山西省太原市第五十六中学校2020-2021学年高二第一次月考数学(理)试卷含答案
山西省太原市第五中学2020-2021学年高二下学期阶段性测试(4月)数学(理)试题
山西省太原市第五中学2020-2021学年高二下学期阶段性测试（4月）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面是关于复数12z =-的四个命题,其中真命题为( ) A ．z的虚部为2i B ．z 为纯虚数 C ．||2z = D ．2z z =2．下列求导数运算正确的是( )A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．()2cos 2sin x x x x '=- C ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．()2sin 22cos 2x x '=3．已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( ) A ．e -B ．1-C ．1D ．e 4．曲线2y x =与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为( ) A ．2ln 2B ．2ln 2-C ．4ln 2-D ．42ln 2- 5．函数()x x f x e=- (1)a b <<,则 ( ) A ．()()f a f b =B ．()()f a f b <C ．()()f a f b >D ．(),()f a f b 大小关系不能确定6．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A ．20B ．21C ．22D ．237．若函数()32132x a f x x x =-++在区间()1,2上单调递减,则实数a 的取值范围为( )A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．(2,)+∞8．定义运算a bad bc c d =-，则符合条件1142i z zi -=+（i 为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．用数学归纳法证明4221232n n n +++++=，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（ ）A ．21k +B ．()21k +C ．()()()222121k k k ++++++D ．()()42112k k +++10．已知函数2()x f x x e =,若函数2()()()1g x f x kf x =-+恰有两个零点,则k 的取值范围为( )A ．2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ C ．(2,)+∞D ．2222442,,44e e e e ⎛⎫⎛⎫+⋃++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题 11．若直线y x =与曲线()ln y x a =+相切,则a =________．12．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．13．设函数()()310f x ax a =+≠,若()()100f x dx f x =⎰,[]00,1x ∈,则0x 的值为________.14．若关于x 的不等式(2)(ln )0ax x ax -+≥在(0,)+∞上恒成立,则实数a 的取值范围是________．三、解答题15．命题“在Rt ABC ∆中,若90C ∠=︒,A ∠、B 、C ∠所对应的边长分别为a b c 、、,则222+=a b c ”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.16．若存在过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与曲线3y x =和曲线241y ax x =+-都相切,求实数a 的值.17．已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥． （1）1x =是函数()f x 的一个极值点,求k ;（2）求()f x 的单调区间.18．已知函数()()()11xf x m x mx e =---. （1）若1m =,求函数()()2g x f x x x =+-,0x >的最小值; （2）若()f x 在x a =处的切线斜率与m 无关,求a .参考答案1．D【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,因为12z =-,根据复数定义可知,故A 错误; 对于B,因为12z =-+,实部不为0,所以z 不为纯虚数,故B 错误; 对于C,因为12z =-+,所以||1z ==,故C 错误; 对于D, 12z =-,∴22131442z i z =+-=-=,故D 正确. 故选:D.【点睛】本题主要考查了复数相关概念,解题关键是掌握复数的基础知识,考查了理解能力,属于基础题.2．C【分析】利用导数的运算法则,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A ,因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,故A 不正确; 对于B ,因为()22cos 2cos sin x x x x x x '=-,故B 不正确; 对于C ,因为2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故C 正确; 对于D,因为(2sin 2)4cos 2x x '=,故D 不正确.故选:C.【点睛】本题主要考查了导数的运算法则,解题关键是掌握常见函数的导数的求法和导数的运算规则,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.3．B【分析】对函数进行求导，然后把1x =代入到导函数中，得到一个方程，进行求解．【详解】 对函数进行求导，得''1()2(1)f x f x=+把1x =代入得， ''(1)2(1)1f f =+直接可求得'(1)1f =-．【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是()1f '是一个实数． 4．D【解析】 曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形如图所示，图形的面积为4242221(1)(2ln )|42ln 22x dx x x x x --=--=-⎰，选D .考点：定积分的简单应用.5．C【分析】对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果.【详解】函数()x x f x e =- (1)a b <<,对函数求导得到()1,x x f x e-'=当x>1时，导函数大于0，函数单调增，当x<1时，导函数小于0，函数单调递减，因为1a b <<，故得到()()f a f b >. 故答案为C.【点睛】这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性． 6．C【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=;2,(2)(1)24n f f ==+=;3,(3)(2)37n f f ==+=;,4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=;6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.7．B【分析】求出函数()f x 的导数,问题转化为1a x x ≥+在(1,2)恒成立,令1(),(1,2)g x x x x=+∈,根据函数的单调性求出a 的范围,即可求得答案.【详解】 函数32()132x a f x x x =-++ , ∴2()1f x x ax '=-+函数()f x 在区间(1,2)上递减,故210x ax -+≤在(1,2)恒成立, ∴1a x x ≥+在(1,2)恒成立,(注:a 需大于1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值) 令1(),(1,2)g x x x x=+∈ ∴2(1)(1)()x x g x x +-'= (1,2)x ∈()0g x '∴>可得()g x 在(1,2)递增.而()g x 的最大值为:5(2)2g =. ∴52a ≥. 故选:B.【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求参数范围,解题关键是掌握导数的求法和不等式恒成立求参数的解题步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.8．D【分析】根据题中运算得出42z zi i +=+，可得出421i z i+=+，利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点所在的象限.【详解】依题意得，1142zi z i z zi -=+=+，()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，对应的点的坐标为()3,1-，位于第四象限.故选：D .【点睛】本题考查新定义运算，考查复数的除法以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题. 9．C【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=422n n +时，当n=k +1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k +1代入等式，然后把n=k +1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k 时，等式左端=1+2+…+k 2，当n=k +1时，等式左端=1+2+…+k 2+k 2+1+k 2+2+…+（k+1）2，增加了项（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）2．故选C ．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./10．A【分析】求出函数()f x 的导数,研究函数的单调性和极值,作出函数()f x 的图象,利用换元法转化为关于t 的一元二次函数,根据根的个数转化为t 满足的条件,即可求得答案.【详解】设()t f x =,∴函数2()()()1g x f x kf x =-+等价为21y t kt =-+()22()2(2)x x x x f x xe x e e x x x x e '=+=+=+当()0f x >′,得()20x x +>即0x >或2x <-,此时()f x 为增函数, 当()0f x <′,得()20x x +<即20,x -<<此时()f x 为减函数,即当2x =-时,()f x 取得极大值24(2)f e -=, 当0x =时, ()f x 取得极小值()00f =, ∴()f x 对应的图象如图:由图象可知:当0t =或24t e >时,方程()t f x =有一个根, 当24t e=时,方程()t f x =有2个根, 当240t e<<时,方程()t f x =有3个根, 当0t =时10y =≠,即方程0t =不成立要保证函数2()()()1g x f x kf x =-+恰有两个零点,则只需保证210y t kt =-+=有两个根,都满足24t e >, 设2()1h t t kt =-+224240022416410k k k k h e e e ⎧⎪∆=->⎪-⎪-=>⎨⎪⎪⎛⎫=-+> ⎪⎪⎝⎭⎩可得:2222044k k k e k e ⎧⎪><-⎪⎪>⎨⎪⎪<+⎪⎩或解得:22424e k e <<+ 即实数k 的取值范围是2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 故选:A.【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数导数知识和根据零点求参数范围解题步骤,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.11．1【分析】根据切点在切线上也在曲线上,得到切点坐标满足方程,根据曲线切点处的导数值是切线斜率,即可求得答案.【详解】设切点()00,P x y切点在切线上,也在曲线上∴00y x =——①()00ln y x a =+——②又001x x y x a==+' 根据曲线切点处的导数值是切线斜率 ∴011x a=+——③ 联立①②③,解得000,0y x ==, 1.a =故答案为:1.【点睛】本题主要考查了根据曲线的切线求参数,解题关键是掌握曲线切线的求法和导数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12．38a 【解析】面积是边长的平方，类比体积是边长的立方．13．2【分析】由定积分、微积分基本定理得:()10341011144a ax dx ax x ⎛⎫⎰+=+=+ ⎪⎝⎭,所以()300114a f x ax =+=+,即可求得答案. 【详解】()10341011d 144a ax x ax x ⎛⎫⎰+=+=+ ⎪⎝⎭ ,()300114a f x ax =+=+ , 又0a ≠, ∴3014x =,即0x = 故答案为【点睛】 本题主要考查了定积分运算,解题关键是掌握定积分基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14．{}21,2e e ⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【分析】因为不等式()()20ax lnx ax -+≥在(0,)+∞上恒成立, 等价于20ln 0ax x ax -≥⎧⎨+≥⎩或20ln 0ax x ax -≤⎧⎨+≤⎩在(0,)+∞上恒成立, 令()2,()ln f x ax g x x ax =-=+,当0a >时,令两函数具有相同的零点,当0a <时,令0g x ≤（）恒成立,即可求得答案. 【详解】不等式()()20ax lnx ax -+≥在(0,)+∞上恒成立,等价于20ln 0ax x ax -≥⎧⎨+≥⎩或20ln 0ax x ax -≤⎧⎨+≤⎩在(0,)+∞上恒成立, 令()2,()ln f x ax g x x ax =-=+①当0a =时,()20f x =-<,()0g x lnx =≤在(0,+∞)上不恒成立∴0a ≠,②当0a >时,()f x 为增函数,且经过点()0,2-令()0f x =,可得2x a= 1()0g x a x'=+>, ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增 令22ln 20g a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,解得:22a e = ③当0a <时,()2f x ax =-为减函数,∴()0f x <在(0,)+∞恒成立故只需()0g x ≤在(0,)+∞上恒成立即可 令1()0g x a x'=+=,可得1x a =-, ∴当10x a<<-时,()0g x '>, 当1x a >-时,()0g x '< ∴()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 故()g x 在1x a =-处取得最大值11ln 1g a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1ln 10a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭,解得:1a e ≤- 综上所述,a 的取值范围是:{}21,2e e ⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦. 故答案为:{}21,2e e ⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,考查了分析能力和计算能力,属于难题.15．答案见解析【分析】在三条棱两两垂直的三棱锥中,相互垂直的棱构成的三角形的面积分别为123,,S S S ,底面的面积为S ,则有2222123S S S S ++=.然后证明之,即可求得答案.【详解】猜想:在三条棱两两垂直的三棱锥中,相互垂直的棱构成的三角形的面积分别为123,,S S S ,底面的面积为S ,则有2222123S S S S ++= .证明:设,,AB a AC b AD c ===过A 作AE BC ⊥,垂足为E ,联结DE ,过A 作AH DE ⊥,垂足为H ,画出图象:三条棱两两垂直∴,DA AC DA AB故:DA ⊥面ABCBC ⊂面ABC∴DA BC ⊥又AE BC ⊥∴BC ⊥面DAEDE ⊂面DAE∴DE BC ⊥易证AH ⊥平面BCD()22222222222212311112224S S S ab ac bc a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 在Rt ABC ∆Rt ABC ∆中,AC AB AE DE BC⋅====∴22S = ()22222214a b a c b c =++ 2222123S S S S ∴++=.【点睛】本题主要考查了根据已知结论进行猜想和证明,解题关键是掌握猜想的技巧和掌握立体几何的基础知识,考查了分析能力和推理能力,属于难题.16．4-或112-【分析】 设过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭直线与曲线3y x =的切点坐标为(,)m n ,可得3n m =,根据两点求斜率公式可得过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和点(,)m n直线斜率为:23knm=+,可得2323nmm=+,解得:m=或1m=-,结合已知,即可求得答案. 【详解】设过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭直线与曲线3y x=的切点坐标为(,)m n,∴3n m=——①根据两点求斜率公式可得过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和点(,)m n直线斜率为:23knm=+3y x=∴23y x'=可得:23x my m='=∴2323nmm=+——②联立①②可得:0m=或1m=-∴切线的斜率230k m==或233k m==, 当0k=,此时切线的方程为:0y=.由241yy ax x=⎧⎨=+-⎩消去y,可得2410ax x+-=其中0∆=,即2440a+=,解可得:4a=-;若3k=,此时切线的方程为:32y x=+.由23241y xy ax x=+⎧⎨=+-⎩消去y可得230ax x+-=,由0∆=,即1120a +=, 解得112a =- . 综上所述,112a =-或4a =-. 【点睛】本题考查根据两条曲线有相同的切线求参数,解题关键是掌握求曲线切线的求法和常见导数的求法,求解曲线切线时要注意点在曲线上,还是在曲线外,考查了分析能力和计算能力,属于难题.17．（1）12（2）答案见解析 【分析】（1）先求出导数,根据极值的概念建立方程求出k 的值,即可求得答案;（2）先求出导数,然后对k 的不同取值分类讨论,从而确定函数的单调区间,即可求得答案.【详解】（1）∴2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥ ∴(1)(),(1,)1x kx k f x x x+-'=∈-+∞+ 1x =是函数()f x 的一个极值点, ∴102k k +-=,解得12k = ∴k 的值为12（2）(1)(),(1,)1x kx k f x x x+-'=∈-+∞+ ①当0k =时,()1x f x x '=-+. ∴在区间(1,0)-上()0f x >′,在区间(0,)+∞上()0f x <′.∴()f x 的单调递增区间是(1,0)-,单调递减区间是(0,)+∞.②当01k <<时,由()(1)01x kx k f x x +-'==+, 可得:1210,0k x x k-==> ∴在区间(1,0)-和1,k k -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0f x >′,在区间10,k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0.f x '<∴()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1,k k -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,单调递减区间是10,k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ③当1k =时,2()1x f x x'=+,故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞ ④当1k >时,由(1)()01x kx k f x x +-'==+, 得121(1,0),0k x x k-=∈-= ∴在区间11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和(0,)+∞上()0f x >′,在区间1,0k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x <′. ∴()f x 的单调递增区间是11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和(0,)+∞,单调递减区间是1,0k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了根据函数极值点求参数和求含参数导数的单调区间,解题关键是掌握极值点概念和通过讨论求含参数函数单调区间的求法,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 18．（1）()2ln 21-（2）0a =【分析】（1）求函数()g x 的导数,即求得()g x 单调区间,从而得到最小值,即可求得答案;（2）()f x 在x a =处的切线斜率与m 无关,即()f x '在x a =处的值与m 无关,()()1x x x f x m xe e e '=+--,即分析即()10x x t x xe e =+-=的根,即可求得答案.【详解】（1）当1m =时,22()()1, 0x x g x f x x x xe e x x =+-=--+> ()()22x x g x xe x x e '=-=-∴()g x 在()0,ln 2上单调递减,在(ln 2,)+∞上单调递增.∴当x lnx =时,最小值为()ln (l 22)2n 1g =--（2）()()()11x f x m x mx e =---∴()()1x x x x x x f x m e mxe me m xe e e '=--++=+--()f x 在x a =处的切线斜率与m 无关∴()f x '在x a =处的值与m 无关；令()10,x xt x xe e =+-= ∴()(2)x t x x e '=+∴()t x 在(,2)-∞-单调递减,在(2,)-+∞单调递增当x →-∞时,()0t x →(小于0趋于0),且()00t =，∴当0x =时,()01f '=-与m 无关.故0a =.【点睛】本题主要考查了求函数的最值和根据切线求参数,解题关键是掌握函数最值的求法和切线方程的求法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.。
山西省太原市第五十六中学2020-2021学年七年级下学期第一次月考英语试题(无答案)
太原市第五十六中学校2020—2021学年第二学期初一年级第一次月考英语试卷考试时间 90分钟 分值 100分Ι.单项选择（共15分） 1.—Can you play soccer?—No ，________.But I can play basketball.A I'm notB I don'tC I can'tng Lang is ________ famous pianist.He plays ________ piano very well. A a ；the B the ；the C the ；/3.Frank doesn't like playing the guitar ________ the drums. A and B but C or4.Mike likes apples ，and he ________ likes bananas.A onlyB tooC a lso5.Miss Zhang is good ________ music.She can be good ________ the students in the music club.A at ；atB at ；withC with ；with6.I usually get up ________ six thirty ________ the morning. A at ；on B in ；in C at ；in7.My son is only 3.But he can get ________ by himself. A dress B dresses C dressed8.Lucy and Lily usually watch TV ________ 8：30 ________9：30 at night. A at ；to B from ；at C from ；to9.—The storybook is ________.My classmates are ________ in it. —Really ？I want to read it,too.A interesting ；interestingB interested ；interestedC interesting ；interested10.Mike doesn't want to walk home ，and Bob doesn't ，________.A alsoB thenC e ither11.I usually eat lots ________vegetables for lunch.They are good ________me. A of ；for B of ；with C to ；for 12.—________ does Alan go home? —He takes the bus.A.WhereB. HowC.What13.—________ is it from your home to your school? —It's about 10 minutes' ride.A ．How longB ．How farC ．How soon14.—How far is it from the library to the school? —It's ________ walk.A ．fifteen minuteB ．fifteen minute'sC ．fifteen minutes' 15.—Have a good day at today's birthday party! —________.A ．Thank youB ．I'm sorryC ．Yes,sureⅡ.补全对话。
山西省太原市第五中学2020_2021学年高二数学上学期10月月考试题文
山西省太原市第五中学2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题文一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题有且只有一个正确选项) 1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱2.两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对3．下列命题正确的是( )①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内A.①③B.②③C.②③④D.④4.圆锥的母线长是4，侧面积是，则该圆锥的高为A. B. 4 C. 3 D. 25．如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及线段AD中,最长的线段是( )(A)AB (B)AD (C)BC (D)AC6.如果一个四面体的三个面是直角三角形，则其第四个面不可能是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形7.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.异面8．正四面体ABCD中，E F，分别为棱AD BC，的中点，则异面直线EF与CD所成的角是（）A ．π6B ．π4C．π3D．π29．如图，在四面体ABCD中，已知，那么D在平面ABC内的射影H必在A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. 内部10．如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有( )A．0条 B．1条 C．2条D．3条11．棱长为2的正方体中，E为棱AD中点，过点且与平面平行的正方体的截面面积为A. 5B.C.D. 612．已知六棱锥P ABCDEF-的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，2PA AB=.则下列命题中正确的有（）①平面PAB⊥平面PAE；②PB AD⊥；③直线CD与PF所成角的余弦值为5；④直线PD与平面ABC所成的角为45°；⑤//CD平面PAE.A．①④B．①③④C．②③⑤D．①②④⑤二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)13.已知长方体的三个不同侧面的面积分别为2、5、10，则长方体的体对角线长是_______14．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________15.已知P,A,B,C是球O的球面上的四个点,PA⊥平面ABC,PA=2BC=6,∠BAC=60°,则该球的表面积为.16.设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P 点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4＝．三、解答题(本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图所示，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积.18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝2．（I）求证：面PBD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，求三棱锥M﹣PAB的体积．19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，PA PD=，AB AD⊥，1AB=，2AD=，5AC CD==.（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.答案：1.A2.C3.D 4 A 5. D 6.D7. C 8.B 9.A 10.C 11.C12.B13. 14. 15.48π 16.17.解：过C点作CD⊥AB于点D，————2分△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，———5分这两个圆锥的高的和为AB=5，底面半径DC==，———7分故S表=π·DC·(BC+AC)————10分=———12分18.（1）证明：∵∠BAP＝90°，∴PA⊥AB，又侧面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩面ABCD＝AB，PA⊂面PAB，∴PA⊥面ABCD，———2分∵BD⊂面ABCD，∴PA⊥BD，又∵∠BCD＝120°，ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝60°，又AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，则ABCD为菱形，则BD⊥AC．又PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC，———5分∵BD⊂面PBD，∴面PAC⊥面PBD；———6分（Ⅱ）解：由平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，则M为PB中点．———7分由AB＝AC＝2，∠BCD＝120°，得．由（Ⅰ）知ABCD 为菱形，则．———9分又由（Ⅰ）知PA⊥面ABCD，则．———11分∴＝．———12分19.（1）取的中点，连结，，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.———2分因为平面，所以.因为，所以.———3分由V B-PCD=V P-CBD可得d=1———5分所以直线与平面所成角的正弦值为.———6分（2）设是棱上一点使得平面，则存在使得，延长DC、AB交于点Q，连接PQ ，则PQ,所以———8分在RT△ADQ中求得AQ=4———10分所以在棱上存在点使得平面，此时———12分.。
联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题
联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟试卷满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题5分，满分60分）1.已知向量，，则（）A. (－1,1,5)B. (－3,5,－3)C. (3,－5,3)D. (1,－1,－5)2.点到原点的距离为（）A. 1B. 3C. 5D. 93.已如向量，且与互相垂直，则k=A. B. C. D.4.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A. B. C. 或 D. 25.如图，长方体ABCD - A1B1C1D1中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1，设直线AB1与平面所成的角为，直线CD1与直线A1C1所成的角为，则（）A. B. C. D.7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OB、AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（）A. B.C. D.8.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，则CD的长为A. B. 7 C. D. 99.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（）A. B. C. D. 310.如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A. MN∥平面ADD1A1B. MN⊥ABC. 直线MN与平面ABCD所成角为45°D. 异面直线MN与DD1所成角为60°12.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是（）A. 平面ABC⊥平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是二、填空题（每题5分，满分20分）13.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________.14.若同方向的单位向量是________________15.在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ 的长度等于__________．16.已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．三解答题（共6个解答题，17题10分，其余每题12分）17.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．18.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，，，，，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦（2）求点A到平面PCD的距离.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。
金牌模拟试卷(二)(解析版)-2020-2021学年高二数学下学期第一次月考金牌模拟试卷
2020-2021高二下学期第一次月考金牌模拟试卷（二）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．1【答案】A【分析】根据复数的概念可得出结论.【详解】复数12z i =-的虚部为2-.故选：A.2．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 【答案】C【分析】根据导数的物理意义可求得结果.【详解】根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度是21s t t =-+在3t =时的导数值，因为12s t '=-+，所以物体在3秒末的瞬时速度是1235-+⨯=米/秒.故选：C3．()()444i i i -+=（ ）A ．815i -B ．15iC ．815i +D ．15i - 【答案】A【分析】由41i =，结合复数代数形式的乘法运算，即可化简复数.【详解】()()()()444144815i i i i i i -+=-+=-.故选：A ．4．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是（ ）A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1【答案】A【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解.【详解】函数y ＝(x 2－1)n ，可由y ＝u n ，u ＝x 2－1，利用复合函数求导.故选：A.5．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数2i -+和13i -对应的点之间的距离是（ ）A B C ．5 D ．25【答案】C【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.【详解】由于复数2i -+和13i -对应的点分别为()2,1-，()1,3-，5=.故选：C.6．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．【答案】C【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可.【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍） 或6a x =，当06a x <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．7．在复平面xOy 内，复数z 对应的向量()1,1OZ =-，z 是复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，则复数2z z +的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．i -D ．-3【答案】B【分析】先求出z ，再求出2z z +，从而可求2z z +的虚部.【详解】因为复数z 对应的向量()1,1OZ =-，故1z i =-，故1z i =+，故()22111z z i i i +=-++=-，其虚部为1-，故选：B.8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()f x 的导函数为()'f x ，且当[0,)x ∈+∞时，()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，e 为自然对数的底数，则函数()f x 在R 上的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】为了利用条件()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，构造函数()(cos )()g x x e f x =-即可. 【详解】由()sin ()cos e ()f x x f x x f x ''<-，得(cos e)()()sin 0x f x f x x '-->.令()(cos )()g x x e f x =-，因为cos 0x e -≠，所以()0f x =等价于()0g x =.当[0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在[0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()(cos )()g x x e f x =-也是定义在R 上的奇函数，从()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，所以()g x 在R 上只有1个零点，从而可得()f x 在R 上只有1个零点.故选：B.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z = 【答案】BC【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.【详解】 由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确； 取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误. 故选：BC10．已知函数()f x 及其导数()'f x ，若存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）A ．2()f x x =B ．()x f x e -=C ．()ln f x x =D ．1()f x x= 【答案】ACD【分析】利用“巧值点”的定义，逐个求解方程()()00f x f x '=判断即可【详解】在A 中，若2()f x x =，则()2f x x '=，则22x x =，这个方程显然有解，故A 符合要求；在B 中，若()xf x e -=，则111()ln x x x f x e e e e -'⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦'，即x x e e --=-，此方程无解，故B 不符合要求；在C 中，若()ln f x x =，则1()f x x '=，由1ln x x=，令ln y x =，1y x =（0x >），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C 符合要求；在D 中，若1()f x x =，则21()f x x '=-，由211x x=-，可得1x =-，故D 符合要求． 故选：ACD ．11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（ ）A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点 D ．12i z i +=+的虚部为15i 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12i z i+=+，判断D 选项是否正确.【详解】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+， 所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i iz i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选：BC ．12．已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（ ） A ．()f x 的图象关于原点对称 B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为【答案】AC【分析】对A ：求出()f x 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；对B ：利用()f x 的导数可判断；对C ：计算(2)g x π+，看是否等于()g x 即可；对D ：设cos t x =，根据对勾函数的单调性可得最值.【详解】()2tan f x x x =+的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，其定义域关于坐标原点对称， 且()2tan()2tan (2tan )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故A 项正确；由()2tan f x x x =+，得22()1cos f x x '=+，则2()()cos cos cos g x f x x x x'==+． 22()10cos f x x '=+>恒成立，所以()f x 在,()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，并不是在R 上单调递增，故B 项错误； 由2()cos cos g x x x =+，得函数()g x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣22(2)cos(2)cos ()cos(2)cos g x x x g x x x πππ+=++=+=+，故C 项正确； 设cos t x =，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(0,1)t ∈， 此时()2()h t g x t t==+，(0,1)t ∈，根据对勾函数的单调性，()h t 在(0,1)上单调递减， ()()13g x h ∴>=，故D 项错误.故选：AC ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z -=，则12z z +=______.【答案】1【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【详解】解：12||||1z z ==，12||-=z z ， ∴221122||2||3z z z z -+=，122231z z ∴=-=-；12||1z z ∴+=． 故答案为：1．14．曲线2y lnx x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 【答案】10【分析】对函数求导代入，即可得出tan 3(0)2παα=<<，进而可得结果.【详解】1212,|3x y y x x ='+'==则tan 3(0),sin cos 22ππαααα=<<∴+===（）15．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________．【答案】5 -1 2【分析】根据复数的加法法则和减法法则分别求出z 1＋z 2，z 2－z 1，再根据复数相等的定义得到方程组，解出即可.【详解】z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a )i ＝－1＋(3＋a )i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以1383b a a c =-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得152b a c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为： 5；-1；2.16．已知()32f x x x =+，()2,01ln ,02x e x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()y f g x m =+(m 为实数)有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为___________. 【答案】11ln 22+【分析】 由题可知()()0f g x m +=有两个不等实根，设()g x t =，则()f t m =-，根据()f x 在R 上单调递增，结合()g x 的图像可知，()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根，即1221ln 2x e x t =+=，构造函数12211()ln 2t h t x x e t -=-=-，利用导数研究函数的最小值，即可求解. 【详解】()32f x x x =+，求导()2320f x x '=+>，()f x ∴在R 上单调递增.函数()()y f g x m =+有两个不同零点，等价于方程()()0f g x m +=有两个不等实根.设()g x t =，则()f t m =-，又()f x 在R 上单调递增，作出函数()g x 的图像，则问题转化为()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根1x ，2x ，12x x < 则1221ln 2x e x t =+=，则11ln 2x t =，122t x e -=，12211ln 2t x x e t --=-. 设121()ln 2t h t e t -=-，(]0,1t ∈，则()1212t h t e t -'=-，()122102t h t e t -''=+> ()h t '∴在(]0,1t ∈上单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，()0h t '=在(]0,1t ∈上有唯一零点，故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 111ln 222h t h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 故答案为：11ln 22+【点睛】 思路点睛：本题考查利用导数研究函数的零点及最值，利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略，研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (m ∈R )．（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（4）若复数z 是0，求实数m 的值．【答案】（1）m ＝5或－3；（2）{m |m ≠5且m ≠－3}；（3）m ＝－2；（4）m ＝－3.【分析】（1）利用虚部等于零列方程求解即可；（2）利用虚部不等于零列不等式求解即可；（3）利用实部等于零且虚部不等于零求解即可；（4）利用实部等于零且虚部等于零求解即可【详解】（1）当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，所以m ＝5或－3.（2）当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数．所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．（3）当222150,560m m m m ⎧--≠⎨++=⎩时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2. （4）当222150,560m m m m ⎧--=⎨++=⎩时，复数z 是0，所以m ＝－3.18．求下列函数的导数.（1）sin y x x =+；（2）2ln 1x y x =+. 【答案】（1）cos 1x +；（2）()22221211x x nx x x +-+.【分析】根据导数的运算法则进行求导即可．【详解】（1）函数的导数：(sin )cos 1y x x x '''=+=+；（2）函数的导数：()()()2222222111212111x nx x x x nx x y x x x +-⋅+-'==++. 【点睛】本题主要考查导数的计算，结合导数的公式以及运算法则是解决本题的关键，比较基础．19．已知复数112z i =-，234z i =+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数 【答案】（1）11(,)32-；（2）1255i -+ 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+， 则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<， 即实数a 的取值范围11(,)32-. （2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-， 所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.20．已知函数3()f x x ax =-在[4,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 【答案】(,48]-∞【分析】由()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，可得()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即23a x 在[4,)+∞上恒成立，从而可得答案．【详解】因为()23f x x a ='-，且()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，所以()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即230x a -在[4,)+∞上恒成立，所以23a x 在[4,)+∞上恒成立，因为2234834x ≥⨯=所以48a ，即a 的取值范围为(,48]-∞．21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x (万元)在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：∈补助款()f x (万元)随企业原纳税额x (万元)的增加而增加；∈补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x m f x x=-+(其中m 为参数)作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件∈∈的参数m 的取值范围.【答案】（1）满足，理由见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当12m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由121442x x x -+≥，结合二次函数的性质，即可得到答案；（2）求得224'()4x m f x x+=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解.【详解】（1）当12m =时，所以12()44x f x x =-+，可得2112'()04f x x=+>， 所以函数()f x 在[]4,8x ∈为增函数，满足条件①； 又由不等式121442x x x -+≥，可化为216480x x -+≤， 设()21648g x x x =-+，可得对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =， 所以121()442x f x x x =-+≥恒成立， 综上可得，当使用参数12m =时满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x m f x x x+=+=， 所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<，综上可得，4m ≥-，由条件①可知，()2x f x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+. 当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤， 综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知数列()*11n n a n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （1）证明：n a e <(*n ∈N ，e 是自然对数的底数)；（2）若不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为11ln 2-. 【分析】（1）将所要证明的不等式转化为证明()()()ln 101f x x x x =+-<≤在区间(]0,1上小于零，利用导数研究()f x 在区间(]0,1上的单调性和最值，由此证得结论成立.（2）将不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，转化为()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立，利用导数研究()g x 的单调性，结合对a 进行分类讨论，求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）要证()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立，两边取对数： 只需证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 101f x x x x =+-<≤， 即只需证明函数()f x 在区间(]0,1上小于零，由于()1x f x x =-+'， 在区间(]0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()00f =，所以在区间(]0,1上函数()0f x < 所以不等式()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立； （2）对于不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N ，两边取对数： 只需不等式11ln 1n n a⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+， 不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N 成立，等价于在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立其中，()222(21)(1)(1)a x a x g x x ax +-=++' 由分子22(21)0a x a x +-=，得其两个实数根为10x =，2212a x a -=；当12a ≥时，20x ≤， 在区间(]0,1上，()0g x '>，函数()g x 单调递増，由于()()00g x g >=，不等式不成立112a <<时，()20,1x ∈， 在区间()20,x 上()0g x '<，在区间()2,1x 上()0g x '>；函数()g x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,1x 上单调递增； 且()00g =，只需()11ln 201g a =-≤+，得11ln 2a ≤-111ln 2a -<≤-时不等式成立当01a <≤时，21x ≥，在区间(]0,1上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()()00g x g <=，不等式恒成立 综上，不等式(),011n a a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭>N 成立，实数a 的最大值为11ln 2-. 【点睛】可将不等式恒成立问题，转化为函数最值来求解，要注意导数的工具性作用.。
山西省太原市第五十六中学2020-2021学年高二数学下学期5月月考试题 理
山西省太原市第五十六中学2020-2021学年高二数学下学期5月月考试题 理考试时间 90分钟 分值 100分一、选择题：（共12小题，每小题3分，总分36分）1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )A ．13种B ．16种C ．24种D ．48种 2．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种 3.下列各式中与排列数相等的是( D ) A ． B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C ．4.2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有( ) A ． 34种B ． 48种C ． 96种D ． 144种5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ． 3×3!B ． 3×(3！)3C ． (3！)4D ． 9!6．12233101010101010190C 90C 90C 90C -+-++除以88的余数是（ ）A ．2B ．1C ．86D ．877．若)10210012102x a a x a x a x =+++，则()20210a a a +++-()2139a a a +++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-8．在()()10311x x -+的展开式中5x 的系数是（ ） A ．297-B ．252-C ．297D ．2079．函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A ．[1，2)∪(2，+∞） B ．(1，+∞） C ．[1，2) D ．[1，+∞)10．函数f (x )= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）A. 1 B .2 C. 3 D.411．下列说法错误的是（ ）A.42y x x =+是偶函数 B. 偶函数的图象关于y 轴成轴对称 C. 32y x x =+是奇函数 D. 奇函数的图象关于原点成中心对称12．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0<x 时，()f x 的表达式为 （ ）A ．1+-xB ．1--xC ．1+xD ． 1-x二、填空题（共4小题，每小题3分，总分12分）13．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有___350___种．14．有8本不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本，若将这些书排列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_1440_______种(用数字作答)．15.已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为___-2/3_____．16.已知集合A ＝{x |x <}，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______三解答题（共5小题总分52分）17（10分）已知集合A={x|a ≤x ≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}．(1) 若A∩B＝Φ，求a 的取值范围； (2) 若A∪B＝B ，求a 的取值范围．17．（10分）（1）解不等式：32213A 2A 6A x x x +≤+；（2）解方程：4321A 140A x x +=． 20．（12分）已知(31)nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：（1）所有二项式系数之和； （2）二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项．18．（10分）在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？21（10分）定义在R 上的函数)(x f ，对任意的R y x ∈,，有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f 。
2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理[1]
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2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.（1）已知集合{1,2,}M zi =，i 为虚数单位，{3,4}N =，{4}MN =，则复数z ＝（A ）2i - （B ）2i （C ）4i - （D ）4i （2）已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则()()11f f +'的值等于（A ）1 （B ）52 （C ）3 （D ）0 （3）已知函数52()ln 33f x x x =-，则0(1)(1)limx f f x x∆→-+∆=∆ （A ）1 （B ）1- （C ）43- （D ）53-（4）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是 （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 （5）已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（A ）10 （B ）3 （C ）5 （D ）2 （6）函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（A ）()0,3 （B ）()1,4 （C ）()2,+∞ （D ）(),2-∞（7）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（A ）6 （B ）5 （C ）1 （D ）0（8）以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（A ）30,,424πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ （B ）[)0,π （C ）3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭（9）在复平面内，若2(1)(4)6z m i m i i =+-+-所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(,2)-∞- （C ）(2,0)- （D ）(3,4)（10）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，错误．．的是（11）若函数()2(0)xf x a x a=>+在[)1,+∞上的最大值为33，则a ＝ （A ）31- （B ）34 （C ）43（D ）31+ （12）已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（A ）4(1)(2)f f < （B ）4(1)(2)f f > （C ）(1)4(2)f f < （D ）(1)4(2)f f '<第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）若函数321()(1)3f x x f x x '=-⋅+，则(1)f '=__________． （14）由曲线xy e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于__________． （15）观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=， 5511a b +=，…，则1010a b +=（16）若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知复数()()227656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，（1）z 是实数； （2）z 是纯虚数； （3）当106za =-时，求z 的共轭复数.（18）（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足)(1,111++∈+==N n a a a a nnn (1)分别求234,,a a a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明.（19）（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-的最大值与最小值．（20）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln xx.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t （百万元），可增加的销售额为25t t -+（百万元）03t ≤≤（）. （1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x -++（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.（22）（本小题满分12分） 已知函数()ln m f x x x=+（其中m R ∈），()161x g x e x +=-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2450x y -+=垂直，求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥成立，求实数m 的取值范围.xx 第二学期第一次考试 高二年级理科数学试题参考答案一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBBACADDDAB（1）【答案】C 【解析】由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4i i 2＝－4i.（2）【答案】C 【解析】由导数的几何意义得()()1151,112.222k f f ===⨯+=' 所以()()11f f +'=15+=322，故选C. （3）【答案】B（4）【答案】B 【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项A ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项C ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项D ，故选B. （5）【答案】A 【解析】()123xi y i +=-- 21{3y x -=⇒=- 3{1x y =-⇒=，则10x yi +=. （6）【答案】C 【解析】()()()e 3e e2xxxf x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． （7）【答案】A 【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-，令()0,f x '=可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==.故选A. （8）【答案】D 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则][3tan cos 1tan 10,,44k x ππαααπ⎡⎫==∴-≤≤∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，故选D.（9）【答案】D 【解析】整理得22(4)(6)z m m m m i =-+--对应的点位于第二象限，则224060m m m m ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩，解得34m <<. （10）【答案】D 【解析】经检验，A ：若曲线为原函数图象，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B ：若一直上升的函数为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C:若下方的图象为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D ：若下方的函数为原函数，则其导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾；若上方的函数图象为原函数图象，则由导函数可知原函数应先减后增，矛盾.故选D. （11）【答案】A②当1a ≤，即1a ≤时， ()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()()max 111f x f a ==+． 令1313a =+，解得31a =-，符合题意． 综上31a =-．（12）【答案】B 【解析】设函数2()()f x g x x=(0)x >， 则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x''--'==<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以(1)(2)g g >，即22(1)(2)12f f >， 所以4(1)(2)f f >，故选B. 二、填空题 （13）【答案】23【解析】∵f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2+x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x +1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)+1，∴f′(1)＝23. （14）【答案】e －12 【解析】由已知面积S ＝10⎰(e x＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 210|＝e ＋12－1＝e －12.（15）123（16）【答案】12【解析】设直线y kx b =+与曲线ln 1y x =+和ln(2)y x =+的切点分别为()11,x kx b +，()22,x kx b +.由导数的几何意义可得12112k x x ==+，得122x x =+，再由切点也在各自的曲线上，可得1122ln 1,(),ln 2kx b x kx b x +=++=+⎧⎨⎩联立上述式子解得12k =. 三、解答题（17）解：（1）Z 是实数， 2560a a --=，得61a a ==-或（2）Z 是纯虚数， 2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a = （3）当106za =-时， ()()1110a a i -++=， 得()()221110a a -++=，得2a =± 当2a =时， 412z i =--,得412Z i =-+； 当2a =-时， 248z i =+,得248Z i =-(18) 解： (1）3111,2112121223112=+=+==+=a a a a a a ，41113131334=+=+=a a a (2）猜想)(1+∈=N n na n ①当n =1时命题显然成立②假设)(+∈=N k k n 命题成立，即ka k 1= 当11111111+=+=+=+=+k a a ，ak n kk k k k 时 1+=∴k n 时命题成立综合①②，当+∈N n 时命题成立（19）解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意2()03(1)0f f ⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即44033320ab a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩ 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，经检验符合题意，321()22f x x x x ∴=--(2)由(1)知2()3()(1)3f x x x '∴=+-， 令()0f x '=，得122,13x x =-=， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1,2) 2f ′(x )＋0 －0 ＋f (x ) －6极大值2227极小值－322由上表知f max (x )＝f (2)＝2，f min (x )＝f (－2)＝－6. （20）解：(I) 21ln ()xf x x-'=当0x e << 时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数． (2)依题意得，不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x =+，则22111()x g x x x x-'=-=. 当(1,)x ∈+∞时，21()0x g x x -'=>，则()g x 是(1,)+∞上的增函数； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 是(0,1)上的减函数． 所以()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(,1)-∞．（21）解：（1）设投入广告费t （百万元）后由此增加的收益为()f t （百万元），则()2254f t t t t t t =-+-=-+ ()224t =--+， 03t ≤≤.所以当2t =时， ()max 4f t =，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.（2）设用于技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的费用为()3x -（百万元），则由此两项所增加的收益为()()23213[33g x x x x x =-+++-- ()3153]3433x x x +--=-++.()2'4g x x =-+，令()2'40g x x =-+=，得2x =或2x =-（舍去）.当02x <<时， ()'0g x >，即()g x 在[)0,2上单调递增； 当23x <<时， ()'0g x <，即()g x 在(]2,3上单调递减， ∴当2x =时， ()()max 2523g x g ==. 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元. （22）（2）由()161x g x ex +=-+， ()1'6x g x e +=-，当[]2,3x ∈时， ()'0g x >， ()g x 单调递增，故()g x 有最小值()3211g e =-，因为对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥，即()()31212f x e g x +-≥成立，所以对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()3311211f x e e +-≥-，即()11f x ≥， 也即11ln 1m x x +>成立，从而对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有111ln m x x x ≥-成立， 构造函数()ln x x x x ϕ=- 1,22x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()'ln x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，得1x =，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0x ϕ>， ()x ϕ单调递增；当()1,2x ∈时， ()'0x ϕ<， ()x ϕ单调递减，∴()x ϕ的最大值为()11ϕ=，∴1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[)1,+∞.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2020-2021学年山西省太原市第五中学高二上学期10月月考数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年山西省太原市第五中学高二上学期10月月考数学（文）试题一、单选题1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱【答案】A【解析】试题分析：因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A.【考点】空间几何体的三视图.2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对【答案】C【分析】根据平面的基本性质判断．【详解】两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合．故选：C．【点睛】本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基础题．3．下列命题正确的是( )．①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．A．①③B．②③C．②③④D．④【答案】D【分析】对四个命题利用线面平行、线面垂直的判定定理分别分析选择．【详解】对于（1），过平面外一点只可作一个平面与已知平面垂直错误；因为过平面外一点只可作无数个平面与已知平面垂直；对于（2），如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；错误，因为直线可以在平面内；对于（3）过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直错误；因为过不在平面内的一条直线可以作一个平面与已知平面垂直，对于（4）如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．正确； 故选D ．【点睛】本题考查了空间线面关系以及面面关系；关键要考虑到特殊位置情况． 4．圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ） A ．15 B ．4C ．3D ．2【答案】A【分析】画出图形，结合勾股定理进行求解【详解】设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则4rl ππ=，1r =，所以24115h =-=. 答案选A【点睛】本题考查圆锥侧面积公式：=S rl π侧，集合了勾股定理进行考察，相对简单 5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是 ( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．AC【答案】D 【解析】因为A′B ′与y ′轴重合，B′C ′与x ′轴重合，所以AB ⊥BC ，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC 中，AC 为斜边，故AB<AD<AC ，BC<AC. 故选D.6．如果一个四面体的三个面是直角三角形，则其第四个面不可能是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【答案】D【分析】画出三个面是直角三角形的四面体，确定第四个面可能的形状，即可. 【详解】当DA AB ⊥，DA AC ⊥，BC CD ⊥且AC BC =时，满足题意，四面体D ABC -的三个面是直角三角形.因为ABAC C =，AB 平面ABC ，AC ⊂平面ABC .所以DA ⊥平面ABC 又因为BC ⊂平面ABC 所以DA BC ⊥ 因为DACD D =，DA ⊂平面ACD ，CD ⊂平面ACD .所以BC ⊥平面ACD 因为AC ⊂平面ACD 所以AC BC ⊥ 又因为AC BC =所以ABC ∆为等腰直角三角形.则第四个面可能为直角三角形或等腰直角三角形.当DA AB ⊥，DA AC ⊥，AC BC ⊥且DA AB BC ==时 则BD BC CD == 则第四个面可能等边三角形综上所述，第四个面不可能是钝角三角形. 故选：D【点睛】本题考查线线垂直的判定，属于较易题.7．已知直线l 和平面α，无论直线l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l ( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．异面【答案】C 【解析】当直线l 与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直； 当直线l ⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直； 当直线l 与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，所以无论直线l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l 垂直．本题选择C 选项.8．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【分析】取BD 中点O ，连结,EO FO ，则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.【详解】取BD 中点O ，连结,EO FO ， 设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结,BG AG 则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BGAG G CD =∴⊥平面ABG ,AB ⊂平面ABG ,CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.9．如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．ABC ∆内部【答案】A 【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A10．如图，在正四面体D ABC -中，P ∈平面DBA ，则在平面DAB 内过点P 与直线BC 成60°角的直线共有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义判断．【详解】在平面DAB 内过P 点与DB 或AB 平行的直线都与BC 成60°的角，实际上只要求得在平面DAB 内过点B 且与直线BC 成60°角的直线的条数．在空间过点B 与直线BC 成60°角的直线构成以BC 为轴，BD 母线的圆锥侧面，此圆锥侧面与平面DAB 只有两条交线．因此满足题意的直线只有2条． 故选：C ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，掌握异面直线所成角的定义是解题关键．本题利用圆锥侧面与过顶点的平面的交线说明直线的条数，注意体会．11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（ ） A ．5 B ．5C ．26D ．6【答案】C 【解析】分析：结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.详解：取BC 中点M ，取11A D 中点N ，则四边形1B MDN 即为所求的截面， 根据正方体的性质，可以求得122,23MN B D == 根据各边长，可以断定四边形1B MDN 为菱形，所以其面积12223262S =⨯⨯=，故选C. 点睛：该题考查的是有关平面截正方体所得截面图形的面积问题，这就要求首先得确定截面图形的位置，之后根据正方体的性质，确定出截面多边形是一个四个边都相等的四边形，即为菱形，接着求其两条对角线的长度，之后应用面积公式求得结果. 12．已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =.则下列命题中正确的有（ ）①平面PAB ⊥平面PAE ； ②PB AD ⊥；③直线CD 与PF 5④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°； ⑤//CD 平面PAE . A ．①④ B ．①③④C ．②③⑤D ．①②④⑤【答案】B【分析】①要判断面面垂直，需先判断是否有线面垂直，根据线线，线面的垂直关系判断；②由条件可知若PB AD ⊥，可推出AD ⊥平面PAB ，则AD AB ⊥，判断是否有矛盾；③异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即根据//CD AF ，转化为求cos PFA ∠；④根据线面角的定义直接求解；⑤若//CD 平面PAE ，则//CD AE ，由正六边形的性质判断是否有矛盾.【详解】∵PA ⊥平面ABC ，∴PA AB ⊥，在正六边形ABCDEF 中，AB AE ⊥，PA AE A =，∴AB ⊥平面P AE ，且AB面P AB ，∴平面PAB ⊥平面P AE ，故①成立；由条件可知若PB AD ⊥，PA ⊥平面ABC ，则PA AD ⊥，PBPA P =，可推出AD ⊥平面PAB ，则AD AB ⊥，这与,AD AB 不垂直矛盾，故②不成立；∵//CD AF ，直线CD 与PF 所成角为PFA ∠，在Rt PAF △中，2PA AF =， ∴5cos 5PFA ∠=，∴③成立. 在Rt PAD △中，2PA AD AB ==， ∴45PDA ∠=︒，故④成立. 若//CD 平面PAE ，平面PAE 平面ABC AE = 则//CD AE ，这与,CD AE 不平行矛盾，故⑤不成立. 所以正确的是①③④ 故选：B【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，重点考查推理证明，空间想象能力，属于基础题型.二、填空题13．已知长方体的三个不同侧面的面积分别为2、5、10，则长方体的体对角线长是_______ 【答案】30【分析】设长方体的三条棱长分别为,,a b c ，由面积列出方程组，解得,,a b c 后可得对角线长．【详解】设长方体的三条棱长分别为,,a b c ，则2510ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得125a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴对角线长为22230l a b c =++=． 故答案为：30．【点睛】本题考查求长方体的对角线长，掌握长方体的对角线公式即可：,,a b c 是长方体的三条棱长，则对角线长为222l a b c =++，本题属于基础题．14．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A －BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．【答案】14【分析】由题意确定几何体的形状，判断出侧视图的形状为等腰直角三角形，求得侧视图中的直角边长，进而可求出侧视图面积. 【详解】根据题意，该三棱锥的侧面ABD 与底面CBD 是全等的等腰直角三角形，且平面ABD⊥底面CBD ， 过A 作AO⊥BD，垂足为O ，连接CO ，则侧视图为等腰直角三角形AOC 22121+122，所以侧视图的面积为S ＝1221=2224⨯⨯故填：14【点睛】本题考查了根据三视图求面积，考查空间想象能力、逻辑思维能力和计算能力；由三视图求面积的关键是通过三视图还原出几何体的形状和图形中各量的大小.本题也可通过三视图中，俯视图、侧视图高相等，俯视图、侧视图宽相等，正视图、俯视图长相等求解．15．已知,,,P A B C 是球O 的球面上的四个点，PA ⊥平面,26,60ABC PA BC BAC ==∠=︒，则该球的表面积为________．【答案】48π【分析】设M 是ABC 外心，作M 作OM ⊥平面ABC ，取12MO PA =，O 是三棱锥P ABC -外接球球心，求出OA 即外接球半径，即可得球表面积． 【详解】如图，设M 是ABC 外心，作M 作OM ⊥平面ABC ，取12MO PA =，∵PA ⊥平面ABC ，∴//PA OM ，∴PAMO 是直角梯形，22OA OM AM +，2222()OP AM PA OM AM OM OA =+-=+=．∴O 是三棱锥P ABC -外接球球心，在ABC 中，3223sin sin 60BC AM BAC ===∠︒，3AM =，又132OM PA ==，∴223(3)23OA =+=，球表面积为2244(23)48S OA πππ=⨯=⨯=． 故答案为：48π．【点睛】本题考查求外接球的表面积，关键是找到外接球的球心，三棱锥外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．16．设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则12332h h h a ++=；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++=___________．【答案】63a . 【分析】由平面几何类比到空间几何体，注意式子结构上的变化． 【详解】根据等边三角形面积公式23S =，因为 P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，所以()2123132a h h h ⨯⨯++= 即1233h h h ++=正四面体的体积为3212V a =P 点到四个面的距离为1234h h h h 、、、，所以()2312341323412a h h h h a ⨯⨯+++=所以123463h h h h a +++= 【点睛】本题考查了类比推理的简单应用，从平面几何到空间几何体，属于基础题．三、解答题17．已知ABC ∆的三边分别是3,4,5AC BC AB ===，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积【答案】845π 【分析】根据旋转体概念以及圆锥表面积公式求解.【详解】由题意得以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，得两个圆锥，底面半径为341255⨯=， 母线长分别为3,4,因此所得旋转体的表面积为12128434555πππ⨯+⨯= 【点睛】本题考查旋转体概念以及圆锥表面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=︒，2AB AC PA ===.（1）求证：面PBD ⊥面PAC ；（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，求三棱锥M PAB -的体积.【答案】（1）见解析；（223 【分析】（1）根据题意及各边和面的关系，可得PA BD ⊥和BD AC ⊥，因而BD ⊥面PAC ，又因为BD ⊂面PBD ，则面PAC ⊥面PBD ．（2）根据平面AMC 把四面体分成体积相等的两个部分可知，M 为PB 中点，根据各边可求得ABCD S ，进而求得P ABCD V -和M ABCD V -，由M PAB P ABCD M ABCD V V V ---=-可得解．【详解】（1）证明：因为90BAP ︒∠=，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，则PA ⊥面ABCDBD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥又因为120BCD ∠=，ABCD 为平行四边形，则60ABC ∠=，又AB AC =则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥又PA AC A ⋂=，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PAC ⊥面PBD（2）由平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，则M 为PB 中点 由2AB AC ==，120BCD ︒∠=，得23BD = 由()I 知ABCD 为菱形，则1232232ABCD S =⨯⨯= 又由()I 知PA ⊥面ABCD ，则1143232333P ABCD ABCD V S PA -=⋅⋅=⋅⋅= 则112323133M ABCD ABCD V S d -=⋅⋅=⋅⋅= 则23M PAB P ABCD M ABCD V V V ---=-=【点睛】本题考查了空间几何体面面垂直的证明，不规则结构体体积的求法，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.（2）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅱ）14AM AP =. 【解析】分析：（Ⅰ ）取AD 中点为O ，连接CO ，PO ，由已知可得CO ⊥AD ，PO ⊥AD ．以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），进一步求出向量PB PD PC 、、的坐标，再求出平面PCD 的法向量n ，设PB 与平面PCD 的夹角为θ，由n PBsin cos n PB n PB θ⋅==＜，＞求得直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅱ）假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AM APλ=，M （0，y 1，z 1），由AM AP λ=可得M （0，1﹣λ，λ），()1BM λλ=--，，，由BM ∥平面PCD ，可得 0BM n ⋅=，由此列式求得当14AM AP =时，M 点即为所求． 详解：(1)取AD 的中点O ，连接PO ，CO .因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO .因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），则()()111011PB PD =-=--，，，，，，()()201210PC CD =-=--，，，，，， 设()001n x y =，，为平面PCD 的法向量， 则由00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0010210y x --=⎧⎨-=⎩，则1112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． 设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则n PBsin cos n PB n PB θ⋅==＜，＞=3=； (2) 假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AM APλ=，M （0，y 1，z 1）， 由（Ⅱ）知，A （0，1，0），P （0，0，1），()011AP =-，，，B （1，1，0），()1101AM y z =-，，，则有AM AP λ=，可得M （0，1﹣λ，λ），∴()1BM λλ=--，，，∵BM ∥平面PCD ，1112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，为平面PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，解得14λ=． 综上，存在点M ，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 点睛：点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。
2020年山西省太原市第五十六中学高二数学理测试题含解析
2020年山西省太原市第五十六中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（）A．B． C．D．参考答案：D略2. 如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M 为线段PB的中点．现有以下命题：①；②；③点A到平面PBC 距离就是△PAC的PC边上的高．④二面角P-BC-A大小不可能为450，其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：A3. 已知为异面直线，，，则直线（）A．与都相交 B. 至多与中的一条相交C．与都不相交 D. 至少与中的一条相交参考答案：D4. 若P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0参考答案：A5. 函数的零点所在区间为（）A、 B、 C、 D、参考答案：C6. 椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线的斜率的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：B略7. 已知实数满足，证明：.参考答案：证明：证法一，∴，，∴，. ……………………………………………2分∴，即，……………4分∴，∴，……………………………6分即，∴. ……………………………………………8分略8. 椭圆，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：C9. 参数方程(为参数) 的图象是( )A.离散的点B. 抛物线C.圆 D. 直线参考答案：D10. 设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．?x0∈R，x02+1＞0 B．?x0∈R，x02+1≤0C．?x0∈R，x02+1＜0 D．?x0∈R，x02+1≤0参考答案：B 【考点】命题的否定．【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：?x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：?x0∈R，x02+1≤0．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将函数的图象上的每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象上的所有点沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和函数的图象相同，则函数的解析式为___________．参考答案：略12. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为．参考答案：﹣1【考点】空间向量的数量积运算．【分析】先利用空间向量坐标运算法则得到=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），再由向量垂直的性质能求出a．【解答】解：A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），∵AB⊥AC，∴=﹣1+a+2=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查空数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．13. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．参考答案：14. 的展开式中x 2y 2的系数为 ．（用数字作答）参考答案：70【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 、y 的幂指数都等于2，求得r 的值，即可求得展开式中x 2y 2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为 T r+1=?（﹣1）r??=?（﹣1）r ??，令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，故展开式中x 2y 2的系数为 =70，故答案为：70．15. 若且x+y=1,则当x= 时，有最大值；参考答案：略16. 若曲线f(x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．参考答案：a ＜0因为曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，所以有正实数解，即有正实数解，结合图像可知实数a 的取值范围是a ＜0。
山西省太原市第五十六中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(理)试题
7．直线 与曲线 相切于点M（1，2），则b的值为
A．2B．0C．1D．－1
8．若函数f（x）满足 ，则 的值为（）
A．0B．1C．2D．3
9．已知函数 ，则函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（－∞，1）B．（0，1）
C．（ ，1）D．（1，＋∞）
10．由直线 ， ，曲线 及 轴所围成的封闭图形的面积是
所以
解得
故选D.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题.
8．A
【分析】
先求出 ，令 ，计算求出 .
【详解】
计算得 ，
把 代入，得 ，
∴
故选：A
【点睛】
本题考查导数公式的应用及函数值求解，属于基础题．
9．B
【分析】
求导 ，令 ，结合定义域即可求解．
【详解】
，令 ，可得 ，解得 ，又 ，所以 ，故选B
山西省太原市第五十六中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 满足 ，则 的共轭复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
的单调递减区间是 ， ．
（3）函数 ，
有 ，
因为函数在区间 ， 上单调递增，
等价于 在 ， 上恒成立，
只要 （2） ，解得 ，
所以 的取值范围是： ．
【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．
试题解析：
因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
山西省太原市晋源区中学2020-2021学年高二数学理月考试卷含解析
山西省太原市晋源区中学2020-2021学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果+= 1表示双曲线，那么下列各椭圆中，与双曲线共焦点的是（）（A）+= 1 （B）+= – 1（C）+= 1 （D）+= – 1参考答案：D2. 已知，是区间上任意两个值，恒成立，则M的最小值是（）A. 0.B. 2C. 4D. -2参考答案：C3. 函数f（x）=2x+3，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．D．参考答案：D【考点】函数的值．【分析】利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=2x+3，则f（﹣1）=2﹣1+3=．故选：D．4. 若函数f(x)为偶函数，且，则（）A.12B.16C.20D.28参考答案：D略5. 设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B． C． D．﹣2参考答案：D【考点】导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1?k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣?（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．6. 设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为（）A. B. C.D.1参考答案：C略7. 已知，若方程的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则A. B. C. D.参考答案：A8. 已知函数f（x）是偶函数，当0＜x1＜x2时，（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f()，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得则在（0，+∞）上，函数f（x）为增函数，又由函数为偶函数分析可得a=f（﹣）=f（），b=f（2），c=f（3），结合函数的奇偶性可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），有0＜x1＜x2时，（x2﹣x1）＞0恒成立，则在（0，+∞）上，函数f（x）为增函数；又由函数为偶函数，则a=f（﹣）=f（），b=f（2），c=f（3），则有a＜b＜c；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析得到函数的单调性．9. “直线与直线平行”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C若“直线与直线平行”，可得，即或（此时两直线重合，故舍去），即成立；若，则两条直线分别为，，故两直线平行成立，综上可得：“直线与直线平行”是“”的充要条件，故选C.10. 在三角形中有如下性质：①任意两边之和大于第三边；②中位线长等于底边长的一半；③若内切圆半径为r，周长为l，则面积S=lr；④三角形都有外接圆．将其类比到空间则有：四面体中，①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过同一顶点的三条棱中点的截面面积是第四个面面积的；③若内切球半径为R，表面积为s，则体积V=sR．④四面体都有外接球．其中正确的类比结果是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④参考答案：D【考点】F3：类比推理．【分析】由二维到三维的类比推理要注意点的性质往往推广为线的性质，线的性质往往推广为面的性质．【解答】解：将其类比到空间则有：四面体中，①在四面体ABCD中，设点A在底面上的射影为O，则三个侧面的面积都大于在底面上的投影的面积，故三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，所以任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，正确；②由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质，可得过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的，正确；③利用分割法，若内切球半径为R，表面积为s，则体积V=sR，正确；④四面体都有外接球，正确．故选：D．【点评】本题考查类比推理，体现了数形结合的数学思想，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线=1（a ＞b ＞0）的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA|=c ，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的右顶点A （a ，0），拋物线x 2=2py （p ＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出①及=2c②，求出a=b ，即可得双曲线的离心率．【解答】解：∵右顶点为A ，∴A（a ，0）， ∵F 为抛物线x 2=2py（p ＞0）的焦点， ∴F（0，）， ∵|FA|=c，∴①抛物线的准线方程为y=﹣，代入双曲线的方程得x=±，∴=2c②，由①②，得=2c ，即c 2=2a 2，∵c 2=a 2+b 2， ∴a=b，∴双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．12. △ABC 中，BC 边上有一动点P ，由P 引AB,AC 的垂线，垂足分别为M,N ，求使△MNP 面积最大时点P 的位置。
2020-2021学年山西省太原市太钢第一中学高二数学理模拟试卷含解析
2020-2021学年山西省太原市太钢第一中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C略6.等于A B C D参考答案：B略3. 下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：＜，＜，＜，…，则＜（m为正整数）B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8D．所有平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分参考答案：D【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】分别判断各选项，即可得出结论．【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．故选D．【点评】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看它是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．4. 设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略5. 已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是A、（－，－1］B、［－1，2）C、［－1，2］D、［2，＋）参考答案：B6. 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.参考答案：D7. 已知等差数列的通项公式为, 则它的公差是A. B.C. 2D. 5参考答案： B 略8. 已知,则等于( )A.B.C.D.参考答案：C由得9. 设，，，则A ．B ．C ．D ．参考答案：A10. 已知函数，若，则a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，若向量共面，则＝.参考答案：312. 在同一平面直角坐标系中，直线 变成直线的伸缩变换是______.参考答案：【分析】本题首先可以把直线转化为，再然后对直线与直线进行对比观察，即可发现两直线横坐标与纵坐标之间的变化关系，得出结果。
山西省太原市2020-2021学年高二上学期第一次测评(期中)数学试题
（1）若直线 与圆 相交于 两个不同点，求 的最小值；
（2）直线 上是否存在点 ，满足经过点 有无数对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，并且直线 被圆 所截得的弦长等于直线 被圆 所截得的弦长？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【解析】
,选A.
14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．
15．已知经过点 作圆 的两条切线，切点分别为 两点，则直线 的方程为__________．
16．如图，三棱锥 中， 两两垂直， ，设点 是 内一点，现定义 ，其中 分别是三棱锥 ， ， 的体积，若 ，则 的最小值为__________．
三、解答题
17．如图，在棱长为 的正方体 中，点 分别是 的中点，
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 的体积.
18．已知圆 与圆 关于直线 对称．
（1）求实数 的值；
（2）求经过圆 与圆 的公共点以及点 的圆的方程．
19．如图，在四棱锥 中， ， ， ，点 分别是 的中点
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
12．D
【详解】
设公共弦中点为N，球O的半径也就是⊙O的半径，设为R.
则
,
.
故选：Байду номын сангаас.
【点睛】
求解球问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
13．
【解析】
14．
【解析】
试题分析：设圆锥的母线为 ，底面半径为 则 因此圆锥的高是
A． B． C． D．
11．若关于 的方程 有两个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）