i 是虚数单位),则z 的模为 .【解题提示】首先利用复数相等的概念求出复数z 的代数形式,然后利用复数的模的公式计算即可. 【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),所以z 2=(a+bi)2=(a 2-b 2)+2abi,因为z 2=3+4i,根据复数相等的定义知解得所以==.答案:3.(5分)已知复数z 1=2+i,z 2=1-2i,且=+,则z 的共轭复数为 .【解析】因为z 1=2+i,z 2=1-2i, 所以=+=+=+=,所以z====-i,故z的共轭复数为+i.答案:+i4.(12分)解答下列各题.(1)计算·i.(2)若复数z与(z+2)2-8i都是纯虚数,求.【解析】(1)·i=i===-i=-i=-i.(2)设z=bi(b∈R且b≠0),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=b2i2+4bi+4-8i=(4-b2)+(4b-8)i由题意,得解得b=-2,所以z=-2i,=2i.【加固训练】若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根据条件①②列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.【解析】存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a+b i.又z+3=a+3+bi的实部与虚部互为相反数,z+是实数,根据题意有因为b≠0,所以解得或所以z=-1-2i或z=-2-i.5.(13分)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-i是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)由复数相等列关于b,c的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+i)2+b(1+i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2+b)i=0,则解得即b=-2,c=3.(2)由(1)得方程为x2-2x+3=0,把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+3=1-2i+2i2-2+2i+3=1-2-2+3=0,即1-i满足方程x2-2x+3=0,所以1-i是所给方程的根.。

2021年高考数学新一轮复习 专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入(文、理)

2021年高考数学新一轮复习 专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入(文、理)

2021年高考数学新一轮复习 专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入(文、理)1.对任意两个非零的平面向量α和β,定义α∘β=α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2,且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2|n ∈Z 中,则a ∘b = ( )A.52B.32C .1D.12 2.设a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则“ab =0”是“复数a +bi为纯虚数”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.设向量a =(1,cos θ)与b =(-1,2cos θ)垂直,则cos2θ等于( )A.22B.12C .0D .-14.若复数=1+i(i 为虚数单位),是z 的共轭复数,则z 2+2的虚部为( )A .0B .-1C .1D .-25.△ABC 中,AB 边的高为CD ,若CB →=a ,CA →=b ,a ·b =0,|a |=1,|b |=2,则AD → =( )A.13a -13bB.23a -23b C.35a -35b D.45a -45b 6.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE →·CB →的值为________;DE →·DC→的最大值为________.7.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP →的坐标为________.8.如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF→=2,则AE →·BF →的值是________.9.设向量a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ).若(a +c )⊥b ,则|a |=________. 10.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足|BM →||BC →|=|CN →||CD →|,则AM →·AN →的取值范围是__________.专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1.D a ∘b =a ·b b ·b =|a |·|b |cos θ|b |2=|a |cos θ|b |, 同理有b ∘a =|b |cos θ|a |, a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中, 即2|a |cos θ|b |和2|b |cos θ|a |是整数, 取θ=π3,则|a ||b |和|b ||a |是整数,则|a ||b |=|b ||a |=1, 则a ∘b =12. 2.B ab =0,即a =0,或b =0或a =0且b =0, a +b i =a -b i 为纯虚数,∴a =0且b ≠0.由小范围是大范围成立的充分不必要条件. ∴“ab =0”是“a +b i”为纯虚数的必要不充分条件. 3.C a =(1,cos θ),b =(-1,2cos θ),∵a ⊥b ,∴a ·b =-1+2cos 2θ=0.∴-1+1+cos2θ=0,即cos2θ=0.4.A z 2+2=(1+i)2+(1-i)2=2+2i 2=0.5.D ∵AD →=AC →+CD →,CD →=CB →+BD →,AB →=CB →-CA →=AD →+DB →,∴AD →=45a -45b ,故选D. 6.1 1 DE →·CB →=(DA →+AE →)·CB →=DA →2+AE →·CB →=DA →2+0=1,DE →·DC →=|DE →|·|DC →|cos 〈DE →,DC →〉=cos 〈DE →,DC →〉≤1.当且仅当cos 〈DE →,DC →〉=1,即〈DB →,DC →〉=π2时取“=”号. 7.(2-sin2,1-cos2) 如图:x =2-cos(2-π2)=2-sin2,y =1+sin(2-π2)=1-cos2,故P (2-sin2,1-cos2),∴OP →=(2-sin2,1-cos2).8. 2 由AB →·AF →=AB →·(AD →+DF →)=2得|DF →|=1,再由AE →·BF →=(AB →+BE →)·(BC →+CF →)易求.9. 2 a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ),a +c =(3,3m ),由(a +c )⊥b ,知(a +c )·b =(3,3m )·(m +1,1)=0,∴3(m +1)+3m =0,∴m =-12,∴a =(1,-1),|a |= 2.10.[1,4]矩形如图所示设|BM →||BC →|=λ(0≤λ≤1), 则BM →=λBC →,CN →-λCD →,∴DN →=(λ-1)CD →,∴AM →·AN →=(AB →+BM →)·(AD →+DN →)=AB →·AD →+BM →·AD →+AB →·DN →+BM →·DN →=0+λBC →·AD →+AB →·(λ-1)CD →+0=λ|BC →||AD →|+(λ-1)×(-1)|AB →||DC →|=λ×12-(λ-1)×22=4-3λ.又0≤λ≤1,∴1≤4-3λ≤4,即AM →·AN →的取值范围为[1,4].26662 6826 栦30319 766F 癯P32467 7ED3 结25408 6340 捀s34700 878C 螌T>20134 4EA6 亦25769 64A9 撩O28448 6F20 漠31043 7943 祃37740 936C 鍬。

2021届高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第四节数系的扩充与复数的引入课件文北师大版

2021届高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第四节数系的扩充与复数的引入课件文北师大版

运算名称
符号表示
语言叙述
加减法 z1±z2=(a+bi)±(c+di)= _(_a_±__c_)+__(_b_±__d_)i_
乘法
z1·z2=(a+bi)(c+di)= _(_a_c_-__b_d_)_+__(a_d_+__b_c_)_i_
把实部、虚部分别相加减
按照多项式乘法进行,并把 i2 换 成-1
A.-1+2i
B.1-2i
C.3+2i
D.3-2i

[解析] 由 z+i=3-i 得 z=3-2i,所以z=3+2i,故选 C.
[答案] C

(2)若复数 z 满足 2z+z=3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z=( )
A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i



[解析] 设 z=a+bi,a,b∈R,则z=a-bi,2z+z=3a+bi,又 2z+z=3-2i,
所以 3a+bi=3-2i,故可得 a=1,b=-2,即 z=1-2i.故选 B.
[答案] B
[破题技法] 共轭复数的运算性质
--
(1)zz=|z|2=|z|2.

(2)|z|=1⇔z·z=1.

(3)非零复数 z,则 z 为纯虚数⇔z+z=0.
(4)zz1-2 =zz1-2,z1·z2-=z1-·z2-.
)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案:A 4.(基础点:复数的模)复数 z=37++4ii,其中 i 为虚数单位,则|z|=________.
答案: 2
考点一 复数的概念
挖掘 1 复数的认识/ 自主练透
[例 1] (1)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( )
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(4)复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是O→Z1-O→Z2=Z→2Z1所对应的 复数.
1.思考辨析
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)方程 x2-x+1=0 没有解.( × ) (2)复数 z=3-2i 中,虚部为-2i.( × ) (3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × ) (4)若 a∈C,则|a|2=a2.( × )
【例 1】 (1)(2020·贵州适应性考试)已知 i 为虚数单位,若复数 z
=12+ 23i,则复数1z的虚部为( B )
A.-
3 2i
B.-
3 2
3 C. 2 i
3 D. 2
(2)(2020·广东七校联考)设 a∈R,复数 z=a3-+ii(i 是虚数单位)的实
部为 2,则复数 z 的虚部为( C )
所以12-12i= 122+-122= 22,故选 D.
方法技巧
1.已知 i 为虚数单位,则复数11-+3ii=( C )
A.2+i
B.2-i
C.-1-2i
D.-1+2i
解析:复数11-+3ii=11-+3ii11--ii=-22-4i=-1-2i.故选
C.
2.11+-ii6+
2+ 3-
3i= 2i
虚部 .若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0 且 b≠0 ,则 a+bi 为纯虚数. 2.复数相等:a+bi=c+di⇔ a=c 且 b=d (a,b,c,d∈
R).
3.共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭⇔ a=c,b=-d (a,b,c,
d∈R). 4.复数的模 向量O→Z的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作
(4)因为(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i 是纯虚数,所以 2-m =0,且 1+2m≠0,解得 m=2.
(5)依题意,复数 z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实 数,因此 4-a=0,a=4.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 复数的概念
( C)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)11+-22ii=( D )
A.-45-35i
B.-45+35i
C.-35-45i
D.-35+45i
(3)若复数 z=1+a i+1 为纯虚数,则实数 a=( A )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
(4)i 为虚数单位,若复数(1+mi)(i+2)是纯虚数,则实数 m 等
考点二 复数的几何意义
【例 2】 (1)在复平面内,复数1-1+i2i+1对应的点在( B )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)(2019·全国卷Ⅰ)设复数 z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点
为(x,y),则( C )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
A.- 2
B.-1
C.1
D. 2
解析:z=1a--ii11++ii=a+2 1+a-2 1i. 由题意,得a+2 1=0 且a-2 1≠0,解得 a=-1.
2.若复数 z 满足 i·z=-12(1+i),则 z 的共轭复数的虚部是( C )
A.-12i
1 B.2i
C.-12
1 D.2
解析:由题意,得 z=-12·1+i i=-12·i1i+2 i=-12+12i,所 以 z 的共轭复数的虚部是-12,故选 C.
-1+i
.
解析:原式=1+2 i26+
2+ 3i 3+ 32+ 22
2i
=i6+
6+2i+3i- 5
6=-1+i.
则运算.
填空题为主,多为运算题型,属
5.了解复数代数形式的加、 容易题、送分题.
减运算的几何意义.
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律 课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一
复数的概念
1.复数的概念
形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和
为( A )
A.-1,-12 C.-12,1
B.1,-12 D.-12,-1
解析:复数 z 满足(1-i)2·z=1+2i,则 z=11+-2ii2=1-+22ii= 1-+22ii2i=-22+i=-1+12i,所以 z =-1-12i,即复数 z 在复平面 内对应的点为-1,-12,故选 A.
acc2+ +bd2d+bcc2- +add2 i
(c+di≠0).
2.复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1
+z2=
z2+z1
,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .
注意以下结论: (1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*); i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
【解析】 (1)由题意得1-1+i2i+1=11-+2ii=-15+35i,该复数 在复平面内所对应的点位于第二象限.故选 B.
(2)解法 1:∵z 在复平面内对应的点为(x,y),∴z=x+yi(x, y∈R).∵|z-i|=1,∴|x+(y-1)i|=1,∴x2+(y-1)2=1.故选 C.
解法 2:∵|z-i|=1 表示复数 z 在复平面内对应的点(x,y)到 点(0,1)的距离为 1,∴x2+(y-1)2=1.故选 C.
(2)z=a3- +ii=a3- +ii33- -ii=3a-1-10a+3i,
则3a1-0 1=2,则 a=7,所以复数 z 的虚部为-1a0+3=-1,
故选 C.
(3)因为b2+ +ii=2b++ii22--ii=2b+1+52-bi为纯虚数,所以
2b+1=0, 2-b≠0,
解得 b=-12,故选 B.
|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2 .
知识点二
复数的几何意义
1.复数 z=a+bi
复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R).
2.复数 z=a+bi(a,b∈R)
平面向量O→Z.
知识点三
复数的运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
解法 3:在复平面内,点(1,1)所对应的复数 z=1+i 满足|z- i|=1,但点(1,1)不在选项 A,D 的圆上,∴排除 A,D;在复平 面内,点(0,2)所对应的复数 z=2i 满足|z-i|=1,但点(0,2)不在选 项 B 的圆上,∴排除 B.故选 C.
方法技巧
1.已知复数 z 满足(1-i)2·z=1+2i,则复数 z 在复平面内对应的点
(2)z·z =|z|2=| z |2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,zz12=||zz12||,|zn|=|z|n. (3)复数加法的几何意义:若复数 z1,z2 对应的向量O→Z1,O→Z2不共 线,则复数 z1+z2 是以O→Z1,O→Z2为邻边的平行四边形的对角线O→Z所对 应的复数.
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入
最新考纲
考情分析
1.理解复数的基本概念.
1.本节是高考考查的重点内容,
2.理解复数相等的充要条件.主要考查复数的基本概念、复数
3.了解复数的代数表示法及 的几何意义、复数代数形式的四
其几何意义.
则运算等方面的内容.
4.会进行复数代数形式的四 2.命题形式多样化,以选择、
方法技巧 解决复数概念问题的方法及注意事项 1复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件的问题,只需把复数化为 a+bia,b∈ R的形式,列出实部和虚部满足的方程不等式组即可. 2解题时一定要先看复数是否为 a+bia,b∈R的形式,以 确定实部和虚部.
1.已知 a∈R,复数 z=a1--ii为纯虚数(i 为虚数单位),则 a=( B )
2.复数1+1 ai(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则 a 的取值
范围为( A )
A.a<0
B.0<a<1
C.a>1
D.a<-1
解析:由题意可得1+1 ai=1+1a2-1+aa2i,则1+1a2>0,- 1+aa2>0,由此可得 a 的取值范围为 a<0,故选 A.
考点三 复数的运算
【例 3】 (1)(2019·全国卷Ⅲ)若 z(1+i)=2i,则 z=( D )
(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ;
(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i

(3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ;
(4)除法:zz12=ac++dbii=ac++dbiicc--ddii=
于2.
(5)设复数 z1=2-i,z2=a+2i(i 是虚数单位,a∈R),若 z1z2∈R,
则 a= 4 .
解析:(1)由题意,得 z =-3-2i,其在复平面内对应的点为 (-3,-2),位于第三象限,故选 C.
(2)11+ -22ii=1-12+i21i+2 2i =-35+4i=-35+45i. (3)因为复数 z=1+a i+1=1+a1i-1i- i+1=a2+1-a2i 为纯虚 数,所以a2+1=0,且-a2≠0, 解得 a=-2.故选 A.
解析:(1)方程 x2-x+1=0 有复数解. (2)复数 z=3-2i 中,虚部为-2. (3)虚数不能比较大小. (4)若 a∈C,则|a|2 是实数,但 a2 未必是实数,所以|a|2 与 a2 不一定相等.
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