2017年春季学期苏教版高中数学选修2-3学案：2.5 离散型随机变量的均值与方差1
苏教版数学高二学案 2.5.1 离散型随机变量的均值
2．5.1离散型随机变量的均值[学习目标] 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.掌握二项分布与超几何分布的均值公式.3.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的概率分布表为X x1x2…x nP p1p2…p n则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．思考已知随机变量ξ的概率分布为ξ01234P0.10.20.3x0.1则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________.答x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.知识点二离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X ＝x i)＝P(Y＝ax i＋b)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.知识点三两点分布，二项分布与超几何分布的均值1．如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p(p为成功概率)．2．如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 3．当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nMN.题型一 利用定义求离散型随机变量的均值例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望． 解 取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135，故X 的概率分布如下：X 5 6 7 8 P43518351235135∴E (X )＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．反思与感悟 求随机变量的均值关键是写出概率分布，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P (ξ＝k )；(3)写出概率分布；(4)利用E (ξ)的计算公式计算E (ξ)．跟踪训练1 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.题型二 二项分布及超几何分布的均值例2 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设每局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的概率分布及数学期望． 解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827， P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3. 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19. ∴X 的概率分布为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.反思与感悟 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键． 二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ④随机变量ξ是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．跟踪训练2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24(23)2(13)2＝827.(2)方法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， 依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4(23)k (13)4－k(k ＝0,1,2,3,4)． ∴ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×18＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.方法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B (4，23)，∴E (ξ)＝4×23＝83.题型三 离散型随机变量均值的应用例3 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布和数学期望．解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35， P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的概率分布为数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.反思与感悟 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布，最后利用公式求出相应概率．跟踪训练3 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的概率分布及数学期望E (η)．解 (1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A 的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A ，则 P (A )＝0.63＝0.216， ∴P (A )＝1－P (A )＝0.784.(2)由题意可知η可以取200,250,300，概率分布如下η 200 250 300 P0.40.40.2∴E (η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的数学期望为________． 答案 3.5解析 抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 5 6 P161616161616所以，E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________. 答案 32解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P ＝1－12×12＝34，∵2次独立试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫2，34，则E (X )＝2×34＝32.. 3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k(k ＝0,1,2，…，300)，则E (X )＝________. 答案 100解析 由P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k ， 可知X ～B (300，13)，∴E (X )＝300×13＝100.4．A.B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1.A 2.A 3，B 队队员是B 1.B 2.B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y . (1)求X ，Y 的概率分布；(2)求E (X )，E (Y )． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P (X ＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875；P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325.X 的概率分布为X 0 1 2 3 P325252875875Y 的概率分布为Y 3 2 1 0 P325252875875(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.1．求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X 的取值；(2)写出概率分布，并检查概率分布的正确与否； (3)根据公式求出均值．2．若X ，Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布、二项分布或超几何分布，可直接利用公式计算均值．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.5.1 离散型随机变量的均值》9
四．课堂小结：
1.如果随机变量X服从两点分布，那么；
2.如果随机变量X服从二项分布，即X～B〔,〕，那么；
3.如果随机变量X服从超几何分布，即X～H〔,,〕，那么；
回忆离散型随机变量的分布列及分布列中的概率的性质
由具体问题入手，引发学生对离散型随机变量的初步认知和感悟
二．建构数学：
1离散型随机变量取值的平均值即数学期望
公式：
2拓展：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，那么Y也是随机变量．
〔1〕Y的分布列是什么？
〔2〕EY=？
三．数学应用：
例1篮球运发动在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．某运发动罚球命中的概率为，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
分析：掌握0-1分布的数学期望计算方法．
难点
重点：离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念和意义．
难点：离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念的引出及应用．
教法
学法
先让学生回忆求平均数的相关方法知识，由一般算法到加权平均的引出、比照，然后引出数学期望的概念，通过一些例题来讲解0-1分布、超几何分布、二项分布的数学期望计算方法．
教学过程
教师活动
学生活动
学会运用均值的定义解决问题
学生发现用定义解决问题时计算较复杂，产生要研究一般情况下的结论的动机
学生总结
作业
教后
札记
例2从批量较大的成品中随机取出3件产品进行质量检查，假设这批产品的合格率为，随机变量X表示这3件产品中的合格品数，求随机变量X的数学期望．
分析：二项分布的数学期望计算方法．
例3高三〔1〕班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，2021球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．
数学高二-选修2-3学案 第二章5 离散型随机变量的均值与方差
§5 离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值(数学期望)设随机变量X 的可能取值为a 1，a 2，…，a r ，取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…，r )，即X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…，r )．X 的均值为：a 1P (X ＝a 1)＋a 2P (X ＝a 2)＋…＋a r P (X ＝a r )＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r ，即随机变量X 的取值a i 乘上取值为a i 的概率P (X ＝a i )再求和．X 的均值也称作X 的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为EX ，即EX ＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r .均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”．两点分布的均值为p ，二项分布的均值为p (1－p )． 预习交流1离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？ 提示：不一定，如，EX ＝0.5，在试验中不能出现，均值刻画的是X 取值的“中心位置”． 2．离散型随机变量的方差一般地，设X 是一个离散型随机变量，我们用E (X －EX )2来衡量X 与EX 的平均偏离程度，E(X －EX )2是(X －EX )2的期望，并称之为随机变量X 的方差，记为DX .方差越小，则随机变量的取值就越集中在均值周围，反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散，两点分布的方差为p (1－p )，二项分布的方差为npq .预习交流2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差．一、离散型随机变量的均值(数学期望)某运动员投篮命中率为0.6.(1)求一次投篮时命中次数X 的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的期望．思路分析：(1)X 只能取0,1这两个值，列出分布列再求期望；(2)Y ～B (5,0.6)利用公式进行求解．解：(1)投篮一次，命中次数X 的分布列为，则EX ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则EY ＝np ＝5×0.6＝3.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的配方方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．(1)写出X 的分布列； (2)求X 的数学期望EX .解：(1)X 的分布列为：(2)由EX 的定义得：EX ＝(1＋2＋8＋9)×115＋(3＋4＋6＋7)×215＋5×15＝5.求离散型随机变量的均值(数学期望)一般分为两个步骤：(1)列出离散型随机变量的分布列； (2)利用公式求出均值(数学期望)． 二、离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下：试对这两名工人的技术水平进行比较．思路分析：对这两名工人的技术水平进行比较：一是比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是看次品数的波动情况，即方差的大小．解：工人甲生产出次品数X 的期望和方差分别为：EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX ＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81；工人乙生产出次品数Y 的期望和方差分别为：EY ＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，DY ＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.易得，EX ＝EY ，所以两人生产出次品数的均值相同，技术水平相当，但DX ＞DY ，可见乙的技术比较稳定．已知X(1)求DX ；(2)设Y ＝2X －EX ，求DY .解：(1)∵EX ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴DX ＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.(2)∵Y ＝2X －EX ，∴Y 的分布列为：∴EY ＝－16×13＋4×25＋24×115＋84×215＋104×115＝16，∴DY ＝(－16－16)2×13＋(4－16)2×25＋(24－16)2×115＋(84－16)2×215＋(104－16)2×115＝1 536.已知分布列求离散型随机变量的方差时，首先计算数学期望，然后代入方差公式DX ＝E (X －EX )2求方差，在实际问题中方差反映了数据的稳定与波动情况，在均值相等或相差不大的情况下，方差越小，说明数据越稳定，波动情况越小．1．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14(k ＝1,2,3,4)，则EX ＝( )．A ．52 B ．3.5 C ．0.25 D ．2答案：A解析：EX ＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.2．一批产品中次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则DX ＝( )．A ．43B ．83C ．89D ．19答案：C解析：∵X ～B (4，13)，∴DX ＝np (1－p )＝4×13×23＝89.3．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( )． A ．n ＝4，p ＝0.4 B ．n ＝8，p ＝0.2 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 答案：B解析：∵X ～B (n ，p )，∴EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6，np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2. 4．若随机变量X若EX ＝1.1，则DX ＝______. 答案：0.49解析：由15＋p ＋310＝1，得p ＝12.∴EX ＝0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，解得x ＝2.∴DX ＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.5．海关大楼顶端镶有A ，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列为：根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 解：∵EX 1＝0，EX 2＝0，∴EX 1＝EX 2.又∵DX 1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋02×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，DX 2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋02×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2， ∴DX 1＜DX 2.∴大钟A 的质量较好．。
苏教版高中数学选修2-3§2.5 随机变量的均值和方差.docx
§2.5 随机变量的均值和方差2．5.1 离散型随机变量的均值课时目标1.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值(数学期望)的概念和意义.2.能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．1．离散型随机变量X 的均值或数学期望若离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝x i )＝p i ，则称________________________为离散型随机变量X 的均值(或数学期望)，记为E (X )或μ.2．特殊分布的数学期望(1)若随机变量X ～0－1分布，则E (X )＝________；(2)若随机变量X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nM N；(3)若随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝________.一、填空题1．设随机变量ξ的分布列为P (X ＝k )＝14，k ＝1,2,3,4，则E (X )的值为________． 2．已知随机变量X，E (X )＝7.5，则a ＝3．已知随机变量ξ则η＝2ξ＋3，则E(η)＝________.4．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是________．5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ的数学期望为______．6．随机变量ξ则随机变量ξ7已知ξ的期望E(ξ)＝8．某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海后遇到好天气，则可得收益60 000元，若出海后天气变坏，则将损失80 000元，若不出海，则无论天气好坏都将损失10 000元，据气象部门的预测，下月好天气的概率为60%，坏天气的概率为40%，该公司应做出决策________(填“出海”或“不出海”)．二、解答题9．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下表：(1)求a的值和X(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．10．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机地取出4只球．设取到1只红球得2分，取到1只黑球得1分，试求得分X的分布列和均值．能力提升11．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)．1．求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解．2．三种特殊分布的数学期望可直接结合公式计算．2．5 随机变量的均值和方差2．5.1 离散型随机变量的均值答案知识梳理1．x1p1＋x2p2＋…＋x n p n2．(1)p(3)np作业设计1．2.5解析 E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝14×10＝2.5. 2．7解析 ∵E (X )＝4×0.3＋0.1×a ＋9b ＋2＝7.5，0．3＋0.1＋b ＋0.2＝1，∴a ＝7，b ＝0.4.3.215解析 E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35， 又∵η＝2ξ＋3，∴E (η)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215. 4.23解析 由题意知ξ～B (2，13)，∴E (ξ)＝2×13＝23. 5．1解析 方法一 ξ可能取的值为0,1,2，P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2，所以ξ的概率分布为故E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×5＝1. 方法二 ξ～H (3,2,6)，E (ξ)＝3×26＝1. 6．8.2解析 E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.7．0.4解析 ∵E (ξ)＝7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝7×(0.6－y )＋10y ＋3.5＝7.7＋3y ，∴7.7＋3y ＝8.9，∴y ＝0.4.8．出海解析 设ξ所以获利期望E (ξ)＝，所以应出海．9．解 (1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，解得a ＝0.2.∴X 的概率分布表为∴E (X )＝0×0.1＋1×(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．则由事件的独立性得P (A 1)＝C 12P (X ＝2)P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝0.32＝0.09.∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.10．解 直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分．故P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435； P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835； P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235； P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135. 所以均值E (X )＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447. 11．200解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1 000，0.1)，∴E (ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (ξ)＝200.12．解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16， P (ξ＝1)＝26＝13， P (ξ＝4)＝26＝13， P (ξ＝9)＝16. 故ξ的概率分布表为所以E (ξ)＝0×16＋1×3＋4×3＋9×6＝6.。
数学知识点苏教版高中数学(选修2-3)2.5.1《离散型随机变量的均值》word学案2篇-总结
2.5.1离散型随机变量的均值 教学案班级 学号 姓名学习目标1. 通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2. 能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．重点难点重点：能计算简单离散型随机变量均值难点：离散型随机变量均值（数学期望）的概念课堂学习问题情境（一）：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X 表示，的概率分布如下．学生活动（一）：问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？意义建构（一）：我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．数学理论（一）：若离散型随机的分布列或其中，12i n ，则称1122n n 为随机变量的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学运用（一）：例1.高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．例2. 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．例3.某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为1X ． （1）求该运动员两次都命中7环的概率； （2）求1X 的分布列； （3）求1X 的数学期望()1E X ．随堂反馈1. 设随机变量X 的概率分布如下表，试求()EX ．2. 假定1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，其中不合格品件数为X ，求X 的数学期望．3. 某商家有一台电话交换机，其中有5个分机专供与顾客通话．设每个分机在1h 内平均占线20min ，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线的分机数目X 的数学期望．课后复习1. 若随机变量X 的分布列为则X 的期望值为 ．2. 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8．则他独立射击8次中靶次数X 的期望值为 ．3. 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个．则其中所含白球个数的期望是 。
苏教版高中数学选修2-3课件 2.5.1 离散型随机变量的均值课件1
(5分)
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)． (7分)
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为 E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)×0.01＝4.76－ x(0≤x≤0.29)，(10分) 依题意，知E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.(14分)
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数”，则 A 表 示“甲、乙的序号均为偶数”，则 P(A)＝1－P( A )＝1－CC2326＝1－15＝45. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4且， P(X＝0)＝C562＝13，P(X＝1)＝C462＝145， P(X＝2)＝C362＝15，P(X＝3)＝C262＝125， P(X＝4)＝C162＝115. 所以X的分布列为
课前探究学习
课堂讲练互动
2．两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p.
3．二项分布的均值 若X～B(n，p)，则E(X)＝ np .
4．超几何分布的均值 若X～H(n，M，N)，则E(X)＝nNM.
课前探究学习
课堂讲练互动
想一想 如何求随机变量的均值？ 提示 写出随机变量X的分布列，由分布列求E(X)，如果随机变量 服从两点分布，二项分布或超几何分布，可根据均值公式求解．来自课前探究学习课堂讲练互动
误区警示 随机变量均值的性质应用不当出错 【示例】 已知随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
高中数学苏教版选修2-3 精品导学案：2.5 离散型随机变量的均值与方差3
§2.5.1离散型随机变量的均值学习目标1．了解离散型随机变量的期望的意义，2．会根据离散型随机变量的分布列求出期望．3．能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题．学习过程一、自学导航1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．如何刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下． 1Xk p 0.70.1 0.1 0.1 2Xk p0.5 0.3 0.22．问题： 如何比较甲、乙两个工人的技术？二、探究新知1．数学期望定义2．性质三、例题精讲例1 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．例2 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为E X．0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的数学期望()例3 设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．四、课堂精练1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望．2．据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1 运走设备，此时需花费3800元；方案2 建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；方案3 不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．试选择适当的标准，对种方案进行比较．五、回顾小结六、课后作业课本671,2,3,4P，71P第1题教学反思在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
高中数学苏教版选修2-3学案：2.5 离散型随机变量的均值与方差1
§2.5.2离散型随机变量的均值和方差（二）学习目标1．进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；2．会求均值与方差，并能解决有关应用题．学习过程一、自学导航复习回顾：1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．2．设随机变量~(,)X B n p ，且() 1.6,() 1.28E X V X ==，则n = ，p = . 二、例题精讲例1 有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ．（1）求随机变量X 的概率分布；（2）求X 的数学期望和方差．例2 有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为,X Y （单位：），其分布如下：比较两种品牌手表的质量．例3 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．⑴求的分布列及数学期望；⑵记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.例4 有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．三、课堂精练71P 5，6，7 80P 10四、回顾小结五、课后作业 《创新活页》对应练习。
高中数学选修2-3精品教案2：2.3.1 离散型随机变量的均值教学设计
2.3.1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （aξ+b ）=aEξ+b ”，以及“若ξB （n ,p ），则Eξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念. 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望. 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习导引：1.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+…=1．3.求离散型随机变量的分布列的步骤： ①离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…， ②求ξ取每一个值x i (i ＝1，2，…)的概率P (ξ＝x i )＝p i ， ③列出分布列表 二、互动探索根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下()i i P x p ξ==在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望. 根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有次得4环； 次得5环；…………次得10环．故在n 次射击的总环数大约为，从而，预计n 次射击的平均环数约为．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:…．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称…… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又n n P 02.0)4(=⨯=ξn n P 04.0)5(=⨯=ξn n P 22.0)10(=⨯=ξ+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯)(i P =ξ+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP )10(10=⨯+ξP =ξE +11p x +22p x ++n n p x =1p =2p n p ==1p =2p np n 1===ξE +1(x +2x n x n 1)⨯+称为平均数、均值.4.均值或期望的一个性质:若(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是…… ＝……)……) ＝，由此，我们得到了期望的一个性质: 5.若ξB （n ,p ），则Eξ=np三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望解：因为，所以例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B （20,0.9）,由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5,所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：例3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望b a +=ξη=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax +++n n p b ax )(+11(p x a +22p x ++n n p x ++1(p b +2p ++n p b aE +ξb aE b a E +=+ξξ)(ξ3.0)0(,7.0)1(====ξξP P 7.03.007.01=⨯+⨯=ξE ηξ,ξ)25.0,20(~B η525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E ξη2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E ξ解：∵，=3.5四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.752. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求(1)他罚球1次的得分ξ的数学期望； (2)他罚球2次的得分η的数学期望； (3)他罚球3次的得分ξ的数学期望．3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望． 五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ,公式E （aξ+b ）= aEξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数 ①求的概率分布列 ②求的数学期望3.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.26,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE ξE ξ=ξξξ七、板书设计（略）八、教学反思：。
苏教版高中数学选修2-3 2.5.1 离散型随机变量的均值 学案
_2.5随机变量的均值和方差2．5.1 离散型随机变量的均值[对应学生用书P38]设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 的取值是多少？ 提示：x ＝5,6,7.问题2：x 取上述值时，对应的概率分别是多少？ 提示：412，312，512.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？ 提示：5×412＋6×312＋7×512.1．离散型随机变量的均值(或数学期望) (1)定义：若离散型随机变量X 的概率分布为则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为离散型随机变量X 的均值或数学期望，也称为X 的概率分布的均值，记为E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i ＝0,1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度． 2．两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nMN .(2)二项分布：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．[对应学生用书P38][例1] 2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率； (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设X 为取出的4个球中红球的个数，求X 的分布列和数学期望．[思路点拨] 首先确定X 的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及数学期望．[精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A ，B 相互独立，且P (A )＝C 23C 24＝12，P (B )＝C 24C 26＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为 P (AB )＝P (A )P (B )＝12×25＝15.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C ，D 互斥，且P (C )＝C 23C 24·C 12·C 14C 26＝415，P (D )＝C 13C 24·C 24C 26＝15.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝415＋15＝715.(3)X 可能的取值为0,1,2,3.由(1)，(2)得P (X ＝0)＝15，P (X ＝1)＝715，P (X ＝3)＝C 13C 24·1C 26＝130.从而P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝310.所以X 的分布列为故X 的数学期望E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求出均值．1．(广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝________. 解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：322．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X, 求E (X )．解：记“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B ，X 可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )·P (B ) ＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－45＝115， P (X ＝1)＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝⎛⎭⎫1－45＋⎝⎛⎭⎫1－23×45＝25， P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝23×45＝815.所以，X 的分布列如下表：故E (X )＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y .(1)求X 的概率分布； (2)求X 和Y 的数学期望．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布． [精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫123＝18； P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫123＝38； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫123＝38； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫123＝18. 所以X 的概率分布如下表：(2)由(1)知E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5，或由题意X ～B ⎝⎛⎭⎫3，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， 所以E (X )＝3×12＝1.5，E (Y )＝3×23＝2.[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出分布列，求出均值．3．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮一次，命中次数X 的概率分布如下表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)． 则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．(1)求至少摸出一个白球的概率；(2)用X 表示摸出的黑球数，写出X 的概率分布并求X 的数学期望．解：记“至少摸出一个白球”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“摸出的3个球中没有白球”，则P (A )＝C 34C 36＝15，P (A )＝1－P (A )＝45，即至少摸出一个白球的概率等于45.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13·C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23·C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120.X 的概率分布为所以E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32，即X 的数学期望为32.[例3] (判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负． (2)X 的取值为0,1,2.[精解详析] (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58，E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及数学期望．5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，公司应要求投保人交多少保险金？解：设保险公司要求投保人交x 元保险金，以保险公司的收益额X 作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：E (X )＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ，由题意可知x －ap ＝0.1a ，解得x ＝(0.1＋p )a .即投保人交(0.1＋p )a 元保险金时，可使保险公司收益的期望值为0.1a .6．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D .由题意知，P (B )＝P (C )＝34，P (D )＝23，所以P (A )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＋P (B －CD ) ＝P (B )P (C )P (D －)＋P (B )P (C －)P (D )＋P (B －)P (C )P (D ) ＝34×34×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－34×23＋⎝⎛⎭⎫1－34×34×23＝716. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23＝148， P (X ＝1)＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＝34×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×34×⎝⎛⎭⎫1－23＝18. P (X ＝2)＝P (BC D －)＋P (B －C －D )＝34×34×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－34×23＝1148， P (X ＝3)＝P (B C －D )＋P (B －CD )＝34×⎝⎛⎭⎫1－34×23＋⎝⎛⎭⎫1－34×34×23＝14， P (X ＝4)＝P (BCD )＝34×34×23＝38.故X 的分布列是所以E (X )＝0×148＋1×18＋2×1148＋3×14＋4×38＝176.1．求随机变量X 的数学期望，关键是正确求出X 的分布列，在求X 取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX＋b的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．。
高中数学苏教版选修2-3学案：2.5 离散型随机变量的均值与方差2
2。
5.2离散型随机变量的方差和标准差（一)学习目标1．理解随机变量的方差和标准差的含义;2．会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题． 学习过程一、自学导航1．复习：⑴离散型随机变量的数学期望X1x 2x … n xP1p 2p … n p ()E X ，数学期望是反映离散型随机变量的 ．⑵特殊的分布的数学期望若X ～0—1分布 则E （X ) ＝ ；若X ～B (n ，p ） 则E (X ）＝ ； 若X ～H (n ，M ,N ) 则E （X )＝ ．2．思考：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．如何比较甲、乙两个工人的技术？二、探究新知1．离散型随机变量X的方差及表示2．方差的意义：3．方差公式4．随机变量X的标准差思考:随机变量的方差和样本方差有何区别和联系?三、例题精讲例1 若随机变量X的分布如表所示：求方差()V X．例2 求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H的方差和标准差．例3 求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)B的方差和标准差．例4 有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：试分析两名学生的答题成绩水平．四、课堂精练⑴课本70P1,2⑵设X ～B ( n ， p ），如果E （X ）= 12,V （X )= 4，求n , p⑶设X 是一个离散型随机变量,其分布列如下：求q 值,并求E （X ），V （X ）.⑷甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量大致相等，而两个野生动物保护区每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布如表，试评定这两个保护区的管理水平。
(甲） （乙)五、回顾小结六、拓展延伸 书本P71 探究拓展题七、课后作业 71P 2,3,4。
苏教版数学高二- 选修2-3教案 2.5.1《离散型随机变量的均值》
2.5.1 离散型随机变量的均值教案一、教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．二、教学重点，难点有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．三、教学过程一．复习巩固1、什么叫n次独立重复试验？一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p＞0。
称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。
1).每次试验是在同样的条件下进行的；2).各次试验中的事件是相互独立的；3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生；4).每次试验,某事件发生的概率是相同的。
2、什么叫二项分布？P(X＝k)＝C knk n kp q－，其中0＜p＜1,p+q=1,k=0,1,2,...,n则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n，p)3、离散型随机变量的概率分布一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，……，x i，…，ξ取每一个值x i(i ＝1，2，…)的概率P(ξ＝x i)＝p i，则称下表为随机变量ξ的概率分布，由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋ (1)二．问题情境1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．2．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？三．学生活动1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．四．建构数学1．定义在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．类似地，若离散型随机变量X 的分布列或概率分布如下：其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．2．性质（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）五．数学运用1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．解：由2．2节例1可知，随机变量X 的概率分布如表所示：从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n rnM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ，1010()(1),0,1,2, (10)k k k P X k p C p p k -===-=随机变量X 的概率分布如表所示：故10()0.5kk E X kp===∑即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．说明：例2中随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当~(,)X B n p 时，()E X np =．例3．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望． 分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．4400044411112(4)()()()()222216P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=；（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以33431141441111114(5)()()()()22222216P X C C --==+=（3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216P X C C --==+=，33633363661111115(7)()()()()22222216P X C C --==+=比赛场数的分布列为故比赛的期望为()4567 5.812516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．2．练习：1、已知随机变量ξ的分布列为求E(ξ)2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的数学期望。
苏教版数学高二- 选修2-3试题 2.5.1离散型随机变量的均值
2.5.1 离散型随机变量的均值一、填空题1．随机变量X 的概率分布如下：则E(X)＝【解析】 p ＝1－(0.2＋0.3＋0.3)＝0.2， ∴E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.3＝2.6. 【答案】 2.62．某人每次射击命中目标的概率均为0.5，现连续射击3次，则击中目标次数X 的数学期望为________．【解析】 ∵X ～B(3，0.5)，∴E(X)＝3×0.5＝1.5. 【答案】 1.53．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分X 的均值是________．【解析】 E(X)＝6×0.7＝4.2. 【答案】 4.24．已知E(Y)＝6，Y ＝4X －2，则E(X)＝________． 【解析】 ∵Y ＝4X －2，E(Y)＝4E(X)－2， ∴6＝4E(X)－2，∴E(X)＝2. 【答案】 25．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是________．【解析】 设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12，9，6.P(X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P(X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P(X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E(X)＝7.8. 【答案】 7.86．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．【解析】 设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a ，P(ξ＝2)＝b ，则2a ＋b ＝1，E(ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b)＝2.【答案】 27．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：【解析】 设甲、乙两种商品经营获利分别为X ，Y ，则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，E(Y)＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1，从而E(X)>E(Y)，即甲的平均获利更多．【答案】 甲8．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E(X)＝________．【解析】 ∵P(X ＝0)＝112＝(1－p)2×13，∴p ＝12，易知随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，∴P(X ＝0)＝112，P(X ＝1)＝23×(12)2＋2×13×(12)2＝13，P(X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P(X ＝3)＝23×(12)2＝16，∴E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.【答案】 53二、解答题9．某班从4名男同学和2名女同学中任选3人参加全校举行的“中国龙中国梦”教育演讲赛．如果设随机变量ξ表示所选3人中女同学的人数．(1)若ξ≤1，求共有不同选法的种数；(2)求ξ的概率分布和数学期望；(3)求“ξ≥1”的概率．【解】 (1)C 12C 24＋C 34＝16，所以共有不同选法的种数为16.(2)易知ξ可能取的值为0，1，2.P(ξ＝k)＝C k 2·C 3－k 4C 36，k ＝0，1，2.所以，ξ的概率分布为：∴E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.另解：ξ～H(3，2，6)，∴E(ξ)＝3×26＝1.(3)P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝35＋15＝45.10．口袋中有n(n ∈N *)个白球和3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，求：(1)n 的值；(2)X 的概率分布与数学期望．【解】 (1)由题知P(X ＝2)＝A 13×A 1nA 2n ＋3＝3n （n ＋3）（n ＋2）＝730，即7n 2－55n ＋42＝0， 即(7n －6)(n －7)＝0. 因为n ∈N *，所以n ＝7.(2)由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，所以P(X ＝1)＝A 17A 110＝710，P(X ＝2)＝730，P(X ＝3)＝A 23A 17A 310＝7120，P(X ＝4)＝1－710－730－7120＝1120， 所以，X 的概率分布表为：所以E(X)＝1×710＋2×730＋3×7120＋4×1120＝118.答：X 的数学期望是118.11．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图2－5－2所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．图2－5－2(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)．求T 的数学期望．【解】 (1)当X ∈[100，130)时， T ＝500X －300(130－X)＝800X －39 000. 当X ∈时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以ET ＝。
高中数学 2.5 随机变量的均值和方差(第2课时)(一)教案
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(一)课时目标1.理解随机变量的方差和标准差的概念.2.会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．1．离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝x i )＝p i (i ＝1,2，…，n )，则________________________(其中p i ≥0，i ＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1)称为离散型随机变量X 的方差，记为____________．2．标准差随机变量X 的方差V (X )的____________称为X 的标准差，即σ＝V (X ).3．随机变量的方差和标准差都反映了________________________________________．一、填空题1．若抛掷一枚受损硬币，正面向上的概率为23，反面向上的概率为13，随机变量X ＝0，X ＝1分别表示反面向上，正面向上，则V (X )＝________.2．若随机变量X 的概率分布如下表所示，则X 的标准差为________．X1 2 3 P 13 13 133.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，概率分布如下表，则________(填“甲”或“乙”)的射击水平比较稳定．环数 10 9 8 甲的概率 0.2 0.6 0.2 乙的概率 0.4 0.2 0.44.某运动员投篮命中率p ＝0.6，则投篮一次命中次数X 的均值为________，方差为________．5．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回．若以ξ表示取出次品的个数，ξ的期望值E (ξ)和方差V (ξ)分别为______，________.6．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数ξ 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04B 机床次品数ξ 0 12 3 概率P 0.80.060.040.1质量好的机床为________机床．7．假设100个产品中有10个次品，设任取5个产品中次品的个数为X，则X的方差为________．8．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取．设停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤6)＝________，E(X)＝________，V(X)＝________.二、解答题9．有甲、乙两名学生，经统计，他们解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示，试分析两名学生的答题成绩水平．甲分数X甲8090100概率0.20.60.2乙分数X乙8090100概率0.40.20.410．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，求其中含红球个数的标准差．能力提升11．已知袋中有编号1,2,3,4,5的5个小球，从中任取3个小球，以X 表示取出的3个小球中的最小编号，则V (X )＝________.12．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．1．求方差和标准差的关键在于求分布列．只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX ＋b 的方差可用V (aX ＋b )＝a 2V (X )求解．2．利用方差和标准差可以判断一些数据的稳定性．2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差(一)答案知识梳理1．(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n V (X )或σ22．算术平方根3．随机变量的取值偏离于均值的平均程度 作业设计 1.29解析 E (X )＝1×23＋0×13＝23，∴V (X )＝(0－23)2×13＋(1－23)2×23＝427＋227＝627＝29.2.63 3．甲解析 E (X 甲)＝10×0.2＋9×0.6＋8×0.2＝9，∴V (X 甲)＝(10－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(8－9)2×0.2＝0.4. 又E (X 乙)＝10×0.4＋9×0.2＋8×0.4＝9，∴V (X 乙)＝(10－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(8－9)2×0.4＝0.8. 故甲的射击水平比较稳定． 4．0.6 0.24解析 投篮一次时命中次数X X 0 1 P 0.4 0.6则E (X )＝0×0.4＋1×0.6＝∴V (X )＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24. 5.25 52175解 P (ξ＝0)＝C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135，故ξ的概率分布是ξ 0 1 2P 2235 1235 135所以E (ξ)＝0×2235＋1×35＋2×35＝5，V (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－252×2235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－252×1235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－252×135＝52175.6．A解析 E (ξA )＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44， E (ξB )＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1 ＝0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差．V (ξA )＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064，V (ξB )＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.9264.因为V (ξA )<V (ξB )，故A 机床加工质量较好． 7.19448.2328 3528 1 323784解析 X ＝k 表示前k 个为白球，第k ＋1个恰为红球，所以P (X ＝0)＝A 13A 18＝38，P (X ＝k )＝A k 5·A 13A k ＋18(k ＝1,2，…，5)，所以X 的概率分布表为X 0 1 2 3 4 5P 38 1556 1056 656 356 156所以P (X ≤6)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝56＝28，E (X )＝54，E (X 2)＝134，V (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝189112.9．解 根据题设所给的概率分布表数据，可得两人的均值为E (X 甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90；E (X 乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90；方差为V (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40； V (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.由上面数据可知E (X 甲)＝E (X 乙)，V (X 甲)<V (X 乙)，这表明，甲、乙两人所得分数的平均分相等，但两人得分的稳定程度不同，甲同学成绩较稳定，乙同学成绩波动大．10．解 设其中含红球个数为X ，则X 的可能取值为0,1，2，则P (X ＝0)＝C 22C 25＝110；P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝35；P (X ＝2)＝C 23C 25＝310.故X 的数学期望为E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65，X 的方差为V (X )＝(0－65)2×110＋(1－65)2×35＋(2－65)2×310＝925，标准差为σ＝V (X )＝925＝35. 11.920解析 X 的可能取值是1,2,3，则X 的分布列为P (X ＝1)＝C 24C 35＝35，P (X ＝2)＝C 23C 35＝310，P (X ＝3)＝C 22C 35＝110，所以E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32，从而V (X )＝1×35＋4×310＋9×110－94＝920.12．解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2， 则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，P (A ∪B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2)＝P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92.∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92， 则0.4P 2＝0.32，即P 2＝0.8.(2)P (ξ＝0)＝P (A )·P (B )＝0.4×0.2＝0.08，P (ξ＝1)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44. P (ξ＝2)＝P (A )·P (B )＝0.6×0.8＝0.48. ξ的概率分布为：ξ 0 1 2 P 0.08 0.440.48E (ξ)＝0×0.08＋1×＝0.44＋0.96＝1.4，V (ξ)＝(0－1.4)2×0.08＋(1－1.4)2×0.44＋(2－1.4)2×0.48＝0.1568＋0.0704＋0.1728＝0.4.。
苏教版高中数学选修2-32.5.1 离散型随机变量的均值 学案
2．5.1离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值或数学期望设有12个西瓜，其中4个重5 g,3个重6 g,5个重7 g.思考1任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？思考2当X取上述值时，对应的概率分别是多少？思考3如何求每个西瓜的平均重量？梳理离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表(1)数学期望E(X)＝μ＝________________________________________________________________________.(2)性质①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝1.(3)数学期望的含义它反映了离散型随机变量取值的____________．知识点二两点分布、超几何分布、二项分布的均值1．两点分布若X～0－1分布，则E(X)＝________.2．超几何分布若X～H(n，M，N)，则E(X)＝________.3．二项分布若X～B(n，p)，则E(X)＝________.类型一离散型随机变量的均值命题角度1一般离散型随机变量的均值例1某同学参加普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．反思与感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．(2)求出X取每个值的概率P(X＝)．(3)写出X的分布列．(4)利用均值的定义求E(X)．跟踪训练1在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元，20个奖品是25元，5个奖品是100元．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？命题角度2二项分布与两点分布的均值引申探究在重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2.求E(η)．例2某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮，命中次数Y的均值．反思与感悟(1)常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则①两点分布E(X)＝p；②二项分布E(X)＝np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．(2)两点分布与二项分布辨析①相同点 一次试验中要么发生要么不发生． ②不同点a ．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X ＝0,1,2，…，n .b ．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n 次试验．跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的均值．命题角度3 超几何分布的均值例3 一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n －3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是35.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的均值E (ξ)．反思与感悟 (1)超几何分布模型一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品，则P (X ＝ )＝C k M C n －k N －MC nN， ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. (2)超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X 的分布列服从超几何分布，则E (X )＝nMN.跟踪训练3 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X 表示取出次品的个数，求均值E (X )．类型二 均值的应用例4 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的均值．反思与感悟 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．跟踪训练4 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的概率分布和均值．1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为16，12，13.随机变量X 表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X 的均值为________．2．若p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表则E(ξ)的最大值为________．3．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p＝________.4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的概率分布、均值；(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．1．求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值．(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否．(3)根据公式写出均值．2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．答案精析问题导学 知识点一 思考1 X ＝5,6,7.思考2 P (X ＝5)＝412＝13，P (X ＝6)＝312＝14，P (X ＝7)＝512.思考35×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512＝7312.梳理 (1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n (3)平均水平 知识点二 1．p 2.nMN 3.np题型探究例1 解 (1)X 的可能取值为－300， －100,100,300.P (X ＝－300)＝0.23＝0.008，P (X ＝－100)＝C 13×0.8×0.22＝0.096， P (X ＝100)＝C 23×0.82×0.21＝0.384，P (X ＝300)＝0.83＝0.512， 所以X 的概率分布如下表所以E (X )＝(－300)×＝180(分)． (2)这名同学总得分不为负分的概率为P (X ≥0)＝P (X ＝100)＋P (X ＝300) ＝0.384＋0.512＝0.896.跟踪训练1 解 设一张彩票的中奖额为随机变量X ，显然X 的所有可能取值为0,5,25,100.依题意X 的概率分布如下表所以E (X )＝0×391400＋5×150＋25×1500＋100×12 000＝0.2，所以一张彩票的合理价格是0.2元．例2 解 (1)投篮1次，命中次数X 的概率分布如下表则E (X )＝0.6.(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)， E (Y )＝np ＝5×0.6＝3. 引申探究解 E (η)＝E (5Y ＋2)＝5E (Y )＋2 ＝5×3＋2＝17.跟踪训练2 解 设该车主购买乙种保险的概率为p ，由题意知p ×(1－0.5)＝0.3，解得p ＝0.6.(1)设所求概率为P 1，则 P 1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. (2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (1－0.5)×(1－0.6)＝0.2. ∴X ～B (100,0.2)， ∴E (X )＝100×0.2＝20. ∴X 的均值是20.例3 解 ∵p ＝35，∴3n ＝35，∴n ＝5，∴5个球中有2个白球． 方法一 白球的个数ξ可取0,1,2. 则P (ξ＝0)＝C 33C 35＝110，P (ξ＝1)＝C 23C 12C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 13C 22C 35＝310.∴E (ξ)＝110×0＋35×1＋310×2＝65.方法二 取到白球的个数ξ服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝3的超几何分布， 则E (ξ)＝nM N ＝3×25＝65.跟踪训练3 解 方法一P (X ＝0)＝C 313C 315＝2235，P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (X ＝2)＝C 22C 113C 315＝135，则E (X )＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25. 方法二 由题意可知，X 服从N ＝15，M ＝2，n ＝3的超几何分布， ∴E (X )＝Mn N ＝2×315＝25.例4 解 (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则P (X ＝0)＝P (B 1B 2A 3) ＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B 1B 3)＝P (B 1)P (B 3) ＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2) ＝1－18－14＝58，E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.跟踪训练4 解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12 ＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2) ＝15＋12＝710. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453 ＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的概率分布如下表故X 的均值为E (X )＝3×15＝35.当堂训练1．1.18 2.323.0.44．解 (1)ξ的概率分布如下表ξ的均值为E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(2)E (η)＝aE (ξ)＋4＝1，又E (ξ)＝32，则a ×32＋4＝1，∴a ＝－2.。
高二选修2-3同步导学案：2.5.1_离散型随机变量的均值
§5 离散型随机变量的均值与方差第1课时 离散型随机变量的均值1．理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理 离散型随机变量的均值阅读教材P 57～P 59“练习”以上部分，完成下列问题． 1．离散型随机变量的均值(1)设随机变量X 的分布列为P(X ＝a i )＝p i ＝(i ＝1,2，…，r)，则X 的均值为________________． (2)随机变量的均值EX 刻画的是X 取值的“______”． 【答案】 (1)a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r (2)中心位置 2．均值的性质(1)若X 为常数C ，则EX ＝____.(2)若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且EY ＝E(aX ＋b)＝________. (3)常见的离散型随机变量的均值【答案】 (1)C (2)aEX ＋b (3)n Nnp1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X 的数学期望EX 是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平； ③若随机变量X 的数学期望EX ＝2，则E(2X)＝4； ④随机变量X 的均值EX ＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望EX 是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .【答案】 ③2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 的数学期望【解析】 EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】 32[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)求m (2)求EX ；(3)若Y ＝2X －3，求EY.【精彩点拨】 (1)利用分布列的性质求m ； (2)利用离散型随机变量的均值公式求解； (3)利用离散型随机变量均值的性质求解．【自主解答】 (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)EX ＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E(aX ＋b)＝aEX ＋b ，得EY ＝E(2X －3)＝2EX －3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215.法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：所以EY ＝(－7)×4＋(－5)×3＋(－3)×5＋(－1)×6＋1×20＝－15.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求解． 2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX ＋b)＝aEX ＋b ；也可以先列出aX ＋b 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．[再练一题]1．已知随机变量X 的分布列为：且Y ＝aX ＋3，若【解】 EX ＝1×12＋2×13＋3×16＝53，∴EY ＝E(aX ＋3)＝aEX ＋3＝53a ＋3＝－2，∴a ＝－3.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．【精彩点拨】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝5C 26＝13，P(ξ＝1)＝4C 26＝415，P(ξ＝2)＝3C 26＝15，P(ξ＝3)＝2C 26＝215，P(ξ＝4)＝1C 26＝115.从而知ξ的分布列为所以E ξ＝0×13＋1×15＋2×5＋3×15＋4×15＝3.求离散型随机变量ξ的均值的步骤1．根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值． 2．求出ξ的每个值的概率． 3．写出ξ的分布列． 4．利用定义求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．[再练一题]2．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．【解】 X 可取的值为1,2,3， 则P(X ＝1)＝35，P(X ＝2)＝25×34＝310，P(X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.[探究共研型]探究1 X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P(X ＝0)＝0.3，P(X ＝1)＝0.7. 探究2 在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】 每次平均得分为810＝0.8. 探究3 在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？ 【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】 根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望EX→利用期望回答问题【自主解答】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2. P(X ＝6)＝126200＝0.63，P(X ＝2)＝50200＝0.25，P(X ＝1)＝20200＝0.1，P(X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：(2)EX (3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为EX＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．[再练一题]3．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图251甲和图乙所示．图251(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．【解】(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为EX甲＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，EX乙＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有EX甲>EX乙，所以估计甲的水平更高．[构建·体系]1．(2016·潍坊高二检测)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望EX ＝2，则P(X ＝2)等于( )A.1316 B.4243 C.13243D.80243【解析】 因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，所以EX ＝n 3＝2，所以n ＝6，所以P(X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.【答案】 D2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( ) 【导学号：62690041】A.13 B.23 C ．2D.83【解析】 X 的取值为2,3.因为P(X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以EX ＝2×13＋3×23＝83.【答案】 D3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4.【答案】 0.44．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P(X ＝k)＝ak ＋b(k ＝1,2,3)．又X 的均值EX ＝3，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵P(X ＝1)＝a ＋b ， P(X ＝2)＝2a ＋b ， P(X ＝3)＝3a ＋b ，∴EX ＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b)＋(2a ＋b)＋(3a ＋b)＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.【答案】 －165．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数．求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值．【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4. P(X ＝0)＝C 24C 29＝16，P(X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P(X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136， P(X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16，P(X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为(2)EX ＝0×16＋1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝9.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量X ～B(40，p)，且EX ＝16，则p 等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4【解析】 ∵EX ＝16，∴40p ＝16，∴p ＝0.4.故选D. 【答案】 D2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( )【导学号：62690042】A ．0.6B ．1C ．3.5D ．2【解析】 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以E ξ＝1×16＋2×16＋3×6＋4×6＋5×6＋6×6＝3.5.【答案】 C 3．设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E η等于( ) A.76 B.176 C.173D.323【解析】 E ξ＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E η＝E(2ξ＋5)＝2E ξ＋5＝2×176＋5＝323.【答案】 D4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min ，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为( ) A.13 B ．1 C.43D.83【解析】 遇到红灯的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴EX ＝43. ∴EY ＝E(2X)＝2×43＝83.【答案】 D5．设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝14，k ＝1,2,3,4，则EX 的值为( )A ．2.5B ．3.5C ．0.25D ．2【解析】 EX ＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝2.5【答案】 A 二、填空题6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X ，则EX ＝________.【解析】 X 可能的取值为0,1,2，P(X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以EX ＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.【答案】 1.757．(2016·邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．【解析】 随机变量X 的取值为0,1,2,4，P(X ＝0)＝34，P(X ＝1)＝19，P(X ＝2)＝19，P(X ＝4)＝136，因此EX ＝49.【答案】 498.如图252，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX ＝________.图252【解析】 依题意得X 的取值可能为0,1,2,3，且P(X ＝0)＝33125＝27125，P(X ＝1)＝9×6125＝54125，P(X ＝2)＝3×12125＝36125，P(X ＝3)＝8125.故EX ＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.【答案】 65三、解答题9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】 设来领奖的人数ξ＝k(k ＝0,1，…，3 000)， ∴P(ξ＝k)＝C k3 000(0.04)k(1－0.04)3 000－k，则ξ～B(3 000,0.04)，那么E ξ＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P(X ＝0)＝C 38C 310＝715，P(X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P(X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．[能力提升]1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X ，Y 的分布列分别是：据此判定( ) A ．甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量相同D ．无法判定 【解析】 EX ＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6， EY ＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7. 由于EY>EX ， 故甲比乙质量好． 【答案】 A2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 600元【解析】 出海的期望效益E ξ＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)． 【答案】 B3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________. 【导学号：62690043】【解析】 ∵P(X ＝0)＝112＝(1－p)2×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P(X ＝0)＝112，P(X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P(X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512，P(X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，因此EX ＝1×13＋2×512＋3×16＝53. 【答案】 534．(2015·山东高考)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX.【解】 (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此， P(X ＝0)＝C 38C 39＝23，P(X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P(X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(－1)×14＋1×42＝21.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.5.1 离散型随机变量的均值》2
高中数学苏教版选修2-3第二章教学设计课题：离散型随机变量的均值许佳龙【教材地位】这节内容在选修2-3第二章，一方面，它承接了必修3的统计概率知识，另一方面，掌握好这节课的研究方法，将有助于后续离散型随机变量和方差的研究。
因此，它在知识体系上起着承上启下的作用。
离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点。
在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性。
【教学目标】1、知识与技能：通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念和意义；能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题。
2、过程与方法：从样本期望到离散型随机变量的期望，培养学生归纳，概况等合情推理的能力，通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的思维习惯。
3、情感态度与价值观：通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
【教学重难点】重点：能计算简单离散型随机变量均值〔数学期望〕难点：理解离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念和意义【教法学法】以学生为主体，教师为主导，引导启发学生进行自主、探究、合作的学习，通过师生、生生的互动和交流获得知识，提升能力，达成学习目标。
【教辅工具】，N时，EX＝nM/N．，且各次射击互不影响，这名射例2〔改编〕某人每次射击击中目标的概率为23手射击3次，记击中目标的次数的X，求X的数学期望．分析：那么X服从二项分布X～B3，23解：X的分布列为,,,设计意图：同上，由于书本上的例2原题的数据相对来说还是有一定的复杂，所以在不改变问题原理和意图的情况下改变了一定的数据，纯粹为了简化学生的计算过程，为课堂赢得更高的效率。
，且各次射击互不影响，这名射手射再改为“某人每次射击击中目标的概率为23击5次，记击中目标的次数的X，求X的数学期望〞．X～B5，23设计意图：再次进行数据上的变化，一方面可以进一步强化计算的过程以及公式的运用，同时另一方面也让学生看到数据变化后结果有对应的变化，再次引发思考和猜测。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.5.2离散型随机变量的均值和方差（二）
学习目标
1．进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；
2．会求均值与方差，并能解决有关应用题．
学习过程
一、自学导航
复习回顾：
1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．
2．设随机变量~(,)X B n p ，且() 1.6,() 1.28E X V X ==，则n = ，p = .
二、例题精讲
例1 有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自
己写的贺年卡的人数为X ．
（1）求随机变量X 的概率分布；（2）求X 的数学期望和方差．
例2 有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为,X Y （单位：），其分布如下：
比较两种品牌手表的质
量．
例3 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
⑴求的分布列及数学期望；
⑵记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.
例4 有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾
客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．
三、课堂精练
71P 5，6，7 80P 10
四、回顾小结
五、课后作业 《创新活页》对应练习。