一维射影变换
高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换
的乘积．
➢ 注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递， 但透视一般是不可传递的．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
1 1
u1 u2
t1 t2
v1 v2
1 2
u1 u2
1 2
v1 v2
t1 t2
x vI x/ v/ II
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
令
u1 u2
t1 t2
v1 v2
t1 t2
，则
/1 /2
v21 u21
v12， u12
从而
u21 u12 /2
v21 v12 /1
c
证明：如图，设
p
(ab/)(a/b)，q
(bc/)(b/c)，
b a
s
t
q
r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)， p r
t (bc/)(ca/)，d /． d
因 {a/, p, s, b} a {a/, b/, c/, d} c {t, q, c/, b}a，/ b/ / c/
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 例1 设 abcd 为平行四边形，过顶点 a 作直线
ae 与对角线 bd 平行．证明：直线 ab、ad
与直线 ac、ae 成调和共轭．
证明：因 ae 与 bd 平行，故 a
设二者交点为无穷远点 p．
o
p e
d
记(ac)(bd) o．则
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
Hale Waihona Puke 次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 同类一维基本形间的透视：
若两个点列是同一线束的 若两个线束是同一点列的
截影，则称这两个点列是 投影，则称这两个线束是
透视的．
透视的．
线束的心称为透视中心． 点列的底称为透视轴．
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
11 0 0 11
一维射影变换
§ 6.1 一维基本形的射影对应
例3. 如果三点形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同 一直线上的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶点A也在一条定直线上. 证明 显然,
(B,B1,B2,…) 于是, R(B,B1,B2,…)
(P )
(C,C1,C2,…) Q(C,C1,C2,…)
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(4) Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三对相异 的对应元素, 求作任一元素的对应元素.
(5) 思考：将(4)中 “点列” 改为 “一维基本形”. (6) 定理2.2 两个一维基本形间的射影对应可由已知相 异的三对对应元素唯一确定.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(3). 线束↔线束. 对应直线交点共线.
S (a, b, c,...)
(s)
S ' (a' , b' , c' ,...)
透视轴
注
(1)透视关系具有对称性，但它不具有传递性. (2) 透视对应是一个保交比的双射. (3) 连续两次透视对应的结果不一定仍是透视对应 .
§ 6.1 一维基本形的射影对应
一、透视对应(中心射影)
定义 以下三种对应称为一维基本形之间的透视对应
(1). 点列↔线束. 对应元素是关 联的.
s( A, B, C ,...) S (a, b, c,...)
透视中心
(2). 点列↔点列. 对应点连线共点.
s( A, B, C ,...)
(S)
s' ( A' , B' , C' ,...)
A恰为上述两射影点列对应直线 的交点.
第三章射影变换
第三章 射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。
然后在此基础上，讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换，以及二维射影对应和射影变换，还定义了一维和二维射影坐标。
§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ，B ，C ，D 的交比等于单比（ABC ）与单比（ABD ）的比，记作：（AB ，CD ），即（AB ，CD ）=)()(ABD ABC其中A ，B 叫基点偶，C ，D 叫分点偶。
交比又称交叉比和复比。
由交比和单比的定义，我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(， 其中AC ，BC ，AD ，BD 是有向线段的数量。
我们不难得出：（1） 点偶C ，D 不分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹥0； （2） 点偶C ，D 分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹤0； （3） 当C ，D 重合时，（AB ，CD ）=1； （4） 当A ，C 重合时，（AB ，CD ）=0。
定理1.1 基点偶与分点偶交换，交比值不改变，即 （AB ，CD ）=（CD ，AB ） 证明 由定义1.1，（CD ，AB ）=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变成原来的交比值的倒数，即（BA ，CD ）=（AB ，DC ）=),(1CD AB证明（AB ，DC ）=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又（BA ，CD ）=（CD ，BA ）=),(1),(1CD AB AB CD =推论 同时交换每个点偶里的字母，交比的值不改变，即 （AB ，CD ）=（BA ，DC ） 定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即（AC ，BD ）=（DB ，CA ）=1－（AB ，CD ）证明（AC ，BD ）AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1－（AB ，CD ）共线四点1，2，3，4一共有4！=24中不种的排列，所以有24个交比，根据交比的运算性质，它们只有6个不同的交比值，即（12，34）=（34，12）=（21，43）=（43，21）=m（21，34）=（34，21）=（12，43）=（43，12）=m1（13，24）=（24，13）=（31，42）=（42，31）=1－m（13，42）=（42，13）=（31，24）=（24，31）=m-11（14，23）=（23，14）=（41，32）=（32，41）=1－m 1（14，32）=（32，14）=（41，23）=（23，41）=1-m m例1 已知（P 1P 2，P 3P 4）=3，求（P 4P 3，P 2P 1）和（P 1P 3，P 2P 4）的值解 （P 4P 3，P 2P 1）= （P 2P 1 ，P 4P 3）=（P 1P 2，P 3P 4）=3 （P 1P 3，P 2P 4）=1－（P 1P 2，P 3P 4）=1－3=－2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。
《高等几何》课程学习指南
《高等几何》课程学习指南一、课程目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。
二、课程主要内容结构以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分：1、射影平面。
包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。
2、射影变换。
包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。
射影变换
简介
由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换。 一维射影变换 由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换。 二维（高维）射影变换 因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些 变换都是射影变换。
射影变换
数学术语
01 简介
03 05 相关知识
目录
02 交比 04 仿射变换
由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换。由有限次中心射影的积定义的 两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换。
因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些 变换都是射影变换。
仿射变换
仿射变换是射影变换的特殊情况，当定义中心射影的线束为互相平行的直线时，变换称为仿射变换，由于线 束中的直线互相平行，显然，仿射变换保持交比不变。
仿射变换
相关知识
射影平面
射影平面就是2维射影空间。它可以视为平面添上一条无穷远直线。它是代数几何、射影几何里最基本的对象。
对射影平面的理解是从局部到整体的扩展过程。先从无穷远元素、射影直线的理解入手，再到射影平面定义 的理解，最后利用射影平面的模型来揭示射影平面的结构，想象它的形状，帮助初学者更好地理解射影平面的结 构与性质。在射影几何的基本内容中，初学者对射影平面尤感兴趣，但又觉得其极为抽象、难以理解，这主要是 与我们的直观认识不一致引起的。因此，从射影平面上的无穷远点、无穷远直线、射影直线的理解入手，在理解 这些抽象概念的同时，即理解射影平面上元素的特点，接着理解射影平面的定义，最后给出射影平面的模型以帮 助理解射影平面的形象。
高等几何_南京师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
高等几何_南京师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.一维射影变换是答案:椭圆型对合2.两个点列之间的射影对应是由答案:三对对应点唯一确定3.已知共线四点的交比, 则交比答案:4.点的齐次线坐标方程为答案:5.以下四条直线上的无穷远点与其他三条上无穷远点不同的是答案:6.射影平面上，三条互异直线最多把平面划分为个不同部分答案:7.已知共线四点A,B,C,D 是一个调和点组，任意调整四点顺序所得交比不会出现的是答案:8.仿射几何的基本不变量是答案:单比9.射影几何的基本不变量是答案:交比10.二次曲线的射影分类总共可分为类。
答案:511.两射影线束，，生成的二阶曲线方程为.答案:正确12.圆的任意一条切线截其四条相异的定切线所得截点的交比是定值。
答案:正确13.非退化二阶曲线的任一内接三点形每一顶点处的切线与对边的交点三点必共线.答案:正确14.设为非退化有心二阶曲线的两条直径，又为其两条渐近线，则为的一对互异共轭直径当且仅当。
答案:正确15.在射影仿射平面上，非退化二阶曲线为椭圆的充要条件是其与无穷远直线相切。
答案:错误16.直线关于二阶曲线的极点坐标为。
答案:错误17.直线是非退化二阶曲线的直径的充要条件是关于的极点为无穷远点。
答案:错误18.在射影平面上，一条二阶曲线上必有无三点共线的相异五点。
答案:错误19.两个不同底的成射影对应的点列对应点的连线的集合构成一条非退化二级曲线。
答案:错误20.两个不同束心的成射影对应的线束对应直线的交点的集合构成一条二阶曲线。
答案:正确21.在射影仿射平面上，任一非退化二阶曲线皆有两条相异的渐近线。
答案:错误22.非退化二阶曲线的任一外切简单四线形的两条对角线和两组对边上的切点的连线必共点。
答案:正确23.对射影仿射平面上的二阶曲线，若，则二阶曲线为椭圆。
答案:错误24.平面上任意五点可确定唯一一条非退化二阶曲线。
答案:错误25.平面上五条直线（其中无三线共点）可确定唯一一条非退化二级曲线。
一维射影变换
一维基本形的射影变换
2、一维射影变换的性质
(1). 双曲型、椭圆型射影变换
定理. 对于双曲、椭圆型射影变换，任一对相异的对应元 素与两个不变元素的交比为定值，该定值称为双曲、椭圆型射 影变换的特征不变量.
证明 设X, Y为两个不变元素, PP'为任一对相异的对应元 素. 设X, Y, P, P'的坐标依次为x, y, x+y, x+y. 则这四元素的参 数依次为0, , 1, . 于是 0 0 a ' b c ' d 0 d 0. 1 1 1 ab c d 0 a 0. ' ' b 1 b c 0 . c 1 c ( XY , PP ') 常数。 从而, b
a a
( ) ( ) 2 0, a a
1 c 于是 k a 是常数。
c c
一维基本形的射影变换
例1 设A, B, C为相异的共线点且有 (A, B, C, P, Q, R) (B, C, A, Q, R, X). 求证：X=P. 证明. 因为 A B 所以 (AB, CP) = (BC, AQ) =(CA, BR) = (AB, CX) . 从而有X=P. B C C A P Q Q R R X
1、一维射影变换的分类 设有射影变换 a ' b c ' d 0 (ad bc 0) (*) 若存在 0 R, 使a02+(b+c)0+d=0, 则称A+0B为的一个不变元素. 定理. 在实-复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一个 不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素.
第二章 射影变换-第五节 一维基本形的对合课件ppt课件
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.5 一维基本形的对合
一、定义
定义2.11. 两个成射影对应的重叠的一维基本形中, 若对任意一 个元素, 无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的 元素, 其对应元素相同, 则称这种非恒同的射影变换为一个对合. 定义2.11'. 设f 为一维基本形[π]上的一个非恒同的射影变换. 若 对任意的x∈[π], 都有f(x)=f–1(x), 则f 称为[π]上的一个对合. 注 (1). 对合非恒同. (2). 对合是特殊的射影变换.
§ 2.5 一维基本形的对合
一、定义 二、代数表示
1、参数形式
定理2.20 一维基本形[π]上的一个变换f 为对合f 的任一对对 应元素的参数λ,λ' 满足双线性方程 a 'b( ' ) d 0. (ad b2 0) (2.15) 注 (1). 这里指取定基元素A≠B, 对应元素为A+λB↔A+λ'B.
(2). 从对应式可见λ,λ'的地位完全平等. 故无论将一个已知元 素的参数λ0代入到λ的位置求 λ'(求f 下的像), 还是代入到λ'的求λ (求f –1下的像), 其结果相同. 这恰为对合的本质特征, 故可作为对 合的参数定义.
§ 2.5 一维基本形的对合
一、定义 二、代数表示
1、参数形式 2、坐标形式
将实数轴添加无穷远点, 并令在 f 下, 无穷远点与自己对应, 则 f 是点列上的射影变换, 具有如下性质： 无论将x作为第一 x' f ( x) x. l(P) 或第二基本形的元素， x R, 视x l'(P') 1 x' f ( x) x. 其对应元素相同.
第二章 射影变换-第五节 一维基本形的对合课件ppt课件
( AB, DP) ( BA, CP)
注：若未指定R, 则当A在平面上 变动时, 可得到l(P)上以X, Y为不变 元素的任意多的对应点偶.
§ 2.5 一维基本形的对合
例5 (P.79, Ex. 5)设A, B, C, D是共线点且(AB, DP)=(AB, PC). 求 证：P有两种可能位置且与A, B调和共轭. 证明. 因为
( AB, DP) ( AB, PC)
定理2.23 任一对合必有两个相异的不变元素, 即任一对合不 是双曲型即是椭圆型, 不存在抛物型对合. 定理2.24 一维射影变换f 成为对合f 有两个相异的不变元素, 且任一对相异的对应元素被两个不变元素调和分离. 即假设f : (P)→(P')为对合, 且E, F为其两个不变元素. 则对f 的 任意一对对应元P, P'(P≠P'), 均有(PP', EF)=–1.
例2 设 ( A, B, C, D, E, F ) ( B, C, D, A, E, F ). 求证：E, F为由A↔C; B↔D所决定的对合的不变元素. 证明. 由题设, 有
A
B C
C D
D A
E E
F F
B
( A, C, B, E )
所以,
' P P 1 1,P 2P 3
( B, D, C, E )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(C, A, D, E ).
' P P 3 3
( AC, BE) (CA, DE).
' ' ' P P , P 1 1 2P 3 ( AC, BF) (CA, DF ).
同理, 由对合的几何条件, E, F为由A↔C; B↔D所决定的对合的不变元素. 由本例可见, 几何条件中, 也可以包含不变元素！
高等几何(第三、四章)
➢由于交比经中心射影后不变，故交比在透 视对应下保持不变。
➢透视关系是对称的，但不具有传递性。 ➢定义2.3.透视对应链即为射影对应。
射影对应具有传递性。
2.2 一维基本形的射影对应
➢定义2.3.透视对应链即为射影对应。 射影对应具有传递性。
➢定理2.1 两个点列间的一一对应是射影对 应的充要条件是：任何四个对应点的交比相 等。 必要性显然； 下面证明充分性；
P3
m2 m2
m3 m1
P1
m3 m2
m1 m1
P2 ,
P4
m2 m4 m2 m1
P1
m4 m2
m1 m1
P2 ,
P3
P1
m3 m2
m1 m1
m2 m2
m1 m3
P2 ,
P4
P1
m4 m2
m1 m1
m2 m2
m1 m4
P2 ,
m3 m1 m2 m1
(P1P2 , P3P4 )
设一个对应T保持任何四对对应点的交比不变,我们证明 T可由两个透视对应结合而成。
怎样才算证明了T可由两个透视对应结合而成？
要证明T的任何一对对应点均可由两个透视对应结合得 到。
设 D, D’是T的任何一对对应点，我们证明D’可由D经过 两次透视对应得到。
题目条件是T保持任何四对对应点的交比不变，现在只 有一对对应点，无法用此条件，故我们设出三对对应点：
B
ac
b
C
ca b
§2 一维射影变换
➢点列与线束统称为一维基本形，本节研究一维基 本形间的一种对应关系。
➢本节讲授的顺序与课本有所不同，我们的思路是 从三个不同的角度去刻画一维射影对应，这三个 角度分别为几何直观、本质性质以及代数的角度.
射影定理的内容
射影定理的内容射影定理是数学中一个经典的定理，它是代数几何中的基本定理之一，也是现代代数几何的核心内容。
本文将从射影空间、射影几何、射影变换以及射影定理等方面来详细介绍射影定理的内容。
一、射影空间射影空间是指一个由向量空间V中的所有一维子空间所构成的集合，记为P(V)。
在射影空间中，每个向量都对应着一个一维子空间，而一维子空间又可以看作是一个向量的所有倍数所组成的集合。
因此，射影空间中的点可以看作是向量的等价类。
射影空间的一个重要性质是它具有同构不变性，即不同的线性变换在射影空间中对应着相同的变换。
这个性质使得射影空间成为了研究几何图形的一个有力工具。
二、射影几何射影几何是指在射影空间中研究几何图形的一种数学分支。
在射影几何中，直线被定义为两个点之间的最小一维子空间，平面被定义为三个点之间的最小二维子空间，等等。
射影几何中的一个重要问题是如何描述一个几何图形。
一个几何图形可以被描述为一个射影空间中的子集，它的维数即为这个子集所在的最小子空间的维数。
三、射影变换射影变换是指从一个射影空间到另一个射影空间的一个双射，它保持了直线和点的性质。
射影变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵是一个非奇异的n+1阶方阵，其中n为射影空间的维数。
射影变换有一些重要的性质。
首先，任何射影变换都可以看作是一个仿射变换和一个伸缩变换的组合，其中仿射变换是指一个将直线变为直线的变换，伸缩变换是指一个将点变为点的变换。
其次，射影变换具有同构不变性，即不同的矩阵在射影空间中对应着相同的变换。
四、射影定理射影定理是代数几何中的一个重要定理，它将射影几何和射影变换联系了起来。
射影定理的内容如下：设X和Y分别为两个射影空间，f:X→Y是一个非常数的射影变换，那么f在X上的像集是一个在Y中的射影子空间。
这个定理的意义是，射影变换可以将一个射影空间中的子集映射到另一个射影空间中的子集，而这个映射后的子集仍然是一个射影子空间。
这个定理是代数几何中的基本定理之一，它在研究射影几何和射影变换中有着重要的应用。
一维椭圆型射影变换及其应用
（ ｅａｔ ｅｔｆ ｔｅ ａｃ ， ｉｊ ｎ ｎｖｒｔ， ｕ ｈｕＦｊ ｎ ５ １８ Ｃ ｉ ） Ｄ ｐｒ ｎ ｏＭａ ｍ ｔｓ Ｍ ｎｉ ｇＵ ｉ ｓｙ Ｆ ｚｏ ｕ ａ ０ ０ ， ｈｎ ｍ ｈ ｉ ａ ｅｉ ｉ ３ ａ
Ａ ｓ ａ ｔ ｎ ｔｅ ｐｅｅ ｔｐ ｐ ｒｗ ｏ ｓ ｅ ｈ ｈ ｒｃ ｒ ａ ｏ ｏ ｓ ｎ ｏ ｎ ｉ ｅ ｓ ｎｌ ｐｏｅｔ ｅ ｂ ｔ ｃ ：Ｉ ｈ ｒｓｎ ａ ｅ， ｅ ｃ ｎｉ ｒ ｔｅ ｃ ａａｔ ｉ ｔ ｎ ｃ ｎｔ ｔ ｆ ｏ ｅ ｄｍ ｎｉ ａ ｒ ｃ ｖ ｒ ｄ ｅ ｚｉ ａ ｏ ｊ ｉ
射影几何是研究图形在射影变换下 的不变性 质 与不变量的学科 ，它是大学数学课程 《 高等几 何》 的主要内容 。因此 ， 射影变换是射影几何的核 心概念之一 。 本文 中我们将只讨论一维射影变换 。
１ 一维 射 影变 换
称为是对合 ， 如果它满足 ｑ￣／ ， ） ｄ 但 ＝ 这里 ，
一 Ｉ ｌ
， －
，
ｆ）ｌｎ ）口ｎ≠ （ ／：ｌ ） ，Ｉ住 ０ １ ｆ口ｆ Ｊｌ ｛。 ） ｘ 口 Ｄ ｝
２ ＼ 】 ａ２ ／ ２ ¨ ／ Ｉ ２ ２ Ｉ ２ １ ２ ａ ａ
ｃｌ ＋ ２ ｌ １ ｈ 。２
ｉ ｍｌ０ 叻 ≠。 Ｉ
点 。在式 （ ） １ 中令 ＝ 得 ，
定理 ３ 设 是 直线 到 自身 的椭 圆型 射影 变换 ， ｐ是 它 的 ２个 共轭 的虚 二重 点 ， 对 任一 Ｐ， 则
对对 应点 对 ， － ， ， 有
＼ ｌ Ⅱ２ ¨ ／ ２ ２
ａ ｐａ ）１０ Ｎ １ － 。 － ２％
的原像点与像点 的齐次射影坐标。射影变换
一维射影几何基本定理
《聊聊一维射影几何基本定理》嘿，朋友们！今天咱来唠唠一维射影几何基本定理。
这名字听起来是不是有点高大上？别担心，听我慢慢给你解释。
咱先说说啥是一维射影几何吧。
其实啊，它就像是一个神秘的魔法世界，里面有很多奇妙的东西。
一维射影几何呢，就是研究一些在特定条件下的图形和关系。
比如说，一条直线上的点啦，或者两条直线的交点啦。
听起来有点抽象吧？没关系，咱接着往下说。
那这个一维射影几何基本定理又是啥呢？简单来说，它就像是一把钥匙，可以打开一维射影几何这个神秘世界的大门。
这个定理告诉我们一些关于直线上的点和它们之间关系的重要规则。
比如说，在一维射影几何里，点和线的关系可不是我们平常看到的那么简单哦。
有些点看起来很普通，但在特定的条件下，它们可能会有很神奇的作用。
就像一个默默无闻的小角色，突然变成了大英雄。
而且啊，这个基本定理还能帮助我们解决很多问题呢。
比如说，当我们遇到一些关于直线上的点的问题时，就可以用这个定理来找到答案。
就像有了一个超级厉害的工具，什么难题都能搞定。
咱再说说怎么理解这个定理吧。
最好的办法就是动手画一画。
拿一张纸，画几条直线，标上一些点，然后按照定理的要求去摆弄这些点和线。
这样一来，你就能更直观地感受到定理的魅力啦。
还有哦，别一个人闷头研究。
可以和朋友们一起讨论，大家一起想想这个定理到底是怎么回事。
说不定别人的想法能给你启发呢。
另外，学习一维射影几何基本定理可不能着急。
这就像一场冒险，得一步一步来。
先了解一些基本的概念，再慢慢深入学习定理。
别一下子想把所有东西都学会，那可不行。
总之啊，一维射影几何基本定理虽然有点神秘，但只要我们有耐心，多动手，多和别人交流，就一定能掌握它。
让我们一起走进这个神奇的世界，探索一维射影几何的奥秘吧！。
射影变换基础
1 T
1
1 1 1
1
k2 1 1 A2 B2 k . A2 B2 k1
k2 (k is a scalar) k1
MA B M so
1 1 1
1 1 1
1
k . A B2 ,
1 2
1 2
A B and A B2 are similar matrices
根据相似矩阵的性质，这两个矩阵具有相同 的特征值。再假定B1也为可逆矩阵，则相 应的特征值不为0，因此根据特征值两两相 除(消去标量k),则得到两个不变量。可见同 一平面两个非退化二次曲线有两个绝对不 变量，当存在退化情况时，有一个特征值 为0，因此只有一个不变量。
1 T
1
1 T
1
if A1 is invertable matrix , A1 M MA I , then k2 .B2 ( M ) B1 M k1 A2 .MA B M , so MA B M
1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 1
( M ) A1 M .MA B M
• 由有限次中心射影的积定义的两条直线间 的一一对应变换称为一维射影变换.
二维（高维）射影变换
Def3.2 由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对 应变换称为二维射影变换.
交比不变量
• Def 3.3 (交比）若A,B,C,D为直线L上任意四 点，则下式定义的R称为交比(cross ratio)
' ' ' '
线束的射影变换
• 平面上两个线束的射影变换及线束的交比。 如下图所示，平面上有两个线束O,O’，若 它们所有对应线的交点共线，则称这两个 线束的对应为中心射影。类似点列的射影 变换，有限次中心射影的积称为线束间的 射影变换。
第三章一维射影几何学
或者称为A，B两点所成的点偶与C，D两点所成的点偶
成调和共轭
例1：三角形的内角平分线与外角平分线 A
AB BD AC DC
AB BE AC EC
∴ D E
BC, DE 1
B C 定理6：设 AB, CD 1 0为CD的中点，则 0C 2 0 A 0 B
例1：已知点A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一 条直线上，试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标，使交比 （AB，CD）=－４ 解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合
x1 a1 b1
x2 a2 b2
x3 a3 0 b3
x =u a +v b A B
C
定义2 线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。 那个定点称为线束的心。
设 L1[a1 , a2 , a3 ], L2 [b1 , b2 , b3 ] 为过定点的直线 L [u1 , u2 , u3 ]
定理4：只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数
定理5：交换中间两点，则交比值转变为1与原值之差
由定理3~定理5可知：24个交比一般取六个不同的数值：
AB, CD BA, DC CD, AB DC, BA 1 （2） AB, DC BA, CD CD, BA DC , AB （3） AC, BD BD, AC CA, DB DB, CA 1 1 （4） AC , DB BD, CA CA, BD DB, AC
第二种情况
1
AC AD BC BD
AC BD ABC 1 AB, CD AD BC ABD
《高等几何》课程学习指南
《高等几何》课程学习指南一、课程目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。
二、课程主要内容结构以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分：1、射影平面。
包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。
2、射影变换。
包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。
射影变换、仿射变换、欧式变换、相似变换、等距变换
射影变换、仿射变换、欧式变换、相似变换、等距变换射影变换组成了⼀个群，这个群被称为射影变换群。
仿射变换是射影变换的⼦群。
欧式变换（旋转+平移+等⽐缩放）是仿射变换的⼦群。
相似变换和等距变换则是欧式变换的⼦群。
0.射影变换定义由有限次中⼼射影的积定义的两条直线间的⼀⼀对应变换称为⼀维射影变换。
由有限次中⼼射影的积定义的两个平⾯之间的⼀⼀对应变换称为⼆维射影变换。
性质——交⽐不变性如果平⾯上点场的点建⽴了⼀个⼀⼀对应，并且满⾜：（1）任何共线三点的象仍是共线三点；（2）共线四点的交⽐不变。
则这个⼀⼀对应叫做点场的射影变换，简称射影变换。
矩阵表⽰⽤H表⽰，H为3×3的可逆实矩阵，虽然有9个未知数，但只有8个⾃由度（只与具体⽐率有关），其中h31与h32不为0是它与仿射变换的本质区别，它使得仿射变换的⾮线性效应。
可以把⼀个H分解为：H=SAP,其中S为相似变换，A为仿射变换，P为射影变换。
变换前后共点，共线，交⽐，相切，拐点，切线的不连续性和岐点保持不变。
注：n×n可逆实矩阵称为⼀般线性群GL(n)，当把相差⾮零纯量因⼦的矩阵都视为等同时，便得到射影映射群，记为PL(n)，在平⾯射影变换时为PL(3)。
射影变换矩阵表⽰：H = { h11, h12, h13h21, h22, h23h31, h32, h33 }其中当最后⼀⾏为（0，0，1）时的变换为仿射变换，在仿射的前提下，当左上⾓2×2矩阵正交时为欧式变换，左上⾓矩阵⾏列式为1时为定向欧式变换。
1、等距变换：它相当于是平移变换和旋转变换的复合，⽤R表⽰变换矩阵，R为3×3矩阵，R={{r11,r12,tx},{r21,r22,ty},{0,0,1}}左上⾓2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因⼦，它有三个⾃由度，即旋转，x⽅向平移，y⽅向平移。
等距变换前后长度，⾯积，线线之间的⾓度都不变。
2.相似变换它相当于是等距变换和均匀缩放的⼀个复合，⽤S表⽰变换矩阵，S为3×3矩阵，S={{s*r11,s*r12,tx},{s*r21,s*r22,ty},{0,0,1}}左上⾓2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因⼦，它有4个⾃由度，即旋转，x⽅向平移，y⽅向平移和缩放因⼦s。
第四节射影对应代数表示
得 解得
1 2a11 a12 , 1 2a21 a22 , 2 4a11 a12 ,
2 4a21 a22 , 3 a11 , 0 a21
六个方程 七个未知数
a21 0, a22 1 2 , a11 3 , a12 1 23 1 43
即
a11 : a12 : a21 : a22 1 : 3 : 0 : 1 。
故所求对应为
x1 3 x2 x1 。 x2 2 x
例2 求射影对应, 分别将点(1, 1), (1, –1), (2, 1)变为 (–1, 1), (0, 1), (3, 1)。 解：所给各点的非齐次坐标为(1), (–1), (2)和(–1), (0), (3), 设所求对应为 a x x ’ + b x ’ + c x + d = 0，
l ( P , P' E , F ) l ' (V ,V ' E , F ' )
(P'')
l ' (V ,V ' E , F ' ) l (Q, Q' E , F )
从而
(Q'')
l ( P , P' E , F )
另法 由作图, 有
l (Q, Q' E , F )
于是 (PP’, EF)=(QQ’, EF). 从而E, F为两个不变点。
( XY , PQ) ( XY , P Q)
( XYP) ( XYP ) ( XYQ) ( XYQ) ( XYP ) ( XYQ) ( XYP ) ( XYQ)
( XY , PP) ( XY , QQ)
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( P ', Q ', E, F )
思考. 已知P, P'; Q, Q'为点列l(P)上双曲 型射影变换的两对相 异的对应点， E为一 个不变点, 如何作的 另一个不变点F？
所以, E, F为两个不变点.
一维基本形的射影变换
例3. 设点列l(P)上射影变换为抛物型的, E是不变点, P, P'为 一对相异的对应点, 且(P')=R. 求证：(EP', PR)= –1.
其中对应点的坐标是关于一维基本形[]上的同一坐标系取得的.
b. 齐次坐标表示 x1 ' a11 x1 a12 x2 x2 ' a21 x1 a22 x2
a11
a12
a21 a22
0,
0
其中对应点的坐标是关于一维基本形[]上的同一坐标系取得的.
一维基本形的射影变换
一维基本形的射影变换
例2 设P, P'与 Q, Q'为点列l(P)上射影变换的两对对应点, E 是不变点, V, V'是过E的直线l'上任意两点. PVP'V'=P'', QVQ'V'=Q''. 求证：P''Q''l=F为另一个不变点.
证明. 如图有
(V)
( P, Q, E, F )
( P '', Q '', F ', F )
一维基本形的射影变换
2、一维射影变换的性质
(1). 双曲型、椭圆型射影变换
定理. 对于双曲、椭圆型射影变换，任一对相异的对应元 素与两个不变元素的交比为定值，该定值称为双曲、椭圆型射 影变换的特征不变量.
证明 设X, Y为两个不变元素, PP'为任一对相异的对应元 素. 设X, Y, P, P'的坐标依次为x, y, x+y, x+y. 则这四元素的参 数依次为0, , 1, . 于是 0 0 a ' b c ' d 0 d 0. 1 1 1 ab c d 0 a 0. ' ' b 1 b c 0 . c 1 c ( XY , PP ') 常数。 从而, b
经过直接计算, 得(EP'的一个变换为射影变换其对应元素 的参数,' 满足一个双线性方程
a ' b c ' d 0
(ad bc 0)
(*)
即在一维基本形[]上取定基元素AB, 则对应元素为A+B A+'B.
一维基本形的射影变换 三、一维射影变换的分类与性质
a a
( ) ( ) 2 0, a a
1 c 于是 k a 是常数。
c c
一维基本形的射影变换
例1 设A, B, C为相异的共线点且有 (A, B, C, P, Q, R) (B, C, A, Q, R, X). 求证：X=P. 证明. 因为 A B 所以 (AB, CP) = (BC, AQ) =(CA, BR) = (AB, CX) . 从而有X=P. B C C A P Q Q R R X
证明 在(*)中, 令='. 则有一维射影变换的不变元素方程 a 2 (b c) d 0, (ad bc 0)
立刻可得结论. 据此可得一维射影变换的分类：
相异实根 相异实不变元 双曲型 0 0 (*)有两个相同实根 (*)有两个相同实不变元 称为抛物型 0 共轭虚根 共轭虚不变元 椭圆型
一维基本形的射影变换
(2). 抛物型射影变换 定理. 抛物型射影变换的不变元参数与任一对相异的对应 元素的参数, '满足 1 1 k. ' 1 1 证明. 要证明的式子等价于 ( ) ( ) 2 0. k k 令射影变换式为 a b c d 0. 因为α是自对应元的参数， 所以是方程 2 (b c) d 0 的重根，因此有 d bc 2 , 2 . a a c c 代入射影对应式得 (2 ) 2 0, 即
一维基本形的射影变换 一、一维射影坐标系
定义. 在射影直线 l 上取定一个有序三点组 P*、P0、E，则 称 [P*, P0, E] 为射影坐标系。直线 l 上任意一点 P 的非齐次射 影坐标规定为 x (P *P 0 , EP). 其中P0 叫原点，E叫单位点. 在这坐标系下， P0的非齐次射影坐标为0，E的非齐次射 影坐标为1， P*没有非齐次射影坐标。 如果把P*看成是无穷远点，则非齐次射影坐标就变成非 齐次仿射坐标，此时 P0 P x (P . *P 0 , EP) ( PEP 0) P0 E 如果把P*看成是无穷远点，且P0E=1，则非齐次射影坐标 就变成非齐次笛卡儿坐标，此时 x=P0P。 有了非齐次射影坐标系，就可定义齐次射影坐标系，P0 的齐次射影坐标为(0,1)，E的齐次射影坐标为(1,1)，并规定P* 的齐次坐标系为(1,0)。
1、一维射影变换的分类 设有射影变换 a ' b c ' d 0 (ad bc 0) (*) 若存在 0 R, 使a02+(b+c)0+d=0, 则称A+0B为的一个不变元素. 定理. 在实-复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一个 不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素.
( x1 x3 )( x2 x4 ) ( PP . 1 2, P 3P 4) ( x1 x4 )( x2 x3 )
注记. 交比的这个表达式与它在一维非齐次笛卡儿坐标系 下的表达式一样。
一维基本形的射影变换
2、一维射影变换的代数表示
(1). 坐标表示 a. 非齐次坐标表示
x' ax b , cx d ad cb
证明. 代数法. 设E, P', P, R的参数依次为1, 2, 3, 4. 由抛 物型射影变换的性质, 有
P P': P' R:
1 1 k. 3 1 2 1
1 1 k. 2 1 4 1
由此二式，得
2 1 1 . 2 1 3 1 4 1
一维基本形的射影变换 二、一维射影变换
1、一维射影变换的定义 定义. 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变 换. 即若 : [] [']，且[]=[']，则称为一维基本形[] 上的一个一维射影变换。 一维射影变换是特殊的射影对应. 一个一维射影变换可由不超过3次透视对应得到. 定理. 在一维非齐次射影坐标系下，交比的表达式为