14.1.4__整式的乘法_第2课时
人教版八年级数学上册作业课件 第十四章 整式的乘法与因式分解 整式的乘法 第2课时 单项式乘以多项式
7．(3分)(易错题)要使x(x＋a)＋3x－2b＝x2 ＋5x＋4成立，则a，b的值分别 为( C )
A．a＝－2，b＝－2 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝－2 D．a＝－2，b＝2 8．(3分)已知单项式M，N满足3x(M－5x)＝6x2y2＋N， 则MN＝_____－__3_0_x_3_y_2_______．
人教版
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1.4 整式的乘法 第2课时 单项式乘以多项式
单项式乘多项式法则
1．(3 分)填空：3m(3m2－13 m)＝3m·__3_m_2_____＋3m·_(－__13___m_)___ ＝_____9_m__3_－__m_2____．
2．(3分)(柳州中考)计算：x(x2－1)＝( B ) A．x3－1 B．x3－x C．x3＋x D．x2－x 3．(3分)下列各题计算正确的是( D ) A．(ab－1)(－4ab2)＝－4a2b3－4ab2 B．(3x2＋xy－y2)·3x2＝9x4＋3x3y－y2 C．(－3a)(a2－2a＋1)＝－3a3＋6a2 D．(－2x)(3x2－4x－2)＝－6x3＋8x2＋4x
10．(8 分)先化简，再求值：(－13 xy)2·[xy(2x－y)－2x(xy－y2)]，其 中 x＝－112 ，y＝－2. 解：原式＝19 x2y2·(2x2y－xy2－2x2y＋2xy2) ＝19 x2y2·xy2＝19 x3y4.当 x＝－112 ，y＝－2 时， 原式＝19 ×(－112 )3×(－2)4＝－6
【素养提升】 11．(8 分)某同学在计算一个多项式乘以－3x2 时，算成了加上－3x2， 得到的答案是 x2－12 x＋1，那么正确的计算结果是多少？
14.1.4整式的乘法(第2课时)
“以学为主’有效课堂范式”之课堂导学
设计预案
课题14．1.4 整式的乘法第2课时单项式与多项式相乘授课时间年月日星期第节
课标及教材解读
本节课是在学习了幂运算及单项式与单项式相乘以后进一步学习单项式与多项式相乘，是后面学习多项式乘以多项式以及平方差公式和完全平方公式的基础．本课时由图形面积引入单项式乘以多项式的法则，体现了数形结合的思想，教学时注意引导学生在计算时不要漏乘．
课时教学目
标知识目标：1、探索并了解单项式与多项式的乘法运算法则．
2、会进行简单的整式乘法运算.
能力目标：经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力.
素养目标：培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值，培养学生学习的兴趣.
重点难点教学重点：单项式与多项式相乘的法则.
教学难点：单项式与单项式相乘的法则及单项式与多项式相乘的法则的综合运用.
课前预学任务（前提测评内容）
计算：
(1)(－2a2)(－
1
8ab
2)；(2)(－12)×(
1
3＋
1
4－
1
6)．
情境导入问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a米和c米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？
出示目标板书目标并解读
导学活动预设
教师活动学生活动设计意图
活动一：实践探究、交流新知
1．针对上面问题，我们可以用几种不同的方法表示：1、学生观察可知：p(a＋b＋
c)＝pa＋pb＋pc，它们都表示
长方形绿地的面积．
1.引导学生概括单项
式乘多项式的法则，
培养学生的概括能。
14.1.4整式的乘法--单项式乘以单项式(教案)
今天的教学中，我发现学生们在理解单项式乘法的概念和运算法则上存在一些困难。尤其是在处理含有多个字母的乘法时，有些同学容易混淆指数的相加规则。这让我意识到，需要通过更多具体的例子和直观的演示来帮助他们巩固这部分知识。
在讲授过程中，我尽量使用了生动的语言和实际情境来解释抽象的数学概念，比如通过计算长方体的体积来展示单项式乘法的应用。这样的做法似乎能够让学生们更好地理解数学知识在实际生活中的重要性。
2.抽象思维和逻辑推理能力：培养学生从具体实例中提炼规律，形成抽象概念，并能运用逻辑推理进行问题求解。
3.数学建模能力：使学生能够运用所学知识解决实际生活中的问题，如几何图形的面积、体积计算等，增强数学应用的意识。
4.合作交流能力：通过小组讨论、互助学习，培养学生与人合作、沟通的能力，提高解决问题的效率。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“单项式乘法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《整式的乘法--单项式乘以单项式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或体积的情况？”比如，计算一块长方形的面积，这就涉及到了单项式的乘法。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索单项式乘法的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
北师大版七年级数学下：1.4 整式的乘法 第2课时教学设计
课时课题：第一章整式的乘除第4节整式的乘法（第2课时）教学目标：1．在具体情景中，了解单项式乘多项式的意义.2．理解整式乘法运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力3．会进行单项式与多项式的乘法运算.教学重点与难点：重点：单项式与多项式的乘法运算．难点：体会利用乘法分配律将单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘．教法与学法指导：教法：引导发现，组织交流，探索归纳，当堂训练．学法：在教师指导下观察思考，自主学习，交流合作，归纳发现，探索新知．课前准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：复习单项式乘单项式法则．教学过程：一、复习回顾，提出问题1.复习回顾师：上节课我们学习了单项式乘单项式的运算，请说明如何进行单项式乘单项式的运算？生：（口述法则）师：计算下列各题：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 生：找两名同学上黑板板书，然后师生共同纠错.师：整式包括单项式和多项式请写一个多项式，并说明它的次数和项数. 生：学生举例，回顾多项式的系数和次数.师：今天我们就来继续学习整式的乘法————单项式乘多项式.【设计意图】单项式乘单项式的运算是单项式乘以多项式的基础，所以引导学生回忆单项式乘单项式的运算法则，是为探索单项式乘以多项式法则做好铺垫，因为最终我们要将它转化为单项式乘以单项式，回顾多项式的项数和次数是为今天的新课学习奠定基础,这里让学生举例来回顾多项式的项数和次数，是将抽象的问题具体化，比直接回答定义效果要好.2.提出问题（延续上节课的问题情境）才艺展示中，小颖也作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了等宽的空白，这幅画的画面面积是多少？二、自主合作，解决问题（先让学生独立思考，之后全班交流.交流时引导学生呈现出自己的思考过程） m 81x m 81x mmx m x同学之中主要有两种做法：生：法一：先表示出画面的长和宽，由此得到画面的面积为)41(x mx x -；(直接求法)生：法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面的面积为2241x mx -. (间接求法)师：由此我们可以得出)41(x mx x -= 2241x mx -这个等式.根据面积相等得出的等式，就是面积相等法.师：式子的左边是什么运算？生：式子的左边是一个单项式与一个多项式相乘.师：能不能用学过的法则说明这个等式成立的原因？生：利用乘法分配律可得)41(x mx x -= x x mx x 41⋅-⋅，再根据单项式乘单项式法则或同底数幂的乘法性质得到x x mx x 41⋅-⋅ =2241x mx - ，即)41(x mx x - = 2241x mx -. 师：真棒！这位同学根据乘法的分配律同样得出了)41(x mx x -= 2241x mx -的结论.下面我们一起来分析一下，我们刚才所做的运算是一种怎样的运算?该运算又具有怎样的运算法则呢？生：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（教师针对学生的回答情况，作出指导和评价.）师：（归纳）单项式与多项式相乘的运算法则.（1）用单项式去乘多项式的每一项（不漏乘）；（2）把所得的积相加.【设计意图】从实际问题出发，学生通过对同一面积的不同表达，引出)41(x mx x -=2241x mx - 这个等式，然后再通过乘法分配律验证这一等式，从而很自然的得出单项式乘多项式的法则.这里要注意面积相等法这一数学方法的渗透. 在这里重要的是能够理解运算法则及其探索过程，体会运用乘法分配律将单项式乘以多项式转化为上节课学习的单项式乘以单项式，不必要求学生背诵法则.三、展示汇报，反馈点拨师：单项式与多项式相乘的法则你掌握了吗？快来试一试吧!例2 计算：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）225(23)m n n m n ⋅+- （4）xyz z xy z y x ⋅++)(2322(教师板书第一题步骤，做好示范，其余三题让学生先独立尝试完成，教师巡视批阅，根据巡视批阅中发现的问题，有针对性地进行讲解.) 解：（1）222223322(53)2523106ab ab a b ab ab ab a b a b a b +=⋅+⋅=+（2）221(2)32ab ab ab -⋅=2211(2)322ab ab ab ab ⋅+-⋅ =23221()3a b a b +- =232213a b a b -；(教师板书后点拨：单项式与多项式的乘法运算就是利用乘法分配律将单项式乘以多项式转化为上节课学习的单项式乘以单项式.)（3）225(23)m n n m n ⋅+-=222252535()m n n m n m m n n ⋅+⋅+⋅-=223231015-5m n m n m n +；（4）2232()x y z xy z xyz ++⋅=223(222)x y z xy z xyz ++⋅=223222x xyz y z xyz xy z xyz ⋅+⋅+⋅=232234222x yz xy z x y z ++．师：第（4）题有没有其它做法?生：利用交换律先计算单项式乘单项式.2232()x y z xy z xyz ++⋅=)(2322z xy z y x xyz ++=232234222x yz xy z x y z ++师：通过刚才的练习发现错得最多的是符号问题，下面我们来看一道变式练习.变式练习：（将（3）题变式）)32()5(-22n m n n m -+⋅=)()5(3)5(2)5(2222n n m m n m n n m -⋅-+⋅-+⋅-=3232251510n m n m n m +--；方法二: )32()5(-22n m n n m -+⋅=222253525n n m m n m n n m ⋅+⋅-⋅-=3232251510n m n m n m +--【设计意图】通过例题巩固单项式与多项式相乘的法则，渗透转化的数学思想.通过教师板书一道题，可以给学生示范步骤，学生刚开始学习，按步骤进行计算非常必要.另外三道题让学生独立按步骤计算，主要让学生暴漏做题中的错误，然后师生共同找错、找错因、纠错，能更好地发挥例题的作用.通过第三题的变式，让学生灵活的处理本节课的易错点——符号问题.通过第四小题的一题多解发展学生的思维，提高学生的解题能力.四、巩固训练，巩固提高师：通过上面各题的练习，相信大家对法则有了更深的认识，下面请同学们尝试解决下题.1.计算： )(5)21(2-2222ab b a a b ab a --+⋅ 2.分别计算下面图中阴影部分的面积.解：1．)(5)()2(2222ab b a a b ab a --+⋅-2232235522b a b a b a b a +---=22337b a b a +-=（此题找学生板书，注意符号的处理以及运算顺序.）2．图（1）的阴影部分面积为：22)4(21)221a a S ππ-=（2232181a a ππ-= 2323a π= 图（2）的阴影部分面积为：)(t b t at S -+=2t bt at -+= （此题第（1）个图形的阴影部分面积利用间接求法，用大半圆的面积减去小半圆的面积；第（2）个图形的面积利用割补法，可以横向或纵向分割出两个长方形的面积之和，也可以补成大长方形，用大长方形的面积减去小长方形的面积.）【设计意图】通过变式练习，提高学生分析问题解决问题的能力.这里通过一题图（1）图（2）多解继续发展学生的思维能力.同时及时归纳阴影面积的两种求法，让学生掌握基础的解题方法.五、当堂测试，课堂小结(一) 课堂小结1. 这节课我们主要学习了哪些知识？你有什么收获呢？（单项式与多项式相乘的运算法则，了解了面积相等法、转化的思想、阴影面积的求法.）2.通过我们的错题，你认为进行单项式与多项式乘法，易错点是什么？ 利用法则进行单项式和多项式运算时需注意下面三点：（1） 多项式第一项要包括前面的符号；（2） 单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项，检验办法是看积中的项数和原多项式因式的项数是否相同.（3） 单项式因式系数为负时，改变多项式因式对应项的符号.3.本节课你还有什么疑惑?【设计意图】通过三个问题可以很好的帮学生梳理本节课的重点、难点、易错点，还有一些数学思想数学方法.(二) 当堂达标（A ）类1. 下列运算正确的是（ ）A ．64322315)5(3x x x x x -=-B ．ab a b a a --=--22)2(C ．xy y x y y x x 96)32(332+-=--D ．b a b a 32)3(2+-=--2.课本17页随堂练习（1）——（4）（B ）类3. (三) 布置作业必做作业：课本P 17习题1.7第1两题.选做作业：课本P 17习题1.7第3题.六、板书设计.)(,63522的值求已知b ab b a ab ab ----=1.4整式的乘法（2）x x mx x x mx x 41)41(⋅-⋅=- 法则：例2 )32()5(-22n m n n m -+⋅ 解：（学生板演）（学生板演） 七、教学反思本节课是采用我们舜耕中学“激学导练”教学模式进行的，利用面积相等得出等式，再根据乘法分配律加以验证，把单项式乘以多项式转化为单项式乘单项式，使新知识的学习水到渠成.教学时要注意符号的确定以及不要漏乘，注重数学思想数学方法的渗透，注重学生自学能力的培养，以学生原有的知识和经验为基础，引导学生去分析探索重视知识形成过程的教学，加深学生对所学知识的理解，让学生在学习过程中感受成功，享受学习的快乐.本节课教学是以习题训练为主的，知识前后联系紧密，层层递进，教学时注意选择了有层次的例题和练习，通过例题的变式、一题多解发展了学生的思维练了学生的能力.。
14.1.4 整式的乘法 第2课时 单项式与多项式相乘
则 a 的值为( A )
A. －3
B. －
C. 0
D. 3
解析：( x2＋ ax ＋5)·(－2 x )－6 x2＝－2 x3－2 ax2－10 x －6 x2＝－2 x3＋(－2 a －6) x2－10 x .∵结果中不含有 x2项，∴－2 a －6＝0，∴ a ＝－3. 10.1若( x2－ a ) x ＋2 x 的展开式中只含有 x3这一项，则 a 的值是 2 .
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
16.
真实问题情境 (1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个
卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为
每平方米 a 元，那么购买地砖至少需要多少元？ 解：由题意知，两个卧室以外的部分面积为3 y · y ＋2 y ·(3 x － x － y )
y ＋2 024 xy ＝ x2－ y ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
12. (教材P106习题T12改编)一块长方形铁皮的长为(5 a2＋4 b2)米，宽为6 a2米，在它 的四个角上都剪去一个边长为 a2米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，则盒子 的表面积为 (26 a4＋24 a2 b2) 平方米.
(3)若 a ＝2，当 b 的取值分别是4和6时，阴影部分的面积是否会发生变化？请说明 理由.
人教版14.1.4__整式的乘法_第2课时
【答案】
（1） （2） （3）
-20m3n2+30m2n3. 80a4x2-48a3x4. 27x8y5-18x7y6.
（4）
14a2b2-21ab.
3.化简：x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5). 【解析】原式=x3-x+2x3+2x2-6x2+15x =3x3-4x2+14x.
1. （连云港·中考）下列计算正确的是（
A．a＋a＝ a2 C．(a2) 3＝a5 B．a·a2 ＝a3 D．a2 (a＋1)＝a3＋1
）
【答案】B
2.计算： (1)-10mn·(2m2n-3mn2). (2)(-4ax)2·(5a2-3ax2). (3)(3x2y-2xy2)·(-3x3y2)2. (4)7a(2ab2-3b).
14.1.4 整式的乘法
第2课时
单项式乘以单项式的法则有几点？ ①各单项式的系数相乘； ②相同字母的幂按同底数的幂相乘; ③单独字母连同它的指数照抄.
口算： (1)５x2y2·(-3x2y) (2) (x2)2 ·(-2x3y2) (3)(-2mx2)2·(-3m2x)3
-15x4y3 -2x7y2
2-3xy2 6x 2 3x·（2x-y )=__________________.
2+15xy-18xz -6x 3. -3x·（2x-5y+6z)=__________________.
4.
5-8a4b+4a4c 2 2 -4a (-2a ) ·（-a-2b+c)=________________.
【规律方法】整式的运算是在数的运算的基础上发展 起来的，所以在解决问题时类比数的运算律，将单项 式乘以多项式转化为单项式的乘法.并且不能漏乘，注
八年级数学上册广东人教版同步课件第十四章 14-1-4 整式的乘法 第2课时
D．6
3．若x＋y＝2，xy＝－1，则(1－2x)·(1－2y)的值是(A )
A．－7
B．－3
C．1
D．9
4．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)，宽为(3a＋b)的大长方形，则需要C类卡片( C )
A．5张
B．6张
C．7张
D．8张
5．三个连续奇数，若中间的一个为n，则它们的积为( C )
8．我校操场原来的长是 2x 米，宽比长少 10 米，现在把操场的长与宽都增加了 5 米，
则整个操场面积增加了____(2_0__x－___2_5_) ___平方米．
9．如图，有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形空地，计划修筑东西、南北 走向的两条道路，其余进行绿化(空白部分)，已知道路宽为 a 米，则绿化的面积是多 少平方米？并求出当 a＝3，b＝2 时的绿化面积．
9．(素养提升题)定义：一个多项式A乘以另一个多项式B化简得到新的多项式 C，若C的项数比A的项数多不超过1项，则称B是A的“友好多项式”．特别地， 当C的项数和A的项数相同时，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)如果A＝x－2，B＝x＋3，那么B是否是A的“友好多项式”？请说明理由． (2)如果A＝x－2，B是A的“特别友好多项式”，那么： ①请举出一个符合条件的二项式B＝________． ②若B是三项式，请举出一个符合条件的B，并说明理由． (3)若A是三项式，是否存在同样是三项式的B，使得B是A的“友好多项式”？若 存在，请举例说明，若不存在，请说明理由．
10．若(x＋3)(x－5)＝x2＋mx＋n，则( D )
A．m＝－2，n＝15 B．m＝2，n＝－15
C．m＝2，n＝15
人教八年级数学14.1.4 整式的乘法(第2课时)
14.1.4 整式的乘法（第2课时）学习目标⒈让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算.⒉经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力.⒊培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值.【重点】单项式与多项式相乘的法则.【难点】整式乘法法则的推导与应用.学习过程【预习与新知】1、叙述去括号法则？2、单项式乘以单项式的法则是：。
3、计算：①()()235xx-；②()()xx--3；③⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛xyxy5231；④⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-mnm3152。
4、写出乘法分配律？（用字母表示）5、利用乘法分配律计算：①⎪⎭⎫⎝⎛+-1323233xxx；②()1326-+nmmn。
6、有三家超市以相同的价格n（单位：元/台）销售A牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是：x，y，z，请你用不同的方法计算他们在这一年内销售这钟空调的总收入？你发现了什么规律？单项式乘以多项式的法则：【课堂展示】1、计算：()()322532ababa--。
2、化简：()222210313xyyxxyxyx-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-。
3、解方程：()()3421958--=-xxxx【当堂反馈】1、计算：①()8325322+-xxx；②⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛-232211632xyxyyx；③()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-xyyxxy515322；④()()()()3326510103102103⨯⨯-⨯⨯⨯。
2、下列各式计算正确的是（）（A）()23422212321132xyxxxxyx+-=⎪⎭⎫⎝⎛---（B）()()11322++-=+--xxxxx（C）()22 12522145yxyxxyxyx nn-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛--（D）()()2222225515yxyxxxy--=--3、先化简再求值：()()xxxxxx31222----，其中2-=x。
八年级数学人教版(上册)14.1.4《整式的乘法》第2课时PPT课件
你能根据以上规律总结出同底数幂的除法的运 算法则吗？
由以上规律我们可以计算am÷an (a≠0, m, n都是正整数, 并且m>n). 因为am-n·an=am-n+n=am，所以am÷an=am-n.
同底数幂的除法： (1) 底数 a 可以是单项式，也 可以是多项式，但不可以是 0；
符号表示：am÷an=am-n(a≠0, m, n都是正整数, 并且m>n).
(2) 同底数幂的除法的性质可以逆用，即am-n= am÷an (a≠0, m, n都是正整数, 并且m>n).
新知探究 知识点2 零指数幂
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数， 例如am÷am的结果是多少呢？
根据除法的意义可知所得的商为1. 如果依照同底数幂的除法来计算,又有am÷am=am-m=a0.
性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
示例1：
指数相减
x9 x6 x96 x3
底数不变
新知探究 跟踪训练
例1 计算： (1)x8÷x2；
解：(1)x8÷x2 =x8-2 =x6；
(2)(ab)5÷(ab)2.
(2)(ab)5÷(ab)2 =(ab)5-2 =(ab)3 =a3b3
拓展 ：同底数幂的除法的性质也适用于三个及三个以上 的同底数幂相除，即am÷an ÷ap=am-n -p=am-n (a≠0, m, n,p 都是正整数, 并且m>n+p).
2.解关于 x 的方程 xm+3÷xm=x3+2x+4 . 解：因为xm+3÷xm=xm+3-m=x3， 即 x3=x3+2x+4. 所以2x+4=0，解得x=-2.
【最新版】八年级数学上册课件：14.1.4 整式的乘法(第2课时)
= –x2–4xy+8y2
当x=
–2，y=
−
1 2
时，
原式= –6
探究新知
14.1 整式的乘法/
例3 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x–2的积不含x2项，也不
含x项，求系数a、b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x–2)
方法总结：解决此类问题
＝3ax3–2ax2＋3bx2–2bx＋3x–2， 首先要利用多项式乘法法
D3.．已b知=0ab=a+b+1，则(a–1)(b–1)=2_____．
课堂检测
14.1 整式的乘法/
4. 判别下列解法是否正确，若不正确，请说出理由. （1） (2x 3)(x 2) (x 1)2;
解：原式 2x2 4x 6 (x 1)( x 1) 漏乘 2x2 4x 6 ( x2 2x 1)
a
m
b
n
素养目标
14.1 整式的乘法/
2. 能够运用多项式与多项式的乘法运算法 则进行计算.
1. 理解并掌握多项式与多项式的乘法运算 法则.
探究新知
知识点
14.1 整式的乘法/
多项式乘多项式的法则
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
(1)将单项式分别乘以多项式的各项.
回
(2)再把所得的积相加.
=22+14 –56 =–20.
课堂检测
14.1 整式的乘法/
能力提升题
解方程与不等式： ①(x–3)(x–2)+18=(x+9)(x+1)；②(3x+6)(3x–6)＜9(x– 2)(x+解3)：．①原式去括号，得:x2–5x+6+18=x2+10x+9，
北师大版数学七年级下册《整式的乘法》整式的乘除(第2课时)
北师大版数学七年级下册
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单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式的法则 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式
的每一项，再将所得的积相加.
p
p
p
a
b
c
注意： （1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
单项式乘 多项式
实质上是转化为单项式×单项式
整式的 乘法
注意
（1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的 符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异 号相乘得负 （2）不要出现漏乘现象 （3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减 （4）对于混合运算，注意最后应合并同类项
5.(-2a2)2（-a-2b+c)=_-_4_a_5_-_8_a_4_b_+_4_a_4c____.
6.计算： （1）(－4x)·(2x2+3x－1)；
解：原式＝(－4x)·(2x2)+(－4x)·3x+(－4x)·(－1)
＝-8x3-12x2+4x;
(2)(
2 3
ab2－2ab)·12
ab.
解：原式＝
＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a， 当a＝2时，原式＝－82.
方法总结：在计算时要注意先化简然后再代值计算． 整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．
1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 _每__一__项___,再把所得的积__相__加____.
2.4（a-b+1)=____4_a_-_4_b_+_4___. 3.3x（2x-y2)=___6_x_2_-_3_x_y2___. 4.（2x-5y+6z)(-3x)=__-_6_x_2+_1_5_x_y_-_1_8_x_z__.
西和县四中八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4整式的乘法第2课时
第2课时多项式与多项式相乘1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．(重点)2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)一、情境导入某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．由此可得：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．二、合作探究探究点一：多项式乘以多项式【类型一】直接利用多项式乘多项式进行计算计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解析：利用多项式乘多项式法则计算，即可得到结果．解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【类型二】混合运算计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．探究点二：多项式乘多项式的化简求值及应用【类型一】 化简求值先化简，再求值：(a －2b )(a 2＋2ab ＋4b 2)－a (a －5b )(a ＋3b )，其中a ＝－1，b＝1.解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．解：(a －2b )(a 2＋2ab ＋4b 2)－a (a －5b )(a ＋3b )＝a 3－8b 3－(a 2－5ab )(a ＋3b )＝a 3－8b 3－a 3－3a 2b ＋5a 2b ＋15ab 2＝－8b 3＋2a 2b ＋15ab 2.当a ＝－1，b ＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．【类型二】 多项式乘以多项式与方程的综合解方程：(x －3)(x －2)＝(x ＋9)(x ＋1)＋4.解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项合并同类项，将x 系数化为1，即可求出解．解：去括号后得：x 2－5x ＋6＝x 2＋10x ＋9＋4，移项合并同类项得：－15x ＝7，解得x ＝－715.方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a ＋b )米，宽为(2a ＋b )米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a ＝3，b ＝2时的绿化面积．解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案．解：由题意，得(3a ＋b )(2a ＋b )－(a ＋b )2＝6a 2＋5ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab ，当a ＝3，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×32＋3×3×2＝63，故绿化的面积是63m 2.方法总结：用代数式表示图形的长和宽，再利用面积(或体积)公式求面积(或体积)是解决问题的关键．【类型四】 多项式乘以单项式后，不含某一项，求字母系数的值已知ax 2＋bx ＋1(a ≠0)与3x －2的积不含x 2项，也不含x 项，求系数a 、b 的值．解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)，再根据积不含x 2的项，也不含x 的项，可得含x 2的项和含x 的项的系数等于零，即可求出a 与b 的值．解：(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)＝3ax 3－2ax 2＋3bx 2－2bx ＋3x －2，∵积不含x 2的项，也不含x 的项，∴－2a ＋3b ＝0，－2b ＋3＝0，解得b ＝32，a ＝94.∴系数a 、b 的值分别是94，32.方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．三、板书设计多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础．期末模拟卷（3）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）正十二边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．1080°D．150°2．（3分）下列多项式中，能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2C．D．﹣a2+b2﹣2ab3．（3分）若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a≥2 D．无法确定4．（3分）已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD：CD＝9：7，则D到AB的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．125．（3分）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，0）6．（3分）若关于x的方程+＝3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣7．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（3分）为抢修因连日暴雨而损坏的一段长120米的高速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成了任务．问原计划每天修多少米？设原计划每天修x米，所列方程正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）已知A，B，C三点的坐标分别为（3，3），（8，3），（4，6），若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（）A．（﹣1，6）B．（9，6）C．（7，0）D．（0，﹣6）10．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）A．2.5 B．1.5 C．2 D．1二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：a3﹣a＝．12．（3分）若不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a的取值范围是．13．（3分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为．14．（3分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．15．（3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．第13题图第14题图第15题图三、解答题（本大题共75分）16．（6分）因式分解：2x2﹣4x+2．17．（8分）先化简，再求值．在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为a的值，求（+a﹣1）÷的值．18．（8分）解不等式组，并写出它的整数解．19．（8分）解分式方程：．20．（10分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．21．（12分）某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲单独做，则延误两天完成，那么规定时间是多少天？22．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．23．（14分）已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE＝AB，连接DE交BC于F，交AC于G．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．D． 2．B． 3．C． 4．C． 5．C． 6．B． 7．B．8．D．9．D． 10．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．a（a+1）（a﹣1）． 12 a＜﹣1． 13．17°． 14．2． 15．5或4或5．三、解答题（本大题共75分）16．解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2．17．解：原式＝（+）•＝•＝，∵a≠±1、0，∴取a＝2，则原式＝18．解：解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1，解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1．19．解：方程的两边同乘（x﹣2），得1﹣x+2（x﹣2）＝﹣1，解得：x＝2．检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0，即x＝2不是原分式方程的解．故原方程无解．20．证明：方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵∠F＝∠DGC＝90°，∠BAE＝∠CDE，BF＝CG，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠ABE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．方法三：延长DE至点F，使EF＝DE．又∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，∴△BEF≌△CED．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．21．解：设规定的时间是x天，则甲队单独完成需要（x+32）天，乙队单独完成需要（x+12天），由题意，得20（）+（x+2）＝1，解得：x＝28．经检验，x＝28是元方程的解．答：规定的时间是28天．22．解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：（3）找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示：点P坐标为（2，0）．23．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，AB＝CD，∴∠E＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，又∵BE＝AB，∴BE＝DC，在：△BEF和△CDF中，∴△BEF≌△CDF（AAS）；（2）OF＝AB，OF∥AB．理由如下：∵OA＝OC，BF＝FC，∴OF是△ABC的中位线．∴OF＝AB，OF∥AB．第2课时 用样本平均数估计总体平均数【知识与技能】1。
等式的乘法 第二课时
14.1.4 整式的乘法
第2课时
1.使学生能按步骤进行简单的单项式与多项式相乘的运算. 2.经历探究单项式与多项式相乘的方法，体验单项式与多 项式的乘法运算规律，总结运算法则，认识到单项式与多 项式相乘，结果仍是多项式，积的项数与因式中多项式的
项数相同.
3.培养学生合作交流的思想，体验单项式与多项式相乘的 内涵.
单项式与多项式相乘的法则:
=-6a3b2+10a2b
【例题】
计算：
(1) ( 4x 2 )( 3 x 1)
【解析】原式 (-4x ) (3 x) (-4x ) 1
2 2
-12x3 - 4x 2
(2)3a(5a b)
【解析】 原式 3a 5a 3a b
(3) - 7x y 2 x 3 y
单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以 多项式的各项,再将所得的积相加.
m(a b c) = ma mb mc
① 用单项式分别去乘多项式的每一项； ② 再把所得的积相加。 运算时要注意哪些问题？ ① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项. ② 去括号时注意符号的确定.
只要能收获甜蜜，荆棘丛中也会有蜜蜂忙 碌的身影. ——塞内加
辩一辩 下列各题的解法是否正确，如果错了，指 出错在什么地方，并改正过来。
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【例题】
计算：
(1) ( 4x 2 )( 3x 1)
【解析】原式 (-4x ) (3 x) (-4x ) 1
2 2
(2)3a(5a b)
-12x3 - 4x 2
【解析】 原式 3a 5a 3a b
(3) - 7x 2 y 2 x 3 y 2
15a 2 3ab
-6x2+15xy-18xz 3. -3x·（2x-5y+6z)=__________________. 4.
2)2·（-a-2b+c)=________________. -4a5-8a4b+4a4c (-2a
1. （连云港·中考）下列计算正确的是（
A．a＋a＝ a2 C．(a2) 3＝a5 B．a·a2＝a3 D．a2 (a＋1)＝a3＋1
1 1 1 ) 2 3 4 =12-8+6
根据乘法分配律， 不难算出结果吧!
=10
试一试 计算：2a2·(3a2-5b)
= 2a2· 2- 2a2· 3a 5b =6a4 -10a2b
结论：
单项式与多项式相乘法则: 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每 一项，再把所得的积相加.
ma b c ma mb mc
2 2 2 【解析】原式 (7x y) 2x (7x y) 3y
14x 3 y 21x 2 y3
【跟踪训练】
1.
2.
4a-4b+4 4·（a-b+1)=__________________.
6x2-3xy2 2)=__________________. 3x·（2x-y
14.1.4 整式的乘法
第2课时
1.使学生能按步骤进行简单的单项式与多项式相乘的运算. 2.经历探究单项式与多项式相乘的方法，体验单项式与多 项式的乘法运算规律，总结运算法则，认识到单项式与多 项式相乘，结果仍是多项式，积的项数与因式中多项式的
项数相同.
3.培养学生合作交流的思想，体验单项式与多项式相乘的 内涵.
）
【答案】B
2.计算： (1)-10mn·(2m2n-3mn2). (2)(-4ax)2·(5a2-3ax2). (3)(3x2y-2xy2)·(-3x3y2)2. (4)7a(2ab2-3b).
【答案】
（1） （2） （3）
-20m3n2+30m2n3. 80a4x2-48a3x4. 27x8y5-18x7y6.
（4）
14a2b2-21ab.
3.化简：x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5). 【解析】原式=x3-x+2x3+2x2-6x2+15x =3x3-4x2+14x.
【规律方法】整式的运算是在数的运算的基础上发展 起来的，所以在解决问题时类比数的运算律，将单项 式乘以多项式转化为单项式的乘法.并且不能漏乘，注
单项式乘以单项式的法则有几点？ ①各单项式的系数相乘； ②相同字母的幂按同底数的幂相乘; ③单独字母连同它的指数照抄.
口算： (1)５x2y2·(-3x2y) (2) (x2)2 ·(-2x3y2) (3)(-2mx2)2·(-3m2x)3
-15x4y3 -2x7y2
-108m8x7
探究：
计算： 24 (
意符收获和体会？ 2.单项式与多项式的运算过程中，你要特别注意什么？
只要能收获甜蜜，荆棘丛中也会有蜜蜂忙 碌的身影. ——塞内加