5隐函数和参数方程的求导.ppt

f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
例5 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
§3.5隐函数和参数方程 的求导
一、隐函数的导数
定义5.1: 若方程F ( x, y) 0，对x I ,
总存在唯一的 y使得方程成立，则称 该方程确定了一个隐函数.
问题:隐函数如何求导? 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
得(1 x2 ) y'' xy' 0,用leibniz公式求n 2次导
得(1 x2 ) y(n) (2n 3)xy(n1) (n 2)2 y(n2) 0(n 3)
令x 0有y(n)(0) (n 2)2 y(n2)(0)
由y'(0) 1, y''(0) 0
y(n)
(0)
[(2k
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例1 设方程sin y ex x y 1 0, 确定y y (x)满足y (0) 0。
1)!!]2
n 2k 1,
0
n 2k.
五、小结
隐函数求导: 直接对方程两边求导;
参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导;
• 习题3.5 • 1，2，3
作业
参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系.
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dy
即
dy dx
dt dx
x
Байду номын сангаас dy
(v0t
sin
1 2
gt
2
)
v0
sin
gt
dx
(v0t cos )
v0 cos
dy dx
t t0
v0 sin gt0 v0 cos
.
(2) 炮弹在 t0时刻沿 x, y轴方向的分速度为
vx
dx dt
t t0
(v0t cos )
t t0 v0 cos
vy
dy dt
t t0
(v0
t
例7 不计空气的阻力, 以初速度v0 , 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x y
v0t v0t
cos sin
,
1 2
gt
2
,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(
2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1) 在t0时刻的运动方向即
y v0
vy
v vx
轨迹在t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映. o
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
xsin x (cos x ln x sin x ) x
例7 设 y arcsin x，求 y(n)(0)
解
由y'
1 1
x2
,
y''
x (1 x)3/ 2
xy' 1 x2
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d dx
(dy ) dx
d dt
(
tan
t)
dt dx
( tan (a cos3
t ) t )
sec2 t 3a cos2 t sin
t
sec4 t 3a sin t
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
二、参数方程的求导
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例6 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
求 y"(0).
解 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 由 y 0 , y(0) 1
d2 y dx2
3 x0
例2 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t
)
(t) ( 2(t)
t
)
(t
)
1 (t
)
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例3
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
sin
1 2
gt
2
)
t t0
v0 sin
gt0
在 t0时刻炮弹的速度为
v
v
2 x
v
2 y
v2 0
2v0 gt0
sin
g
2
t2 0
三、对数求导法
对多个函数相乘或幂指函数 u( x)v( x)的求导
先取对数, 在利用隐函数的求导方法求导.
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0) ln f ( x) v( x) ln u( x)
在t
2
处的切线方程.
dy
解
dy dt a sin t sin t
dx dx a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
例4
求由方程
x y
a cos3 a sin3