2020版数学(文科)高分突破大一轮课标Ⅱ地区专用：§6.3 等比数列

2
2.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2= 13 ,anbn+1+bn+1
=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
解析 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2= 13 ,得a1=2, (3分)
若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得.
思路分析 (1)根据已知,建立含有q的方程→求得q并加以检验→代入等比数列的通项公式 (2)利用等比数列前n项和公式与已知建立等量关系即可求解.
易错警示 解方程时,注意对根的检验.求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值, 避免错解.
6.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= ann .
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是不是等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
解析 (1)由条件可得an+1= 2(nn1) an.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
运算.
设公比为q(q≠0),
则S3=a1+a2+a3=1+q+q2= 34 , 解得q=- 1 ,
2
∴a4=a1q3=- 1 ,
8
∴S4=S3+a4= 3 - 1 = 5 .
48 8
4.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=
考点二 等差数列与等比数列的综合
1.(2015浙江,10,6分)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=
,d=
.
答案 23 ;-1
解析 ∵a2,a3,a7成等比数列,∴ a32 =a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=- 32 a1①,∵2a1+a2=1,∴3 a1+d=1②,由①②可得a1= 23 ,d=-1.

1 2
an1
an1

1 2
an
=

an1

1 4
an


1 2
an1
an1

1 2
an
=
1 2

an1

1 2
an
an1

1 2
an

= 1 ,为常数,且a2- 1 a1=1,
2
2
所以数列
an1

1 2
an

是以1为首项, 1 为公比的等比数列.
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 等比数列及其性质
1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3 = ( )
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C 本题主要考查等比数列的性质;以等比数列的前n项和公式为载体考查学生的运算
解析 本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式.
(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=
1

(2)n 3
.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
则q3= a4 = a1
2 1
=8,得q=2,则a2=a1q= 14 ×2= 12 ,故选C.
4
3.(2019课标全国Ⅰ,14,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3= 34 ,则S4=
.
答案 5
8
解析 本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学
Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值;
(2)证明:
an1

1 2
an

为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
解析 (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1,整理得a4= 4a34 a2 , 又a2= 32 ,a3= 54 ,所以a4= 78 .
将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得 an1 = 2an n1 n
,即bn+1=2bn,
又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得 an =2n-1,所以an=n·2n-1. n
解析 本题考查等比数列及等比数列的前n项和. 设等比数列{an}的公比为q. 当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,
∴q≠1,由题设可得

a1(1 q3 1 q
a1(1 q6 1 q
) )

7, 4 63 4
,
解得
a1

1 4
q 2,
(1 (1

q) 2, q q2)

6.
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得Sn=
a1
(1 q 1 q
n
)
=- 2 +(-1)n· 2n1
3
3
.
由于Sn+2+Sn+1=- 4 +(-1)n·2n3 2n2
3
3
=2
求解能力;体现了数学运算的核心素养.
设等比数列的公比为q,
由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,
∴q2=4,又∵an>0,∴q=2,
由S4=
a1(1 24 1 2
)
=15,解得a1=1.
∴a3=a1·q2=4,故选C.
易错警示
对an=a1·qn-1和Sn=
a1
(1 q 1 q
到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 .
若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ( )
A. 3 2 f
B. 3 22 f
C. 12 25 f
D. 12 27 f
答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式,数学的实际应用. 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f,公比为 12 2 的等比数列,设此数列为{an},则a8= 12 27 f,即第八个单音的频率为 12 27 f,故选D.
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1. (5分)
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=
bn 3
,
(7分)
因此{bn}是首项为1,公比为 13 的等比数列. (9分)
记{bn}的前n项和为Sn,
则Sn=
1
1

1
n

3
方法规律 等比数列的判定方法:
证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只适用于选择
题、填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.
7.(2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
解析 本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体 现了数学运算的核心素养. (1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0. 解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
(2)证明:当n≥2时,有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,
即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1,
所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1),
即an+2=an+1- 1 an(n≥2).
4
经检验,当n=1时,上式成立.
因为
an2
考点二 等差数列与等比数列的综合
1.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{an}的公比为q,由题设可得
aa11
2
(3)由(2)知,an+1- 1 an= 1 (n∈N*),等式两边同乘2n,得2nan+1-2n-1an=2(n∈N*),又20a1=1,
2
2n1
所以数列{2n-1an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以2n-1an=2n-1,即an=