1977年普通高等学校招生考试(上海市)文+理科数学试题及答案

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977-1987年全国高考文科数学试题参考答案

A BEDC A 1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题参考答案满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）解：101271433(1)=1=0933-+-+-.2．（本小题满分10分）21=24=3．（本小题满分10分）解：已知方程变形得21142x x x ++-=-，即 2320x x -+=，解得2x =，或1x =（舍去）.4．（本小题满分10分）解：sin105sin 75sin(3045)︒=︒=︒+︒=. 5．（本小题满分10分）解：正三棱柱形的体积3122sin 6010)2V cm =⋅⋅⋅︒⋅=. 6. （本小题满分10分）解：∵直线250x y +-=的斜率2k =-, ∴所求直线斜率2k '=-.∴过点(1,3)-且与已知直线平行的直线为32(1)y x +=--,即210x y ++=.7．（本小题满分10分）证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC =∠ECB ，∠BDC =∠CEB =900, BC =BC ，∴△BDC ≌△CEB ，CD =BE .8．（本小题满分10分）解：由余弦定理可得AB70=米.9．（本小题满分10分）解：设此数列为2,,,30(0,0)x y x y >>，则由已知条件得22302x y x y ⎧=⎨+=⎩，，解得6,18x y ==. ∴插入的两个正数为6，18， ∴所成的数列为2，6，18，30. 10．（本小题满分10分）解：（1）∵2(2)1y x =--， ∴顶点坐标为(2,1)-，对称轴方程为2x =. (2)函数243y x x =-+ 的图象如右图所示.（3）解方程组2433y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩，，得交点坐标为(2,1)-）和(3,0).1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分100分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.）一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+.2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域为[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为24y =.图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图所示. 三、（本题满分14分）证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900. 由条件得∠ACM =∠ABC ,∠ACD=∠ABC ，∴∠ACM =∠ACD ，∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN . 2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM =AD ，BN =BD ， ∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分）解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log (59)log 45log (182)⨯=⨯18181818log 5log 9log 18log 22a b a++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C =∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……②∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2x -(320x +=的两个根.解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin 2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==，2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分）解：已知函数配方得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭， ∴y 的极小值为454m +-.1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+，251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.F aαN MEDCBA 1E D CB A 一九七八年副题1．（下列各题每题4分，五个题共20分）（1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭．（3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <,且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,-1)(-1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=．（5）解：原式=30．2．（本题满分14分）解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分）证：∵AD 是△ABC 的外接圆的切线， ∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积．作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）证：作ME BD ⊥于E ，由△ABC 是等边三角形知，在直角△MBE 中，12BE BM =，2ME BM =，2tan 122ME ED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN =5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，B /P /P l CBA O y x∴22244 (1)44 (2)2(1)2 (3)(1). (4)p a q a b p m ab m b -=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分20分）证（一）：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =+--22222220ab a b A B C a b a b -=-+-=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得 cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=；同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0abA b a B a b C +-++=；当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分20分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2: Q y x =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示.2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由222,1y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =， ∴圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤,POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .PβαCBAF ECBA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分9分）解：∵2211221222y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴12min y =.二、（本题满分9分）解：()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()22221sin cos 1sin cos θθθθ=+++-⨯()()22221cos sin 1cos sin θθθθ+++-()()41cos21cos2θθ=-+ 224(1cos 2)4sin 2θθ=-=．三、（本题满9分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n vm n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n vm n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++；混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分9分）解：略．五、（本题满分14分）解：作PC AB ⊥于C ，设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+．当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告．六、（本题满分14分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=．取自然对数有40ln(1)ln5x +=．又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61．利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%．答：每年约增长百分之四．七、（本题满分18分）证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径，又AB 切圆O 于D ， ∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ，∴22BD BC AD AC=．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC=．八、（本题满分18分）解：设割线12OPP 的直线方程为y kx =，代入圆的方程，得2222440x k x x kx +--+=，即22(1)2(12)40k x k x +-++=.由条件知，224(12)16(1)430k k k ∆=+-+=->，即34k >.设111222(,),(,)P x y P x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且1222(12)1k x x k ++=+，1222(12)1k ky y k++=+．设P 点的坐标是(,)x y ，P 是12PP 的中点， ∴2211212k kx x x ++=+=， 122(12)21y y k k y k ++==+.又P 点在直线y kx =上，∴yk x=，代入上式得2121()yx x y x+=+，即 222x y x y +=+，∴2215()(1)24x y -+-=8(0)5x <<．这是以1(,1)22为半径的圆，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段圆弧．说明：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．B Aβy xOP (x,y )O F E D C B A 1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分6分）解：1313)(32)=3213i i i i --+-（ 9797131313i i -==-.二．（本题满分10分）解：（略）方程组的解为123.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，三．（本题满10分）证：以圆O 的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为1，则圆O 的方程是221x y +=，且(1,0),(1,0)A B -．设(,)P x y 是圆上异于A ，B 任一点，则有221y x =-，且1AP y k x =+，1BP yk x =-， ∴22221111AP BP y x k k x x -⋅===---， ∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角.∴直径所对的圆周角是直角. 四．（本题满分12分）解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x %，则按题意，1980年的轻工业产值为)10024()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a ，解得：x =32.答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%. 五．（本题满分14分）解：原式sin()4θ+sin()4sin()sin()44πθπθθ+==++． ∵3544ππθ<<， ∴342πππθ<+<，∴sin()04πθ+<，∴原式1=-．六．（本题满分16分）证：1 A D C A B C S S ∆∆=，且△ABC 与△ADC 有同底AC ， ∴两高线相等：BE DF =，设AC 与BD 交于点O ，则Rt △BOE ≌Rt △DOF .∴OB OD =. 即AC 平分BD （若,,E O F 重合、则已有OB BE DF OD ===）.2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的.证明如下：在上图中，由于OB OD =， ∠BOE =∠DOF （对顶角）， ∠BEO =∠DFO =2π， ∴△BOE ≌△DOF .∴BE DF =，即两高线相等. ∴S △ABC =21AC ·BE =21AC ·DF =S △ADC . 七．（本题满分16分）1．证明A E B D '''⊥； 2.求AE 的长解：1. AA '⊥平面A B C D ''''，EA B D D /C /B /A /C ∴AA B D '''⊥ ，又AE B D ''⊥，∴B D ''⊥平面AA E '， ∴B D A E '''⊥.2．1122A B A D A E B D '''''''⋅=⋅，∴68A E '⨯=∴ 4.8,6A E AE '===．八．（本题满分16分）解：1.由22sec tan 1t t -=得2214y x -=．∴曲线的普通方程为2214y x -=． 2．当20π<≤t 时，1,0x y ≥≥,得到的是曲线在第一象限的部分（包括(1,0)点）;当23π<≤πt 时，1,0x y ≤-≥,得到的是曲线在第二象限的部分（包括(1,0)-点）．cb a EDCBA 1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分6分）解：1. A ∪B ={实数},2. A ∩B =φ. 二、（本题满分8分）解：原式1444448263()()8=3()()a b a b a b a b a b a b a +-⨯⨯+-28()3b a b =-．三、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P =（种）．所有可能的选举结果为：,,,,,AB AC AD BC BD CD ， ,,,,,BA CA DA CB DB DC ．2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD . 四、（本题满分10分）解：()sin cos )4f x x x x π=+=+，()f x是以2π为周期的周期函数，()f x 在区间(,)ππ-上的最大值为，当且仅当4x π=时()f x取最大值五、（本题满分10分）解：sin sin sin A B Ca b c==．证：在钝角三角形ABC 中，作AD 垂直BC 于D ，BE 垂直CA 的延长线于E ．设△ABC 的面积为S ，则111sin(180)sin 222S AC BE bc A bc A =⋅=︒-=．12S BC AD =⋅又1sin 2ac B =， 12S BC AD =⋅1sin 2ab C =，∴111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，将上式除以1,2abc 得：sin sin sin A B Ca b c ==. 六、（本题满10分）解：设AC 中点为(,)P x y ,则有02151,222x y +-+====，即 (,)(1,2)P x y P =.又设AC 斜率为k ，则3k =，∴BD 的斜率为13-，∴直线BD 的方程为12(1)3y x -=--.………①以P 点为圆心，PA 为半径的圆的方程为 22(1)(2)10x y -+-=.………② 解方程①，②得,B D 的坐标为 (4,1),(2,3)-.（注：用复数法或向量方法求解）七、（本题满分17分）解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，…的第21项，即2010(1.02)x =．两边取对数，得lg x =1+20lg1.02=1.17200, ∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，即（1+y %)20≤1.2. 对上述不等式两边取对数得 20lg(1+y %)≤lg1.2，即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092.B 1D 1C 1AB CD O A 1答：略. 八、（本题满分15分）证：设,AC BD 交于O 点，作截面1ACB ，联结1OB ，则面11DBB D 面11ACB OB =.∵1111ABCD A BC D -是正四棱柱， ∴ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .又∵1BB ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥AC . ∴AC ⊥面11DBB D . ∵AC 在截面1ACB 内， ∴截面1ACB ⊥对角面11DBB D . 九、（本题满分18分）解：1.设直线与抛物线的交点为 111222(,),(,)P x y P x y .解方程组24,2y x y x k⎧=⎨=+⎩得2(2)4x k x +=，即2244(1)0x k x k +-+=.………①由条件知2216(1)1616(21)0k k k ∆=--=-+>，即12k <.由条件知12,x x 是方程①的两个根，且212121,4k x x k x x +=-=，∴由条件知====4k =-.2.设x 轴上一点P 的坐标为(,0)P a ，又点P 到直线12PP 的距离为h ，则有5|42|-=a h . 依题意得△12PPP 的面积关系：192=⋅，即6|24|a =-，∴5a =或1a =-.D 1C 1B 1A 1D C1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分8分）解：1．{}0；2．R ；3．(0,)+∞；4．R 二、（本题满分7分）解：第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.三、（本题满分7分）解：1。

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答(共34页)

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答（共34页）【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答 ...................................................... 1 北京市（理科） ............................................................................................................................... 1 北京市（文科） ............................................................................................................................... 3 上海市（理科） ............................................................................................................................... 5 上海市（文科） ............................................................................................................................... 8 天津市 ............................................................................................................................................ 10 河北省 ............................................................................................................................................ 13 福建省（理科） ............................................................................................................................. 17 福建省（文科） ............................................................................................................................. 23 黑龙江省......................................................................................................................................... 26 江苏省 .. (29)北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

1977年普通高等学校招生考试(上海市)理科数学试题及答案

D312E1977 年普通高等学校招生考试理科数学(上海市)试题及答案1．（1）化简( a a + b - a 2 a 2 + 2ab + b 2 ) ÷ ( a a + b a 2a 2 -b 2) a (1 - a )解：原式=a +b a + b = b - a . a a + b(1 -a ) a -b a + b （2）计算 1lg 25 + lg 2 - lg 2 解：原式= - 12- log 2 9 ⨯ log 3 2（3） - 1 = i ，验算 i 是否方程 2x 4+3x 3-3x 2+3x-5=0 的解解：令 x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0所以 i 是所给方程的一个解sin( π + θ) cos( π + θ)（4）求证： 4 + 4 =2.sin( π - θ) 4 cos( π - θ)4 cos 2θsin( π + θ) cos( π - θ) + cos( π + θ) sin( π - θ)证 : 左边 = 4 4 4 4 sin( π - θ) cos( π - θ)4 4 sin π= 2 = sin( π - θ) cos( π- θ)1 = 1 cos 2θ2 cos 2θ = 右边. 4 4 22．在△ABC 中，∠C 的平分线交 AB 于 D ，过 D 作 BC 的平分线交 AC于 E ，已知 BC= a ,AC=b,求 DE 的长B解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC 由△ADE∽△ABC，AC0.1 -22 + ( 3⨯ 2)2 2⎩ ∴DE=AE,DE=b -DE, BC AC a bb·DE=ab-a·DE，DE =ab.a +b3．已知圆 A 的直径为2 3 ，圆 B 的直径为4 - 2 3 ，圆 C 的直径为 2，圆 A 与圆 B 外切，圆 A 又与圆 C 外切，∠A=600，求 BC 及∠C 解：由已知条件可知，AC=1 + 3 ，AB=2，∠CAB=600根据余弦定理，可得 BC= 6由正弦定理，则sin C = AB ⋅ sin A =BC2,∴∠C = 45︒ 24．正六棱锥 V-ABCDEF 的高为 2cm，底面边长为 2cm （1）按 1:1 画出它的二视图;（2）求其侧面积; （3）求它的侧棱和底面的夹角解：（1）见六五年试题1 （2）斜高为=7 (cm),故侧面积= 6 ⨯1⨯ 2 ⨯27 = 6 7 (cm 2 )（3）侧棱与底面的夹角为 4505．解不等式⎧16 -x 2 ≥ 0 并在数轴上把它的解表示出来⎨x 2 -x - 6 > 0解：略-4≤x＜-2，3＜x≤4.6．已知两定点A（-4，0）、B（4，0），一动点P（x,y）与两定点A、B 的连线 PA、PB 的斜率的乘积为-14求点 P 的轨迹方程，并把它化为y - 2600 E⎨2 标准方程，指出是什么曲线解：直线 PA 、PB 的斜率分别是k 1 = y x + 4 , k 2 = yx - 4.由题意y ⋅ x + 4 y x - 4 = - 1 4 x 2 + 4 y 2 = 16其标准方程为 x + y 16 4= 1,故此曲线为椭圆7．等腰梯形的周长为 60，底角为600，问这梯形各边长为多少时，面 B C积最大？x解：设等腰梯形的腰长为 x ，则有ADAE= x，BE= 23x ，2BC =60 - 2 ⋅ AB - 2 AE2= 60 - 2x - x = 60 - 3x .2 2 等腰梯形 ABCD 的面积=BC + AD ⋅ BE = (BC + AE ) ⋅ BE2= ( 60 - 3x + x ) ⋅3 x = 3 (30x - x 2 ) 2 2 2 2 = 3[225 - (x - 15)2 ]. 2由此可知，当且仅当x=15 时等腰梯形的面积最大此时，腰AB=CD=x=15,上底 BC=7.5，下底 AD=BC+2AE=22.5 8．当 k 为何值时，方程组⎧ x -= 0(1)有两组相同的解？并求出它的解⎩kx - y - 2k - 10 = 0 (2)2B解：由（1），x≥0，y≥2由（2），y=kx-2k-10.代入（1），得x 2 - kx + (2k + 12) = 0此方程有二等根的条件是判别式为零，即k 2-4(2k+12)=0,k 2-8k-48=0,(k-12)(k+4)=0, k 1=12,k 2=-4(增根） ∴当 k=12 时，x=6,y=38. 附加题9．如图所示，半圆 O 的直径为 2，A 为半圆直径的延长线上的一点，且 OA=2，B 为半圆上任一点，以 AB 为边作等边△ABC ，问 B 在什么地方时，四边形 OACB 的面积最大？并求出这个面积的最大值解：四边形 OACB 的面积C=△OAB 的面积+△ABC 的面积设∠AOB=θ， θAO则 △OAB 的面积= 1⋅ OA ⋅ OB ⋅ sin θ 2 = 1⋅ 2 ⋅1⋅ sin θ = sin θ2= 1 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin 60︒ = 2 3 ⋅ AB 24△ABC 的面积 = 3 (OB 2+ OA 2 - 2 ⋅ OB ⋅ OA ⋅ cos θ) 4= 3(5 - 4 cos θ) 4x = kx - (2k + 12),∴四边形 OACB 的面积=5 3+ sin θ - 4 3 cos θ= 5 3 + 2 sin(θ - 60︒) 4∴当θ-600=900，即θ=1500 时，四边形 OACB 的面积最大，其最大面积为5 3+ 2. 410．已知曲线 y=x 2-2x+3 与直线 y=x+3 相交于点 P （0，3）、Q （3，6）两点，（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率;（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积解：（1）∵y=x 2-2x+3，Y∴y＇=2x-2,∴过点（0，3）的切线斜率k 1=y ＇|x=0=-2 过点（3，6）的切线斜率k 2=y ＇|x=3=4X（2）设所求的带阴影的图形的面积为 S 则 S 为梯形 OAQP 的面积与曲边梯形 OAQP 的面积的差6QP⎰ 0 而梯形 OAQP 的面积= 1 (OP + AQ ) ⋅ OA =27.22曲边梯形 OAQP 的面积= 3(x 2- 2x + 3)dx = 0 (1 x 33 - x 2 + 3x ) 3= 9 ∴ S = 27- 9 = 4.5.2。

1977-1987年全国高考文科数学试题

1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）计算：.)971(33211-+-2．（本小题满分10分）化简：2626-+．3．（本小题满分10分）解方程.1241112--=+-x x x 4．（本小题满分10分）不查表求sin1050的值. 5．（本小题满分10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积. 6. （本小题满分10分）一条直线过点(1,3)-，并且与直线250x y +-=平行，求这条直线的方程.7．（本小题满分10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等. 8．（本小题满分10分）为了测湖岸边,A B 两点的距离，选择一点C ，测得50CA =米，30CB =米，120ACB ∠=︒，求AB .9．（本小题满分10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数． 10．（本小题满分10分）已知二次函数243y x x =-+.（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;（2）画出它的图象; （3）求出它的图象与直线3y x =-的交点坐标.cb aACD1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.）一、（下列各题每题4分，五个题共20分）1.分解因式：222444x xy y z-+-.2.已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.3．求函数)2lg(xy+=的定义域.4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值.5.化简：12234214(0.1)()a b---⎛⎫⎪⎝⎭二、（本题满分14分）已知方程224kx y+=，其中k为实数.对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图.三、（本题满分14分）（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD2=AM·BN.四、（本题满分12分）已知18log9(2),185ba a=≠=.求36log45.五、（本题满分20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tan tan2A C=，求角,,A B C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于,,a b c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）．六、（本题满分20分）已知,αβ为锐角，且223sin2sin1αβ+=，3sin22sin20αβ-=.求证22παβ+=.七、（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数22(21)1y x m x m=+++-(m R∈）.1）m是什么数值时，y的极值是0？2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l上.画出1,0,1m=-时抛物线的草图，来检验这个结论.3）平行于1l的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于1l而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.1E DC B A F aαN MEDCBA B /P /P lC B AO y x一九七八年副题1．（1）分解因式：222223x xy y x y -++--．(2)求25sin 30tan 0cot cos 46ππ︒-︒+-的值．（3）求函数lg(255)1x y x -=+的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积．（5）计算(1111222112511023050095--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.2．已知两数12,x x 满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…，的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…，的前4项和．求根为211,1x x 的方程．3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证： CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积.4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB BC = CA CD a ===，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且BDM ∠=α.求证：BM CN ==.5．设432()444f x x px qx =-+22(1)(1)(0)p m x m p ++++≠.求证：①如果()f x 的系数满足244(1)0p q m --+=,那么()f x 恰好是一个二次三项式的平方. ②如果()f x 与22()(2)F x x ax b =++表示同一个多项式，那么244(1)0p q m --+=. 6．已知：sin cos 0a x b x +=. ………① sin 2cos 2A x B x C +=.………………② 其中,a b 不同时为0.求证：22222()()0abA b a B a b C +-++=.7．已知l为过点3()22P --，倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线．设A 为l 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点．1）写出直线l ，圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图 2）写出线段PA ，圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式． 3）设,P B ''依次为从,P B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段,,,BB B P P P PA ''''所包含的面积．F 1E D CBA βαP CB A 1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分9分）求函数2221y x x =-+的极小值. 二、（本题满分9分）化简()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．三、（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精．甲有1v 公斤，乙有2v 公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为1m :1n ,乙中纯酒精与水之比为2m :2n ．问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四、（本题满分9分）叙述并且证明勾股定理．五、（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域．设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP =α，同时在B 站测得∠ABP =β．问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？六、（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：0.1x <,可用：ln(1)x x +≈，取lg2=0.3, ln10=2.3) 七、（本题满分18分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B ．求证：33ACBC AE BF =．八、（本题满分18分）过原点O 作圆222440x y x y +--+=的任意割线交圆于12,P P 两点．求12PP 的中点P 的轨迹.D /A /EDBA C数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分6分）化简.2331ii-- 二、（本题满分10分）解方程组235,4239,32 1.x y z x y z x y --=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩三、（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角. 四、（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？五、（本题满分14分）设3544ππθ<<，化简sin()4θ+六、（本题满分16分）1．若四边形ABCD 的对角线AC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC 必平分对角线BD .2．写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的. 七、（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD A B C D ''''-.三边,,AB AD AA '的长分别为6，8，3.6，AE与底面的对角线B D '' 垂直于E .1.证明A E B D '''⊥；2.求AE 的长. 1.把参数方程（t 为参数）sec ,2tan x t y t =⎧⎨=⎩化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图. 2.当2320π<≤ππ<≤t t 及时，各得到曲线的哪一部分？y=2x+k y 2=4x y x P 2P 1O B 1D 1C 1A BC D OA 1数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A ={有理数}，B ={无理数}，试写出：1. A ∪B , 2. A ∩B . 二、（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-.三、（本题满分6分）在,,,A B C D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 四、（本题满分10分）求函数()s i n c f x x x =+在区间(,)ππ-上的最大值，五、（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明，六、（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点(0,1),(2,5)A C -，求顶点,B D 的坐标，七、（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算.（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，1111ABCD A BC D -为一正四棱柱，过1,,A C B 三点作一截面，求证：截面1ACB ⊥对角面11DBB D .九、（本题满分18分）1．设抛物线24y x =截直线2y x k =+所得的弦长为53，求k 的值.2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标.1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分8分）填表：求20(1)i-+展开式中第15项的数值．三、（本题满分7分）四、（本题满分10分）已知,1,2122=+=-yxyx求22yx-的值．五、（本题满分10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？六、（本题满分12分）已知正方体1111ABCD A BC D-的棱长为a．1．用平面11A BC截去一角后，求剩余部分的体积;2．求1A B和1B C所成的角．七、（本题满分12分）已知定点,A B且2AB a=，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．八、（本题满分16分）求︒-︒-︒+︒3512431179ctgtgctgtg的值．九、（本题满分18分）如图，已知△AOB中，,OA b OB a==，(,AOB a bθθ∠=≥是锐角）作1AB OB⊥，11B A∥BA;再作12A B OB⊥，22B A∥BA;1ABB，△112A B B，…的面积为S1，S2，…．求无穷数列S1，S2，…的和．h45°20m 60°30°PO BA三、（本题满分10分）1求函数)36(log 522x x y -+=的定义域.2.一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法. 四、（本题满分12分）已知复数c o s s i n z i αα=+，求证：3312c o s 3z zα+=.五、（本题满分14分）在圆心为O ，半径为常数R 的半圆板内画内接矩形（如图）.当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积. 六、（本题满分14分）如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB =20米，在A 点处测得P 点的仰角∠OAP =300，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP =450，又测得∠AOB =600，求旗杆的高度h （结果可以保留根号）. 七、（本题满分16分）如图，已知一块直角三角形板ABC 的BC边在平面α内，∠ABC =600，∠A C B =300，BC =24cm ，A 点在平面α内的射影为N ，AN =9cm A 为顶点的三棱锥A NBC -的体积（结果可以保留根号）.l 2l 1M O yx 八、（本题满分17分）一个等比数列有三项.如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列. 九、（本题满分17分）如图，已知两条直线1l :2320x y -+=, 2l :3230x y -+=.有一动圆（圆心和半径都在变动）与1l ，2l 都相交，并且1l ，2l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M 的轨迹方程，并说出轨迹的名称.AE D C B 1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分）一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1.数集{}(21),X n n Z π=+∈与数集{}(41),Y n k Z π=±∈之间的关系是A.X ⊂YB.X ⊃YC.X =YD.X ≠Y2.函数()y f x =与它的反函数1()y f x -=的图象 A.关于y 轴对称B.关于原点对称C.关于直线0x y +=对称D.关于直线0x y -=对称3.复数i 2321-的三角形式是A.)3sin()3cos(π-+π-iB.3sin 3cos π+πiC.3sin 3cos π-πiD.65sin 3cos π+πi4.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交5.方程27910x x -+=的两根可分别作为A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1.已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围.2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积.3．已知实数m ，x 满足22(21)x i x --0m i +-=,求m 及x 的值.4.求)2)(1()()2()1(lim222--++++++∞→n n n n n n n n 的值. 5．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数.6.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）. 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程24y x =-的曲线. 2．画出函数2)1(1+=x y 的图象. 四、（本题满分12分）已知等差数列,,a b c 中的三个数都是正数，且公差不为零.数列cb a 1,1,1不可能成等差数列. 五、（本题满分14分）把α-β-α-422cos sin 2sin 411化成三角函数的积的形式(要求结果最简）. 六、（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D ABC -的体积.七、（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%.问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) . 八、（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是221:9450C x y +-=， 222:96270C x y x +--=.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标. 2．求经过这两个椭圆的交点且与直线2110x y -+=相切的圆的方程.1985年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1.如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是 A .3 2a B .33a C .34a D .36a 2.tan 1x =是54x π=的 A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要的条件3.设集合{}{}0,1,2,4,5,7,1,3,6,8,9X Y ==，{}3,7,8Z =，那么集合()X Y Z 是 A .{{}0,1,2,6,8 B .{}3,7,8C .{}1,3,7,8D .{}1,3,6,7,8 4.在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？A.).(2R x x y ∈= B.)(|sin |R x x y ∈= C.)(2cos R x x y ∈= D.)(2sin R x e y x∈=5.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有A .96个B .78个C .72个D .64个二、（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1.求函数的定义域142--=x x y .2.求圆锥曲线2236210x y x y -++-=的离心率.3.求函数242y x x =-+-在区间[]0,3上的最大值和最小值. 4.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++,求6510a a a a ++++的值. 5.设i 是虚数单位，求()61i +的值. 三、（本题满分14分）设211S =， 2222121S =++，22222312321S =++++，………… 222221221n S n =++++++.用数学归纳法证明：公式3)12(2+=n n S n 对所有的正整数n 都成立. 四、（本题满分13分）证明三角恒等式42432sin sin 25cos 4x x x ++2cos3cos 2(1cos )x x x -=+. 五、（本题满分16分）1.解方程40.25log (3)log (3)x x -++40.25log (1)log (21)x x =-++.2.解不等式.152+>+x x六、（本题满分15分）设三棱锥V ABC -的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h ．求这个所棱锥底面的内切圆半径．七、（本题满分15分）已知一个圆C ：22412390x y x y ++-+=和一条直线l : 3450x y -+=.求圆C 关于直线l 的对称的圆的方程. 八、（本题满分12分）设首项为1，公比为(0)q q >的等比数列的前n 项之和为n S 1,1,2,nn n S T n S +==，求lim n n T →∞.1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分30分）1.在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 A.)4sin 4(cos2π-πi B.)4sin 4(cos 2π+πi C.)4cos 4(sin 2π-πi D.)4cos 4(sin 2π-π-i2.函数15+=x y 的反函数是A.)1(log 5+=x yB.15log +=x yC.)1(log 5-=x yD.5log )1(-=x y 3.已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}I =，A ={3,4,5},{1,3,6}B =，那么集合{2,7,8}是A.A ∪BB.A ∩BC.A ∪BD.A ∩B 4.函数x x y 2cos 2sin 2=是A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数D.周期为4π的偶函数5.已知0c <，在下列不等式中成立的一个是 A.c c 2> B.c c )21(> C.c c )21(2< D.c c )21(2>6.给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是A.1789B.1799C.1879D.18997.已知某正方体对角线长为a 那么，这个正方体的全面积是A.222aB.22aC.232aD.223a 8.如果方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有 A.D E = B.D F =C.E F =D.D E F ==9.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件10. 在下列各图中，2y ax bx =+与 (0)y ax b ab =+≠的图象只可能是A. B. C. D.二、（本题满分24分. 1.求方程4)5.0(5252=-+x x 的解.2.已知1,2312+ω+ω--=ω求i的值.3.在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0),(1,0),(2,1),(0,3).求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．4.求.4572lim 22+++∞→n n n n 5.求523)12(x x -展开式中的常数项.6. 求椭圆14922=+y x 有公共焦点，且离心率为25的双曲线方程. 三、（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ．四、（本题满分10分）求满足方程|3|z +=的辐角主值最小的复数Z . 五、（本题满分12分）已知抛物线21y x =+，定点(3,1)A ，B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．六、（本题满分10分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．七、（本题满分12分）已知sin sin 3sin 5A A A a ++=， cos cos3cos5A A A b ++=. 求证：（1）当0b ≠时，tan 3aA b=； (2)222(12cos2)A a b +=+. 八、（本题满分12分）已知数列{}n a ,其中,913,3421==a a 且当3n ≥时，).(31211----=-n n n n a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求.lim n n a ∞→(-2.0)(2,0)(0,3)yx O 1987年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分. 1.设S ，T 是两个非空集合，且S T ， T S ，令X S T =，那么S X = A.X B.T C.φ D.S 2.设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>，令222b a c -=，那么它的准线方程为A.c a y 2±=B.cb y 2±=C.c a x 2±=D.cb x 2±= 3.设3484log 4log 8log log 16m ⋅⋅=，那么m 等于A.29B.9C.18D.27 4.复数︒-︒40cos i 40sin 的辐角为 A.400 B.1400 C.2200 D.31005. 二次函数()y f x =的图象如图所示，那么此函数为 A.24y x =- B.24y x =- C.23(4)4y x =- D.23(2)4y x =-6.在区间)0,(-∞上为增函数的是A.)(log 21x y --= B.x xy -=1C.2)1(+-=x y D.21x y += 7.已知平面上一点P 在原坐标系中的坐标为(0,)(0)m m ≠，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为(,0)m ，那么新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标为A.(,)m m -B.(,)m m -C.(,)m mD.(,)m m -- 8.要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 A.向左平行移动3π B.向右平行移动3πC.向左平行移动6πD.向右平行移动6π二、（本题满分28分.）本题共7小题，每一个小题满分4分.只要求写出结果. 1.求函数x 2sin y 2=的周期. 2.已知方程11y 2x 22=λ+-λ+表示双曲线，求λ的范围. 3.若(1)n x +的展开式中，3x 的系数等于x 的系数的7倍，求n . 4.求极限22221232lim n n n n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭.5.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.6.求函数)x 3x 21(lo g y 22-+=的定义域. 7.圆锥底面积为3π，母线与底面所的成角为600，求它的体积. 三、（本题满分10分.）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数：sin ,sin(120)A B I I t I I t ωω==+︒，sin(240)C I I t ω=+︒. 求A B C I I I ++的值.四、（本题满分12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为i 2321,2+，求第三个顶点所表示的复数. 五、（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC l ==，,PA BC 的公垂线ED h =.⊆⊆AB C E DP 求证三棱锥P ABC -的体积216V l h =.六、（本题满分12分）设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围.七、（本题满分12分）设数列12,,,,n a a a 的前n 项的和n S 与n a 的关系是1n n S ka =+，其中k 是与n 无关的常数，且1k ≠).1. 试写出用n ，k 表示的n a 的表达式;2. 若,1S lim n n =∞→求k 的取值范围.八、（本题满分10分）正方形ABCD 在直角坐标平面内，已知其一条边AB 在直线4y x =+上，,C D 在抛物线2x y =上，求正方形ABCD 的面积.。

1977年上海市高考数学试卷(文科)

1977年上海市高考数学试卷（文科）一、解答题（共8小题，满分100分）1．（12分）（1977•上海）（1）计算．（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．2．（12分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（12分）（1977•上海）（1）化简；（2）解不等式；（3）解方程．4．（12分）（1977•上海）（1）计算；（2）求证：；（3）△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AB=12，求BC的长．5．（12分）（1977•上海）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．6．（12分）（1977•上海）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．7．（14分）（1977•上海）当x为何值时，函数y=x2﹣8x+5的值最小，并求出这个最小值．8．（14分）（1977•上海）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？1977年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共8小题，满分100分）1．（12分）（1977•上海）（1）计算．（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．考点：对数的运算性质．247830专题：计算题．分析：（1）利用指数式运算法则，把原式转化为（﹣+﹣+）×，由此可得到其结果．（2）仔细审题，认真寻找数量间的相互关系，合理地建立等式，从而求出明年养几头猪．（3）利用对数的运算法则把原式整理为lg16+lg125+lg5，从而得到4lg2+3lg5﹣lg的值．解答：解：（1）原式=（﹣+﹣+）×=．（2）根据已知条件，今年比去年增长．明年养猪头数为120（1+40%）=168（头）（3）原式=lg16+lg125+lg5=lg10000=4．点评：本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．2．（12分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定．247830专题：计算题．分析：根据线线平行得角相等，再结合角平分线可得三角形相似，由相似三角形的性质找出对应边成比例．然后根据已知边的长求出边DE的长．解答：解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3．又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，∴，b•DE=ab﹣a•DE，故．点评：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．3．（12分）（1977•上海）（1）化简；（2）解不等式；（3）解方程．考点：其他不等式的解法．247830分析：（1）中注意观察式子特点，写为分式形式，提取公因式解决；（2）为一元一次不等式，先化为标准型ax+b＞0，直接写解集即可；（3）为分式方程，先化为整式，注意等价变形．解答：解：（1）原式=．（2）．⇔，故解集为{x|x＜5}（3）可得x2﹣5x+6=0，x=2，x=3（增根）故原方程的解为x=2．点评：本题考查多项式的化简、解一元一次不等式、解分式方程，属基本题．4．（12分）（1977•上海）（1）计算；（2）求证：；（3）△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AB=12，求BC的长．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数恒等式的证明；正弦定理．247830专题：计算题；证明题．分析：（1）先用诱导公式把题设中的角转化成180°内的角，进而根据特殊角的三角函数值即可求的结果．（2）把正切和余切转化才弦，进而利用倍角公式和同角三角函数的基本关系对等式左边进行化简整理正好等于等式的右边．（3）根据正弦定理求得BC得值．解答：（1）解：原式═；（2）证：左边==右边；（3）解：由正弦定理可知：．点评：本题主要考查了诱导公式的化简求值，三角函数的恒等式证明和正弦定理在解三角形中的应用．属基础题．5．（12分）（1977•上海）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．247830专题：计算题；分割补形法．分析：本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由图可知，六角螺帽等于一个正六棱柱的体积，挖掉一个圆柱，故该几何体的体积等于原来正方体的体积，减挖掉部分的体积．解答：解：由图可知此六角螺帽的体积为=点评：要求一个组合体的体积，关键是要分析组合体是由哪些简单的几何体组合（挖掉）得到的，然后根据体积公式分别求出相应的体积，加（减）即可得到答案．6．（12分）（1977•上海）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．考点：直线的倾斜角；直线的斜率．247830分析：将直线的一般式方程，转化为斜截式方程，不难得到直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，进一步可以求出直线的倾斜角，根据直线的方程，可用描点法画出直线的图形．解答：解：由可得．斜率倾角θ=arctg=150°．点评：根据直线方程求直线的斜率和倾角，可以先将直线的方程化为斜截式方程，易得斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，易根据反正切函数得到直线的倾斜角，任取满足直线方程的两个点，利用描点法可画出直线的图象．7．（14分）（1977•上海）当x为何值时，函数y=x2﹣8x+5的值最小，并求出这个最小值．考点：函数的最值及其几何意义．247830专题：计算题．分析：此题属于利用二次函数图象性质或用配方法求二次函数的最值问题解答：解：y=x2﹣8x+5=（x﹣4）2﹣11，所以，当x=2时，函数最小值为﹣11．点评：也可联系二次函数图象，用图象法来解．8．（14分）（1977•上海）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？考点：根据实际问题选择函数类型．247830专题：计算题．分析：设应从甲、乙两种流酸中各取x升、y升，根据题意列出二元一次方程组，求出解集即可．解答：解：设甲种流酸取x升，乙种流酸取y升，根据题意可得如下方程组：由（1）得y=600﹣x．代入（2）得x=340（升）y=260（升）故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升．点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力．。

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．2．（10分）化简：．3．（10分）解方程：．4．（10分）不查表求sin105°的值．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=309．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．=3==北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）证明：．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（10分）求函数f（x）=的导数．12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．=+++1=lg．的式子转化成条件中的式子：lg=lglg=lg4．（10分）证明：．==6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，=（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．=3==8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．代入②得=1=111．求函数f（x）=的导数．．（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．ε=ε==上海市高考数学试卷（文科）一、解答题（共8小题，满分100分）1．（12分）（1）计算．（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．2．（12分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（12分）（1）化简；（2）解不等式；（3）解方程．4．（12分）（1）计算；（2）求证：；（3）△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AB=12，求BC的长．5．（12分）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．6．（12分）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．7．（14分）当x为何值时，函数y=x2﹣8x+5的值最小，并求出这个最小值．8．（14分）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？1977年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共8小题，满分100分）1．（12分）（1）计算．（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．+﹣+）×lg的值．+﹣+）×=．于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（12分）（1）化简；（2）解不等式；（3）解方程．=4．（12分）（1）计算；（2）求证：；=5．（12分）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．=黑龙江省高考数学试卷一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）解方程．2．（6分）解不等式|x|＜5．3．（6分）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．4．（6分）．5．（6分）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．6．（6分）．7．（8分）解方程．8．（8分）求数列2，4，8，16，…前十项的和．9．（8分）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．10．（8分）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．11．（8分）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．12．（8分）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？13．（8分）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．14．（8分）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．15．如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？16．求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．1977年黑龙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共16小题，满分100分）4．（6分）．=m=a=6．（6分）．再利用反正弦求出那个角的正弦值为=sin==7．（8分）解方程．8．（8分）求数列2，4，8，16，…前十项的和．R=的斜率为本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积12．（8分）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？==上海市高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．2．（10分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC 于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（10分）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．4．（10分）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．5．（10分）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．6．（10分）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．7．（10分）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？8．（10分）当k为何值时，方程组有两组相同的解，并求出它的解．9．（10分）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．10．（10分）（1997•上海）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．1977年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．======2．（10分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC 于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（10分）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．AC=1+1+•2= 4．（10分）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；cm==2，=5．（10分）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．的斜率的乘积为，积最大？，BE======8．（10分）当k为何值时，方程组有两组相同的解，9．（10分）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．====•OA•OB•sinθ===T=两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．．=江苏省普通高等学校招生考试数学试题及答案江苏省1．（1）计算.)827(()14.3()101()412(21221---+-+ 解：原式=99（2）求函数)5lg(312x x x y -+-+-=的定义域解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和（3）解方程.125522=+xx解：原方程即,55322=+xx223,3, 1.x x x x ∴+==-=均为原方程的解.（4）计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-333333log log 解：原式=.33log )3log 271(log )3(log log 333327133=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(22=+-y x 化为极坐标方程解：原方程可展开为,99622=++-y x x22260,6cos 0,06cos 6cos x x y ρρθρρθρθ-+=-⋅=∴===或即（6）计算.321lim 2n nn ++++∞→解：原式=.2121lim 2)1(lim 2=+=+∞→∞→n n nn n n n （7）分解因式.4832224-+--y y y x x解：原式=2222)22()(---y y x 2222(22)(22)(2)(32).x y y x y y x y x y =-+---+=+--+ 3．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为π43的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点A 、B 两点间的距离解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为,1)1(43x y x tgy -=-π=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x x y x y 解得由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1.又解得,044),1(422=-+-=y y y y y 1+y 2=-4,y 1y 2=-4. 由两点间距离公式221221)()(y y x x d -+-=但,324364)()(21221221=-=-+=-x x x x x x83232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-d y y y y y y故AB 两点间距离为83．在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，且∠BCD 与∠ACD 之比为3:1，求证CD=DE证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900， ∴∠ACD=∠B又∵CE 是直角△ABC 的斜边AB 上的中线 ∴CE=EB∠B=∠ECB ，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD ，∠ECD=2∠ACD=21∠ACB=21×900=450，△EDC 为等腰直角三角形 ∴CE=DE4．在周长为300cm 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动A 点出发按逆时针方向运动，乙球从B 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C 点相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的２倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D 点已知AmC=40厘米，BnD=20ACB 的长度厘米甲球速度为甲v v .4040xv v v x v ==乙甲乙甲或第二次等候时方程.280)20(42120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或由此可得,280)20(440x x x -+=.0)80)(40(=--x x由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,x=80（厘米）（厘米） 5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为600证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有()()180,318060.d d ααααα-+++=︒=︒∴=︒（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为aq a qa,,（此处q 为公比，且0>q ）由余弦定理可得2222222111(()2cos 60,12,20,2a aa aq q q q qq q=+-⋅⋅︒=+-⋅-+= CA D E BA 甲乙 DB),(1,1,11,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为6006．在两条平行的直线AB 和CD 上分别取定一点M 和N ，在直线AB 上取一定线段ME=a ;在线段MN 上取一点K ，连结EK 并延长交CD 于F 试问K 取在哪里△EMK 与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？解：过点K 作两条平行直线的公垂线PQ ，设PQ=l ，MN=m ，令PK=x ，则KQ=x l - ∴△EMK ∽△FNK ， ∴.NK MKNF ME = 又∵△MKP ∽△NKQ ， ∴.KQ KP NK MK =于是得到,KQKP NF ME = .)(xx l a KP KQ ME NF -=⋅=从而△EMK 与△FNK 的面积之和为2222211()()22()()222221),a l x a l x a x lx l l A x a l x x a x l x x x xa l ⎡⎤---+=⋅⋅+⋅-⋅=+=⋅=⋅-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22,02时也即时当l x xl x ==-∴A 有最小值.)12(al - l x 22=表示点K 到直线AB 的距离为22倍的PQ ，从而点K 到M 的距离也为MN 的22倍，即KM=22MN.附加题 1求极限).1(limx x x n -+∞→解：原式=xx x x x x x n ++++-+∞→1)1)(1(lim.211111lim1lim=++=++=∞→∞→xxx x n n 2．求不定积分.)1(2⎰+x e dx解：令,1t e x=+则,)1(dx t dx e dt x-== .1-=t dt dx P M E A BK C DF N Q2222111111()()ln(1)ln (1)(1)(1)111ln ln(1)ln(1).11x x x xx xdx dt dt dt t t C e t t t t t t t t te e C x e C e e ∴==-=--=--+++---=-+++=-+++++⎰⎰⎰⎰河北省普通高等学校招生考试数学试题及答案1．解答下列各题：（1）叙述函数的定义答：略（2）求函数xy 3211--=的定义域解：由.32032<>-x x 解得（3）计算.)827(])5.0(1[312-÷--解：原式=2（4）计算.2log 4 解：原式2（5）分解因式x 2y-2y 3. 解：原式=).2)(2(y x y x y -+（6）计算).43(625cos 34sinπ-⋅π⋅πtg 解：原式=.4346cos )3sin (-=π⋅π⋅π-tg2．证明：从圆O 外一点P 向这个圆所引的两条切线PA 、PB 所成的角APB 被PO 平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图）解：已知：圆O 及圆O 外一点P ，PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 是切点（如图），求证：∠OPA=∠OPB 证明：联结OA 、OB∴∠OAP=∠OBP=900 在直角△OPA 与直角△OPB 中，∵OA=OB ，OP=OP ，∴△OPA ≌△OPB ，∠OPA=∠OPB3．证明：.21212sin 2cos 112sin +α=α+α++αtg证：左边=)sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin cos sin 22222α+ααα+α=αα+αα+α+α⋅α αα+α=cos 2cos sin 2121+α=tg =右边4．已知),6lg(2lg lg 2+=+x x 求x 解：由原方程可得)(23,2,062),6lg(2lg 22增根-==∴=--+=x x x x x x 故原方程的解为x=2.5．某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD 和DC 为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？解：如图，设BC 长为x ，苗圃面积为S.AB过D 作DE ⊥AB 交AB 于E. 由已知条件可得AB=30-x ， ∠DAB=450， AE=DE=BC=x ， CD=BE=AB-AE=30-2x ，.150)10(23)360(21)(212+--=-=⋅+=∴x x x BC AB CD S 由此可知，当x=10时，S 取最大值所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米26．工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x ，则下底面边长A 1B 1=2x ，设表面积为S因正四棱台的体积)(56.1)(156)2410(4)410(2144)(214).(4),(10,2,4],25)2()5[(431208).(31222111211112222121平方米平方分米由此可得分米分米==-+⋅+⋅⋅+=⋅+⋅⋅+===∴=∴=∴⋅++⋅⋅=∴++=FF B A AB B A S B A AB x x x x x x s s s s h VD C AE BC BD D 1 A 1 FE 1F 1故共需铁皮1.56平方米7．已知：如图，MN 为圆的直径，P 、C 为圆上两点，连PM 、PN ，过C 作MN 的垂线与MN 、MP 和NP 的延长线依次相交于A 、B 、D ，求证：AC 2=AB ·AD证：在△ABM 与△AND 中， ∠BAM=∠NAD=900 ∠AMB=∠ADN=900-∠MND ， ∴△ABM ∽△AND ， AB:AN=AM:AD, AN ·AM=AB ·AD ……①又∵在直角△MCN 中，AC ⊥MN ， ∴AC 2=AM ·AN ………② 由①，②得AC 2=AB ·AD8．下列两题选做一题（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y 2=4x 的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长解：设所求之椭圆方程为12222=+b y a x ∵2b=2,∴b=1.由抛物线方程y 2=4x 可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1,从而,2,2222==+=a c b aDN故所求之椭圆方程为1222=+y x ，长轴的长为（乙）已知菱形的一对内角各为600，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形600角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X 轴，建立直角坐标系设欲求之椭圆方程为2222=+b y a x 由图及已知条件可得 b=BO=BC ·sin300=2a =BC=4.故所求之椭圆方程为.141622=+y x 参考题1．将函数x e x f =)(展开为x 的幂级数，并求出收敛区间（e=2.718为自然对数的底）)2,1(|||)(|,.1)0()0()0()0(.)()()(,)(: =≤=≤≤-==''='=∴==''='∴=n e e x f r x r f f f f e x f x f x f e x f r x n n x n x 有上函数在区间解所以函数x e 可以在区间[-r ，r]上展开成幂级数，因为r>0是任意的，所以，函数x e 在区间),(+∞-∞上可展成幂级数，特别的它的马克劳林X级数是++++++=!!3!2132n x x x x e nx2．利用定积分计算椭圆)0(12222>>=+b a by a x 所围成的面积解：因为椭圆12222=+by a x 关于x 轴和y 轴都是对称的，所以所求之面积为.22]2cos 2[222cos 14)(cos 4cos cos 4cos ,cos sin )20.(sin .44202020220222220220ab ab d ab d ab d ab d a a a b s d a dx a a a x a a x dx x a b a ydx s a aπ=π⋅=θθ+π=θθ+=θθ=θθ⋅⋅θ⋅⋅=∴θθ=θ=θ-=-π≤θ≤θ=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ则令福建省高考数学试卷（理科）一、解答题（共21小题，满分120分） 1．（6分）计算．2．（6分）的值是正的还是负的？为什么？ 3．（6分）求函数的定义域．4．（6分）如图，在梯形ABCD 中，DM=MP=PA ，MN ∥PQ ∥AB ，DC=2cm ，AB=3.5cm 求MN 和PQ 的长． 5．（6分）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x ． 6．（6分）求的极限．7．（6分）解方程．8．（6分）．9．（6分）求函数y=2﹣5x﹣3x2的极值．10．（6分）画出下面V形铁块的三视图（只要画草图）11．（6分）解不等式．12．（6分）证明：13．（6分）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）14．（6分）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．①求十一月、十二月份每月增长率；②原计划年产拖拉机多少台？15．（6分）在半径为R的圆内接正六边形内，依次连接各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连接各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n个正六边形的周长之和S n；（2）所有这些正六边形的周长之和S．16．（6分）动点P（x，y）到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．17．（8分）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．18．（8分）已知双曲线=1（α为锐角）和圆（x﹣m）2+y2=r2相切于点A（4，4），求α，m，r的值．19．（8分）（1977•福建）设数列1，2，4，…前n项和是S n=a+bn+cn2+dn3，求这数列的通项a n的公式，并确定a，b，c，d的值．20．（1977•福建）求函数的导数．21．（1977•福建）求定积分∫10（x+x2e2）dx．1977年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共21小题，满分120分）1．（6分）计算．+1031×3×）2．（6分）的值是正的还是负的？为什么？3．（6分）求函数的定义域．4．（6分）如图，在梯形ABCD中，DM=MP=PA，MN∥PQ∥AB，DC=2cm，AB=3.5cm求MN和PQ的长．lg6．（6分）求的极限．= 7．（6分）解方程．8．（6分）．=﹣）时，，时，11．（6分）解不等式．12．（6分）证明：====样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．①求十一月、十二月份每月增长率；边形，又在这一正六边形内，再依次连接各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n个正六边形的周长之和S n；（2）所有这些正六边形的周长之和S．，===，，==16．（6分）动点P（x，y）到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．两边平方，P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．==18．（8分）已知双曲线=1（α为锐角）和圆（x﹣m）2+y2=r2相切于点A（4，4），求α，m，r的值．，，，=+6mx+24m+400=0m=r=19．（8分）设数列1，2，4，…前n项和是S n=a+bn+cn2+dn3，求这数列的通项a n的公式，并确定a，b，c，d的值．d=，进而可得到=．。

1977上海高考理科数学试题

1977年普通高等学校招生考试理科数学(上海市)试题及答案1．（1）化简)()2(222222b a a b a a b ab a a b a a --+÷++-+ 解：原式=.)1()1(b a a b b a a b a a b a a ba a +-=--++-+ （2）计算2log 9log 1.0lg 2lg 25lg 2132⨯--+解：原式=21-（3）i =-1，验算i 是否方程2x 4+3x 3-3x 2+3x-5=0的解解：令x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0所以i 是所给方程的一个解（4）求证：.2cos 2)4cos()4cos()4sin()4sin(θ=θ-πθ+π+θ-πθ+π.2cos 22cos 211)4cos()4sin(2sin)4cos()4sin()4sin()4cos()4cos()4sin(:右边左边证=θ=θ=θ-πθ-ππ=θ-πθ-πθ-πθ+π+θ-πθ+π=2．在△ABC 中，∠C 的平分线交AB 于D ，过D 作BC 的平分线交AC 于E ，已知BC=a ,AC=b,求DE 的长解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DE b a DE AC AE BCDE -==∴BD 3 1 2A E Cb ·DE=ab-a ·DE ，.b a abDE +=3．已知圆A 的直径为32，圆B 的直径为324-，圆C 的直径为2，圆A 与圆B 外切，圆A 又与圆C 外切，∠A=600，求BC 及∠C解：由已知条件可知，AC=31+，AB=2，∠CAB=600根据余弦定理，可得BC=6由正弦定理，则︒=∠∴=⋅=45,22sin sin C BC A AB C 4．正六棱锥V-ABCDEF 的高为2cm ，底面边长为2cm （1）按1:1画出它的二视图;（2）求其侧面积; （3）求它的侧棱和底面的夹角解：（1）见六五年试题1（2）斜高为)(7672216),(7)223(2222cm cm =⨯⨯⨯==⨯+故侧面积（3）侧棱与底面的夹角为450 5．解不等式⎩⎨⎧>--≥-0601622x x x 并在数轴上把它的解表示出来解：略-4≤x ＜-2，3＜x ≤4.6．已知两定点A （-4，0）、B （4，0），一动点P （x,y ）与两定点A 、B 的连线PA 、PB 的斜率的乘积为41-求点P 的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线解：直线PA 、PB 的斜率分别是故此曲线为椭圆其标准方程为由题意,14161644144.4,4222221=+=+-=-⋅+-=+=y x y x x y x y x y k x y k 7．等腰梯形的周长为60，底角为600，问这梯形各边长为多少时，面积最大？解：设等腰梯形的腰长为x ，则有AE=2x ，BE=23x ，.2360226022260x x x AEAB BC -=--=-⋅-=等腰梯形ABCD 的面积=BE AE BC BE ADBC ⋅+=⋅+)(2].)15(225[23)30(2323)22360(22--=-=⋅+-=x x x x x x 由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大此时，腰AB=CD=x=15,上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.58．当k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=---=--)2(0102)1(02ΛΛΛΛΛk y kx y x 有两组相同的解？并求出它的解解：由（1），x ≥0，y ≥2由（2），y=kx-2k-10.代入（1），得B C x A 600 D E)122(,)122(2=++-+-=k kx x k kx x此方程有二等根的条件是判别式为零，即 k 2-4(2k+12)=0,k 2-8k-48=0,(k-12)(k+4)=0, k 1=12,k 2=-4(增根） ∴当k=12时，x=6,y=38. 附加题9．如图所示，半圆O 的直径为2，A 为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B 为半圆上任一点，以AB 为边作等边△ABC ，问B 在什么地方时，四边形OACB 的面积最大？并求出这个面积的最大值解：四边形OACB 的面积=△OAB 的面积+△ABC 的面积设∠AOB=θ，则 △OAB 的面积θ=θ⋅⋅⋅=θ⋅⋅⋅=sin sin 1221sin 21OB OA△ABC 的面积C B θ A O)cos 45(43)cos 2(434360sin 21222θ-=θ⋅⋅⋅-+=⋅=︒⋅⋅⋅=OA OB OA OB AB AC AB∴四边形OACB 的面积∴当θ-600=900，即θ=1500时，四边形OACB 的面积最大，其最大面积为.2435+ 10．已知曲线y=x 2-2x+3与直线y=x+3相交于点P （0，3）、Q （3，6）两点，（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率;（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积解：（1）∵y=x 2-2x+3，∴y ＇=2x-2,∴过点（0，3）的切线斜率k 1=y ＇|x=0=-2过点（3，6）的切线斜率k 1=y ＇|x=3=4（2）设所求的带阴影的图形的面积为S 则S 为梯形OAQP 的面积与曲边梯形OAQP 的面积的差而梯形OAQP 的面积.227)(21=⋅+=OA AQ OP 曲边梯形OAQP 的面积9)331()32(3030232=+-=+-=⎰x x x dx x x .5.49227=-=∴SY 6 Q P O 3 A X)60sin(2435cos 3sin 435︒-θ+=θ-θ+=。

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．2．（10分）化简：．3．（10分）解方程：．4．（10分）不查表求sin105°的值．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．解答：解：设此数列为2，x，y，30．于是有解得x=6，y=18．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）证明：．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（10分）求函数f（x）=的导数．12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。

高考理科数学试题及答案1977

2
2
则 △PMN 中， cos PNM MN 2 NP2 PM 2 2 MH NP
又异面线所成角为
0
，π 2
，则余弦值为
10 ． 5
11．A
【解析】 f x x2 a 2 x a 1 ex1，则 f 2 4 2a 2 a 1 e3 0 a 1 ，
则 f x x2 x 1 ex1 ， f x x2 x 2 ex1 ，
最小
值是（）
A． 15 B． 9
C．1
D． 9
6. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共
有（）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，
则当 t 3 时， f x 取最大值 1．
2 15． 2n
n +1
【解析】设an 首项为 a1 ，公差为 d ．
则 a3 a1 2d 3
求得 a1
1， d
1，则 an
n ， Sn
nn 1
2
16． 6
【解析】 y2 8x 则 p 4 ，焦点为 F 2，0 ，准线
l : x 2，如图， M 为 F 、 N 中点，
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部
分所得，则该几何体的体积为（）
A． 90 B． 63
C． 42
D． 36
2x 3y 3 0 5. 设 x ， y 满足约束条件 2x 3y 3 0 ，则 z 2x y 的

普通高等学校招生全国统一考试上海卷(数学文)word版有答案

上海市高考数学试题（文科）一、填空题（56分）1、若全集U R =，集合{|1}A x x =≥，则U C A = 。

2、3lim(1)3n nn →∞-=+ 。

3、若函数()21f x x =+的反函数为1()fx -，则1(2)f --= 。

4、函数2sin cos y x x =-的最大值为。

5、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为6、不等式11x<的解为。

7、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是。

8、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是千米。

9、若变量x 、y 满足条件30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为。

10、课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8。

若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为。

11、行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是。

12、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。

13、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

14、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为。

二、选择题（15、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗（） A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x = 16、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（）A 222a b ab +> B a b +≥ C11a b +>2b a a b +≥ 17、若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则〖答〗（）A E F ØB E F ÙC E F =D EF =∅18、设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为〖答〗（）A 0B 1C 2D 4 三、解答题（74分）19、（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。

1977年上海市高考数学试卷(理科)

1977年上海市高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1997•上海）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．2．（10分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（10分）（1997•上海）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．4．（10分）（1997•上海）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．5．（10分）（1997•上海）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．6．（10分）（1997•上海）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．7．（10分）（1997•上海）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？8．（10分）（1997•上海）当k为何值时，方程组有两组相同的解，并求出它的解．9．（10分）（1997•上海）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．10．（10分）（1997•上海）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．1977年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1997•上海）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．考点：对数的运算性质；复数的基本概念；三角函数恒等式的证明．专题：计算题；综合题．分析：（1）利用平方和公式、同分，然后化简即可．（2）利用对数的运算性质，化简即可．（3）把i代入方程验证即可．（4）三角方程的左边利用诱导公式化简即可．解答：解：（1）原式=．（2）==（3）令x=i，左边=2﹣3i+3+3i﹣5=0，所以i是所给方程的一个解．（4）证：左边=====右边．点评：本题考查对数的运算性质，复数的基本概念，三角函数恒等式的证明，考查计算能力，是基础题．2．（10分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：根据线线平行得角相等，再结合角平分线可得三角形相似，由相似三角形的性质找出对应边成比例．然后根据已知边的长求出边DE的长．解答：解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3．又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，∴，b•DE=ab﹣a•DE，故．点评：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．3．（10分）（1997•上海）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：根据题意可求得AC和AB，再根据余弦定理求得BC，最后利用正弦定理求得sinC，进而求得C．解答：解：由已知条件可知，AC=，AB=2，∠CAB=60°根据余弦定理，可得BC=（1+）2+4﹣2cos60°（1+）•2=．由正弦定理，则，∴∠C=45°．点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．余弦定理和正弦定理是解三角形问题中常用的方法，应该熟练记忆．4．（10分）（1997•上海）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．考点：简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积；直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：（1）由正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．易得其正视图为高为2cm，底边长为4cm三角形，侧视图为高为2cm，底面长为2cm三角形，俯视图为边长为2cm的正六边形．（2）其侧面积等于六个全等的三角形面积的和，由已知中的高及底面边长，我们易求出侧高，进行得到侧面积．（3）由（2）中侧高的长，我们可以计算出侧棱的长，进而易得侧棱与底面的夹角．解答：解：（1）按1：1画出正六棱锥V﹣ABCDEF的三视图，如右图示：（2）斜高为（cm），故侧面积=（cm2）（3）侧棱长为=2，侧棱与底面的夹角的正弦值为=故侧棱和底面的夹角45°．点评：正棱锥（台、柱）的侧面是n个全等的三角形（等腰梯形、矩形），我们只要求出一个侧面的面积，乘以n即可得到侧面积．5．（10分）（1997•上海）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．考点：一元二次不等式的解法．分析：分别求解不等式，再求其交集即可．解答：解：解不等式得即﹣4≤x＜﹣2或3＜x≤4点评：注意到数形结合，数轴的运用可帮助更快解题．6．（10分）（1997•上海）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的定义．分析：欲求点P的轨迹方程，只须寻找它的坐标x，y间的关系式即可，利用题中斜率的乘积为列式化简即得．最后将把它化为标准方程，指出是什么曲线即可．解答：解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），P（x，y）因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4∴直线PA、PB的斜率分别是，．由题意：PA、PB的斜率的乘积为，得：，化简得，∴点P的轨迹的标准方程为，x≠±4，它表示椭圆除去x轴上的两个顶点，故此曲线为椭圆，除去x轴上的两个顶点．点评：本题考查了轨迹方程、椭圆的定义．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．7．（10分）（1997•上海）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？考点：基本不等式．分析：设等腰梯形的腰长为x，利用x表达出梯形的面积，转化为求函数的最值问题．解答：解：设等腰梯形的腰长为x，则有AE=，BE=，=．等腰梯形ABCD的面积==（BC+AE）•BE===．由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大．此时，腰AB=CD=x=15，上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.5．点评：本题考查函数的应用，求函数关系式和最值，难度不大，要充分结合图形表达各边长．8．（10分）（1997•上海）当k为何值时，方程组有两组相同的解，并求出它的解．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：将两式联立，消元，转化为关于x的二次方程的根的问题，判断△的情况即可．解题中注意挖掘题目隐含的条件：由（1），x≥0，y≥2，注意检验．解答：解：由（1），x≥0，y≥2．由（2），y=kx﹣2k﹣10．代入（1），得，x2﹣kx+（2k+12）=0此方程有二等根的条件是判别式为零，即k2﹣4（2k+12）=0，k2﹣8k﹣48=0，（k﹣12）（k+4）=0，k1=12，k2=﹣4（增根）∴当k=12时，x=6，y=38．点评：本题考查方程组的解的问题、二次方程根的问题，同时考查消元思想和等价转化思想的运用．9．（10分）（1997•上海）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题．分析：本题考查的知识是余弦定理，及正弦型函数的性质，由于∠AOB的大小不确定，故我们可以设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．解答：解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积设∠AOB=θ，则△ABC的面积===△OAB的面积=•OA•OB•sinθ=•2•1•sinθ=sinθ四边形OACB的面积==∴当θ﹣60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T=进行求解．10．（10分）（1997•上海）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．考点：导数的运算；定积分．专题：常规题型．分析：（1）函数y=f（x）在某点的导数值即为在该点的斜率，所以只要求出该点的导数值即可．（2）求图形的面积，根据图形只要求出梯形OAQP的面积与曲边梯形OAQP的面积，求曲边梯形OAQP的面积，用定积分求，再求它们之差即可．解答：解：（1）∵y=x2﹣2x+3，∴y′=2x﹣2，∴过点（0，3）的切线斜率k1=y′|x=0=﹣2．过点（3，6）的切线斜率k1=y′|x=3=4．（2）设所求的带阴影的图形的面积为S，则S为梯形OAQP的面积与曲边梯形OAQP的面积的差．而梯形OAQP的面积=．曲边梯形OAQP的面积=∴．答：（1）过点（0，3）的切线斜率为﹣2．过点（3，6）的切线斜率为4．（2）曲线与直线所围成的图形的面积为4.5．点评：函数y=f（x）在某点的导数值即为在该点的斜率，过（x．y．）点的切线方程为：y﹣y．=y'|x=x．（x ﹣x．）；求曲边梯形的面积，常用定积分求．。

数学试卷77年普通高等试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题精品解析(上海卷)

2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 .【答案】π2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U I . 【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ，所以}4,1{)(=B C A U I . 【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足iz z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z. 【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=. 【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛0213⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a . 【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.8.方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为.【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由r r r r rrr x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量、、的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 . 【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（）. A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16.下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（）. A.2)32)(8(2<+++x x x B.)32(282++<+x x xC.823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【答案】B17.已知点A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）. A.233 B.235 C.211D.213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213.【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18.设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ().A.1-B.21- C.1D.2【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数；当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ，所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米，所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+yx ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-= 由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x km y l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ，由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，的221211k x +=，同理2222222)(211m k k k m x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||mk k m k +⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ，由题意知S 与k 无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021*********m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且 1(,6)6m n a a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211n n n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n nλλ+=n 2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ，由题意，n m a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ，综上所述，λ的取值范围是)0,41(-. 【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

普通高校招生数学(文)统一考试(上海卷)

（文史类）本试卷共22道题，满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .4．已知定点A （0，1），点B 在直线x +y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= .7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1）11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内..二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A ．y=tg|x |.B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x y D ．|2|x ctg y =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（） A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β.15．在P （1，1）、Q （1，2）、M （2，3）和N )41,21(四点中，函数xa y =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（）A ．P ．B ．Q.C ．M.D ．N.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =1， 0<b<2,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a =－2,b=0,则函数g(x )的图象关于y 轴对称D ．若 a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.19．（本题满分14分）已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量AB 的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+- （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.（3）设q ≠1，S n 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：n n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-。

高考数学普通高等学校全国统一考试77

高考数学普通高等学校全国统一考试77本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3. 本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、Ｂ相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k K n kn n P k C P P -=-一、选择题（１）函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是（A ）4π（B ）2π（C ）π（D ）2π解：∵sin(x+α)|,∴T=22ππ=,()sin cos f x x x =+的最小正周期是π.选(C)（２）正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形（B ）四边形（C ）五边形（D ）六边形解：如图, 正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是六边形PMRSQ,选(D)（３）函数21(0)y x x =-≤的反函数是（A ）1()y x x =+≥-1（B ）1()y x x =-+≥-1（C ）1()y x x =+≥0（D ）1()y x x =-+≥0解：由21(0)y x x =-≤得1(1)x y y =-+≥-,∴函数21(0)y x x =-≤的反函数是y=1(1)x x =-+≥-,选(B)（４）已知函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，则（A ）０＜ω≤１（B ）－１≤ω＜０（C ）ω≥１（D ）ω≤－１解：可用排除法,∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数,∴排除(A)，(C),又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π,∴tan y x ω=在(,)22ππ-内不连续,在这个区间内不是减函数,这样排除(D),故选(B)。

1977年普通高等学校招生考试(上海市)文科数学试题及答案

1977年普通高等学校招生考试文科数学(上海市)试题及答案1．（1）计算.23)]43()311(23)(3121[(÷-⨯+----解略：原式=.21-（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？解：根据已知条件，今年比去年增长%2596249696120==-. 明年养猪头数为120（1+40%）=168（头）（3）计算.51lg 5lg 32lg 4-+ 解：原式=42．在△ABC 中，∠C 的平分线与AB 相交于D ，过D 作BC 的平分线与AC 相交于E ，已知BC=a ，AC=b ，求DE 的长解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DEb a DE AC AE BCDE -==∴b ·DE=a b-a ·DE ，.b a abDE +=3．（1）化简()2(222222ba ab a a b ab a a b a a --+÷++-+2A E C解：原式=.)1()1(b a a b ba ab a a b a a b a a +-=--++-+（2）解不等式.4213312-->-x x 解：不等式解为x ＜5 （3）解方程.92131342--=--+x x x x 解：可得x 2-5x+6=0, x=2,x=3（增根）故原方程的解为x=2. 4（1）计算.)120cos(330225sin ︒-︒+︒tg解：原式=.3322360cos )30(45sin +=︒-︒-+︒-=tg（2）求证：.2sin 2xctgx tgx =+ 证：右边左边==+=xx x x x 2sin 2sin cos cos sin （3）△ABC 中，∠A=450，∠B=750，AB=12，求BC 的长解：由正弦定理可知：.64sin sin =⋅=CAAB BC 5．六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm 3）解：由图可知此六角螺帽的体积为)(725010)36(101010)620232021(332mm V ≈⨯π-=⨯⨯π-⨯⨯⨯⨯⨯=6.求直线0333=++y x 的斜 Φ20率和倾角，并画出它的图形解：由0333=++y x 可得.150)33(33.333331︒=-=θ-=--=--=arctg k x x y 倾角斜率图略7．当x 为何值时，函数y=x 2-8x+5的值最小，并求出这个最小值解：y=x 2-8x+5=2（x-2)2-3，所以，当x=2时，函数最小值为-38．将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？解：设甲种流酸取x 升，乙种流酸取y 升，根据题意可得如下方程组：⎩⎨⎧⋅=⋅+⋅=+)2(%70600%36%96)1(600 y x y x 由（1）得y=600-x.代入（2）得x=340（升）y=260(升）故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升。