中考数学复习指导：探究数量关系的图形旋转策略

探究数量关系的图形旋转策略
有些几何问题中的已知条件之间看似没有联系，如果不能仔细分析，则往往导致解题思路中断．这时，我们可以试将图形的某一部分适当旋转，从而能沟通解题条件，找到解题思路．
一、以某线段中点为对称中心
例1 如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，∠PMQ＝90°，试说明PQ2＝AP2＋BQ2．
解析∵AM＝BM，延长QM到点D，使DM＝QM，连DP．
∴△MBQ，△MAD关于点O中心对称，
∴AD＝BQ，∠DAM＝∠QBM，
DM＝MQ，
∴AD∥BC，
∴∠PAD＝180°－∠ACB＝90°．
即△APD为Rt△，
∴PD2＝AP2＋AD2．
又∵DM＝MQ，∠PMQ＝90°，
即PM⊥DQ，
∴PD＝PQ，
∴PQ2＝AP2＋BQ2．
二、以等腰直角三角形的直角顶点为旋转中心
例2 如图2，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______．
解析∵∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB．
据此将△ADB绕直角顶点A顺时针方向
旋转90°到△AD'C(如图2)，
∴BD＝CD'，∠DAD'＝90°，
AD'＝AD＝4．
在Rt△ADD'中，
∠ADD'＝∠AD'D＝90
2
°
＝45°，
D'D2＝42＋42＝32，
∴∠D'DC＝45°＋45°＝90°．
∴Rt△DD'C中，
CD'
1
2
，
∴BD ＝
CD'．
三、以等边三角形的顶点为旋转中心
例3 阅读下面材料：
小阳遇到这样一个问题：如图3，O 为等边△ABC 内部一点，且OA ：OB ：DC ＝1
：
，求∠AOB 的度数．
小阳是这样思考的：图3中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．
他的作法是：如图4，把△ACO 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△ABO'，连接OO'．则△AOO'是等边三角形，
故OO'＝OA ，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、
OC 转移到同一个三角形OO'B 中．
(1)请你回答：∠AOB ＝
(2)参考小阳思考问题的方法，解决下列
问题：
已知：如图5，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，
∠DAB ＝60°，∠DCB ＝30°，AC ＝5，CD ＝4．
求四边形ABCD 的面积．
解析 (1)∠AOB ＝150°．
(2)将△ADC 绕点A 顺时针60°旋转到△ABC ，连结BO 、CO ，如图6．
则有AC ＝AO ，BO ＝DC ＝4，
∠ABO ＝∠ADC ，
∠BAO ＝∠DAC ．
∵∠DAC ＋∠CAB ＝∠DAB ＝60°
∴∠BAO ＋∠CAB ＝60°＝∠CAO
又∵AC ＝AO ，
∴有等边△ACO ：CO ＝AC ＝5．
∵四边形ABCD 中，
∠ADC ＋∠
ABC
3＝360°－60°－30°＝270°， ∠ABO ＝∠ADC
∴∠ABO ＋∠ABC ＝270°， ∠OBC ＝360°－270°＝90°， 即有Rt △BOC ．。