【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习练习：5.4复数(含答案解析)
【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习提升考能、阶段验收专练卷(一)(含答案解析)
提升考能、阶段验收专练卷(一) 集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用(时间：80分钟 满分：120分)Ⅰ.小题提速练(限时35分钟)填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2016·苏州名校联考)若集合A ＝{}x|1≤3x≤81，B ＝{}x|log 22－，则A∩B ＝________.解析：因为A ＝{}x|1≤3x≤81 ＝{}x|30≤3x ≤34＝{}x|0≤x≤4，B ＝{}x|log 22－＝{}x|x 2－x>2＝{}x|x<－1或x>2，所以A∩B ＝{}x|0≤x≤4∩{}x|x<－1或x>2＝{}x|2＜x≤4＝(2,4]． 答案：(2,4]2．(2016·无锡调研)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x≤0，x 2－2x ，x>0，则f(x)的最小值是________．解析：当x≤0时，f(x)＝－x ，此时f(x)min ＝0； 当x>0时，f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， 此时f(x)min ＝－1.综上，当x ∈R 时，f(x)min ＝－1. 答案：－1 3．已知函数f(x)＝x2m m 23－＋＋ (m ∈Z)为偶函数，且f(3)<f(5)，则m ＝________.解析：因为f(x)是偶函数， 所以－2m 2＋m ＋3应为偶数． 又f(3)<f(5)，即32m m 23－＋＋<52m m 23－＋＋，整理得⎝⎛⎭⎫ 35 2m m 23－＋＋<1， 所以－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m<32.又m ∈Z ，所以m ＝0或1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数． 故m 的值为1. 答案：14．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________． 解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y′＝2x －3x ＝－1，得x＝1或x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：25．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x≥1，x ＋c ，x<1，则“c ＝－1”是“函数f(x)在R 上递增”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若函数f(x)在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c≤－1.由于c ＝－1⇒c≤－1，但c≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f(x)在R 上递增”的充分不必要条件．答案：充分不必要6．设函数f(x)满足f(x)＝1＋f ⎝⎛⎭⎫ 12 ·log 2x ，则f(2)＝________. 解析：由已知得f ⎝⎛⎭⎫ 12 ＝1－f ⎝⎛⎭⎫ 12 ·log 22， 则f ⎝⎛⎭⎫ 12 ＝12，则f(x)＝1＋12log 2x ， 故f(2)＝1＋12log 22＝32.答案：327．(2016·南京调研)设函数f(x)＝x|x －a|，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式1－2x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝x|x －a|，∴当a≤0时，结论显然成立，当a>0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x≥a ，－x 2＋ax ，x<a ，∴f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，a2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ a2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，∴0<a≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．答案：(－∞，3]8．设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 使得f(x)<0，则a 的取值范围是________．解析：∵f(0)＝－1＋a<0，∴x ＝0. 又∵x ＝0是唯一使f(x)<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－，，即⎩⎪⎨⎪⎧e－1－－1]＋a ＋a≥0，－－a ＋a≥0，解得a ≥32e .又∵a<1，∴32e ≤a<1.答案：⎣⎡⎭⎫32e ，1 9．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f(p)＝________.解析：原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2.答案：210．设函数f(x)＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b](b ＞a)，则f(a)＋f(b)＝________. 解析：因为f(x)＝|2x －1|的值域为[a ，b]，所以b ＞a≥0，而函数f(x)＝|2x －1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a－1＝a ，2b －1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，所以有f(a)＋f(b)＝a ＋b ＝1. 答案：111．已知函数f(x)＝－2x1＋|x|，若对区间M ＝[m ，n]，集合N ＝{}y | y ＝，x ∈M ，且M ＝N ，则m －n ＝________.解析：显然函数f(x)＝－2x1＋|x|是奇函数，且在R 上是减函数，令f(x)＝－x ，解得x ＝±1，所以m ＝－1，n ＝1，所以m －n ＝－2.答案：－212．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示．下列关于函数f(x)的命题： ①函数f(x)的值域为[1,2]； ②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a<2时，函数y ＝f(x)－a 最多有4个零点． 其中真命题的序号是________． 解析：由导数图象可知，当－1<x<0或2<x<4时，f′(x)>0，函数单调递增， 当0<x<2或4<x<5时，f′(x)<0，函数单调递减， 当x ＝0和x ＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2， 当x ＝2时，函数取得极小值f(2)＝1.5. 又f(－1)＝f(5)＝1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确．②正确． 因为当x ＝0和x ＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，要使当x ∈[－1，t]时函数f(x)的最大值是2， 则t 的最大值为5，所以③不正确． 由f(x)＝a ，因为极小值f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2， 所以当1<a<2时，y ＝f(x)－a 最多有4个零点， 所以④正确．故真命题的序号为①②④. 答案：①②④Ⅱ.大题规范练(限时45分钟) 解答题(本大题共4小题，共60分)13．(本小题满分14分)已知集合A ＝yy ＝x 2－32x ＋1，x ∈34，2，B ＝{}x | x ＋m 2≥1.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y≤2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y≤2. 由x ＋m 2≥1，得x≥1－m 2， 所以B ＝{}x | x≥1－m2.因为“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件， 所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m≥34或m≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 14．(本小题满分14分)设f(x) ＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值． 解：(1)因为f(x)＝a(x －5)2＋6ln x(x>0)， 故f′(x)＝2a(x －5)＋6x.令x ＝1，得f(1)＝16a ，f′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a)·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， 故a ＝12.(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x －5＋6x＝－－x.令f′(x)＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0<x<2或x>3时，f′(x)>0， 故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x<3时，f′(x)<0， 故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.15．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝k·a －x (k ，a 为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)．(1)求实数k ，a 的值； (2)若函数g(x)＝－1＋1，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 解：(1)把A(0,1)，B(3,8)的坐标代入f(x)＝k·a －x，得⎩⎪⎨⎪⎧k·a 0＝1，k·a －3＝8.解得k ＝1，a ＝12.(2)g(x)是奇函数．理由如下：由(1)知f(x)＝2x ， 所以g(x)＝－1＋1＝2x －12x ＋1. 函数g(x)的定义域为R ， 又g(－x)＝2－x －12－x ＋1＝2x ·2－x －2x2x ·2－x ＋2x＝－2x －12x ＋1＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数．16．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝xln x ，g(x)＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝5时，求函数y ＝g(x)在x ＝1处的切线方程； (2)求f(x)在区间[t ，t ＋2](t>0)上的最小值． 解：(1)当a ＝5时，g(x)＝(－x 2＋5x －3)e x ，g(1)＝e. 又g′(x)＝(－x 2＋3x ＋2)e x ， 故切线的斜率为g′(1)＝4e.所以切线方程为：y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4ex －3e. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x ＋1， 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：①当t≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上f(x)为增函数，所以f(x)min ＝f(t)＝tln t.②当0＜t ＜1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上f(x)为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上f(x)为增函数， 所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .。
(完整版)高考数学第一轮复习总结精品试题：复数(含全部习题答案),推荐文档
2(1
i ).当实数 m 取什么值时,复数 z 是:
（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的
复数。
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高考数学第一轮复习总结精品试题：复数(含全部习题答案)
16、计算[(1
2i)
i100
1 (
i
)5 ]2
1 (
i )20
1 i
2
17． 设 z 4m 1 (2m 1)i, m R，若 z 对应的点在直线 x 3y 0 上。求 m 的值。
）象限。
9.复数 (a2 a 2) ( a 1 1)i (a R) 不是纯虚数，则有（ ）
A. a 0 B. a 2 C . a 0且a 2 D. a 1
10.设 i 为虚数单位，则 (1 i)4 的值为 （ ）
A．4
B.－4
C.4i
D.－4i
11.设 z C,且(1 i)z 2i （ i 为虚数单位），则 z=
；|z|=
.
2 12.复数 1 i 的实部为
，虚部为
。
13.已知复数 z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
14.设 Z1 1 i ， Z2 1 i ，复数 Z1 和 Z2 在复平面内对应点分别为 A、B，O 为原点，
则 AOB 的面积为
。
15.
m2 已知复数 z=(2+ i )
6m 1i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1 3i 3． ( 3 i)2 （ ）
1 3i 1 3i
1 3i 1 3i
A． 4 4 B． 4 4 C． 2 2 D． 2 2
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语课时跟踪检测文
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语课时跟踪检测文1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且∃x∈B，x∉AA B或B A相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，且B⊆A A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A ∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B续补集 全集U 中不属于集合A 的元素组成的集合 {x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A4．集合问题中的几个基本结论(1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ； (2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ； (3)运算性质①A ∩B ＝B ∩A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . ②A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .③∁S (∁S A )＝A ，(∁S A )∪(∁S B )＝∁S (A ∩B )，(∁S A )∩(∁S B )＝∁S (A ∪B )． [小题体验]1．(教材习题改编)下列关系中正确的序号为________．①{0}＝∅；②0∈{0}；③∅{0}；④{0,1}⊆{(0,1)}；⑤{(a ，b )}＝{(b ，a )}． 解析：由集合的有关概念易知②③正确． 答案：②③2．(教材习题改编)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x63－x ∈N ，x ∈N ，用列举法表示为________． 解析：用列举法可知x 可取0,1,2. 答案：{0,1,2}3．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案：{2,4}4．集合{a ，b }的所有子集为________． 答案：{a }，{b }，{a ，b }，∅1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．若集合A ＝{a ＋1，a －1，a 2－3}满足1∈A ，则实数a 的值为________．解析：若a ＋1＝1，则a ＝0，A ＝{1，－1，－3}，满足；若a －1＝1，则a ＝2，此时a 2－3＝1，与集合的互异性矛盾，舍去；若a 2－3＝1，则a ＝±2，a ＝2舍去，当a ＝－2时，A ＝{－1，－3，1}，满足． 答案：0或－22．已知集合M ＝{x |y ＝x 2＋2x ＋4}，N ＝{y |y ＝2x 2＋2x ＋3}，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝R ，N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞3．集合A ＝{x |x ＝－y 2＋6，x ∈N ，y ∈N}的真子集的个数为________．解析：当y ＝0时，x ＝6；当y ＝1时，x ＝5；当y ＝2时，x ＝2；当y ≥3时，x ∉N ，故集合A ＝{2,5,6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.答案：7考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．解析：集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：92．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，当a ≠0时，Δ＝9－8a <0，∴a >98.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞ 3．(易错题)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第3题易忽视．考点二 集合间的基本关系（重点保分型考点——师生共研）[典例引领]1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，实数m 的取值范围为(－∞，4]． 答案：(－∞，4]2．(2016·苏州四市调研)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．答案：43．集合A ＝{0,1，x }，B ＝{x 2，y ，－1}，若A ＝B ，则y ＝________.解析：因为A ＝{0,1，x }，B ＝{x 2，y ，－1}，且A ＝B ，所以x ＝－1，此时集合A ＝{0,1，－1}，B ＝{1，y ，－1}，所以y ＝0.答案：0[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，则实数a 的取值范围为________．解析：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}． (1)当A ＝∅时，2a －2≥a ，解得a ≥2； (2)当A ≠∅时，由A∁R B ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2，解得a ≤1.综上可知， 实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，B ＝{1,2}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：若A ＝∅，则Δ＝4－4a <0，解得a >1； 若A ≠∅，则A ＝{1}或{2}或{1,2}；若A 中只有一个元素，则Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，A ＝{1}，满足；若A 中有两个元素，则A ＝{1,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2＋a ＝0，4－4＋a ＝0，无解．综上可知，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．考点三 集合的基本运算（常考常新型考点——多角探明）[命题分析]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)求交集或并集； (2)交、并、补的混合运算； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：求交集或并集1．(2014·江苏高考)已知集合A ＝{－2，－1,3,4}，B ＝{－1,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－2，－1,3,4}∩{－1,2,3}＝{－1,3}．答案：{－1,3}2．(2016·兰州诊断)已知集合A ＝{x ||x |<1}，B ＝{x |2x>1}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.解析：由|x |<1，得－1<x <1，所以A ＝{x |－1<x <1}． 又由2x>1，解得x >0，所以B ＝{x |x >0}． 所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，A ∪B ＝{x |x >－1}． 答案：{x |0<x <1} {x |x >－1} 角度二：交、并、补的混合运算3．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求实数a 的值以及集合A ，B ； (2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解：(1)由题意可知，2∈A,2∈B ，将x ＝2代入集合A 中得，8＋2a ＋2＝0，解得a ＝－5.则A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12 ，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{2，－5}．(2)U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，－5 ，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 ，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－5 . 角度三：新定义集合问题4．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．解析：要使x －y ∈A ，当x ＝5时，y 可取1,2,3,4； 当x ＝4时，y 可取1,2,3； 当x ＝3时，y 可取1,2；当x ＝2时，y 可取1.综上共有10个． 答案：105．(2015·启东模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R}，则A ⊕B ＝___________. 解析：依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94 ∪[0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94 ∪[0，＋∞)[方法归纳]解集合运算问题4个注意点一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合M ＝{x |x ＋1>0}，N ＝{x |x －2<0}，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝{x |x ＋1>0}＝{x |x >－1}，N ＝{x |x －2<0}＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}，则∁U (M ∪N )＝________. 解析：∵M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}， ∴M ∪N ＝{2,3,4,5}，则∁U (M ∪N )＝{1,6}． 答案：{1,6}3．(2015·陕西高考改编)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝________. 解析：M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 答案：[0,1]4．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R}，则A ∩B 中的元素个数为________．解析：由题意联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中的元素个数为3.答案：35．(2016·海安实验中学检测)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁R B )＝________.解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，∴A ∪(∁R B )＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为________． 解析：∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1， 故集合A 中的元素个数为4. 答案：42．(2016·南通中学月考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为________．解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 答案：43．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝______________.解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 答案：{x |－3＜x ≤－1}4．已知集合A ＝{x |x 2<3x ＋4，x ∈R}，则A ∩Z 中元素的个数为________． 解析：由x 2<3x ＋4，得－1<x <4.所以A ＝{x |－1<x <4}，故A ∩Z＝{0,1,2,3}． 答案：45.设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：由2x (x －2)<1得x (x －2)<0，解得0<x <2，由1－x >0，得x <1.图中阴影部分表示的集合为A ∩∁U B .因为∁U B ＝[1，＋∞)，画出数轴，如图所示，所以A ∩∁U B ＝[1,2)．答案：[1,2)6．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋2x ＋4}，N ＝{(x ，y )|y ＝2x 2＋2x ＋3}，则M ∩N ＝________.解析：由题可知，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2x ＋4，y ＝2x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.所以M ∩N ＝{(1,7)，(－1,3)}． 答案：{(1,7)，(－1,3)}7．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为________．解析：由题意A ＝{1,2}，当B ≠∅时， ∵B ⊆A ，∴B ＝{1}或{2}，当B ＝{1}时，a ·1－2＝0，解得a ＝2； 当B ＝{2}时，a ·2－2＝0，解得a ＝1. 当B ＝∅时，a ＝0.故a 的值为0或1或2. 答案：0或1或28．(2016·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}9．已知集合A ＝{}y |y ＝－2x，x ∈[2，3]，B ＝{x |x 2＋3x －a 2－3a >0}．(1)当a ＝4时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意可知A ＝[－8，－4]， 当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 由数轴图得：A ∩B ＝[－8，－7)．(2)方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3，①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞，满足A ⊆B ； ②当a <－32时，a <－a －3，B ＝(－∞，a )∪(－a －3，＋∞)，则a >－4或－a －3<－8，得－4<a <－32；③当a >－32时，a >－a －3，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a <－8或－a －3>－4得－32<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4,1)．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， 因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x <2 014，故A ＝{x |1<x <2 014}．由log 2x <m ，解得0<x <2m，故B ＝{x |0<x <2m}．由A ⊆B ，可得2m≥2 014，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．(2016·无锡一中月考)设集合M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是________．解析：当N ＝∅时，a ＋1>2a －1，解得a <2；当N ≠∅时，由N ⊆M 得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤2a －1，a ＋1≥－2，2a －1≤5，解得2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]． 答案：(－∞，3]3．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若全集U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围． 解：由题意知A ＝{1,2}．(1)因为A ∩B ＝{2}，所以2∈B ，所以4＋4(a ＋1)＋(a 2－5)＝0，整理得a 2＋4a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－3.经检验，均符合题意，所以a ＝－1或a ＝－3. (2)由A ∪B ＝A 知，B ⊆A .若集合B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)<0. 即2a ＋6<0，解得a <－3；若集合B 中只有一个元素，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝0，整理得2a ＋6＝0，解得a ＝－3.此时B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}．满足；若集合B 中有两个元素，则B ＝{1,2}．所以a >－3，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －2＝0，a 2＋4a ＋3＝0，无解．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－3]． (3)由A ∩(∁U B )＝A 可知，A ∩B ＝∅.所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋1＋a 2－5≠0，4＋4a ＋1＋a 2－5≠0，解得a ≠－1，a ≠－3，a ≠－1＋3，a ≠－1－ 3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－1－3)∪(－1－3，－1)∪(－1，－1＋3)∪(－1＋3，＋∞)．第二节 四种命题和充要条件1．命题概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假；(2)陈述句 分类 真命题、假命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为Bp 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/ p A 是B 的真子集 集合与p是q的必要不充分条件P⇒/q且q⇒p B是A的真子集充要条件p是q的充要条件p⇔q A＝Bp是q的既不充分又不必要条件p⇒/ q且q⇒/ p A，B互不包含[小题体验]1．(教材习题改编)条件p：x>2，条件q：x≥2，则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．答案：充分不必要2．(教材习题改编)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[小题纠偏]1．命题“当a<0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增大而减小”的否命题是________________________________．解析：本题的条件是“x的值增大”，结论是函数“y＝ax＋b的值减小”，故其否命题是“当a<0时，若x的值不增大，则函数y＝ax＋b的值不减小”．答案：当a<0时，若x的值不增大，则函数y＝ax＋b的值不减小2．命题“全等三角形一定相似”的逆否命题是________________________．解析：由原命题与逆否命题的关系，得逆否命题是“若两个三角形不相似，则它们不全等”．答案：若两个三角形不相似，则它们不全等3．若|x|<a(a>0)的充分条件是|x|<b(b>0)，则a，b的大小关系是________．解析：由题意，得|x|<b⇒|x|<a.因为|x|<a的解集是(－a，a)，|x|<b的解集是(－b，b)，所以(－b，b)⊆(－a，a)．所以a≥b.4．已知p：x≠2或y≠1，q：x＋y≠3，则p是q的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若p⇒q，即“x≠2或y≠1”⇒“x＋y≠3”，得其逆否命题为“x＋y＝3⇒x＝2且y＝1”，显然不正确，所以p⇒/ q.同理可得q⇒p.所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一命题及其相互关系基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是________________．解析：根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.答案：若a2≤b2，则a≤b2．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)．解析：因为命题q的条件与结论恰好是命题p的条件与结论的否定，故两者之间互否．答案：否命题3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定（重点保分型考点——师生共研）[典例引领]1．(2015·北京高考改编)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a|·|b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．(2016·无锡模拟)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由奇函数的定义易知．答案：必要不充分3．(2016·金陵中学期中)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由a>2且b>2得a＋b>4，而由a＋b>4无法得到a>2且b>2，故“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．答案：必要不充分[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要2．(2016·常州武进期中)△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A>B”是“a>b”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：因为△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若a>b，则根据正弦定理可得2R sin A>2R sin B，sin A>sin B，所以A>B.若A>B，则sin A>sin B,2R sin A>2R sin B，即a>b.所以根据充分必要条件的定义可以判断：“A>B”是“a>b”的充要条件．答案：充要考点三充分必要条件的应用（题点多变型考点——纵引横联）[典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解．即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [破译玄机]本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围． [变式3] 若P ，S 分别变为：p ：(x －m )2>3(x －m )，s ：x 2＋3x －4<0.若x ∈p 是x ∈s 的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )} ＝{x |(x －m )(x －m －3)>0} ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0} ＝{x |－4<x <1}，x ∈p 是x ∈S 的必要不充分条件，即等价于S P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x－1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．(2015·苏州模拟)已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得－1<x <2，即由p 不能得q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得p .因此，p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．答案：24．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.解不等式(x－a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 5．(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题： ①“a >b ”是“3a >3b”的充分不必要条件；②“α>β ”是“cos α<cos β ”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．解析：①是充要条件，故①错误；②是既不充分又不必要条件，故②错误；③正确． 答案：③二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知复数z ＝a ＋3ii(a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：z ＝a ＋3ii＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a >0，反之也成立，所以“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．答案：充要2．命题“a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0”的逆否命题是______________． 解析：a ＝b ＝0的否定为a ≠0或b ≠0；a 2＋b 2＝0的否定为a 2＋b 2≠0. 答案：a ，b ∈R ，若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠03．(2016·南京、盐城一模)设向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若a ∥b ，则cos 2θ－sin 2θ＝0，即cos 2θ－2sin θcos θ＝0，解得cos θ＝0或tan θ＝12，所以“a ∥b ”是“tan θ＝12”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．命题p ：“若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列”，则命题p 的否命题是________(填“真”或“假”)命题．解析：命题p 的否命题是“若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列”． 答案：假5．(2016·镇江五校联考)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ， 由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集， 所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32， 所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题， 若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题． 故假命题的个数为3. 答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3； 又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0， 解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)． 答案：[3,8)9．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x mx －1x <0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x >1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．解：∵命题p 是真命题， ∴0<m <6，m ∈N ，①∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x mx －1x <0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <1m . 由题意知，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x >1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <12.∵命题q ，r 都是真命题，∴A B ，C A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1m ≤4，1m >12.②由①②得m ＝1.10．设p ：－1≤4x －3≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：法一：设A ＝{x |－1≤4x －3≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，由－1≤4x －3≤1，得12≤x ≤1，故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，所以綈p 所对应的集合为∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >1，綈q 所对应的集合为∁R B ＝{}x |x <a 或x >a ＋1.由綈p 是綈q 的必要不充分条件，知∁R B ∁R A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 法二：设A ＝{x |－1≤4x －3≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}．由－1≤4x －3≤1，得12≤x ≤1，故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， 故B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，可知p 是q 的充分不必要条件，所以A B . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．给出下列命题：①已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ；②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件； ③在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为P ，Q ，则a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的充要条件．其中正确的命题的序号是________．解析：对于①，a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ⇔2(a 2＋b 2＋c 2)＝2(ab ＋ac ＋bc )⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2＝0⇔a ＝b ＝c ⇔△ABC 是等边三角形，故①正确；对于②，由S n ＝An 2＋Bn ，得a 1＝A ＋B ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2An －A ＋B ，显然n ＝1时适合该式，易知数列{a n }是等差数列，满足充分性，故②不正确；对于③，记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则A ＝B ⇔a ＝b ，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则a ＝b ⇔sin A ＝sin B ，所以A ＝B ⇔sin A ＝sin B ，故③正确；对于④，例如：x 2＋x ＋5>0与x 2＋x ＋2>0的解集都是R ，但是11＝11≠52，故不满足必要性，故④不正确．答案：①③2．(2015·南京三模)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，又由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以(－3,2)⊆(a ，＋∞)，故a ≤－3.答案：(－∞，－3]3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32.假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断pqp ∧qp ∨q綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真2．全称量词和存在量词量词名称 常见量词符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃3．全称命题和存在性命题名称形式全称命题存在性命题结构 对M 中的任意一个x ，有p (x )成立 存在M 中的一个x ，使p (x )成立简记 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x ∈M ，p (x ) 否定 ∃x ∈M ，綈p (x )∀x ∈M ，綈p (x )[小题体验]1．命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是________． 解析：∃改为∀，否定结论，即ln x ≠x －1. 答案：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －12．(教材习题改编)命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p 是________________． 解析：命题p ：“∃x ∈A ，P (x )”，则綈p 为：“∀x ∈A ，綈P (x )”，故答案为：所有三角形都不是等腰三角形．答案：所有三角形都不是等腰三角形3．若命题“∀x∈R，x2－ax＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由条件得Δ＝a2－4a≤0，解得0≤a≤4.答案：[0,4]1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．[小题纠偏]1．命题“若一个数是奇数，则它的立方一定是奇数”的否定是______________________．解析：命题的否定一般是只否定命题的结论，即“若一个数是奇数，则它的立方不一定是奇数”．答案：若一个数是奇数，则它的立方不一定是奇数2．命题“若a＋c<b＋d，则a<b且c<d”的否定是__________________________．解析：因为“a<b且c<d”的否定是“a≥b或c≥d”，所以命题“若a＋c<b＋d，则a<b 且c<d”的否定是“若a＋c<b＋d，则a≥b或c≥d”．答案：若a＋c<b＋d，则a≥b或c≥d3．命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3＝0”的否定为________________．解析：命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3＝0”的否定为“存在x∈R，使得x2＋2x＋3≠0”．答案：存在x∈R，使得x2＋2x＋3≠0考点一全称命题与存在性命题的真假判断（基础送分型考点——自主练透）[题组练透]1．下列存在性命题中，真命题的个数是________．①∃x∈R，x2－x＋1<0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；④有些平行四边形不是菱形．解析：x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，故①是假命题；1既不是合数，也不是素数，故②是真命题；当x ＝45时，x 2＝5为无理数，故③是真命题；邻边不相等的平行四边形不是菱形，故④是真命题．故真命题的个数是3.答案：32．(2016·昆山中学检测)下列命题中，是真命题的有________(填序号)． ①∃x ∈Z ，x 2＝3； ②∃x ∈R ，x 2＝2； ③∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0； ④∀x ∈R ，x 2＋x －5>0.解析：由x 2＝3，得x ＝±3，所以①是假命题；因为当x ＝2时，x 2＝2，所以②是真命题；因为x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0，所以③是真命题；因为当x ＝1时，x 2＋x －5＝－3<0，所以④是假命题． 答案：②③3．(2016·通州高级中学检测)若命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1<0”是真命题，所以二次方程x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4>0，所以a <－1或a >1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)[谨记通法]全称命题与存在性命题真假的判断方法不管是全称命题，还是存在性命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.考点二 含有一个量词的命题的否定（基础送分型考点——自主练透）[题组练透]1．(易错题)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为______________________． 解析：全称命题的否定是存在性命题．“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为“存在x∈R ，使得x 2<0”．答案：存在x ∈R ，使得x 2<0 2．下列四个命题：①“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x －6≥0，则x ≥2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件；④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z)”． 其中真命题的序号是________．解析：①中，“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，是真命题；②中，“若x 2＋x －6≥0，则x ≥2”的否命题为“若x 2＋x －6<0，则x <2”，是真命题，③④很显然是假命题，可以作出正弦和正切函数图象来判断．答案：①②3．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数值，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根； (2)p ：有的三角形的三条边相等； (3)p ：菱形的对角线互相垂直； (4)p ：∃x ∈N ，x 2－2x ＋1≤0.解：(1)綈p ：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根． 因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4>0恒成立， 故綈p 为假命题．(2)綈p ：所有的三角形的三条边不全相等． 显然綈p 为假命题．(3)綈p ：有的菱形的对角线不垂直． 显然綈p 为假命题．(4)綈p ：∀x ∈N ，x 2－2x ＋1>0. 显然当x ＝1时，x 2－2x ＋1>0不成立， 故綈p 是假命题．[谨记通法]对全称(存在性)命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． (2)对原命题的结论进行否定．如“题组练透”第1题易错．考点三 含有逻辑联结词命题真假的判断重点保分型考点——师生共研。
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练十立体几何理
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练十立体几何理1.(2015·山东高考改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．解析：绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×π×()22×2＝42π3. 答案：42π32．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7. 答案：73．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r 1，r 2，母线长分别是l 1，l 2.则由S 1S 2＝94可得r 1r 2＝32.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32. 答案：324.(2015·安徽高考)如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高． 又PA ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连结BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt△BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.命题点二 组合体的“切”“接”问题 难度： 中命题指数：☆☆☆1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．解析：如图，设球的半径为R ， ∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ABC ＝V C AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ABC 最大，为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π. 答案：144π2．(2014·陕西高考改编)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋22＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3.答案：4π33．(2013·全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，连结EA ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π命题点三 直线、平面平行与垂直的判定与性质 难度： 中命题指数：☆☆☆☆☆1．(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH . 证明如下：因为ABCD EFGH 为正方体， 所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ， 所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH . 又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH . (3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH . 因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFHD . 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG .同理DF ⊥BG .又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG .2．(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 又BD ∩BE ＝B ，故AC ⊥平面BED . 因为AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形， 可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V 三棱锥E ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63， 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.3.(2015·北京高考)如图，在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ABC 的体积．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等，所以三棱锥V ABC 的体积为33. 4．(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以，MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。
【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入教学案
数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ . 三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋d c －d＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2(c ＋d i≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a ＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i 解析：选C 5＋3i4－i＝＋＋－＋＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i 17＝1＋i. 4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i1＋2i＝－b －＋－＝－2b －＋b5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选 D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1.x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝－－1－－1＋－1－＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)， 根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. (2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝－＋－＋11－i ＝－i 1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则zz＋z 2的值为( ) A ．－3i B ．－2i C ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i 1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋224＝i 4＝1. 答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝－＋－＝＋10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数＋＋－2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B＋＋－2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52.5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i ＝－1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( )A ．1B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝－1－2＋－2＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i) 12.－1＋＋i3＝________. 解析：－1＋＋i3＝－3＋i －i＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，－x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 解析：|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1.答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i ＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i.∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B a ＋2i i ＝a ＋i 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z . 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x x 2＋y 2＋＋y －x 2－y 2x 2－y 2＋2＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：选D z ＝－3＋i2＋i ＝－3＋－＋－＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i3－2i＝－＋－＋＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725. 由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，故c2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP .AB ＝(2,2)，AP ＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24 C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴0<cos θ<22.①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin AA ＋C＝________.解析：sin A A ＋C ＝sin A sin B ＝a b ＝23. 答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得ANsin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________．解析：∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3.∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝k ＋π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值． 解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cosB ＝sin B cosC ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]．所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎪⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－14， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC 的值域． 解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC ＝(－1，3)． 所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3.所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc2sinA ≤a 22·32＝334.。
(江苏专版)高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十三)复数理(含解析)苏教版
（江苏专版）高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十三）复数理（含解析）苏教版课时跟踪检测（五十三） 复数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．若z ＝3－2i ，则iz －2＝________. 解析：由z ＝3－2i ，得z ＝3＋2i. 则iz －2＝i 3＋2i －2＝i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝25＋15i. 答案：25＋15i2．(2018·淮安调研)复数z ＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________． 解析：因为z ＝i(1－2i)＝2＋i ，所以复数z 的实部为2. 答案：23．(2018·泰州中学高三学情调研)已知复数z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则a ＝________.解析：因为z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以a －1＝0，所以a ＝1. 答案：14．(2019·徐州调研)已知(1＋3i)(a ＋b i)＝10i ，其中i 为虚数单位，a ，b ∈R ，则ab 的值为________．解析：∵(1＋3i)(a ＋b i)＝10i ，∴a －3b ＋(3a ＋b －10)i ＝0，∴a －3b ＝3a ＋b －10＝0， 解得a ＝3，b ＝1，则ab ＝3. 答案：35．(2018·苏州一调)若复数(a ＋i)2对应的点在y 轴的负半轴上(其中i 是虚数单位)，则实数a 的值是________．解析：因为(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a ＜0，从而a ＝－1.答案：－16．已知复数z 满足(1＋i)z ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．解析：因为(1＋i)z ＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝i 1－i 1＋i 1－i ＝i ＋12，所以z 的实部为12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·南京名校联考)若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝________.解析：由(1－i)z ＝1得z ＝11－i ＝1＋i2，则|2z －3|＝|－2＋i|＝ 5. 答案： 52．(2019·常熟高三学情调研)已知i 为虚数单位，则复数z ＝21－i 的共轭复数对应的点位于第________象限．解析：∵z ＝21－i ＝21＋i1－i 1＋i＝1＋i ，∴z ＝1－i.则z 对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限． 答案：四3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第________象限．解析：由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i 1＋i 2i ＝－12－12i ，所以z ＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点在第二象限． 答案：二4．(2019·金陵中学检测)若z ＝21＋i ，则z 100＋z 50＋1的值是________．解析：∵z ＝21＋i ，∴z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2＝－i. 又∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1， ∴z 100＋z 50＋1＝i 50－i 25＋1＝－i. 答案：－i5．若复数z 满足(z －1)i ＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是________．解析：因为z ＝1＋－1＋i i ＝2＋i ，所以|z |＝22＋12＝ 5.答案： 56．已知复数z 满足：(1－i)z ＝4＋2i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________． 解析：由(1－i)z ＝4＋2i ，得z ＝4＋2i 1－i ＝4＋2i1＋i1－i 1＋i＝1＋3i ，∴z 的虚部为3. 答案：37．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2. 答案：28．(2019·苏州一模)已知i 是虚数单位，复数1＋a i2－i的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________．解析：∵1＋a i 2－i ＝1＋a i2＋i 2－i 2＋i ＝2－a 5＋2a ＋15i 的实部与虚部互为相反数，∴2－a5＋2a ＋15＝0，即a ＝－3.答案：－39．(2018·常州期末)已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________.解析：因为(x －i)2＝x 2－2x i ＋i 2＝x 2－1＋2x i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≠0，x ＞0，解得x＝1.答案：110．(2018·南京、盐城二模)若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：因为z ·z ＝|z |2，且|z |＝|2i||1－i|＝22＝2，所以z ·z ＝2.答案：211．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)， 根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.所以λ＋μ＝1. 12．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i 2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.解：(1)－1＋i2＋i i3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i2－i 5＝15＋25i. (3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i2＝3＋i－i3＋i2＝－i3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州期末)若复数(a －2i)(1＋3i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：∵(a －2i)(1＋3i)＝(a ＋6)＋(3a －2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3a －2≠0，即a ＝－6.答案：－62．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋ (sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝12＋32i. 答案：12＋32i3．(2019·淮安调研)已知复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)． (1)若z ·z 0＝2z ＋z 0，求复数z 0的共轭复数；(2)若z 是关于x 的方程x 2－mx ＋5＝0的一个虚根，求实数m 的值． 解：(1)∵复数z ＝1－2i ，z ·z 0＝2z ＋z 0， ∴z 0(z －1)＝2z ， ∴z 0＝2z z －1＝21－2i －2i＝2＋i ， ∴复数z 0的共轭复数z 0 ＝2－i.(2)∵复数z ＝1－2i 是关于 x 的方程x 2－mx ＋5＝0的一个虚根， ∴(1－2i)2－(1－2i)m ＋5＝0， 整理，得2－m ＋(2m －4)i ＝0， 解得m ＝2.。
【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习练习：2.5二次函数与幂函数(含答案解析)
课时追踪检测（八）二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．二次函数的图象过点(0,1) ，对称轴为x ＝ 2 ，最小值为－ 1 ，则它的分析式为________________ ．分析：依题意可设f(x) ＝a(x－ 2)2－1，∵图象过点 (0,1) ，∴ 4a－1＝ 1，∴ a＝1 . 2∴ f(x) ＝1(x－ 2)2－ 1. 212答案： f(x) ＝ (x－ 2)－ 122．已知幂函数 f(x) ＝ k·xα的图象过点1，2，则 k＋α＝________.22分析：由幂函数的定义知1＝2，因此 1 α213 k＝ 1.又 f＝2，解得α＝，进而 k＋α＝ .222223答案：23．函数 f(x) ＝2x2－ mx＋ 3，当 x∈[ － 2，＋∞ )时， f (x) 是增函数，当x∈ (－∞，－ 2]时， f(x) 是减函数，则f(1) 的值为 ________．2m m 分析：函数 f(x) ＝ 2x－ mx＋ 3 图象的对称轴为直线x＝4，由函数 f(x) 的增减区间可知4＝－ 2，∴ m＝－ 8，即 f(x) ＝ 2x2＋ 8x＋ 3，∴ f(1) ＝ 2＋ 8＋ 3＝ 13.答案： 134．函数 f(x) ＝(m2－ m－ 1)x m是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是 ________．分析： f(x) ＝ (m2－ m－ 1)x m是幂函数 ? m2－ m－ 1＝1? m＝－ 1 或 m＝ 2.又 x∈ (0，＋∞)上是增函数，因此 m＝2.答案： 25．若幂函数 y＝ f(x) 的图象过点2，则 y＝ f(x 2－ 2x)的单一减区间为 ________．2，2αα21111分析：设 f(x) ＝ x ，则由 2 ＝2＝ 2－2，得α＝－2，因此 f(x) ＝ x－2＝x，该函数是定义在 (0，＋∞)上的单一减函数．而u＝ x2－ 2x 在(－∞， 1)上为单一减函数，在(1，＋∞)上为单一增函数，且 u＝ x2－2x>0 ，得 x>2 或 x<0 ，故所求函数 y＝ f(x 2－ 2x)的单一减区间为 (2，＋∞)．答案： (2，＋ ∞)二保高考，全练题型做到高考达标n1，则 mn ＝________. 1．若幂函数 y ＝ mx (m ， n ∈R)的图象经过点8，4 分析：依据幂函数的观点得 1 n － 2 3n2 2 m ＝ 1，且 ＝ 8 ，即 2 ＝ 2 ，因此 n ＝－，因此 mn ＝－ .43 32 答案：－ 32．若函数 f(x) ＝ (1 － x 2)(x 2＋ ax － 5) 的图象对于直线 x ＝ 0 对称，则 f(x) 的最大值是________ ．分析：依题意，函数 f(x) 是偶函数， 则 y ＝ x 2＋ ax － 5 是偶函数， 故 a ＝ 0，f(x) ＝ (1－x 2)(x 2－ 5)＝－ x 4＋ 6x 2－ 5＝－ (x 2－ 3)2＋ 4，当 x 2＝ 3 时， f(x) 取最大值为 4.答案： 43． (2016 无·锡调研 )若幂函数 y ＝ (m 2－ 3m ＋ 3) ·xm 2－ m － 2 的图象可是原点，则m ＝________.分析：由幂函数性质可知m 2－ 3m ＋ 3＝ 1，∴ m ＝ 2 或 m ＝ 1.又幂函数图象可是原点， ∴m 2 － m － 2≤0，即－ 1≤m ≤2，∴ m ＝ 2 或 m ＝ 1. 答案：2或14．设函数 f(x) ＝ x 2－ 23x ＋ 60，g(x) ＝f(x) ＋ |f(x)| ，则 g(1)＋ g(2)＋ ＋g(20) ＝________.分析：由二次函数图象的性质得， 当 3≤x ≤20时，f(x) ＋ |f(x)| ＝0，∴g(1)＋ g(2) ＋ ＋ g(20)＝ g(1)＋ g(2)＝ 112.答案： 1125．(2015 南·京调研 )若函数 y ＝ x 2－ 3x － 4 的定义域为 [0，m]，值域为 －25，－ 4 ，则 m4的取值范围是 ________．3325分析：二次函数图象的对称轴为x ＝ 2，且 f 2＝－4 ， f(3) ＝ f(0)3＝－ 4，由图得 m ∈ 2， 3 .答案：3， 326．若函数 y ＝ x 2＋ (a ＋2)x ＋ 3， x ∈ [a ，b]的图象对于直线 x ＝ 1 对称，则 b ＝ ________.分析：由已知得－ a ＋ 2＝ 1，解得 a ＝－ 4.又由于 a ＋ b＝ 1，因此 b ＝ 2－ a ＝ 6.22答案： 67．设二次函数 f(x) ＝ ax 2＋ 2ax ＋ 1 在 [－ 3,2] 上有最大值 4，则实数 a 的值为 ________． 分析：此函数图象的对称轴为直线x ＝－ 1.当 a>0 时，图象张口向上， 因此 x ＝ 2 时获得最大值，f(2) ＝ 4a＋ 4a＋ 1＝ 4，解得a＝ 3；当8a<0时，图象张口向下，因此x＝－ 1时获得最大值，f( － 1)＝ a－ 2a＋ 1＝ 4，解得a＝－ 3.答案：－3 或388．已知幂函数f(x) ＝ x－12，若f(a＋ 1)＜ f(10－ 2a)，则 a 的取值范围是________．分析：∵1f(x)＝x－2＝ 1x(x＞ 0)，易知x∈ (0，＋∞)时为减函数，又f(a＋ 1)＜ f(10－ 2a)，a＋1＞ 0，a＞－ 1，∴ 10－2a＞ 0，解得a＜ 5，∴ 3＜ a＜ 5.a＋ 1＞10－ 2a，a＞ 3，答案： (3,5)9． (2016 金·陵中学检测 )已知函数 f(x) ＝ x－ 2m2＋ m＋ 3(m∈ Z) 是偶函数，且f(x) 在 (0，＋∞)上单一递加．(1) 求 m 的值，并确立 f(x) 的分析式；(2)g(x) ＝ log2 [3－ 2x－ f(x)] ，求 g(x) 的定义域和值域．解：(1) 由于 f(x) 在 (0，＋∞)单一递加，由幂函数的性质得－2m 2＋ m＋ 3>0，解得－ 1<m<3.2由于 m∈Z ，因此 m＝ 0 或 m＝ 1.当m＝0 时，f(x) ＝x3不是偶函数；当 m＝ 1 时， f(x) ＝x2是偶函数，因此 m＝1， f(x) ＝x2 .(2)由 (1)知 g(x) ＝ log2(－ x2－ 2x ＋3)，由－ x2－ 2x＋ 3>0，得－ 3<x<1 ，因此 g(x) 的定义域为 (－ 3,1)．设 t＝－ x2－2x＋ 3， x∈ (－ 3,1)，则 t∈ (0,4] ，此时 g(x) 的值域就是函数y＝ log 2t， t∈ (0,4] 的值域．又 y＝ log2t 在区间 (0,4] 上是增函数，因此 y∈ (－∞， 2]，因此函数 g(x) 的值域为 (－∞， 2]．10． (2016 南·师附中月考)已知函数f(x) ＝ax2＋ bx＋ 1(a， b 为实数， a≠0， x∈ R)．(1)若函数 f(x) 的图象过点 (－ 2,1)，且方程 f(x) ＝ 0 有且只有一个根，求f(x) 的表达式；(2)在 (1)的条件下，当 x∈ [ － 1,2] 时，g(x) ＝ f(x) － kx 是单一函数，务实数k 的取值范围．解： (1)由于 f( －2) ＝1，即 4a－ 2b＋ 1＝ 1，因此 b＝ 2a.由于方程 f(x) ＝0 有且只有一个根，因此＝b2－ 4a＝ 0.2因此 4a － 4a＝ 0，因此 a＝ 1，b＝ 2.2因此 f(x) ＝ (x＋ 1) .(2)g(x) ＝ f(x) － kx＝ x2＋ 2x＋ 1－kx ＝ x2－ (k－2)x ＋1＝ x－k－22＋ 1－－2.42由 g(x) 的图象知，要知足题意，则k－ 2k－ 22≥2或2≤－1，即 k≥6或 k≤0，∴所务实数 k 的取值范围为 (－∞， 0]∪ [6，＋∞)．三登台阶，自主选做志在冲刺名校1．设 f(x) 与 g(x) 是定义在同一区间[a，b] 上的两个函数，若函数y＝ f(x) － g(x) 在 x∈ [a，b]上有两个不一样的零点，则称f(x) 和g(x) 在 [a， b]上是“关系函数”，区间 [a， b]称为“关系区间”．若 f(x) ＝x2－ 3x＋ 4 与 g(x) ＝2x＋ m 在 [0,3] 上是“关系函数”，则 m 的取值范围为 ________．分析：由题意知， y＝ f(x) － g(x) ＝ x2－ 5x＋ 4－m 在 [0,3] 上有两个不一样的零点．在同向来角坐标系下作出函数y＝ m与y＝x2－5x＋ 4(x ∈ [0,3])的图象如下图，联合图象可知，当x ∈ [2,3] 时，y ＝ x2－ 5x ＋ 4∈－9，－ 2 ，故当 m∈ －9，－ 2 时，函数 y＝m 与 y＝ x2－ 5x＋ 4(x ∈ [0,3]) 44的图象有两个交点．9答案：－4，－22．已知二次函数 f(x) ＝ x2－ x＋ k，k∈ Z，若函数 g(x) ＝ f(x) － 2 在－ 1，3上有两个不2同的零点，则f2＋ 2的最小值为 ________．分析：若函数2－ x ＋ k－ 2 在－1，3上有两个不一样的零点，k ∈ Z ，则g(x) ＝ x2－，3解得 k＝ 2.g 2 >0 ，＝ 1－－，因此二次函数f(x) ＝ x2－ x＋ 2，其值域为7，＋∞，42]＋ 2＝ f(x) ＋27，此中 f(x) ≥，4此时 f(x) ＋2单一递加，72＋ 281因此当 f(x) ＝4时，获得最小值28.答案： 81283． (2016 镇·江四校联考 )已知函数 f(x) ＝ x2－1， g(x) ＝ a|x－ 1|.(1)若当 x∈R 时，不等式f(x)≥ g(x)恒建立，务实数 a 的取值范围；(2)求函数 h(x) ＝ |f(x)| ＋ g(x) 在区间 [0,2] 上的最大值．解： (1)不等式 f(x) ≥g(x)对 x∈ R 恒建立，即x2－ 1≥a|x－ 1|(*) 对 x∈ R 恒建立．①当 x＝ 1时， (*) 明显建立，此时a∈ R；②当 x≠1时， (*) 可变形为x2－ 1，a≤|x－ 1|x2－ 1x＋ 1，x>1 ，令φ(x)＝＝－＋， x<1.|x－ 1|由于当 x>1 时，φ(x)>2，当 x<1 时，φ(x)>－ 2，因此φ(x)>－ 2，故此时 a≤－ 2.综合①②，得所务实数 a 的取值范围是(－∞，－ 2]．－x2－ ax＋a＋ 1， 0≤x<1，(2)h(x) ＝0， x＝1，x2＋ ax－ a－ 1， 1<x≤2.①当－2a≤0时，即 a≥0， (－ x2－ ax＋a＋1)max＝ h(0)＝ a＋ 1，(x2＋ ax－ a－ 1)max＝ h(2)＝ a＋ 3.此时， h(x) max＝ a＋ 3.②当 0<－a2≤1时，即－ 2≤a<0， (－ x2－ ax＋ a＋ 1)max＝ h －a2＝a＋ a＋ 1， (x2＋ ax－ a－ 1)max 24＝h(2)＝ a＋3.此时 h(x) max＝ a＋ 3.a③当 1<－2≤2时，即－ 4≤a<－ 2，(－ x2－ ax＋ a＋ 1)max＝ h(1) ＝0，0，－ 4≤ a<－ 3，(x2＋ ax－ a－ 1)max＝ max{h(1) ， h(2)} ＝ max{0,3 ＋ a} ＝3＋a，－ 3≤ a<－ 2.0，－ 4≤ a<－ 3，此时 h(x) max＝3＋ a，－ 3≤ a<－2.a④当－2>2 时，即 a<－ 4， (－ x2－ ax＋a＋ 1)max＝ h(1)＝ 0，(x2＋ ax－ a－ 1)max＝ h(1)＝ 0.此时 h(x) max＝ 0.3＋ a，a≥－ 3，综上： h(x) max＝0， a<－ 3.。
【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习提升考能、阶段验收专练卷(五)(含答案解析)
提高考能、阶段查收专练卷(五 )分析几何(时间： 80 分钟满分： 120 分 )Ⅰ .小题加速练 (限时35 分钟)填空题 (本大题共 12小题，每题 5 分，共 60 分 )x2y21． (2016 苏·州检测 )双曲线16－9＝ 1 的渐近线方程为 ________．22x y分析：由－＝1知渐近线方程为3答案： y＝±4x3 y＝±4x.2． (2016 ·州联考常 )已知直线l 1： ax＋ 2y＋ 6＝ 0， l2： x＋ (a－ 1)y＋ a2－ 1＝ 0，若 l1⊥l 2，则 a＝ ________.分析：因为直线l1： ax＋2y＋ 6＝0 与 l 2：x＋ (a－ 1)y＋a2－ 1＝ 0 垂直，所以a·1＋ 2·(a－21)＝ 0，解得 a＝3.答案：233．直线 ax＋ by－ 1＝0 的倾斜角是直线3x－ y－ 3 3＝ 0 的倾斜角的 2 倍，且它在y 轴上的截距为1，则 a， b 的值分别为 ________．分析：由题设可知ax＋ by－ 1＝ 0 的倾斜角为120°，在 y 轴上的截距为1，∴－b a＝－3，1b＝ 1，∴ a＝3， b＝ 1.答案：3， 14．若直线l1： y＝ k(x － 4)与直线 l2对于点 (2,1) 对称，则直线l 2恒过定点 ________．分析：直线l1： y＝ k(x － 4)恒过定点 (4,0)，其对于点 (2,1)对称的点为 (0,2)．又因为直线l 1： y＝ k(x － 4)与直线 l 2对于点 (2,1)对称，故直线l2恒过定点 (0,2) ．答案： (0,2)5．已知椭圆mx 2＋ 4y2＝ 1 的离心率为22，则实数m等于________．分析：明显m>0 且 m≠4.当 0<m<4 时，椭圆长轴在x 轴上，1－ 1则m 4＝2，解得m＝2；12m当 m>4 时，椭圆长轴在y 轴上，－1则4 m＝2，解得m＝8.11 24综上所述，实数 m 等于 2 或 8.答案：2或8x2y26．(2016 苏·北四市调研 ) 已知椭圆 C：4＋3＝ 1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若 M 对于 C 的焦点的对称点分别为A， B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN| ＋ |BN|＝ ________.分析：设 MN 的中点为 D，椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，如图，连接 DF1， DF2，因为 F1是 MA 的中点， D 是 MN 的11中点，所以 F1D 是△ MAN 的中位线， |DF1|＝ |AN| ，同理 |DF2|＝22|BN|，所以 |AN| ＋ |BN|＝ 2(|DF 1|＋ |DF2 |)，因为 D 在椭圆上，所以依据椭圆的定义知|DF1|＋ |DF2|＝ 4，所以 |AN|＋ |BN|＝ 8.答案： 87．在平面直角坐标系内，若圆C：x2＋y2－ 2ax＋ 4ay＋ 5a2－ 4＝ 0 上全部的点均在第四象限内，则实数 a 的取值范围为 ________．分析：圆 C 可化为 (x－a)2＋ (y＋ 2a)2＝4，要使得圆 C 上全部的点均在第四象限，则圆心 C(a，－ 2a)在第四象限，圆心 C 到坐标轴的距离大于半径．a>0，－ 2a<0，所以解得a>2.|a|>2，|－2a|>2，即实数 a 的取值范围为(2，＋∞)．答案： (2，＋∞)8．入射光芒沿直线x－2y＋ 3＝0 射向直线l ：y＝ x，被直线 l 反射后的光芒所在直线的方程是 ________________________________________________________________________ ．的分析：由入射光芒与反射光芒所在直线对于直线l：y＝ x 对称，把直线x－ 2y＋ 3＝0 中x， y 交换，获得2x－ y－3＝ 0.∴反射光芒的方程为2x－ y－3＝ 0.答案： 2x－ y－ 3＝ 09．过椭圆x2y225＋16＝ 1 的中心任作向来线，交椭圆于P， Q 两点， F 是椭圆的一个焦点，则△ PQF 面积的最大值是 ________．2 2分析：设 P 点的纵坐标为y P ，因为椭圆 x＋ y＝ 1 的中心是原点O ，则 Q 点的纵坐标2516为－ y P ，且 |y P | ≤4，c ＝ a 2－ b 2＝ 25－ 16＝ 3，则△ PQF 的面积是 112|OF|(|y P |＋ |y Q |)＝2c ×2|y P |＝ 3|y P | ≤ 3×4＝12. 答案： 1210．已知 0<k<4 ，直线 l 1 ：kx － 2y － 2k ＋22－4＝ 0 与两坐标8＝ 0 和直线 l 2：2x ＋ k y － 4k 轴围成一个四边形，则这个四边形面积的最小值为________．分析：由题意知，直线l 1，l 2 恒过定点 P(2,4)，直线 l 1 的纵截距为 4－ k ，直线 l 2 的横截距为 2k2＋ 2，所以四边形的面积S ＝ 1×2×(4－ k ＋ 4)＋ 1×4×(2k 2＋2－ 2)＝ 4k 2－ k ＋8＝ 4 k － 18222＋127，故当 k ＝1时，面积最小，且最小值为 12716816.答案：1271611．双曲线 x 2－ y 2＝ 8 上一点 P(x 0，y 0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q ，已知 O 为坐标原点，则△ POQ 的面积为 ________．分析：双曲线 x 2 －y 2＝ 8 的渐近线方程为y ＝ ±x ，即 x ±y ＝ 0，不如设点 Q 是 P(x 0， y 0)在渐近线 y ＝ x 上的射影，易得|x 0－ y 0||OP|2－ |PQ|2＝|PQ|＝ 2，因为 |OP|＝ x 02＋ y 20， |OQ|＝|x 0＋ y 0 |1|x 02－ y 02|，所以 S △ POQ ＝|PQ| |OQ|·＝4＝ 2.22答案： 222x 2 y 2，B ， F 挨次为其左极点、下极点、上极点12．已知椭圆 a ＋ b ＝1(a>b>0) ，点 A ， B 12和右焦点，若直线 AB 2 与直线 B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上， 则椭圆的离心率为 ________．分析：如图， A( － a,0)，B 1(0，－ b)， B 2(0， b)， F(c,0)，设点 M a 2，y M . cb y M由 kAB 2＝k AM ，得 a ＝ a 2，c ＋ aa所以 y M ＝ b＋ 1 .b y M由 kFB 1＝ k FM ，得 c ＝ a 2－ c ，c2b a所以 y M ＝－ c .2进而 bac ＋ 1 ＝b c ac －c ，整理得 2e 2＋ e － 1＝0. 1解得 e ＝ 或 e ＝－ 1(舍去 )．1答案： 2Ⅱ .大题规范练 (限时 45 分钟 )解答题 (本大题共 4 小题，共 60 分)13． (本小题满分 14 分 )求以下椭圆的标准方程：(1)已知椭圆的焦点在座标轴上，长轴长是短轴长的3 倍，且经过 M(3,2) ．(2)与椭圆 4x 2＋9y 2＝ 36 有同样焦点，且过点 (3，－ 2)．解： (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2 y 22 ＋ 2＝ 1(a>b>0)，ab又 M(3,2) 在椭圆上，a ＝3b ，a 2 ＝45，由题意，得 3222＝ 1，解得 22 ＋ 2 b ＝ 5.ab22所以椭圆的标准方程为x＋ y＝ 1；455当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2x 2＝ 1(a>b>0)． a 2＋ b 2 又 M(3,2) 在椭圆上，a ＝3b ，2 ＝ 85，a由题意，得 22 32解得 2 85 .2＋ 2＝ 1，b ＝9abx 2 y 2所以椭圆的标准方程为85＋85＝ 1；9x 2 y 2 x 2 y 2综上，椭圆的标准方程为45＋ 5＝ 1 或85＋85＝ 1.9(2)椭圆 4x 2＋ 9y 2＝ 36 的焦点为 (－ 5， 0)， ( 5， 0)，所以 c ＝ 5，22设所求椭圆的标准方程为xya 2＋b 2＝ 1(a>b>0) ，a 2＝ 5＋b 2，22－2解得a ＝ 15，由题意，得 32a 2 ＋b 2＝ 1，b ＝ 10.所以椭圆的标准方程为x 2 ＋ y 2＝ 1.15 10x 2 y 214． (本小题满分 14 分 )平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M ： a 2＋ b 2＝ 1 (a>b>0)右焦点的直线 x ＋y － 3＝ 0 交 M 于 A ，B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为12.(1)求 M 的方程；(2)C ，D 为 M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线 CD ⊥AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值．解： (1)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2 )， P(x 0， y 0)，x 12y 12x 22y 22 y 2－ y 1 则 2＋ 2＝1， 2＋ 2＝1，＝－ 1，a babx 2 －x 1 由此可得 b 22＋ x 1 ＝－ y 2－ y 1＝ 1.a 22＋ y1x 2－ x 1 y 01因为 x 1＋ x 2＝ 2x 0， y 1＋ y 2＝ 2y 0， ＝ ，所以 a 2＝2b 2.又由题意知， M 的右焦点为 (3， 0)，故 a 2－ b 2＝ 3.所以 a 2＝6， b 2＝ 3.x 2 y 2所以 M 的方程为 6＋3＝1.x ＋ y － 3＝ 0， x ＝4 33，x ＝ 0，(2)由2 2 解得或x ＋ y＝1， y ＝ 3.3，6 3y ＝－ 3所以 |AB|＝46CD 的方程为 y ＝ x ＋ n－5 3＜ n ＜ 3 ，3 .由题意可设直线3设 C(x 3， y 3)， D(x 4， y 4)．y ＝ x ＋ n ，由22得 3x 2 ＋2x ＋ y4nx ＋ 2n － 6＝ 0.＝ 16 3于是 x 3,4＝ － 2n ±－ n 23 .因为直线 CD 的斜率为1，所以 |CD|＝ 2|x 4－ x 3|＝ 4 9－ n 2. 3由已知，四边形ACBD 的面积18 62S ＝2|CD| |AB|· ＝ 99－ n .当 n ＝0 时， S 获得最大值，最大值为8 63 .8 6所以四边形 ACBD 面积的最大值为 3 .22 15.(本小题满分 16 分 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 x2＋y2＝a b1 1(a>b>0) 的两焦点分别为 F 1(－ 3， 0)， F 2( 3， 0)，且经过点3，2 .(1)求椭圆的方程及离心率；(2)设点 B ，C ， D 是椭圆上不一样于椭圆极点的三点，点B 与点 D 对于原点 O 对称．设直线 CD ， CB ， OB ， OC 的斜率分别为 k 1， k 2， k 3， k 4，且 k 1k 2＝ k 3k 4.①求 k 1k 2 的值；②求 OB 2＋ OC 2 的值． 解：依题意， c ＝ 3， a 2＝ b 2＋ 3，13422由 b 2＋ 3＋ b 2＝ 1，解得 b ＝ 1，进而 a ＝ 4.2故所求椭圆方程为：x＋ y 2＝ 1.离心率 e ＝342 .(2)①设 B(x 1 ，y 1)， C(x 2， y 2)，则 D( －x 1，－ y 1)，y 2＋ y 1 y 2－ y 1y 22－ y 12于是 k 1k 2＝＋ x ·－x1＝ 2 －x 2x 21 x 2x 212 2x 2x 11－4－1－ 41＝22＝－ .x 2－ x 14②由①知， k 3k 4＝ k 1k 2＝－ 1，故 x 1x 2＝－ 4y 1y 2.4 所以 (x 1x 2)2＝ (－ 4y 1y 2)2 ，22即 (x 1x 2)2 ＝16 1－x 11－x 2＝16－ 4(x 12＋ x 22)＋ x 12x 22，所以 x 12＋ x 22＝ 4.442222又 2＝x 1＋ y 12x 2＋ y 22x 1＋x 2＋ y 2＋ y 2，4＋4＝4 12故 y 12＋y 22＝ 1.所以 OB 2＋ OC 2＝ x 2＋ y 2＋ x 2＋ y 2＝ 5.112216．(本小题满分 x 2 y 2 16 分 )已知椭圆 C ：2＋ 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)上的随意一点到它的两个焦点( －abc,0)， (c,0)的距离之和为 2 2，且它的焦距为 2.(1)求椭圆 C 的方程；2 (2)已知直线x－ y＋ m＝0 与椭圆 C 交于不一样的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点不在圆x＋y2＝5内，求 m 的取值范围．92a＝ 2 2，解： (1)依题意可知2c＝ 2.a＝2，又 b2＝ a2－ c2，解得b＝1.2x2则椭圆 C 的方程为＋y＝ 1.2x＋ y2＝ 1，(2)联立方程2x－ y＋ m＝ 0，消去 y 整理得 3x2＋ 4mx ＋ 2m2－ 2＝ 0.222则＝ 16m － 12(2m － 2)＝8( －m ＋ 3)＞ 0，设 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，－ 4m则 x1＋ x2＝，3y1＋ y2＝x1＋x2－ 4m＋ 2m＝2m，＋2m＝33即 AB 的中点为－2m，m.3 3又∵ AB 的中点不在圆x 2＋ y2＝5内，9∴4m2＋m25m 2 5 9＝9≥ ，99解得 m≤－ 1 或 m≥1.②由①②得，－3＜m≤－ 1 或 1≤m＜ 3.故 m 的取值范围为 (－3，－ 1]∪ [1， 3)．。
【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习练习：4.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案解析)
课时跟踪检测（二十一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·全国卷Ⅰ改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12. 答案：122．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：依题意得cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 答案：233．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎫α－π3＝________. 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－124．(2016·南京调研)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________. 解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝－＋tan α1－－＝17. 答案：175．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·南通一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎨⎧ sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43. 答案：0或432．已知cos ⎝⎛⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33， ∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x·cos π3＋sin xsin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－13．(2016·南京四校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718. 答案：17184．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝________. 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725， ② 由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③ 由①③可得sin α＝35.答案：355．在等式tan 95°－tan 35°－ ＝ tan 95°tan 35°中，根号下的表示的正整数是________．解析：由tan 95°－tan 35°－ ＝ tan 95°tan 35°，得 ＝tan 95°－tan 35°1＋tan 95°tan 35°＝tan 60°＝3，所以 表示3.答案：36．已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________. 解析：由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，∴由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. 答案：17．计算sin 250°1＋sin 10°＝________. 解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°＋＝ 1－＋＋＝1＋sin 10°＋＝12. 答案：128．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 答案：172509．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2. 又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：122．函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析：由题意知f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[φ＋(x ＋φ)]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin φcos(x ＋φ)＋cos φsin(x ＋φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝cos φsin(x ＋φ)－sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，即f(x)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f(x)的最大值为1.答案：13．(2016·合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习练习：1.1集合的概念与运算(含答案解析)
课时跟踪检测（一） 集合的概念与运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合M ＝{x|x ＋1>0}，N ＝{x|x －2<0}，则M∩N ＝________.解析：因为M ＝{x|x ＋1>0}＝{x|x>－1}，N ＝{x|x －2<0}＝{x|x<2}，所以M∩N ＝(－1,2)． 答案：(－1,2)2．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}，则∁U (M ∪N)＝________. 解析：∵M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}，∴M ∪N ＝{2,3,4,5}，则∁U (M ∪N)＝{1,6}．答案：{1,6}3．(2015·陕西高考改编)设集合M ＝{x|x 2＝x}，N ＝{x|lg x≤0}，则M ∪N ＝________. 解析：M ＝{x|x 2＝x}＝{0,1}，N ＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 答案：[0,1]4．已知集合A ＝{(x ，y)|y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{(x ，y)|y ＝|x|，x ∈R}，则A∩B 中的元素个数为________．解析：由题意联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x|，消去y 得x 2＝|x|，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A∩B 中的元素个数为3.答案：35．(2016·海安实验中学检测)已知集合A ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{x|x 2－2x<0}，则A ∪(∁R B)＝________.解析：∵A ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{x|x 2－2x<0}＝{x|0<x<2}，∴A ∪(∁R B)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为________． 解析：∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3， 又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：42．(2016·南通中学月考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x|x ∈M ，且2x ∉M}的子集的个数为________．解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个．答案：43．设全集为R ，集合A ＝{x|x 2－9＜0}，B ＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁R B)＝______________. 解析：由题意知，A ＝{x|x 2－9＜0}＝{x|－3＜x ＜3}，∵B ＝{x|－1＜x≤5}，∴∁R B ＝{x|x≤－1或x ＞5}．∴A∩(∁R B)＝{x|－3＜x ＜3}∩{x|x≤－1或x ＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．答案：{x|－3＜x≤－1}4．已知集合A ＝{x|x 2<3x ＋4，x ∈R}，则A∩Z 中元素的个数为________． 解析：由x 2<3x ＋4，得－1<x<4.所以A ＝{x|－1<x<4}，故A∩Z ＝{0,1,2,3}． 答案：45.设全集U ＝R ，A ＝{x|2x(x－2)<1}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：由2x(x －2)<1得x(x －2)<0，解得0<x<2，由1－x>0，得x<1.图中阴影部分表示的集合为A∩∁U B.因为∁U B ＝[1，＋∞)，画出数轴，如图所示，所以A∩∁U B ＝[1,2)．答案：[1,2)6．已知集合M ＝{(x ，y)|y ＝x 2＋2x ＋4}，N ＝{(x ，y)|y ＝2x 2＋2x ＋3}，则M∩N ＝________.解析：由题可知，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋2x ＋4，y ＝2x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3. 所以M∩N ＝{(1,7)，(－1,3)}．答案：{(1,7)，(－1,3)}7．已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|ax －2＝0}，若A∩B ＝B ，则实数a 的值为________． 解析：由题意A ＝{1,2}，当B≠∅时，∵B ⊆A ，∴B ＝{1}或{2}，当B ＝{1}时，a·1－2＝0，解得a ＝2；当B ＝{2}时，a·2－2＝0，解得a ＝1.当B ＝∅时，a ＝0.故a 的值为0或1或2.答案：0或1或28．(2016·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A.则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}9．已知集合A ＝{}y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．(1)当a ＝4时，求A∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意可知A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)，由数轴图得：A∩B ＝[－8，－7)．(2)方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3，①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫－32，＋∞，满足A ⊆B ； ②当a<－32时，a<－a －3，B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，得－4<a<－32； ③当a>－32时，a>－a －3，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a<－8或－a －3>－4得－32<a<1. 综上所述，实数a 的取值范围是(－4,1)．10．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．(1)若A∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．(1)因为A∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2. (2)∁R B ＝{x|x<m －2或x>m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1，即m>5或m<－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知集合A ＝{x|x 2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x|log 2x<m}，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x<2 014，故A ＝{x|1<x<2 014}．由log 2x<m ，解得0<x<2m ，故B ＝{x|0<x<2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 014，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．(2016·无锡一中月考)设集合M ＝{x|－2≤x≤5}，N ＝{x|a ＋1≤x≤2a －1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是________．解析：当N ＝∅时，a ＋1>2a －1，解得a<2；当N≠∅时，由N ⊆M 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≤2a －1，a ＋1≥－2，2a －1≤5，解得2≤a≤3. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．答案：(－∞，3]3．设集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若全集U ＝R ，A∩(∁U B)＝A ，求实数a 的取值范围．解：由题意知A ＝{1,2}．(1)因为A∩B ＝{2}，所以2∈B ，所以4＋4(a ＋1)＋(a 2－5)＝0，整理得a 2＋4a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－3.经检验，均符合题意，所以a ＝－1或a ＝－3.(2)由A ∪B ＝A 知，B ⊆A.若集合B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)<0.即2a ＋6<0，解得a<－3；若集合B 中只有一个元素，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝0，整理得2a ＋6＝0，解得a ＝－3.此时B ＝{x|x 2－4x ＋4＝0}＝{2}．满足；若集合B 中有两个元素，则B ＝{1,2}．所以a>－3，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －2＝0，a 2＋4a ＋3＝0，无解． 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－3]．(3)由A∩(∁U B)＝A 可知，A∩B ＝∅.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋＋＋2－，4＋＋＋2－，解得a≠－1，a≠－3，a≠－1＋3，a≠－1－ 3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－1－3)∪(－1－3，－1)∪(－1，－1＋3)∪(－1＋3，＋∞)．。
2018-2019学年高中新三维一轮复习文数江苏专版：板块
板块命题点专练(十) 立体几何1.(2015·2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， 解得r 2＝7，所以r ＝7. 答案：72．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r 1，r 2，母线长分别是l 1，l 2.则由S 1S 2＝94可得r 1r 2＝32.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32. 答案：323．(2013·江苏高考)如图，在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析：设三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24.答案：1∶244．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：由题意知，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积为S ＝4πR 2＝14π. 答案：14π5．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P -ABCD 的体积． 解：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD . 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD .(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD . 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ， 所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3. 所以四棱锥P -ABCD 的体积 V ＝13×2(2＋4)2×23＝4 3.6．(2017·北京高考)如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．(1)求证：PA ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(3)当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E -BCD 的体积． 解：(1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，所以PA ⊥平面ABC . 又因为BD ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥BD .(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点， 所以BD ⊥AC .由(1)知，PA ⊥BD ，又AC ∩PA ＝A ， 所以BD ⊥平面PAC . 因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面PAC .(3)因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ， 所以PA ∥DE . 因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2.由(1)知，PA ⊥平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .所以三棱锥E -BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.7．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P -ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)如图所示，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ， 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P -ABCD 的体积 V P -ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P -ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.1.(2017·江苏高考)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明：(1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 所以EF ∥AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD . 因为AD ⊂平面ABD ， 所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC .2．(2016·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC . 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1.又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D .又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F .因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . 3.(2014·江苏高考)如图，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证： (1)直线PA ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明：(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ∥BC ，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE⊥平面ABC.4．(2017·山东高考)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，因为ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，因为O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，所以EM∥AO.因为AO⊥BD，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E⊂平面A1EM，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.。
2018-2019学年高中新三维一轮复习文数江苏专版：板块
板块命题点专练(十三) 算法、复数、推理与证明1.(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，2＋log 2x ，0<x <1，所以当输入的x的值为116时，y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.答案：－22．(2016·江苏高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________．解析：由a ＝1，b ＝9，知a ＜b ， 所以a ＝1＋4＝5，b ＝9－2＝7，a ＜b . 所以a ＝5＋4＝9，b ＝7－2＝5，满足a ＞b . 所以输出的a ＝9. 答案：93．(2015·江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．S ←1I ←1While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3End While Print S解析：由程序可知，S ＝1，I ＝1，I ＜8；S ＝3，I ＝4，I ＜8；S ＝5，I ＝7，I ＜8；S ＝7，I ＝10，I ＞8，此时结束循环，输出S ＝7.答案：74．(2014·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是________．解析：该流程图共运行5次，每次2n 的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n 的值是5. 答案：51.(2017·江苏高考)则z 的模是________． 解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， 则|z |＝(－1)2＋32＝10.法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：102．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：53．(2015·江苏高考)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝32＋42＝5， 所以|z |＝ 5. 答案： 54．(2016·全国卷Ⅲ改编)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝________.解析：因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i z z －1＝4i4＝i.答案：i5．(2017·山东高考改编)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝________.解析：因为z i ＝1＋i ，所以z ＝1＋i i ＝1i＋1＝1－i. 所以z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i. 答案：－2i1.(2017·师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则下列说法正确的序号为________．①乙可以知道四人的成绩 ②丁可以知道四人的成绩 ③乙、丁可以知道对方的成绩 ④乙、丁可以知道自己的成绩解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩．故④正确．答案：④2．(2015·陕西高考)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为______________________________________________． 解析：等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n.答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n3．(2016·天津高考)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝12n(－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑k ＝1n1T k＜12d 2.证明：(1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1， c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2， 所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n (a 2＋a 2n )2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑k ＝1n1T k＝12d 2∑k ＝1n 1k (k ＋1)＝12d 2∑k ＝1n ⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1 ＜12d 2.。
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第四节复数课件文
4．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚 数，则实数a的值为________．
解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚 数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2. 答案：－2
[谨记通法] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念 都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关 的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R) 的形式，再根据题意求解，如“题组练透”第3题．
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需 考虑它的实部是否有意义．
2．两个虚数不能比较大小． 3．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，
d∈R的前提条件． 4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬
到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不 能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
3，所以(x－2)2＋y2＝3.由图可知
xymax＝ 13＝ 3. 答案： 3
3．(2014·苏州一调)若复数(a＋i)2 对应的点在 y 轴的负半 轴上(其中 i 是虚数单位)，则实数 a 的值是________． 解析：因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai， 由条件得a22a－＜10＝，0， 从而a＝－1. 答案：－1
2．设复数z＝21－ ＋ii，则z的共轭复数为________． 解析：∵z＝21－ ＋ii＝2－i21－i＝12－32i， ∴ z ＝12＋32i. 答案：12＋32i
3．(易错题)(2016·金陵中学检测)设复数 z＝－1－i(i 为虚数单 位)，z 的共轭复数为 z ，则|(1－z)·z |＝________. 解析：依题意得(1－z)·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i， 则|(1－z)·z |＝|－3＋i|＝ －32＋12＝ 10. 答案： 10
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第三节平面向量的数量积与平面向量应用课件文
考点三 平面向量与三角函数的综合 重点保分型考点——师生共研
[典例引领] (2016·苏北四市调研)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－
3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝ －1，a＝ 7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边 长b和c的值．
1．(易错题)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b 与2a－b平行，那么a·b＝________.
解析：a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由
题意得 3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则 m＝－12，
所以 a·b＝－1×－12＋2×1＝52.
答案：52
∴S△ABC＝12| AB|·| AC |·sin〈
AB ，
AC 〉＝1－
3 2.
答案：1－
3 2
解析：因为 2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c， 所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0， 解得 k＝3. 答案：3
6．已知向量 AB与 AC 的夹角为 120°，且| AB|＝3，| AC |
4．已知两个单位向量e1，e2的夹角为
π 3
，若向量b1＝e1－
2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2， 则 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.
因为 e1，e2 为单位向量，〈e1，e2〉＝π3，
＝2.若 AP＝λ AB＋ AC ，且 AP⊥ BC ，则实数 λ 的值为
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算课时跟踪检测文
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算课时跟踪检测文一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·苏州测试)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ＝a ，CA ＝b ，则AM ＝________.解析：AM ＝AC ＋CM ＝－CA ＋12CB ＝－b ＋12a .答案：－b ＋12a2．在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是________．解析：由已知，得AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ，故AD ∥BC .又因为AB 与CD 不平行，所以四边形ABCD 是梯形．答案：梯形3．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ＋CB ＝0，则向量OC ＝________.(用OA ，OB 表示)解析：因为AC ＝OC －OA ，CB ＝OB －OC ，所以2AC ＋CB ＝2(OC －OA )＋(OB －OC )＝OC －2OA ＋OB ＝0，所以OC ＝2OA －OB .答案：2OA －OB4.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＋AD ＝λAO ，则λ＝________.解析：因为ABCD 为平行四边形， 所以AB ＋AD ＝AC ＝2AO ， 已知AB ＋AD ＝λAO ，故λ＝2. 答案：25．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM |＝12|BC |＝2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·南通中学月考)设O 是△ABC 的外心，则AO ，BO ，CO 是________．(填序号)①相等向量；②模相等的向量；③平行向量；④起点相同的向量．解析：由题意，知点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO ，BO ，CO 是模相等的向量．显然AO ，BO ，CO 的起点不同且方向均不相同，故填②.答案：②2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________.解析：依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.答案：03．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b4．(2016·启东中学月考)在边长为1的正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，AC ＝c ，则|a －b ＋c |＝________.解析：如图所示，∵a －b ＋c ＝AB －AD ＋AC ＝AB －AD ＋AB ＋AD ＝2AB ＝2a ， ∴|a －b ＋c |＝2. 答案：25．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC ＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．解析：∵D 为AB 的中点，则OD ＝12(OA ＋OB )，又OA ＋OB＋2OC ＝0，∴OD ＝－OC ，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 答案：46．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋32MC ＝0，D 是AC 的中点，则|MD ||BM |的值为________．解析：∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD ＝12MD ＝12(MA ＋MC )．∵MB ＋32MA ＋32MC ＝0，∴MB ＝－32(MA ＋MC )＝－3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD ||－3MD |＝13.答案：137．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB －OC |＝|OB ＋OC －2OA |，则△ABC 的形状为________．解析：OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ，∴|AB ＋AC |＝|AB －AC |. 故AB ⊥AC ，△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，故①错；BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确；CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④. 答案：39.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .解：AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b .AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB ) ＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b . 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD .又∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，∵BF ＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ＝λBD (λ∈R)， 即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ＝AD ＋μAB ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ＝2DC . ∵点E 在线段CD 上，∴DE ＝λDC (0≤λ≤1)．∵AE ＝AD ＋DE ，又AE ＝AD ＋μAB ＝AD ＋2μDC ＝AD ＋2μλDE ，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，122.如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE ＝λAB ＋μAC ，t ＝λ－μ，则t 的最大值是________．解析：设AE ＝k AD (0≤k ≤1)，则AE ＝k (AC ＋2CB )＝k [AC＋2(AB －AC )]＝2k AB －k AC .∵AE ＝λAB ＋μAC ，∴λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k,0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取得最大值3.答案：33．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ＝m OA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB )， ∴OP －OB ＝m (OA －OB )， 即BP ＝m BA ，∴BP 与BA 共线． 又∵BP 与BA 有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 存在实数λ，使BP ＝λBA ，∴OP －OB ＝λ(OA －OB )． 又OP ＝m OA ＋n OB .故有m OA ＋(n －1)OB ＝λOA －λOB ， 即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
2019-2020年三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第二节平面向量的基本定理及坐
交通特点 人口分布 建筑特点 生产活动
乡村
城市
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探究活动二：乡村和城市聚落的差异？
交通特点 人口分布 建筑特点 生产活动
乡村 不发达
稀疏 稀疏、低层建筑
农业
城市 发达 稠密 密集、高层建筑 非农业
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村庄到城镇的演变
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探究活动三：聚落形成的环境因素有哪些呢？
地形平坦 土壤肥沃 水源充足（井、湖、河畔） 自然资源丰富 交通便利（临海或河或交通线）
西亚的房屋 墙厚、窗小。厚墙可以尽量减少 白天通过墙壁传导进入的太阳热量， 小窗可以减少白天从沙漠地区吹来的 热风。
预习导学
曲阜的孔庙、孔府及孔林
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探究活动一：聚落有哪些类型？
乡村的类型：农村、牧村、渔村、林场
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城市的类型：文化、政治、工业、服务业
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探究活动二：乡村和城市聚落的差异？
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意 大 利 水 城 ——威 尼 斯
威尼斯是浪漫的水城，河多，桥也多，一百多条运河纵横全市。运 河两侧多棕红色屋顶的矮楼，少有高层建筑。
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云南的丽江古城
丽江古城古朴自然，兼有水乡之容、山城之貌，它作为有悠久历史的少数民族 城市，建筑融汉、白、彝、藏各民族精华，并且具有纳西族独特风采。
2019/7/19
最新中小学教学课件
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2019/7/19
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不同环境下聚落的分布
平原地区，自然条件比较优越，历史悠久，人口稠密，经济发达，因此， 聚落分布比较稠密；而高山、荒漠地区，自然条件恶劣，给人类的生存带来困难， 因此少有或没有聚落。
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三维设计江苏专用高三数学一轮总复习提升考能阶段验收专练卷三文
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习提升考能阶段验收专练卷三文(时间：80分钟 满分：120分)Ⅰ.小题提速练(限时35分钟)填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2016·南京师大附中月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 4＝6，则S 5＝________.解析：由等差中项可得a 2＋a 4＝a 1＋a 5， 所以S 5＝5a 1＋a 52＝15.答案：152．一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为________．解析：由题意知a n ＞0，S 4＝5S 2，显然公比q ≠1，且q ＞0，所以a 11－q 41－q ＝5a 11－q21－q，即q 4－5q 2＋4＝0，解得q 2＝4或q 2＝1(舍去)，又q ＞0，所以q ＝2. 答案：2 3．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为_________________________________________________． 解析：观察这些等式，第一个等式左边1个数，从1开始；第二个等式左边3个数相加，从2开始；第三个等式左边5个数相加，从3开始；…；第n 个等式左边是2n －1个数相加，从n 开始．等式的右边为左边2n －1个数的中间数的平方，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)24．(2016·苏州测试)若等差数列{a n }前n 项和S n 有最大值，且a 11a 12＜－1，则当S n 取最大值时，n 的值为________．解析：由等差数列的前n 项和有最大值，可知d ＜0，再由a 11a 12＜－1，知a 11＞0，a 12＜0，从而使S n 取最大值的n ＝11.答案：115．若关于x 的不等式x 2－ax －6a ＜0有解且解的区间长度不超过5个单位长度，则a 的取值范围是________．解析：由x 2－ax －6a ＜0有解得a 2＋24a ＞0，①由解的区间长度不超过5个单位长度，得a 2＋24a ≤5，②由①②得－25≤a ＜－24或0＜a ≤1.答案：[－25，－24)∪(0,1] 6．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________________________.解析：由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.答案：10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 307．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．解析：由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案：28．(2016·南京调研)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为________．解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y ＝kx －3过定点(0，－3)，所以当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3，所以k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)9．(2016·苏州调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2a n 为偶数，a n －2n a n 为奇数.若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7， 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10，或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,1010．观察下列各式：32＋27＝2·327， 33＋326＝3·3326， 34＋463＝4· 3463，…，若 39＋9m ＝9·39m，则m ＝________.解析：由于32＋27＝2·327可改写为32＋223－1＝2·3223－1； 33＋326＝3·3326可改写为33＋333－1＝3·3333－1； 34＋463＝4·3463可改写为34＋443－1＝4·3443－1，由此可归纳出： 39＋9m ＝9·39m中，m ＝93－1＝729－1＝728. 答案：72811．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是______________．解析：由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0， 又其解集是(－1,3)， ∴a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或a ＝13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3， 由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0，解得x ＞12或x ＜－32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 12．(2016·洛阳一测)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＝0时，不等式为－|x |<0，解集不为空集． 当a ≠0时，由题意知a >0，令t ＝|x |， 则原不等式等价于at 2－t ＋2a <0(t ≥0)， 所以a <tt 2＋2(t ≥0)．根据题意知a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫t t 2＋2max(t ≥0)．而tt 2＋2≤t 22t 2＝24，所以a ≥24. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ Ⅱ.大题规范练(限时45分钟) 解答题(本大题共4小题，共60分) 13．(本小题满分14分)设f (x )＝13x＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明如下： 设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝3x 1＋3＋3x 2＋33x 1＋33x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋33x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋2333x 1＋3x 2＋23＝33. 14．(本小题满分14分)已知f (x )＝－3x 2＋a (5－a )x ＋b . (1)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)<0恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f (x )>0，即－3x 2＋a (5－a )x ＋b >0， ∴3x 2－a (5－a )x －b <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a 5－a －b ＝0，27－3a 5－a －b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝9.(2)f (2)<0，即－12＋2a (5－a )＋b <0， 则2a 2－10a ＋(12－b )>0对任意实数a 恒成立， ∴100－8(12－b )<0， ∴b <－12.∴实数b 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12. 15．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1) ∵S n ＝2n 2， ∴a 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，上式也成立， ∴a n ＝4n －2，n ∈N *. ∵b 1＝a 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1， ∴b 1＝2，b 2＝12，又{}b n 为等比数列，∴公比q ＝14，∴b n ＝b 1qn －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝24n －1.(2)由(1)得c n ＝4n －224n －1＝(2n －1)·4n －1，则T n ＝1·40＋3·41＋5·42＋…＋(2n －3)·4n －2＋(2n －1)·4n －1，4T n ＝1·41＋3·42＋5·43＋…＋(2n －3)·4n －1＋(2n －1)·4n.所以－3T n ＝1＋2[41＋42＋43＋…＋4n －1]－(2n －1)·4n＝1＋2×41－4n －11－4－(2n －1)4n＝－6n －54n 3－53. 所以T n ＝6n －54n9＋59. 16．(本小题满分16分)在数列{}a n 中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{}a n 的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解：(1)令b n ＝na n ，{}b n 的前n 项和为S n ，则S n ＝12b n ＋1，∴S n －1＝12b n (n ≥2)，两式相减得b n ＋1b n ＝3.又b 1＝a 1＝1，在条件式中令n ＝1,2， 得a 2＝1，a 3＝2， ∴b 2＝2a 2＝2， ∴b n ＝b 2·3n －2＝2×3n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n n ＋1，设f (n )＝n n ＋12·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝n ＋11－n3n －1<0，所以1fn ＋1>1f n(n ≥2)， 又1f 2＝13及a 12＝12， 所以所求实数λ的最小值为13.。
2025高考数学一轮复习-5.4-复数-专项训练【含答案】
2025高考数学一轮复习-5.4-复数-专项训练基础巩固练1.已知i为虚数单位,复数(a2-a-2)+(a+1)i是纯虚数,则实数a的值为()A.1或2B.2C.-1或2D.12.(2024南京、盐城一模)(2+3i)(2-3i)=()A.5B.-1C.1D.73.若两个复数的实部相等或虚部相等,则称这两个复数为同部复数.已知z=(1-i)3,则下列数是z 的同部复数的是()A.2+iB.3-2iC.4-iD.-3+2i4.(2023连云港调研)已知z∈C,则“z= ”是“z∈R”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(多选题)(2023盐城模拟)若复数z满足z(2+i)=1-i2023,则()A.z的虚部为35B. 35i5C.D.z在复平面内对应的点位于第四象限6.(多选题)已知复平面内复数z1对应向量 1 =(1,-3),复数z2满足|z2|=2, 1是z1的共轭复数,则()A.|z1|=| 1 |B. 12=( 1)24 D.|z1z2|=47.(2023南通调研)已知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称,且(2-i)z1=|4-3i|,则z2的虚部为.8.(2023淮安调研)对于任意的两个数对(a,b),(c,d),定义运算(a,b)*(c,d)=ad-bc.若(1,-1)*(z,z i)=1-i,则复数 =.9.已知复数z1=(a2-2)-(2a+4)i,z2=a-(a2+1)i,z=z1-z2(i为虚数单位,a∈R).(1)若复数z=z1-z2为纯虚数,求z1·z2的值;(2)若|z+1|=|z-i|,求|z+i|的值.综合提升练10.若复数z1=1+a i(a∈R),z2=133-2i,且|z1|≤|z2|,则a的最大值为()A.1B.2C.23D.3211.若复数z满足|z+3|-|z-3|=4,则|z+1|的最小值为()A.3B.3C.2D.212.(多选题)(2023宿迁质检)已知复数z1=m2-1+(m+1)i,z2=cos2θ+isinθ,则下列说法正确的有()A.若z1为纯虚数,则m=1B.若z2为实数,则θ=kπ,k∈ZC.若z1=z2,则m=0或m=-43D.若z1≥0,则m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞)13.(多选题)设z,z1,z2为复数,且z1≠z2,则下列说法正确的是()A.若 1=z2,则z1= 2B.若|z1-z2|=|z1+z2|,则z1z2=0C.若zz1=zz2,则z=0D.若|z-z1|=|z-z2|,则z在复平面内对应的点在一条直线上14.若在复数范围内,方程x2-2x+5=0的两根为α,β,则|α|+|β|=.创新应用练15.已知i为虚数单位,复数z= 0-2i1-i(a0∈R)是纯虚数,则“a=a0”是“直线l1:ax+4y+1=0与直线l2:x+ay+12=0平行”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件16.欧拉公式e x i=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的联系,在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式,下列选项正确的是()A.eπi为虚数B.函数f(x)=e x i不是周期函数C.若e x i=1-3i2,则x=2π3D.eπ4i·eπ3i的共轭复数是2-62+6i参考答案1.B2.D3.B4.C5.BC6.ABD7.-18.i9.解(1)∵z1-z2=(a2-a-2)+(-2a-4+a2+1)i(a∈R)为纯虚数, 2- -2 0,2-2 -3≠0,解得a=2,∴z1=2-8i,z2=2-5i,∴z1·z2=(2-8i)·(2-5i)=-36-26i.(2)∵z=z1-z2=(a2-a-2)+(a2-2a-3)i,|z+1|=|z-i|,∴复数z对应的点(a2-a-2,a2-2a-3)在直线y=-x上,即a2-2a-3=-a2+a+2,解得a=-1或a=52当a=-1时,z=0,|z+i|=1;当a=52时,z=74 74i,|z+i|=|74 34i10.C11.A12.ABC13.ACD14.2515.A16.D。
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课时跟踪检测（二十八） 复数
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2015·安徽高考改编)设i 是虚数单位，则复数2i
1－i
在复平面内所对应的点位于第________象限．
解析：2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i ＝2 i －1 2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复
平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限．
答案：二
2．(2016·西安质检)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i.若z ＝z 1
z 2，则z ＝________.
解析：z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝ 2
＋i 1＋2i 5＝5i 5＝i ，z ＝－i.
答案：－i
3．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R)是纯虚数，则1
z ＋a
的虚部为________．
解析：由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，
a ＋1≠0，所以a ＝1，
所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i 1＋2i 1－2i ＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1
z ＋a 的虚部为－
2
5
. 答案：－2
5
4．复数|1＋2i|＋⎝
⎛⎭
⎪⎫1－3i 1＋i 2
＝________.
解析：原式＝12
＋ 2 2
＋ 1－3i 2 1＋i 2＝3＋－2－23i
2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i
5．(2015·重庆高考)设复数a ＋bi(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋bi)(a －bi)＝________. 解析：∵|a ＋bi|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋bi)(a －bi)＝a 2＋b 2＝3. 答案：3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．复数z ＝1＋2i 2 0151－i 2 015(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在第________象限．
解析：z ＝1＋2i 2 0151－i 2 015＝1－2i 1＋i
＝1－3i －22＝－12－32i ，则z ＝－12＋3
2i 在复平面内对应的点
在第二象限．
答案：二
2.如图，在复平面内，复数z
1，z 2对应的向量分别是 OA ，
OB ，则
|z 1＋z 2|＝________.
解析：由题图可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2.
答案：2
3．(2015·苏北四市调研)已知复数z ＝1＋2i
1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝________.
解析：z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i 1＋i 2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015
＝1× 1－z 2 016 1－z ＝
1－i 2 0161－i ＝1－i 4×504
1－i
＝0.
答案：0
4．(2016·无锡调研)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1
z 2
为纯虚数，则实数a ＝________.
解析：z 1
z 2＝a ＋32i
a －32i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋32i 2
⎝
⎛⎭⎫a －32i ⎝⎛⎭⎫
a ＋32i
＝
⎝
⎛⎭⎫a 2－34＋3ai
a 2
＋
34
是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－34＝0，3a≠0，解得a ＝±3
2
.
答案：±32
5．(2016·浙江摸底)已知i 是虚数单位，若a ＋3i
i ＝b ＋i(a ，b ∈R)，则ab 的值为________．
解析：由a ＋3i i ＝b ＋i ，得a ＋3i i ＝－i a ＋3i
－i 2
＝3－ai ＝b ＋i ，所以b ＝3，a ＝－1，则ab ＝－3.
答案：－3
6．(2016·徐州统考)若复数z 满足z ＝i(2＋z)(i 为虚数单位)，则z ＝________. 解析：∵z ＝i(2＋z)，∴(1－i)z ＝2i ，
∴z ＝2i
1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i ＝i(1＋i)＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．已知a ∈R ，若1＋ai 2－i
为实数，则a ＝________.
解析：1＋ai 2－i ＝ 1＋ai 2＋i 2－i 2＋i ＝2＋i ＋2ai －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i ，
∵1＋ai 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－1
2.
答案：－1
2
8．定义：若z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋bi 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．
解析：设(x ＋yi)2＝－3＋4i ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－y 2＝－3，xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－2.
答案：1＋2i 或－1－2i
9．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，
C ，若 OC ＝λ OA ＋μ
OB ，(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：由条件得 OC ＝(3，－4)， OA ＝(－1,2)， OB ＝(1，－1)，根据 OC ＝λ OA ＋μ
OB ，
得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1，
μ＝2.
所以λ＋μ＝1.
10．计算：(1) －1＋i 2＋i i 3
；(2) 1＋2i 2＋3 1－i
2＋i ； (3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2；(4)1－3i
3＋i 2. 解：(1) －1＋i 2＋i i 3
＝－3＋i －i
＝－1－3i. (2) 1＋2i 2＋3 1－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i
2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i.
(3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i
2＝－1.
(4)1－3i 3＋i 2＝ 3＋i －i
3＋i 2
＝
－i 3＋i
＝ －i 3－i
4
＝－14－3
4
i.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R)，并且z 1
＝z 2，则λ的取值范围是________．
解析：由复数相等的充要条件可得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2cos θ，
4－m 2
＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，
由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝
⎛⎭⎫sin θ－382－9
16， 因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎡⎦⎤－9
16，7. 答案：⎣⎡⎦
⎤－9
16，7 2．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则z 1·z 2＝________. 解析：z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°·sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋3
2
i.
答案：12＋32
i
3．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝2
1－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．
解：z 1＋z 2＝
3a ＋5＋(a 2－10)i ＋2
1－a
＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋2
1－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝
a －13
a ＋5 a －1
＋(a 2＋2a －15)i.
∵z 1＋z 2是实数，
∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a≠－5，故a ＝3.。