一轮复习因式分解方法拓展(培优训练)
因式分解培优练习题及答案
因式分解专题过关1．将以下各式分解因式〔1〕3p2﹣6pq〔2〕2x2+8x+82．将以下各式分解因式〔1〕x3y﹣xy 〔2〕3a3﹣6a2b+3ab2．3．分解因式〔1〕a2〔x﹣y〕+16〔y﹣x〕〔2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y24．分解因式：〔1〕2x2﹣x〔2〕16x2﹣1〔3〕6xy2﹣9x2y﹣y3〔4〕4+12〔x﹣y〕+9〔x﹣y〕25．因式分解：〔1〕2am2﹣8a〔2〕4x3+4x2y+xy26．将以下各式分解因式：〔1〕3x﹣12x3〔2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y27．因式分解：〔1〕x2y﹣2xy2+y3〔2〕〔x+2y〕2﹣y28．对以下代数式分解因式：〔1〕n2〔m﹣2〕﹣n〔2﹣m〕〔2〕〔x﹣1〕〔x﹣3〕+19．分解因式：a2﹣4a+4﹣b210．分解因式：a2﹣b2﹣2a+111．把以下各式分解因式：〔1〕x4﹣7x2+1〔2〕x4+x2+2ax+1﹣a2〔3〕〔1+y〕2﹣2x2〔1﹣y2〕+x4〔1﹣y〕2〔4〕x4+2x3+3x2+2x+112．把以下各式分解因式：〔1〕4x3﹣31x+15；〔2〕2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；〔3〕x5+x+1；〔4〕x3+5x2+3x﹣9；〔5〕2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．解答：解：〔1〕3p2﹣6pq=3p〔p﹣2q〕，〔2〕2x2+8x+8，=2〔x2+4x+4〕，=2〔x+2〕2．2．将以下各式分解因式〔1〕x3y﹣xy 〔2〕3a3﹣6a2b+3ab2．分析：〔1〕首先提取公因式xy，再利用平方差公式进展二次分解即可；〔2〕首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进展二次分解即可．解答：解：〔1〕原式=xy〔x2﹣1〕=xy〔x+1〕〔x﹣1〕；〔2〕原式=3a〔a2﹣2ab+b2〕=3a〔a﹣b〕2．3．分解因式〔1〕a2〔x﹣y〕+16〔y﹣x〕；〔2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y2．解答：解：〔1〕a2〔x﹣y〕+16〔y﹣x〕，=〔x﹣y〕〔a2﹣16〕，=〔x﹣y〕〔a+4〕〔a﹣4〕；〔2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y2，=〔x2+2xy+y2〕〔x2﹣2xy+y2〕，=〔x+y〕2〔x﹣y〕2．4．分解因式：〔1〕2x2﹣x；〔2〕16x2﹣1；〔3〕6xy2﹣9x2y﹣y3；〔4〕4+12〔x﹣y〕+9〔x﹣y〕2．解答：解：〔1〕2x2﹣x=x〔2x﹣1〕；〔2〕16x2﹣1=〔4x+1〕〔4x﹣1〕；〔3〕6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y〔9x2﹣6xy+y2〕，=﹣y〔3x﹣y〕2；〔4〕4+12〔x﹣y〕+9〔x﹣y〕2，=[2+3〔x﹣y〕]2，=〔3x﹣3y+2〕2．5．因式分解：〔1〕2am2﹣8a；〔2〕4x3+4x2y+xy2解答：解：〔1〕2am2﹣8a=2a〔m2﹣4〕=2a〔m+2〕〔m﹣2〕；〔2〕4x3+4x2y+xy2，=x〔4x2+4xy+y2〕，=x〔2x+y〕2．6．将以下各式分解因式：〔1〕3x﹣12x3〔2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y2．解答：解：〔1〕3x﹣12x3=3x〔1﹣4x2〕=3x〔1+2x〕〔1﹣2x〕；〔2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y2=〔x2+y2+2xy〕〔x2+y2﹣2xy〕=〔x+y〕2〔x﹣y〕2．7．因式分解：〔1〕x2y﹣2xy2+y3；〔2〕〔x+2y〕2﹣y2．8．对以下代数式分解因式：〔1〕n2〔m﹣2〕﹣n〔2﹣m〕；〔2〕〔x﹣1〕〔x﹣3〕+1．9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+111．把以下各式分解因式：〔1〕x4﹣7x2+1；〔2〕x4+x2+2ax+1﹣a2〔3〕〔1+y〕2﹣2x2〔1﹣y2〕+x4〔1﹣y〕2〔4〕x4+2x3+3x2+2x+1解答：解：〔1〕x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2=〔x2+1〕2﹣〔3x〕2=〔x2+3x+1〕〔x2﹣3x+1〕；〔2〕x4+x2+2ax+1﹣a=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2=〔x2+1〕﹣〔x﹣a〕2=〔x2+1+x﹣a〕〔x2+1﹣x+a〕；〔3〕〔1+y〕2﹣2x2〔1﹣y2〕+x4〔1﹣y〕2=〔1+y〕2﹣2x2〔1﹣y〕〔1+y〕+x4〔1﹣y〕2=〔1+y〕2﹣2x2〔1﹣y〕〔1+y〕+[x2〔1﹣y〕]2=[〔1+y〕﹣x2〔1﹣y〕]2=〔1+y﹣x2+x2y〕2〔4〕x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1=x2〔x2+x+1〕+x〔x2+x+1〕+x2+x+1=〔x2+x+1〕2．12．把以下各式分解因式：〔1〕4x3﹣31x+15；〔2〕2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；〔3〕x5+x+1；〔4〕x3+5x2+3x﹣9；〔5〕2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．解答：解：〔1〕4x3﹣31x+15=4x3﹣x﹣30x+15=x〔2x+1〕〔2x﹣1〕﹣15〔2x﹣1〕=〔2x﹣1〕〔2x2+1﹣15〕=〔2x﹣1〕〔2x﹣5〕〔x+3〕；〔2〕2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4=4a2b2﹣〔a4+b4+c4+2a2b2﹣2a2c2﹣2b2c2〕=〔2ab〕2﹣〔a2+b2﹣c2〕2=〔2ab+a2+b2﹣c2〕〔2ab﹣a2﹣b2+c2〕=〔a+b+c〕〔a+b﹣c〕〔c+a﹣b〕〔c﹣a+b〕；〔3〕x5+x+1=x5﹣x2+x2+x+1=x2〔x3﹣1〕+〔x2+x+1〕=x2〔x﹣1〕〔x2+x+1〕+〔x2+x+1〕=〔x2+x+1〕〔x3﹣x2+1〕；〔4〕x3+5x2+3x﹣9=〔x3﹣x2〕+〔6x2﹣6x〕+〔9x﹣9〕=x2〔x﹣1〕+6x〔x﹣1〕+9〔x﹣1〕=〔x﹣1〕〔x+3〕2；〔5〕2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2=a3〔2a﹣1〕﹣〔2a﹣1〕〔3a+2〕=〔2a﹣1〕〔a3﹣3a﹣2〕=〔2a﹣1〕〔a3+a2﹣a2﹣a﹣2a﹣2〕=〔2a﹣1〕[a2〔a+1〕﹣a〔a+1〕﹣2〔a+1〕]=〔2a﹣1〕〔a+1〕〔a2﹣a﹣2〕=〔a+1〕2〔a﹣2〕〔2a﹣1〕．。
(完整版)因式分解拓展题及解答(必考题型)
因式分解拓展题解板块一：换元法例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【解析】 将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++例2分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【解析】 方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++- 方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-.【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【解析】2(2)(6)(810)x x x x ++++【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】2(1)(2)(5)x x x x -+++例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】 设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x +(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++24652u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【解析】 原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a =+-+--=-----设2215a a x --=，原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =--=--=-+22(228)(28)a a a a =----2(4)(27)(28)a a a a =-+--【巩固】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【解析】 原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90x x x x x x x x =++++-=++++-225y x x =+原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)y y y y y y x x x x =++-=+-=+-=+++-例5分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【解析】 咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-， 故可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--22222(31)(23)(232)x x x x x x ⎡⎤=----+-=--+⎣⎦.【巩固】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+- 【解析】 由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,a b x ab y +==，【解析】 则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--例6分解因式：272)3()1(44-+++x x【解析】 设1322x x y x +++==+，则原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++- 422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+22(5)(1)(419)x x x x =+-++ 【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++-【解析】 为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+ 板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根p c q=的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式：32252x x x --- 【巩固】 02a =-的因数是1±，2±，2n a =的因数是1±，2±． 因此，原式的有理根只可能是1±，2±(分母为1)，12±． 因为(1)21526f =---=-，(1)21520f -=--+-=， 2323222232125222 35 33 22x x x x x x x x x xx xx --+---+------于是1-是()f x 的一个根，从而1x +是()f x 的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式2(232)(1)x x x =--+(2)(21)(1)x x x =-++点评：观察，如果多项式()f x 的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明(1)0f =；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明(1)0f -=.【巩固】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++解析：本题有理根只可能为1±.1+当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1-是根，所以原式有因式1x +，原式5432(1)(221)x x x x x x =++++++容易验证1-也是5432221x x x x x +++++的根，5432221x x x x x +++++42(1)(21)x x x =+++22(1)(1)x x =++，所以65432234321x x x x x x ++++++222(1)(1)x x =++【巩固】 分解因式：322392624x x y xy y -+-解析：322392624x x y xy y -+-(2)(3)(4)x y x y x y =---例8分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【解析】 常数项abc -的因数为a ±，b ±，c ±，ab ±，bc ±，ca ±，abc ±把x a =代入原式，得32()()a a b c a ab bc ca a abc -+++++-332222a a ba ca a b abc a c abc =---+++-0=所以a 是原式的根，x a -是原式的因式，并且32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-322()[()()]()x ax b c x a b c x bcx abc =--+-++-2()[()]x a x b c x bc =--++()()().x a x b x c =---【巩固】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+【解析】 如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么1-一定是它的根．现在正是这样：()(32)(23)2()0l n l m n l m n m n -+++-----+=所以1x +是原式的因式，并且32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+322[()()][(2)(2)][2()2()]l m x l m x l m n x l m n x m n x m n =+++++-++--+++2(1)[()(2)2()]x l m x l m n x m n =++++--+(1)(2)()x x lx mx m n =+++--板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++ 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.例9用待定系数法分解因式：51x x ++【解析】 原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-523254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++故010101a b c ab ac b a c +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩，解得110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以52321(1)(1)x x x x x x ++=++-+事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?解析：我们知道42221(1)(1)x x x x x x ++=++-+.421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．如果421x x -+能够分解，那么一定分解为22(1)(1)x ax x bx ++++或22(1)(1)x ax x bx +-+-比较3x 与2x 的系数可得:021a b ab += ⎧⎨±=-⎩(1)(2) 由(1)得b a =-，代入(2)得221a =±+，即23a =或21a =-，没有整数a 能满足这两个方程．所以，421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．【巩固】 631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?解析：设6332321(1)(1)x x x ax bx x cx dx +-=+++++-，比较5x ，3x 及x 的系数，得010a c ad bc b d +=⎧⎪+=+⎨⎪-=⎩由第一个方程与第三个方程可得c a =-，d b =,再把它们代入第二个方程中，得1ab ab -=矛盾!所以，631x x +-不可能分解为两个整系数的三次因式的积．例10分解因式：43223x x x x ++-+【解析】 原式的有理根只可能为1±，3±，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想43223x x x x ++-+可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．于是，设43223x x x x ++-+22()()x ax b x cx d =++++ ⑴其中整系数a b c d 、、、有待我们去确定．比较⑴式两边3x ，2x ，x 的系数及常数项，得1213a c b d ac bc ad bd += ⎧⎪++= ⎪⎨+=- ⎪⎪= ⎩ (2)(3)(4)(5)这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了b d 、是整数!根据这一点，从(5)可以得出13b d =⎧⎨=⎩或13b d =-⎧⎨=-⎩，当然也可能是31b d =⎧⎨=⎩或31b d =-⎧⎨=-⎩ 在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有13b d =⎧⎨=⎩或13b d =-⎧⎨=-⎩这两种情况．将1b =，3d =，代入(4)，得31c a +=- ⑹将⑹与⑵相减得22a =-，于是1a =-，再由⑵得2c =这一组数(1a =-，1b =，2c =，3d =)不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．因此43223x x x x ++-+22(1)(23)x x x x =-+++ ⑺将1b =-，3d =-，代人⑷，得31c a --=- ⑻将⑻与 ⑵相加得20a -=.于是0a =，再由 ⑵得1c =.这一组数(0a =，1b =-，1c =，3d =-)，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，因而4322223(1)(3)x x x x x x x ++-+=-+-/.事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式⑺，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要．板块四：轮换式与对称式对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、的对称式．轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式． 但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式．例如，222x y y z z x ++就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)． 例11：分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+-解析：222()()()x y z y z x z x y -+-+-是关于x y z 、、的轮换式．如果把222()()()x y z y z x z x y -+-+-看作关于x 的多项式，那么在x y =时，它的值为222()()()0y y z y z y z y y -+-+-=.因此，x y -是222()()()x y z y z x z x y -+-+-的因式．由于222()()()x y z y z x z x y -+-+-是x y z 、、的轮换式，可知y z -与z x -也是它的因式．从而它们的积()()()x y y z z x --- ⑴是222()()()x y z y z x z x y -+-+- ⑵的因式．由于⑴ 、⑵都是x y z 、、的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有222()(.)()()()()x y z y z x z x y k x y y z z x -+-+-=--- ⑶现在我们来确定常数k 的值．为此，比较⑶的两边2x y 的系数：左边系数为1，右边系数为k -．因此，1k =-．于是222()()()x y z y z x z x y -+-+-()()()x y y z z x =----思路2：利用y －z ＝(y －x)－(z －x).例12分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-【解析】 此式是关于x ，y ，z 的四次齐次轮换式，注意到x y =时，原式0=，故x y -是原式的一个因式.同理，y z -，z x -均是原式的因式，而()()()x y y z z x ---是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为()k x y z ++，故原式()()()()k x y z x y y z z x =++---，展开并比较系数可知，1k =-，故原式()()()()x y z x y y z z x =-++---.思路2：利用x 2－y 2＝(x 2－z 2)+(z 2－y 2).家庭作业练习 1． 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-原式2224(1760)(1660)3x x x x x =++++-2224(1660)(1660)3x x x x x x ⎡⎤=+++++-⎣⎦22224(1660)4(1660)3x x x x x x =+++++-22[2(1660)][2(1660)3]x x x x x x =++-+++22(231120)(235120)x x x x =++++2(215)(8)(235120)x x x x =++++练习 2． 要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________【解析】 ()()()()1348x x x x m-+--+22222(54)(524)(5)20(5)96x x x x m x x x x m =-+--+=----+，则196m =练习 3． 分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++【解析】 原式22(2)(4)(6)(8)12(1016)(1024)12x x x x x x x x =+++++=+++++设21016t x x =++，则原式(8)12(2)(6)t t t t =++=++22(1018)(1022)x x x x =++++练习 4． 分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+【解析】 设22x y a +=，xy b =，则原式22222()4()()a b ab a b x y xy =+-=-=+-.练习 5． 分解因式：32252x x x ---【解析】32252(2)(21)(1)x x x x x x ---=-++ 练习 6． 分解因式：326116x x x +++【解析】3226116(1)(56)(1)(2)(3)x x x x x x x x x +++=+++=+++ 练习 7． 用待定系数法分解：541x x ++【解析】 原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-5423254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++故110100a b c ab ac b a c +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩，解得101a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以54231(1)(1)x x x x x x ++=++-+事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.练习 8． 分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-【巩固】 333()()()a b c b c a c a b -+-+-是关于a b c 、、的轮换式．它有三次因式()()()a b b c c a ---．由于原式是a b c 、、的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a b c 、、的四次齐次式，所以这个一次因式也是a b c 、、的一次齐次式，即它的常数项是0(否则，它的常数项与三次式()()()a b b c c a ---相乘得到一个三次式)．这个一次齐次式是a b c 、、的轮换式，形状应当是()k a b c ++k 是常数． 即有333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()k a b c a b b c c a =++--- ⑴ 比较两边3a b 的系数，得1k =-于是333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()a b c a b b c c a =-++--- 上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使()()()()0a b c a b b c c a ++---=/的数代替a b c 、、从而定出k ， 例如，令2a =,1b =,0c =,把它代入⑴，得8203(2)k -+=⋅⋅-,即1k =-, 以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．补充题【备选1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【解析】2(5)(510)a a a a --+ 【备选2】分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 【解析】 设xy u =，x y v +=,原式＝(u+v+1)(u －v+1)＝(x+1)(y+1)(x －1)(y －1).【备选3】分解因式：43265332x x x x ++--【解析】 原式的有理数根只可能为：1±，2±，12±，13±，23±，16± 经检验12-是一个根，所以21x +是原式的因式，进而可得： 43232265332(21)(32)(21)(32)(1)x x x x x x x x x x x x ++--=+++-=+-++。
2024年中考数学复习-因式分解的多种方法考点培优练习
因式分解的多种方法考点培优练习 考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三 角形或直角三 角形 解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。
人教版八年级数学上册14.3因式分解 (培优) 专练(含答案解析)
人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 75 ．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ 2020 ．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。
2021中考数学一轮复习整式及因式分解培优训练题2(附答案详解)
∵（a-1）2=a2-2a+1，故选项C错误，
∵x2+x2=2x2，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查合并同类项、单项式乘以单项式、完全平方公式．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法的性质对各项进行判断即可．
解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a2•a3=a5，正确；
C．（a2）3=a6，故本选项不合题意；
D．（ab）2=a2b2，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键．
2．C
【解析】因为(x＋m)(x－n)=x2+(m-n)x-mn，所以m-n=0，则m=n.
A． B．
C． D．
8．下列哪项计算的依据是同底数幂乘法的性质（）
A．（ab）2B．a2a3C．a32D．2a2a2
9．下列计算结果是x5的为
A．x2•x3B．x6－xC．x10÷x2D．(x3)2
10．下列运算正确的是（ ）
A．﹣3a2•2a3＝﹣6a6B．6a6÷（﹣2a3）＝﹣3a2
C．（﹣a3）2＝a6D．（ab3）2＝ab6
21．如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上（包括两个顶点）都摆有 盆花，每个图案中花盆总数为 ，按照图中的规律可以推断 与 的关系是_____．
22．现有纸片：4张边长为a的止方形，3张边长为b的正方形(a<b)，8张宽为a、长为b的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为___________．
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+⋯+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2例题3分解因式：a3+b3+c3－3abc．分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．对应练习题分解因式：(1)x2n x n1y21；94 (2)x10+x5－2422332232(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x52222(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2c2对应练习题分解因式：3、x2x 9y23y4、x2y2z22yz综合练习题 分解因式：（1）x 3x 2y xy 2 y 3 （2）ax 2 bx 2 bx ax a b（3）x 26xy 9y 2 16a 2 8a 1（4）a 26ab 12b9b 24a（5）a 42a 3 a 2 9 （6）4a 2x 4a 2y b 2x b 2y（7）x 22xy xz yz y 2（8）a 22a b 22b2ab1（9）y(y2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)（11）a 2(bc) b 2(a c) c 2(ab) 2abc（12）a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.（13）(axby)2 (ay bx)2 （14）xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3（15）x 4ax 2xa2a3 22（）x3x(a2)x2a16（17）(x1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式——x 2 (pq)xpq (x p)(x q)进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式： x 25x 6例题2分解因式： x 27x 6对应练习题 分解因式：(1)x 214x 24(2)a 215a 36(3)x 24x 5(4)x 2x 2(5)y 22y 15(6)x 210x 24（二）二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c条件：（1）aa 1a 2a 1 c 1 （2）cc 1c 2a 2 c 2 （3）ba 1c 2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc=(a 1xc 1)(a 2xc 2)例题3分解因式：3x 211x10对应练习题 分解因式：（1）5x 27x 6（2）3x27x2（3）10 x217 x32（）6y11y104（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2例题6分解因式：x2y23xy2对应练习题分解因式：（1）27xy4y2（）22ax6ax82综合练习题分解因式：（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y) 10（4）(a b)24a 4b3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n2（7）x24xy 4y22x 4y 3（8）5(a b)223(a2b2) 10(a b)2（9）4x24xy 6x 3y y210（10）12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：（1）A a1a2，C c1c2，F f1f2（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D即：a1c1f1a2c2f2a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)例题7分解因式：（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2x x∴原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xy xy，4y9y13y，2x3x x∴原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式：（1）x2xy 2y2x 7y 6（2）6x27xy 3y2xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y 1)(x21) x(2y22y1)例题9分解因式：ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x23xy 10y2x 9y2对应练习题分解因式：(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(x27x 6)(x2x 6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题62222分解因式：4(3x x1)(x2x3)(4xx4)提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(a b)4(a b)4(a2b2)2例题9分解因式：(y 1)4(y 3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习43－36x2－7x+6．分解因式：6x+7x例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）x42x3x2 1 2(x x2)（3）2005x2(200521)x2005（4）(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2（5）(x1)(x3)(x5)(x7)15（6）(a1)(a2)(a3)(a4)24（7）(2a 5)(a29)(2a 7) 91（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）(a21)2(a25)24(a23)2（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）(a 2b c)3(a b)3(b c)3（12）xy(xy1)(xy3)2(xy12)(x y1)2（13）(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时， 整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x 3－9x+8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x+1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）x 3 3x 2 4（2）x 22(a b)x 3a 2 10ab 3b 2（3）x 4 7x 2 1（4）x 4x 22ax1a 2（5）4442 22 2 2 2 444xy(xy)（）2ab2ac2bcab c6（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2（9）x 3+9x 2+26x+24 （10）x 4－12x+323（11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)x 2y 24x6y5(15)(1a 2)(1b 2)4ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy 6y2x 13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)对应练习题分解因式：（1）6x27xy 3y2x 7y 2（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20（3）x23xy 10y2x 9y 2（4）x23xy 2y25x 7y6例题2（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求a b的值.（3）已知：x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、f x 的意义：已知多项式fx ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为 fx 在x =c 的多项式值，用 fc 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx 除以gx 所得的商式为 qx ，余式为rx ，则：fx =gx ×qx +rxb3、余式定理：多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b)；多项式f(x)除以axb 之余式f( ).a例如：当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当f(x)9x26x 7除以 (3x1)时，则余数=f(1)9( 1)2 6(1)78.3334 a,bR ， a0， f(x) 为关于x 的多项式，则 xb为f(x)的因式、因式定理：设f(b)0；axb 为f(x)的因式f(b 0.)a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n 1x n1c 1xc 0 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b为整数,a 0,且a,b 互质)，则（1）ac n ,bc 0（2）(a –b)f(1), (a b)f( 1)例题1设f(x)3x 32x 2 19x 6，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x –1，(2)x –2，(3)3x –1，(4)4x ＋1，(5)x –1，(6)3x –4例题2把下列多项式分解因式：(1) x 35x4(2) x 34x 2x 6(3) 3x 35x 2 4x 2（4）x 4 9x 3 25x 227x10（5）x 45x 3 1x 2 1x 16223课后作业分解因式：（1）x4＋4（2）4x3－31x＋15（3）3x3－7x＋10（4）x3－41x＋30（5）x3＋4x2－9（6）x3＋5x2－18（7）x3＋6x2＋11x＋6（8）x3－3x2＋3x＋7（9）x3－11x2＋31x－21（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y33223（1412）x－9ax＋27ax－26a（15）4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2（16）(x26x8)(x214x48)12（17）(x2x4)28x(x2x4)15x2（18）2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2（19）x4＋x2y2＋y44224（20）x－23xy＋y（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2（22）a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24）（ab)2(ab1)1（25）x42(a2b2)x2(a2b2)2（26）(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)（27）x619x3y3216y6（28）x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz（29）3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.2、2n －1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8整除．3、已知2 481可以被 60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.24可被40 至50之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知7－15、求证： 817279 913能被45整除.66、求证：14+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证： 4x 2+7xy －2y 2能被9整除．8、已知x 2 xy 2y 2=7，求整数x 、y 的值．9、求方程6xy4x9y 7 0的整数解.10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解．11、求方程 4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为 a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a=______，b=_______.13、计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9 ×31.4＋180×0.314； 19953－219952－1993(2)．19953＋19952－1996＋ 1＋1＋ 1＋1 ＋1＋1的14、求积(11 )(14)(1)(14 )(1)(1)32 35 698 10099 101整数部分？15、解方程：（x 2＋4x)2－2(x 2＋4x)－15=02 2 2 216、已知ac ＋bd=0，则ab(c ＋d)＋cd(a ＋b)的值等于___________．17、已知a －b=3,a －c=3 26,求(c —b)[(a －b)2+(a －c)(a －b)+(a －c)2]的值．18、已知x 2x 1 0，求x 8x 41的值．19、若x 满足x 5 x 4 x1 ，计算x 1998x 1999x 2004.20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式a 3b 3c 33abc ，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题 分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题 分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题 分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题 分解因式：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题 分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题 分解因式：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +- 例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题 分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习题 分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式： （1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题 分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题 分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题 分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习 分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习 分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习 分解因式：144234+++-x x x x对应练习题 分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1 （2）)(2122234x x x x x +++++（3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++（5） (1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3； (2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题 分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4 （8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24 （10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1； （12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1 (14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1 分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题 分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a , b为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则 （1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x （4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x课后作业分解因式： （1）x 4＋4（2）4x 3－31x ＋15 （3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （ （25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、 计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯．14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解培优题(超全面,详细分类)
因式分解培优题(超全面,详细分类)因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，具有多种方法。
以下是初中阶段常用的因式分解方法：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。
2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。
3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法。
一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$．还有以下常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+。
+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-。
+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-。
-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，正确选择公式。
例如：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$可以使用十字相乘法，得到$(2-x^{n-1}y^n)(x^{3n-1}y^n-1)$。
2) $a^3+b^3+c^3-3abc$可以使用公式$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$得到$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$。
初中数学因式分解培优训练
初中数学因式分解培优训练实⽤标准⽂档第⼀讲：因式分解(⼀)n-1n222 )2xny-(x 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之y =-(x(x -y) ⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，是我们解决许n-1nn2n2．=-2x+y)y333-3x(-2y)(2y)-+(-多数学问题的有⼒⼯具．因式分解⽅法灵活，技巧性z) (2)原式=xZ)+(-222+2xy+xz-2yz)z)(x．+4y +z 强，学习这些⽅法与技巧，不仅是掌握因式分解内容=(x-2y-222 2bc+2ca)+c)+(所必需的，⽽且对于培养学⽣的解题技能，发展学⽣原式=(a-2ab+b-(3)22 b)+c+2c(a＝(a-b)-的思维能⼒，都有着⼗分独特的作⽤．初中数学教材2．-b+c)=(a中主要介绍了提取公因式法、运⽤公式法、分组分解本⼩题可以稍加变形，直接使⽤公式(5)法和⼗字相乘法．本讲及下⼀讲在中学数学教材基础，解法如下：b)c+2ca+2a(+c-原式=a+2(技巧和应⽤作进⼀步的介绍．上，对因式分解的⽅法、+(-b)-2222b)b+c) =(a-．运⽤公式法 1-在整式的乘、除中，我们学过若⼲个乘法公式，现 a-bb)+(ab (4)原式=(a757522)--)+b将其反向使⽤，即为因式分解中常⽤的公式，例如： b =a(a522522)225225) (ab=(a)(a-bb-b)=(a+b)(a-； +b (1)a422222343) b+-b)(a+b)(a =(a+b)(a-ab-abb+a2ab+b (2)a±b)=(a±；42223323243) - =(a+b)b(a-b)(aab-a (3)a+b=(a+b)(a-ab+b；) +bb+a．-．(4)a --b=(ab)(a+ab+b) 例2 分解因式：ab+本题实际上就是⽤因式分解的3332332 3abc+c⽅法证明前⾯给出的下⾯再补充⼏个常⽤的公式：．(5)a +b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；公式233322我们已经知道公式 ca)-；分析 bc(6)a 2222(6)ab+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c--3n-1n-222n-3n-2n-13nn32 (a+b)+b=an+abb)(ab (7)a-=(a-+ab+ab+…+b)其中b+3ab+3a 为正整数；的正确性，现将此公式变形为a其中b-…-+ab)，n-+b3ab(a+b)=(a+b)b- (8)a=(a+b)(a-ab+ab式也是⼀个常3n-232n-3n-23n-1nnn-1．⽤的公式，本题就借助于它来为偶数；这个n-1n-2n-12nnn-3n-2其中，ab…-(9)a+b=(a+b)(aab+ab--+b)n推导．333abc 3ab(a+b)+c解为奇数．原式=(a+b)--33ab(a+b+c)］ =［(a+b)3+c-运⽤公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．-c(a+b)+c- =(a+b+c)223ab(a+b+c)［(a+b)]222例ca)．ab--bc =(a+b+c)(a-+b 1 分解因式：+c n+4n5n-1n-1n+23n-1是⼀个应⽤极⼴的公式，⽤它可以推(6)；2x-+4x2x- (1)yyy 说明公式333-z8y(2)x --6xyz结论，例如：我们将公式有⽤的；(6)变形为出很多3323223abc +c；2ab--+c2bc+2ca +b-a +b(3)a757252b+abb-．a-(4)a原式 (1)解 =ny2x-(xy2x-n+y42n2n-14)2n-122222n]2x-= +(yny2x-n)[(xy)⽂案⼤全．实⽤标准⽂档；当a+b+c 解法2 将⼀次项-+b9x+c拆成-x-8x．显然，当a+b+c=0时，则333=3abca3333333-+bx+c--3abc≥0，即a原式+b=x+c8x+8 ≥3abc，⽽ a＞0时，则x)+(- =(x8x+8) 且，当且仅当a=b=c时，等号成⽴．3-如果令x=a，≥0y=b-≥0，z=c1)≥0，则有-8(x-1)333 =x(x+1)(x-8)． 1)(x =(x-333．-3 将三次项x8x拆成9x 解法．这也是⼀个2+x常⽤的等号成⽴的充要条件是 x=y=z33-9x+8 -8x 原式=9x 结论．33+8)8x-9x)+( =(9x-2131514．+xx+x+1+x+3 例分解因式：x…+2+x+1) 1)(x-8(x- =9x(x+1)(x-1)项，从最⾼次项16分析这个多项式的特点是：有2+x-8)． =(x-1)(x 15，由此想到应⽤公式0x的次数顺次递减⾄x开始，22． +x解法4 添加两项-x nn b来分解．a-3-9x+8 原式=x解因为322-9x+8 =x+x-x 214151613 x+x+1) x1=(x--1)(x+x，+x+…2(x-1)+(x-=x8)(x-1)所以2+x-8)．=(x-1)(x说明由此题可以看出，⽤拆项、添项的⽅法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并⽆⼀定之规，主要的是要依靠对题⽬特点的观察，灵活变换，因此拆项、，再1)在本题的分解过程中，⽤到先乘以说明 (x-添项法是因式分解诸⽅法中技巧性最强的⼀种．1)(x除以-的技巧，这⼀技巧在等式变形中很常⽤．例5 分解因式：2．拆项、添项法963-3+x；+x (1)x因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运22-1)+4mn；-1)(n (2)(m算时，整理、化简常将⼏个同类项合并为⼀项，或将4224；1) (3)(x+1)+(x+(x--1)两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多3322+1．+b b-aba+ (4)a项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的解 (1)将-3拆成-1-1-1．项，即把多项式中的某⼀项拆成两项或多项，或者在963-1-1+x-+x1 原式=x多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，963-1)=(x--1)+(x1)+(x后者称为添项．拆项、添项的⽬的是使多项式能⽤分363333-+1)+(x+1)+(x =(x--1)(x1)(x+x1)组分解法进⾏因式分解．3-=(x1)(x6+2x3+3)x4 例分解因式：9x+8．263+3)．+ =(x-1)(x2x+x+1)(x3-添项法分析这⾥只介绍运⽤拆项、本题解法很多， (2)将4mn拆成2mn+2mn．注意⼀下拆项、分解的⼏种解法，添项的⽬的与技巧．221)+2mn+2mn -1)(n 原式=(m-解法 11+9拆成8将常数项-．2222+1+2mn+2mn --mn =mn31+9 -=x原式-9x2222) (m2mn+n =(mn-+2mn+1)-39x+91)--=(x 22-n) =(mn+1)-(m-+x+1)1)(x=(x -- m+n+1)．=(mn+m-n+1)(mn-21) 9(x-=(x ．8)-222222．1)-(x-1)-2(x拆成1)-(x将(3)2 +x1)(x⽂案⼤全．实⽤标准⽂档原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)1)--(x-1)90 +(x 原式=(x+1)-+2(x1)-224224-1) = 422224解［(x+1) +2(x+1) (x-1) =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]+(x-1)-]-(x90-90 =(2x．+5x+3)(2x-(x -1) =［(x+1) +(x-1) ]2222222+5x+2+2)-(x，则-1)y=2x=(3x 2222222+5x+2)+1)(x +3)．令 =(2x2+y-90=y90 -ab．原式=y(y+1)-(4) 添加两项+ab2332 b-ab+a +b 原式=a+1+ab-ab =(y+10)(y-9)-+5x+12)(2x =(2x =(a7) b-ab)+(a -ab)+(ab+b +1)223322+5x-1)．-b)+(ab+b+1) =(2x =ab(a+b)(a-b)+a(a2 =a(a-+1) 说明22+5x+12)(2x+7)(xb(a+b)+1]+(ab+b 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)b)［2的基础． =[a(a-b)+1](ab+b+1)8 =(a分解因式：-ab+1)(b．+ab+1)22例(x说明 (4)是⼀道较难的题⽬，由于分解后的因式结+4x+8)+2x+4x+8)2+3x(x222．，则 +ab构较复杂，所以不易想到添加-ab，⽽且添加项后解设x2+4x+8=y+3xy+2x 原式=y分成的三项组⼜⽆公因式，⽽是先将前两组分解，再22+5x+8) + 22=(y+2x)(y+x)=(x6x+8)(x与第三组结合，找到公因式．这道题⽬使我们体会到．拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习， =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)积累经验．说明由本题可知，⽤换元法分解因式时，不必将原式中的元都⽤新元代换，根据题⽬需要，引⼊必要的 3．换元法新元，原式中的变元和新变元可以⼀起变形，换元法换元法指的是将⼀个较复杂的代数式中的某⼀部分的本质是简化多项式．看作⼀个整体，并⽤⼀个新的字母替代这个整体来运432-7x+636x分解因式：6x．算，从⽽使运算过程简明清晰． +7x -例9-+1)＋7x(x-解法．-分解因式：例6 (x+x+1)(x+x+2)12 1 原式=6(x42222 36x分解因42222 36x1)x分析将原式展开，是关于的四次多项式，1)］(x =6［+7x(x-2x-+1)+2x-]+7x(xx式较困难．我们不妨将+x看作⼀个整体，并⽤字母36x =6[(x--1)2+2x1) 22222--=6(x1)-1)yy来替代，于是原题转化为关于的⼆次三项式的因+7x(x-2222 24x1)+8x] ］［3(x=[2(x-1)-3x 式分解问题了．22--3) -3x- =(2x2)(3x，则+x=y设解 x222+8x-12=y-原式 =(y+1)(y+2)+3y =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．2 101x看作⼀个整体，但并 +x+5) 2)(x+x2)(y+5)=(x=(y --说明本解法实际上是将2没有设222-⽴新元来代替它，即熟练使⽤换元法后，并⾮1)(x+2)(x-=(x +x+5)．看作⼀个整体，⽐如今+x+1本题也可将说明 x2，⼀样可2每题都要设置新元来代替整体．以得到同样的结果，有兴趣的同学+x+1=ux解法2不妨试⼀试．分解因式：7 例-+8x+3)．然后再重分析先将两个括号内的多项式分解因式，22 +3x+2)(4x(x902236]-+2)+7t[6(t=x原式新组合．⽂案⼤全．实⽤标准⽂档x+y=u-4xy[(x+y)-2xy](2t-3)(3t+8) ．令解原式=[(x+y)-xy](6t =x+7t-24)=x23][3(x 222222，=x[2(x-1/x)--1/x)+8] ，则xy=v222222v) 4v(u-v)-2)(3x+8x-3) 原式=(u--- =(2x3x224=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)v+9v-6u =u．222222 3v) +y+xy+y 例10 分解因式：(x)-4xy(x)． =(u-分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位3xy) =(x+2xy+y222-． =(x-xy+y 置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作⼆元对称式．对于较难分解的⼆222 )元对称式，经常令u=x+y，v=xy，⽤换元法分解因式．第⼆讲：因式分解(⼆) 1．双⼗字相乘法分解⼆次三项式时，我们常⽤⼗字相乘法．对于某+bxy+cy些⼆元⼆次六项式(ax+dx+ey+f) 可以⽤⼗字相乘法分解因式．它表⽰的是下⾯三个关系式：例如，分解因式2x-5x+35y-3-7xy-22y22；-7xy-22y (x+2y)(2x-11y)=2x当作常22．我们将上数，于是上式可变x式按降幂排列，并把y2 -5x-3； (x-3)(2x+1)=2x形为2．(2y-3)(-11y+1)=-22y +35y-3，2x-35y+3) 这就是所谓的双⼗字相乘法．可以看作是关于x的⼆次三项22-(5+7y)x-(22y式．22进+bxy+cy +dx+ey+f⽤双⼗字相乘法对多项式ax的⼆次三项式，也可y 对于常数项⽽⾔，它是关于⾏因式分解的步骤是：以⽤⼗字相乘法，分解为22，得到⼀个⼗字 (1)⽤⼗字相乘法分解ax+bxy+cy；相乘图(有两列) (2)把常数项f 分解成两个因式填在第三列上，要求第⼆、第三列构成的⼗字交叉之积的和等于原式中，第⼀、第三列构成的⼗字交叉之积的和等于ey的2即： -22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．．原式中的dx 再利⽤⼗字相乘法对关于 x的⼆次三项式分解1 例分解因式：；+x+9y-222 (1)x -3xy-10y(2)x -y +5x+3y+4 2；+x-y-2 (3)xy+y 2x+(-11y+1)］［［=所以，原式 x+(2y-3)］222．7xy-3y 22；(4)6x--xz+7yz-2z ． =(x+2y-3)(2x-11y+1) (1)解上述因式分解的过程，实施了两次⼗字相乘法．如果把这两个步骤中的⼗字相乘图合并在⼀起，可得到下图：⽂案⼤全．实⽤标准⽂档．原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)=(y+1)(x+y-2)．原式(4)=(x+y+1)(x-y+4) 原式．2来分项，可把这⼀项的系数看成原式中缺 (3)x0解．⽂案⼤全．实⽤标准⽂档原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前⾯的类似．2．求根法x(n为⾮负整数)的代数式称为关于ax+ax+…+ax+a 我们把形如0nn-11，…等记nn-1的⼀元多项式，号表⽰，如并⽤f(x)，g(x)225，…， f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6f(x) 表⽰．如对上⾯的多项式当x=a时，多项式f(x)的值⽤f(a)2 f(1)=1-3-3×(-2)+2=12f(-2)=(-2)2．的⼀个根．a为多项式f(x) 若f(a)=0，则称有⼀f(a)=0成⽴，则多项式f(x) 定理1(因式定理) 若a是⼀元多项式f(x)的根，即个因式x-a．的根．对于任的⼀次因式的关键是求多项式f(x) 根据因式定理，找出⼀元多项式f(x)的系数都是整数，要求出它的根是没有⼀般⽅法的，然⽽当多项式f(x)意多项式f(x) 时，即整系数多项式时，经常⽤下⾯的定理来判定它是否有有理根．2定理的根，则必有p是a的约数，q是a的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)00n的整数根均为a的约数．n 我们根据上述定理，⽤求多项式的根来确定多项式的⼀次因式，从⽽对多项式进⾏因式分解．．例 2 分解因式：x的约逐个检验-4的约数，这是⼀个整系数⼀元多项式，原式32 -4x+6x-4若有整数根，必是-4 分析 4，只有数：±1，±2，±23，×2-4=0× f(2)=2-42+6 x-2．即x=2是原式的⼀个根，所以根据定理1，原式必有因式．解法1 ⽤分组分解法，使每组都有因式(x-2)223-4x)+(2x-4) )-(2x=(x 原式-2x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =x=(x-2)(x -2x+2) ⽤多项式除法，将原式除以2 解法 (x-2)，⽂案⼤全．2．实⽤标准⽂档所以．原式的约数，反之不成⽴，在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根2=(x-2)(x-2x+2)⼀定是-4 说明-4的约数逐个代⼊多项式进⾏验证．即-4的约数不⼀定是多项式的根．因此，必须对+7x-3x-2例 3 分解因式：9x-3x，±的约数有±119的约数有±，±3，±9；-2 分析因234．为为：9x-3x-22．所以，原式有因式解 9x-3x2243-3x-2 9x+ =9x-3x-2x223-3x-2 =x(9x-3x-2)+9x234-3x-2 +7x+1)22+1) -3x-2)(x =(9x2=(3x+1)(3x-2)(x若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上说明题中的因式，这样可以简化分解过程．可以化为就可以分解f(x)如果能找到⼀个⼀次因式(x-a)，29x-3x-2那么，总之，对⼀元⾼次多项式f(x)g(x)是⽐f(x)低⼀次的⼀元多项式，这样，我们就可以继续对(x-a)g(x)为，⽽g(x) 进⾏分解了．．待定系数法 3这⾥介绍它在因式分解中的应⽤很⼴泛，待定系数法是数学中的⼀种重要的解题⽅法，应⽤．⽂案⼤全．实⽤标准⽂档在因式分解时，⼀些多项式经过分析，可以断定它能分解成某⼏个因式，但这⼏个因式中的某些系数尚未确定，这时可以⽤⼀些字母来表⽰待定的系数．由于该多项式等于这⼏个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的⼏个特殊值，列出关于待定系数的⽅程(或⽅程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的⽅法叫作待定系数法．．例4 分解因式：x22 +3xy+2y+4x+5y+3由于分析，22 (x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)的形式，应⽤待＋y＋nx 若原式可以分解因式，那么它的两个⼀次项⼀定是x+2y+m和 m和n，使问题得到解决．定系数法即可求出解设22+4x+5y+3 +3xy+2y x=(x+2y+m)(x+y+n)， =x+3xy+2y ⽐较两边对应项的系数，则有22 +(m+n)x+(m+2n)y+mn解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可⽤双⼗字相乘法，请同学们⾃⼰解⼀下．x-2x-27x-44x+7 例5432．分解因式：本题所给的是⼀元整系数多项式，根据前⾯讲过的求根法，若原式有有理根，则分析，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，，±7(7的约数)只可能是±122的形式．原式没有⼀次因式．如果原式能分解，只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d) 解设22+cx+d)原式=(x+ax+b)(x，243 +(ad+bc)x+bd+(a+c)x =x+(b+d+ac)x所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有⽂案⼤全．实⽤标准⽂档所以22原式=(x-7x+1)(x．+5x+7)，等可以不加以考虑．本题如果b=1b=-1 说明由于因式分解的唯⼀性，所以对，d=-7的其他解代⼊⽅程组，直到求ad=7代⼊⽅程组后，⽆法确定，c的值，就必须将bd=7 出待定系数为⽌．使我们找到了但利⽤待定系数法，本题没有⼀次因式，因⽽⽆法运⽤求根法分解因式．⼆次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有⽤武之地．⽂案⼤全．。
第4章 因式分解(培优篇)含答案
第4章因式分解（培优篇）含答案一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.下列各式因式分解正确的是（）A∙ X2 - a2=(χ-a)2 B. 4a2 +41+1 = 42Q + l)+1C. -x1 +4x= -τ(τ + 4) D∙/-4炉=2.如图，边长为a, b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为（aA. 15B. 30 C∙ 60 D∙ 783.计算(-2严9+(-2严刈等于( )A. -23999B. -2C. -21999D. 2,"94.把多项式(3a-4b) (7a-8b) + (lla-12b) (8b-7a)分解因式的结果(A. 8 (7a-8b) (a-b)B. 2 (7a-8b) 2C∙ 8 (7a-8b) (b-a) D. -2 (7a-8b)5.已知口也c 满足〃+4h= -7,h2-2c= 3,c2+ 2a= -2 ，^f∖a + b-c的值为(A. —4B. —5C. —6D. -76.已知a - b=b - C=29 a2+b2+c2= 11,则ab-^-bc+ac=()A. -22B. - 1C. 7D. 117.若"- c)(1 - b) (c- 1),则b+c∙的值是()A. - 1B. 0C. 1D. 28.下列四个多项式，可能是2χ2+mχ-3(m是整数)的因式的是A. x — 2B. 2x+3C. x+4D. 2x2—19.已知m'-m∙l = 0,,贝∣J计算：m'-rRm+N的结果为( ).A. 3B. -3C. 5D. -510.如果多项式/-七+ 9能用公式法分解因式，那么k的值是(A. 3B. 6 C∙ ±3 D∙ ±611 .已矢口 (2x - 3) 7=aox 7+aix 6Λ-a2X 5j f .... +〃父+〃7,则"什〃/+。
2+ ...... +。
因式分解培优训练题(培优篇)+答案
章节复习之因式分解（培优篇） 因式分解的方法一——基本方法知识要点：因式分解的基本方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。
在对一个多项式进行因式分解时，应根据多项式的特点选择合理的分解方法。
A 卷一、填空题1、分解因式：_______________419122=+-+y x x n n . 2、（河南省竞赛题）分解因式：_______________63522=++++y y x xy x . 3、已知242--ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的可能取值为 .4、（2000年第16届“希望杯”竞赛题）分解因式：()()__________122=++-+b a b a ab . 5、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）如果x 、y 是整数，且12005200422=-+y xy x ，那么_________=x ，_________=y .二、选择题6、如果多项式9142++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 、6- B 、6 C 、32或32- D 、34或34- 7、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）已知二次三项式c bx x ++22分解因式后为()()132+-x x ，则（ ）A 、3=b ，1-=cB 、6-=b ，2=cC 、6-=b ，4=cD 、4-=b ，6-=c8、（江苏省南通市2005年中等学校招生考试题）把多项式1222-+-b ab a 分解因式，结果为（ ）A 、()()11--+-b a b aB 、()()11-++-b a b aC 、()()11-+++b a b aD 、()()11--++b a b aB 卷一、填空题9、研究下列算式：252514321==+⨯⨯⨯；21112115432==+⨯⨯⨯；==+⨯⨯⨯36116543219；22984117654==+⨯⨯⨯，……用含n 的代数式表示此规律（n 为正整数）是 .二、选择题10、对于这5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③()x x 422+-；④()()m n n n m m -+-63；⑤()()b d c c b d y d c b x 222-+-----+其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）A 、①②⑤B 、②④⑤C 、③④⑤D 、①②④11、已知二次三项式10212-+ax x 可以分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ） A 、a 一定是奇数 B 、a 一定是偶数 C 、a 可为奇数也可为偶数 D 、a 一定是负数 三、解答题 12、分解因式：（1）（2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题）分解因式：()()()33322y x y x -----（2）122229227131+++--n n n x x x （3）2222222ab x b b a abx bx x a ax +-+-+- （4）()222224b a abx x b a +--- （5）()()()b a c a c b c b a -+-+-222 （6）613622-++-+y x y xy xC 卷一、解答题13、n （1 n ）名运动员参加乒乓球循环赛，每两人之间正好只进行一场比赛。
初二因式分解培优练习题
初二因式分解培优练习题在初二数学学习中，因式分解是一个非常重要且基础的概念。
因式分解是将一个多项式拆解成两个或多个因式的乘积。
通过练习因式分解的题目，可以提高学生的数学思维和解题能力。
本文将介绍一些初二因式分解的培优练习题。
1. 将多项式 3x + 6 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现3是公因式，所以因式分解为 3(x + 2)。
2. 将多项式 4x^2 - 16 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现4是公因式，所以可以提取4，得到 4(x^2 - 4)。
然后，我们可以再进一步分解括号中的差平方。
演算过程如下：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)因此，多项式 4x^2 - 16 的因式分解形式为 4(x + 2)(x - 2)。
3. 将多项式 6x^2 + 9x + 3 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现3是公因式，所以可以提取3，得到 3(2x^2 + 3x + 1)。
然后，我们需要进一步分解括号中的三项式。
由于三项式的系数均为正，我们可以尝试使用分解相加法。
演算过程如下：2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)因此，多项式 6x^2 + 9x + 3 的因式分解形式为 3(2x + 1)(x + 1)。
4. 将多项式 a^2 - 4b^2 因式分解解析：该多项式是一个二次差平方。
我们可以利用二次差平方公式进行因式分解。
二次差平方公式如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)因此，多项式 a^2 - 4b^2 的因式分解形式为 (a + 2b)(a - 2b)。
通过以上几个练习题的分析，我们可以发现因式分解需要灵活运用数学方法和技巧。
在解题过程中，我们可以观察多项式中的公因式，尝试分解差平方或其他形式的多项式，并利用分解相加法等方法进行因式分解。
通过反复练习和积累，掌握因式分解的技巧，初二学生可以提高自己的解题能力，并在进一步学习高阶的数学知识时打下良好的基础。
一轮复习因式分解方法拓展(中考培优训练)
因式分解方法拓展知识解读：在数学课外活动中，十字相乘法、配方法与待定系数法也是因式分解的重要方法1.十字相乘法，对于二次三项式因式分解时，可把二次项系数化成，常数项拆成，写成下面的样式：此时一次项系数恰好是即图中对角线两个数字的乘积的和，而因式分解的结果是的两个因式的系数恰好是上面两行的数字。
2.配方法把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法因式分解的关键是通过拆项或填项，将原多项式配上某些需要的项，得到完全平方式，然后再此基础上进行分解因式。
3.待定系数法对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定的系数，使问题获解的方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤如下：（1）根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所求问题的结构中去，得到所求问题的解。
培优学案一、十字相乘法例1 用十字相乘法分解因式【跟踪训练1】把下列各式因式分解二、先分组再因式分解例2 把下列各式因式分解【跟踪训练2】把下列各式因式分解三、配方法多项式因式分解有以下两个思路：思路1：应用公式。
由于-12可拆成，而；思路2：利用配方法，再利用平方差公式。
配方法，就是把多项式的某一部分，通过凑完全平方式的方法，达到解决问题的目的。
例3 把下列各式因式分解：【跟踪训练3】因式分解：四、待定系数法待定系数法简单来说，就是先设出因式分解后的结果，然后根据两个多项式相等，将设出的系数求出来。
例4 如果多项式能分解成一次因式（为整数），则的值应为多少？【跟踪训练】因式分解：。
拓展延伸五、方程思想解决系数问题例5 已知多项式中有因式，则的值为（）A.-3B.1C.-1D.不能确定【跟踪训练5】若有一个因式，则。
6因式分解培优专题(一)
数学因式分解培优专题（一）一、用提公因式法把多项式进行因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222温馨提示：有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
解：4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n++-+-一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
解：5、例1。
因式分解322x x x ()()--- 例2．分解因式：412132q p p ()()-+-解： 解：6. 证明：812797913--能被45整除。
二、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()()完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b cab bc ca 3332223++-=++++---()()=++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0 时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
第一讲 因式分解的拓展(精练)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第一讲因式分解的拓展（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·浙江金华·二模）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（）A ．24a -B ．269a a ++C ．216a +D ．2961a a -+【答案】C解：A、()()2422,a a a -=+-故不符合题意．B、()22693,a a a ++=+故不符合题意．C、216a +，不能分解，故符合题意．D、()2296131,a a a -+=-故不符合题意．故选：C．2．（2023·甘肃二模）下列因式分解正确的是（）A ．22()()-=+-a b ab a a b a b B ．22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b C ．3222()-+=-a ab ab a a b D ．2222244(2)-+=-a b a b a a b 【答案】B【解析】【分析】对各选项进行因式分解后进行判断即可．【详解】解：A 中()22()()a b ab ab a b a a b a b -=-≠+-，错误，故不符合题意；B 中22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b ，正确，故符合题意；C 中()32222()22a ab ab a a b b a a b -+=-+≠-，错误，故不符合题意；D 中()2222222()4422a b a b a a b ab -+=-≠-，错误，故不符合题意；故选B．3．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）将多项式2224912x y z yz ---分解成因式的积，结果是（）A ．(23)(23)x y z x y z +---B ．(23)(23)x y z x y z ---+C ．(23)(23)x y z x y z +++-D ．(23)(23)x y z x y z ++--【答案】D【解析】原式)32)(32()32()1294(22222z y x z y x z y x yz z y x --++=+-=++-=．4．（2022银川一中初中七年级期中）要是二次三项式26x x m -+在整数范围内可因式分解，则正整数m 的取值可以有（）A ．2个B ．3个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】6=1+5，6=2+4，6=3+3，∴9,8,5=m ．5.（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−×1−×1−×1×1−）．A ．512B ．12C ．712D ．1130【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式=1×1+×1×1×1−×1+×1−×1+×1−×1=12×32×23×43×34×54×45×65×56×76，=12×76，=712，故选：C．二、填空题6．已知正数a 、b 、c 满足ab +a +b =bc +b +c =ac +a +c =3，则（a +1）（b +1）（c +1）=_________．【答案】8【解析】4111=+++=+++=+++c a ac c b bc b a ab ，即4)1)(1()1)(1()1)(1(=++=++=++c b c a b a ，∴2111=+=+=+c b a ．7．因式分解22(34)(6)24x x x x +---+=_________．【答案】)8)(2)(3(2-+-+x x x x 【解析】原式=24)4)(3)(2)(1(24)3)(2)(1)(4(++-+-=+-+-+x x x x x x x x 24)2(10)2(24)12)(2(22222+-+--+=+-+-+=x x x x x x x x)8)(2)(3()8)(6(222-+-+=-+-+=x x x x x x x x ．8．（2021·上海市第四中学八年级阶段检测）在实数范围内因式分解3x 2+6x ﹣2＝____．【答案】3(x x +解：令212333620,33x x x x --++-=⇒==所以2113623()()x x x x x x +-=--⇒233333623()()3()()3333x x x x x x --+-=--=+-+三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．（2020·广东·华南师范大学中山附属中学八年级期中）分解因式：（1）221632a a -+（2）22414x xy y --+【答案】（1）()224a -；（2）()()2121x y x y -+--．【解析】（1）221632a a -+，=()22816a a -+，=()224a -；（2）22414x xy y --+，()224=41x xy y -+-，()2=x-2y -1，()()=x 2121y x y -+--．10、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【解析】两边同乘2，得：022*******=---++bc ac ab c b a ，即0)()()(222=-+-+-c a c b b a ，∴c b a ==．【答案】等边三角形11．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如222x xa a ++，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式.但对于二次三项式2223x xa a +-，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式2223x xa a +-中先加上一项2a ，使它与22x xa +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2222222323x xa a x xa a a a +-=++--（）22()4x a a =+-22()(2)x a a =+-(3)()x a x a =+-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：265a a -+；(2)若2211264502a b a b m c +--++-=①当a b m ，，满足条件：248a b m ⨯=时，求m 的值；②若△ABC 的三边长是,,a b c ，且c 边的长为奇数，求ABC ∆的周长【答案】(1)(a -1)(a -5)；(2)①4；②14或16【解析】(1)解：a 2﹣6a +5＝a 2﹣6a +9﹣4＝（a ﹣1）(a ﹣5)(2)∵2211264502a b a b m c +--++-=；∴（a 2﹣12a +36）+（b 2﹣6b +9）+|12m ﹣c |＝0∴（a ﹣6）2+（b ﹣3）2+|12m ﹣c |＝0∴a ﹣6＝0，b ﹣3＝0∴a ＝6，b ＝3①∵2a ×4b ＝8m∴26×43＝8m ∴26×43＝23m 时∴212＝23m ∴12＝3m ∴m ＝4；故答案为：4．②由①知，a ＝6，b ＝3，∵△ABC 的三边长是a ，b ，c ，∴3＜c ＜9，又∵c 边的长为奇数，∴c ＝5，7，当a ＝6，b ＝3，c ＝5时，△ABC 的周长是：6+3+5＝14，当a ＝6，b ＝3，c ＝7时，△ABC 的周长是：6+3+7＝16，12.（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校七年级期中）在二次三项式245x x +-先加上一项4，使它与24x x +成为一个完全平方式，然后再减去4，使整个式子的值不变，于是有：()22245444529x x x x x +-=++--=+-．像这种先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题：(1)已知：2246130x y x y ++-+=，求x y 的值．(2)已知：2,3,a b b c -=-=求222a b c ab bc ca ++---的值．【答案】(1)8-(2)19【解析】(1)解： 2246130x y x y ++-+=2244690x x y y \+++-+=()()22230,x y \++-=20,30,x y \+=-=解得：2,3,x y =-=()328.y x \=-=-(2) 2,3,a b b c -=-=5,a c \-=∴222abc ab bc ca ++---()22212222222a b c ab bc ac =++---()22222212222a ab b a ac c b bc c =-++-++-+()142592=++19=。
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因式分解方法拓展
知识解读：
在数学课外活动中，十字相乘法、配方法与待定系数法也是因式分解的重要方法
1.十字相乘法
，对于二次三项式
因式分解时，可把二次项系数化成，常数项拆成，写成下面的样式：
此时一次项系数恰好是即图中对角线两个数字的乘积的和，而因式分解的结果是
的两个因式的系数恰好是上面两行的数字。
2.配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法因式分解的关键是通过拆项或填项，将原多项式配上某些需要的项，得到完全平方式，然后再此基础上进行分解因式。
3.待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定的系数，使问题获解的方法叫待定系数法，用待定系
数法解题的一般步骤如下：
（1）根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；
（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
（3）解方程组，求出待定系数，再代入所求问题的结构中去，得到所求问题的解。
培优学案
一、十字相乘法
例1 用十字相乘法分解因式
【跟踪训练1】
把下列各式因式分解
二、先分组再因式分解
例2 把下列各式因式分解
【跟踪训练2】
把下列各式因式分解
三、配方法
多项式因式分解有以下两个思路：
思路1：应用公式。
由于-12可拆成，而；
思路2：利用配方法，再利用平方差公式。
配方法，就是把多项式的某一部分，通过凑完全平方式的方法，达到解决问题的目的。
例3 把下列各式因式分解：
【跟踪训练3】
因式分解：
四、待定系数法
待定系数法简单来说，就是先设出因式分解后的结果，然后根据两个多项式相等，将设出的系数求出来。
例4 如果多项式能分解成一次因式（为整
数），则的值应为多少？
【跟踪训练】
因式分解：。
拓展延伸
五、方程思想解决系数问题
例5 已知多项式中有因式，则的值为（）
A.-3
B.1
C.-1
D.不能确定
【跟踪训练5】
若有一个因式，则。
竞赛链接
例6 多项式含有因式，则。
【跟踪训练6】
已知是的一个因式，那么的值是。
培优训练
直击中考
1.如果有两个因式则（）
A.7
B.8
C.15
D.21
2.用十字相乘法将下列各式因式分解：
3.用配方法把下列各式因式分解：
4.因式分解：
挑战竞赛
1.（希望杯邀请赛试题）已知多项式可以分解为
的形式，那么的值是。
2.（竞赛试题）当为何值时，多项式能分解成两个一次因式的
积？
3.若能分解为两个一次因式的积，试求出m的值。