第1章1.4.3知能优化训练

[学生用书 P 26]
1．函数f (x )＝tan(x ＋π4
)的单调递增区间为( ) A ．(k π－π2，k π＋π2
)，k ∈Z B ．(k π，k π＋π)，k ∈Z
C ．(k π－3π4，k π＋π4
)，k ∈Z D ．(k π－π4，k π＋3π4
)，k ∈Z 解析：选C.k π－π2<x ＋π4<k π＋π2
(k ∈Z )， ∴k π－3π4<x <k π＋π4
(k ∈Z )，故选C. 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )
A ．[－π4，π4]
B ．[－22，22
] C ．[－tan1，tan1] D ．以上均不对
解析：选C.cos x ∈[－1,1]，t ＝cos x ，t ∈[－1,1]．
y ＝tan t 为增函数，∴－tan1≤y ≤tan1. 3．下列图象分别是函数①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈(－3π2，3π2
)内的大致图象．那么图a 、b 、c 、d 依次对应的函数关系式应是( )
A ．①②③④
B ．①③④②
C ．③②④①
D ．①②④③
解析：选D.y ＝tan(－x )在(－π2，π2
)内是减函数，故选D. 4．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan 12
x 的图象相交，则两相邻交点间的距离为__________．
解析：结合图象可知，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期2π. 答案：2π
1．函数y ＝|tan 2x |是( )
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为π2的奇函数
D ．周期为π2
的偶函数 解析：选D.f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2
. 2．在区间(－π2，π2
)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C.分别作出函数y ＝tan x 与y ＝sin x 的图象即可．
3．y ＝tan(2x ＋π3
)的一个对称中心是( ) A ．(π6，0) B ．(23
π，－33) C ．(23π，0) D ．(－π6
，0) 解析：选D.2x ＋π3＝k 2
π(k ∈Z )， ∴x ＝k 4π－π6
(k ∈Z )． k ＝0时，对称中心为(－π6
，0)． 4．函数y ＝1tan x (－π4≤x ≤π4
且x ≠0)的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．[－1，＋∞)
解析：选B.∵－π4≤x ≤π4
且x ≠0， ∴－1≤tan x ≤1且tan x ≠0，
当－1≤tan x <0时，1tan x
≤－1； 当0<tan x ≤1时，1tan x
≥1， ∴y ＝1tan x (－π4≤x ≤π4
且x ≠0)的值域为 (－∞，－1]∪[1，＋∞)，故选B.
5．函数y ＝3x －x 2
tan x
的定义域是( ) A ．(0,3] B ．(0，π)
C ．(0，π2)∪(π2，3]
D ．[0，π2)∪(π2
，3) 解析：选C.要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －x 2≥0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2
，k ∈Z ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤3，x ≠k π2，k ∈Z ，∴x ∈(0，π2)∪(π2，3]，故选C. 6．函数y ＝tan(x 2－π3) 在一个周期内的图象是图中的( )
解析：选A.y ＝tan(x 2－π3)的周期T ＝π12
＝2π，而由B 、D 图象可知其周期为π，故可排除B 、D ；当x ＝π3时，y ＝tan(π6－π3)＝－tan π6
≠0，故可排除C.故选A. 7．若x ∈(0，π2)，则2tan x ＋1tan x
的最小值为__________． 答案：2 2
8．在(0,2π)内，使tan x >1成立的x 的取值范围为__________．
解析：利用图象y ＝tan x 位于y ＝1上方的部分对应的x 的取值范围可知．
答案：(π4，π2)∪(54π，32
π) 9．tan 1，tan 2，tan 3的大小关系为__________．
解析：tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．
－π2<2－π<0，－π2<3－π<0，显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2
)内是增函数，
∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.
答案：tan 2<tan 3<tan 1
10．求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．
解：要使函数有意义，须3tan x ＋3≥0，
所以tan x ≥－33
， 所以－π6＋k π≤x <π2
＋k π，k ∈Z . 故所求定义域为{x |－π6＋k π≤x <π2
＋k π，k ∈Z }． 11．试讨论函数y ＝tan(2x －π3
)的定义域、周期及单调性． 解：由2x －π3≠k π＋π2，k ∈Z 得x ≠k π2＋512
π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋512π，k ∈Z . 周期为T ＝π2. 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π2－π12<x <k π2＋512π，k ∈Z .
∴函数的单调增区间是(k π2－π12，k π2＋512
π)，k ∈Z . 12．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x
＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值． 解：y ＝1cos 2x
＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x
＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.
∵x ∈[－π3，π4
]，∴tan x ∈[－3，1]． 故当tan x ＝－1，即x ＝－π4
时，y 取得最小值1； 当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.。