概率论 第二章2

x kx2dx

0
x0 0 x2
0
0dx
2 kx2dx
x
kxdx


1
0
2
2 x3 3 x
x ０ x ２ x３
x
x
例3 设连续型随机变量X的概率密度为

f
(
x)


A 1 x2
,

0
,
x 1 x 1
求 (1)系数A (2)P{-1/2<X<1/2｝ (3)F(x)
§2.3 随机变量的分布函数
对于非离散型随机变量，由于它的可能取 值 不 能 一 个 一个地列举出来，因而就不能像离散型随 机变量那样用分布律来描述它 ； 另 外 ,非离散型随 机变量取指定实数值的概率通常等于零,因而我们 主 要 来研究随机变量所取的值落在一个区间内的 概率: P{x1<X x2}, 而
F(x)
当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1
1
1
当0≤x≤1时, F(x) P{0 X x} kx
x
特别,F(1)=P{0≤X≤1}=k=1
0
0, x 0 F (x)＝P( X x)＝x, 0 x 1
1, x 1
已知随机变量X的分布函数为
0
故对连续性随机变量，有
P{a<X<b}= P{a<X b}= P{a X<b}= P{a X b}
例1 已知连续型随机变量X的分布函数为
0,
x0
F ( x) sin x, 0 x 2
1,
x 2
试求 X 的概率密度 f(x) 及 P{/4 X 2}.
解：X的分布律为 X 1 2 3
pk 1/3 1/2 1/6
F(x) P{X x}
00 , x 1
x 1
F(x)



1P /{ 5P{/
X3 X6
, ,
1}1, x 2 1}2 P{xX32}
,
1 x21 2 x3
1 ,, x 3
x 3 0 1 2 3
x
F ( x) f (t )dt
(*)
则称X 为连续型随机变量，
f (x)-----X的概率密度函数，简称概率密度．
• 连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
f(x) f(x)
F(x)
o
x
x
f(x)
1
o
x

f ( x)dx 1
o x1 x2
x
P{ x1<X≤ x2 }
答：(1) A=1/π，
(2) P=1/3
0
,
(3)
F
(
x)


1 2

1

arcsin
x
,
1
,
x 1 1 x 1
x1
几种常见的连续型随机变量
(一)均匀分布
若连续型随机变量X的概率密度为
ห้องสมุดไป่ตู้
f
(x)



b
1
a
，a

x

b
0 , 其它
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作X～U(a, b).
且可以证明


f
(
x)dx1
1
F(x)
e dt x

(
t )2 2 2
参数 , 的意义将2在后面的章节中给出
正态分布的 f(x)及F(x)的图形:
f(x)
F(x)
0
x
0
x
图1
图2
正态分布的概率密度函数f(x)的性质
(1) 曲线关于直线 x= 对称 . 1 f(x)
设随机变量X的分布函数为 求f(x)
F
(
x)

1
1 ex 2 1e

x
2
x0 x0
(4)连续型随机变量X取任一指定值 a 的概率为0，即 P{ X=a } = 0 .
因为,P{X a} lim P{a X a}
0
lim [F(a) F(a )]= 0
指数分布的f(x)及F(x)的图形:
f(x)
1

o
F(x) 1
x
o
x
❖ 指数分布有着重要应用，如动植物的寿命、无线 电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等 都可用指数分布来描述.
例5 设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为
f
(
x)


1
e
100
x 100
,
x0
0
, x0
求 (1)此种灯泡使用寿命超过100小时的概率. (2)任取5只产品, 求有2只寿命大于100小时的概率.
a
F
(
x)


1 3
x 2
b
求a,b,并求:
x 1 1 x 1 1 x 2
x2
PX 0, P{0 X 1}, P{X 1}
解：a 0,b 1
1
PX 0 F 0 1
3
1 0 1
P0 X 1 F 1 F 0 1 1 1
f(x)
F(x)
1
ao
b x ao
bx
对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
P{c X d}＝ d f (x)dx＝ d 1 dx＝d c
c
c ba ba
例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟发一趟车， 已知某乘客在7：00 到 7：30 任一时刻到达车站，求 他候车时间少于5分钟的概率.
23 6
PX 1 1 F 1 1 1 1
22
2x
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
p{a X b} ?
§2.4 连续型随机变量的概率密度
1.定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)存在非
负函数 f (x)，使对于任意实数x 有
3.F(x)是右x连续的, 即:F(x+0)=xF(x). 注：若一个函数具有以上性质，则它一定是某个随
机变量的分布函数.
例2 一袋中有6个球,其中2个标号为1, 3个标号为2, 1 个标号为3, 任取1个球，以X 表示取出的球的标号, (1) 求X 的分布函数；(2)求 P{2≤X≤3}.

显然，f(x)≥0,且 f (x)dx 01 , x a
P{c
X的X 分 c布函l}数为c c

l Ff
((xx))dx
x b

a a
,
a xb
cl

1
1
dx
l,
xb
, (c,c l) (a,b)
c ba ba
f(x)及F(x)的图形:
若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
( x )2
e 2 2 , x
2
其中 , ( >0) 为常数, 则称X服从参数为 , 的正
态分布，记为 X ~ N ( , 2 ).
显然，f(x)≥0, 且

f ( x)dx 1

正显态然分，布f(x的)≥分0，布函数为:
x
(2)
P{2

X

3}

P{
X

2}

P{ X

3}

4 6
.
二、离散型随机变量X的分布函数
设离散型随机变量X的分布律为
P{X xk } pk , k 1,2,
X的分布函数为:
F ( x) P{ X x} P{ X xk } pk
xk x
xk x
解
f(x)=
F
(x)
=
cos 0,
x,
0 x 2
其它
P{/4 X 2}=F(2)F(/4)=1sin /4 1 2 2
2
/2
或 f ( x)dx cos xdx 1 2 2
/4
/4
例1.已知随机变量X的概率密度为
x 0 x1 f (x) 2 x 1 x 2
2
P{ h X } P{ X h}
(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿x轴平移; (5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖,X落在附
近的概率越大.
§2.4 连续型随机变量的概率密度
2. 概率密度f(x)的性质：
(1) f (x) 0; (非负性)
(2)

f ( x)dx 1;
(归一性)

性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
设随机变量X的概率密度为
f (x) ae x
求常数a.
(3) 若x是f(x)的连续点，则
dF(x) f (x) dx
ox x
P{ x1<Xx2}=P{X x2}- P{X x1}=F(x2)- F(x1)
P{X>x2}=1- P{X x2} =1-F(x2)
性质 1.F(x) 是非减函数.即若x1< x2,则F(x1)F(x2).