2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(六十)不等式证明 Word版含答案

合集下载

2018年北京市高考数学试卷(理科) word版含参考答案及解析

2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。

2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第6章不等式、推理与证明6-7Word版含答案

(时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对答案 B解析本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1) 答案 B解析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.1k＋答案 D解析当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋k ＋k k ＋k ＋kk ＋k ＋＝k ＋1k ＋k ＋＝1k ＋，选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k项答案 D解析运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k＝2k项．6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1k ＋k ＋解析不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n n ＋2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________________________________________________________________________.答案nn ＋1解析由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.9．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n－1(n ∈N *)能被9整除．证明 ①当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即(3k ＋1)·7k－1能被9整除，则当n ＝k ＋1时， ·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋6(3k ＋1)·7k＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k.由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．10．用数学归纳法证明不等式：2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋3k ＋＞k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋，由基本不等式2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立．所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知n ∈N *时，不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n＞n ＋1成立．(时间：20分钟)11．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．12．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．13．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝________.答案－123解析 ①a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12.②求出a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝a 1a 2a 3＝3. 14．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k，这表明n ＝k ＋1时，结论成立，由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)成立．。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十四章14.2第2课时含解析

第2课时不等式的证明1．不等式证明的方法（1）比较法:①作差比较法：知道a〉b⇔a－b〉0，a<b⇔a－b<0,因此要证明a〉b只要证明a－b〉0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a〉b〉0⇔错误!>1且a>0，b>0，因此当a>0，b〉0时,要证明a>b,只要证明错误!>1即可,这种方法称为作商比较法．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．（3)分析法：从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．（4）反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法:一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k（k∈N＊，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式（1）柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b,c，d都是实数,则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd)2（当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α|｜β｜≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R,则x1－x22＋y1－y22＋错误!≥错误!.④柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n 是实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)≥（a1b1＋a2b2＋…＋a n b n）2，当且仅当b i＝0 （i＝1,2，…,n)或存在一个数k，使得a i＝kb i (i＝1,2，…，n）时，等号成立．(2）算术—几何平均不等式若a1，a2,…,a n为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．1．设a,b，m,n∈R，且a2＋b2＝5,ma＋nb＝5,求错误!的最小值．解根据柯西不等式(ma＋nb）2≤(a2＋b2）(m2＋n2），得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为错误!.2．若a，b，c∈(0,＋∞),且a＋b＋c＝1,求错误!＋错误!＋错误!的最大值．解（错误!＋错误!＋错误!)2＝（1×错误!＋1×错误!＋1×错误!)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．∴（错误!＋错误!＋错误!）2≤3。

2018届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练第六章不等式与推理证明6-1Word版含答案

课时规范训练[A 级基础演练]1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤BB ．A ≥BC ．A <BD ．A >B 解析：选B.由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ，故选B.2．(2017·西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 3．(2017·太原诊断)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件解析：选D.由“a ＋c >b ＋d ”不能得“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D.4．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n <m <n <－mB ．－n <m <－m <nC ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－m解析：选D.法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．5．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.1a <1b 成立，即b －a ab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意． 6．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b ；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 解析：选D.∵a ＞b ＞1，∴1a ＜1b. 又c ＜0，∴c a ＞c b ，故结论①正确；函数y ＝x c (c ＜0)为减函数，又a ＞b ，∴a c ＜b c，故结论②正确；根据对数函数的单调性，log b (a －c )＞log b (b －c )＞log a (b －c )，故③正确． ∴正确结论的序号是①②③.7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是．(用“＞”连接) 解析：由－1＜b ＜0，可得b ＜b 2＜1.又a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a .答案：ab ＞ab 2＞a8．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是 (请把正确命题的序号都填上)解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立．答案：②③ 9．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．(2017·河南郑州调研)若1a <1b <0，则下列不等式中：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是．(填正确不等式的序号)解析：由1a <1b<0，得b <a <0. ①∵a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b <0，1ab >0， ∴1a ＋b <1ab成立，即①正确； ②∵b <a <0，∴－b >－a >0，则－b >|a |，即|a |＋b <0，∴②错误；③∵b <a <0，且1a <1b<0，∴a －1a >b －1b ，故③正确； ④∵b <a <0，∴b 2>a 2，∴ln b 2>ln a 2成立．∴④错误，故正确的是①③.答案：①③[B 级能力突破]1．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2|a ＋b | 解析：选D.∵1a <1b<0，∴0>a >b .∴a 21b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n 解析：选C.取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立．3．(2017·北京平谷模拟)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选D.∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故选D.4．已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B.M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .5．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11无解．综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)6．(2017·江苏盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132。

2018届高三数学(理)高考总复习教师用书：第六章不等式、推理与证明 Word版含答案

第六章⎪⎪⎪不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒n a > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ．答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h3．若0<a 0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1b C ．a 2>b 2 D ． a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b 的大小关系是________．答案：1a <1b考点一比较两个数(式)的大小(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m ＞n C ．m ≤n D ．m ＜n 答案：B 2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5．当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5．综上可知S 3a 3＜S 5a 5．答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二不等式的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b cB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c，所以a d ＜bc ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒⎭⎬⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－bc ⇒ad ＜b c．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项C 、D ；又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b ＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b ．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三不等式性质的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围．解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ． f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10．即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2．由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18．答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ． 2．若a 1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立．3．若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a －b ＞0得a ＞b ≥0，则a 2＞b 2⇒a 2－b 2＞0；由a 2－b 2＞0得a 2＞b 2，可得a ＞b ≥0或a ＜b ≤0等，所以“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的充分不必要条件，故选A ．4．(2017·资阳诊断)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2． 5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B ．⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎨⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎨⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4．6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b ． ∴a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝⎛⎭⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216 8．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2． ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0．∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b ．答案：a b 2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e (a －c )2>e(b －d )2．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0．又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2．又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2·ca <4， ∴ca 的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________．解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得(a －b )m a (a ＋m )＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0．即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ．即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ．答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________．答案：∅3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．解析：由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则a ＝－12，b ＝－2．所以a ＋b ＝－14．答案：－141．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1．答案：[0,1)考点一一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5 3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0．解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a ．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ．当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1． [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3．当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞．考点三一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法(1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0[演练冲关]1．(2017·济宁模拟)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．答案：[－8,4]2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2．答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1，所以－1＜k ＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45．答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ． (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4．因为x >0，所以x ＋1x ≥2．当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2．所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，4则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，2∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32．第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一二元一次不等式(组)表示平面区域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝⎛⎭⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二求目标函数的最值(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函数的最值2．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25．所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13．答案：⎣⎡⎦⎤45，13角度三：线性规划中的参数问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5．答案：5[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2017·海口调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0,2] C ．⎣⎡⎦⎤2，125 D ．⎣⎡⎦⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝⎛⎭⎫85，125(该点是直线4x －y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125，选A ． 2．(2017·合肥质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________．解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ． 3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选D由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z 3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 5．(2017·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2。

2018届数学复习第六章不等式、推理与证明课时作业36不等关系与不等式(含解析)文

课时作业36 不等关系与不等式一、选择题1．若a〈0，ay〉0且x＋y〉0，则x与y之间的不等关系是(）A．x＝y B．x>yC．x〈y D．x≥y解析:由a〈0，ay>0知y〈0，又由x＋y〉0知x>0,所以x〉y。

答案:B2．若1a〈错误!〈0，则下列结论不正确的是（)A．a2<b2B．ab〈b2C．a＋b〈0 D．｜a｜＋｜b|>|a＋b|解析：∵错误!<错误!<0，∴b〈a〈0.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a｜＋｜b｜＝|a＋b｜.答案：D3．设a，b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是（ )A ．a 2〈b 2B ．ab 2〈a 2b C.1ab 2〈错误! D.错误!<错误!解析：当a <0时,a 2〈b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab （b －a )．b －a 〉0，ab 符号不确定．所以ab 2与a 2b 的大小不能确定,故B 错．因为错误!－错误!＝错误!<0.所以错误!〈错误!，故C 正确．D 项中b a 与错误!的大小不能确定．答案：C4．设α∈（0，π2)，β∈[0，错误!］，那么2α－错误!的取值范围是（ )A ．（0，5π6)B ．(－错误!，错误!)C ．（0,π）D ．(－错误!，π）解析：由题设得0<2α<π，0≤错误!≤错误!.∴－π6≤－错误!≤0，∴－错误!<2α－错误!〈π.答案:D5．已知a＝log23＋log2错误!,b＝log29－log2错误!，c ＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a〉b>c解析：a＝log23＋log23＝log23错误!。

b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!。

∴a＝b＝log23错误!〉log22＝1。

2018年高考理科数学平不等式100题(含答案解析)

2018年高考理科数学不等式100题（含答案解析）1.已知实数x ，y 满足约束条件，则z=的最大值为（）A ．B ．C ．D ．2.圆x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣1=0上存在两点关于直线ax ﹣2by+1=0（a ＞0，b ＞0）对称，则+的最小值为（） A ．3+2B ．9C ．16D ．183.设实数x ，y 满足约束条件，则z=x 2+y 2的最小值为（）A ．B ．10C ．8D ．54.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x ﹣2y 的最小值为（）A ．B ．﹣3C ．0D ．15.已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3 6.已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B =（A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭7.若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（）．A ．32-B ．32C ．23-D ．238.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是( )A ．29 000元B ．31 000元C ．38 000元D ．45 000元 9.设集合{}|(1)(2)0A x x x =+-<，集合{}|13B x x =<<，则AB =（）． A ．{}|13x x -<< B ．{}|11x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x << 10.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+-k x 01y 3x 01y x ，若z=3x ﹣y 的最大值为3，则实数k 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．311. 若集合A={x|02x 5x ≤-+}，B={x||x|＜3}，则集合 A ∪B 为（） A ．{x|﹣5＜x ＜3} B ．{x|﹣3＜x ＜2}C ．{x|﹣5≤x ＜3}D ．{x|﹣3＜x≤2}12.若x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+y 的最大值为2，则实数a 的值为（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 13.已知集合A={x||x|＞1}，B={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A∩B=（） A ．（﹣1，1） B ．R C ．（1，3] D ．（﹣1，3]14.由直线x ﹣y+1=0，x+y ﹣5=0和x ﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-1x 05y x 01y x B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-1x 05y x 01y x C ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-1x 05y x 01y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≤+-1x 05y x 01y x 15.已知x ＞0，y ＞0，且3x+2y=xy ，若2x+3y ＞t 2+5t+1恒成立，则实数t 的取值范围（）A ．（﹣∞，﹣8）∪（3，+∞）B ．（﹣8，3）C ．（﹣∞，﹣8）D ．（3，+∞） 16.已知x ，y 满足不等式组，则z=﹣3x ﹣y 的最小值为（） A ．﹣3 B ．﹣7 C ．﹣6 D ．﹣8 17.已知集合M={x|（x+1）（x ﹣4）＜0}，N={x|x|＜3}则M ∩N=（） A ．（﹣3，﹣1） B ．（﹣1，3） C ．（3，4） D ．（﹣1，4）18.设x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣2y 的最大值为（）A ．1B ．4C ．8D ．11 19.设集合M={x|x 2＜x}，N={x||x|＜1}，则（） A ．M ∩N=∅ B ．M ∪N=MC ．M ∩N=MD ．M ∪N=R20.已知全集U=R ，集合A={x|3≤x ＜7}，B={x|x 2﹣7x+10＜0}，则∁R （A ∩B ）=（） A ．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B ．（﹣∞，3）∪[5，+∞） C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．（﹣∞，3]∪（5，+∞）21.关于实数x ，y 的不等式组所表示的平面区域记为M ，不等式（x ﹣4）2+（y ﹣3）2≤1所表示的区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为（） A ． B ．C ．D ．22.设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-2x 02y x 0y x ，则（x+1）2+y 2的最小值为（）A ．1B ． 29C ．5D ．9 23.设集合A={x|x 2﹣4x ＜0}，B={x|log 2x ＞1}，则A ∩B=（） A ．（2，4） B ．（0，2） C ．（1，4） D ．（0，4） 24.已知x ＞0，y ＞0，且4x+y=xy ，则x+y 的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 25.设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥+≤-0y 2y x 2y x 所表示的区域为M ，函数y=﹣2x 1-的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（） A ． π2B ．4π C ． 8πD ． 16π 26.若实数x ，y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+01y x 401x 01y x 则目标函数z=3x 1y ++的最大值为（）A ．41B ．32C ．23D ．2 27.已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|x14-＞0}，则M∩N=（）A ．{x|﹣1≤x ＜1}B ．{x|x ＞1}C ．{x|﹣1＜x ＜1}D ．{x|x≥﹣1}28.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-03y x 301y x 01y x 则目标函数z=4x+y 的最大值为（）A ．4B ．11C ．12D ．14 29.设集合A={x|x 2﹣x ﹣6＞0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B=（） A ．（﹣2，1] B ．（﹣3，﹣2] C ．[﹣3，﹣2）D ．（﹣∞，1]∪（3，+∞）30.已知集合A={x|2x 1x -+＜0}，集合B=N ，则A∩B=（） A ．{﹣1，0，1} B ．{1} C ．{0，1}D ．{﹣1，0}31.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0B ．1C ．D ．3 32.设集合A={x||x ﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x ∈[0，2]}，则A ∩B=（） A ．[0，2] B ．（1，3） C ．[1，3） D ．（1，4）33.设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x ∈Z|x 2﹣5x+4＜0}，则∁U （A ∪B ）=（） A ．{0，1，2，3} B ．{5} C ．{1，2，4} D ．{0，4，5}34.设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥≥-x 2y 2x y 0y 2x ，则z=2x+y 的最大值为（）A ．10B ．8C ．310D ．3835. 由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．36.已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|2x＞4}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∩∁R B=R D．A∩B=∅37.设m=﹣，n=﹣，p=﹣，则m，n，p的大小顺序为（）A．m＞p＞n B．p＞n＞m C．n＞m＞p D．m＞n＞p38.若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．239.已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，0）C．[﹣1，3] D．（3，4）40.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）A．B． C．D．41.设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3] C．D．42.设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁U B）∩A=（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．[0，3）D．（0，3）43.若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b ，则函数z=2ax+by 在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（） A ． B ． C ． D ． 44.设点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上，则z=的最小值为（） A ．1 B ． C ．2 D ．45.设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x 2+2x ﹣3＜0}，则A ∩B=（） A ．{﹣1} B ．{﹣1，0} C ．{﹣1，0，1} D ．{﹣2，﹣1，0}46.已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B =（）． A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-47.已知全集U =R ，集合{}1A x y x ==-，{}220B x x x =-<，则A B =（）．A ．{}0x x >B ．{}0x x ≥C ．{}01x x <<D ．{}12x x <≤48.记不等式组表示的平面区域为D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则当∠APB 的最大时，cos ∠APB 为（） A ． B ．C ．D ．49.已知全集U=R ，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x 2+3x ＜0}，则（∁U A ）∩B 等于（） A ．{x|﹣3＜x ＜0} B ．{x|﹣1≤x ＜0}C ．{x|x ＜﹣1}D ．{x|﹣1＜x ＜0}50.若a=20.5，b=log π3，c=ln ，则（） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}52.函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．453.已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 54.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．655.已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}56.已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，•的值为（）A．2 B．C．D．357.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（） A ．B ．C ．2D ．59.设全集U=R ，集合，则集合A∩（∁U B ）=（）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ＜﹣3}C ．{x|﹣3＜x ≤﹣1}D ．{x|﹣1＜x ＜0} 60. 已知集合，则A∩B=（）A ．（1，+∞）B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D ．[0，1] 61.已知a ＞0，b ＞0，且2a+b=4，则的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．4 62.已知集合A=x|x 2﹣2x ﹣3＞0}，集合B={x|0＜x ＜4}，则（∁R A ）∩B=（） A ．（0，3] B ．[﹣1，0） C ．[﹣1，3] D ．（3，4）63.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-0y 03y x 30y 2x 3表示的平面区域的面积是（）A ．1B ．23C ．2D ．25 64.已知y x ,均为非负实数，且满足⎩⎨⎧≤+≤+241y x y x ，则y x z 2+=的最大值为（）A ．1B ．21C ．35D ．2 65.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（） A ．ad ＞bc B ．ad ＜bcC ．ac ＞bdD ．ac ＜bd66.已知集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．68.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的取值范围为__________．69.已知实数x 、y 满足1|1|y y x ⎧⎨-⎩≤≥，则2x y +的最大值是__________． 70.已知O 是坐标原点，点1()2,A -，若点(,)M x y 为平面区域101010x y y x y -⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤++++，上的一个动点，设2z x y =-+，则z 的最大值为____________．71.已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为__________．72.某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数．（ii ）女学生人数多余教师人数．（iii ）教师人数的两倍多余男学生人数．①若教师人数为5，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．73.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*x ∈N ）的关系为21825y x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．74.不等式|2x ﹣1|+|2x+9|＞10的解集为．若x ＞0，y ＞0，x+4y+2xy=7，则x+2y 的最小值是． 76. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a+b=2，则2c 52c ab c b ac -+-+的最小值为． 77. 设不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥4y x 0y x 1x 表示的平面区域为M ，若直线y=kx ﹣2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是．78.若实数x ，y 满足 xy+3x=3(0＜x ＜21)，则3y 1x 3-+的最小值为． 79.已知角 α，β满足22ππ-<α-β<， 0＜α+β＜π，则3α－β的取值范围是． 80.已知函数f （x ）=（x 2+ax+b ）e x ，当b ＜1时，函数f （x ）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则2a 2b -+的取值范围是． 81.设函数f （x ）=|x ﹣a|+x 9（a ∈R ），若当x ∈（0，+∞）时，不等式f （x ）≥4恒成立，则的取值范围是．82.已知实数a ，b 满足：a≥21，b ∈R ，且a+|b|≤1，则a 21+b 的取值范围是． 83.已知a ＞b ＞0，那么a 2+)b a (b 1-的最小值为． 84.若（ax 2+）6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2+b 2的最小值为．85. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01y x 02y 2x 02y x 2，则z=（a 2+1）x ﹣3（a 2+1）y 的最小值是﹣20，则实数a= ． 86. 若实数x ，y 满足不等式组，则z=2|x|+y 的最大植为．87.已知不等式组则z=的最大值为． 88.设P （x ，y ）为函数y=x 2﹣1图象上一动点，记，则当m 最小时，点P 的坐标为．89.若变量x ，y 满足约束条件，且z=2x+y 的最小值为﹣6，则k= ． 90.已知函数，若正实数a ，b 满足f （4a ）+f （b ﹣9）=0，则的最小值为．91. 已知实数x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤--02y 03x 01y x ，则 4x 2y --的最大值为． 92.已知log 2x+log 2y=1，则x+y 的最小值为．93.点M （x ，y ）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x ﹣y+m ≥0总成立，则m 的取值范围是．94.设x ，y 满足约束条件，若y=zx+z+3，则实数z 的取值范围为．95.a ，b 为正数，给出下列命题：①若a 2﹣b 2=1，则a ﹣b ＜1； ②若﹣=1，则a ﹣b ＜1；③e a ﹣e b =1，则a ﹣b ＜1；④若lna ﹣lnb=1，则a ﹣b ＜1．期中真命题的有．96.设正实数y x ,满足1=+y x ，则xy y x ++22的取值范围为97. 已知实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03y 05y x 0y x ，若不等式m （x 2+y 2）≤（x+y ）2恒成立，则实数m的最大值是．98.设数列{}n a 的首项1()a a a =∈R ，且13,34,3n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-+⎩≤时，1m =，2，3，．Ⅰ若01a <<，求2a ，3a ，4a ，5a ．Ⅱ若04n a <<，证明：104n a +<<．ⅡⅠ若02a <≤，求所有的正整数k ，使得对于任意*n ∈N ，均有n k n a a +=成立． 99.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数．（2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？100.设全集是实数集R ，A={x|2x 2﹣7x+3≤0}，B={x|x 2+a ＜0}．（1）当a=﹣4时，求A ∩B 和A ∪B ；（2）若（∁R A ）∩B=B ，求实数a 的取值范围．答案1.A【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则z==3﹣，则z的几何意义是区域内的点到定点M（﹣1，﹣1）的斜率的最小值的相反数与3的和，由图象可知区域边界点A（1.5，2）连接的直线斜率最小为，所以z的最大值为3﹣=；故选：A．2.D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+1=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，当且仅当=，即2a=b时取等号，故选D．3.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．4.A【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：y x O，由，解得A （，），由z=x ﹣2y 得：y=x ﹣z ，平移直线y=x ，结合图象直线过A （，）时，z 最小，z 的最小值是：﹣，故选：A ． 5.C【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y =-检验得：当1,0x y ==时，z 取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A ：误把z -的最大值当成z x y =-的最大值；错选B ：误把z 的最小值当成z x y =-的最大值；错选C ：误把z -的最小值当成z x y =-的最大值.6.D【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2AB x x =≤，故选D.【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.7.A如图，取4z =得直线方程24y x =-+，分别画出3y x =+，0y =以及24y x =-+，由图可知，当3y kx =+过点(2,0)时，2y x z =-+通过点(2,0)时截距最大，即z 取得最大值，代入得023k =+，解得32k =-．故选A ．8.C9.A∵{}|12A x x =-<<，{}|13B x x =<<，{}|13A B x x =-<<．故选A ．10.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到a 的值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在x=k，解得k=1，故选：B．11.C【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．12.A【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．【解答】解：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得，即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，∴3﹣1﹣a=0，则a=2，故选：A．13.C【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]．故选：C．14.A【考点】简单线性规划．【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．15.B【考点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用“1”的代换化简2x+3y转化为（2x+3y）（）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x+3y＞t2+5t+1求得2x+3y的最小值，进而求得t的范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，可得： =1，∴2x+3y=（2x+3y）（）=13+≥13+2=25．当且仅当x=y=5时取等号．∵2x+3y＞t2+5t+1恒成立，∴t2+5t+1＜25，求得﹣8＜t＜3．故选：B．16.B【考点】简单线性规划．【分析】由已知不等式组画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：已知不等式组表示的可行域如图：由z=﹣3x﹣y变形为y=﹣3x﹣z，当此直线经过图中的C时，在y轴的截距最大，z最小，由得到C（2，1），所以z的最小值为﹣3×2﹣1=﹣7；故选B．17.B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合M、N，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x|（x+1）（x﹣4）＜0}={x|﹣1＜x＜4}，N={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}∴M∩N={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：B．18.D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：z=3x﹣2y得y=x﹣，平移y=x﹣，当y=x﹣经过可行域的A时，z取得最大值，由，解得A（5，2）．此时z的最大值为：3×5﹣2×2=11．故选：D．19.C【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】解x2＜x可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＜1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2＜x⇔0＜x＜1，则集合M={x|0＜x＜1}，|x|＜1⇔﹣1＜x＜1，则集合N={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=M，故选C．20.B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．【解答】解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪[5，+∞）．故答案选B．【点评】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系．21.A【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，分别求出对应的面积，即可得到结果．【解答】解：关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为=8，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，且满足不等式组，面积为，∴在M内随机取一点，则该点取自N的概率为=，故选A．22.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，0）的距离的平方，由图象知A到直线x+y﹣2=0的距离最小，此时距离d==，则距离的平方d2=（）2=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的距离公式是解决本题的关键．23.A【考点】1E ：交集及其运算．【专题】37 ：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合．【分析】化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ．【解答】解：集合A={x|x 2﹣4x ＜0}={x|0＜x ＜4}，B={x|log 2x ＞1}={x|x ＞2}，则A ∩B={x|2＜x ＜4}=（2，4）．故选：A ．24.B 414141,()()59+=+=++=++≥x y x y x y y x y x y x，当且仅当3,6==x y 时取等号.故选B.25.B【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率．【解答】解：作出图形如图所示：则区域M为△ABC，区域N为单位圆的下半圆，点O到直线x+y=﹣和直线x﹣y=的距离均为=1，故半圆与AB，BC相切．∴向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为P===．故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．26.C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．27.A【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．28.B【考点】简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时Z最大，由，解得，即A（2，3），代入z=4x+y得最大值为z=4×2+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．29.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再由集合的交集运算即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），B={x|﹣3≤x≤1}=[﹣3，1]，则A∩B=[﹣3，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．30.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B=N，则A∩B={0，1}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．31.B【考点】7F：基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．32.C【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C33.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4，5}，∴∁∪（A∪B）={0，4，5}．故选D．34.A【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解z的最大值即可．【解答】解：约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点A时，目标函数取得最大值．由，解得A（4，2），则z=2x+y的最大值为10．故选：A．【点评】本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想以及计算能力．35.D【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．36.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，B，再判断集合之间的关系．【解答】解：由x2﹣3x+2＜0即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，故A=（1，2），由2x＞4=22，解得x＞2，故B=（2，+∞），∴A∩B=∅，故选：D37.D【考点】不等关系与不等式．【分析】不妨设m＞n，由此得出m＞n，同理得出n＞p，即可得出m、n、p的大小顺序．【解答】解：∵m=﹣＞0，n=﹣＞0，p=﹣＞0，不妨设m＞n，则﹣＞﹣，∴11﹣2＞13﹣2，∴＞1+，∴42＞31+2，∴11＞2，∴121＞120，∴m＞n，同理n＞p；∴m、n、p的大小顺序是m＞n＞p．故选：D．38.C【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．39.A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，集合B={x|0＜x＜4}，∴∁R A={x|﹣1≤x≤3}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：A．40.B【考点】几何概型．【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）在R上有零点，则满足判别式△=4b﹣4a2≥0，即b＞a2区域的面积S==18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S===，∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，故选：B．41.D【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．42.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴C U B=（﹣1，3），∴（C U B）∩A=（0，3），故选：D【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．43.D【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．44.D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z==则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离，由图象知D到直线2x﹣y=0的距离最小，此时d==，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用以及距离的求解，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．45.B【分析】分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x 2+2x ﹣3＜0}={x|（x ﹣1）（x+3）＜0}={x|﹣3＜x ＜1}，∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜0}={﹣1，0}．故选：B ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．46.C{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<，{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23AB x x =<<．故选C ．47.A ∵{}1A x x =≥，{}02B x x =<<，∴{}0AB x x =>，选择A ．48.D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB 最大时点P 的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D ，如图所示，要使∠APB 最大，则∠OPB 最大，∵sin ∠OPB==， ∴只要OP 最小即可．则P 到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP 垂直直线3x+4y ﹣10=0，此时|OP|===2，|OA|=1，设∠APB=α，则∠APO=，即sin ==，此时cosα=1﹣2sin 2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos ∠APB=．故选：D ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．49.B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合A、B，求出∁U A，再计算∁U A）∩B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x+1＜0}={x|x＜﹣1}，∴∁U A={x|x≥﹣1}，又B={x|x2+3x＜0}={x|﹣3＜x＜0}，（∁U A）∩B={x|﹣1≤x＜0}．故选：B．50.C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5，＞1，0＜b=logπ3＜1，c=ln＜0，∴a＞b＞c．故选：C．51.A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），然后利用集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），∴A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}，故选：A．52.C【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式化简求解即可．【解答】解：函数y=2x+≥2=2，当且仅当x=时，等号成立．故选：C．53.B【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．54.B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，得到c≥，a＞0，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若函数f（x）在R上是单调递增函数，则，解得：c≥，a＞0，故≥=≥=，当且仅当3a=2b﹣3a即b=3a时“=”成立，此时的最小值是==4，故选：B．【点评】本题考查了求函数的单调性问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．55.D【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：x2﹣x﹣2＜0，即为（x﹣2）（x+1）＜0，解的﹣1＜x＜2，即A={x|﹣1＜x＜2}，又A={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．56.B【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•==．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．57.B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．58.B【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再由，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出结果．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，∴，整理，得q2﹣q﹣2=0，又q＞0，解得，q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴，整理，得2m+n﹣2=16，即m+n=6，∴，当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又m+n=6，所以只有当m=4，n=2时，取得最小值是．故选：B．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用．59.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出集合A，∁U B，从而求出其交集．【解答】解：由＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A={x|﹣3＜x＜0}，∵B={x|x≤﹣1}，∴∁U B={x|x＞﹣1}，∴A∩（∁U B）={x|﹣1＜x＜0}，故选：D60.A【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．61.B【考点】7F：基本不等式．【分析】由4=2a+b可求ab的范围，进而可求的最小值【解答】解：∵a＞0，b＞0，且4=2a+b∴ab≤2∴∴的最小值为故选B62.A【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x 2﹣2x ﹣3＞0}={x|x ＜﹣1或x ＞3}，集合B={x|0＜x ＜4}，∴∁R A={x|﹣1≤x ≤3}，∴（∁R A ）∩B={x|0＜x ≤3}=（0，3]．故选：A ．63.B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，再由三角形的面积公式求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B （2，3），∴平面区域的面积S=．故选：B ．64.D试题分析：如下图所示，阴影部分为),(y x 表示的可行域.。

2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．＜P（X=6），则p=（）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log2A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【高三数学试题精选】2018届高考理科数学一轮第六章不等式与推理证明复习题(有答案)

2018届高考理科数学一轮第六章不等式与推理证明复习题
（有答案）
5 c 第7时数学归纳法
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
【梳理自测】
1．(教材习题改编)用数学归纳法证明1 n＋2 (n－1)＋3 (n－2)＋…＋n 1＝16n(n＋1)(n＋2)时，当n＝1时，等式左边有________．( )
A．1项 B．2项
c．3项 D．n项
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )
A．1 B．2
c．3 D．0
3．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( ) A．1 B．1＋a
c．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
4．记凸边形的内角和为f()，则凸＋1边形的内角和f(＋1)＝f()＋________
5．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．答案1A 2c 3c 4180° 51＋12＋13＜2
◆以上题目主要考查了以下内容
数学归纳法。

2018年高考数学(理)一轮复习课时达标第六章不等式、推理与证明35Word版含答案

课时达标第35讲[解密考纲]考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x＝－1时，取等号．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( C ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析：∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( C ) A ．2 B ．4C ．2D ．2 2解析：∵a ≥0，b ≥0，∴a ＋2b ≥0，又∵a (a ＋2b )＝4，∴4＝a (a ＋2b )≤(a ＋a ＋2b )24，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时等号成立．∴(a ＋b )2≥4，∴a ＋b ≥2.4．函数y ＝^x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．2解析：∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( B )A ．1B ．94C ．9D ．16解析：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，b ＋1＝2(a ＋1)时取等号，故选B ．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b ) ，其全程的平均时速为v ，则( A ) A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地相距s ，则平均速度v ＝2s s a ＋s b＝2aba ＋b. 又∵a ＜b ，∴2ab a ＋b ＞2abb ＋b ＝a .∵a ＋b ＞2ab ，∴2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ，∴a ＜v ＜ab . 二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy 的最小值为9.解析：由已知得x ＋2y 2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝⎛⎭⎫1y ＋8x ·⎝⎛⎭⎫x ＋2y 2＝12⎝⎛⎭⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．9．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 解析：由a ＋b2≤a 2＋b 22得3x ＋2y ≤2(3x )2＋(2y )2＝23x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号．三、解答题10．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．解析：(1)∵x <32，∴2x －3<0，∴3－2x >0，∴y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－12⎣⎡⎦⎤(3－2x )＋163－2x ＋32≤－12·2(3－2x )·163－2x ＋32＝－4＋32＝－52，当且仅当3－2x ＝163－2x ，即3－2x ＝4，即x ＝－12时，y max ＝－52.∴函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2,4－2x >0， ∴y ＝x (4－2x )＝12·2x (4－2x ) ≤12·⎝⎛⎭⎫2x ＋4－2x 22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，y max ＝ 2. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析：(1)∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，∴xy (xy －8)≥0，又xy ≥0，∴xy ≥8即xy ≥64.当且仅当x ＝4y 即8y ＋8y －4y 2＝0时，即y ＝4，x ＝16时取等号，∴xy 的最小值为64. (2)∵2x ＋8y ＝xy >0，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当2x y ＝8yx ，即x ＝2y 即4y ＋8y －2y 2＝0时，即y ＝6，x ＝12时取等号，∴x ＋y的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解析：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1，所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400·⎝⎛⎭⎫240x －1＋240x (x 2＋x )＝96 000x＋240x －160. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240. 故y 与x 的函数关系是：y ＝96 000x＋240x －160(0＜x ＜240)． (2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。

最新-【数学】2018年高考数学试题精编：62不等式的证

第六章不等式二不等式的证明【考点阐述】不等式的证明．【考试要求】（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．【考题分类】【考题分类】（一）选择题（共1题）1.（上海春卷16）已知)1,0(,21∈a a ，记1,2121-+==a a N a a M ，则M 与N 的大小关系是（）A ．N M C ．N M =D ．不确定答案：B解析：由1212121(1)(1)0M N a a a a a a -=--+=-->，故M N >，选B.（二）解答题（共2题） 1.（江苏卷21④）已知实数a,b ≥0，求证：)b a (ab b a 2233+≥+[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。

满分10分。

（方法一）证明：332222()()()a b ab a b a a a b b b b a +-+=-+- 55()[()()]a b a b =--2432234()[()()()()()()()()]a b a a b a b a b b =-++++因为实数a 、b ≥0，2432234()0,[()()()()()()()()]0a b a a b a b a b b -≥++++≥ 所以上式≥0。

即有3322()a b ab a b +≥+。

（方法二）证明：由a 、b 是非负实数，作差得332222()()()a b ab a b a a a b b b b a +-+=-+-55()[()()]a b a b =--当a b ≥时，a b ≥，从而55()()a b ≥，得55()[()()]0a b a b --≥；当a b <时，a b <，从而55()()a b <，得55()[()()]0a b a b --<；所以3322()a b ab a b +≥+。

2.（辽宁卷理24文24）已知cba,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cbacba，并确定cba,,为何值时，等号成立。

2018年高考数学(理)总复习达标检测(六十)不等式证明含答案

高考达标检测（六十）不等式证明1．设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.证明：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c2＝13(12＋12＋12)[⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2]≥13[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ]2 ＝13[1＋（1a ＋1b ＋1c ）] 2＝13[1＋(a ＋b ＋c )（1a ＋1b ＋1c ）]2 ≥13×(1＋9)2＝1003. 即原不等式成立．2．(2017·大连双基测试)已知x ，y 是两个不相等的正实数，求证：( x 2y ＋x ＋y 2)( xy 2＋y ＋x 2)>9x 2y 2.证明：因为x ，y 是正实数，所以x 2y ＋x ＋y 2≥33x 2y ·x ·y 2＝3xy ，当且仅当x 2y ＝x ＝y 2，即x ＝y ＝1时，等号成立；同理：xy 2＋y ＋x 2≥33xy 2·y ·x 2＝3xy ，当且仅当xy 2＝y ＝x 2，即x ＝y ＝1时，等号成立．所以(x 2y ＋x ＋y 2)(xy 2＋y ＋x 2)≥9x 2y 2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．因为x ≠y ，所以( x 2y ＋x ＋y 2)( xy 2＋y ＋x 2)>9x 2y 2. 3．已知x ，y ∈R ，且| x |<1，| y |<1. 求证：11－x 2＋11－y 2≥21－xy. 证明：法一：(分析法)∵| x |<1，| y |<1， ∴11－x 2>0，11－y 2>0， ∴11－x 2＋11－y 2≥2－x2－y2.故要证明结论成立，只要证明2－x2－y 2≥21－xy 成立．即证1－xy ≥－x2－y2成立即可．∵(y －x )2≥0，有－2xy ≥－x 2－y 2， ∴(1－xy )2≥(1－x 2)(1－y 2)， ∴1－xy ≥－x2－y2>0.∴不等式成立．法二：(综合法)∵211－x 2＋11－y2≤1－x 2＋1－y22＝2－x 2＋y 22≤2－2|xy |2＝1－|xy |， ∴11－x 2＋11－y 2≥21－|xy |≥21－xy ， ∴原不等式成立．4．设函数f (x )＝| x －4 |＋| x －3 |，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R)时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)法一：f (x )＝| x －4 |＋| x －3 |≥| (x －4)－(x －3) |＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1. 法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.(2)( a 2＋b 2＋c 2)( 12＋22＋32)≥( a ＋2b ＋3c )2＝1，故a 2＋b 2＋c 2≥114，当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号．故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114.5．(2017·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式| x ＋1 |－| 2－x |≤a ≤ | x ＋1 |＋| 2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m ＞n ＞0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .解：(1)设f (x )＝| x ＋1 |－| 2－x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，| x ＋1 |－| 2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，| x ＋1 |＋| 2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3. ∴a ＝3.(2)证明：由(1)知a ＝3. ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，且m ＞n ＞0，∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －nm －n1m －n2＝3.∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .6．(2017·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝| x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－| x －1 |；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式为| x －2 |＋| x －1 |≥4， ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当1＜x ＜2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤1时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. (2)证明：∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm ≥2＋2 m 2n ·2nm＝4，当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号．7．(2017·合肥模拟)已知a ＞0，b ＞0，记A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b . (1)求2A －B 的最大值；(2)若ab ＝4，是否存在a ，b ，使得A ＋B ＝6？并说明理由．解：(1)2A －B ＝2a －a ＋2b －b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －222＋1≤1，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即2A －B 的最大值为1.(2)A ＋B ＝a ＋b ＋a ＋b ≥2ab ＋2ab ，因为ab ＝4，所以A ＋B ≥4＋22＞6，所以不存在这样的a ，b ，使得A ＋B ＝6. 8．(2016·西安质检)已知函数f (x )＝| x －1 |. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝| 2x －1 |＋| x ＋3 |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明：f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )>|a | f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，即| ab －1 |>| a －b |. 因为| a |<1，| b |<1，所以| ab －1 |2－| a －b |2＝( a 2b 2－2ab ＋1 )－( a 2－2ab ＋b 2)＝( a 2－1 )( b 2－1 )> 0，所以| ab －1 |>| a －b |. 故所证不等式成立．。

2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(六十)不等式证明

高考达标检测（六十）不等式证明1．设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003、证明:⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)[⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2]≥13[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ]2 ＝13[1＋（1a ＋1b ＋1c ）] 2＝13[1＋(a ＋b ＋c )（1a ＋1b ＋1c ）]2 ≥13×(1＋9)2＝1003、即原不等式成立．2．(2017·大连双基测试)已知x ，y 是两个不相等的正实数，求证:( x 2y ＋x ＋y 2)( xy 2＋y ＋x 2)>9x 2y 2、证明:因为x ，y 是正实数，所以x 2y ＋x ＋y 2≥33x 2y ·x ·y 2＝3xy ，当且仅当x 2y ＝x ＝y 2，即x ＝y ＝1时，等号成立；同理:xy 2＋y ＋x 2≥33xy 2·y ·x 2＝3xy ，当且仅当xy 2＝y ＝x 2，即x ＝y ＝1时，等号成立．所以(x 2y ＋x ＋y 2)(xy 2＋y ＋x 2)≥9x 2y 2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．因为x ≠y ，所以( x 2y ＋x ＋y 2)( xy 2＋y ＋x 2)>9x 2y 2、 3．已知x ，y ∈R ，且| x |<1，| y |<1、求证:11－x 2＋11－y 2≥21－xy、证明:法一:(分析法)∵| x |<1，| y |<1， ∴11－x 2>0，11－y 2>0， ∴11－x 2＋11－y2≥2－x2－y2、故要证明结论成立，只要证明2－x2－y 2≥21－xy 成立．即证1－xy ≥－x2－y2成立即可．∵(y －x )2≥0，有－2xy ≥－x 2－y 2， ∴(1－xy )2≥(1－x 2)(1－y 2)， ∴1－xy ≥－x2－y2>0、∴不等式成立．法二:(综合法)∵211－x 2＋11－y2≤1－x 2＋1－y22＝2－x 2＋y 22≤2－2|xy |2＝1－|xy |， ∴11－x 2＋11－y 2≥21－|xy |≥21－xy， ∴原不等式成立．4．设函数f (x )＝| x －4 |＋| x －3 |，f (x )的最小值为m 、 (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R)时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解:(1)法一:f (x )＝| x －4 |＋| x －3 |≥| (x －4)－(x －3) |＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1、法二:f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1、(2)( a 2＋b 2＋c 2)( 12＋22＋32)≥( a ＋2b ＋3c )2＝1，故a 2＋b 2＋c 2≥114，当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号．故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114、5．(2017·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式| x ＋1 |－| 2－x |≤a ≤ | x ＋1 |＋| 2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m ＞n ＞0，求证:2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a 、解:(1)设f (x )＝| x ＋1 |－| 2－x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3、∵对任意实数x ，| x ＋1 |－| 2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3、设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3、∵对任意实数x ，| x ＋1 |＋| 2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3、 ∴a ＝3、(2)证明:由(1)知a ＝3、 ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，且m ＞n ＞0，∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －n m －n1m －n2＝3、∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a 、6．(2017·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝| x －a |、 (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－| x －1 |；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证:m ＋2n ≥4、解:(1)当a ＝2时，不等式为| x －2 |＋| x －1 |≥4， ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当1＜x ＜2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤1时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12、综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞、 (2)证明:∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4，当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号．7．(2017·合肥模拟)已知a ＞0，b ＞0，记A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b 、 (1)求2A －B 的最大值；(2)若ab ＝4，是否存在a ，b ，使得A ＋B ＝6？并说明理由．解:(1)2A －B ＝2a －a ＋2b －b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －222＋1≤1，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即2A －B 的最大值为1、(2)A ＋B ＝a ＋b ＋a ＋b ≥2ab ＋2ab ，因为ab ＝4，所以A ＋B ≥4＋22＞6，所以不存在这样的a ，b ，使得A ＋B ＝6、 8．(2016·西安质检)已知函数f (x )＝| x －1 |、 (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证:f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 、解:(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝| 2x －1 |＋| x ＋3 |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2、所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明:f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )>|a | f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，即| ab －1 |>| a －b |、因为| a |<1，| b |<1，所以| ab －1 |2－| a －b |2＝( a 2b 2－2ab ＋1 )－( a 2－2ab ＋b 2)＝( a 2－1 )( b 2－1 )> 0，所以| ab －1 |>| a －b |、故所证不等式成立．高考达标检测（一）集合一、选择题1．(2017·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析:选A 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A 、 2．(2017·福州模拟)集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x<8}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3} B ．{－1,2} C ．{－3，－1,2}D ．{－3，－1,2,4}解析:选C 由题意知，集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x <8}＝{x |x <3}，则A ∩B ＝ {－3，－1,2}，故选C 、3．(2017·重庆适应性测试)设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R|0<x<2}，则(∁U A)∩B＝( )A．(1,2] B．[1,2)C．(1,2) D．[1,2]解析:选B 依题意得∁U A＝{x|1≤x≤2}，(∁U A)∩B＝{x|1≤x<2}＝[1,2)，选B、4．(2017·武汉调研)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∪B＝( )A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B．(2,3]C．(－∞，3]∪(4，＋∞)D．[－2,2)解析:选A 因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A、5．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析:选B ∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25 D．52解析:选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3、所以元素(x，y)的所有结果如下表所示:所以A*B中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a <1}B ．{a |0≤a <1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤1}解析:选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(图略)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B 、8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析:选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．二、填空题9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析:由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18、综上可知，实数a 的值为1或－18、答案:1或－1810．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析:由∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ∪(∁R B )＝R ，可得a ≥2、答案:[2，＋∞)11．(2017·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件:①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A 、则集合A ＝________、(用列举法表示)解析:假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案:{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析:设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知:①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14、所以(43－y )min ＝43－14＝29、答案:①16 ②29 三、解答题13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解:(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3、故实数a 的取值范围是(2,3)．14．(2017·青岛模拟)若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围．解:(1)证明:若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，即m ＝－1且m ＝3，不成立．故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1；若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1，即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。

2018年高考数学(理)一轮复习课时训练第六章不等式、推理与证明第32讲Word版含答案

第六章第32讲1．(2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( C )A ．1x －1y＞0 B ．sin x －sin y ＞0 C ．⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x ＞y ＞0时，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x ＞y ＞0⇒1x ＜1y ⇒1x －1y＜0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x ＞y ＞0⇒/ xy >1⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．2．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0解析：讨论a 的取值范围，可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a 与b 的关系，再判断即可．∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即00，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D ．3．(2014·山东卷)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( D )A ．1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：∵a x ＜a y,0＜a ＜1，∴x ＞y ，∴x 3＞y 3.4．(2015·浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a 0.故选项A中的不是最低费用；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故选项C中的不是最低费用；(ay＋bx＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，选项D中的不是最低费用．综上所述，选项B中的为最低费用．。

2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第六章不等式与推理证明6-2Word版含答案

课时规范训练[A 级基础演练]1．不等式x 2>x 的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选D.由x 2>x ，得x (x －1)>0.所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.2．(2017·山东临沂模拟)不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：选A.由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选 A.由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，则不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |－1＜x ＜2}．由根与系数的关系求得，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.4．(2017·武汉模拟)一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．[－3，0]D ．(－∞，－3)∪[0，＋∞)解析：选 A.由一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3，0)．5．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}6．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，则a 的值为．解析：∵(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，∴1－a <0，即a >1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6<0，a －1>0，其解集为{x |－3<x <1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3. 答案：37．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2， x <0，x ＋1，x ≥0，则不等式f (x )>4的解集为．解析：当x <0时，解x 2>4，得x <－2；当x ≥0时，解x ＋1>4，得x >3.所以不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)8．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .求a 的取值范围．解：∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎨⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．9．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.①若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；②若对于x ∈[1，3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：①由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4，0]．②∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1，3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1，3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1，3]上为增函数．则g (x )在[1，3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67. [B 级能力突破]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1，1]B ．[－2，2]C ．[－2，1]D ．[－1，2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0； ①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1，1]．2．关于x 的不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则关于x 的不等式ax －2b －x ＋5>0的解集是( )A ．(1，5)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：选A.不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞⇒a >0，且a －2b ＝0，则不等式ax －2b －x ＋5>0等价于x －1－x ＋5>0⇔(x －1)(x －5)<0⇔1<x <5，故选A. 3．(2017·广西南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：选C.(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立．∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为．解析：设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ， x ＞0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x 得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x 得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为．解析：(1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＜c .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.答案：96．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0，1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第6章不等式、推理与证明6-1含答案

（时间:40分钟）1．已知a,b∈R，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当b≥0时，a2＋b≥0，反之不一定成立，因此“b≥0”是“a2＋b≥0"的充分不必要条件．2．如果a，b，c满足c〈b<a，且ac〈0，那么下列选项中不一定成立的是( )A．ab〉ac B．bc〉acC．cb2〈ab2D．ac（a－c)<0答案C解析因为c<b<a，且ac〈0，所以a>0，c<0。

所以ab－ac＝a （b－c）>0，bc－ac＝(b－a)c〉0，ac（a－c）<0，所以A，B，D均正确．因为b可能等于0，也可能不等于0，所以cb2<ab2不一定成立．3．设a〉b〉0,下列各数小于1的是( ）A．2a－b B。

错误!错误!C.错误!a－b D。

错误!a－b答案D解析解法一：(特殊值法）取a＝2,b＝1,代入验证．解法二：y＝a x(a〉0且a≠1）．当a〉1，x>0时，y>1;当0〈a<1,x〉0时，0〈y<1.∵a〉b>0，∴a－b〉0，错误!>1,0<错误!〈1。

由指数函数性质知，D成立．4．设a＝log错误!3，b＝错误!0.2，c＝错误!错误!，则（）A．a<b<c B．c〈b〈a C．c〈a〈b D．b<a<c答案A解析因为a＝log错误!3〈log错误!2＝－1，0<b＝错误!0。

2<1,c＝错误!>1，所以a〈b〈c.5．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是（)A．a〉b2 B.错误!〉错误!C。

错误!〈错误!D．a2>2b答案A解析对于A，∵－1<b<1，∴0≤b2〈1，又∵a>1，∴a〉b2，故A正确；对于B，若a＝2，b＝错误!，此时满足a〉1〉b〉－1，但错误!〈错误!,故B错误；对于C,若a＝2，b＝－错误!，此时满足a〉1〉b〉－1，但错误!〉错误!,故C错误；对于D，若a＝错误!，b＝错误!，此时满足a〉1>b>－1,但a2〈2b,故D错误．6．已知－错误!〈α〈β<π，则错误!的取值范围是________．答案错误!解析由－错误!〈α〈β<π，得－错误!〈α〈π,－π〈－β<错误!，∴－错误!〈α－β〈错误!,即－错误!<错误!<错误!.又∵α－β<0，∴－错误!<错误!〈0，故错误!的取值范围是错误!.7．已知存在实数a满足ab2〉a>ab，则实数b的取值范围是________．答案(－∞,－1）解析∵ab2〉a>ab，∴a≠0，当a>0时,有b2〉1>b,即｛b2〉1，，b〈1，解得b〈－1；当a<0时，有b2〈1<b，即错误!无解．综上可得b<－1。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考达标检测（六十）不等式证明
1．设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥
1003.
证明：⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ＋1c 2
＝13(12＋12＋12)[⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2]
≥13[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ]
2 ＝13[1＋（1a ＋1b ＋1c ）] 2＝13[1＋(a ＋b ＋c )（1a ＋1b ＋1c ）]
2 ≥13×(1＋9)2＝1003. 即原不等式成立．
2．(2017·大连双基测试)已知x ，y 是两个不相等的正实数，求证：( x 2
y ＋x ＋y 2
)( xy 2
＋y ＋x 2
)>9x 2y 2
.
证明：因为x ，y 是正实数，
所以x 2y ＋x ＋y 2≥33x 2y ·x ·y 2
＝3xy ，
当且仅当x 2
y ＝x ＝y 2
，即x ＝y ＝1时，等号成立；同理：xy 2＋y ＋x 2≥33xy 2·y ·x 2
＝3xy ，当且仅当xy 2
＝y ＝x 2
，即x ＝y ＝1时，等号成立．所以(x 2
y ＋x ＋y 2
)(xy 2
＋y ＋x 2
)≥9x 2y 2
，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．因为x ≠y ，
所以( x 2
y ＋x ＋y 2
)( xy 2
＋y ＋x 2
)>9x 2y 2
. 3．已知x ，y ∈R ，且| x |<1，| y |<1. 求证：
11－x 2＋11－y 2≥
2
1－xy
. 证明：法一：(分析法)∵| x |<1，| y |<1， ∴11－x 2>0，11－y 2>0， ∴
11－x 2＋1
1－y
2≥2－x
2
－y
2
.
故要证明结论成立，
只要证明2－x
2
－y 2
≥2
1－xy 成立．即证1－xy ≥
－x
2
－y
2
成立即可．
∵(y －x )2
≥0，有－2xy ≥－x 2
－y 2
， ∴(1－xy )2
≥(1－x 2
)(1－y 2
)， ∴1－xy ≥
－x
2
－y
2
>0.
∴不等式成立．
法二：(综合法)∵2
11－x 2＋11－y
2
≤1－x 2
＋1－y
2
2
＝
2－x 2
＋y 2
2≤
2－2|xy |
2
＝1－|xy |， ∴
11－x 2＋11－y 2≥
21－|xy |≥2
1－xy
， ∴原不等式成立．
4．设函数f (x )＝| x －4 |＋| x －3 |，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；
(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R)时，求a 2
＋b 2
＋c 2
的最小值．解：(1)法一：f (x )＝| x －4 |＋| x －3 |≥| (x －4)－(x －3) |＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1. 法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，
7－2x ，x <3.
当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.
(2)( a 2
＋b 2
＋c 2
)( 12
＋22
＋32
)≥( a ＋2b ＋3c )2
＝1，故a 2
＋b 2
＋c 2
≥
1
14
，当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝3
14时取等号．
故a 2＋b 2＋c 2
的最小值为114
.
5．(2017·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式| x ＋1 |－| 2－x |≤a ≤ | x ＋1 |＋| 2－x |都成立．
(1)求a 的值；
(2)设m ＞n ＞0，求证：2m ＋
1
m 2－2mn ＋n 2
≥2n ＋a .
解：(1)设f (x )＝| x ＋1 |－| 2－x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，
3，x ≥2，
∴f (x )的最大值为3.
∵对任意实数x ，| x ＋1 |－| 2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.
设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，
2x －1，x ≥2，
则h (x )的最小值为3.
∵对任意实数x ，| x ＋1 |＋| 2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3. ∴a ＝3.
(2)证明：由(1)知a ＝3. ∵2m ＋
1
m 2
－2mn ＋n 2
－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋
1m －n
2
，且m ＞n ＞0，
∴(m －n )＋(m －n )＋
1m －n
2
≥33m －n m －n
1m －n
2
＝3.
∴2m ＋
1
m 2
－2mn ＋n 2
≥2n ＋a .
6．(2017·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝| x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－| x －1 |；
(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋1
2n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.
解：(1)当a ＝2时，不等式为| x －2 |＋| x －1 |≥4， ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥7
2；
②当1＜x ＜2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；
③当x ≤1时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－1
2.
综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. (2)证明：∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，
解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
a －1＝0，a ＋1＝2，
解得a ＝1，
所以1m ＋1
2n
＝1(m >0，n >0)，
所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2n
m
≥2＋2
m 2n ·2n
m
＝4，当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号．
7．(2017·合肥模拟)已知a ＞0，b ＞0，记A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b . (1)求2A －B 的最大值；
(2)若ab ＝4，是否存在a ，b ，使得A ＋B ＝6？并说明理由．解：(1)2A －B ＝2a －a ＋2b －b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －
222－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b －222
＋1≤1，当且仅当a ＝b ＝1
2时等号成立，
即2A －B 的最大值为1.
(2)A ＋B ＝a ＋b ＋a ＋b ≥2ab ＋2ab ，因为ab ＝4，
所以A ＋B ≥4＋22＞6，
所以不存在这样的a ，b ，使得A ＋B ＝6. 8．(2016·西安质检)已知函数f (x )＝| x －1 |. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：
f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝| 2x －1 |＋| x ＋3 |
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－3x －2，x <－3，
－x ＋4，－3≤x <12，
3x ＋2，x ≥1
2
，
当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；
当－3≤x <1
2时，－x ＋4≥8无解；
当x ≥1
2
时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.
所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明：
f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )>|a | f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ，
即| ab －1 |>| a －b |. 因为| a |<1，| b |<1，
所以| ab －1 |2
－| a －b |2
＝( a 2b 2
－2ab ＋1 )－( a 2
－2ab ＋b 2
)＝( a 2
－1 )( b 2
－1 )> 0，
所以| ab －1 |>| a －b |. 故所证不等式成立．。