高校大学物理势能机械能守恒定律
大学物理第六讲 势能、功能原理、机械能守恒 (1)
弹力的功与路径无关
2
万有引力的功
mM ˆ F G 2 r r dA F ds F cos ds
设M相对 于m静止.
ds dr m
b
a
F
Fds cos Fdr mM G 2 dr r
Aab dA
a b
ra
r
M
rb
一对相互作用力 的功只决定于两 者间的相对位移.
得
s
s+
m2 g
a
v
g 2 [( L l02 ) ( L l0 )2 ] L
18
例：宇宙速度 第一宇宙速度 ●物体绕地球作圆周运动所需的最小速度 此时
GM v mg m 2 m R R
2 1
GM v1 7.9km/s R
M和R分别为地球质量和半径。
19
第二宇宙速度
黑洞是大质量恒星在一定条件下演化的结果。恒星通过其内 部的热核反应不断燃烧演化。若恒星晚期经过质量抛失后所剩 余的质量大于3倍太阳质量，则就具备了坍缩为黑洞可能性。
坍缩核质量小于1.4倍太阳质量—白矮星；2-3倍太阳质量—中子星。
21
太阳属于小质量恒星, 不可能演化为黑洞。根据太阳的质量 条件，推算出太阳晚期演化的结局是白矮星（质量在1至8倍太 阳质量的孤立恒星也是如此）。
mM mM Aab ( G ) ( G ) ra rb
末
3
◎万有引力的功与路径无关。 初
摩擦力的功
A f r dS N dS
L L
mgds mgL
L
与路径相关
结论：
◎重力、弹力、万 有引力做功与路径 无关； ◎摩擦力做功与路 径有关。
机械能守恒定律
A．A球到达最低点时速度为零 B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量 C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运 动时的高度 D．当支架从左向右回摆动时，A球一定能回到起始高 度
ex1、物体在斜面上做加速运动时，下列 ( C)
A.它的动能一定增大，重力势能一定增大 B.它的动能一定增大，重力势能一定减少 C. D.如果在运动过程中加速度逐渐减小，但 加速度仍大于0，则物体的动能将逐渐减小
二、机械能守恒定律的内容：在只有重力做功的情 形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械 能的总量保持不变；在只有弹力做功的情形下，物体 的动能和弹性势能发生相互转化，但机械能的总量保 持不变.
末状态的机械能等于初状态的机械能。
动能的增加量等于重力势能的减小量。.当物体除受重力外还受到其他的力，但其
D.对于物体除重力外，其他力做功的代数和 为零，物体的机械能一定守恒
3、 在下列实例中运动的物体，不计空气 阻力，机械能不守恒的是（ A A. B. C. D.一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物， 重物在竖直方向上做上下振动(以物体和弹 簧为研究对象)
4、 关于物体的机械能是否守恒的叙述， 下列说法中正确的是（ D ） A.做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒 B.做匀变速直线运动的物体，机械能一定守
能守恒的是 ( BC )
A.子弹射入物块B的过程 B.物块B带着子弹向左运动，
C.弹簧推挤着带着子弹的物块B
D.带着子弹的物块B因惯性继续向右移动，
直到弹簧伸长量达最大的过程
6、如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角 形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m 的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平 面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直，放 手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法
大学物理学第3章 力学的守恒定律
00:03
t2 I F (t )dt
t1
注意
•力的冲量是矢量，计算 冲量要考虑 方向 性。
•冲量是过程量。 •冲量决定于力和时间两个因素。
•F-t图上曲线下的面积与冲量大小 的关系。
00:03
（三）用冲量概念表述动量定理
质点动量定理的微分形式 dp
F
m v Fdp Fdt d
00:03
（3）矢量性质： 系统各质点的动量的矢量和不变；
若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
ex x
F
0, 0,
px mi vix C x p y mi viy C y pz mi viz Cz
Fyex 0 , F
ex z
（4）瞬时特征： 任意两个瞬时，动量的大小和方向都相同。
m1 v' 则 v2 v m1 m2
v2 2. 10 m s 17
3 1
(m1 m2 )v m1v1 m2 v2
v1 3. 103 m s 1 17
• 力 F=12ti（SI）作用在质量m=2kg的物体上， 使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量 为： (A)-54 i kg.m/s (B)54i kg.m/s (C)-108 i kg.m/s (D)108 i kg.m/s (B)
y
s
v
z'
y'
s'
v'
x x'
o
00:03
z
o'
已知
v 2.5 10 m s 3 1 v' 1.0 10 m s
2-(3)势能、机械能守恒定律
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由 静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下 点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C 处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的 路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)
0
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
2） 人造行星 第二宇宙速度 第二宇宙速度 v 2 ，是抛体脱离地球引力所需 的最小发射速度 . 设 地球质量 m E , 抛体质量 m , 地球半径 R E . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 . 当 r ,
A = F dx ( 52.8 x + 38.4 x 2)dx = 0.5
1
= 19.8 +11.2 = 31（J ）
15 – 8
重力的功：
弹力的功：
多普勒效应
Aab mgha mghb (1) Aab 1 2 kx
2 a
第十五章 机械波
1 2
kxb (2)
2
万有引力的功： Aab
多普勒效应
第十五章 机械波
A外 A非保守内力 E2 E1
说明
1）功能原理说明只有外力及非保守内力才能改变 系统的机械能. 例: 提高杠铃的机械能靠外力,而马达的停止转动是 靠非保守内力---磨擦力. 2）功能原理与动能定理并无本质差别 ,区别在于功能 原理引入了势能概念,而无需计算保守力的功. 动能 原理则应计算包括保守内力在内的所有力的功.
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
大学机械能守恒定律教案
课程名称：大学物理授课对象：大学本科生授课时间：2课时教学目标：1. 知识目标：理解机械能守恒定律的概念、适用条件及其数学表达式。
2. 能力目标：培养学生运用机械能守恒定律分析问题、解决问题的能力。
3. 情感目标：激发学生对物理现象的兴趣，培养严谨的科学态度。
教学重点：1. 机械能守恒定律的概念和适用条件。
2. 机械能守恒定律的数学表达式及其应用。
教学难点：1. 机械能守恒定律的适用条件。
2. 运用机械能守恒定律解决实际问题的能力。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾动能、重力势能和弹性势能的概念。
2. 提出问题：如何判断一个系统的机械能是否守恒？二、新课讲解1. 介绍机械能守恒定律的概念：在只有保守力做功的情况下，一个系统的机械能（动能与势能之和）保持不变。
2. 讲解机械能守恒定律的适用条件：系统内只有保守力做功，没有非保守力做功。
3. 推导机械能守恒定律的数学表达式：E_k + E_p = 常数，其中E_k为动能，E_p 为势能。
4. 举例说明机械能守恒定律的应用。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师讲解练习题的解题思路和方法。
四、课堂小结1. 总结机械能守恒定律的概念、适用条件和数学表达式。
2. 强调机械能守恒定律在物理问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 回顾上节课所学内容。
2. 提出问题：如何判断一个系统的机械能是否守恒？二、新课讲解1. 讲解机械能守恒定律的适用条件：a. 系统内只有保守力做功，没有非保守力做功。
b. 系统内没有能量损失，如摩擦、空气阻力等。
2. 举例说明机械能守恒定律在生活中的应用。
3. 讲解机械能守恒定律的数学表达式及其应用。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师讲解练习题的解题思路和方法。
四、课堂小结1. 总结机械能守恒定律的概念、适用条件和数学表达式。
2. 强调机械能守恒定律在物理问题中的应用。
教学评价：1. 课后作业完成情况。
大学物理-第三章三大守恒定律
i
i
1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。
2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可 忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。
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3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受 的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。
即 F x 当 F ix 0 时 p x ， m iv ix 常量
mv1
得 F (0 .3 )22 0 32 0 2 2 0 3c0o 3 s()0 14 (N )51
0 .01
根据正弦定理
sm i 2 nvsiF n t() 18 ,即力的 v 夹 方 角 1向 6 。 为 2
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例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞
Ixt1 t2F xd tpx2px1mx2 vmx1v Iyt1 t2F yd tpy2py1my2v my1v Izt1 t2F zd tpz2pz1mz2 vmz1v
4 . 对于碰撞、打等 击过 、程 爆， 炸物体互 之作 间用 的
称为冲力， 值其 大特 ， 点 变 t短是 化 ，峰 大 在， 某
b v2
d v
d(m v )
d p
t 2
Fm am
Fdtdp
dt dt
微分形式
dt
a
v1
I 定义 ：t1 t动2F 量 d ptp p 1 m 2d vp p 2 t 1 p 1 P 2m mv( 2v I2 t1t2v F1 d)t
（ M d)v M (d v ) d( v M d v u ) Mv
大学物理机械能守恒定律
弹性碰撞中，两物体之间的相互作用力是保守力，因此系统机械能守恒。通过分析碰撞前 后的速度、动量等物理量，可以求解碰撞过程中的能量转化和损失情况。
03 弹性碰撞中机械能守恒
Байду номын сангаас
完全弹性碰撞过程描述
碰撞前后动能守恒
在完全弹性碰撞中，两个物体碰撞前后的总动能保持不变。
碰撞前后动量守恒
同时，两个物体碰撞前后的总动量也保持不变。
例题3
一质量为 $m$ 的匀质球体，半径为 $R$， 绕通过其中心且与球面垂直的轴以角速度 $omega$ 转动。若在球面上挖去一个质 量为 $Delta m$ 的小球体，求剩余部分 的动能和势能变化。
06 振动系统中机械能守恒
简谐振动过程中能量转化关系
简谐振动中，动能和势能不断相 互转化，但总机械能保持不变。
在平衡位置，动能最大，势能最 小；在最大位移处，动能最小，
势能最大。
简谐振动的能量与振幅的平方成 正比。
受迫振动和共振现象中能量传递特点
受迫振动中，驱动力的频率接 近系统固有频率时，振幅显著 增大，能量传递效率提高。
共振现象是系统固有频率与外 界驱动力频率相等时发生的， 此时能量传递效率最高。
在共振现象中，系统的振幅达 到最大值，能量在驱动力和系 统之间高效传递。
典型例题分析
例题1
一弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，分析其在振动过程中的能 量转化关系。
例题2
一单摆受到周期性驱动力作用，分析其在受迫振动过程中的能量传 递特点。
例题3
一RLC振荡电路在共振状态下工作，分析电路中的能量转化和传递过 程。
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能量守恒定律机械能转化与损耗
能量守恒定律机械能转化与损耗能量守恒定律是物理学中的一个基本原理，它指出能量在一个封闭系统内不能被创造或者被毁灭，只能从一种形式转化为另一种形式，总能量保持不变。
在机械能转化与损耗过程中，能量守恒定律也起到了重要作用。
1. 机械能守恒定律机械能守恒定律是能量守恒定律的一个具体应用，它应用于封闭力学系统内机械能的转化。
机械能由动能和势能组成，动能是物体由于其运动而具有的能量，势能是物体由于其位置而具有的能量。
例如，一个物体在自由下落过程中，由于重力对物体做功，物体的势能逐渐转化为动能，加速度增大。
当物体接触到地面时，势能转化为动能达到最大值，同时失去势能。
根据机械能守恒定律，物体的总机械能保持不变。
2. 机械能的转化在物体运动过程中，机械能可以发生转化。
例如，当一个物体被施加力推动时，物体的势能和动能同时发生改变。
当物体被推动时，施加力消耗了人体的化学能，此时从人体得到的能量转化为物体的动能。
同时，物体的势能也发生变化，因为其高度或位置发生了改变。
机械能的转化也可以发生在碰撞过程中。
例如，当一个物体撞击另一个物体时，动能在碰撞中部分转化为其他形式的能量，如热能或声能。
3. 机械能的损耗在机械能转化过程中，能量也会以不可利用的形式损耗掉。
这种能量损耗主要体现在摩擦、空气阻力和其他形式的阻尼上。
例如，在刹车过程中，车辆的动能被制动器和轮胎的摩擦力损耗掉，转化为热能。
这也是为什么刹车片或车胎会发热的原因。
空气阻力也是机械能损耗的一个重要因素。
当物体在空气中运动时，空气阻力会消耗掉一部分机械能，使其无法完全转化为动能或势能。
总的来说，能量守恒定律机械能转化与损耗提醒我们，在能量转化的过程中，能量的形式可能会发生变化，但能量的总量是保持不变的。
机械能转化与损耗是这个定律的实际应用，同时也是我们日常生活中不可避免的现象。
了解并理解这个定律，有助于我们更好地理解物质世界中能量转化的规律和原理。
大学物理 机械能守恒1
•质点系机械能守恒 质点系机械能守恒
• 功能原理与动能定理的物理本质是一致的，它们 功能原理与动能定理的物理本质是一致的， 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。 • 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变； 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变； 保守内力作功会引起质点系动能的改变， 保守内力作功会引起质点系动能的改变，但不会 引起质点系机械能的改变 • 当外力和内非保守力都有不作功或所作功之和为 零，则质点系机械能守恒。 则质点系机械能守恒。
v dr
v L1 F
rQΒιβλιοθήκη L2QP rP保守力：做功与路径无关的力， 保守力：做功与路径无关的力，或沿闭合回路做 功等于零的力 练一练：证明重力 是保守力 练一练：证明重力mg是保守力 挑战： 挑战：证明有心力和弹性力都是保守力 •保守力的势能：引力作功与路径无关，只取决于质 保守力的势能： 保守力的势能 引力作功与路径无关，
r2 r2
v •保守力与势能的微分关系：W保 = − ∆U , → F ⋅ dr = − dU 保守力与势能的微分关系： 保守力与势能的微分关系
•保守力与势能的微分关系进一步讨论 保守力与势能的微分关系进一步讨论* 保守力与势能的微分关系进一步讨论
r r f • dr = −dU 在直角坐标系中 : f x • dx + f y • dy + f z • dz = − dU ∂U ∂U ∂U 由偏微分公式知 : f x = − ; fy = − ; fz = − ∂x ∂y ∂z r r r r 可合写为 : f = f x i + f y j + f zk = −∇U = − gradU
推导物理定律机械能守恒定律的推导过程
推导物理定律机械能守恒定律的推导过程推导物理定律：机械能守恒定律的推导过程物理定律是科学研究的基石之一，对于理解自然界的规律和现象具有重要意义。
机械能守恒定律是其中一条重要的物理定律，它描述了一个封闭力学系统中机械能的守恒。
本文将通过推导的方式，深入探讨机械能守恒定律的推导过程。
一、机械能的定义在开始推导机械能守恒定律之前，首先需要对机械能进行明确定义。
在力学中，机械能是指由它所具有的动能和势能构成的。
动能是物体由于运动而具有的能量，用符号K表示；势能是物体由于所处位置而具有的能量，用符号U表示。
二、机械能守恒定律的表述机械能守恒定律表述如下：在一个封闭力学系统中，当仅有重力做功和保守力做功时，系统的机械能守恒。
三、推导过程为了推导机械能守恒定律，我们考虑一个由重力做功和保守力做功的封闭力学系统。
设物体的质量为m，初速度为v1，最终速度为v2，初始位置高度为h1，最终位置高度为h2。
1. 根据动能的定义，物体的动能可由式子K = 0.5mv^2 表示，其中m为质量，v为速度。
初始动能Ki为0.5mv1^2，最终动能Kf为0.5mv2^2。
2. 接下来，我们考虑势能的转化。
物体的势能可由公式U = mgh表示，其中m为质量，g为地球重力加速度，h为物体相对于参考点的高度。
初始势能Ui为mgh1，最终势能Uf为mgh2。
3. 根据机械能守恒定律的表述，当仅有重力做功和保守力做功时，系统的机械能守恒。
考虑到重力做功Wg和保守力做功Wp，机械能守恒定律可表示为：Ki + Ui + Wg + Wp = Kf + Uf4. 我们知道重力做功可以表示为Wg = mgh，保守力做功可以表示为Wp = -∆U，其中∆U为势能的变化量。
将以上公式代入机械能守恒定律的表达式中，我们得到：0.5mv1^2 + mgh1 + mgh + (-∆U) = 0.5mv2^2 + mgh25. 进一步整理方程，可以得到：0.5mv1^2 + mgh1 - mgh + mgh2 = 0.5mv2^2 + mgh26. 我们发现mgh1和(-mgh)可以合并，得到：0.5mv1^2 + mgh1 - mgh + mgh2 = 0.5mv2^2 + mgh27. 进一步化简得到最终的推导结果：0.5mv1^2 + mgh1 = 0.5mv2^2 + mgh2这个结果就代表了机械能守恒定律的推导结果，即机械能在封闭力学系统中是守恒的。
大学物理 动能 势能 机械能守恒定律
2020年4月22日星期三
力作正功； 力作负功； 力不作功。
变力的功 合力的功 = 分力的功的代数和 直角坐标系中，
功的大小与参照系有关 功的量纲和单位 2.功率：单位时间内的功 平均功率
瞬时功率
功率的单位 （瓦特）
3 保守力的功
1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点 。重力G只有z方向的分量
B、C、D 组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . B）动量不守恒，机械能守恒 . ）动量不守恒，机械能不守恒 . 动量守恒，机械能不一定守恒 .
（ （C （D）
C
D
C
D
A
B
A
B
讨论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？ （不考虑相对论效应）
1）质量 4）动能
2）动量 5）势能
3）冲量 6） 功
➢ 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
例2.9 质点所受外力
，求质点由点
(0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x
轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动
到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿
抛物线
由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制.
2） 万有引力的功 以 为参考系， 的位置矢量为 .
对 的万有引力为
移动 时， 作元功为
3 ） 弹簧弹性力的功 F
x
O
保守力和非保守力 ➢ 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功
重力功 弹力功
§3 3 机械能守恒定律 能量守恒定律 合肥工业大学 大学物理
E
弹 p1
1 2
kx02
如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并
且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系
统初时的重力势能为
E
重 p1
mgh
守恒定律
系统在这初始位置的总机械能为
E1＝Ek
1＋E
弹 p1＋E
重 p1
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
mgh
在物体下降到最低位置时，物体的动能Ek2=0，
x
x0 x
F
x2
O
x1
守恒定律
解（1）参看图(a)，取上板的平衡位置为x 轴的原点，
并取为弹性势能、重力势能的参考点，设弹簧为原
长时上板处在x0位置。上板处在任意位置x处时，系
统的弹性势能
E pe
1 2
k(x
x0 )2
1 2
kx02
1 2
kx 2
kxx0
系统的重力势能
x E pg m1 gx
§3-3 机械能守恒定律 能量守恒定律
1. 机械能守恒定律
机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内 力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系 统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能 的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。
条件 Ae Aid 0
定律 EKa EPa EKb EPb
Tm
k (x0
h)
k( mg k
m k
v0
)
mg
kmv0
由此式可见，如果v0较大，Tm 也较大。所 以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度
大学物理动能势能机械能守恒定律
解
(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y＝0， dy＝0，所以
A1 Fx dx
0
4 4 0 0
2
2
0
8 ( x )dx J 3
2
A2 Fy dy 6 ydy 48 J
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
13
1 A A1 A2 45 J 3
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
6
3 保守力的功 1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点。 重力G只有z方向的分量
dr dxi dyj dzk
A Fz dz mgdz (mgz mgz0 )
A12 Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
15
例2.10 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t ＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N 的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在 力F＝3＋4x N的作用下移动了3m，它的速度增为多 大？ 解 (1)由动量定理 Fdt mv ，得
Mm dA F dr G 2 r 0 dr r
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
B
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
8
Mm A F dr G 2 r 0 dr A r
B
d ( A ) d ( A A) 2 A d A
2.4 功 动能 势能 机械能守恒
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0)
大学物 理学
无关，而只与质点的初末位置有关。
非保守力: 力所做的功与路
B
径有关。（例如摩擦力）
重力功 W (mgy2 mgy1)
D
L
C
弹力功
W
(
1 2
k
x22
1 2
k
x12
)
A
引力功
W
(G
F
d r
m' m) (G
rB F
d r
m' m rA
)
2
Ep mgl sin
机械能守恒 m+地球：
0 0 1 mv2 (mgl sin )
2
大学物 理学
例 一轻弹簧, 其一端 系在铅直放置的圆环的顶
PR
点P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在
30 A
o
环上运动(μ =0)．开始球
静止于点 A, 弹簧处于自然
B
状态，其长为环半径R;
Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
i
ch3-4 势能 机械能守恒定律
A外 + A内 = ∆Ek
质点系动能定理
A保内+ A非保内
A外 + A保内+ A非保内 =∆Ek
A保内 ＝ - ( EP末 − EP初 )＝ − ∆EP
A外 − ∆Ep + A非内 = ∆Ek A外 + A非内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆E 功能原理
系统机械能增量
五. 机械能守恒定律
K是常数，r为二者 是常数， 为二者 是常数 之间距离, 是不是保守力?若是求二者相距 时的势能。 相距r时的势能 之间距离 问F是不是保守力?若是求二者相距 时的势能。
F =k/r
3
分析： 判断是不是保守力应该分析 分析： 作功是否与路径无关 解： 假设质点 从a点沿任意路径到 假设质点m从 点沿任意路径到 点沿任意路径到b
对于一个系统
A外 + A非内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆E
系统机械能增量
对系统作的总功 当 A外 + A非内 = 0 则
∆E = 0
提示
E = Ek + Ep = 常数
说明 (1) 守恒条件 A非内 = ∆E += E A外 + A外 + A非内 ∆0
k
机械能守恒定律
A保内 ＝ - ( EP末 − EP初 )＝ − ∆EP
∫
∫
x
x
(2) 质点在球内任一点 ，与 质点在球内任一点C， 球心距离为x， 球心距离为 ，系统的万有引 力势能为多少： 力势能为多少：
M R O m x
4 3 4 2 f内 =G πx ρm/ x = G πρmx 3 R 3 R 4 f dx + ∞ f∞ dx Mm E G 内 Ep = ∫ p−= ∫x πρmxdx∫R ∫ 外 G 2 dx + − x R 3 x Mm f (1) 质点在球外任一点 ，2 质点在球外任一点C 与球心距离为 ， 外 = G x2 与球心距离为x， 4、某状态时系统势能等于系 Mm 、 −G 2 πρm(R2 − x ) − G = 系统的万有引力势能为多少: 系统的万有引力势能为多少: R 统从该状态变化到零势能状态 统从该状态变化到零势能状态 3 时保守内力所作的功。 时保守内力所作的功。 Mm 3R2 − x2 R f= = −GMm(G v 2 3 ) m M0 x v 2⋅ d Ep = ∫ F R r O M ∞ Mm Mm，也可以说 在保守场存在的情况下 ●在保守场存在的情况下， Ep =势能属于场与场中与场作用的物体。 ∫x −G x2 dx = −G x 势能属于场与场中与场作用的物体。
大学物理：2-1 机械能守恒定律
26
例2 求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离太 阳引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）
解 根据机械能守恒定律有
1 2
mv22
G
m ms r0
0
v2
2Gms 42.1103 m s-1 r0
地球公转速度 v1 物体相对于地球速度
Gms 29.7 103 m s-1 r0
v v2 v1 (42.1103 29.7 103 )m s- 1 12.4 103 m s-1
y
A
小mg球和在F滚N 两动个过力程的中作受用到。 h
合力为
F mg FN
O
FN
mg
B
x
根据动能定理有
B A
F
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv
2 A
即
B mg d r
A
B A FN
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv2A
12
因
FN
始终垂直于
dr
，
所以
B A FN dr 0
(2)功和动能都是与参照系有关的量。但动能定理 在不同惯性系中都成立，这是力学相对性原理的必 然结果。在一般情况下，如无特别声明，就是指以 地面为参照系。
11
例3 小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动,
如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离
为h 的B 处时, 速率为多大 ?
解 建立右图的坐标系，
F3 F3n Fn3 Fn
所以 A外 + A非保内 = (EkQ +EpQ ) (EkP + EpP ) 22
系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示 于是有 A外 + A非保内 = E(Q) E(P)