直角三角形的射影定理
三角形射影定理
三角形射影定理几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C =90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=B D·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（B D+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c 在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为B D、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
三角形射影定理公式
三角形射影定理公式三角形射影定理公式是几何学中的一个重要定理，它可以帮助我们计算三角形任意一侧在另外两边上的射影长度。
这个定理的应用非常广泛，不仅可以用于学术研究，还可以用于实际生活中的测量和建设等方面。
我们需要了解什么是三角形的射影。
在一个三角形ABC中，我们可以从一个点P向三角形的一条边上作垂线，垂线与三角形的这条边的交点就是这个点P在这条边上的射影。
同理，我们可以在另外两条边上分别作垂线，得到点P在这两条边上的射影。
这三条射影的长度分别为h1、h2和h3。
三角形射影定理公式告诉我们，三角形任意一边上的射影长度等于这条边对应的另外一条边长度与这个点到三角形对边的距离的乘积再除以三角形对边的长度。
也就是说，如果我们已知三角形ABC中的边长和点P到对边的距离，就可以用这个公式计算出点P在三角形的任意一条边上的射影长度。
这个公式的表达式为：h1 = (2Area)/ah2 = (2Area)/bh3 = (2Area)/c其中，a、b、c分别为三角形ABC的三条边的长度，Area为三角形ABC的面积。
这个公式的原理是基于三角形的面积与高的关系。
我们可以将三角形ABC分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的底边是三角形的一条边，高为点P到对边的距离；另一个直角三角形的底边为点P在这条边上的射影，高为三角形ABC的面积除以底边长度。
由于这两个直角三角形的高相等，所以我们可以得到上述公式。
三角形射影定理公式的应用非常广泛。
在建筑和土木工程中，我们经常需要计算建筑物或桥梁等的高度，此时我们可以利用这个公式来计算出点P在地面上的射影长度，从而得到建筑物或桥梁等的实际高度。
在地理学中，我们也可以利用这个公式来计算山峰、塔楼等高度，从而绘制出地图。
除了应用于实际生活中的测量和建设等方面，三角形射影定理公式在学术研究中也有重要的作用。
在数学、物理、计算机图形学等领域，这个公式被广泛应用于计算机模拟、图像处理、机器视觉等方面。
直角三角形中的射影定理公式
直角三角形中的射影定理公式1. 射影定理的来历说到射影定理，大家可能会想：“这是什么神秘的东西？”其实，它就是直角三角形的一个小秘密，帮助我们理解三角形的关系。
想象一下，你在户外野餐，看到阳光下的三角形影子，突然就明白了这个定理的意义。
就像阳光照在你身上，给你带来了温暖，射影定理也让我们看到了三角形之间的奇妙联系。
1.1 什么是射影定理射影定理，说白了，就是在直角三角形中，某个角的高度（也就是从那个角到底边的垂直距离）跟其他两个边之间的关系。
你可以把这个定理想象成一个小魔法，帮我们找出三角形中的隐藏长度。
比如说，你在解一道几何题，突然发现这个定理能让你轻松解决难题，心中那种“原来如此”的感觉，简直让人如释重负！1.2 公式介绍接下来，我们来看看公式。
这公式可不复杂，写成一句话就是：一个直角三角形中，高度的平方等于两个直角边长度的乘积。
用数学语言来说就是：h² = a * b。
这h就是高度，a和b是直角边。
听起来是不是简单得像吃饭？这就跟做菜一样，只要掌握了基本的配方，哪怕是小白也能做出美味的菜肴。
2. 实际应用那么，射影定理能用在哪里呢？嘿嘿，别着急，这里就有好多小故事！想象一下，你在家装修，准备挂一幅画。
你要测量画的高度，得考虑到下面的家具和墙壁，运用射影定理，你可以准确计算出合适的高度。
这就像是一场数学和生活的完美结合，真是生活中的“数学小能手”啊。
2.1 在建筑中的应用再说说建筑行业，很多时候建筑师需要设计各种形状的房子，他们会用到射影定理。
比如说，要建一座斜屋顶，设计师可以通过这个定理，确保屋顶的斜度和高度都在合适的范围内。
想象一下，如果没有这个定理，屋顶可能会歪得像个“小山丘”，那可就笑话了！2.2 在航海中的应用再来谈谈航海。
船长在海上航行时，需要准确判断船只与岸边的距离。
通过运用射影定理，船长可以算出最安全的航线，避免与礁石“亲密接触”。
所以说，射影定理不仅在数学课堂上有用，生活中也是处处皆是，简直就是我们的“救命稻草”！3. 小结总结一下，射影定理就像一个隐藏在直角三角形中的小宝藏。
射影定理
如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。
(内项要相等时才称为比例中项)比例中项又称"等比中项"或"几何中项"。
所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD·DC，（2）(AB)²=AD·AC ，（3）(BC)²=CD·CA。
直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。
其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD·AC，BC²=CD·CA两式相加得：AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。
二、用勾股证射影∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD²=BD×CD.运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。
直角三角形的射影定理
分析:欲证 CEF CBA . ∽
E A
D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角 要么找角, 要么找 边.
CEF B或 CFE A
CE CF CB CA
例2. 如图,在 ABC 中,CDAB于D, DEAC于E, CBA . DFBC于F ,求证 : CEF∽ C
证法： CDAB E CD2 CE CA DEAC A CDAB 2 CD CF CB DFBC CE CF CB CA ECF BCA . CEF ∽ CBA
F D
B
例3 △ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且
ACD 90 0 BCD, ∴(AD+BD)² B 90 0 =AC² AD CD BCD.+BC² ACD B ACD ∽ CBD CD -BD² 即2AD· BD=AC² -AD² +BC² BD 2
C 考察RtACD和RtCBD =AC² ∵AB² +BC²
B
∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD²
BC BD AB 同理,由CDA∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
2 用勾股定理能证明吗? (3) 有AC AD AB 同理可证得BC² D AB = BD· A
∴ CD 2 =CF· AC
同理可证 CD2 =CG· BC
∴
CF· AC=CG· BC
小结:
1.射影定理： 三大语言：图形语言、符号语言、
文字语言。
射影定理——精选推荐
射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。
射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。
每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。
符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。
射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。
直角三角形的射影定理
02
三角函数方程求解
通过射影定理可以将某些三角函 数方程转化为代数方程进行求解 。
03
三角函数不等式求 解
通过射影定理可以将某些三角函 数不等式转化为代数不等式进行 求解。
05
射影定理在物理学中的应用
力学中的平衡问题
01 02
力的分解
在力学中，当一个力作用于一个物体时，该力可以分解为两个分力，这 两个分力分别与物体的两个直角边相对应。根据射影定理，可以通过已 知的两个分力求出原力的大小和方向。
在高级数学中，射影定理可以通过向量和矩阵的知识进行 更深入的理解和拓展。例如，可以通过向量投影的概念解
释射影定理，或者利用矩阵运算解决相关问题。
对未来学习的建议
深入学习相似三角
形
相似三角形是射影定理的基础， 建议深入学习相似三角形的性质 、判定和应用，以便更好地理解 和应用射影定理。
掌握三角函数知识
三角函数是解决三角形问题的重 要工具，建议熟练掌握三角函数 的定义、性质和计算方法，以便 在解三角形问题时灵活运用。
拓展数学视野
除了射影定理和相似三角形外， 数学中还有许多其他有趣且实用 的概念和定理。建议广泛涉猎数 学知识，拓展数学视野，提高数 学素养。
感谢您的观看
THANKS
06
总结与拓展
射影定理的重要性总结
1 2
揭示直角三角形性质
射影定理揭示了直角三角形中边与角之间的特殊 关系，是理解直角三角形性质的重要工具。
沟通相似三角形与三角函数
射影定理将相似三角形与三角函数联系起来，为 解三角形问题提供了更多思路和方法。
3
应用于实际问题
射影定理在测量、建筑、物理等领域有广泛应用 ，掌握该定理有助于解决实际问题。
第一章 §1 第三课时 直角三角形的射影定理
CD⊥AB， 所以由射影定理可得： CD2＝AD·BD， CD2 16 4 3 所以AD＝ BD ＝ ＝ . 3 4 3
利用射影定理解决证明问题
[例2]
如图，在△ABC中，∠BAC＝
90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB 于 E. 求证：(1)AB·AC＝AD·BC； (2)AD3＝BC·BE·CF.
即
2 x x2 － 1 2 2 2 ＋ ＝ 1 ， 2 x
x2 － 1 x4 所以 2 ＋ ＝1. x 4
整理得x ＝4.所以x＝ 2. 所以AC＝ 2. 3
6
3
答案： 2
3
三、解答题 9．如图所示，在△ABC中CD⊥AB，BD＝AB 1 － AC，求∠BAC. 2
本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低 档题． [考题印证] 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异 于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝ 2，CB＝4 3，则CD＝ .
[命题立意 ] 本题主要考查利用射影定理计算线段长问题．
[自主尝试 ] 由射影定理知CD2＝AD·BD， BC2＝BD·AB ∴BC2＝(AB－AD)·AB. 即AB2－2AB－48＝0. ∴AB＝8，∴BD＝6，故CD2＝2×6＝12， ∴CD＝2 3.
答案： D
2 2
图1
二、填空题 5．如图所示，Rt△ABC中，AC⊥BC，点C在 AB上的正射影为 D，且AC＝3，AD＝2， 则AB＝ .
解析：∵AC⊥BC，又D是C在AB上的正射影， ∴CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB. AC2 9 又AC＝3，AD＝2，∴AB＝ AD ＝ . 2 9 答案： 2
答案：C
3．在△ABC中，CD⊥AB于点D，下列不能确定△ABC为直角 三角形的是 A．AC＝2，AB＝2 2，CD＝ 2 B．AC＝3，AD＝2，BD＝2 12 C．AC＝3，BC＝4，CD＝ 5 D．AB＝7，BD＝4，CD＝2 3 解析：在A中，AD＝ 2 ，AC2＝AD·AB，故△ABC为直角三 角形；在B中，CD＝ 5 ，CD2＝5≠AD·DB＝4，故△ABC不 是直角三角形，同理可证C，D中三角形为直角三角形．
直角三角形的射影定理
分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用
射影定理求出CD.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.
∴AD=
2
=
202
25
= 16.
∴DB=AB-AD=25-16=9.
∴CD= · = 16 × 9 = 12.
题型一
题型二
题型三
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后
四
直角三角形的射影定理
1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.
2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理
可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即
AC2+BC2=AB2.
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积
割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定
理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
题型一
题型二
题型三
题型一
与射影定理有关的计算问题
【例1】 若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定
cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴CD2=AD·DB=2×6=12,
∴CD= 12 = 2 3(cm).
∵AC2=AD·AB=2×(2+6)=16,
∴AC= 16 = 4(cm).
三角形射影定理
几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
高二数学直角三角形的射影定理
2
AB
=(AD＋DB)2
=AD 2＋2AD
·DB
＋DB2
AC2＋BC2 =AB2 AC2－AD2 =CD2 BC2－BD2 =CD2
C
A
DB
阅读：课本P21例1例2 完成习题1．4 练成才之路P23--26
直角三角形的射影定理
吁学滨 E-mail： yuxuebin_888@
.A
B
1.射影：
M B’ A’ N
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线
MN上的影子应是什么？ 点A′
（2）线段留在MN上的影子是什么？
定义：
线段A’B’
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂
线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线
段AB在直线l上的正射影，简称射影。
讨论：
1．线段在直线上的射影结果 点或线段
2．直线在直线上的射影结果 点或直线
已知直角三角形ABC，CD垂直AB
问：1．图中有几个Rt△?
2．有几对△相似？ C
3．CD2 =？ AD·DB
AC2 =？ AD·AB A
DB
BC2 =？ BD·BA
白杏仁色水牛模样的邮票彩玉额头，前半身是绿宝石色菱角模样的怪鳞，后半身是尖细的羽毛。这巨魔长着青远山色水牛似的脑袋和紫罗兰色菊花模样的脖子，有着深紫色洋 葱形态的脸和暗紫色肥肠似的眉毛，配着淡白色蕉叶一样的鼻子。有着水青色磁盘形态的眼睛，和暗灰色狐妖模样的耳朵，一张水青色龟壳模样的
DB
1．直角三角形中,斜边
上的高线是两条直角 CD2 AD DB
边在斜边上的射影的 比例中项;
AC 2
AD AB
2．每一条直角边是这 条直角边在斜边上的
射影定律
射影定律
射影定理
定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项。
其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
射影定理；
设直角三角形ABC，AB是斜边，CD是高，则
AC的平方=AD×AB
CB的平方=BD×BA
CD的平方=AD×DB
等积式；
AD×AB=AE×AC
推出；AD/AE=AC/AB（比例式）
如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则AC^2=AD×AB，
BC^2=BD×AB,CD^2=AD×BD。
以上比例式合称射影定理。
主要用于解决直角三角形斜边及定点与斜边的连线的问题，比如说给出AD和BD的长度求AC:BC。
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14 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
所以∠BAC＝90°，所以AC2＝BC·CD.
因为BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，
所以AE＝EF.
AE AC = . 又因为EF∥AD，所以 DF CD EF AC AC BC BC = = = ， 所以 2 DF CD AC AC
即EF∶DF＝BC∶AC.
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
总结： 1、知识：学习了直角 三角形中重要的比 例式和比例中项的表达式——射影定理。 2、方法：利用射影定理的基本图形求线 段和证明线段等积式。 3、能力：会从较复杂的图形中分解出射 影定理的基本图形的能力。 4、数学思想：方程思想和转化思想。
答案：
8 13 18 13 ， 13 13
6 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
2.如图：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是Rt△BCD斜
边BC上的高，若BE=6,CE=2.
求AD的长是多少.
4 3 3
7 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
【变式训练】如图，在△ABC中， AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC 于点E，EF⊥BC于点F，且BD·CF2 ＝CD·EF2.求证：EF∶DF＝BC∶AC.
【证明】因为AD⊥BC，EF⊥BC，
2 2 EF AD EF CF = . = ， 所以 所以EF∥AD，所以 2 2 CF CD AD CD 2 EF BD 因为BD·CF2＝CD·EF2，所以 = . 2 CF CD AD2 BD 2 所以 即 AD ＝BD·CD， = ， 2 CD CD
16 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
数学方法:
1.从特殊到一般的思考方法. 在研究数学问题时,通过考察特殊性问 题获得一般规律的猜想,并从中得到证明 一般规律的思想方法的启发;然后由特殊 过渡到一般,对一般性结论作出严格证明. 2.化归思想方法. 在研究问题时,常常通过一定的逻辑推 理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的 熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法, 参数法等,都是具体的化归方法.相似三角 形的证明采用了化归为预备定理的方法.
因为AC=AE，AB=BF，所以 又∠FBD=60°+∠ABD，∠EAD=60°+∠CAD，∠ABD=∠CAD， 所以∠FBD=∠EAD，所以△EAD∽△FBD,所以∠BDF=∠ADE, 所以∠FDE=∠FDA+∠ADE=∠FDA+∠BDF=90°,所以DE⊥DF.
13 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
总结： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基 本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可
C 以求出其余四条线段，有时需要用到方程的
思想。
A D B
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
例2 △ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且
CD² =AD· DB 求证： △ABC是直角三角形。DBCE CF CB CA
ECF BCA
证法二：找角
CEF
∽
CBA.
平行线等分线段定理 推论1 推论2
平行线分线段成比例定理 推论 1.2节例3 引理
相似三角形概念 判定定理1 相似三角形性质 射影定理 射影概念
预备定理 判定定理3 判定定理2
直角三角形相似的判定定理 勾股定理
点和线段的正射影简称射影
3 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。 你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关 系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？
C
A
D
B
4 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
D,AB=4，AC=6，BD,DC的长分别为
______________.
【解析】 BC = AB2 + AC2 = 42 + 62 = 2 13,
2 AB 16 8 13 2 BD = = = , BD·BC=AB , BC 13 2 13 2 AC 36 18 13 同理 DC = = = . BC 13 2 13
证明:在△CDA和△BDC中,
点C 在AB上的射影为D， CD AB. CDA BDC 900.
A D B C
又 CD AD DB AD : CD CD : DB CDA∽BDC CAD BCD
2
在ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形.
射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜 边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上 射影与斜边的比例中项。
C
∵AB² =AC² +BC²
∴(AD+BD)² =AC² +BC²
即2AD· BD=AC² -AD² +BC² -BD²
A
2
D
B
∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² ∴2AD· BD=2CD² ∴CD² = AD· BD
C
C O D A
3.如图，AB是半圆O的直径，点C在 半圆上，CD⊥AB于点D，且 AD=3DB，设∠COD=θ， 1 则 tan 2 2 3
要么找边.
CE CF CB CA
10 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
C
F
证法一：
CDAB E 2 CD CE CA DEAC A CDAB 2 CD CF CB DFBC
1 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
2 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线 的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B
M
A´
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在 这条直线上的正射影间的线段。
9 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
C
F
E
分析:欲证 CEF ∽ CBA. A D
B
已具备条件
ACB ECF公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
12 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
2.已知∠CAB=90°，AD⊥CB，△ACE，△ABF是正三角形，求 证：DE⊥DF. 解：在Rt△ABC中，AC2=CD·CB，AB2=BD·BC，
AC 所以 AB = CD = BD CD 2 = CD BD CD 2 CD AD = = . 2 AD AD BD
CD AD BD AC AD AB
2
BC BD AB
2
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
=AD(AD+BD)=AD· AB
用勾股定理能证明吗? 同理可证得BC² = BD· AB
5 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
练习1、如图，∠BAC=90°，AD ⊥ BC于
17 [普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1.(2007广州一模)如图所示，圆O上一点 C在直径AB上的射影为D，CD=4， B BD=8，则圆O的半径等于_____ 5 ． 2.(2013· 湖北高考)如图,圆O上一点C 在直径AB上的射影为D,点D在半径O 上的射影为E,若AB=3AD,则 的值为 8 .