高数B试题2012
南京工业大学 高数B(B)试卷含答案
南京工业大学 高等数学B 试题（B ）卷（闭）2011--2012学年第一学期 使用班级 浦生工等 班级 学号 姓名一、填空题（共18分，每小题3分）1. 1．设()()则,12xx x f += ()=∞→x f x lim2．设()x f 在1=x 处可导，且 ()21='f ，则 ()()=-+→hf h f h 121lim3．设函数()x y 是由方程 3=+xy e y所确定，则 ='|y4．如 ()422++=x x x f ，则适合等式 ()()()()0202-'=-ξf f f 的=ξ5．如()()=+=⎰x f C edx x xf x则,6．()⎰-=+113cosdx x x x二、选择题（共12分，每小题2分）1．当0→x 时，下列无穷小中与 x cos 1-等价的是（ ）A.xB. x 21 C. 2x D 221x .2.设 ()()⎩⎨⎧>+<+=0,0,1ln x a e x x x f x，是连续函数，则 ,a 满足:（ ）A.a 为任意实数，B.1-=aC. ,0=aD.1=a3.若()()(),R x x f x f ∈--= ，且在 ()∞,0内()(),0,0>''>'x f x f 则()x f 在()0,∞-内必有：（ ） A.()()0,0<''<'x f x f B.()()0,0>''<'x f x f C.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''>'x f x f4.在下列极限中，正确的是:( )A.22sin lim 0=→x x xB.1arctan lim =+∞→xx x C .e x xx =+→0lim D.∞=--→24lim22x x x 5.定积分 =⎰dx x π20sin （ ）A. 0B. 4C. 2D. 16.直线L 与x 轴平行，且与曲线 xe x y -=相切，则切点坐标是（ ）A.()1,1B.()1,1-C.()1,0-D.()1,0三、计算题（共48分，每小题6分）1.xe x x 1lim 20-→ 2.设 2222++=x x y ,求 y '3.设有参数方程()0sin 322>⎩⎨⎧=++=t tt y t t x ，求 dx dy4.()dx x x ⎰+1215.dx xx ⎰+1316.设 ()()⎰+=13sin dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。
2012全国高中数学联赛一试试题参考答案_B卷
．
{
② ③
则有序数对（ ｘ ， ｙ ）＝ 解： ㊀（ ４ ， ２ ） ．
由①、 ｉ ｎ （ ｘ ） ［ ２＋ ｓ ｉ ｎ （ ｘ ） ］＝ ０ ． ②得ｓ π π 因为 ２＋ ｓ ｉ ｎ （ ｘ ）＞ ０ ， 所以 ｓ ｉ ｎ （ ｘ ）＝ ０ ． π π 代入②得㊀ｓ ｉ ｎ （ ｙ ）＝ ０ ． π 从而， ｘ 、 ｙ 均为正整数．
易知， Ｆ Ｂ的周长为 ４ ａ ， 内切圆半径为 １ ， 则 △Ａ １ １ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｓ ａ ·１＝ ２ ａ ． Ｆ Ｂ ＝ ·４ △Ａ １ ２ １ 又Ｓ ｃ ·│ｙ ｙ ４ ｃ ． │＝ Ｆ Ｂ ＝ ·２ １－ ２ △Ａ １ ２ 所以， 由２ ａ ＝ ４ ｃ ， 得ｅ ＝ ｃ １ ＝ ． ａ ２
．
当且仅当 Ａ Ｍ⊥Ｂ Ｃ ， 即Ａ Ｂ＝ Ａ Ｃ＝ ５时， 上式等号成立． ㊀㊀故△Ａ Ｂ Ｃ面积的最大值为 １ ２ ． → → → 【 方法 ２ 】 因为 │Ａ Ｂ－ Ａ Ｃ Ｃ ａ ＝ ６ ， │＝ │Ｂ │＝ → ２ → ２ → → 所以 │Ａ Ｂ Ｃ ２ Ａ Ｂ ·Ａ Ｃ＝ ３ ６ ． │ ＋ │Ａ │ －
【 方法 １ 】 易知， 在一次投掷中， 投出的点数是 ７的概率为 率为
１ １ １ １ ． 从而， 投出的点数是奇数但不是 ７的概率为 － ＝ ． ２ ２ ６ ３ 在 ３次投掷中， 记“ 仅有一次投出的点数是 ７ ， 另两次中至少都是 ７ ， 另一次投出的点数是偶数” 为事件 Ｂ ． 显然 Ａ与 Ｂ互斥． 故所求事件 为 Ｃ＝ Ａ＋ Ｂ ． ７ １ １ １ １ ２ １ １ 因为 Ｐ （ Ａ ）＝ Ｃ ［ Ｃ （ ） ］＝ ， ˑ ˑ ＋ ３ˑ ２ˑ ６ ２ ３ ２ ２ ４ １ ２ １ １ ２ ㊀㊀ Ｐ （ Ｂ ）＝ Ｃ （ ） ˑ ＝ˑ ， ３ˑ ６ ２ ２ ４ ７ １ １ （ Ｃ ）＝ Ｐ （ Ａ＋ Ｂ ）＝ Ｐ （ Ａ ）＋ Ｐ （ Ｂ ）＝ ＋ ＝ ． 所以 Ｐ ２ ４ ２ ４ ３ 【 方法 ２ 】 在 ３次投掷中， 记“ 至少有一次投掷的点数是偶数” 为事件 Ａ ， “ 至少有一次投掷的点 数是 ７ ” 为事件 Ｂ ， 则所求事件为 Ｃ＝ Ａ ． ∩Ｂ 因为 Ｃ＝ Ａ Ａ ， ∩Ｂ＝ ∪Ｂ
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。
设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。
由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。
2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。
若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。
2012年高数专升本真题及其参考答案.
Passage four Animals seem to have the sense to eat when they are hungry and they do not eat more than their bodies need. It has been demonstrated that rats will, when given a choice over a period of time, prefer water with vitamins to water without vitamins even though there is no difference in taste or smell between the two water bottles. When a fragrant flavor was added to the vitamin-enriched fluid, the rats did seem to develop a taste for it and kept drinking it ,even after the vitamins were switched to the clear water. In time, however ,they broke the habit and went back to where the necessary vitamins were.In a classic experiment, babies of 6 to 12 months old were placed in a cafeteria feeding arrangement, with a wide selection of baby food before them. They were given whatever food they pointed to or appeared interested in. We are told that at first they showed some unusual eating patterns, but that over a period of time they managed to select well-balanced diet.So, in selecting food, rats and babies do seem to know and act on what's best for them. Apparently, there is a kind of "body wisdom,＂which humans soon lose. Most of us do not eat as wisely as we could. Many of our food preferences are culturally determined and influenced by long-established habits. Some people eat fox, dog and blackbirds ,while we eat cows and pigs. So what people eat and how much they eat seems to be greatly influenced by what is going on around them.76. In the experiment on rats, a fragrant flavor was added to the rat's drinking water to___.A. encourage rats to drink vitamin-enriched water B. find out rats preference in flavor C. test whether rats know which drink is good for them D. demonstrate that vitamins are tasteless 77. The expression "the habit" (para.1, sentence 4 refers to drinking water which_________. A. has no smell B. is tasteless C. has vitamins D. is flavored 78. According to the passage ,adults eating habits differ from those of babies because_____.A. adults know better than babies what kind of food are good for their healthB. adults usually cannot resist the temptation of various delicious foodsC. adults' eating habits areclosely related to the social and cultural customs D. adults have more choices of food than babies in eating patterns 79. The author implied in the passage that most ofus_________. A. eat a balanced dietB. choose the food that is of nutritionC. have the habits influenced by the surroundingsD. like to eat the food with a fragrant flavor80. As far as their eating habits are concerned, babies and rats are similar inthat______. A. both have the wisdom to choose a balanced diet B. both prefer flavored food and drinkC. both have the same eating patternsD. both develop a taste for the same kinds of flavors Part IV. Translation . ( 30pointSection A: Directions: There are 10 sentences in this section. Please translate sentences 81-85 from Chinese into English, and translate sentences 86-90 from English into Chinese. Write your answer on the Answer Sheet.81 我们向李先生学习，因为他有丰富的工作经验。
大学高数试题（共7套）
第1 页共5页2010-2011学年第一学期考试卷 A课程：高等数学Ⅰ1（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题．填空题((每小题3分,本大题满分15分) 1．设函数îíì>£=1||01||1)(x x x f ，则)]([x f f = . 2．设函数ïîïíì³+<=0202sin )(x ax x xx x f ，当常数=a ____________时时,)(x f 在0x =处连续处连续. .3．曲线x e y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __. 4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为的凹区间为_______ _____. _______ _____. 5．若x e -是)(x f 的原函数，则dx x f x )(ln 2ò = . 二．选择题选择题((每小题3分,本大题满分15分)1. 1. 当当1x ®时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. A. 高阶无穷小高阶无穷小; B. B. 低阶无穷小低阶无穷小;C. C. 等价无穷小等价无穷小;D. D. 同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小. 2．若¥=®)(lim x f ax ，¥=®)(lim x g ax 则必有（）A. ¥=+®)]()([lim x g x f a x ;B. ¥=-®)]()([limx g x f a x ;C. 0)()(1lim=+®x g x f ax ; D. ¥=®)(lim x kf ax ，（0¹k 为常数）3.3.函数函数xx x x f p sin )(3-=的可去间断点个数为（）.A ．1; B. 2; C. 3; D. 1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个无穷多个无穷多个. .4.设函数)(x f y =在点0x 处可导,且0)(0¹¢x f ，则xdy y xD -D ®D 0lim 等于（）.A. 0A. 0；；B. -1 B. -1；；C. 1 C. 1；；D. ¥ .5. 5. 设设)(x f 连续，且ò=24)(x x dt t f ，则)4(f = = （（）A. 2A. 2；；B. 4 B. 4；；C. 8 C. 8；；D. 16 . 三．解答下列各题解答下列各题((每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ×=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数处的导数. .3．设îíì=+=ty tx cos 12，求dx dy 和22dx y d 。
淮海工学院2012高等数学竞赛B组试卷参考答案及评分标准
第１页 共3页2012年淮海工学院高等数学竞赛B 组试卷参考答案及评分标准1、当0x →时，1xxe 是--------------------------------------------------------------------------(D)(A) 无穷小 (B)有界但非无穷小 (C) 无穷大 (D)无界但非无穷大2、设函数22012111()(1)(2)(2012)f x xx x =--- ，则'(1)f =--------------------（C ） （A ）2012!- （B ）2011!- （C ）2011! （D ）2012!3、当0x →时，2ln(1)0()ln(1)x f x x dx +=+⎰是ln(1)20()ln(1)x g x x dx +=+⎰的----(D)(A)低价无穷小 (B)同阶非等价无穷小 (C)等价无穷小 (D)高阶无穷小 4、22(,)(0,0)(,)(0,0)limx y f xy f x y→-+存在是(,)f x y 在()0,0处可微的 ------------------ (B) (A) 必要但非充分条件 (B) 充分但非必要条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5（本二学生做）、设函数)(t f 连续，则二次积分122cos ()d f r dr πθθ=⎰⎰------------（C ）（A ）22110dx⎰（B ）1220()dx x y dy +⎰（C ）2210dx dy ⎰（D ）1220()dx x y dy +⎰5（东港学生做）、设4488tan ,tan xx I dx J dx x xππππ==⎰⎰，则有---------------------（C ）（A ）ln 28I J π<<< （B ）ln 28J I π<<< （C ）ln 28I J π<<< (D)ln 28I J π<<<二、填充题（本大题共5小题，每题4分，共20分）1、22(1)1x x y x -=+的斜渐近线方程为1y x =-．2、设)(u f 可导，22(log )y f x =当自变量x 在1-=x 处取得增量0.01x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.02，则(0)f '=ln 2．提示：22222[(log )]''(log )ln 2dy f x x f x x x =∆=∆． 3、y xz x y -=+, 则n n z x ∂=∂12(1)!()n n y n x y +-+．4、21x x dx e e +∞-=+⎰4eπ．5、（本二学生做）设{}(,)|2,0,0D x y x y x y =+≤≥≥,则1d 2Dx x y σ+=++⎰⎰1. 5、（东港学生做）40=⎰2.三、计算题（本题8分）3arcsin32sin 2022lim 33x xx arc x x →--． 解：原式arcsin33arcsin33arcsin3sin 22sin 22sin 200022121lim lim lim 33131x x x x x arc x x arc x x arc x x x x ----→→→--==--------------------2(3arcsin3)ln 2(2sin 2)ln3001ln 23arcsin 3lim lim 1ln 32sin 2x x x arc x x x e x x e x arc x--→→--==----------------------2 112222'11002222ln 233(19)3ln 2(19)1lim lim ln 32ln 322(14)(14)1L Hx x x x x x --→→------==--------------------2 20293ln 227ln 22lim 42ln 38ln 32x xx →==.---------------------------------------2第２页 共3页四、计算题（本题8分） 若2arctan ln(1)sin x t y t y =⎧⎨=--⎩确定了二阶可导函数()y y x =， 试判定()y y x =在0x =处的极值性与局部凹凸性.【解】因22212'(),''()1(1)tx t x t t t -==++， 2222222(1)'()'()cos ,''()'()sin ''()cos 1(1)t t y t y t y y t y t y y t y t t --+=-=+---，----------2 则3'()1'()'()''()''()'()'(),''()[]'()'()'()'()y t d y t x t y t x t y t y x y x x t x t dt x t x t -===，------------------2 当0x =时，0t =，0y =，将其代入上述诸式，得'(0)0,''(0)10y y ==-< 则()y y x =在0x =处取得极大值(0)0y =-------------------------------------------------2 由''()y x 的连续性知，在0x =的局部邻域内''()0y x <，故其为凸的. ----------------2 五、问答题（本题10分）设数列{}{}n n x y 、满足10x >，11n x +=，1(cos )n n x x n n y x += (1,2,)n = ，请问数列{}{}n n x y 、收敛吗？若收敛，求lim ,lim n n n n x y →∞→∞；若发散，说明理由. 答：因10x >，若0n x >，则10n x +=>，{}n x 有下界----------------1于是41334(1)114n n nx C x x +>+=+,有1(1)0n n n x x x +-=+>，则{}n x 单调减少-----------------------2根据单调有界定理知{}n x 收敛，-------------------------------------------1 令lim n n x A →∞=，则0A ≥--------------------------------------------------1在11n x +=两边取极限化简得3(64)0A A A ++= 于是有lim 0n n A x →∞==， -------------------------------------------------10limlim lim (cos x n n n n n x y x e→+→∞→== ---------------------------1232003(cos 1)11ln cos cos 1limlim 221n n nn n x x n n nnnx x x x x x x x eee ++→→----== ，---------------------------2故{}n y 收敛.------------------------------------------------------1六、计算题（本题8分）如图，)2,3(是()y f x =的拐点，1l 、2l 分别是该曲线在)0,0(与)2,3(处的切线，其交点为)4,2(，设()y f x =具有三阶连续导数，求320()()x x f x dx '''+⎰．y0 2 3 4 x解： 由题设图形知， (0)0,(0)2f f '==；(3)2,(3)2,(3)0.f f f '''==-=---------2则原式3322300()()()()(21)()x x df x x x f x x df x '''''=+=+-+⎰⎰---------------233(21)()2()x f x d f x '=-++⎰-------------------------------------------------2 162[(3)(0)]ff =+-=．-----------------------------------------------------2七、计算题（本题8分）设(,)((,))((,)),((,))((,))0,z xu x y y u x y u x y x y u x y u x y ϕψϕψ=++⎧⎨''++=⎩其中),(y x z z =二阶偏导数连续，求2()xx yy xy z z z ⋅-．解：将原方程组各方程两端对x 求导得(()())1(()())0x x x z u x y u u u uy u u u ϕψϕψ''=+++=⎧⎨''''++=⎩--------2将原方程组各方程两端对y 求导得()(()())()()(()())0y y y z u x y u u u u u y u u u ϕϕψϕϕϕψ''=+++=⎧⎨'''''++=⎩---2则1()()xx x z u y u u φψ==-''''+-----------------------------------------------------------------12()(),()()yy y u z u u y u u φϕφψ''==-''''+------------------------------------------------------------1xy y z u =(),()()u y u u φφψ'=-''''+ ------------------------------------------------------------------1 故2()0xx yy xy z z z ⋅-=．---------------------------------------------------------------------------1第３页 共3页八、（该题本二学生做）计算题（本题8分）设(){}1010≤≤≤≤=y ,x x,y D ，计算{}2max d d DI x,y y x x y =-⎰⎰．解：记1:01D x y ≤≤≤，22:1D x y x ≤≤≤，： 23:01D y x ≤≤≤-------------------2则123222()d d ()d d ()d d D D D I y y xx y x y x x y x x y x y =-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰------------------22211112233d ()d d ()d d ()d xx xxx y yx y x xy x y x x xy y =-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------21140=．----------------------------------------------------------2 八、（该题东港学生做）计算题（本题8分）过曲线)0y x =≥上点A 的切线与该曲线及x 轴所围区域D 的面积为43=S ，（1）求点A 的横坐标t ；（2）求D 绕直线x t =旋转一周所得旋转体的体积V ．解：（1）设(A ，则切线方程为()2313y t x t -=-，-----------------------------1 此切线与x 轴交点的横坐标为t x 20-=，-----------------------------------------------------2因401333244t S t x t =⋅==⎰，有1t =，得(11)A ,；---------------------1（2）123201333(1)d 314V ππy y π=--=⎰．-------------------------------4九、证明题（本题10分） 设0()()t F t f t dt =⎰，其中()f t 是周期为T 的连续函数，证明：（1）()()()F t T F t F T +=+；（2）0()[()()]()tg t F t T F t dt TF t =+--⎰是周期为T 的周期函数．证明：（1）设()()()()HtFt T Ft FT =+----------------------------------------------------1因()f t 是周期为T 的连续函数，则'()()()0H t f t T f t =+-=-------------------------2 于是()(0)(0)0H t C H F ====，则（1）得证；--------------------------------------------1 （2）由上，知0()()()()()t g t F T dt TF t tF T TF t =-=-⎰---------------------------------1则'()()()g t F T Tf t =----------------------------------------------------------------------------1 令()()()G t g t T g t =+-，则'()'()'()0G t g t T g t =+-=-------------------------------2 于是()(0)()(0)0G t C G g T g ===-=,故（2）得证．------------------------------------1十、应用题（本题10分）设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线)，（1）求,a b 满足的等式；（2） 求,a b 的值, 使椭圆的面积最小．解：（1） 由题意，圆与椭圆的公切点00(,)x y 不在y 轴上，则00x ≠，--------------1同时220000()(1)b x a y x y -=--，即2220)y b b a =---------------------------------1 因22220000222,1x y x y y a b +=+=，有222200220b a y y a b--+=----------------------------1 将上述两式消0y ，得22420ab a b --=；-----------------------------------------------------1（2） 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在条件22420a b a b --=下的最小值，构造拉格朗日函数2242()L ab a b a b πλ=+-- ------------------------------------------1 令2222(2)0,2(1)0a b L b a b a L a b a πλπλ=+-==+-=-----------------------------2 可得242b a =，代入22420a b a b --=，得(,)(a b =，-----------------2 因该实际问题中,椭圆面积的最小值存在, 则上述坐标即为所求．------------------------1。
2012高数B(2)复习题解答
2012高等数学B(2)复习题及解答1、220()()xF x tf x t dt =-⎰，求()F x '2、2220cos sin y x t xe dt tdt y =+⎰⎰，求y '3、11111()12x dx e -⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦⎰；解 由于11111111()12121212x x x x x e e e e e --=-=--=--++++为奇函数，故11111()212x dx e -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦⎰ 4、设(,)z f x v =，(,)v v ax by =其中f ，v 具有二阶连续偏导数，求22zy∂∂5、交换⎰⎰-1022),(y ydx y x f dy 的积分次序解 D ：10≤≤y ，22y x y -≤≤，21D D D +=，其中1D ：10≤≤x ，20x y ≤≤；2D ：20≤≤x ，220x y -≤≤⎰⎰-1022),(y ydx y x f dy +=⎰⎰12),(x dy y x f dx ⎰⎰-21202),(x dy y x f dx6、讨论下列函数项级数的收敛域（1）()∑∞=-121n nx n ； （2）330(!)(21)(3)!n n n x n ∞=-∑； （1）解 令2-=x y ，则原级数化为∑∞=11n ny n，1lim 1n n n n a R a →∞+===当1=y 时，∑∞=11n n 发散；当1-=y 时，()∑∞=-111n n n 收敛。
收敛域为 11<≤-y ⇒ 121<-≤-x ⇒ 31<≤x（2）解 缺项情形，直接用函数通项比值法求R3331(1)2121lim lim 1(33)(32)(31)27n n n nn x x u u n n n +→∞→∞+--==<+++ 当213x -<时，原级数绝对收敛；当213x -=±时，33(!)(3)lim lim 0(3)!nn n n n u n →∞→∞±=≠，原级数发散。
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
高数B分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、10、 11、 12、 13、 14、15、 16、 17、18、 19、 20、21、 22、23、24、 25、26、 27、 28、 29、30、 31、32、 33、 34、 35、36、 二、填空题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、28、 29、 30、 31、 32、 33、 34、 35、 三、计算定积分1、求定积分 解:2、求定积分解:3、求定积分4、求定积分 解: 解:5、求定积分解:0022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解:令,则,且当时,;时,。
于就是7求定积分解:令8、求定积分解:9、求定积分解:111211002220001111ln(1)|arctan |ln 2111224x x dx dx dx x x x x x π+=+=++=++++⎰⎰⎰ 10、求定积分解:由定积分得几何意义可知,积分值为区域 落在第一象限得部分得面积,即, 解法二,令,则,且当时,,当时,,则2222000014cos 2(1cos 2)2(sin 2)|2tdt t dt t t ππππ==+=-=⎰⎰⎰11、求定积分解: 令 ,则,且当时,;时,。
于就是2333221444sec cos 1|tan sec sin sin 3tdt t dt t t tt ππππππ===-=⎰⎰⎰12、求定积分 解:令111111000222|222|2ttt t t te dt tde te e dt e e ===-=-=⎰⎰⎰⎰四、计算偏导数、全微分 1、设其中,求。
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛b题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）.我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： J2913 所属学校（请填写完整的全名）：渭南师范学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 吕通2. 石法燕3. 王蓉指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：刘龙飞日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：太阳能小屋的设计摘 要讨论了太阳能小屋设计的优化问题，太阳能小屋就是利用在其房子的外围及其屋顶铺设光伏电池以接受太阳能从而获得太阳能量，用来供暖、供能以达到服务人们的目的.因为不同种类的光伏电池每峰瓦的价钱差别很大，且每峰瓦的实际发电效率还与太阳辐射强度，光线入射角，环境，建筑物所处的地理纬度，气候气象条件，安装部位及方式（贴附与架空）等因素有关，所以光伏电池的优化铺设是问题的核心.问题一：首先，对题目所给数据运用MATLAB 软件进行数据预处理，建立了小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大的最优化模型：875924max 11*i j j j i j p m x A η===∑∑；然后，利用LINGO 编程求解该优化模型，从而得到电池组件的分组数量和容量；在此基础上进一步建立单位发电量的费用尽可能小的最优化模型：875924'111112n mi j j j l f i j l f S m x A s s η=====--∑∑∑∑从而选配出相应的逆变器的容量和数量；最后，根据电池不同使用年限的效率计算35年寿命期内的发电总量，根据不同型号光伏电池的价钱和逆变器的数量计算器经济效益和投资的回收年限.问题二：首先，在问题一所得到的铺设电池的数量、型号及其连接方式都不发生改变的条件下，仅仅考虑各个面上所对应的电池组件的架空角度，根据附件6中所给出来的有关概念，分别计算出各个时间所对应的太阳高度角α；然后，利用公式()s i n /s i n R S D θαθα=++⎡⎤⎣⎦，计算出各个面上的电池架空的最优角度θ；最后，计算出倾斜光伏阵面接受的太阳辐射强度.最终可以建立同问题一类似的最优化模型，利用LINGO 编程求解，最终达到题目所要求的最优结果.问题三：根据附件7中所给的限定条件，建立了小屋在所给范围内的最大有效面积的最优化模型：max log 22log log S wid wid hig hig w wwid =⨯+⨯⨯+⨯-⨯；然后利用LINGO 编程求解该优化模型得出小屋的有效面积.让房子与正南方向有一定夹角，运用Hay 模型求出最佳角度为045,这样该问题又回归到了问题二，运用问题二的计算方法进行进一步求解.得出，北向面经济效益为负值，所以我们在对小屋各面进行铺设时，只考虑其东南、西三面及顶面，这样才能达到经济效益最大. 且架空式铺设的经济效益大于贴附式铺设.关键词：太阳能小屋；光伏电池；Matlab 软件；Lingo 编程；太阳高度角.近年来，随着环境污染和能源的高消耗问题日益严峻，节能减排已势在必行.为此，国家积极倡导节能减排政策，维护我们赖以生存的家园.为响应政府的号召，某地需要设计太阳能小屋，即在建筑物的表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网.因为不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等.因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题.附件1—7提供了相关的信息，根据所给的数据，对于下面的三个问题，分别给出它的铺设方案，使得小屋全年太阳能光伏发电量尽可能的大，而单位发电量的尽可能的小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内发电总量，经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh 计算）及投资的回收年限.在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表.在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联.在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接.应注意分组连接方式及逆变器的选配.问题一：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量.问题二：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1.问题三：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果.二、问题分析问题一：第一小问要求我们根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设.此问题属于优化问题，要想使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，必须首先计算出小屋各个面的太阳辐射强度.首先对所给数据用MATLAB软件进行数据预处理，然后以铺设面积和块数为限定条件建立目标函数，用LINGO编程求解.最后用CAD制图.第二小问要求我们根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量.根据同型号电池可以串联，不同型号光伏电池组件在端电压相差不应超过10%的情况下可以并联的条件，对电池组间进行分组并选配相应的逆变器的容量和数量.问题二：同问题一一样是优化问题，只不过采用架空模式.架空铺设，电池板与墙面之间就有了一定的角度从而使得电池板接受的太阳辐射强度达到最大，可设此角度为θ建立一元函数,求出最适角度θ.再根据倾斜光伏阵面太阳辐射量计算公式,计算出倾斜光伏阵面接受的太阳辐射强度，建立同2.1的目标函数并用MATLAB编程求解.问题三：要求我们根据附件7给出的小屋建筑要求，重新设计一个小屋.充分利用题目所给条件，建立最优模型并根据所给限定条件用LINGO编程求解，得出小屋的最大有效面积，于是该题又变成了问题一，利用问题一的方法进行求解.1、假设题目所给数据都是正确的；2、假设每天都是晴天，不考虑阴雨天情况；3、假设附近没有高大建筑物;4、忽略光电池的内部消耗和分布效应;5、假设气候没有太大变化;6、假设温度对光伏电池的转换率没有影响.5.1问题一5.1.1模型一通过前面问题分析可以看出该问题属于优化问题，要想使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，必须首先计算出小屋各个面的太阳辐射强度.首先对所给数据运用MATLAB编程进行数据预处理；根据年发电量公式：年发电量=年平均太阳辐射总量*电池总面积*光电转换效率，建立最优化模型：目标函数：875924max11i j j ji jP m x Aη===∑∑约束条件：241,1,2,......,24 j jjj jjx A Sx k jx Z=⎧≤⎪⎪⎪≤=⎨⎪∈⎪⎪⎩∑有效根据附件2计算出屋顶及东、西、南、北各面的有效面积如下表：屋顶东向面南向面西向面北向面有效面积/2m60.827792 24.230 19.235310 26.98 36.183东向面西向面南向面北向面最大发电量（W）3762775 5737500 6710314 1633202所选用型号及个数（个）东向面A1(6) A2(2) A3(18) A4(1)西向面A1(3) A2(2) A3(21) A4(1)南向面A1(9) A2(2) A3(15) A4(1)北向面A3(27) A4(1)经过优化后各面选用的光伏电池板型号、块数：所选用型号及个数（个）东向面A3(14) A1(2) C8(4)西向面A3(17) C3(9)南向面A1(2) A3(3) C7(12) C8(21) C9 (1) C10(2)北向面A3(24) C8(3) C9(5)图1 小屋北向面电池组件铺设分组阵列图图2 小屋东向面电池组件铺设分组阵列图图4 小屋南向面电池组件铺设分组阵列图由于题目没有给出屋顶的太阳辐射强度（屋顶为斜面），我们根据倾斜光伏阵面太阳辐射量计算公式：()sin /sin R S D βαβα=⋅++⎡⎤⎣⎦（屋顶倾斜角度为β）可计算出屋顶的辐射总强度.其中，sin sin sin cos cos cos αφδφδω=⋅+⋅⋅，由于α为正午时分太阳高度角，所以时角ω=0，cos ω=1.当地纬度φ=040.1，()228423.45sin 365n πδ+⎛⎫= ⎪⎝⎭（度）.经过一系列的数据处理及计算得出屋顶的太阳总辐射强度为：116674797.42/W m .图5 各面太阳辐射强度比例如下饼形图建立如上最优模型：目标函数：875924max 11i j j j i j P m x A η===∑∑约束条件：241,1,2,......,24 j jjj jjx A Sx k jx Z=⎧≤⎪⎪⎪≤=⎨⎪∈⎪⎪⎩∑有效运用 LINGO编程得出屋顶最大发电量为：5684159.6W表1-6 屋顶铺设光伏电池板的优化结果铺设光伏电池型号A3 B7 C5 C6 C9铺设数量（个）28 6 4 28 14由此优化结果作出小屋顶面电池组件铺设分组阵列图如下：图6 小屋顶面电池组件铺设分组阵列图5.1.2 模型二通过以上求解及模型优化，得出了小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形.根据以上结果及附件1、3、5对各电池组件进行了最优链接并在经济投入最低的情况下为其安装了最优逆变器.建立了费用尽可能小的最优化模型：目标函数：875924'111112n mi j j j l fi j l fS m x A s sη=====--∑∑∑∑(S为经济效益，l s为电池板价格，f s为逆变器价格)约束条件：241,1,2,......,24j j j j j j x A S x k j x Z =⎧≤⎪⎪⎪≤=⎨⎪∈⎪⎪⎩∑有效电池组件连接方式图如下：图7 北向面所铺电池组件连接方式图8 南向面所铺电池组件连接方式图9东向面所铺电池组件连接方式图10 西向面所铺电池组件连接方式图11顶面所铺电池组件连接方式根据5.1.2中给出的小屋外表面光伏电池的铺设方案，参照附件3及5.1.2对小屋表面光伏电池板的年发电量计算的结果，计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投入如下表：表2-6东面西面南面北面顶面总和年发电量（千瓦）3762.775 5737.5 6710.314 1633.202 5684.159635年后总发电量118527.4125 180731.25 211374.891 51445.863 179051.0274 741130.4439 投入（元）21603.2 24295.5 34147.3 35696 42810 158552 经济效益37660.50625 66070.125 71540.1455 -9973.0685 46715.5137 212013.222有上表可知，北向面经济效益为负值，所以我们进一步优化不对小屋的背面进行铺设，只对其东、南、西面及顶面进行铺设.那么根据：投资回收年限=总投入/每年的经济效益，经过数据处理我们可得出投资的回收年限为：19年.5.2 问题二5.2.1 模型一：问题二与问题一的唯一区别是铺设方式不同，对于架空式安装，我们假设所有电池板的安装的角度相同（设为 ），我们需要计算出倾斜光伏电池面的光照强度才能建立同问题一一样的模型.倾斜光伏阵面太阳辐射量计算公式：()sin /sin R S D θαθα=++⎡⎤⎣⎦,其中α同5.1.2一样可以根据公式计算得出.因此次工时仅有θ一个自变量，为一一元函数.对此函数求导得：()'cos /sin R S θαθα=+⎡⎤⎣⎦ 令'0R θ= 得θ=036 ，则此θ值即为光伏电池板的最佳铺设角度.将θ代入公式()sin /sin R S D βαθα=++⎡⎤⎣⎦则可计算出各倾斜光伏阵面上的太阳辐射强度分别为：建立类似于5.1.1的目标函数：max 11i j j j i j P m x Aη===∑∑ 找出约束条件，并用LINGO编程计算出小屋各个面上的最大发电量如下表：5.2.2 模型二电池组件连接方式及逆变器的选择同5.1.2相同（见附录） 5.2.3 模型三架空安装情况下，小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh 计算）及投入如下表：表2—9由上表我们可得出架空是铺设投资的回收年限为：15 年，很显然，架空式铺设的经济效益大于贴附式铺设. 5.3 问题三 5.3.1 模型一：该问题要求我们根据附件7给出的小屋建筑要求，重新设计一个小屋。
2012高数2-B(专)
装订线长春师范学院课程结业考试试卷评阅三联单第一联（本联与试卷一同保存）领导审核签字：考试科目：高等数学（专科）命题教师：应用数学教研室适用年级：2011级学年度：2011—2012学期：第二学期考生人数：27监考教师填写：试卷密号学生填写：学院班级考场-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第二联（本联由成绩录入人保存）考试科目：高等数学（专科）命题教师：应用数学教研室适用年级：2011级学年度：2011—2012学期：第二学期考生人数：27监考教师填写：试卷密号阅卷教师填写：分数阅卷人学生填写：学院班级考场注：待试卷批阅结束后请成绩录入人持第二联到分院领取第三联进行录入、提交成绩。
成绩提交完毕，本联及第三联与成绩单一同放入试卷及成绩分析文件袋保存。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第三联（本联在考试结束后由监考教师撕下装订由分院单独封存）考试科目：高等数学（专科）命题教师：应用数学教研室适用年级：2011级学年度：2011—2012学期：第二学期考生人数：27监考教师填写：试卷密号学生填写：姓名：学号：班级：学院：考场：注：1.三联单中试卷密号由监考教师在考试结束后随机编写，可按收卷顺序编写，保证每份试卷的密号是该考场中唯一的数值（001-200），同一张三联单上的试卷密号须一致，密号不得外泄。
2.三联单中学生信息必须填写准确，试卷其他位置不得填写任何个人信息或做记号，否则按作弊处理。
2012年全国高中数学联赛加试试题(B卷)参考答案及评分标准
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因此， Ｐ Ａ Ｍ＝ Ｐ Ａ＋ Ｍ Ｂ ． 所以 Ａ Ｍ＝ Ｍ Ｂ １ ０分 故Ｍ Ｎ Ｂ ． ⊥Ａ 连结 Ｑ Ｉ 并延长， 交Ａ Ｎ于 Ｃ ， 则Ｃ Ｑ Ｂ ． ⊥Ａ １ １ 因而 Ｍ Ｎ Ｑ ２ ０分 ∥Ｃ １ 因此， Ｃ Ｑ＝ Ｎ Ｍ＝ Ｐ Ｑ ． ∠Ａ ∠Ａ ∠Ａ １ 故Ａ 、 Ｐ 、 Ｃ 、 Ｑ四点共圆 ３ ０分 １ 从而∠Ａ Ｐ Ｃ １ ８ ０ ° － Ｑ Ｃ ９ ０ ° ＝ Ｐ Ｃ ． ∠Ａ ∠Ａ １＝ １＝ 所以点 Ｃ 即Ｃ 、 Ｉ 、 Ｑ三点共线 １ 与点 Ｃ重合， 二、 （ 本题满分 ４ ０分） 给定整数 ｎ ＞ １ ， 设ａ ， ａ ， …， ａ 记集合 １ ２ ｎ 是互不相同的非负实数， Ａ＝{ ａ ａ Ｂ＝{ ａ ａ }， } │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ． ｉ＋ ｊ ｉ ｊ 求 │Ａ │ 的最小值． 这里， │Ｘ │表示集合 Ｘ中元素的个数． │Ｂ │
２ ０ １ ２年全国高中数学联赛加试试题（ Ｂ卷） 参考答案及评分标准
说明：
１ 、 评阅试卷时， 请严格按照本评分标准的评分档次给分； ２ 、 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理， 步骤正确， 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评 分， １ ０分为一个档次， 不要再增加其他中间档次．
一、 （ 本题满分 ４ ０分） 如图， 圆Ｉ 内切于圆 Ｏ ， 切点为 Ｐ ， 圆 Ｏ的弦 Ａ Ｂ切圆 Ｉ 于点 Ｑ ， Ｐ Ｑ的延长线交圆 Ｏ于点 Ｍ， Ｍ Ｎ为圆 Ｏ的直径． 过点 Ｐ作 Ｐ Ａ的 垂线交 Ａ Ｎ于点 Ｃ ． 求证： Ｃ 、 Ｉ 、 Ｑ三点共线． 证明： 作圆 Ｏ ， 圆Ｉ 的公切线 Ｐ Ｄ ， 则∠Ｍ Ｐ Ｄ＝ Ｑ Ｐ ． ∠Ａ
２ ｜ ｘ １－ Ａ ｜ ｎ － １＋ ｜ ｘ Ａ ｜ ＝｜ ｘ ＋ １－ Ａ ｜ ＝ ０分 ３ ｎ－ ｎ － １ 槡 ｘ １＋ Ａ ｎ － １＋ 槡 ２ 由 Ａ满足方程①知， １－ Ａ ＝－ Ａ ． 又槡 ｘ １＋ Ａ＞ Ａ＞ １ ， ｎ － １＋
高数B(上)试题及答案
高等数学B （上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。
3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n→+∞+++ . 解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim1cos x x x xx →-+=- （2分） 02sin cos limsin x x x xx→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++， （2分）123123y y x x x '=+++++， （2分） 故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x=++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos ln sin y x x = （3分）()()cos 12sin cotlnsin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+， （3分）由4200S x '=-+=，知 （3分） 当宽5x =时，长20210y x =-=， （3分） 面积最大51050S =⨯=（平方米）。
2012高考试题—数学理(湖北B卷)word版
试卷类型B2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方块涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应该根据直接的选做的题目准确填涂题号，不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程 2x +6x +13 =0的一个根是A -3+2i B.3+2i C.-2 + 3i D.2 + 3i2 命题“∃x 0∈C R Q ， 30x ∈Q ”的否定是A ∃x 0∉C R Q ，30x ∈QB ∃x 0∈C R Q ，30x ∉QC ∀x 0∉C R Q ， 30x ∈QD ∀x 0∈C R Q ，30x ∉Q3 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ，则它与X 轴所围图形的面积为A.2πB.32C.43D.25π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为 A. 83π B.3π C. 103π D.6π5.设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a=A.0B.1C.11D.126.设a,b,c,x,y,z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax+by+cz=20,则a b c x y z++=++A.34B. 12 C 13 D. 147.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。
高数下册试卷B及答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版高等数学(2)期末考试试题【B 卷】姓名 班级 学号填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1． 设有向量)1,2,1(=→a ，)0,2,1(-=→b ，则=-→→b a 2＿＿＿＿＿ 2． 过点)1,1,1(且与平面042=--+z y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿ 3．=+→xyyx y x )2,1(),(lim＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4． 曲线积分⎰+)(AB L Qdy Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为＿＿＿＿＿5． 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为＿＿＿＿＿＿＿＿＿选择题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 函数yx y x z -++=11的定义域是（ ） Ａ. {}0,0|),(≥≥y x y x Ｂ. {}0,0|),(<<y x y x Ｃ. {}0,0|),(>->+y x y x y x Ｄ. {}0,0|),(≤-≤+y x y x y x2. 过点)0,1,2(且与平面0422=-+-z y x 平行的平面方程( )Ａ. 0422=-+-z y x Ｂ. 0422=-++z y x Ｃ．0222=-+-z y x Ｄ. 0222=-++z y x3. 设22y y x Z +=，则===11|y x dz ( )Ａ.dy dx 32+ Ｂ.dy dx 32- Ｃ．dy dx + Ｄ.04. 若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）Ａ. 2⎰⎰2),(D d y x f σ Ｂ.2⎰⎰1),(D d y x f σ Ｃ.4⎰⎰1),(D d y x f σ Ｄ.05. 设级数∑∞=1n n a 收敛，∑∞=1n n b 发散，则级数∑∞=+1)(n n n b a 必是( )Ａ. 发散 Ｂ.收敛 Ｃ.条件收敛 Ｄ.敛散性不确定判断题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 两个空间向量的数量积的结果不一定为常数 ( )2. 函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 连续是函数),(y x f z =在该点可微的必要条件 ( )3. 二重积分对于积分区域具有可加性 ( )4. 格林公式表示二重积分与第一类曲线积分之间的关系 ( )5. 如果∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nu必定收敛 ( )计算题：（本题共5小题，每小题8分，满分40分）1. 求223y xy x z ++= 在点)2,1(处的偏导数yzx z ∂∂∂∂, 2. 设22v u z+=，而y x v y x u -=+=,.求xz ∂∂和yz ∂∂.3. 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是由直线1=y ,2=x 及x y =所围成的闭区域.4. 计算第二类曲线积分dy x xydx L⎰+22，其中L 是抛物线2x y =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧.5. 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛域. 高数B 参考答案填空题：1. )1,6,1-( 2.111121--=-=-z y x 3. 234.xdy dx y x dz --=)4(5. xQyP∂∂=∂∂ 6.收敛 7.1 选择题：1.C 2.C 3.A 4.D 5.A判断题：1. 错 2.对 3.错 4. 错 5. 对 6.对 7. 对 8.错 计算题：1. 解：把y 看做常量，得y x xz32+=∂∂，把x 看做常量，得y x y z 23+=∂∂ …4分将)2,1(代入上面的结果，就得8231221=⋅+⋅===∂∂y x xz，7221321=⋅+⋅===∂∂y x yz…8分 2.解：x vv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ …2分 u u z 2=∂∂，v v z 2=∂∂，1=∂∂x u ，1=∂∂y u ，1=∂∂xv ，1-=∂∂y v …5分 …8分3.解：积分区域D 既是X 型，又是Y 型的 …2分D 是X 型，dx y x dx xydy xyd xDx12122112⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=σ…5分 8948222124213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x dx x x …8分 或D 是Y 型，dy x y dy xydx xyd y Dy 22122122⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=σ…5分 898222142213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰y y dy y y …8分4.解：化为对x 的定积分.其中 L 方程为10,2≤≤⎩⎨⎧==x x x x y ，所以 …3分…8分5.解：因为!1n a n =，)!1(11+=+n a n …2分0)1(1lim=+=∞→n n 所以收敛半径为+∞==ρ1R …6分 从而收敛域是),(+∞-∞. …8分。
2012年高考数学真题汇编B函数与导数(文科)
B 函数与导数 B1 函数及其表示14．B1[2012·天津卷] 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．14．(0,1)∪(1,2) [解析] y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)，－1≤x <1，x ＋1，x <－1或x >1， 在同一坐标系内画出y ＝kx 与y ＝|x 2－1|x －1的图象如图，结合图象当直线y ＝kx 斜率从0增到1时，与y ＝|x －1|x －1在x 轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到2时，与y ＝|x 2－1|x －1的图象在x 轴上、下方各有一个公共点．11．B1[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________.11．4 [解析] 由题目所给的是一分段函数，而f (－4)＝16，所以f (16)＝4，故答案为4. 3．B1[2012·山东卷] 函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]3．B [解析] 本题考查函数的定义域，考查运算能力，容易题． 要使函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2有意义，须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，解之得－1<x ≤2且x ≠0.3．B1[2012·江西卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．D [解析] f (x )＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，故选D.5．B1[2012·江苏卷] 函数f (x )＝1－2 log 6x 的定义域为________．5．(0，6] [解析] 本题考查函数定义域的求解．解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件．由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤ 6.11．B1[2012·广东卷] 函数y ＝x ＋1x的定义域为________．11．{x |x ≥－1且x ≠0} [解析] 本题考查函数的定义域，函数有意义，满足：⎩⎨⎧x ＋1≥0，x ≠0.解得{x |x ≥－1且x ≠0}．9．B1[2012·福建卷] 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π9．B [解析] 解题的关键是求分段函数的值时，一定要认真分析自变量所在的区间，因为各段上的解析式是不相同的．∵π是无理数，∴g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，所以选择B.13．B1[2012·四川卷] 函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示)13.⎝⎛⎭⎫－∞，12 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≠0，1－2x ≥0，解得x ＜12，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12. B2 反函数2．B2[2012·全国卷] 函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( )A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1)2．A [解析] 本小题主要考查求反函数的方法．解题的突破口为原函数与反函数定义域与值域的关系和反解x 的表达式．由y ＝x ＋1得y 2＝x ＋1，即x ＝y 2－1，交换x 和y 得y ＝x 2－1，又原函数的值域为y ≥0，所以反函数的定义域为x ≥0，故选A.B3 函数的单调性与最值16．B3[2012·课标全国卷] 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M＋m ＝________.16．[答案] 2[解析] 因为f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则f (x )＝g (x )＋1.由g (－x )＝－2x －sin xx 2＋1＝－g (x )及函数g (x )的定义域为R ，得函数g (x )是奇函数，故g (x )max 与g (x )min互为相反数．故g (x )max ＋g (x )min ＝0.易知M ＝g (x )max ＋1，m ＝g (x )min ＋1，所以M ＋m ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝0＋2＝2.13．B3[2012·安徽卷] 若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.13．－6 [解析] 容易作出函数f (x )的图像(图略)，可知函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－a2上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a2＝3，解得a ＝－6. 12．B2、D2[2012·四川卷] 设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．2112．D [解析] 记公差为d ， 则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋(a 2－3)3＋…＋(a 7－3)3＋(a 1＋a 2＋…＋a 7)－7＝(a 4－3d －3)3＋(a 4－2d －3)3＋…＋(a 4＋2d －3)3＋(a 4＋3d －3)3＋7a 4－7 ＝7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7.由已知，7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7＝14， 即7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7(a 4－3)＝0， ∴(a 4－3)3＋4(a 4－3)＝0.因为f (x )＝x 3＋4x 在R 上为增函数，且f (0)＝0， 故a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝7×3＝21. 2．B3、B4[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.8．B3、B10[2012·北京卷] 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．118．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S nn 取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0(m ＋1)－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．由已知g (x )＝2x －2<0，可得x <1，要使∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m <1，－m －3<1，可得m ∈(－4,0)．20．B3、D4、M4[2012·北京卷] 设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1,2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1,2,3)；记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值；(2)设数表A 形如其中－1≤d ≤0，求k (A )(3)对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求k (A )的最大值．20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7.(2)r 1(A )＝1－2d ，r 2(A )＝－1＋2d ， c 1(A )＝c 2(A )＝1＋d ，c 3(A )＝－2－2d . 因为－1≤d ≤0，所以|r 1(A )|＝|r 2(A )|≥1＋d ≥0， |c 3(A )|≥1＋d ≥0.所以k (A )＝1＋d ≤1.当d ＝0时，k (A )取得最大值1. (3)任给满足性质P 的数表A (如下所示)．任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *仍满足性质P ，并且k (A )＝k (A *)．因此，不妨设r 1(A )≥0，c 1(A )≥0，c 2(A )≥0. 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c 1(A )，k (A )≤c 2(A )． 从而3k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A ) ＝(a ＋b ＋c )＋(a ＋d )＋(b ＋e ) ＝(a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f )＋(a ＋b －f ) ＝a ＋b －f ≤3. 所以k (A )≤1.由(2)知，存在满足性质P 的数表A 使k (A )＝1.故k (A )的最大值为1.6．B3、B4[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R6．B [解析] 法一：由偶函数的定义可排除C 、D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增．22．B3、B9、B12[2012·福建卷] 已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．22．解：(1)由已知f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0. 当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0.f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32＞0，又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内至少存在一个零点． 又由(1)知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内有且仅有一个零点． 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .由g ⎝⎛⎭⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有g ′(x )＜0， 从而g (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递减．当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32＞0，故f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减． 又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．8．B3、B10[2012·北京卷] 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前mA ．5B ．7C ．9D ．118．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S nn 取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0(m ＋1)－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.16．B3、B4[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.16．[答案] 32[解析] 本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.B4 函数的奇偶性与周期性12．B4[2012·重庆卷] 若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.12．4 [解析] 因为f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，所以根据f (x )为偶函数得f (x )＝f (－x )，即x 2＋(a －4)x －4a ＝x 2＋(4－a )x －4a ，所以a －4＝4－a ，解得a ＝4.9．B4[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.9．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数．已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 4．B4[2012·广东卷] 下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋14．D [解析] 根据奇偶性的定义知A 、B 都为奇函数，C 非奇非偶函数，D 是偶函数，所以选择D.6．B3、B4[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R6．B [解析] 法一：由偶函数的定义可排除C 、D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增． 2．B3、B4[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1x D ．y ＝x |x |2．D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.16．B3、B4[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.16．[答案] 32[解析] 本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32. B5 二次函数12．B5[2012·山东卷] 设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<012．B [解析] 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难． 当y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )图象有且仅有两个不同的公共点时，其图象为作出点A 关于原点的对称点C ，则C (－x 1，－y 1)，由图象知－x 1<x 2，－y 1>y 2，故x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0，故选B.6．B5、B6[2012·上海卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．6．log 23 [解析] 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x －3＝0，化为(2x －3)(2x ＋1)＝0， 所以2x ＝3，或2x ＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23.B6 指数与指数函数4．B6[2012·四川卷] x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )1－14．C [解析] 由f (1)＝0可知选C. 15．B6、B8[2012·山东卷] 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.15.14 [解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴m <14.当a >1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，m ＝2－1＝12>14，与m <14相矛盾，舍去；当0<a <1时，f (x )的最大值为a －1＝4，即a ＝14，m ＝⎝⎛⎭⎫142<14成立． 4．B6、B7[2012·天津卷] 已知a ＝21.2，b ⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2 log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a4．A [解析] ∵a ＝21.2>2,1＝⎝⎛⎭⎫120<b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8<⎝⎛⎭⎫12－1＝2，c ＝2log 52＝log 54<1， ∴c <b <a .6．B5、B6[2012·上海卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．6．log 23 [解析] 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x －3＝0，化为(2x －3)(2x ＋1)＝0，所以2x ＝3，或2x ＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23.11．B6、B7[2012·课标全国卷] 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)11．B [解析] 当a >1时，因为0<x ≤12，所以log a x <0.不满足4x <log a x ，故舍去；当0<a <1时，因为0<x ≤12，数形结合易得，需满足412<log a 12，得2<log a 12，则a 2>12，解得a >22或a <－22.结合前提条件得22<a <1.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫22，1.故选B. 5．B6、B8、B9[2012·北京卷] 函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.7．E1、B6、B7[2012·湖南卷] 设a ①c a ＞cb；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．10．A1、E3、B6[2012·重庆卷] 设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x －2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0|，则N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)10．D [解析] 因为f (g (x ))＝[g (x )]2－4g (x )＋3，所以解关于g (x )不等式[g (x )]2－4g (x )＋3＞0，得g (x )＜1或g (x )＞3，即3x －2＜1或3x －2＞3，解得x ＜1或x ＞log 35，所以M ＝(－∞，1)∪(log 35，＋∞)，又由g (x )＜2，即3x －2＜2,3x ＜4，解得x ＜log 34，所以N ＝(－∞，log 34)，故M ∩N ＝(－∞，1)，选D.B7 对数与对数函数7．B7[2012·重庆卷] 已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c7．B [解析] 因为a ＝log 233＞1，b ＝log 293＝log 233＞1，又∵0＝log 31＜log 32＜log 33＝1，∴a ＝b ＞c ，选B.11．B7[2012·全国卷] 已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x11．D [解析] 本小题主要考查对数与指数的大小比较，解题的突破口为寻找中间量作比较．x ＝lnπ>lne ＝1,0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.12．B7[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.12．2 [解析] 本题考查函数解析式与对数运算性质．因为f (ab )＝lg(ab )＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(ab )2＝2lg(ab )＝2.3．B7[2012·安徽卷] (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．43．D [解析] (解法一)由换底公式，得()log 29·()log 34＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3lg2·2lg2lg3＝4. (解法二)()log 29·()log 34＝()log 232·()log 322＝2()log 23·2()log 32＝4.4．B6、B7[2012·天津卷] 已知a ＝21.2，b ⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2 log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．A [解析] ∵a ＝21.2>2,1＝⎝⎛⎭⎫120<b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8<⎝⎛⎭⎫12－1＝2，c ＝2log 52＝log 54<1， ∴c <b <a .7．E1、B6、B7[2012·湖南卷] 设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c a ＞cb；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．2．A1、B7[2012·安徽卷] 设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]2．D [解析] 根据已知条件，可求得A ＝[]－1，2，B ＝()1，＋∞，所以A ∩B ＝[]－1，2∩()1，＋∞＝(]1，2.11．B6、B7[2012·课标全国卷] 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)11．B [解析] 当a >1时，因为0<x ≤12，所以log a x <0.不满足4x <log a x ，故舍去；当0<a <1时，因为0<x ≤12，数形结合易得，需满足412<log a 12，得2<log a 12，则a 2>12，解得a >22或a <－22.结合前提条件得22<a <1.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫22，1.故选B. B8 幂函数与函数的图像象15．B6、B8[2012·山东卷] 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.15.14 [解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴m <14.当a >1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，m ＝2－1＝12>14，与m <14相矛盾，舍去；当0<a <1时，f (x )的最大值为a －1＝4，即a ＝14，m ＝⎝⎛⎭⎫142<14成立． 5．B6、B8、B9[2012·北京卷] 函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.6．B8[2012·湖北卷] f (x )的图象如图1－1所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )图16．B[解析] y ＝f (x )→y ＝f (－x )→y ＝f [－(x －2)]→y ＝－f (2－x )，即将y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向右平移2个单位长度，然后关于x 轴对称，即为B 图象．B9 函数与方程21．B9、B12、E5[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值；(3)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围． 21．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1. ∵f ⎝⎛⎭⎫12f (1)＝⎝⎛⎭⎫12n －12×1＜0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上是单调递增的，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点．(2)解法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.由图像知，b ＋3c 在点(0，－2)取到最小值－6， 在点(0,0)取到最大值0，∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法二：由题意知－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，② ①×2＋②得－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， 所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法三：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－b ＋c ，f (1)＝1＋b ＋c ，解得b ＝f (1)－f (－1)2，c ＝f (1)＋f (－1)－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. (3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f (－1)－f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b ≤2.注：②，③也可合并证明如下： 用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．当－1≤－b2≤1，即－2≤b ≤2时，M ＝max{f (1)，f (－1)}－f ⎝⎛⎭⎫－b 2 ＝f (－1)＋f (1)2＋|f (－1)－f (1)|2－f ⎝⎛⎭⎫－b2 ＝1＋c ＋|b |－⎝⎛⎭⎫－b24＋c ＝⎝⎛⎭⎫1＋|b |22≤4恒成立．3．B9、C1[2012·湖北卷] 函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．D[解析] 要使f (x )＝x cos2x ＝0，则x ＝0或cos2x ＝0，而cos2x ＝0(x ∈[0,2π])的解有x ＝π4，3π4，5π4，7π4，所以零点的个数为5.故选D. 22．B3、B9、B12[2012·福建卷] 已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．22．解：(1)由已知f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0. 当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0.f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32＞0，又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象是连续不断的． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内至少存在一个零点．又由(1)知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内有且仅有一个零点． 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .由g ⎝⎛⎭⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有g ′(x )＜0， 从而g (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递减．当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32＞0， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减． 又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．5．B6、B8、B9[2012·北京卷] 函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.B10 函数模型及其应用21．B10、B11、B12 [2012·浙江卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时 函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫a 6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 6，a 6. (2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0. 18．B10、B11、B12[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围． 18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：由此可知：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．18．K2、B10、I2[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．18．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )． (2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为 1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为 p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7. 18．B10、I4[2012·福建卷] 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)18．解：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1000＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．B11 导数及其运算9．B11[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点9．D [解析] 所给的原函数f (x )＝2x ＋ln x 的导函数为f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0可得x ＝2，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为极小值点，故选D.13．B11[2012·课标全国卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．13．[答案] y ＝4x －3[解析] y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4.故所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.21．B10、B11、B12 [2012·浙江卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0.21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时 函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫a 6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 6，a 6. (2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0. 18．B10、B11、B12[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围． 18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：由此可知：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．12．B11[2012·辽宁卷] 已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－812．C [解析] 本小题主要考查导数的几何意义的应用．解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率．由x 2＝2y 可知y ＝12x 2，这时y ′＝x ，由P ，Q 的横坐标为4，－2，这时P (4,8)，Q (－2,2),以点P 为切点的切线方程P A 为y －8＝4(x －4)，即4x －y －8＝0①；以点Q 为切点的切线方程QA 为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0②；由①②联立得A 点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4.7．D3、B11[2012·上海卷] 有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n→∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.7.87 [解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型．由已知可知V 1，V 2，V 3，…构成新的等比数列，首项V 1＝1，公比q ＝18，由极限公式得lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n)＝V 11－q ＝11－18＝87. 10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ，有e a ＋3a >e b ＋3b ，令函数f (x )＝e x ＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a <e b －2b ，令函数f (x )＝e x －2x ，则f ′(x )＝e x －2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．B12 导数的应用8．B12[2012·重庆卷] 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )图18．C [解析] 在A 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处没有极值；在B 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝－2处没有极值；在C 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝－2处取得极小值；在D 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处取得极大值．综上所知，选C.20．B12[2012·天津卷] 已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围； (3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )． (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13. (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝⎛⎭⎫－53＝43. ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]， 且－1,1∈[t ，t ＋3]．下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)． f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53，所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.21．B10、B11、B12 [2012·浙江卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时 函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫a 6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 6，a 6. (2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ，有e a ＋3a >e b ＋3b ，令函数f (x )＝e x ＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a <e b －2b ，令函数f (x )＝e x －2x ，则f ′(x )＝e x －2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．22．B12[2012·山东卷] 已知函数f (x )＝ln x ＋kex (k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.22．解：(1)由f (x )＝ln x ＋kex ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，。
高数b农业期末考试题及答案
高数b农业期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 曲线y=x^2在x=2处的切线斜率为：A. 0B. 2C. 4D. 8答案：C3. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 定积分∫(0,1) (2x+1)dx的值为：A. 1B. 3/2C. 2D. 5/2答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的极小值点为______。
答案：-3/22. 函数y=ln(x)的导数为______。
答案：1/x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调递增区间为______。
答案：(2,3)和(3,+∞)4. 曲线y=x^3-9x在点(1,-8)处的切线方程为______。
答案：y=-12x+3三、解答题（每题15分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间和极值点。
解答：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)=0，得到x=1和x=3/3。
因此，函数在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
极小值点为x=1，极大值点为x=3。
2. 求曲线y=x^2-4x+5与直线y=2x-6的交点坐标。
解答：将两个方程联立，得到x^2-6x+11=0。
解得x=1或x=5。
将x 值代入直线方程，得到y=-4或y=4。
因此，交点坐标为(1,-4)和(5,4)。
四、证明题（共20分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
证明：根据连续函数的性质，我们知道f(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值m。
对于任意x∈[a,b]，有m≤f(x)≤M。
因此，f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
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浙江师范大学《高等数学B (上)》考试卷（A 卷）
考试类别： 闭 卷 使用学生：2011级高数B
考试时间： 120分钟 出卷时间： 2011 年 12 月15日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理．
一 、 选择题（每小题3分，共15分）
1. 渐近线的条数为曲线)
3)(2(2+-+=x x x x y ( )． 4)( 3)( 2)( 1)( D C B A
2. =+→x x
x x cos 0)21(lim ( )
2)()(2)(1)(e D e C B A
3. 时，则当，设+∞→=+=x x x
x cot arc 1ln βα,( )． 不都是无穷小与高阶的无穷小
是比同阶，但不等价与无穷小
βαβαβαβα)()()(~)(D C B A 4. 曲线x x x y cos cos 2sin +=
在点)1,0(的切线斜率为( )． (A)1- (B)0 (C)1 (D)2
5. =-=→⎰)(lim )(d )(2
)(22x F x f t t f x x x F x x 连续，则，其中设( )． )2()( )2()( )2(2)( 0)(f D f C f B A -
二、 填空题（每小题3分，共15分）
1. 函数1031
)(2-+=x x x f 的定义域为 ① ．
2. =-+-→∞
1)1(2lim n n n n ② ． . 3. tan x y e ==设 ，则dy ③ ．
4. 设函数2)1ln(x x y -+=，则(0)y '= ④ ．
5. 定积分3
22d 1t t =-⎰
（） ⑤ ．
三、 计算题（每小题8分，共48分）
1. 设函数x x y arctan )1(22+=，求y '， )0(y '．
2. 设)(x f 二阶可导, )(2x f y =，求y ''.
3. 若x x y e y x sin ln =++确定隐函数)(x y y =，求
x y d d ． 4. 求函数x x y +-=11arctan
，[]10，∈x 的最大值和最小值． 5. 计算不定积分⎰+x x
x x d ln 1ln . 6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
00,sin 21πx x x f ，求()()0dt x x f t φ=⎰.
四、 应用题（每小题8分，共16分）
1. 求由曲线x y x y ==22,围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积.
2. 制作一个上、下均有底的圆柱形容器，要求容积为定值V . 问底半径r 为多
大时，容器的表面积最小？并求此最小面积．
五、 证明题（6分）
若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()[]⎰
=''+π03d sin x x x f x f .。